Inndeling og telleren og nevneren av brøken på deres felles deler , forskjellig fra en, kalles redusere en brøkdel.

For å redusere en vanlig brøk, må du dele telleren og nevneren med det samme naturlig tall.

Dette tallet er den største felles divisor for telleren og nevneren for den gitte brøken.

Følgende er mulig skjema for beslutningsopptak Eksempler for å redusere vanlige brøker.

Studenten har rett til å velge hvilken som helst form for opptak.

Eksempler. Forenkle brøker.

Reduser brøken med 3 (del telleren med 3;

del nevneren med 3).

Reduser brøken med 7.

Vi utfører de angitte handlingene i telleren og nevneren til brøken.

Den resulterende fraksjonen reduseres med 5.

La oss redusere denne brøkdelen 4) på 5·7³- den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren, som består av fellesfaktorene til telleren og nevneren, tatt i potens med den minste eksponenten.

La oss faktorisere telleren og nevneren til denne brøken i primfaktorer.

Vi får: 756=2²·3³·7 Og 1176=2³·3·7².

Bestem GCD (største felles divisor) for telleren og nevneren til brøken 5) .

Dette er produktet av vanlige faktorer tatt med de laveste eksponentene.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Vi deler telleren og nevneren for denne brøken med deres gcd, dvs. med 2²·3·7 vi får en irreduserbar brøkdel 9/14 .

Eller det var mulig å skrive nedbrytningen av teller og nevner i form av et produkt av primfaktorer, uten å bruke potensbegrepet, og deretter redusere brøken ved å krysse ut de samme faktorene i telleren og nevneren. Når det ikke er identiske faktorer igjen, multipliserer vi de resterende faktorene separat i telleren og separat i nevneren og skriver ut den resulterende brøken 9/14 .

Og til slutt var det mulig å redusere denne brøkdelen 5) gradvis, ved å bruke tegn på å dele tall på både telleren og nevneren av brøken. La oss tenke slik: tall 756 Og 1176 ende på et partall, som betyr at begge er delbare med 2 . Vi reduserer brøken med 2 . Telleren og nevneren til den nye brøken er tall 378 Og 588 også delt inn i 2 . Vi reduserer brøken med 2 . Vi merker at tallet 294 - til og med, og 189 er oddetall, og reduksjon med 2 er ikke lenger mulig. La oss sjekke delebarheten til tall 189 Og 294 på 3 .

(1+8+9)=18 er delelig med 3 og (2+9+4)=15 er delelig med 3, derav tallene i seg selv 189 Og 294 er delt inn i 3 . Vi reduserer brøken med 3 . Lengre, 63 er delelig med 3 og 98 - Nei. La oss se på andre hovedfaktorer. Begge tallene er delbare med 7 . Vi reduserer brøken med 7 og vi får den irreduserbare brøken 9/14 .

I denne artikkelen skal vi se på grunnleggende operasjoner med algebraiske brøker:

• reduserende fraksjoner
• multiplisere brøker
• dele brøker

La oss begynne med reduksjon av algebraiske brøker.

Det ser ut til at algoritmeåpenbart.

Til redusere algebraiske brøker , trenger å

1. Faktor telleren og nevneren til brøken.

2. Reduser like faktorer.

Imidlertid gjør skolebarn ofte feilen med å "redusere" ikke faktorene, men vilkårene. For eksempel er det amatører som "reduserer" brøker med og får som et resultat, noe som selvfølgelig ikke er sant.

La oss se på eksempler:

1. Reduser fraksjon:

1. La oss faktorisere telleren ved å bruke formelen til kvadratet av summen, og nevneren ved å bruke formelen for kvadratforskjellen

2. Del teller og nevner med

2. Reduser fraksjon:

1. La oss faktorisere telleren. Siden telleren inneholder fire termer, bruker vi gruppering.

2. La oss faktorisere nevneren. Vi kan også bruke gruppering.

3. La oss skrive ned brøken vi fikk og redusere de samme faktorene:

Multiplisere algebraiske brøker.

Når vi multipliserer algebraiske brøker, multipliserer vi telleren med telleren, og multipliserer nevneren med nevneren.

Viktig! Det er ikke nødvendig å skynde seg å multiplisere telleren og nevneren til en brøk. Etter at vi har skrevet ned produktet av tellerne av brøkene i telleren, og produktet av nevnerne i nevneren, må vi faktorisere hver faktor og redusere brøken.

