Metoder for matematisk modellering i økonomi. Matematiske metoder i økonomisk analyse

Send ditt gode arbeid i kunnskapsbasen er enkelt. Bruk skjemaet nedenfor

Studenter, hovedfagsstudenter, unge forskere som bruker kunnskapsbasen i studiene og arbeidet vil være deg veldig takknemlig.

Lagt ut på http://www.allbest.ru/

Introduksjon

Modellering i vitenskapelig forskning begynte å bli brukt i antikken og fanget gradvis nye områder av vitenskapelig kunnskap: teknisk design, konstruksjon og arkitektur, astronomi, fysikk, kjemi, biologi og til slutt samfunnsvitenskap. Stor suksess og anerkjennelse i nesten alle grener av moderne vitenskap brakte modelleringsmetoden fra det tjuende århundre. Imidlertid modelleringsmetodikken i lang tid utviklet uavhengig av separate vitenskaper. Det var ikke noe enhetlig system av konsepter, ingen enhetlig terminologi. Først gradvis begynte modellens rolle som en universell metode for vitenskapelig kunnskap å bli realisert.

Begrepet "modell" er mye brukt i ulike felt menneskelig aktivitet og har mange semantiske betydninger. La oss bare vurdere slike "modeller" som er verktøy for å skaffe kunnskap.

En modell er et materielt eller mentalt forestilt objekt som i forskningsprosessen erstatter det opprinnelige objektet slik at dets direkte studie gir ny kunnskap om det opprinnelige objektet.

Modellering refererer til prosessen med å konstruere, studere og anvende modeller. Det er nært knyttet til slike kategorier som abstraksjon, analogi, hypotese osv. Modelleringsprosessen inkluderer nødvendigvis konstruksjon av abstraksjoner, slutninger ved analogi og konstruksjon av vitenskapelige hypoteser.

Hovedtrekket ved modellering er at det er en metode for indirekte erkjennelse ved bruk av proxy-objekter. Modellen fungerer som et slags erkjennelsesverktøy som forskeren plasserer mellom seg selv og objektet og ved hjelp av dette studerer han objektet som er av interesse for ham. Det er denne funksjonen ved modelleringsmetoden som bestemmer de spesifikke formene for bruk av abstraksjoner, analogier, hypoteser og andre kategorier og metoder for erkjennelse.

Behovet for å bruke modelleringsmetoden bestemmes av det faktum at mange objekter (eller problemer knyttet til disse objektene) enten er umulige å studere direkte, eller denne forskningen krever mye tid og penger.

Modelleringsprosessen omfatter tre elementer: 1) subjektet (forsker), 2) objektet for forskning, 3) en modell som formidler forholdet mellom det erkjennende subjektet og det erkjennelige objektet.

La det være eller behov for å skape et objekt A. Vi konstruerer (materiell eller mentalt) eller finner i den virkelige verden et annet objekt B - en modell av objekt A. Stadiet med å konstruere en modell forutsetter tilstedeværelsen av en viss kunnskap om det opprinnelige objektet . De kognitive egenskapene til modellen bestemmes av det faktum at modellen reflekterer alle vesentlige trekk ved det opprinnelige objektet. Spørsmålet om nødvendigheten og tilstrekkelig grad av likhet mellom originalen og modellen krever spesifikk analyse. Åpenbart mister modellen sin mening både når det gjelder identitet med originalen (da opphører den å være en original), og ved for stor forskjell fra originalen i alle vesentlige henseender.

Dermed blir studiet av noen sider av det modellerte objektet utført på bekostning av å nekte å reflektere andre sider. Derfor erstatter enhver modell originalen bare i en strengt begrenset forstand. Det følger av dette at for ett objekt kan det bygges flere "spesialiserte" modeller, som konsentrerer oppmerksomheten om visse aspekter ved objektet som studeres eller karakteriserer objektet med varierende detaljeringsgrad.

På det andre trinnet av modelleringsprosessen fungerer modellen som et uavhengig studieobjekt. En av formene for slik forskning er å utføre "modell"-eksperimenter, der driftsbetingelsene til modellen er bevisst endret og data om dens "atferd" blir systematisert. Sluttresultatet av dette trinnet er et vell av kunnskap om R-modellen.

På det tredje trinnet overføres kunnskap fra modellen til originalen - dannelsen av et sett med kunnskap S om objektet. Denne kunnskapsoverføringsprosessen utføres av visse regler. Kunnskapen om modellen må justeres under hensyntagen til de egenskapene til det opprinnelige objektet som ikke ble reflektert eller endret under konstruksjonen av modellen. Vi kan med tilstrekkelig grunn overføre ethvert resultat fra en modell til originalen dersom dette resultatet nødvendigvis er forbundet med tegn på likhet mellom originalen og modellen. Hvis et bestemt resultat av en modellstudie er forbundet med en forskjell mellom modellen og originalen, er det ulovlig å overføre dette resultatet.

Det fjerde trinnet er den praktiske verifiseringen av kunnskapen som er oppnådd ved hjelp av modeller og deres bruk for å bygge en generell teori om objektet, dets transformasjon eller kontroll.

For å forstå essensen av modellering er det viktig å ikke miste av syne at modellering ikke er den eneste kilden til kunnskap om et objekt. Modelleringsprosessen er «nedsenket» i en mer generell kognisjonsprosess. Denne omstendigheten tas ikke bare i betraktning på stadiet av å konstruere modellen, men også på det siste stadiet, når kombinasjonen og generaliseringen av forskningsresultater oppnådd på grunnlag av ulike erkjennelsesmidler skjer.

Modellering er en syklisk prosess. Dette betyr at den første fire-trinns syklusen kan følges av en andre, tredje osv. Samtidig utvides og foredles kunnskapen om objektet som studeres, og den første modellen forbedres gradvis. Mangler oppdaget etter første modelleringssyklus, på grunn av dårlig kjennskap til objektet og feil i modellkonstruksjonen, kan rettes opp i påfølgende sykluser. Dermed inneholder modelleringsmetodikken store muligheter for egenutvikling.

1. Funksjoner ved å bruke den matematiske metodenmodellering i økonomi

Matematikkens inntrengning i økonomi innebærer å overvinne betydelige vanskeligheter. Matematikken, som utviklet seg gjennom flere århundrer hovedsakelig i forbindelse med fysikkens og teknologiens behov, var en del av skylden for dette. Men hovedårsakene ligger fortsatt i naturen økonomiske prosesser, nærmere bestemt økonomisk vitenskap.

De fleste gjenstander studert av økonomisk vitenskap kan karakteriseres av det kybernetiske konseptet om et komplekst system.

Den vanligste forståelsen av et system er som et sett av elementer som samhandler og danner en viss integritet, enhet. En viktig kvalitet ved ethvert system er fremveksten - tilstedeværelsen av egenskaper som ikke er iboende i noen av elementene som er inkludert i systemet. Derfor, når du studerer systemer, er det ikke nok å bruke metoden for å dele dem inn i elementer og deretter studere disse elementene separat. En av vanskelighetene med økonomisk forskning er at det nesten ikke finnes økonomiske objekter som kan betraktes som separate (ikke-systemiske) elementer.

Kompleksiteten til et system bestemmes av antall elementer som er inkludert i det, forbindelsene mellom disse elementene, samt forholdet mellom systemet og miljøet. Landets økonomi har alle kjennetegnene til et svært komplekst system. Hun forener seg stort antall elementer, er preget av en rekke interne forbindelser og forbindelser med andre systemer (naturlig miljø, økonomier i andre land, etc.). I nasjonal økonomi naturlige, teknologiske, sosiale prosesser, objektive og subjektive faktorer samhandler.

Kompleksiteten i økonomien ble noen ganger sett på som en begrunnelse for umuligheten av å modellere den og studere den ved hjelp av matematikk. Men dette synspunktet er grunnleggende feil. Du kan modellere et objekt av hvilken som helst natur og hvilken som helst kompleksitet. Og det er nettopp komplekse objekter som er av størst interesse for modellering; Det er her modellering kan gi resultater som ikke kan oppnås ved andre forskningsmetoder.

Potensiell mulighet matematisk modellering av noen økonomiske objekter og prosesser betyr ikke, selvfølgelig, dens vellykkede gjennomførbarhet med dette nivåetøkonomisk og matematisk kunnskap, tilgjengelig spesifikk informasjon og datateknologi. Og selv om det er umulig å angi de absolutte grensene for den matematiske formaliserbarheten til økonomiske problemer, vil det alltid være uformaliserte problemer, så vel som situasjoner der matematisk modellering ikke er effektiv nok.

2. Klassifisering eøkonomiske og matematiske modeller

Matematiske modeller av økonomiske prosesser og fenomener kan kortere kalles økonomisk-matematiske modeller. Ulike baser brukes til å klassifisere disse modellene.

I henhold til deres tiltenkte formål er økonomiske og matematiske modeller delt inn i teoretiske og analytiske modeller som brukes i forskning generelle egenskaper og mønstre av økonomiske prosesser, og anvendte som brukes til å løse spesifikke økonomiske problemer (modeller for økonomisk analyse, prognoser, ledelse).

Økonomiske og matematiske modeller kan være ment å studere ulike aspekter av den nasjonale økonomien (spesielt dens produksjon, teknologiske, sosiale, territoriale strukturer) og dens individuelle deler. Når man klassifiserer modeller i henhold til økonomiske prosesser og materielle spørsmål som studeres, kan man skille modeller av nasjonaløkonomien som helhet og dens undersystemer - industrier, regioner, etc., komplekser av modeller for produksjon, forbruk, dannelse og fordeling av inntekt, arbeidsressurser, prising, økonomiske forhold osv. .d.

La oss dvele mer detaljert på egenskapene til slike klasser av økonomiske og matematiske modeller, som er assosiert med de største egenskapene til metodikken og modelleringsteknikkene.

I samsvar med den generelle klassifiseringen av matematiske modeller er de delt inn i funksjonelle og strukturelle, og inkluderer også mellomformer (strukturell-funksjonelle). I studier på nasjonalt økonomisk nivå brukes strukturelle modeller oftere, siden for planlegging og styring veldig viktig ha sammenkoblinger mellom delsystemer. Typiske strukturelle modeller er modeller av intersektorielle koblinger. Funksjonelle modeller er mye brukt i økonomisk regulering, når oppførselen til et objekt ("output") påvirkes av å endre "input". Et eksempel er modellen for forbrukeratferd i forhold til vare-pengerforhold. Det samme objektet kan beskrives samtidig av både en struktur og en funksjonell modell. For å planlegge et eget bransjesystem brukes for eksempel en strukturell modell, og på nasjonalt økonomisk nivå kan hver bransje representeres med en funksjonell modell.

