Sekvenser og progresjoner av formelen. Algebraisk progresjon

Noen mennesker behandler ordet "progresjon" med forsiktighet, som et veldig komplekst begrep fra grenene av høyere matematikk. I mellomtiden er den enkleste aritmetiske progresjonen arbeidet til taksameteret (hvor de fortsatt eksisterer). Og å forstå essensen (og i matematikk er det ingenting viktigere enn å "forstå essensen") av en aritmetisk sekvens er ikke så vanskelig, etter å ha analysert noen få elementære konsepter.

Matematisk tallrekkefølge

En numerisk sekvens kalles vanligvis en serie med tall, som hver har sitt eget nummer.

a 1 er det første medlemmet av sekvensen;

og 2 er det andre leddet i sekvensen;

og 7 er det syvende medlem av sekvensen;

og n er det n'te medlem av sekvensen;

Imidlertid er det ikke noe vilkårlig sett med tall og tall som interesserer oss. Vi vil fokusere vår oppmerksomhet på en numerisk sekvens der verdien av det n-te leddet er relatert til dets ordenstall ved en sammenheng som kan formuleres klart matematisk. Med andre ord: den numeriske verdien av det n-te tallet er en funksjon av n.

a er verdien av et medlem av en numerisk sekvens;

n - hans serienummer;

f(n) er en funksjon, der ordenstallet i den numeriske rekkefølgen n er argumentet.

Definisjon

En aritmetisk progresjon kalles vanligvis en numerisk sekvens der hvert påfølgende ledd er større (mindre) enn den forrige med samme tall. Formelen for det n-te leddet i en aritmetisk sekvens er som følger:

a n - verdien av gjeldende medlem av den aritmetiske progresjonen;

en n+1 - formel for neste tall;

d - forskjell (bestemt antall).

Det er lett å fastslå at hvis forskjellen er positiv (d>0), så vil hvert påfølgende medlem av serien som vurderes være større enn den forrige, og en slik aritmetisk progresjon vil øke.

I grafen nedenfor er det lett å se hvorfor tallsekvensen kalles «økende».

I tilfeller der forskjellen er negativ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Spesifisert medlemsverdi

Noen ganger er det nødvendig å bestemme verdien av et hvilket som helst vilkårlig ledd a n av en aritmetisk progresjon. Dette kan gjøres ved å sekvensielt beregne verdiene til alle medlemmer av den aritmetiske progresjonen, fra den første til den ønskede. Denne veien er imidlertid ikke alltid akseptabel hvis det for eksempel er nødvendig å finne verdien av femtusendel eller åttemilliontedel. Tradisjonelle beregninger vil ta mye tid. Imidlertid kan en spesifikk aritmetisk progresjon studeres ved hjelp av visse formler. Det er også en formel for det n-te leddet: verdien av et hvilket som helst ledd i en aritmetisk progresjon kan bestemmes som summen av det første leddet i progresjonen med forskjellen av progresjonen, multiplisert med tallet på ønsket ledd, redusert med en.

Formelen er universell for å øke og redusere progresjon.

Et eksempel på beregning av verdien av et gitt begrep

La oss løse følgende problem med å finne verdien av det n'te leddet i en aritmetisk progresjon.

Tilstand: det er en aritmetisk progresjon med parametere:

Det første leddet i sekvensen er 3;

Forskjellen i tallserien er 1,2.

Oppgave: du må finne verdien av 214 ledd

Løsning: For å bestemme verdien av et gitt begrep bruker vi formelen:

a(n) = a1 + d(n-1)

Ved å erstatte dataene fra problemformuleringen med uttrykket har vi:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Svar: Det 214. leddet i sekvensen er lik 258,6.

Fordelene med denne beregningsmetoden er åpenbare - hele løsningen tar ikke mer enn 2 linjer.

Summen av et gitt antall ledd

Svært ofte, i en gitt aritmetisk serie, er det nødvendig å bestemme summen av verdiene til noen av segmentene. For å gjøre dette er det heller ikke nødvendig å beregne verdiene for hvert begrep og deretter legge dem sammen. Denne metoden er anvendelig hvis antallet termer som må finne summen er lite. I andre tilfeller er det mer praktisk å bruke følgende formel.

Summen av leddene til en aritmetisk progresjon fra 1 til n er lik summen av første og n-te ledd, multiplisert med tallet på leddet n og delt på to. Hvis verdien av det n-te leddet i formelen erstattes av uttrykket fra forrige avsnitt i artikkelen, får vi:

Regneeksempel

La oss for eksempel løse et problem med følgende forhold:

Det første leddet i sekvensen er null;

Forskjellen er 0,5.

Problemet krever å bestemme summen av vilkårene i serien fra 56 til 101.

