Regler for å redusere brøker med ukjente. Redusere algebraiske brøker

Inndeling og telleren og nevneren av brøken på deres felles deler , forskjellig fra en, kalles redusere en brøkdel.

For å redusere en vanlig brøk, må du dele telleren og nevneren med det samme naturlige tallet.

Dette tallet er den største felles divisor for telleren og nevneren for den gitte brøken.

Følgende er mulig skjema for beslutningsopptak Eksempler for å redusere vanlige brøker.

Studenten har rett til å velge hvilken som helst form for opptak.

Eksempler. Forenkle brøker.

Reduser brøken med 3 (del telleren med 3;

del nevneren med 3).

Reduser brøken med 7.

Vi utfører de angitte handlingene i telleren og nevneren til brøken.

Den resulterende fraksjonen reduseres med 5.

La oss redusere denne brøkdelen 4) på 5·7³- den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren, som består av fellesfaktorene til telleren og nevneren, tatt i potens med den minste eksponenten.

La oss faktorisere telleren og nevneren til denne brøken i primfaktorer.

Vi får: 756=2²·3³·7 Og 1176=2³·3·7².

Bestem GCD (største felles divisor) for telleren og nevneren til brøken 5) .

Dette er produktet av vanlige faktorer tatt med de laveste eksponentene.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Vi deler telleren og nevneren for denne brøken med deres gcd, dvs. med 2²·3·7 vi får en irreduserbar brøkdel 9/14 .

Eller det var mulig å skrive nedbrytningen av teller og nevner i form av et produkt av primfaktorer, uten å bruke potensbegrepet, og deretter redusere brøken ved å krysse ut de samme faktorene i telleren og nevneren. Når det ikke er identiske faktorer igjen, multipliserer vi de resterende faktorene separat i telleren og separat i nevneren og skriver ut den resulterende brøken 9/14 .

Og til slutt var det mulig å redusere denne brøkdelen 5) gradvis, ved å bruke tegn på å dele tall på både telleren og nevneren av brøken. La oss tenke slik: tall 756 Og 1176 ende på et partall, som betyr at begge er delbare med 2 . Vi reduserer brøken med 2 . Telleren og nevneren til den nye brøken er tall 378 Og 588 også delt inn i 2 . Vi reduserer brøken med 2 . Vi merker at tallet 294 - til og med, og 189 er oddetall, og reduksjon med 2 er ikke lenger mulig. La oss sjekke delebarheten til tall 189 Og 294 på 3 .

(1+8+9)=18 er delelig med 3 og (2+9+4)=15 er delelig med 3, derav tallene i seg selv 189 Og 294 er delt inn i 3 . Vi reduserer brøken med 3 . Lengre, 63 er delelig med 3 og 98 - Nei. La oss se på andre hovedfaktorer. Begge tallene er delbare med 7 . Vi reduserer brøken med 7 og vi får den irreduserbare brøken 9/14 .

I denne artikkelen skal vi se på grunnleggende operasjoner med algebraiske brøker:

reduserende fraksjoner
multiplisere brøker
dele brøker

La oss begynne med reduksjon av algebraiske brøker.

Det ser ut til at algoritmeåpenbart.

Til redusere algebraiske brøker, trenger å

1. Faktor telleren og nevneren til brøken.

2. Reduser like faktorer.

Imidlertid gjør skolebarn ofte feilen med å "redusere" ikke faktorene, men vilkårene. For eksempel er det amatører som "reduserer" brøker med og får som et resultat, noe som selvfølgelig ikke er sant.

La oss se på eksempler:

1. Reduser fraksjon:

1. La oss faktorisere telleren ved å bruke formelen til kvadratet av summen, og nevneren ved å bruke formelen for kvadratforskjellen

2. Del teller og nevner med

2. Reduser fraksjon:

1. La oss faktorisere telleren. Siden telleren inneholder fire termer, bruker vi gruppering.

2. La oss faktorisere nevneren. Vi kan også bruke gruppering.

3. La oss skrive ned brøken vi fikk og redusere de samme faktorene:

Multiplisere algebraiske brøker.

Når vi multipliserer algebraiske brøker, multipliserer vi telleren med telleren, og multipliserer nevneren med nevneren.

Viktig! Det er ikke nødvendig å skynde seg å multiplisere telleren og nevneren til en brøk. Etter at vi har skrevet ned produktet av tellerne av brøkene i telleren, og produktet av nevnerne i nevneren, må vi faktorisere hver faktor og redusere brøken.