Forskjellene mellom beskrivende og normative modeller er allerede vist ovenfor. Beskrivende modeller svarer på spørsmålet: hvordan skjer dette? eller hvordan dette mest sannsynlig kan utvikle seg videre?, dvs. de forklarer bare observerte fakta eller gir en plausibel prediksjon. Normative modeller svarer på spørsmålet: hvordan skal dette være?, dvs. involvere målrettet aktivitet. Et typisk eksempel på normative modeller er optimale planleggingsmodeller, som på en eller annen måte formaliserer målene for økonomisk utvikling, muligheter og midler for å nå dem.

Bruken av en beskrivende tilnærming i økonomisk modellering forklares med behovet for å empirisk identifisere ulike avhengigheter i økonomien og etablere statistiske mønstre for økonomisk atferd sosiale grupper, studere de sannsynlige banene for utvikling av alle prosesser under uendrede forhold eller som skjer uten ytre påvirkninger. Eksempler på beskrivende modeller er produksjonsfunksjoner og forbrukerbehovsfunksjoner bygget på grunnlag av statistisk databehandling.

Hvorvidt en økonomisk-matematisk modell er beskrivende eller normativ, avhenger ikke bare av dens matematiske struktur, men av arten av bruken av denne modellen. For eksempel er input-output-modellen beskrivende hvis den brukes til å analysere proporsjonene i den siste perioden. Men denne samme matematiske modellen blir normativ når den brukes til å beregne balanserte alternativer for utvikling av nasjonaløkonomien som tilfredsstiller samfunnets endelige behov til planlagte produksjonskostnadsstandarder.

Mange økonomiske og matematiske modeller kombinerer trekk ved beskrivende og normative modeller. En typisk situasjon er når en normativ modell av en kompleks struktur kombinerer individuelle blokker, som er private deskriptive modeller. For eksempel, tverrsektoriell modell kan inkludere forbrukeretterspørselsfunksjoner som beskriver forbrukeratferd når inntekt endres. Slike eksempler karakteriserer tendensen til effektivt å kombinere beskrivende og normative tilnærminger til modellering av økonomiske prosesser. Den beskrivende tilnærmingen er mye brukt i simuleringsmodellering.

Ut fra arten av refleksjonen av årsak-virkningsforhold skilles det mellom strengt deterministiske modeller og modeller som tar hensyn til tilfeldighet og usikkerhet. Det er nødvendig å skille mellom usikkerhet beskrevet av sannsynlighetslover og usikkerhet som sannsynlighetsteoriens lover ikke er anvendelige for. Den andre typen usikkerhet er mye vanskeligere å modellere.

I henhold til metodene for å reflektere tidsfaktoren er økonomiske og matematiske modeller delt inn i statiske og dynamiske. I statiske modeller er alle avhengigheter knyttet til ett øyeblikk eller tidsperiode. Dynamiske modeller karakteriserer endringer i økonomiske prosesser over tid. Basert på varigheten av tidsperioden som vurderes, er modeller for kortsiktig (opptil ett år), mellomlang sikt (opptil 5 år), langsiktig (10-15 eller flere år) prognoser og planlegging forskjellige. Selve tiden i økonomiske og matematiske modeller kan endres enten kontinuerlig eller diskret.

Modeller av økonomiske prosesser er ekstremt forskjellige i form av matematiske avhengigheter. Det er spesielt viktig å fremheve klassen av lineære modeller som er mest hensiktsmessige for analyser og beregninger, og som et resultat har blitt utbredt. Forskjellene mellom lineære og ikke-lineære modeller er betydelige ikke bare fra et matematisk synspunkt, men også fra et teoretisk og økonomisk synspunkt, siden mange avhengigheter i økonomien er fundamentalt ikke-lineære av natur: effektivitet av ressursbruk med økt produksjon, endringer i etterspørsel og forbruk av befolkningen med økt produksjon, endringer i etterspørsel og forbruk av befolkningen med økende inntekt mv. Teorien om "lineær økonomi" skiller seg betydelig fra teorien om "ikke-lineær økonomi". Konklusjoner om muligheten for å kombinere sentralisert planlegging og økonomisk uavhengighet av økonomiske delsystemer avhenger i vesentlig grad av om settene med produksjonsmuligheter til delsystemer (industrier, bedrifter) antas å være konvekse eller ikke-konvekse.

I henhold til forholdet mellom eksogene og endogene variabler inkludert i modellen, kan de deles inn i åpne og lukkede. Det er ingen helt åpne modeller; modellen må inneholde minst én endogen variabel. Helt lukkede økonomiske og matematiske modeller, d.v.s. ikke inkludert eksogene variabler, er ekstremt sjeldne; deres konstruksjon krever fullstendig abstraksjon fra "miljøet", dvs. alvorlig forgrovning av realøkonomiske systemer som alltid har eksterne forbindelser. De aller fleste økonomiske og matematiske modeller inntar en mellomposisjon og skiller seg i graden av åpenhet (lukkethet).

For modeller på nasjonalt økonomisk nivå er inndelingen i aggregert og detaljert viktig.

Avhengig av om nasjonaløkonomiske modeller inkluderer romlige faktorer og forhold eller ikke, skilles det mellom romlige og punktmodeller.

Dermed inkluderer den generelle klassifiseringen av økonomiske og matematiske modeller mer enn ti hovedtrekk. Med utviklingen av økonomisk og matematisk forskning blir problemet med å klassifisere modellene som brukes mer komplisert. Sammen med fremveksten av nye typer modeller (spesielt blandede typer) og nye funksjoner i deres klassifisering, utføres prosessen med modellintegrering forskjellige typer inn i mer komplekse modellstrukturer.

3 . Stadier av økonomiero-matematisk modellering

Hovedstadiene i modelleringsprosessen er allerede diskutert ovenfor. I ulike grener av kunnskap, inkludert økonomi, får de sine egne spesifikke egenskaper. La oss analysere sekvensen og innholdet i stadiene i en syklus av økonomisk og matematisk modellering.

1. Redegjørelse av det økonomiske problemet og dets kvalitative analyse. Hovedsaken her er å tydelig formulere essensen av problemet, forutsetningene som er gjort og spørsmålene som det kreves svar på. Dette stadiet inkluderer å identifisere de viktigste egenskapene og egenskapene til det modellerte objektet og abstrahere fra mindre; studere strukturen til et objekt og de grunnleggende avhengighetene som forbinder dets elementer; formulere hypoteser (i det minste foreløpige) som forklarer oppførselen og utviklingen til objektet.

2. Konstruksjon av en matematisk modell. Dette er stadiet for å formalisere et økonomisk problem, uttrykke det i form av spesifikke matematiske avhengigheter og relasjoner (funksjoner, ligninger, ulikheter, etc.). Vanligvis bestemmes først hoveddesignet (typen) av en matematisk modell, og deretter spesifiseres detaljene i denne designen (en spesifikk liste over variabler og parametere, formen for tilkoblinger). Dermed er konstruksjonen av modellen igjen delt inn i flere stadier.

Det er feil å tro det enn flere fakta tar hensyn til modellen, jo bedre «fungerer» den og gir bedre resultater. Det samme kan sies om slike egenskaper ved kompleksiteten til modellen som formene for matematiske avhengigheter som brukes (lineære og ikke-lineære), under hensyntagen til faktorer som tilfeldighet og usikkerhet, etc. Overdreven kompleksitet og tungrodd i modellen kompliserer forskningsprosessen. Det er nødvendig å ta hensyn til ikke bare de reelle mulighetene til informasjon og matematisk støtte, men også å sammenligne kostnadene ved modellering med den resulterende effekten (ettersom kompleksiteten til modellen øker, kan økningen i kostnadene overstige økningen i effekt) .

En av de viktige egenskapene til matematiske modeller er potensialet for deres bruk for å løse problemer med ulike kvaliteter. Derfor, selv når du står overfor et nytt økonomisk problem, er det ikke nødvendig å strebe etter å "oppfinne" modellen; Først må du prøve å bruke allerede kjente modeller for å løse dette problemet.

I prosessen med å bygge en modell, utføres en sammenligning av to systemer for vitenskapelig kunnskap - økonomisk og matematisk. Det er naturlig å strebe etter å få en modell som tilhører en godt studert klasse av matematiske problemer. Ofte kan dette gjøres ved å forenkle de innledende forutsetningene til modellen, uten å forvrenge de essensielle egenskapene til det modellerte objektet. En situasjon er imidlertid også mulig når formaliseringen av et økonomisk problem fører til en tidligere ukjent matematisk struktur. Behovene til økonomisk vitenskap og praksis på midten av det tjuende århundre. bidratt til utvikling av matematisk programmering, spillteori, funksjonsanalyse, beregningsmatematikk. Det er sannsynlig at utviklingen av økonomisk vitenskap i fremtiden vil bli en viktig stimulans for etableringen av nye grener av matematikk.

3. Matematisk analyse av modellen. Hensikten med denne fasen er å klargjøre de generelle egenskapene til modellen. Her brukes rent matematiske forskningsmetoder. Mest viktig poeng- bevis på at det finnes løsninger i den formulerte modellen (eksistensteorem). Hvis det kan bevises det matematisk problem ikke har en løsning, så er det ikke behov for ytterligere arbeid med den originale versjonen av modellen; enten formuleringen av det økonomiske problemet eller metodene for dets matematiske formalisering bør justeres. Under den analytiske studien av modellen avklares spørsmål, som for eksempel er det en unik løsning, hvilke variabler (ukjente) som kan inkluderes i løsningen, hva vil være sammenhengene mellom dem, i hvilken grad og avhengig av hvilke begynnelsesbetingelser de endrer, hva er trendene i deres endring og etc. En analytisk studie av en modell, sammenlignet med en empirisk (numerisk), har fordelen at konklusjonene som er oppnådd forblir gyldige for ulike spesifikke verdier av modellens eksterne og interne parametere.

Å kjenne de generelle egenskapene til en modell er så viktig, ofte for å bevise slike egenskaper, idealiserer forskere bevisst den opprinnelige modellen. Og likevel er modeller av komplekse økonomiske objekter svært vanskelige å studere analytisk. I tilfeller der analytiske metoder ikke klarer å bestemme modellens generelle egenskaper, og forenklinger av modellen fører til uakseptable resultater, går de over til numeriske forskningsmetoder.

4. Utarbeidelse av bakgrunnsinformasjon. Modellering stiller strenge krav til informasjonssystemet. Samtidig begrenser de reelle mulighetene for å innhente informasjon valget av modeller beregnet for praktisk bruk. I dette tilfellet tas ikke bare den grunnleggende muligheten for å utarbeide informasjon (innen en viss tidsramme) i betraktning, men også kostnadene ved å utarbeide de tilsvarende informasjonsmatrisene. Disse kostnadene bør ikke overstige effekten av å bruke tilleggsinformasjon.