La oss se på eksempler:

3. Forenkle uttrykket:

1. La oss skrive produktet av brøker: i telleren produktet av tellerne, og i nevneren produktet av nevnerne:

2. La oss faktorisere hver parentes:

Nå må vi redusere de samme faktorene. Legg merke til at uttrykkene og bare avviker i tegn: og som et resultat av å dele det første uttrykket med det andre får vi -1.

Så,

Vi deler algebraiske brøker i henhold til følgende regel:

Det er For å dele på en brøk, må du multiplisere med den "inverterte".

Vi ser at å dele brøker kommer ned til å multiplisere, og multiplikasjon kommer til syvende og sist ned på å redusere brøker.

La oss se på et eksempel:

4. Forenkle uttrykket:

Mål:

1. Pedagogisk- konsolidere tilegnet kunnskap og ferdigheter i å redusere algebraiske brøker ved løsning av mer komplekse øvelser, bruke faktorisering av et polynom på ulike måter, og utvikle ferdigheter i å redusere algebraiske brøker. Gjenta forkortede multiplikasjonsformler: (a+b)2=a2+2ab+b2,
(en-b) 2 =en 2-2ab+b 2,en 2 -b 2 =(a+b)(en-b), metode for gruppering, plassere fellesfaktoren utenfor parentes.

2. Utviklingsmessig – utvikling av logisk tenkning for bevisst persepsjon undervisningsmateriell, oppmerksomhet, aktivitet til elevene i leksjonen.

3. Utdanning - utdanning av kognitiv aktivitet, dannelse av personlige egenskaper: nøyaktighet og klarhet i verbalt uttrykk for tanker; konsentrasjon og oppmerksomhet; utholdenhet og ansvar, positiv motivasjon til å studere emnet, nøyaktighet, pliktoppfyllelse og ansvarsfølelse.

Oppgaver:

1. Forsterk materialet som er studert ved å endre typer arbeid med dette emnet "Algebraisk brøk. Redusere fraksjoner."

2. Utvikle ferdigheter og evner til å redusere algebraiske brøker ved å bruke forskjellige måter faktorisering av teller og nevner, utvikle logisk tenkning, korrekt og kompetent matematisk tale, utvikling av uavhengighet og tillit til ens kunnskap og ferdigheter når du utfører forskjellige typer virker

3. Å dyrke interessen for matematikk ved å introdusere ulike typer konsolidering av materiale: muntlig arbeid, arbeid med en lærebok, arbeid ved tavlen, matematisk diktat, test, selvstendig arbeid, spillet "Matteturnering"; stimulerende og oppmuntrende studentaktiviteter.

Plan:
JEG. Organisering av tid.
II . Muntlig arbeid.
III. Matematisk diktat.
IV.
1.Arbeid etter læreboka og ved tavlen.
2. Arbeid i grupper ved å bruke kort - spillet "Matteturnering".
3. Selvstendig arbeid etter nivåer (A, B, C).
V. Bunnlinjen.
1. Test (gjensidig verifisering).
VI. Hjemmelekser.

I løpet av timene:

I. Organisatorisk øyeblikk.

Den emosjonelle stemningen og beredskapen til læreren og elevene for timen. Studentene setter mål og mål - denne leksjonen, basert på lærerens ledende spørsmål, bestemme emnet for leksjonen.

II. Muntlig arbeid.

1. Reduser fraksjoner:

2. Finn verdien av den algebraiske brøken:
ved c = 8, c = -13, c = 11.
Svar: 6; -1; 3.

3. Svar på spørsmålene:

1) Hva er den nyttige rekkefølgen å følge når man faktoriserer polynomer?
(Når du faktoriserer polynomer, er det nyttig å følge følgende rekkefølge: a) sett fellesfaktoren utenfor parentes, hvis det er en; b) prøv å faktorisere polynomet ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler; c) prøv å bruke grupperingsmetoden hvis de tidligere metodene ikke førte til målet).

2) Hva er kvadratet av summen?
(Kvadraten av summen av to tall er lik kvadratet av det første tallet pluss to ganger produktet av det første tallet og det andre pluss kvadratet av det andre tallet).

3) Hva er kvadratet av forskjellen?
(Kvadraten av forskjellen mellom to tall er lik kvadratet til det første tallet minus to ganger produktet av det første tallet og det andre pluss kvadratet av det andre tallet).

4) Hva er forskjellen mellom kvadratene til to tall?
(Differansen mellom kvadratene til to tall er lik produktet av forskjellen mellom disse tallene og summen deres).

5) Hva må gjøres ved bruk av grupperingsmetoden? (For å faktorisere et polynom ved hjelp av grupperingsmetoden, må du: a) kombinere medlemmene av polynomet til grupper som har en felles faktor i form av et polynom; b) ta denne felles faktoren ut av parentes).
6) For å ta fellesfaktoren ut av parentes, trenger du......?
(Finn denne felles faktoren; 2. sett den utenfor parentes).