Løsning. La oss bruke formelen for å bestemme mengden av progresjon:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Først bestemmer vi summen av verdiene av 101 vilkår for progresjonen ved å erstatte de gitte betingelsene for problemet vårt i formelen:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Åpenbart, for å finne ut summen av betingelsene for progresjonen fra 56. til 101., er det nødvendig å trekke S 55 fra S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dermed er summen av den aritmetiske progresjonen for dette eksemplet:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Eksempel på praktisk anvendelse av aritmetisk progresjon

På slutten av artikkelen, la oss gå tilbake til eksemplet på en aritmetisk sekvens gitt i første ledd - et taksameter (taxibilmåler). La oss vurdere dette eksemplet.

Å gå ombord på en taxi (som inkluderer 3 km reise) koster 50 rubler. Hver påfølgende kilometer betales med en hastighet på 22 rubler/km. Reiseavstanden er 30 km. Beregn kostnadene for reisen.

1. La oss forkaste de første 3 km, hvis pris er inkludert i landingskostnadene.

30 - 3 = 27 km.

2. Videre beregning er ikke annet enn å analysere en aritmetisk tallserie.

Medlemsnummer - antall tilbakelagte kilometer (minus de tre første).

Verdien av medlemmet er summen.

Det første leddet i dette problemet vil være lik en 1 = 50 rubler.

Progresjonsforskjell d = 22 r.

tallet vi er interessert i er verdien av (27+1) ledd i den aritmetiske progresjonen - målerstanden på slutten av den 27. kilometeren er 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Kalenderdataberegninger for en vilkårlig lang periode er basert på formler som beskriver visse numeriske sekvenser. I astronomi er lengden på banen geometrisk avhengig av avstanden mellom himmellegemet og stjernen. I tillegg brukes forskjellige tallserier med hell i statistikk og andre anvendte matematikkområder.

En annen type tallsekvens er geometrisk

Geometrisk progresjon er preget av større endringshastigheter sammenlignet med aritmetisk progresjon. Det er ingen tilfeldighet at i politikk, sosiologi og medisin, for å vise den høye spredningshastigheten til et bestemt fenomen, for eksempel en sykdom under en epidemi, sier de at prosessen utvikler seg i geometrisk progresjon.

Det N-te leddet i den geometriske tallserien skiller seg fra det forrige ved at det multipliseres med et konstant tall - nevneren, for eksempel, den første ledd er 1, nevneren er tilsvarende lik 2, deretter:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - verdien av gjeldende term for den geometriske progresjonen;

b n+1 - formel for neste ledd i den geometriske progresjonen;

q er nevneren for den geometriske progresjonen (et konstant tall).

Hvis grafen til en aritmetisk progresjon er en rett linje, maler en geometrisk progresjon et litt annet bilde:

Som i tilfellet med aritmetikk, har geometrisk progresjon en formel for verdien av et vilkårlig ledd. Ethvert n'te ledd i en geometrisk progresjon er lik produktet av det første leddet og nevneren for progresjonen i potensen n redusert med én:

Eksempel. Vi har en geometrisk progresjon med det første leddet lik 3 og nevneren for progresjonen lik 1,5. La oss finne 5. ledd i progresjonen

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15.1875

Summen av et gitt antall ledd beregnes også ved hjelp av en spesiell formel. Summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon er lik differansen mellom produktet av progresjonens n. ledd og dens nevner og den første leddet av progresjonen, delt på nevneren redusert med én:

Hvis b n erstattes ved hjelp av formelen diskutert ovenfor, vil verdien av summen av de første n leddene i tallserien under vurdering ha formen:

Eksempel. Den geometriske progresjonen starter med det første leddet lik 1. Nevneren settes til 3. La oss finne summen av de åtte første leddene.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Bruksanvisning

En aritmetisk progresjon er en sekvens av formen a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Nummer d trinn progresjon.Det er åpenbart at den generelle av en vilkårlig n-te ledd i aritmetikken progresjon har formen: An = A1+(n-1)d. Da kjenner man et av medlemmene progresjon, medlem progresjon og trinn progresjon, kan du, det vil si nummeret til fremdriftsmedlemmet. Det vil selvsagt bli bestemt av formelen n = (An-A1+d)/d.

La nå det månedlige begrepet bli kjent progresjon og et annet medlem progresjon- nth, men n , som i forrige tilfelle, men det er kjent at n og m ikke faller sammen progresjon kan beregnes ved hjelp av formelen: d = (An-Am)/(n-m). Da er n = (An-Am+md)/d.