I prosessen med å utarbeide informasjon er metoder for sannsynlighetsteori, teoretisk og matematisk statistikk mye brukt. I systemøkonomisk og matematisk modellering er den første informasjonen som brukes i noen modeller resultatet av funksjonen til andre modeller.

5. Numerisk løsning. Dette stadiet inkluderer utvikling av algoritmer for numerisk løsning av problemet, kompilering av dataprogrammer og direkte beregninger. Vanskelighetene på dette stadiet skyldes først og fremst den store størrelsen på økonomiske problemer og behovet for å behandle betydelige mengder informasjon.

Vanligvis er beregninger ved hjelp av en økonomisk-matematisk modell av multivariat natur. Takket være den høye hastigheten til moderne datamaskiner er det mulig å utføre en rekke "modelleksperimenter" og studere modellens "oppførsel" under forskjellige endringer under visse forhold. Forskning utført med numeriske metoder kan i betydelig grad utfylle resultatene av analytisk forskning, og for mange modeller er det den eneste gjennomførbare. Klassen av økonomiske problemer som kan løses med numeriske metoder er mye bredere enn klassen av problemer tilgjengelig for analytisk forskning.

6. Analyse av numeriske resultater og deres anvendelse. På dette siste stadiet av syklusen oppstår spørsmålet om riktigheten og fullstendigheten av modelleringsresultatene, om graden av praktisk anvendelighet av sistnevnte.

Matematiske verifikasjonsmetoder kan identifisere feil modellkonstruksjoner og dermed begrense klassen av potensielt riktige modeller. Uformell analyse av teoretiske konklusjoner og numeriske resultater oppnådd gjennom modellen, sammenligne dem med eksisterende kunnskap og fakta om virkeligheten gjør det også mulig å oppdage mangler i formuleringen av det økonomiske problemet, den konstruerte matematiske modellen, og dens informasjon og matematisk støtte.

Forhold mellom stadier. La oss være oppmerksomme på de gjensidige forbindelsene til stadiene som oppstår på grunn av det faktum at i prosessen med forskning oppdages mangler ved de tidligere stadiene av modellering.

Allerede på stadiet med å bygge en modell kan det bli klart at problemformuleringen er motstridende eller fører til en altfor kompleks matematisk modell. I samsvar med dette justeres den opprinnelige problemformuleringen. Videre kan matematisk analyse av modellen (trinn 3) vise at en liten modifikasjon av problemstillingen eller dens formalisering gir et interessant analytisk resultat.

Oftest oppstår behovet for å gå tilbake til tidligere stadier av modellering når du forbereder innledende informasjon (trinn 4). Det kan det vise seg nødvendig informasjon mangler eller kostnadene ved utarbeidelsen er for høye. Deretter må vi gå tilbake til formuleringen av problemet og formaliseringen av det, endre dem for å tilpasse oss den tilgjengelige informasjonen.

Siden økonomiske og matematiske problemer kan være komplekse i struktur og ha en stor dimensjon, hender det ofte at kjente algoritmer og dataprogrammer ikke tillater å løse problemet i sin opprinnelige form. Hvis det ikke er mulig i kortsiktig utvikle nye algoritmer og programmer, forenkle den opprinnelige problemformuleringen og modellen: fjern og kombiner forhold, reduser antall faktorer, erstatt ikke-lineære relasjoner med lineære, øk modellens determinisme, etc.

Mangler som ikke kan korrigeres på mellomstadier av modellering, elimineres i påfølgende sykluser. Men resultatene av hver syklus har også en helt uavhengig betydning. Ved å starte forskningen med å bygge en enkel modell, kan du raskt få nyttige resultater, og deretter gå videre til å lage en mer avansert modell, supplert med nye forhold, inkludert raffinerte matematiske avhengigheter.

Etter hvert som økonomisk og matematisk modellering utvikler seg og blir mer kompleks, blir dens individuelle stadier isolert i spesialiserte forskningsområder, forskjellene mellom teoretisk-analytiske og anvendte modeller intensiveres, og modellene differensieres etter nivåer av abstraksjon og idealisering.

Teorien om matematisk analyse av økonomiske modeller har utviklet seg til en spesiell gren av moderne matematikk - matematisk økonomi. Modeller studert innenfor rammen av matematisk økonomi mister direkte forbindelse med økonomisk virkelighet; de omhandler utelukkende idealiserte økonomiske objekter og situasjoner. Ved konstruksjon av slike modeller er hovedprinsippet ikke så mye å komme nærmere virkeligheten, men å oppnå størst mulig antall analytiske resultater gjennom matematiske bevis. Verdien av disse modellene for økonomisk teori og praksis er at de fungerer som et teoretisk grunnlag for anvendte modeller.

Ganske uavhengige forskningsområder er utarbeidelse og behandling av økonomisk informasjon og utvikling av matematisk støtte for økonomiske problemer (oppretting av databaser og informasjonsbanker, programmer for automatisert konstruksjon av modeller og programvaretjenester for brukerøkonomer). På stadiet med praktisk bruk av modeller bør den ledende rollen spilles av spesialister innen det relevante feltet økonomisk analyse, planlegging og ledelse. Hovedarbeidsområdet for økonomer og matematikere er fortsatt formuleringen og formaliseringen av økonomiske problemer og syntesen av prosessen med økonomisk og matematisk modellering.

økonomisk matematisk modellering

Liste over brukt litteratur

1.Fedoseev, Økonomiske metoder

2. I.L Akulich, Matematisk programmering i eksempler og problemer, Moskva, "Higher School", 1986;

3. S.A. Abramov, Matematiske konstruksjoner og programmering, Moskva, "Nauka", 1978;

4. J. Littlewood, Matematisk blanding, Moskva, "Nauka", 1978;

5. Nyheter fra Vitenskapsakademiet. Teori og kontrollsystemer, 1999, nr. 5, s. 127-134.

7. http://exsolver.narod.ru/Books/Mathematic/GameTheory/c8.html

Skrevet på Allbest.ru

Lignende dokumenter

Oppdagelse og historisk utvikling av matematiske modelleringsmetoder, deres praktiske anvendelse i moderne økonomi. Bruken av økonomisk og matematisk modellering på alle ledelsesnivåer som informasjonsteknologi introduseres.

test, lagt til 06/10/2009

Grunnleggende konsepter og typer modeller, deres klassifisering og formål med opprettelsen. Funksjoner av de anvendte økonomiske og matematiske metodene. generelle egenskaper hovedstadier av økonomisk og matematisk modellering. Anvendelse av stokastiske modeller i økonomi.

sammendrag, lagt til 16.05.2012

Konsept og typer modeller. Stadier for å konstruere en matematisk modell. Grunnleggende om matematisk modellering av forholdet mellom økonomiske variabler. Bestemmelse av parametere for en lineær en-faktor regresjonsligning. Optimaliseringsmetoder for matematikk i økonomi.

sammendrag, lagt til 02.11.2011

Anvendelse av optimeringsmetoder for å løse spesifikke produksjons-, økonomiske og ledelsesproblemer ved bruk av kvantitativ økonomisk og matematisk modellering. Løse en matematisk modell av objektet som studeres ved hjelp av Excel.

kursarbeid, lagt til 29.07.2013

Historie om utviklingen av økonomiske og matematiske metoder. Matematisk statistikk er en gren av anvendt matematikk basert på et utvalg av fenomenene som studeres. Analyse av stadiene i økonomisk og matematisk modellering. Verbal-informasjonsbeskrivelse av modellering.

forelesningskurs, lagt til 01.12.2009

Anvendelse av matematiske metoder for å løse økonomiske problemer. Konseptet produksjonsfunksjon, isokvanter, utskiftbarhet av ressurser. Definisjon av lavelastiske, middels elastiske og høyelastiske varer. Prinsipper for optimal lagerstyring.

test, lagt til 13.03.2010

Klassifisering av økonomiske og matematiske modeller. Bruke algoritmen for suksessive tilnærminger når du setter økonomiske problemer i det agroindustrielle komplekset. Metoder for modellering av utviklingsprogrammet til en landbruksbedrift. Begrunnelse for utviklingsprogrammet.

kursarbeid, lagt til 01.05.2011

Inndelingen av modellering i to hovedklasser - materiale og ideelt. To hovednivåer av økonomiske prosesser i alle økonomiske systemer. Ideelle matematiske modeller innen økonomi, anvendelse av optimalisering og simuleringsmetoder.

sammendrag, lagt til 06.11.2010

Grunnleggende begreper om matematiske modeller og deres anvendelse i økonomi. Generelle kjennetegn ved elementene i økonomien som et objekt for modellering. Markedet og dets typer. Dynamisk modell av Leontiev og Keynes. Solow modell med diskret og kontinuerlig tid.

kursarbeid, lagt til 30.04.2012

Bestemmelse av utviklingsstadiet for økonomisk-matematisk modellering og begrunnelse av metoden for å oppnå modelleringsresultatet. Spillteori og beslutningstaking under usikkerhet. Analyse av kommersiell strategi i et usikkert miljø.

For å studere ulike økonomiske fenomener bruker økonomer sine forenklede formelle beskrivelser, kalt økonomiske modeller. Ved konstruksjon av økonomiske modeller elimineres vesentlige faktorer og detaljer som ikke er avgjørende for å løse problemet, forkastes.

Økonomiske modeller kan inkludere følgende modeller:

økonomisk vekst
forbrukernes valg
likevekt i finans- og råvaremarkedene og mange andre.

Modell– en logisk eller matematisk beskrivelse av komponenter og funksjoner som gjenspeiler de vesentlige egenskapene til det modellerte objektet eller prosessen.

Modellen brukes som et konvensjonelt bilde, designet for å forenkle studiet av et objekt eller en prosess.

Modellenes natur kan variere. Modeller er delt inn i: ekte, symbolsk, verbal og tabellform, etc.

Økonomisk og matematisk modell

I styring av forretningsprosesser høyeste verdi har først og fremst økonomiske og matematiske modeller, ofte kombinert til modellsystemer.

Økonomisk og matematisk modell(EMM) - en matematisk beskrivelse av et økonomisk objekt eller prosess med det formål å studere og administrere dem. Dette er en matematisk notasjon av det økonomiske problemet som blir løst.

Hovedtyper av modeller

Ekstrapolasjonsmodeller
Faktorøkonometriske modeller
Optimaliseringsmodeller
Balansemodeller, Inter-Industry Balance (IOB) modell
Ekspertvurderinger
Legg merke til den spilleteorien
Nettverksmodeller
Modeller av køsystemer

Økonomiske og matematiske modeller og metoder brukt i økonomisk analyse

For tiden brukes matematiske forskningsmetoder i økende grad i analysen av organisasjoners økonomiske aktiviteter. Dette bidrar til å forbedre økonomisk analyse, utdype den og øke effektiviteten.