La oss se på eksempler:

3. Forenkle uttrykket:

1. La oss skrive produktet av brøker: i telleren produktet av tellerne, og i nevneren produktet av nevnerne:

2. La oss faktorisere hver parentes:

Nå må vi redusere de samme faktorene. Legg merke til at uttrykkene og bare avviker i tegn: og som et resultat av å dele det første uttrykket med det andre får vi -1.

Så,

Vi deler algebraiske brøker i henhold til følgende regel:

Det er For å dele på en brøk, må du multiplisere med den "inverterte".

Vi ser at å dele brøker kommer ned til å multiplisere, og multiplikasjon kommer til syvende og sist ned på å redusere brøker.

La oss se på et eksempel:

4. Forenkle uttrykket:

Når en elev flytter til videregående skole, matematikk er delt inn i 2 fag: algebra og geometri. Det blir flere og flere konsepter, oppgavene blir vanskeligere og vanskeligere. Noen mennesker har problemer med å forstå brøker. Gikk glipp av den første leksjonen om dette emnet, og vips. brøker? Et spørsmål som vil plage hele skolehverdagen min.

Konseptet med en algebraisk brøk

La oss starte med en definisjon. Under algebraisk brøk refererer til uttrykkene P/Q, der P er telleren og Q er nevneren. Et tall kan være skjult under bokstavoppføringen, numerisk uttrykk, numerisk bokstavuttrykk.

Før du lurer på hvordan du løser algebraiske brøker, må du først forstå at et slikt uttrykk er en del av helheten.

Som regel er et heltall 1. Tallet i nevneren viser hvor mange deler enheten er delt inn i. Telleren er nødvendig for å finne ut hvor mange elementer som tas. Brøkstreken tilsvarer divisjonstegnet. Opptak tillatt brøkuttrykk som en matematisk operasjon "Division". I dette tilfellet er telleren utbyttet, nevneren er divisor.

Grunnregel for vanlige brøker

Når elevene består dette emnet på skolen får de eksempler for å forsterke. For å løse dem riktig og finne forskjellige veier fra vanskelige situasjoner, må du bruke den grunnleggende egenskapen til brøker.

Det går slik: Hvis du multipliserer både telleren og nevneren med samme tall eller uttrykk (annet enn null), så er verdien vanlig brøk Vil ikke endre seg. En spesiell sak fra av denne regelen er deling av begge sider av et uttrykk med samme tall eller polynom. Slike transformasjoner kalles identiske likheter.

Nedenfor skal vi se på hvordan man løser addisjon og subtraksjon av algebraiske brøker, multiplisere, dele og redusere brøker.

Matematiske operasjoner med brøker

La oss se på hvordan du løser, hovedegenskapen til en algebraisk brøk, og hvordan du bruker den i praksis. Hvis du trenger å multiplisere to brøker, addere dem, dele på hverandre eller trekke fra, må du alltid følge reglene.

For operasjonen av addisjon og subtraksjon må det altså finnes en tilleggsfaktor for å bringe uttrykkene til en fellesnevner. Hvis brøkene i utgangspunktet er gitt med samme uttrykk Q, da må du utelate dette elementet. Når fellesnevneren er funnet, hvordan løser du algebraiske brøker? Du må legge til eller trekke fra tellere. Men! Det må huskes at hvis det er et "-"-tegn foran en brøk, blir alle tegn i telleren reversert. Noen ganger bør du ikke utføre noen erstatninger eller matematiske operasjoner. Det er nok å endre tegnet foran brøken.

Konseptet brukes ofte som reduserende fraksjoner. Dette betyr følgende: hvis telleren og nevneren er delt med et uttrykk som er forskjellig fra ett (likt for begge deler), så oppnås en ny brøk. Utbytte og divisor er mindre enn før, men på grunn av den grunnleggende brøkregelen forblir de lik det opprinnelige eksemplet.

Hensikten med denne operasjonen er å få et nytt irreduserbart uttrykk. Dette problemet kan løses ved å redusere telleren og nevneren med den største fellesfaktoren. Operasjonsalgoritmen består av to punkter:

Finne gcd for begge sider av brøken.
Dele telleren og nevneren med det funnet uttrykket og oppnå en irreduserbar brøk lik den forrige.

Nedenfor er en tabell som viser formlene. For enkelhets skyld kan du skrive den ut og ha den med deg i en notatbok. Men slik at det i fremtiden, når du løser en test eller eksamen, ikke vil være noen vanskeligheter i spørsmålet om hvordan du løser algebraiske brøker, må disse formlene læres utenat.