7) Hvilke metoder kjenner du til å faktorisere et polynom?
(Sett fellesfaktoren utenfor parentes, grupperingsmetode, forkortede multiplikasjonsformler).

8) Hva må til for å redusere en brøk?
(For å redusere en brøk, del telleren og nevneren med deres felles faktor.)

III. Matematisk diktat.

1. Understrek algebraiske brøker:

Alternativ I:

Alternativ II:

1. Er det mulig å forestille seg uttrykket

Alternativ I:

Alternativ II:

som polynom? Kan du forestille deg?

3. Hvilke bokstavverdier er akseptable for uttrykket:
Alternativ I:

Alternativ II:
(x-5)(x+7).

4. Skriv en algebraisk brøk med en teller
Alternativ I:
3x2.
Alternativ II:
5 år.
og nevner

Alternativ I:
x(x+3).
Alternativ II:
y2 (y+7).
og forkorte den.

IV. Konsolidering av emnet: "Algebraisk brøk. Reduserende brøker":

1.Arbeid etter læreboka og ved tavlen.

Faktor telleren og nevneren til brøken og reduser den.
№441(1;3).

1. ; 3.

№442(1;3;5).

1. 3.

№443(1;3).

1. 3.

№444(1;3).

1. 3.

№445(1;3).

1. 3.

№446(1;3).

2. Arbeid i grupper ved å bruke kort - spillet "Matteturnering".

(Oppgaver for spillet – «Vedlegg 1».)
Konsolidering og testing av ferdigheter i å løse eksempler på dette emnet utføres i form av en turnering. Klassen er delt inn i grupper og de får oppgaver på kort (kort på ulike nivåer).
Etter en viss tid må hver elev skrive ned løsningen på teamets oppgaver i en notatbok og kunne forklare dem.
Konsultasjoner innen laget er tillatt (gjennomført av kapteinen).
Så begynner turneringen: hvert lag har rett til å utfordre andre, men bare én gang. For eksempel kaller kapteinen på det første laget elever fra det andre laget for å delta i turneringen; Det samme gjør kapteinen på andrelaget, de går til brettet, bytter kort og løser problemer osv.

3. Selvstendig arbeid på nivå (A, B, C)

«Didaktisk materiale» L.I. Zvavich et al., s. 95, C-52 (boken er tilgjengelig for alle studenter).
EN . №1: I alternativ-1) a, b; 2) a,c; 5) a.
II alternativ-1) c, d; 2) b, d, 5) c.
B . №2: Alternativ I - a.
Alternativ II - b.
I . №3: Alternativ I - a.
Alternativ II - b.

V. Bunnlinjen.

1. Test (gjensidig verifisering).
(Oppgaver til prøven – «Vedlegg 2».)
(på kort for hver student, i henhold til alternativer)

VI. Hjemmelekser.

1) "D.M." side 95 nr. 1. (3,4,6);
2) nr. 447 (jevn);
3) §24, gjenta § 19 - §23.

I denne artikkelen vil vi gå i detalj om redusere algebraiske brøker. Først, la oss finne ut hva som menes med begrepet "reduksjon av en algebraisk brøk" og finne ut om en algebraisk brøk alltid er reduserbar. Nedenfor presenterer vi en regel som gjør at denne transformasjonen kan utføres. Til slutt vil vi vurdere løsninger på typiske eksempler som vil tillate oss å forstå alle forviklingene i prosessen.

Sidenavigering.

Hva betyr det å redusere en algebraisk brøk?

Mens vi studerte, snakket vi om reduksjonen deres. vi kalte å dele telleren og nevneren med en felles faktor. For eksempel kan fellesbrøken 30/54 reduseres med 6 (det vil si dens teller og nevner delt på 6), noe som fører oss til brøken 5/9.

Med å redusere en algebraisk brøk mener vi lignende handling. Reduser en algebraisk brøk- dette betyr å dele telleren og nevneren med en felles faktor. Men hvis den felles faktoren til telleren og nevneren vanlig brøk kan bare være et tall, så kan fellesfaktoren for telleren og nevneren til en algebraisk brøk være et polynom, spesielt et monomial eller et tall.

For eksempel kan en algebraisk brøk reduseres med tallet 3, noe som gir brøken . Det er også mulig å utføre en sammentrekning til variabelen x, noe som resulterer i uttrykket . Den opprinnelige algebraiske brøken kan reduseres til monomial 3 x, så vel som til hvilket som helst av polynomene x+2 y, 3 x +6 y, x 2 +2 x y eller 3 x 2 +6 x y.