Som et resultat av bruken av matematiske metoder oppnås en mer fullstendig studie av påvirkningen av individuelle faktorer på de generelle økonomiske indikatorene for organisasjoners aktiviteter, tiden som kreves for analyse reduseres, nøyaktigheten av økonomiske beregninger økes og flerdimensjonal. analytiske problemer løses som ikke kan utføres med tradisjonelle metoder. I ferd med å bruke økonomiske og matematiske metoder i økonomisk analyse konstruksjon og studie av økonomiske og matematiske modeller utføres, som beskriver påvirkningen av individuelle faktorer på de generelle økonomiske indikatorene til organisasjoner.

Det er fire hovedtyper av økonomiske og matematiske modeller som brukes til å analysere påvirkningen av individuelle faktorer:

additiv modeller;
multiplikative modeller;
flere modeller;
blandede modeller.

Additive modeller kan defineres som algebraisk sum individuelle indikatorer. Det må huskes at slike modeller kan karakteriseres ved å bruke følgende formel:

Et eksempel på en additivmodell kan være balansen mellom salgbare produkter.

Multiplikative modeller kan defineres som produktet av individuelle faktorer.

Det er viktig å merke seg at et eksempel på en slik modell kan være en tofaktormodell, som uttrykker forholdet mellom volum av produksjon, antall enheter brukt utstyr og produksjon per enhet utstyr:

P = K V,

P— volum av produksjon;
TIL— antall utstyrsenheter;
I— produksjonseffekt per enhet utstyr.

Flere modeller— ϶ᴛᴏ korrelasjon av individuelle faktorer. Det er verdt å merke seg at de er preget av følgende formel:

OP = x/y

Her OP er en generell økonomisk indikator som påvirkes av individuelle faktorer x Og y. Et eksempel på en multippel modell er en formel som uttrykker forholdet mellom varigheten av omsetningen omløpsmidler i dager, gjennomsnittsverdien av disse eiendelene for en gitt periode og éndags salgsvolum:

P = OA/OP,

P- omsetningens varighet;
OA — gjennomsnittlig verdi omløpsmidler;
OP— endags salgsvolum.

Endelig, blandede modeller— ϶ᴛᴏ en kombinasjon av modellene vi allerede har vurdert. For eksempel kan en slik modell beskrive avkastningen på aktivaindikatoren, hvis nivå påvirkes av tre faktorer: netto overskudd (NP), verdien av anleggsmidler (VA), verdien av omløpsmidler (CA):

Ra = PE / VA + OA,

I generalisert form kan den blandede modellen representeres av følgende formel:

Derfor bør du først bygge en økonomisk og matematisk modell som beskriver påvirkningen av individuelle faktorer på de generelle økonomiske indikatorene for organisasjonens aktiviteter. Det er viktig å vite det multifaktor multiplikative modeller, siden de gjør det mulig å studere påvirkningen av et betydelig antall faktorer på generaliserende indikatorer og derved oppnå større dybde og nøyaktighet av analysen.

Etter dette må du velge en metode for å løse denne modellen. Tradisjonelle metoder : metode for kjedesubstitusjoner, metoder for absolutte og relative forskjeller, balansemetode, indeksmetode, samt metoder for korrelasjon-regresjon, klynge, dispersjonsanalyse osv. Sammen med disse metodene og metodene kan spesifikt matematiske metoder og metoder brukes i økonomisk analyse.

Integrert metode for økonomisk analyse

Det er viktig å merke seg at en av disse metodene (metodene) vil være integrert. Det er verdt å merke seg at det brukes til å bestemme påvirkningen av individuelle faktorer ved bruk av multiplikative, multiple og blandede (multiple-additive) modeller.

Ved bruk av integralmetoden er det mulig å få mer underbyggede resultater for å beregne påvirkningen av enkeltfaktorer enn ved bruk av metoden for kjedesubstitusjoner og dens varianter. Metoden for kjedesubstitusjoner og dens varianter, så vel som indeksmetoden, har betydelige ulemper: 1) resultatene av beregninger av påvirkning av faktorer avhenger av den aksepterte sekvensen for å erstatte de grunnleggende verdiene til individuelle faktorer med faktiske; 2) den ekstra økningen i den generelle indikatoren forårsaket av samspillet mellom faktorer, i form av en uoppløselig rest, legges til summen av påvirkningen av den siste faktoren. Ved bruk av integralmetoden deles økningen likt mellom alle faktorer.

Integralmetoden etablerer en generell tilnærming til løsning av modeller forskjellige typer, og uavhengig av antall elementer som inngår i denne modellen, samt uavhengig av koblingsform mellom disse elementene.

Den integrerte metoden for faktoriell økonomisk analyse er basert på summering av inkrementer av en funksjon definert som en partiell derivert multiplisert med inkrementet til argumentet over uendelig små intervaller.

I prosessen med å bruke den integrerte metoden er det ekstremt viktig å overholde flere betingelser. Først og fremst må betingelsen om kontinuerlig differensiering av funksjonen være oppfylt, der enhver økonomisk indikator tas som et argument. For det andre må funksjonen mellom start- og sluttpunkt for elementærperioden variere langs en rett linje G e. Til slutt, for det tredje, må det være en konstanthet i forholdet mellom endringsratene i størrelsen på faktorer

d y / d x = konst

Ved bruk av integralmetoden, kalkuler bestemt integral for en gitt integrand og et gitt integrasjonsintervall utføres i henhold til eksisterende standard program ved hjelp av moderne datateknologi.

Hvis vi løser en multiplikativ modell, kan vi bruke følgende formler for å beregne påvirkningen av individuelle faktorer på den generelle økonomiske indikatoren:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2Δ x*Δ y

Z(y)=x 0 * Δ y +1/2 Δ x* Δ y

Når vi løser en flermodell for å beregne påvirkningen av faktorer, bruker vi følgende formler:

Z=x/y;

Δ Z(x)= Δ x/Δ y Lny1/y0

Δ Z(y)=Δ Z- Δ Z(x)

Det er to hovedtyper problemer som løses ved hjelp av integralmetoden: statisk og dynamisk. I den første typen er det ingen informasjon om endringer i de analyserte faktorene i løpet av en gitt periode. Eksempler på slike oppgaver er å analysere gjennomføringen av forretningsplaner eller å analysere endringer i økonomiske indikatorer sammenlignet med forrige periode. Den dynamiske typen oppgaver oppstår i nærvær av informasjon om endringer i de analyserte faktorene i løpet av en gitt periode. Denne typen problemer inkluderer beregninger knyttet til studiet av tidsserier av økonomiske indikatorer.

Dette er de viktigste egenskapene til den integrerte metoden for faktorøkonomisk analyse.

Logaritmemetode

I tillegg til denne metoden brukes også logaritmemetoden (metoden) i analyse. Det er verdt å merke seg at det brukes når man utfører faktoranalyse når multiplikative modeller løses. Essensen av metoden under vurdering er i hovedsak at når den brukes, er det en logaritmisk proporsjonal fordeling av størrelsen på den felles virkningen av faktorer mellom sistnevnte, det vil si at denne verdien fordeles mellom faktorene i forhold til andelen av faktorer. påvirkning av hver enkelt faktor på summen av generaliserende indikator. Med integralmetoden fordeles nevnte verdi likt mellom faktorene. Derfor gjør logaritmemetoden beregninger av påvirkning av faktorer mer rimelige sammenlignet med integralmetoden.

I prosessen med logaritmisering brukes ikke absolutte verdier for vekst i økonomiske indikatorer, som tilfellet er med den integrerte metoden, men relative, det vil si indekser for endringer i disse indikatorene. For eksempel er en generell økonomisk indikator definert som produktet av tre faktorer - faktorer f = x y z.

La oss finne innflytelsen av hver av disse faktorene på den generelle økonomiske indikatoren. Dermed kan påvirkningen av den første faktoren bestemmes av følgende formel:

Δf x = Δf log(x 1 / x 0) / log(f 1 / f 0)

Hva var påvirkningen av den neste faktoren? For å finne innflytelsen bruker vi følgende formel:

Δf y = Δf log(y 1 / y 0) / log(f 1 / f 0)

Til slutt, for å beregne påvirkningen av den tredje faktoren, bruker vi formelen:

Δf z = Δf log(z 1 / z 0)/ log(f 1 / f 0)

Basert på alt det ovennevnte kommer vi til den konklusjon at den totale endringsmengden i den generaliserende indikatoren er delt mellom individuelle faktorer i samsvar med proporsjonene mellom forholdene mellom logaritmene til individuelle faktorindekser og logaritmen til den generaliserende indikatoren.

Når du bruker metoden under vurdering, kan alle typer logaritmer brukes - både naturlige og desimaler.

Differensialregningsmetode

Ved gjennomføring av faktoranalyse brukes også metoden for differensialregning. Sistnevnte antar at den totale endringen i funksjonen, det vil si den generaliserende indikatoren, er delt inn i individuelle termer, verdien av hver av dem beregnes som produktet av en viss partiell derivert og økningen av variabelen som denne deriverte med er bestemt. Det er hensiktsmessig å merke seg at vi vil bestemme påvirkningen av individuelle faktorer på den generelle indikatoren, ved å bruke som et eksempel en funksjon av to variabler.

Funksjon spesifisert Z = f(x,y). Hvis denne funksjonen er differensierbar, kan endringen uttrykkes med følgende formel:

La oss forklare de enkelte elementene i formelen:

ΔZ = (Z 1 - Z 0)- omfanget av endring i funksjon;

Δx = (x 1 - x 0)— størrelsen på endringen i én faktor;

Δ y = (y 1 - y 0)- størrelsen på endringen i en annen faktor;

- en uendelig mengde av høyere orden enn

I i dette eksemplet påvirkning av individuelle faktorer x Og yå endre funksjon Z(generell indikator) beregnes som følger:

ΔZ x = δZ / δx Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

Summen av påvirkningen av begge disse faktorene er den viktigste, lineære i forhold til økningen av en gitt faktor del av økningen av den differensierbare funksjonen, det vil si den generaliserende indikatoren.

Deltakelsesmetode

Når det gjelder løsning av additiv, samt multippeladditive modeller, brukes egenkapitalmetoden også for å beregne påvirkningen av enkeltfaktorer på endringer i den generelle indikatoren. Dens essens ligger i hovedsak i det faktum at andelen av hver faktor i den totale mengden av endringene deres først bestemmes. Denne andelen multipliseres så med den totale endringen i oppsummeringsindikatoren.

Vi vil gå ut fra antagelsen om at vi bestemmer innflytelsen av tre faktorer - EN,b Og Med til en generell indikator y. Deretter for faktoren, og å bestemme andelen og multiplisere den med den totale endringen i generaliseringsindikatoren kan gjøres ved å bruke følgende formel:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

For faktor b vil formelen som vurderes ha følgende form:

Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Til slutt, for faktor c har vi:

Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy

Dette er essensen av egenkapitalmetoden som brukes i forbindelse med faktoranalyse.