Hvis summen av flere elementer i en aritmetisk ligning er kjent progresjon, så vel som dens første og siste, så kan antallet av disse elementene også bestemmes progresjon vil være lik: S = ((A1+An)/2)n. Da er n = 2S/(A1+An) - chdenov progresjon. Ved å bruke det faktum at An = A1+(n-1)d, kan denne formelen skrives om til: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Fra dette kan vi uttrykke n ved å løse en andregradsligning.

En aritmetisk sekvens er et ordnet sett med tall, hvor hvert medlem, bortsett fra det første, er like mye forskjellig fra det forrige. Denne konstante verdien kalles forskjellen av progresjonen eller trinnet og kan beregnes fra de kjente termene for den aritmetiske progresjonen.

Bruksanvisning

Hvis verdiene til det første og andre eller et hvilket som helst annet par av tilstøtende termer er kjent fra betingelsene for problemet, for å beregne forskjellen (d), trekker du ganske enkelt den forrige fra den påfølgende termen. Den resulterende verdien kan enten være et positivt eller et negativt tall - det avhenger av om progresjonen øker. I generell form, skriv løsningen for et vilkårlig par (aᵢ og aᵢ₊₁) av naboledd for progresjonen som følger: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

For et par termer i en slik progresjon, hvorav den ene er den første (a₁), og den andre er en hvilken som helst annen vilkårlig valgt, er det også mulig å lage en formel for å finne forskjellen (d). I dette tilfellet må imidlertid serienummeret (i) til et vilkårlig valgt medlem av sekvensen være kjent. For å beregne differansen legger du til begge tallene og deler det resulterende resultatet med ordinærtallet til et vilkårlig ledd redusert med én. Generelt, skriv denne formelen som følger: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Hvis det i tillegg til et vilkårlig medlem av en aritmetisk progresjon med ordenstall i, er et annet medlem med ordenstall u kjent, endre formelen fra forrige trinn tilsvarende. I dette tilfellet vil forskjellen (d) av progresjonen være summen av disse to leddene dividert med forskjellen av ordenstallene deres: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formelen for å beregne differansen (d) blir noe mer komplisert hvis problembetingelsene gir verdien av dens første ledd (a₁) og summen (Sᵢ) av et gitt tall (i) av de første leddene i den aritmetiske sekvensen. For å oppnå ønsket verdi, del summen på antall ledd som utgjør den, trekk fra verdien av det første tallet i sekvensen og doble resultatet. Del den resulterende verdien med antall ledd som utgjør summen, redusert med én. Generelt, skriv formelen for å beregne diskriminanten som følger: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

I. V. Yakovlev | Matematikkmaterialer | MathUs.ru

Aritmetisk progresjon

En aritmetisk progresjon er en spesiell type sekvens. Derfor, før vi definerer aritmetisk (og deretter geometrisk) progresjon, må vi kort diskutere det viktige konseptet tallrekkefølge.

Etterfølge

Se for deg en enhet på skjermen hvor visse numre vises etter hverandre. La oss si 2; 7; 1. 3; 1; 6; 0; 3; : : : Dette settet med tall er nettopp et eksempel på en sekvens.

Definisjon. En tallsekvens er et sett med tall der hvert nummer kan tildeles et unikt nummer (det vil si assosiert med et enkelt naturlig tall)1. Tallet n kalles det n-te leddet i sekvensen.

Så i eksemplet ovenfor er det første tallet 2, dette er det første medlemmet av sekvensen, som kan betegnes med a1; nummer fem har tallet 6 er det femte leddet i sekvensen, som kan betegnes med a5. I det hele tatt, nte termin sekvenser er betegnet med en (eller bn, cn, etc.).

En veldig praktisk situasjon er når det n-te leddet i sekvensen kan spesifiseres med en formel. For eksempel angir formelen an = 2n 3 sekvensen: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formelen an = (1)n spesifiserer rekkefølgen: 1; 1; 1; 1; : : :

Ikke hvert sett med tall er en sekvens. Dermed er et segment ikke en sekvens; den inneholder "for mange" tall til å omnummereres. Mengden R av alle reelle tall er heller ikke en sekvens. Disse fakta er bevist i løpet av matematisk analyse.

Aritmetisk progresjon: grunnleggende definisjoner

Nå er vi klare til å definere en aritmetisk progresjon.

Definisjon. En aritmetisk progresjon er en sekvens der hvert ledd (fra det andre) er lik summen av forrige ledd og et fast tall (kalt differansen av den aritmetiske progresjonen).

For eksempel sekvens 2; 5; 8; elleve; : : : er en aritmetisk progresjon med første ledd 2 og forskjell 3. Sekvens 7; 2; 3; 8; : : : er en aritmetisk progresjon med første ledd 7 og forskjell 5. Sekvens 3; 3; 3; : : : er en aritmetisk progresjon med en forskjell lik null.