Det endelige målet med å redusere en algebraisk brøk er å oppnå en brøkdel av en enklere form, i beste fall en ikke-reduserbar brøk.

Kan enhver algebraisk brøk reduseres?

Vi vet at vanlige brøker deles inn i . Irreduserbare brøker har ikke andre fellesfaktorer i telleren og nevneren enn én, og kan derfor ikke reduseres.

Algebraiske brøker kan ha felles faktorer i telleren og nevneren. Hvis det er felles faktorer, er det mulig å redusere en algebraisk brøk. Hvis det ikke er noen felles faktorer, er det umulig å forenkle en algebraisk brøk ved å redusere den.

Generelt, iht utseende algebraisk brøk, er det ganske vanskelig å avgjøre om den kan reduseres. Selvfølgelig, i noen tilfeller er de felles faktorene for telleren og nevneren åpenbare. For eksempel er det tydelig at telleren og nevneren til en algebraisk brøk har en felles faktor 3. Det er også lett å legge merke til at en algebraisk brøk kan reduseres med x, med y eller direkte med x·y. Men mye oftere er den vanlige faktoren til telleren og nevneren for en algebraisk brøk ikke umiddelbart synlig, og enda oftere eksisterer den rett og slett ikke. For eksempel er det mulig å redusere en brøk med x−1, men denne fellesfaktoren er ikke tydelig til stede i notasjonen. Og en algebraisk brøk det er umulig å redusere, siden telleren og nevneren ikke har felles faktorer.

Generelt er spørsmålet om reduserbarheten til en algebraisk brøk svært vanskelig. Og noen ganger er det lettere å løse et problem ved å jobbe med en algebraisk brøk i sin opprinnelige form enn å finne ut om denne brøken kan reduseres først. Men det er fortsatt transformasjoner som i noen tilfeller gjør det mulig, med relativt liten innsats, å finne fellesfaktorene for telleren og nevneren, hvis noen, eller å konkludere med at den opprinnelige algebraiske brøken er irreduserbar. Denne informasjonen vil bli offentliggjort i neste avsnitt.

Regel for å redusere algebraiske brøker

Informasjonen i de foregående avsnittene tillater naturlig oppfatte følgende regel for å redusere algebraiske brøker, som består av to trinn:

• først blir de felles faktorene til telleren og nevneren til den opprinnelige brøken funnet;
• hvis det er noen, foretas en reduksjon av disse faktorene.

De angitte trinnene i den annonserte regelen trenger avklaring.

Mest praktisk måteå finne vanlige består i å faktorisere polynomene som er i telleren og nevneren til den opprinnelige algebraiske brøken. I dette tilfellet blir fellesfaktorene til telleren og nevneren umiddelbart synlige, eller det blir klart at det ikke er noen fellesfaktorer.

Hvis det ikke er noen felles faktorer, kan vi konkludere med at den algebraiske brøken er irreduserbar. Hvis vanlige faktorer blir funnet, reduseres de i det andre trinnet. Resultatet er en ny brøkdel av en enklere form.

Regelen for å redusere algebraiske brøker er basert på den grunnleggende egenskapen til en algebraisk brøk, som uttrykkes ved likheten, der a, b og c er noen polynomer, og b og c er ikke-null. I det første trinnet reduseres den opprinnelige algebraiske brøken til den formen som fellesfaktoren c blir synlig fra, og i det andre trinnet utføres reduksjonen - overgangen til brøken.

La oss gå videre til å løse eksempler ved å bruke av denne regelen. På dem vil vi analysere alle mulige nyanser som oppstår når telleren og nevneren til en algebraisk brøk faktoriseres i faktorer og påfølgende reduksjon.

Typiske eksempler

Først må vi snakke om å redusere algebraiske brøker hvis teller og nevner er de samme. Slike brøker er identisk lik en på hele ODZ av variablene som er inkludert i den, for eksempel,
og så videre.

Nå skader det ikke å huske hvordan man reduserer vanlige brøker - tross alt er de et spesielt tilfelle av algebraiske brøker. Naturlige tall i telleren og nevneren til en felles brøk, hvoretter fellesfaktorene annulleres (hvis noen). For eksempel, . Produktet av identiske primfaktorer kan skrives i form av potenser, og brukes ved forkortelse. I dette tilfellet vil løsningen se slik ut: , her delte vi telleren og nevneren med en felles faktor 2 2 3. Eller, for større klarhet, basert på egenskapene til multiplikasjon og divisjon, er løsningen presentert i skjemaet.