Lineær programmeringsmetode

Se videre: Lineær programmeringsmetode

Legg merke til den køteorien

Se videre: Merk at køteori

Legg merke til den spilleteorien

Spillteori brukes også. Akkurat som køteori er spillteori en av grenene til anvendt matematikk. Merk at spillteori studerer de optimale løsningene som er mulig i spillsituasjoner. Dette inkluderer situasjoner som er forbundet med valg av optimal ledelsesbeslutninger, med valg av de mest hensiktsmessige alternativene for relasjoner med andre organisasjoner, etc.

For å løse slike problemer i spillteori kan det brukes algebraiske metoder, som er basert på systemet lineære ligninger og ulikheter, iterative metoder, samt metoder for å redusere et gitt problem til et spesifikt system av differensialligninger.

Det er viktig å merke seg at en av de økonomiske og matematiske metodene som brukes i analysen av organisasjoners økonomiske aktiviteter er den såkalte sensitivitetsanalysen. Materialet ble publisert på http://site
Denne metoden brukes ofte i prosessen med å analysere investeringsprosjekter, så vel som med det formål å forutsi hvor mye overskudd som gjenstår til disposisjon for en gitt organisasjon.

For optimal planlegging og prognose av en organisasjons aktiviteter er det ekstremt viktig å forutse på forhånd endringene som kan skje i fremtiden med de analyserte økonomiske indikatorene.

For eksempel bør du på forhånd forutsi endringer i verdiene til de faktorene som påvirker fortjenestemarginen: nivået på innkjøpspriser for kjøpte materielle ressurser, nivået på salgspriser for produktene til en gitt organisasjon, endringer i kundenes etterspørsel for disse produktene.

Sensitivitetsanalyse består i å bestemme den fremtidige verdien av en generell økonomisk indikator, forutsatt at verdien av en eller flere faktorer som påvirker denne indikatoren endres.

For eksempel fastslår de hvor mye fortjenesten vil endre seg i fremtiden, med forbehold om en endring i antall solgte produkter per enhet. Ved å gjøre dette analyserer vi følsomheten til nettoresultatet for endringer i en av faktorene som påvirker det, det vil si i dette tilfellet salgsvolumfaktoren.
Det er verdt å merke seg at de gjenværende faktorene som påvirker mengden fortjeneste vil forbli uendret. Det er også mulig å bestemme overskuddsbeløpet dersom påvirkningen av flere faktorer endres samtidig i fremtiden. Dermed gjør sensitivitetsanalyse det mulig å fastslå styrken til responsen til en generell økonomisk indikator på endringer i individuelle faktorer som påvirker denne indikatoren.

Matrisemetode

Sammen med de ovennevnte økonomiske og matematiske metodene, brukes de også i analysen av økonomisk aktivitet. matrisemetoder. Disse metodene er basert på lineær og vektormatrisealgebra.

Nettverksplanleggingsmetode

Se videre: Nettverksplanleggingsmetode

Ekstrapolasjonsanalyse

I tillegg til metodene som er omtalt, benyttes også ekstrapolasjonsanalyse. Det er verdt å merke seg at den inneholder en vurdering av endringer i tilstanden til det analyserte systemet og ekstrapolering, det vil si utvidelsen av de eksisterende egenskapene til systemet for fremtidige perioder. I prosessen med å utføre denne typen analyse kan følgende hovedstadier skilles: primær behandling og transformasjon av den første serien med tilgjengelige data; velge type empiriske funksjoner; bestemmelse av hovedparametrene til disse funksjonene; ekstrapolering; å fastslå graden av pålitelighet av den utførte analysen.

Økonomisk analyse bruker også hovedkomponentmetoden. Det er verdt å merke seg at de brukes med det formål å sammenligne individuelle analyser komponenter, det vil si parametrene for analysen av organisasjonens aktiviteter. Hovedkomponentene representerer de viktigste egenskapene til lineære kombinasjoner av komponentdeler, det vil si parametrene i analysen som har de mest signifikante spredningsverdiene, nemlig de største absolutte avvikene fra gjennomsnittsverdiene.

Vilkår for bruk:
Intellektuelle rettigheter til materialet - Matematiske metoder i økonomi tilhører dets forfatter. Denne håndboken/boken er publisert kun for informasjonsformål uten involvering i kommersiell sirkulasjon. All informasjon (inkludert "Økonomiske og matematiske metoder og analysemodeller") er samlet inn fra åpne kilder eller lagt til av brukere gratis.
For å få full bruk av den publiserte informasjonen, anbefaler prosjektadministrasjonen av nettstedet på det sterkeste å kjøpe boken/manualen Mathematical Methods in Economics i hvilken som helst nettbutikk.

Tagblokk: Matematiske metoder i økonomi, 2015. Økonomiske og matematiske metoder og analysemodeller.

Jernbanedepartementet Den russiske føderasjonen

Ural State Transport University

Chelyabinsk Institute of Railways

KURSARBEID

kurs: "Økonomisk og matematisk modellering"

Emne: "Matematiske modeller i økonomi"

Fullført:

Chiffer:

Adresse:

Krysset av:

Chelyabinsk 200_ g.

Introduksjon

Å tegne en matematisk modell

Opprette og lagre rapporter

Analyse av løsningen som ble funnet. Svar på spørsmål

Del nr. 2 "Beregning av den økonomisk-matematiske modellen for input-output balansen

Løse et problem på en datamaskin

Bransjebalanse mellom produksjon og distribusjon av produkter

Litteratur

Introduksjon

Modellering i vitenskapelig forskning begynte å bli brukt i antikken og fanget gradvis nye områder av vitenskapelig kunnskap: teknisk design, konstruksjon og arkitektur, astronomi, fysikk, kjemi, biologi og til slutt samfunnsvitenskap. Modelleringsmetoden på 1900-tallet brakte stor suksess og anerkjennelse i nesten alle grener av moderne vitenskap. Imidlertid har modelleringsmetodikk blitt utviklet uavhengig av individuelle vitenskaper i lang tid. Det var ikke noe enhetlig system av konsepter, ingen enhetlig terminologi. Først gradvis begynte modellens rolle som en universell metode for vitenskapelig kunnskap å bli realisert.

Begrepet "modell" er mye brukt i ulike felt av menneskelig aktivitet og har mange semantiske betydninger. La oss bare vurdere slike "modeller" som er verktøy for å skaffe kunnskap.

En modell er et materielt eller mentalt forestilt objekt som i forskningsprosessen erstatter det opprinnelige objektet slik at dets direkte studie gir ny kunnskap om det opprinnelige objektet.

Formålet med matematisk modellering av økonomiske systemer er å bruke matematiske metoder mest mulig effektiv løsning problemer som oppstår innen økonomi, ved å bruke som regel moderne datateknologi.

Prosessen med å løse økonomiske problemer utføres i flere stadier:

Betydelig (økonomisk) problemformulering. Først må du forstå oppgaven og formulere den tydelig. Samtidig bestemmes også objekter som relaterer seg til problemet som skal løses, samt situasjonen som må realiseres som følge av løsningen. Dette er stadiet for meningsfull formulering av problemet. For at et problem skal beskrives kvantitativt og bruke datateknologi for å løse det, er det nødvendig å gjennomføre en kvalitativ og kvantitativ analyse av objekter og situasjoner knyttet til det. I dette tilfellet er komplekse objekter delt inn i deler (elementer), forbindelsene til disse elementene, deres egenskaper, kvantitative og kvalitative verdier av egenskaper, kvantitative og logiske forhold mellom dem, uttrykt i form av ligninger, ulikheter, etc. er bestemt. Dette er stadiet for systemanalyse av problemet, som et resultat av at objektet presenteres i form av et system.

Det neste trinnet er den matematiske formuleringen av problemet, der en matematisk modell av objektet konstrueres og metoder (algoritmer) bestemmes for å få en løsning på problemet. Dette er stadiet for systemsyntese (matematisk formulering) av problemet. Det skal bemerkes at det på dette stadiet kan vise seg at den tidligere utførte systemanalysen har ført til et sett med elementer, egenskaper og relasjoner som det ikke er noen akseptabel metode for å løse problemet på, som et resultat må vi gå tilbake til systemanalysestadiet. Som regel er problemer løst i økonomisk praksis standardisert, systemanalyse utføres basert på en velkjent matematisk modell og en algoritme for å løse den, problemet er bare å velge en passende metode.

Det neste trinnet er å utvikle et program for å løse problemet på en datamaskin. For komplekse objekter som består av et stort antall elementer med et stort antall egenskaper, kan det være nødvendig å kompilere en database og verktøy for å jobbe med den, metoder for å hente data som trengs for beregninger. Til standard oppgaver Det er ikke utviklingen som gjennomføres, men valg av passende applikasjonspakke og databasestyringssystem.

I sluttfasen opereres modellen og resultater oppnås.

Derfor inkluderer løsning av problemet følgende trinn:

2. System analyse.

3. Systemsyntese (matematisk formulering av problemet)

4. Utvikling eller valg av programvare.

5. Løse problemet.

Konsekvent bruk av operasjonsforskningsmetoder og deres implementering på moderne informasjons- og datateknologi gjør det mulig å overvinne subjektivitet og eliminere den s.k. frivillige avgjørelser, basert ikke på en streng og nøyaktig redegjørelse for objektive omstendigheter, men på tilfeldige følelser og personlige interesser hos ledere på ulike nivåer, som dessuten ikke kan koordinere disse frivillige beslutningene.

Systemanalyse lar deg ta hensyn til og bruke i administrasjonen all tilgjengelig informasjon om det administrerte objektet, for å koordinere beslutninger tatt fra et objektivt, snarere enn subjektivt, effektivitetskriterium. Å spare på utregninger ved kontroll er det samme som å spare på sikting ved skyting. Imidlertid gjør en datamaskin det ikke bare mulig å ta hensyn til all informasjon, men frigjør også lederen for unødvendig informasjon, og omgår all nødvendig informasjon som omgår personen, og presenterer ham bare med den mest generaliserte informasjonen, kvintessensen. Systemtilnærmingen i økonomi er effektiv i seg selv, uten bruk av datamaskin, som forskningsmetode, og den endrer ikke tidligere oppdagede økonomiske lover, men lærer kun hvordan man best kan bruke dem.

Kompleksiteten til prosesser i økonomien krever at beslutningstakeren er høyt kvalifisert og har lang erfaring. Dette garanterer imidlertid ikke feil matematisk modellering lar deg gi et raskt svar på spørsmålet som stilles, eller utføre eksperimentelle studier som er umulige eller krever store kostnader og tid på et reelt objekt.

Matematisk modellering lar oss akseptere det optimale, det vil si beste løsningen. Det kan avvike litt fra riktig vedtak tatt uten bruk av matematisk modellering (ca. 3%). Men med store produksjonsvolumer kan en slik "mindre" feil føre til store tap.