Flere eksempler med løsninger

Fra et teoretisk synspunkt vurderes spørsmålet om hvordan man løser algebraiske brøker. Eksemplene gitt i artikkelen vil hjelpe deg å forstå materialet bedre.

1. Gjør om brøker og få dem til en fellesnevner.

2. Gjør om brøker og bring dem til en fellesnevner.

Etter å ha studert den teoretiske delen og vurdert praktiske spørsmål det burde ikke være mer.

Det er basert på deres grunnleggende egenskap: hvis telleren og nevneren til en brøk er delt med det samme polynomet som ikke er null, vil en lik brøk fås.

Du kan bare redusere multiplikatorer!

Medlemmer av polynomer kan ikke forkortes!

For å redusere en algebraisk brøk, må polynomene i telleren og nevneren først faktoriseres.

La oss se på eksempler på å redusere brøker.

Telleren og nevneren for brøken inneholder monomialer. De representerer arbeid(tall, variabler og deres potenser), multiplikatorer vi kan redusere.

Vi reduserer tallene med deres største felles divisor, det vil si med det største tallet som hvert av disse tallene er delt med. For 24 og 36 er dette 12. Etter reduksjon gjenstår 2 fra 24 og 3 fra 36.

Vi reduserer gradene med graden med lavest indeks. Å redusere en brøk betyr å dele telleren og nevneren med samme divisor, og trekke fra eksponentene.

a² og a⁷ reduseres til a². I dette tilfellet forblir en i telleren av a² (vi skriver 1 bare i tilfellet når det etter reduksjon ikke er andre faktorer igjen. Fra 24 gjenstår 2, så vi skriver ikke 1 som gjenstår fra a²). Fra a⁷, etter reduksjon, gjenstår a⁵.

b og b er redusert med b; de resulterende enhetene er ikke skrevet.

c³º og c⁵ forkortes til c⁵. Det som gjenstår fra c³º er c²⁵, fra c⁵ er en (vi skriver det ikke). Dermed,

Telleren og nevneren til denne algebraiske brøken er polynomer. Du kan ikke avbryte vilkår for polynomer! (du kan ikke redusere for eksempel 8x² og 2x!). For å redusere denne brøkdelen trenger du . Telleren har en felles faktor på 4x. La oss ta det ut av parentes:

Både teller og nevner har samme faktor (2x-3). Vi reduserer brøken med denne faktoren. I telleren fikk vi 4x, i nevneren - 1. I følge 1 egenskap til algebraiske brøker er brøken lik 4x.

Du kan bare redusere faktorer (du kan ikke redusere denne brøkdelen med 25x²!). Derfor må polynomene i telleren og nevneren til brøken faktoriseres.

Telleren er hele kvadratet av summen, nevneren er forskjellen av kvadrater. Etter dekomponering ved bruk av forkortede multiplikasjonsformler får vi:

Vi reduserer brøken med (5x+1) (for å gjøre dette, kryss ut de to i telleren som en eksponent, og etterlater (5x+1)² (5x+1)):

Telleren har en felles faktor på 2, la oss ta den ut av parentes. Nevneren er formelen for forskjellen mellom terninger:

Som et resultat av utvidelsen fikk telleren og nevneren samme faktor (9+3a+a²). Vi reduserer brøkdelen med det:

Polynomet i telleren består av 4 ledd. det første leddet med det andre, det tredje med det fjerde, og fjern fellesfaktoren x² fra de første parentesene. Vi dekomponerer nevneren ved å bruke summen av kuberformelen:

I telleren, la oss ta den felles faktoren (x+2) ut av parentes:

Reduser brøken med (x+2):

I denne artikkelen skal vi se nærmere på hvordan reduserende fraksjoner. La oss først diskutere det som kalles å redusere en brøk. Etter dette, la oss snakke om å redusere en reduserbar brøkdel til en irreduserbar form. Deretter vil vi få tak i regelen for å redusere brøker og til slutt vurdere eksempler på anvendelsen av denne regelen.

Sidenavigering.

Hva vil det si å redusere en brøkdel?

Vi vet at vanlige brøker deles inn i reduserbare og irreduserbare brøker. Fra navnene kan du gjette at reduserbare brøker kan reduseres, men ikke reduserbare brøker.