Absolutt lignende prinsipper brukes for å redusere algebraiske brøker, hvis teller og nevner inneholder monomer med heltallskoeffisienter.

Eksempel.

Avbryt en algebraisk brøk .

Løsning.

Du kan representere telleren og nevneren til den opprinnelige algebraiske brøken som et produkt av enkle faktorer og variabler, og deretter utføre reduksjonen:

Men det er mer rasjonelt å skrive løsningen i form av et uttrykk med krefter:

Svar:

.

Når det gjelder reduksjonen av algebraiske brøker som har numeriske brøkkoeffisienter i telleren og nevneren, kan du gjøre to ting: enten dele disse brøkkoeffisientene separat, eller først bli kvitt brøkkoeffisientene ved å multiplisere telleren og nevneren med et naturlig tall. Vi snakket om den siste transformasjonen i artikkelen som bringer en algebraisk brøk til en ny nevner den kan utføres på grunn av den grunnleggende egenskapen til en algebraisk brøk. La oss forstå dette med et eksempel.

Eksempel.

Utfør brøkreduksjon.

Løsning.

Du kan redusere brøken som følger: .

Eller du kan først bli kvitt brøkkoeffisienter ved å multiplisere telleren og nevneren med nevnerne til disse koeffisientene, det vil si med LCM(5, 10)=10. I dette tilfellet har vi .

Svar:

.

Vi kan gå videre til algebraiske brøker generelt syn, der telleren og nevneren kan inneholde både tall og monomer, samt polynomer.

Når man reduserer slike brøker, er hovedproblemet at fellesfaktoren til telleren og nevneren ikke alltid er synlig. Dessuten eksisterer det ikke alltid. For å finne en felles faktor eller bekrefte fraværet, må du faktorisere telleren og nevneren til en algebraisk brøk.

Eksempel.

Reduser en rasjonell brøkdel .

Løsning.

For å gjøre dette, faktor polynomene i telleren og nevneren. La oss starte med å sette den utenfor parentes: . Det er klart at uttrykkene i parentes kan transformeres ved hjelp av

Første nivå

Konvertering av uttrykk. Detaljert teori (2019)

Konvertering av uttrykk

Vi hører ofte denne ubehagelige setningen: "forenkle uttrykket." Vanligvis ser vi et slags monster som dette:

"Det er mye enklere," sier vi, men et slikt svar fungerer vanligvis ikke.

Nå skal jeg lære deg å ikke være redd for slike oppgaver. Dessuten, på slutten av leksjonen, vil du selv forenkle dette eksemplet til (bare!) et vanlig tall (ja, til helvete med disse bokstavene).

Men før du starter denne leksjonen, må du kunne håndtere brøker og faktorpolynomer. Derfor, først, hvis du ikke har gjort dette før, sørg for å mestre emnene "" og "".

Har du lest den? Hvis ja, så er du nå klar.

Grunnleggende forenklingsoperasjoner

La oss nå se på de grunnleggende teknikkene som brukes for å forenkle uttrykk.

Den enkleste er

1. Å bringe lignende

Hva er like? Dette tok du i 7. klasse, da bokstaver i stedet for tall først dukket opp i matematikk. Lignende er termer (monomialer) med samme bokstavdel. For eksempel, i sum er lignende termer og.

Husker du?

Å bringe lignende betyr å legge til flere lignende termer til hverandre og få en term.

Hvordan kan vi sette sammen bokstavene? - du spør.

Dette er veldig lett å forstå hvis du ser for deg at bokstavene er en slags gjenstander. For eksempel er et brev en stol. Hva er så uttrykket lik? To stoler pluss tre stoler, hvor mange blir det? Det stemmer, stoler: .

Prøv nå dette uttrykket: .

For å unngå forvirring, la forskjellige bokstaver representere ulike objekter. For eksempel, - er (som vanlig) en stol, og - er et bord. Deretter:

stoler bord stoler bord stoler stoler bord

Tallene som bokstavene i slike termer multipliseres med kalles koeffisienter. For eksempel, i en monomial er koeffisienten lik. Og i den er lik.

Så, regelen for å bringe lignende er:

Eksempler:

Gi lignende:

Svar:

2. (og lignende, siden disse vilkårene derfor har samme bokstavdel).

2. Faktorisering

Dette er vanligvis den viktigste delen i å forenkle uttrykk. Etter at du har gitt lignende, må som oftest det resulterende uttrykket faktoriseres, det vil si presenteres som et produkt. Dette er spesielt viktig i brøk: For å kunne redusere en brøk må telleren og nevneren representeres som et produkt.