Matematiske metoder brukt for å analysere en matematisk modell og akseptere optimal løsning, er svært komplekse og implementeringen uten bruk av datamaskin er vanskelig. Som en del av programmene utmerke Og Mathcad Det finnes verktøy som lar deg utføre matematisk analyse og finne den optimale løsningen.

Del nr. 1 "Studie av den matematiske modellen"

Formulering av problemet.

Selskapet har muligheten til å produsere 4 typer produkter. For å produsere en enhet av hver type produkt, er det nødvendig å bruke en viss mengde arbeidskraft, økonomiske ressurser og råvareressurser. På lager Begrenset mengde hver ressurs. Salg av en produksjonsenhet gir fortjeneste. Parameterverdiene er gitt i tabell 1. Ytterligere betingelse: økonomiske kostnader for produksjon av produkter nr. 2 og nr. 4 bør ikke overstige 50 rubler. (hver type).

Basert på matematisk modellering ved hjelp av midler utmerke bestemme hvilke produkter og i hvilke mengder det er tilrådelig å produsere fra synspunktet for å oppnå størst fortjeneste, analysere resultatene, svare på spørsmål og trekke konklusjoner.

En modell er for det første en forenklet representasjon av et reelt objekt eller fenomen som bevarer dets grunnleggende, essensielle egenskaper. Prosessen med å utvikle selve modellen, dvs. modellering kan utføres forskjellige måter, hvorav de vanligste er fysisk og matematisk modellering. Imidlertid kan hver av disse metodene oppnås ulike modeller, siden deres spesifikke implementering avhenger av hvilke funksjoner i det virkelige objektet skaperen av modellen anser som de viktigste. Derfor, i ingeniørpraksis og i vitenskapelig forskning, kan forskjellige modeller av samme objekt brukes, siden deres mangfold tillater en mer grundig studie av de mest forskjellige aspektene ved et virkelig objekt eller fenomen.

Utbredt innen ingeniørpraksis og naturvitenskap fysiske modeller, som skiller seg fra objektet som studeres, som regel i mindre størrelser, og tjener til å utføre eksperimenter, hvis resultater brukes til å studere det opprinnelige objektet og for å trekke konklusjoner om valget av et eller annet alternativ for dets utvikling eller design, hvis vi snakker om om det tekniske byggeprosjektet. Banen til fysisk modellering viser seg å være uproduktiv for analyse av økonomiske objekter og fenomener. På grunn av dette Hovedmetoden for modellering i økonomi er metoden for matematisk modellering , dvs. beskrivelse av hovedtrekkene til en reell prosess ved hjelp av et system av matematiske formler.

Hvordan går vi frem når vi lager en matematisk modell? Hva er typene matematiske modeller? Hvilke trekk oppstår når man modellerer økonomiske fenomener? La oss prøve å avklare disse problemene.

Når vi lager en matematisk modell, tar vi utgangspunkt i et reelt problem. Først avklares situasjonen, viktige og mindre egenskaper, parametere, egenskaper, kvaliteter, sammenhenger etc. identifiseres. Deretter velges en av de eksisterende matematiske modellene eller en ny matematisk modell lages for å beskrive objektet som studeres.

Notasjoner introduseres. Begrensningene som variablene må tilfredsstille er skrevet ned. Målet er bestemt - målfunksjonen velges (hvis mulig). Valget av objektiv funksjon er ikke alltid enkelt. Det kan være situasjoner når du ønsker dette, det, og mye mer... Men ulike mål fører til ulike beslutninger. I dette tilfellet tilhører problemet klassen multikriterieproblemer.

Økonomi er et av de mest komplekse fagfeltene. Økonomiske objekter kan beskrives med hundrevis og tusenvis av parametere, hvorav mange er tilfeldige. I tillegg opererer den menneskelige faktoren i økonomien.

Å forutsi menneskelig atferd kan være vanskelig, noen ganger umulig.

Kompleksiteten til et system av enhver art (teknisk, biologisk, sosialt, økonomisk) bestemmes av antall elementer som er inkludert i det, forbindelsene mellom

disse elementene, samt relasjonene mellom systemet og miljøet. Økonomien har alle kjennetegnene til et svært komplekst system. Den forener et stort antall elementer, kjennetegnes ved en rekke interne forbindelser og forbindelser med andre systemer (naturlig miljø, Økonomisk aktivitet andre fag, sosiale relasjoner osv.). I den nasjonale økonomien samhandler naturlige, teknologiske, sosiale prosesser, objektive og subjektive faktorer. Økonomien er avhengig av den sosiale strukturen i samfunnet, av politikk og av mange, mange andre faktorer.

Kompleksitet økonomiske relasjoner rettferdiggjorde ofte umuligheten av å modellere økonomien og studere den ved hjelp av matematikk. Og likevel er det mulig å modellere økonomiske fenomener, objekter og prosesser. Du kan modellere et objekt av hvilken som helst natur og hvilken som helst kompleksitet. For å modellere økonomien brukes ikke én modell, men et system av modeller. Dette systemet inneholder modeller som beskriver forskjellige siderøkonomi. Det er modeller for et lands økonomi (de kalles makroøkonomiske), det er modeller for økonomiske modeller for et eget foretak, eller til og med en modell av en økonomisk hendelse (de kalles mikroøkonomiske). Ved kompilering av en modell av økonomien til et komplekst objekt, utføres såkalt aggregering. I dette tilfellet kombineres et antall relaterte parametere til én parameter, og reduserer dermed det totale antallet parametere. På dette stadiet spiller erfaring og intuisjon en viktig rolle. Du kan velge ikke alle egenskaper som parametere, men de viktigste.

Etter at en matematisk oppgave er satt sammen, velges en metode for å løse den. På dette stadiet brukes som regel en datamaskin. Etter å ha mottatt en løsning sammenlignes den med virkeligheten. Hvis de oppnådde resultatene bekreftes av praksis, kan modellen brukes og prognoser kan lages med dens hjelp. Hvis svarene som er oppnådd basert på modellen ikke samsvarer med virkeligheten, er modellen ikke bra. Det er nødvendig å lage en mer kompleks modell som passer bedre til objektet som studeres.

Hvilken modell er bedre: enkel eller kompleks? Svaret på dette spørsmålet kan ikke være entydig.

Hvis modellen er for enkel, samsvarer den ikke godt med det virkelige objektet. Hvis modellen er for kompleks, kan det vise seg at selv om det finnes en god modell, klarer vi ikke å få svar ut fra den. Det kan være en god modell og en algoritme for å løse det tilsvarende problemet. Men løsningstiden vil være så lang at alle andre fordeler med modellen blir overstreket. Derfor, når du velger en modell, trenger du en "gyllen middelvei".

Den russiske føderasjonens jernbanedepartement

Ural State Transport University

Chelyabinsk Institute of Railways

KURSARBEID

kurs: "Økonomisk og matematisk modellering"

Emne: "Matematiske modeller i økonomi"

Fullført:

Chiffer:

Adresse:

Krysset av:

Chelyabinsk 200_ g.

Introduksjon

Opprette og lagre rapporter

Løse et problem på en datamaskin

Litteratur

Introduksjon

Modellering i vitenskapelig forskning begynte å bli brukt i antikken og fanget gradvis nye områder av vitenskapelig kunnskap: teknisk design, konstruksjon og arkitektur, astronomi, fysikk, kjemi, biologi og til slutt samfunnsvitenskap. Modelleringsmetoden på 1900-tallet brakte stor suksess og anerkjennelse i nesten alle grener av moderne vitenskap. Imidlertid har modelleringsmetodikk blitt utviklet uavhengig av individuelle vitenskaper i lang tid. Det var ikke noe enhetlig system av konsepter, ingen enhetlig terminologi. Først gradvis begynte modellens rolle som en universell metode for vitenskapelig kunnskap å bli realisert.

Begrepet "modell" er mye brukt i ulike felt av menneskelig aktivitet og har mange semantiske betydninger. La oss bare vurdere slike "modeller" som er verktøy for å skaffe kunnskap.

En modell er et materielt eller mentalt forestilt objekt som i forskningsprosessen erstatter det opprinnelige objektet slik at dets direkte studie gir ny kunnskap om det opprinnelige objektet.

Målet med matematisk modellering av økonomiske systemer er å bruke matematiske metoder for å mest effektivt løse problemer som oppstår innen økonomi, ved å bruke, som regel, moderne datateknologi.

Prosessen med å løse økonomiske problemer utføres i flere stadier:

Det neste trinnet er å utvikle et program for å løse problemet på en datamaskin. For komplekse objekter som består av et stort antall elementer med et stort antall egenskaper, kan det være nødvendig å kompilere en database og verktøy for å arbeide med den, metoder for å hente data som er nødvendige for beregninger. For standardoppgaver er det ikke utvikling som utføres, men valg av passende applikasjonspakke og databasestyringssystem.

I sluttfasen opereres modellen og resultater oppnås.

Derfor inkluderer løsning av problemet følgende trinn:

2. Systemanalyse.

3. Systemsyntese (matematisk formulering av problemet)

4. Utvikling eller valg av programvare.

5. Løse problemet.

Konsekvent bruk av operasjonsforskningsmetoder og deres implementering på moderne informasjons- og datateknologi gjør det mulig å overvinne subjektivitet og eliminere såkalte frivillige beslutninger basert ikke på en streng og nøyaktig redegjørelse for objektive omstendigheter, men på tilfeldige følelser og personlige interesser hos ledere ved ulike nivåer, som dessuten ikke kan koordinere disse frivillige beslutningene.

Matematisk modellering lar deg ta en optimal, det vil si den beste beslutningen. Det kan avvike litt fra en godt tatt beslutning uten bruk av matematisk modellering (ca. 3%). Men med store produksjonsvolumer kan en slik "mindre" feil føre til store tap.

De matematiske metodene som brukes for å analysere den matematiske modellen og ta den optimale beslutningen er svært komplekse og implementeringen av dem uten bruk av datamaskin er vanskelig. Som en del av programmene utmerke Og Mathcad Det finnes verktøy som lar deg utføre matematisk analyse og finne den optimale løsningen.

Del nr. 1 "Studie av den matematiske modellen"

Formulering av problemet.

Selskapet har muligheten til å produsere 4 typer produkter. For å produsere en enhet av hver type produkt, er det nødvendig å bruke en viss mengde arbeidskraft, økonomiske ressurser og råvareressurser. Det er en begrenset mengde av hver ressurs tilgjengelig. Salg av en produksjonsenhet gir fortjeneste. Parameterverdiene er gitt i tabell 1. Ytterligere betingelse: økonomiske kostnader for produksjon av produkter nr. 2 og nr. 4 bør ikke overstige 50 rubler. (hver type).

Tabell 1.