Ekvivalent definisjon: en sekvens an kalles en aritmetisk progresjon hvis forskjellen an+1 an er en konstant verdi (uavhengig av n).

En aritmetisk progresjon kalles økende hvis forskjellen er positiv, og avtagende hvis forskjellen er negativ.

1 Her er en mer kortfattet definisjon: en sekvens er en funksjon definert på et sett naturlige tall. For eksempel er en sekvens av reelle tall funksjonen f: N ! R.

Som standard anses sekvenser som uendelige, det vil si at de inneholder et uendelig antall tall. Men ingen plager oss å vurdere endelige sekvenser; faktisk kan ethvert begrenset sett med tall kalles en endelig rekkefølge. For eksempel er sluttsekvensen 1; 2; 3; 4; 5 består av fem tall.

Formel for n'te ledd i en aritmetisk progresjon

Det er lett å forstå at en aritmetisk progresjon er fullstendig bestemt av to tall: det første leddet og forskjellen. Derfor oppstår spørsmålet: hvordan, ved å vite det første leddet og forskjellen, finne et vilkårlig ledd for en aritmetisk progresjon?

Det er ikke vanskelig å få den nødvendige formelen for det n-te leddet i en aritmetisk progresjon. La en

aritmetisk progresjon med forskjell d. Vi har:
an+1 = an + d (n = 1; 2; :: :):
Spesielt skriver vi:
a2 = al + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
og nå blir det klart at formelen for an er:
an = a1 + (n 1)d:

Oppgave 1. I aritmetisk progresjon 2; 5; 8; elleve; : : : finn formelen for det n-te leddet og beregn det hundrede leddet.

Løsning. I henhold til formel (1) har vi:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Egenskap og tegn på aritmetisk progresjon

Egenskap for aritmetisk progresjon. I aritmetisk progresjon en for evt

Med andre ord er hvert medlem av en aritmetisk progresjon (startende fra den andre) det aritmetiske gjennomsnittet av nabomedlemmene.

	Bevis. Vi har:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

som var det som var nødvendig.

Mer generelt tilfredsstiller den aritmetiske progresjonen likheten

a n = a n k+ a n+k

for enhver n > 2 og enhver naturlig k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Det viser seg at formel (2) ikke bare fungerer som en nødvendig, men også som en tilstrekkelig betingelse for at sekvensen skal være en aritmetisk progresjon.

Aritmetisk progresjonstegn. Hvis likhet (2) gjelder for alle n > 2, så er sekvensen an en aritmetisk progresjon.

Bevis. La oss omskrive formel (2) som følger:

a na n 1= a n+1a n:

Av dette kan vi se at forskjellen an+1 an ikke er avhengig av n, og dette betyr nettopp at sekvensen an er en aritmetisk progresjon.

Egenskapen og tegnet til en aritmetisk progresjon kan formuleres i form av ett utsagn; For enkelhets skyld vil vi gjøre dette for tre tall (dette er situasjonen som ofte oppstår i problemer).

Karakterisering av en aritmetisk progresjon. Tre tall a, b, c danner aritmetisk progresjon hvis og bare hvis 2b = a + c.

Oppgave 2. (MSU, Økonomisk fakultet, 2007) Tre tall 8x, 3 x2 og 4 i angitt rekkefølge danner en avtagende aritmetisk progresjon. Finn x og angi forskjellen på denne progresjonen.

Løsning. Ved egenskapen til aritmetisk progresjon har vi:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Hvis x = 1, får vi en avtagende progresjon på 8, 2, 4 med en forskjell på 6. Hvis x = 5, får vi en økende progresjon på 40, 22, 4; denne saken er ikke egnet.

Svar: x = 1, forskjellen er 6.

Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon

Legenden forteller at læreren en dag ba barna finne summen av tallene fra 1 til 100 og satte seg stille ned for å lese avisen. Det hadde imidlertid ikke en gang gått noen få minutter før en gutt sa at han hadde løst problemet. Dette var 9 år gamle Carl Friedrich Gauss, senere en av historiens største matematikere.

Lille Gauss sin idé var som følger. La

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

La oss skrive dette beløpet i omvendt rekkefølge:

S = 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

og legg til disse to formlene:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Hvert ledd i parentes er lik 101, og det er 100 slike termer totalt

2S = 101 100 = 10100;

Vi bruker denne ideen til å utlede sumformelen

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

En nyttig modifikasjon av formel (3) oppnås hvis vi erstatter formelen til det n-te leddet an = a1 + (n 1)d i den:

		2a1 + (n 1)d

Oppgave 3. Finn summen av alle positive tresifrede tall som er delelig med 13.