Du gikk gjennom metodene for å faktorisere uttrykk i detalj i emnet "", så her må du bare huske hva du har lært. For å gjøre dette, avgjør noen eksempler(må faktoriseres):

Løsninger:

3. Redusere en brøkdel.

Vel, hva kan være mer behagelig enn å krysse ut deler av telleren og nevneren og kaste dem ut av livet ditt?

Det er det fine med nedbemanning.

Det er enkelt:

Dersom teller og nevner inneholder de samme faktorene, kan de reduseres, det vil si fjernes fra brøken.

Denne regelen følger av den grunnleggende egenskapen til en brøk:

Det vil si at essensen av reduksjonsoperasjonen er det Vi deler telleren og nevneren til brøken med samme tall (eller med samme uttrykk).

For å redusere en brøkdel trenger du:

1) teller og nevner faktorisere

2) hvis telleren og nevneren inneholder felles faktorer, kan de krysses over.

Prinsippet tror jeg er klart?

Jeg vil gjerne gjøre deg oppmerksom på én ting typisk feil ved inngåelse. Selv om dette emnet er enkelt, gjør mange mennesker alt feil, uten å forstå det redusere- Dette betyr dele opp teller og nevner er samme tall.

Ingen forkortelser hvis telleren eller nevneren er en sum.

For eksempel: vi må forenkle.

Noen mennesker gjør dette: noe som er helt feil.

Et annet eksempel: redusere.

De "smarteste" vil gjøre dette: .

Fortell meg hva som er galt her? Det ser ut til: - dette er en multiplikator, som betyr at den kan reduseres.

Men nei: - dette er en faktor på bare ett ledd i telleren, men selve telleren som helhet er ikke faktorisert.

Her er et annet eksempel: .

Dette uttrykket er faktorisert, noe som betyr at du kan redusere det, det vil si å dele telleren og nevneren med, og deretter med:

Du kan umiddelbart dele den inn i:

For å unngå slike feil, husk enkel måte hvordan bestemme om et uttrykk er faktorisert:

Den aritmetiske operasjonen som utføres sist når verdien av et uttrykk beregnes, er "master"-operasjonen. Det vil si, hvis du erstatter noen (hvilken som helst) tall i stedet for bokstaver og prøver å beregne verdien av uttrykket, så hvis den siste handlingen er multiplikasjon, så har vi et produkt (uttrykket er faktorisert). Hvis den siste handlingen er addisjon eller subtraksjon, betyr dette at uttrykket ikke er faktorisert (og derfor ikke kan reduseres).

For å konsolidere, løs noen selv eksempler:

Svar:

1. Jeg håper du ikke hastet med å kutte og? Det var fortsatt ikke nok å "redusere" enheter som dette:

Det første trinnet bør være faktorisering:

4. Legge til og trekke fra brøker. Redusere brøker til en fellesnevner.

Addisjon og subtraksjon vanlige brøker- operasjonen er velkjent: vi ser etter en fellesnevner, multipliserer hver brøk med den manglende faktoren og adderer/subtraherer tellerne. La oss huske:

Svar:

1. Nevnerne og er relativt prime, det vil si at de ikke har felles faktorer. Derfor er LCM for disse tallene lik produktet deres. Dette vil være fellesnevneren:

2. Her er fellesnevneren:

3. Det første her blandede fraksjoner vi gjør dem til feil, og følger deretter det vanlige mønsteret:

Det er en helt annen sak hvis brøkene inneholder bokstaver, for eksempel:

La oss starte med noe enkelt:

a) Nevnere inneholder ikke bokstaver

Her er alt det samme som med vanlige numeriske brøker: vi finner fellesnevneren, multipliserer hver brøk med den manglende faktoren og adderer/subtraherer tellerne:

Nå i telleren kan du gi lignende, hvis noen, og faktor dem:

Prøv selv:

b) Nevnere inneholder bokstaver

La oss huske prinsippet om å finne en fellesnevner uten bokstaver:

· først og fremst bestemmer vi de felles faktorene;

· så skriver vi ut alle fellesfaktorene en om gangen;

· og multipliser dem med alle andre ikke-vanlige faktorer.

For å bestemme fellesfaktorene til nevnerne, deler vi dem først inn i primfaktorer:

La oss understreke de vanlige faktorene:

La oss nå skrive ut de vanlige faktorene én om gangen og legge til alle de ikke-vanlige (ikke understreket) faktorene:

Dette er fellesnevneren.

La oss gå tilbake til bokstavene. Nevnerne er gitt på nøyaktig samme måte:

· faktor nevnerne;

· bestemme vanlige (identiske) faktorer;

· skrive ut alle vanlige faktorer én gang;

· multiplisere dem med alle andre ikke-vanlige faktorer.