Å tegne en matematisk modell

Objektiv funksjon (TF).

Objektivfunksjonen viser i hvilken forstand løsningen på problemet skal være best (optimal). I vår oppgave TF:

Fortjeneste → maks.

Fortjenesteverdien kan bestemmes av formelen:

Fortjeneste = teller 1 ∙ pr 1 + teller 2 ∙ pr 2 + teller 3 ∙ pr 3 + teller 4 ∙ pr 4, Hvor telle 1,..., telle 4 -

mengder av hver type produkt produsert;

pr 1,..., pr 4 - fortjeneste mottatt fra salg av en enhet av hver type produkt. Erstatter verdiene pr 1,..., pr 4 ( fra tabell 1) får vi:

TF: 1,7 ∙ teller 1 + 2,3 ∙ teller 2 + 2 ∙ teller 3 + 5 ∙ teller 4 → maks (1)

Restriksjoner (OGR).

Begrensninger etablerer avhengigheter mellom variabler. I vår problemstilling er det pålagt restriksjoner på ressursbruken, hvor mengden er begrenset. Mengden av råvarer som trengs for å produsere alle produkter kan beregnes ved hjelp av formelen:

Råvarer = fra 1 ∙ mengde 1 + fra 2 ∙ mengde 2 + fra 3 ∙ mengde 3 + fra 4 ∙ mengde 4, Hvor fra 1,..., fra 4 –

mengder råvarer som kreves for å produsere én enhet av hver type produkt. Total Mengden råvarer som brukes kan ikke overstige den tilgjengelige ressursen. Ved å erstatte verdiene fra tabell 1 får vi den første begrensningen - for råvarer:

1,8 ∙ teller 1 + 1,4 ∙ teller 2 + 1 ∙ teller 3 + 0,15 ∙ teller 4 ≤ 800 (2)

La oss på samme måte skrive ned restriksjonene på økonomi og lønnskostnader:

0,63 ∙ teller 1 + 0,1 ∙ teller 2 + 1 ∙ teller 3 + 1,7 ∙ teller 4 ≤ 400 (3)

1,1 ∙ teller 1 + 2,3 ∙ teller 2 + 1,6 ∙ teller 3 + 1,8 ∙ teller 4 ≤ 1000 (4)

Grensebetingelser (GRU).

Grensebetingelser viser grensene som de ønskede variablene kan endres innenfor. I vår problemstilling er dette de økonomiske kostnadene for produksjon av produkter nr. 2 og nr. 4 i henhold til betingelsen:

0,1 ∙ teller 2 ≤ 50 rub.; 1,7 ∙ teller 4 ≤ 50 gni. ( 5)

På den annen side må vi innføre at produksjonsmengden må være større enn eller lik null. Dette er en åpenbar betingelse for oss, men en nødvendig betingelse for datamaskinen:

telle 1 ≥ 0; telle 2 ≥ 0; telle 3 ≥ 0; telle 4 ≥ 0. ( 6)

Siden alle de søkte variablene ( telle 1,..., telle 4) er inkludert i forholdet 1-7 til første potens og bare handlingene summering og multiplikasjon med konstante odds, da er modellen lineær.

Løse et problem på en datamaskin.

Slå på datamaskinen. Før du går inn i nettverket, angi brukernavnet ZA, med passordet A. Last ned programmet utmerke. Lagre filen under navnet Lidovitsky Kulik. X ls. i mappe Ek/k 31 (2). Lag en overskrift: til venstre er datoen, i midten er filnavnet, til høyre er arknavnet.

Vi lager og formaterer overskriften og kildedatatabellen (tabell 1). Vi legger inn dataene i tabellen i henhold til varianten av problemet.

Vi lager og formaterer en tabell for beregning. Skriv inn startverdiene i "Antall"-cellene. Vi velger dem nært forventet resultat. Vi har ikke foreløpig informasjon og derfor vil vi velge dem lik 1. Dette vil gjøre det enkelt å kontrollere de angitte formlene.

I linjen "Arbeidsinnsats" legger vi inn vilkårene i formel (4) - produktet av mengden produkter med mengden arbeidsinnsats som kreves for å produsere en produksjonsenhet:

for produkt nr. 1 (=C15*C8);

produkter nr. 2 (=D15*D8);

produkter nr. 3 (=E15*E8);

produkter nr. 4 (=F15*F8).

I «TOTAL»-kolonnen finner vi summen av innholdet i disse cellene ved å bruke autosum-knappen Σ. I «Resterende»-kolonnen finner vi forskjellen mellom innholdet i «Ressurs-arbeidskostnader»-cellene i tabell 1 og «TOTALE-arbeidskostnader» (=G8-G17) På samme måte fyller du ut «Finans» (=G9 -G18) og "Råvarer" (=G10- G19).

I "Profit"-cellen beregner vi fortjeneste ved å bruke venstre side av formel (1). I dette tilfellet vil vi bruke funksjonen =SUMPRODUKT (C15: F15; C11: F11).

Vi tildeler cellene som inneholder total fortjeneste, økonomiske kostnader, arbeids- og råvarekostnader, samt produktmengder, navn, henholdsvis: "Profit", "Finance", "Labor", "Råvarer", "Pr1", "Pr2". ", "Pr3", "Pr4". utmerke vil inkludere disse navnene i rapportene.

Henter opp dialogboksen Å finne en løsning lag Service-Søk etter en løsning...

Formålet med den objektive funksjonen.

Plasser markøren i vinduet Angi målcelle og ved å klikke på "Profit"-cellen, skriv inn adressen til den. Vi introduserer retningen til den objektive funksjonen: Maksimal verdi.

Skriv inn adressene til de nødvendige variablene som inneholder antall produkter 1-4 i vinduet Bytte celler .

Å legge inn restriksjoner.

Klikk på knappen Legg til. En dialogboks vises Legger til restriksjoner. Plasser markøren i vinduet Cellereferanse og skriv inn adressen til "Labour Costs"-cellen der. Åpne listen over betingelser og velg<=, в поле Begrensning Skriv inn adressen til "Resource-Labor"-cellen. Klikk på knappen Legg til. Til et nytt vindu Legger til restriksjoner Tilsvarende innfører vi en økonomisk restriksjon. Klikk på knappen Legg til, innfører vi restriksjoner på råvarer. Klikk på OK. restriksjoner er innført. Vinduet vises på skjermen igjen Å finne en løsning, i felt Begrensninger en liste over pålagte restriksjoner er synlig.

Å legge inn grensebetingelser.

Å gå inn i GRU er ikke forskjellig fra å angi restriksjoner. I vinduet Legger til restriksjoner i felt Cellereferanse Bruk musen til å angi adressen til "Fin2"-cellen. Å velge et skilt<=. В поле Begrensning skriv ned 50. Klikk på Legg til. Bruk musen til å angi adressen til "Fin4"-cellen. Å velge et skilt<=. В поле Begrensning skriv ned 50. Klikk på OK. la oss gå tilbake til vinduet Å finne en løsning. I felt Begrensninger en fullstendig liste over angitte OGR og GRU er synlig (fig. 1).

Bilde 1.

Legge inn parametere.

Klikk på knappen Alternativer. Et vindu vises Løsningssøkealternativer. I felt Lineær modell merk av i boksen. Vi lar de resterende parameterne være uendret. Klikk på OK(Fig. 2).

Figur 2.

Løsning.

I vinduet Å finne en løsning klikk på knappen Henrette. Et vindu vises på skjermen Løsningssøkeresultater. Det står "Løsningen er funnet. Alle begrensninger og optimalitetsbetingelser er oppfylt."

Opprette og lagre rapporter

For å svare på spørsmålene til oppgaven trenger vi rapporter. I felt Rapport type Bruk musen til å velge alle typer: "Resultater", "Stabilitet" og "Begrensninger".

Sett en prikk i feltet Lagre løsningen som ble funnet og klikk på OK. (Fig. 3). utmerke genererer de forespurte rapportene og plasserer dem på separate ark. Det originale arket med beregningen åpnes. I kolonnen "Antall" - de funnet verdiene for hver type produkt.

Figur 3.

Vi lager en oppsummerende rapport. Vi kopierer og legger de mottatte rapportene på ett ark. Vi redigerer dem slik at alt er på én side.

Vi presenterer løsningsresultatene grafisk. Vi bygger diagrammer "Produksjonsmengde" og "Fordeling av ressurser".

For å bygge et "Quantity of Products"-diagram, åpne kartveiviseren og det første trinnet er å velge den volumetriske versjonen av et vanlig histogram. Det andre trinnet i kildedatavinduet er å velge dataområdet = Lidovitsky! $C$14: $F$15. Det tredje trinnet i diagramparametrene er å angi navnet på diagrammet "Antall produkter". Det fjerde trinnet er å plassere diagrammet på det eksisterende arket. Ved å trykke på en knapp Klar Vi avslutter konstruksjonen av diagrammet.

For å bygge et "Ressursfordeling"-diagram, åpne diagramveiviseren og det første trinnet er å velge et tredimensjonalt histogram. Det andre trinnet i kildedatavinduet er å velge området: Lidovitsky! $A$17: $F$19; Lidovitsky! $C$14: $F$14. Det tredje trinnet i diagramparametrene er å angi navnet på diagrammet "Ressursallokering". Det fjerde trinnet er å plassere diagrammet på det eksisterende arket. Ved å trykke på en knapp Klar Vi avslutter å konstruere diagrammet (figur 4).

Figur 4.

Disse diagrammene illustrerer den beste produktmiksen ut fra synspunktet om å oppnå størst fortjeneste og tilsvarende allokering av ressurser.

Vi skriver ut et ark med tabeller over kildedata, med diagrammer og beregningsresultater, og et ark med en sammendragsrapport på papir.

Analyse av løsningen som ble funnet. Svar på spørsmål

I følge resultatrapporten.

Maksimal fortjeneste som kan oppnås hvis alle betingelsene for oppgaven er oppfylt er 1292,95 rubler.

For å gjøre dette er det nødvendig å produsere maksimalt mulig antall produkter nr. 2 - 172,75 og nr. 4 - 29,41 enheter med økonomiske kostnader som ikke overstiger 50 rubler. for hver type, og produkter nr. 1 - 188,9 og nr. 3 - 213,72. I dette tilfellet vil ressurser til lønnskostnader, økonomi og råvarer være helt oppbrukt.

I følge bærekraftsrapporten.