Løsning. Tresifrede tall, multipler av 13, danner en aritmetisk progresjon med det første leddet 104 og forskjellen 13; Det n. leddet i denne progresjonen har formen:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

La oss finne ut hvor mange termer vår progresjon inneholder. For å gjøre dette, la oss løse ulikheten:

en 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Så det er 69 medlemmer i vår progresjon. Ved å bruke formel (4) finner vi den nødvendige mengden:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Aritmetisk progresjon navngi en tallsekvens (betingelser for en progresjon)

Der hver påfølgende term skiller seg fra den forrige med en ny term, som også kalles trinn eller progresjonsforskjell.

Ved å spesifisere progresjonstrinnet og dets første ledd, kan du derfor finne alle elementene ved hjelp av formelen

Egenskaper for en aritmetisk progresjon

1) Hvert medlem av en aritmetisk progresjon, fra det andre tallet, er det aritmetiske gjennomsnittet av forrige og neste medlem av progresjonen

Det motsatte er også sant. Hvis det aritmetiske gjennomsnittet av tilstøtende odde (partall) ledd i en progresjon er lik leddet som står mellom dem, så er denne tallsekvensen en aritmetisk progresjon. Ved å bruke denne setningen er det veldig enkelt å sjekke hvilken som helst sekvens.

Dessuten, ved egenskapen til aritmetisk progresjon, kan formelen ovenfor generaliseres til følgende

Dette er enkelt å verifisere hvis du skriver vilkårene til høyre for likhetstegnet

Det brukes ofte i praksis for å forenkle beregninger i oppgaver.

2) Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon beregnes ved hjelp av formelen

Husk godt formelen for summen av en aritmetisk progresjon den er uunnværlig i beregninger og finnes ganske ofte i enkle livssituasjoner.

3) Hvis du ikke trenger å finne hele summen, men en del av sekvensen fra dens kth ledd, vil følgende sumformel være nyttig for deg

4) Av praktisk interesse er å finne summen av n ledd av en aritmetisk progresjon som starter fra det kth tallet. For å gjøre dette, bruk formelen

Dette avslutter det teoretiske materialet og går videre til å løse vanlige problemer i praksis.

Eksempel 1. Finn det førtiende leddet i den aritmetiske progresjonen 4;7;...

Løsning:

Etter tilstanden vi har

La oss bestemme progresjonstrinnet

Ved å bruke en velkjent formel finner vi det førtiende leddet i progresjonen

Eksempel 2.

Løsning:

En aritmetisk progresjon er gitt av dens tredje og syvende ledd. Finn det første leddet i progresjonen og summen av ti.

La oss skrive ned de gitte elementene i progresjonen ved å bruke formlene

Vi trekker den første fra den andre ligningen, som et resultat finner vi progresjonstrinnet

Vi erstatter den funnet verdien i en av ligningene for å finne det første leddet i den aritmetiske progresjonen

Vi beregner summen av de ti første leddene i progresjonen

Uten å bruke komplekse beregninger fant vi alle nødvendige mengder.

Løsning:

Eksempel 3. En aritmetisk progresjon er gitt av nevneren og en av dens ledd. Finn det første leddet i progresjonen, summen av dets 50 ledd fra 50 og summen av de første 100.

La oss skrive ned formelen for det hundrede elementet i progresjonen

og finn den første

Basert på den første finner vi 50. ledd i progresjonen

Finne summen av delen av progresjonen

og summen av de første 100

Progresjonsbeløpet er 250.

Eksempel 4.

Finn antall ledd i en aritmetisk progresjon hvis:

Løsning:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

La oss skrive likningene i form av det første leddet og progresjonstrinnet og bestemme dem

Vi erstatter de oppnådde verdiene i sumformelen for å bestemme antall ledd i summen

Vi utfører forenklinger

Av de to verdiene som er funnet, er det bare tallet 8 som passer til problemforholdene. Dermed er summen av de første åtte leddene i progresjonen 111.

Eksempel 5.

Løs ligningen

1+3+5+...+x=307.

Løsning: Denne ligningen er summen av en aritmetisk progresjon. La oss skrive ut det første leddet og finne forskjellen i progresjon

Første nivå

Aritmetisk progresjon. Detaljert teori med eksempler (2019)

Nummerrekkefølge

Så la oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:
Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil (i vårt tilfelle er det dem). Uansett hvor mange tall vi skriver, kan vi alltid si hvilket som er først, hvilket som er nummer to, og så videre til det siste, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallsekvens:

Nummerrekkefølge
For eksempel for vår sekvens:

Det tildelte nummeret er spesifikt for bare ett nummer i sekvensen. Det er med andre ord ingen tre sekunders tall i sekvensen. Det andre tallet (som det th tallet) er alltid det samme.
Tallet med tall kalles det ste leddet i sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

I vårt tilfelle:

La oss si at vi har en tallrekke der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.
For eksempel:

etc.
Denne tallsekvensen kalles en aritmetisk progresjon.
Begrepet "progresjon" ble introdusert av den romerske forfatteren Boethius tilbake på 600-tallet og ble forstått i bredere forstand som en uendelig numerisk rekkefølge. Navnet "aritmetikk" ble overført fra teorien om kontinuerlige proporsjoner, som ble studert av de gamle grekerne.