Så, i rekkefølge:

1) faktor nevnerne:

2) bestemme vanlige (identiske) faktorer:

3) skriv ut alle vanlige faktorer én gang og multipliser dem med alle andre (uuthevede) faktorer:

Så det er en fellesnevner her. Den første brøken må multipliseres med, den andre - med:

Forresten, det er ett triks:

For eksempel: .

Vi ser de samme faktorene i nevnerne, bare alle med ulike indikatorer. Fellesnevneren vil være:

til en grad

til en grad

til en grad

til en grad.

La oss komplisere oppgaven:

Hvordan få brøker til å ha samme nevner?

La oss huske den grunnleggende egenskapen til en brøk:

Ingen steder står det at det samme tallet kan trekkes fra (eller legges til) fra telleren og nevneren til en brøk. For det er ikke sant!

Se selv: ta en hvilken som helst brøk, for eksempel, og legg til et tall til telleren og nevneren, for eksempel . Hva lærte du?

Så, en annen urokkelig regel:

Når du reduserer brøker til en fellesnevner, bruk kun multiplikasjonsoperasjonen!

Men hva må du multiplisere med for å få?

Så multipliser med. Og multipliser med:

Vi vil kalle uttrykk som ikke kan faktoriseres "elementære faktorer." For eksempel - dette er en elementær faktor. - Samme. Men nei: det kan faktoriseres.

Hva med uttrykket? Er det elementært?

Nei, fordi det kan faktoriseres:

(du har allerede lest om faktorisering i emnet "").

Så de elementære faktorene du dekomponerer et uttrykk i med bokstaver er en analog av de enkle faktorene du dekomponerer tall i. Og vi vil håndtere dem på samme måte.

Vi ser at begge nevnerne har en multiplikator. Det vil gå til fellesnevneren til den grad (husker du hvorfor?).

Faktoren er elementær, og de har ikke en felles faktor, noe som betyr at den første brøken ganske enkelt må multipliseres med den:

Et annet eksempel:

Løsning:

Før du multipliserer disse nevnerne i panikk, må du tenke på hvordan du kan faktorisere dem? De representerer begge:

Flott! Deretter:

Et annet eksempel:

Løsning:

La oss som vanlig faktorisere nevnerne. I den første nevneren setter vi det ganske enkelt utenfor parentes; i den andre - forskjellen mellom kvadrater:

Det ser ut til at det ikke er noen felles faktorer. Men hvis du ser nøye etter, er de like... Og det er sant:

Så la oss skrive:

Det vil si at det ble slik: innenfor parentesen byttet vi begrepene, og samtidig endret tegnet foran brøken til det motsatte. Vær oppmerksom på at du må gjøre dette ofte.

La oss nå bringe det til en fellesnevner:

Har det? La oss sjekke det nå.

Oppgaver for selvstendig løsning:

Svar:

Her må vi huske en ting til - forskjellen på kuber:

Vær oppmerksom på at nevneren til den andre brøken ikke inneholder formelen "kvadrat av summen"! Kvadraten av summen vil se slik ut: .

A er det såkalte ufullstendige kvadratet av summen: det andre leddet i det er produktet av det første og siste, og ikke deres dobbeltprodukt. Det partielle kvadratet av summen er en av faktorene i utvidelsen av forskjellen av terninger:

Hva skal jeg gjøre hvis det allerede er tre brøker?

Ja, det samme! Først av alt, la oss sørge for det maksimalt beløp faktorene i nevnerne var de samme:

Merk: Hvis du endrer tegnene innenfor en parentes, endres tegnet foran brøken til det motsatte. Når vi endrer tegnene i andre parentes, endres tegnet foran brøken igjen til motsatt. Som et resultat har det (tegnet foran brøken) ikke endret seg.

Vi skriver ut hele den første nevneren i fellesnevneren, og legger så til alle faktorene som ennå ikke er skrevet, fra den andre, og deretter fra den tredje (og så videre, hvis det er flere brøker). Det vil si at det blir slik:

Hmm... Det er klart hva man skal gjøre med brøker. Men hva med de to?

Det er enkelt: du vet hvordan du legger til brøker, ikke sant? Så vi må få to til å bli en brøkdel! La oss huske: en brøk er en divisjonsoperasjon (telleren deles på nevneren, i tilfelle du har glemt det). Og det er ikke noe enklere enn å dele et tall på. I dette tilfellet vil ikke selve tallet endre seg, men blir til en brøkdel:

Akkurat det som trengs!