Hva vil det si å redusere en brøkdel? Reduser fraksjon- dette betyr å dele telleren og nevneren med deres positive og forskjellig fra enhet. Det er klart at som et resultat av å redusere en brøk, oppnås en ny brøk med en mindre teller og nevner, og på grunn av den grunnleggende egenskapen til brøken er den resulterende brøken lik den opprinnelige.

La oss for eksempel redusere fellesbrøken 8/24 ved å dele telleren og nevneren med 2. Med andre ord, la oss redusere brøken 8/24 med 2. Siden 8:2=4 og 24:2=12, resulterer denne reduksjonen i brøken 4/12, som er lik den opprinnelige brøken 8/24 (se like og ulik brøk). Som et resultat har vi .

Redusere vanlige fraksjoner til irreduserbar form

Vanligvis er det endelige målet med å redusere en brøk å oppnå en irreduserbar brøk som er lik den opprinnelige reduserbare brøken. Dette målet kan oppnås ved å redusere den opprinnelige reduserbare brøken med dens teller og nevner. Som et resultat av en slik reduksjon oppnås alltid en irreduserbar fraksjon. Faktisk en brøkdel er irreduserbar, siden det er kjent at Og -. Her vil vi si at den største felles divisor for telleren og nevneren til en brøk er det største antallet, som denne fraksjonen kan reduseres med.

Så, redusere en vanlig brøk til en irreduserbar form består av å dele telleren og nevneren til den opprinnelige reduserbare brøken med deres gcd.

La oss se på et eksempel, hvor vi går tilbake til brøken 8/24 og reduserer den med den største felles divisor av tallene 8 og 24, som er lik 8. Siden 8:8=1 og 24:8=3 kommer vi til den irreduserbare brøken 1/3. Så, .

Legg merke til at uttrykket "reduser en brøk" ofte betyr å redusere den opprinnelige brøken til dens irreduserbare form. Med andre ord, å redusere en brøk refererer veldig ofte til å dele telleren og nevneren med deres største felles faktor (i stedet for med noen felles faktor).

Hvordan redusere en brøkdel? Regler og eksempler for å redusere brøker

Det gjenstår bare å se på regelen for reduksjon av brøker, som forklarer hvordan man reduserer en gitt brøk.

Regel for reduksjon av brøker består av to trinn:

først, gcd av telleren og nevneren for brøken er funnet;
for det andre deles telleren og nevneren til brøken på deres gcd, noe som gir en irreduserbar brøk lik den opprinnelige.

La oss ordne opp i det eksempel på å redusere en brøkdel etter oppgitt regel.

Eksempel.

Reduser brøken 182/195.

Løsning.

La oss utføre begge trinnene foreskrevet av regelen for å redusere en brøkdel.

Først finner vi GCD(182, 195) . Det er mest praktisk å bruke den euklidiske algoritmen (se): 195=182·1+13, 182=13·14, det vil si GCD(182, 195)=13.

Nå deler vi telleren og nevneren til brøken 182/195 med 13, og vi får den irreduserbare brøken 14/15, som er lik den opprinnelige brøken. Dette fullfører reduksjonen av fraksjonen.

Kort fortalt kan løsningen skrives slik: .

Svar:

Det er her vi kan avslutte med å redusere brøker. Men for å fullføre bildet, la oss se på ytterligere to måter å redusere brøker på, som vanligvis brukes i enkle tilfeller.

Noen ganger er telleren og nevneren for brøken som reduseres ikke vanskelig. Å redusere en brøk i dette tilfellet er veldig enkelt: du trenger bare å fjerne alle vanlige faktorer fra telleren og nevneren.

Det er verdt å merke seg at denne metoden følger direkte av regelen om reduserende brøker, siden produktet av alle vanlige primfaktorer for telleren og nevneren er lik deres største felles divisor.

La oss se på løsningen på eksempelet.

Eksempel.

Reduser fraksjonen 360/2 940.

Løsning.

La oss faktorisere telleren og nevneren til enkle faktorer: 360=2·2·2·3·3·5 og 2,940=2·2·3·5·7·7. Dermed, .

Nå blir vi kvitt de vanlige faktorene i telleren og nevneren for enkelhets skyld, vi krysser dem ganske enkelt ut: .

Til slutt multipliserer vi de resterende faktorene: , og reduksjonen av brøken er fullført.

Her er en kort oppsummering av løsningen: .

Svar:

La oss vurdere en annen måte å redusere en brøk på, som består av sekvensiell reduksjon. Her, ved hvert trinn, reduseres brøken med en felles deler av telleren og nevneren, som enten er åpenbar eller lett å bestemme ved hjelp av