Dette er en tallsekvens, hvor hvert medlem er lik den forrige lagt til det samme tallet. Dette tallet kalles forskjellen til en aritmetisk progresjon og er utpekt.

Prøv å finne ut hvilke tallsekvenser som er en aritmetisk progresjon og hvilke som ikke er det:

en)
b)
c)
d)

Har det? La oss sammenligne svarene våre:
Er aritmetisk progresjon - b, c.
Er ikke aritmetisk progresjon - a, d.

La oss gå tilbake til den gitte progresjonen () og prøve å finne verdien av dets tredje ledd. Finnes to måte å finne det på.

1. Metode

Vi kan legge til progresjonstallet til den forrige verdien til vi når den tredje ledd av progresjonen. Det er bra at vi ikke har så mye å oppsummere - bare tre verdier:

Så det tredje leddet i den beskrevne aritmetiske progresjonen er lik.

2. Metode

Hva om vi trengte å finne verdien av det tredje leddet i progresjonen? Summeringen ville tatt oss mer enn én time, og det er ikke et faktum at vi ikke ville gjort feil når vi legger til tall.
Selvfølgelig har matematikere kommet opp med en måte der det ikke er nødvendig å legge forskjellen til en aritmetisk progresjon til den forrige verdien. Ta en nærmere titt på det tegnede bildet... Du har sikkert allerede lagt merke til et bestemt mønster, nemlig:

La oss for eksempel se hva verdien av det tredje leddet i denne aritmetiske progresjonen består av:

Med andre ord:

Prøv å finne verdien av et medlem av en gitt aritmetisk progresjon selv på denne måten.

Har du regnet ut? Sammenlign notatene dine med svaret:

Vær oppmerksom på at du fikk nøyaktig samme tall som i den forrige metoden, da vi sekvensielt la til vilkårene for den aritmetiske progresjonen til den forrige verdien.
La oss prøve å "depersonalisere" denne formelen - la oss ta den inn generell form og vi får:

Aritmetisk progresjonsligning.

Aritmetiske progresjoner kan være økende eller avtagende.

Økende- progresjoner der hver påfølgende verdi av begrepene er større enn den forrige.
For eksempel:

Synkende- progresjoner der hver påfølgende verdi av vilkårene er mindre enn den forrige.
For eksempel:

Den utledede formelen brukes i beregningen av ledd i både økende og avtagende termer for en aritmetisk progresjon.
La oss sjekke dette i praksis.
Vi får en aritmetisk progresjon som består av følgende tall: La oss sjekke hva tallet i denne aritmetiske progresjonen vil være hvis vi bruker formelen vår til å beregne den:

Siden da:

Dermed er vi overbevist om at formelen fungerer i både avtagende og økende aritmetisk progresjon.
Prøv å finne de th og th leddene i denne aritmetiske progresjonen selv.

La oss sammenligne resultatene:

Aritmetisk progresjonsegenskap

La oss komplisere problemet - vi vil utlede egenskapen til aritmetisk progresjon.
La oss si at vi får følgende betingelse:
- aritmetisk progresjon, finn verdien.
Lett, sier du og begynner å telle etter formelen du allerede kjenner:

La, ah, da:

Helt rett. Det viser seg at vi først finner, så legger vi det til det første tallet og får det vi leter etter. Hvis progresjonen er representert av små verdier, så er det ikke noe komplisert med det, men hva om vi får tall i tilstanden? Enig, det er en mulighet for å gjøre feil i beregningene.
Tenk nå på om det er mulig å løse dette problemet i ett trinn ved å bruke en formel? Selvfølgelig ja, og det er det vi skal prøve å få frem nå.

La oss betegne det nødvendige leddet for den aritmetiske progresjonen som formelen for å finne den er kjent for oss - dette er den samme formelen vi avledet i begynnelsen:
, Deretter:

forrige termin av progresjonen er:
neste termin i progresjonen er:

La oss oppsummere de forrige og påfølgende betingelsene for progresjonen:

Det viser seg at summen av de forrige og påfølgende leddene i progresjonen er den doble verdien av progresjonsleddet som ligger mellom dem. Med andre ord, for å finne verdien av progresjonsleddet med kjente tidligere og etterfølgende verdier, må du legge dem til og dele på.

Det stemmer, vi har samme nummer. La oss sikre materialet. Beregn verdien for progresjonen selv, det er slett ikke vanskelig.