Endring av en av inngangsdataene vil ikke føre til en annen struktur på den funnet løsningen, dvs. til et annet produktspekter som er nødvendig for å oppnå maksimal fortjeneste, hvis: fortjeneste ved salg av enhet av produkt nr. 1 ikke øker med mer enn 1,45 og ikke reduseres med mer enn 0,35. Dermed:

(1,7 - 0,35) = 1,35 < Прибыль 1 < 3,15 = (1,7 + 1,45)

fortjeneste ved salg av enhet av produkt nr. 2 vil ikke øke med mer enn 0,56 og ikke reduseres med mer enn 1,61. Dermed:

(2,3 - 1,61) = 0,69 < Прибыль 2 < 2,86 = (2,3 + 0,56)

fortjeneste ved salg av enhet av produkt nr. 3 vil ikke øke med mer enn 0,56 og ikke reduseres med mer enn 0,39. Dermed:

(2 - 0,39) = 1,61 < Прибыль 3 < 2,56 = (2 + 0,56)

fortjeneste ved salg av enhet av produkt nr. 4 kan ikke reduseres med mer enn 2,81, dvs. med 56,2 % og øke ubegrenset. Altså: profitt 4 > 2,19 = (5 - 2,81) ressurs for råvarer kan økes med 380,54, d.v.s. med 47,57 % og redusert med 210,46, dvs. med 26,31 %. Altså: 589,54< С < 1180,54 ресурс по финансам может быть увеличен на 231,38, т.е. на 57,84% и уменьшен на 195,98, т.е. на 48,99%. Таким образом: 204,02 < Ф < 631,38 ресурс по трудозатратам может быть увеличен на 346,45, т.е. на 34,64% и уменьшен на 352,02, т.е. на 35, 20%. Таким образом: 647,98 < ТЗ < 1346,45

I følge grenserapporten:

Mengden av produksjon av en type kan variere fra 0 til den funnet optimale verdien, dette vil ikke føre til en endring i produktutvalget som er nødvendig for å oppnå maksimal fortjeneste. På samme tid, hvis du produserer produkt nr. 1, vil fortjenesten være 971,81 rubler, produkt nr. 2 - 895,63 rubler, produkt nr. 3 - 865,51 rubler, produkt nr. 4 - 1145,89 rubler.

konklusjoner

Studiet av den matematiske modellen og dens påfølgende analyse lar oss trekke følgende konklusjoner:

Maksimal mulig fortjeneste, som beløper seg til 1292,95 rubler, hvis alle spesifiserte betingelser og restriksjoner er oppfylt, kan oppnås hvis du produserer produkt nr. 1 - 188,9 enheter, produkt nr. 2 - 172,75 enheter, produkt nr. 3 - 213,72 enheter, produkter nr. 4 - 29,41 enheter.

Etter at produksjonen er frigitt, vil alle ressurser være fullstendig brukt.

Strukturen til løsningen som ble funnet, avhenger sterkest av salget av produksjonsenheter nr. 1 og nr. 3, samt av reduksjon eller økning i alle tilgjengelige ressurser.

Del nr. 2 "Beregning av den økonomisk-matematiske modellen for input-output balansen

Teoretiske bestemmelser.

Balansemetode- en metode for gjensidig sammenligning av økonomiske, materielle og arbeidskraftige ressurser og behovene for dem. Balansemodellen til et økonomisk system er et system av ligninger som oppfyller kravene til å matche tilgjengeligheten til en ressurs og bruken av den.

Tverrsektoriell balanse reflekterer produksjonen og distribusjonen av produktet etter industri, tverrsektorielle produksjonsforhold, bruk av materielle og arbeidskraftsressurser, opprettelse og fordeling av nasjonalinntekt.

Ordning for balanse mellom industrien.

Hver bransje på balansen både forbruker og produserer. Det er 4 balanseområder (kvadranter) med økonomisk innhold:

tabell over materialforbindelser mellom industrien, her X ij - verdier for produktstrømmer mellom industrien, dvs. kostnaden for produksjonsmidler produsert i i-industrien og kreves som materialkostnader i j-industrien.

Sluttprodukter er produkter som forlater produksjonssfæren til forbruk, akkumulering, eksport osv.

Betinget netto produksjon Zj er summen av avskrivninger Cj og netto produksjon (Uj + mj).

Gjenspeiler den endelige fordelingen og bruken av nasjonalinntekt. Bruttoproduksjonskolonnen og -raden brukes til å kontrollere saldoen og utarbeide en økonomisk og matematisk modell.

Summen av materialkostnadene til enhver forbrukerindustri og dens betingede nettoproduksjon er lik bruttoproduksjonen til denne industrien:

(1)

Bruttoproduksjonen til hver industri er lik summen av materialkostnadene til næringene som forbruker produktene og sluttproduktene til denne industrien.

(2)

La oss summere alle grener av ligning 1:

På samme måte for ligning 2:

Venstre side er bruttoproduktet, så setter vi likhetstegn mellom høyresidene:

(3)

Formulering av problemet.

Det er et økonomisk system med fire grener. Bestem koeffisientene for totale materialkostnader basert på dataene: matrise av koeffisienter for direkte materialkostnader og vektor for brutto produksjon (tabell 2).

Tabell 2.

Utarbeide en balansemodell.

Grunnlaget for den økonomisk-matematiske modellen for input-output-balansen er matrisen av koeffisienter for direkte materialkostnader:

Koeffisienten for direkte materialkostnader viser hvor mye produkt av industri i som trengs, hvis vi bare tar i betraktning direkte kostnader for produksjon av en enhet av produkt av industri j.

Gitt uttrykk 4, kan uttrykk 2 skrives om:

(5)

Brutto utgangsvektor.

Sluttproduktvektor.

La oss betegne matrisen av koeffisienter for direkte materialkostnader:

Deretter ligningssystem 5 i matriseform:

(6)

Det siste uttrykket er input-output balansemodellen eller Leontief-modellen. Ved å bruke modellen kan du:

Etter å ha spesifisert verdiene for bruttoproduksjon X, bestemme volumene av sluttproduktene Y:

(7)

hvor E er identitetsmatrisen.

Etter å ha spesifisert verdien av sluttproduktet Y, bestemmer du verdien av bruttoproduktet X:

(8)

la oss betegne med B verdien (E-A) - 1, dvs.

da vil elementene i matrise B være .

For hver i-bransje:

Dette er koeffisientene for totale materialkostnader, de viser hvor mye industriprodukt i må produseres for å oppnå en enhet for sluttprodukt fra industri j, tatt i betraktning de direkte og indirekte kostnadene til disse produktene.

For å beregne den økonomisk-matematiske modellen for input-output-balansen, tatt i betraktning de gitte verdiene:

Matriser med direkte materialkostnadskoeffisienter:

Vektorer for brutto produksjon:

La oss ta identitetsmatrisen som tilsvarer matrise A:

For å beregne koeffisientene for totale materialkostnader bruker vi formelen:

For å bestemme bruttoproduksjon for alle bransjer, bruk formelen:

For å bestemme verdien av intersektorielle produktstrømmer (matrise x), bestemmer vi elementene i matrise x ved å bruke formelen:

hvor i = 1…n; j = 1…n;

n er antall rader og kolonner i kvadratmatrisen A.

For å bestemme vektoren for betinget nettoproduksjon Z, beregnes elementene i vektoren ved å bruke formelen:

Løse et problem på en datamaskin

Last ned programmet Mathcad .

Lag en fil under navnet Lidovitskiy- Kulik . mcd. i mappe Ek/k 31 (2).

Basert på de foreløpige innstillingene (mal) lager og formaterer vi tittelen.

Gå inn med passende kommentarer ( ORIGIN=1) den gitte matrisen av koeffisienter for direkte materialkostnader A og vektoren for brutto X-produksjon (alle inskripsjoner og betegnelser er lagt inn med latinsk skrift, de gitte formlene og kommentarene skal være plassert enten på nivå med eller over de beregnede verdiene).

Vi beregner matrisen av koeffisienter for totale materialkostnader B. For å gjøre dette, beregner vi enhetsmatrisen som tilsvarer matrise A. For å gjøre dette bruker vi funksjonen identiti ( cols( EN)).

Vi beregner matrise B ved å bruke formelen:

Vi bestemmer volumet av brutto produksjon for alle næringer Y ved å bruke formelen:

Definere matrisen X størrelser på produktstrømmer mellom industrien. For å gjøre dette, definerer vi elementene i matrisen ved å spesifisere kommentarer:

i=1. rader (A) j=1. cols (A) x i,j =A i,j ·X j

Etter dette finner vi matrisen X .

Vi beregner vektoren for betinget ren produksjon Z ved å sette formelen for dette:

Siden Z i balanse er en radvektor, finner vi den transponerte vektoren Z T .

La oss finne summene:

9.11.1 Betinget rene produkter:

9.11.2 Sluttprodukter:

9.11.3 Bruttoproduksjon:

Vi skriver ut løsningsresultatene på papir.

Bransjebalanse mellom produksjon og distribusjon av produkter

Basert på innhentede data vil vi utarbeide en tverrsektoriell balanse mellom produksjon og fordeling av ressurser.

konklusjoner

Basert på matrisen av koeffisienter for direkte materialkostnader og vektoren for bruttoproduksjon, ble koeffisientene for totale materialkostnader bestemt og en bransjebalanse for produksjon og ressursfordeling ble satt sammen.

Bestemte materialforbindelser eller verdier for intersektorielle produktstrømmer (matrise X), dvs. kostnaden for produksjonsmidler produsert i den produserende industrien og som kreves som materialkostnader i den konsumerende industrien.

Vi bestemte sluttproduktet (Y), dvs. produkter som forlater den produserende industrien inn i den konsumerende industrien.

Vi bestemte verdien av betinget nettoproduksjon etter industri (Zj; Z T).

Den endelige fordelingen av brutto produksjon (X) ble bestemt. Ved å bruke kolonnen og raden med brutto produksjon, sjekket vi saldoen (138+697+282+218) =1335.

Basert på den sammenstilte balansen kan følgende konklusjoner trekkes:

summen av materialkostnader for enhver forbrukerindustri og dens betingede nettoproduksjon er lik bruttoproduksjonen til denne industrien.

Bruttoproduksjonen til hver industri er lik summen av materialkostnadene til næringene som forbruker produktene og sluttproduktene til denne industrien.

Litteratur

1. " Matematiske modeller i økonomi." Retningslinjer for utførelse av laboratorie- og testarbeid for studenter av økonomiske spesialiteter innen korrespondanseutdanning. Zhukovsky A.A. CHIPS UrGUPS. Chelyabinsk. 2001.

2. Gataulin A.M., Gavrilov G.V., Sorokina T.M. Matematisk modellering av økonomiske prosesser. - M., Agropromizdat, 1990.

3. Økonomiske og matematiske metoder og anvendte modeller: Lærebok for universiteter / Redigert av V. V. Fedoseeva. - M.: UNITY, 2001.

4. Søk etter optimale løsninger ved hjelp av Excel 7.0. Kuritsky B.Ya. St. Petersburg: "VNV - St. Petersburg", 1997.

5. Plis A.I., Slivina N.A. MathCAD 2000. Matematisk verksted for økonomer og ingeniører. Moskva. Finans og statistikk. 2000.