5. Multiplikasjon og deling av brøker.

Vel, den vanskeligste delen er over nå. Og foran oss er det enkleste, men samtidig det viktigste:

Fremgangsmåte

Hva er fremgangsmåten for å telle? numerisk uttrykk? Husk ved å beregne betydningen av dette uttrykket:

Har du telt?

Det burde fungere.

Så la meg minne deg på det.

Det første trinnet er å beregne graden.

Den andre er multiplikasjon og divisjon. Hvis det er flere multiplikasjoner og divisjoner samtidig, kan de gjøres i hvilken som helst rekkefølge.

Og til slutt utfører vi addisjon og subtraksjon. Igjen, i hvilken som helst rekkefølge.

Men: uttrykket i parentes vurderes utenfor tur!

Hvis flere parenteser multipliseres eller divideres med hverandre, regner vi først ut uttrykket i hver av parentesene, og deretter multipliserer eller dividerer vi dem.

Hva om det er flere braketter inne i brakettene? Vel, la oss tenke: et eller annet uttrykk er skrevet innenfor parentes. Når du beregner et uttrykk, hva bør du gjøre først? Det stemmer, beregn parentesene. Vel, vi fant det ut: først beregner vi de indre parentesene, så alt annet.

Så prosedyren for uttrykket ovenfor er som følger (den gjeldende handlingen er uthevet i rødt, det vil si handlingen jeg utfører akkurat nå):

Ok, det hele er enkelt.

Men dette er ikke det samme som et uttrykk med bokstaver?

Nei, det er det samme! Bare i stedet for aritmetiske operasjoner du må gjøre algebraisk, det vil si handlingene beskrevet i forrige avsnitt: bringe lignende, legge til fraksjoner, redusere fraksjoner og så videre. Den eneste forskjellen vil være handlingen med å faktorisere polynomer (vi bruker ofte dette når vi jobber med brøker). Oftest, for å faktorisere, må du bruke I eller ganske enkelt sette fellesfaktoren ut av parentes.

Vanligvis er målet vårt å representere uttrykket som et produkt eller kvotient.

For eksempel:

La oss forenkle uttrykket.

1) Først forenkler vi uttrykket i parentes. Der har vi en forskjell på brøker, og målet vårt er å presentere det som et produkt eller kvotient. Så vi bringer brøkene til en fellesnevner og legger til:

Det er umulig å forenkle dette uttrykket ytterligere alle faktorene her er elementære (husker du fortsatt hva dette betyr?).

2) Vi får:

Multiplisere brøker: hva kan være enklere.

3) Nå kan du forkorte:

OK, det er over nå. Ikke noe komplisert, ikke sant?

Et annet eksempel:

Forenkle uttrykket.

Prøv først å løse det selv, og først deretter se på løsningen.

Først av alt, la oss bestemme rekkefølgen av handlinger. La oss først legge til brøkene i parentes, så i stedet for to brøker får vi en. Deretter skal vi gjøre deling av brøker. Vel, la oss legge til resultatet med den siste brøken. Jeg vil nummerere trinnene skjematisk:

Nå skal jeg vise deg prosessen, og farge den gjeldende handlingen i rødt:

Til slutt vil jeg gi deg to nyttige tips:

1. Hvis det er lignende, må de bringes umiddelbart. Uansett når lignende oppstår i landet vårt, er det tilrådelig å ta dem opp umiddelbart.

2. Det samme gjelder for å redusere brøker: så snart muligheten til å redusere dukker opp, må den utnyttes. Unntaket er for brøker som du legger til eller trekker fra: hvis de nå har samme nevner, bør reduksjonen stå til senere.

Her er noen oppgaver du kan løse på egen hånd:

Og det som ble lovet helt i begynnelsen:

Løsninger (kortfattet):

Hvis du har taklet minst de tre første eksemplene, så har du mestret temaet.

Nå til læring!

KONVERTERE UTTRYKK. SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Grunnleggende forenklingsoperasjoner:

• Tar med lignende: for å legge til (redusere) lignende termer, må du legge til koeffisientene deres og tilordne bokstavdelen.
• Faktorisering: sette den felles faktoren ut av parentes, bruke den osv.
• Reduserer en brøkdel: Telleren og nevneren til en brøk kan multipliseres eller divideres med det samme tallet som ikke er null, noe som ikke endrer verdien av brøken.
  1) teller og nevner faktorisere
  2) hvis teller og nevner har felles faktorer, kan de krysses ut.

  VIKTIG: kun multiplikatorer kan reduseres!

• Legge til og trekke fra brøker:
  ;
• Multiplisere og dele brøker:
  ;