Bra gjort! Du vet nesten alt om progresjon! Det gjenstår å finne ut bare en formel, som ifølge legenden lett ble utledet for seg selv av en av tidenes største matematikere, "matematikernes konge" - Carl Gauss ...

Da Carl Gauss var 9 år gammel, spurte en lærer, opptatt med å sjekke arbeidet til elevene i andre klasser, følgende oppgave i klassen: "Regn ut summen av alle naturlige tall fra til (ifølge andre kilder til) inklusive." Se for deg lærerens overraskelse da en av elevene hans (dette var Karl Gauss) et minutt senere ga riktig svar på oppgaven, mens de fleste av våghalsens klassekamerater, etter lange utregninger, fikk feil resultat...

Unge Carl Gauss la merke til et bestemt mønster som du også lett kan legge merke til.
La oss si at vi har en aritmetisk progresjon som består av -th ledd: Vi må finne summen av disse leddene av den aritmetiske progresjonen. Selvfølgelig kan vi manuelt summere alle verdiene, men hva om oppgaven krever å finne summen av termene, slik Gauss lette etter?

La oss skildre progresjonen gitt til oss. Ta en nærmere titt på de uthevede tallene og prøv å utføre ulike matematiske operasjoner med dem.

Har du prøvd det? Hva la du merke til? Ikke sant! Summene deres er like

Si meg nå, hvor mange slike par er det totalt i progresjonen gitt til oss? Selvfølgelig, nøyaktig halvparten av alle tall, altså.
Basert på det faktum at summen av to ledd i en aritmetisk progresjon er lik, og like par er like, får vi at den totale summen er lik:
.
Dermed vil formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon være:

I noen problemer kjenner vi ikke begrepet, men vi vet forskjellen på progresjonen. Prøv å erstatte formelen til det te leddet med sumformelen.
Hva fikk du?

Bra gjort! La oss nå gå tilbake til problemet som ble spurt til Carl Gauss: beregn selv hva summen av tall som starter fra th er lik og summen av tallene som starter fra th.

Hvor mye fikk du?
Gauss fant at summen av leddene er lik, og summen av leddene. Var det det du bestemte deg for?

Faktisk ble formelen for summen av vilkårene for en aritmetisk progresjon bevist av den antikke greske vitenskapsmannen Diophantus tilbake på 300-tallet, og gjennom denne tiden benyttet vittige mennesker egenskapene til den aritmetiske progresjonen til fulle.
Tenk deg for eksempel Det gamle Egypt og datidens største byggeprosjekt - byggingen av en pyramide... Bildet viser den ene siden av den.

Hvor er progresjonen her, sier du? Se nøye og finn et mønster i antall sandblokker i hver rad av pyramideveggen.

Hvorfor ikke en aritmetisk progresjon? Regn ut hvor mange blokker som trengs for å bygge én vegg hvis blokkklosser er plassert ved basen. Jeg håper du ikke vil telle mens du beveger fingeren over skjermen, husker du den siste formelen og alt vi sa om aritmetisk progresjon?

I dette tilfellet ser progresjonen slik ut: .
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall ledd i en aritmetisk progresjon.
La oss erstatte dataene våre i de siste formlene (beregn antall blokker på 2 måter).

Metode 1.

Metode 2.

Og nå kan du beregne på skjermen: sammenlign de oppnådde verdiene med antall blokker som er i pyramiden vår. Har det? Godt gjort, du har mestret summen av de n-te leddene i en aritmetisk progresjon.
Selvfølgelig kan du ikke bygge en pyramide fra blokker ved basen, men fra? Prøv å beregne hvor mange sandklosser som trengs for å bygge en vegg med denne tilstanden.
Klarte du deg?
Riktig svar er blokker:

Opplæring

Oppgaver:

Masha kommer i form til sommeren. Hver dag øker hun antall knebøy med. Hvor mange ganger vil Masha trene knebøy i løpet av en uke hvis hun gjorde knebøy på den første treningsøkten?
Hva er summen av alle oddetall som finnes i.
Ved lagring av tømmerstokker stabler loggere dem på en slik måte at hver øverste laget inneholder én logg mindre enn den forrige. Hvor mange stokker er det i ett murverk, hvis fundamentet til murverket er stokker?

Svar:

La oss definere parametrene for den aritmetiske progresjonen. I dette tilfellet
(uker = dager).
Svar: Om to uker bør Masha gjøre knebøy en gang om dagen.
Først oddetall, siste nummer.
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall oddetall i er halvparten, men la oss sjekke dette faktum ved å bruke formelen for å finne det tredje leddet i en aritmetisk progresjon:
Tall inneholder oddetall.
La oss erstatte de tilgjengelige dataene i formelen:
Svar: Summen av alle oddetall i er lik.
La oss huske problemet med pyramider. For vårt tilfelle, en , siden hvert topplag reduseres med en stokk, så er det totalt en haug med lag, altså.
La oss erstatte dataene i formelen:
Svar: Det er stokker i murverket.

La oss oppsummere det

- en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er lik og lik. Det kan være økende eller avtagende.
Finne formel Det tredje leddet i en aritmetisk progresjon er skrevet med formelen - , hvor er antall tall i progresjonen.
Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon- - hvor er antall tall i progresjon.
Summen av leddene til en aritmetisk progresjon kan finnes på to måter:

, hvor er antall verdier.

ARITMETISK PROGRESJON. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Nummerrekkefølge

La oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:

Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil. Men vi kan alltid si hvilken som er først, hvilken som er nummer to, og så videre, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallrekke.

Nummerrekkefølge er et sett med tall, som hver kan tildeles et unikt nummer.

Med andre ord kan hvert tall assosieres med et visst naturlig tall, og et unikt. Og vi vil ikke tildele dette nummeret til noe annet nummer fra dette settet.

Tallet med nummer kalles det th medlem av sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

Det er veldig praktisk hvis det tredje leddet i sekvensen kan spesifiseres med en formel. For eksempel formelen

setter sekvensen:

Og formelen er følgende sekvens:

For eksempel er en aritmetisk progresjon en sekvens (det første leddet her er likt, og forskjellen er det). Eller (, forskjell).

formel for n. ledd

Vi kaller en formel tilbakevendende der du, for å finne ut begrepet, må kjenne til de forrige eller flere tidligere:

For å finne for eksempel det tredje leddet i progresjonen ved å bruke denne formelen, må vi beregne de ni foregående. For eksempel, la det. Deretter:

Vel, er det klart nå hva formelen er?

I hver linje legger vi til, multiplisert med et eller annet tall. Hvilken? Veldig enkelt: dette er nummeret på gjeldende medlem minus:

Mye mer praktisk nå, ikke sant? Vi sjekker:

Bestem selv:

I en aritmetisk progresjon, finn formelen for det n-te leddet og finn det hundrede leddet.

Løsning:

Det første leddet er likt. Hva er forskjellen? Her er hva:

(Dette er grunnen til at det kalles forskjell fordi det er lik forskjellen mellom påfølgende ledd i progresjonen).

Så formelen:

Da er det hundrede leddet lik:

Hva er summen av alle naturlige tall fra til?

Ifølge legenden beregnet den store matematikeren Carl Gauss, som en 9 år gammel gutt, dette beløpet på noen få minutter. Han la merke til at summen av de første og siste stevnemøte er lik, summen av den andre og nest siste er den samme, summen av den tredje og den tredje fra slutten er den samme, og så videre. Hvor mange slike par er det totalt? Det stemmer, nøyaktig halvparten av alle tall, altså. Så,

Den generelle formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon vil være:

Eksempel:
Finn summen av alle tosifrede tall, multipler.

Løsning:

Det første slike nummer er dette. Hvert etterfølgende nummer oppnås ved å legge til det forrige nummeret. Dermed danner tallene vi er interessert i en aritmetisk progresjon med det første leddet og differansen.

Formel for begrepet for denne progresjonen:

Hvor mange ledd er det i progresjonen hvis de alle må være tosifrede?

Meget lett: .

Den siste perioden av progresjonen vil være lik. Så summen:

Svar: .

Bestem nå selv:

Hver dag løper utøveren flere meter enn dagen før. Hvor mange totalt kilometer vil han løpe i løpet av en uke hvis han løp km m den første dagen?
En syklist reiser flere kilometer hver dag enn dagen før. Den første dagen reiste han km. Hvor mange dager trenger han å reise for å tilbakelegge en kilometer? Hvor mange kilometer vil han reise i løpet av den siste dagen av reisen?
Prisen på kjøleskap i butikk synker like mye hvert år. Bestem hvor mye prisen på et kjøleskap falt hvert år hvis det ble lagt ut for salg for rubler seks år senere ble solgt for rubler.

Svar:

Det viktigste her er å gjenkjenne den aritmetiske progresjonen og bestemme dens parametere. I dette tilfellet (uker = dager). Du må bestemme summen av de første leddene i denne progresjonen:
.
Svar:
Her er det gitt: , må finnes.
Selvfølgelig må du bruke samme sumformel som i forrige oppgave:
.
Bytt ut verdiene:
Roten passer tydeligvis ikke, så svaret er.
La oss beregne banen som ble reist i løpet av den siste dagen ved å bruke formelen til begrepet:
(km).
Svar:
Gitt:. Finn: .
Det kunne ikke vært enklere:
(gni).
Svar: