En av hovedkarakteristikkene i algebra, og i all matematikk, er grad. Selvfølgelig, i det 21. århundre, kan alle beregninger gjøres på en online kalkulator, men det er bedre for hjernens utvikling å lære hvordan du gjør det selv.

I denne artikkelen vil vi vurdere de viktigste spørsmålene angående denne definisjonen. Nemlig, la oss forstå hva det er generelt og hva dets hovedfunksjoner er, hvilke egenskaper det er i matematikk.

La oss se på eksempler på hvordan regnestykket ser ut og hva de grunnleggende formlene er. La oss se på hovedtypene av mengder og hvordan de skiller seg fra andre funksjoner.

La oss forstå hvordan du løser forskjellige problemer ved å bruke denne mengden. Vi vil vise med eksempler hvordan man kan heve til null, irrasjonell, negativ, etc.

Online eksponentieringskalkulator

Hva er en potens av et tall

Hva menes med uttrykket "løfte et tall til en makt"?

Potensen n av et tall er produktet av størrelsesfaktorer n ganger på rad.

Matematisk ser det slik ut:

a n = a * a * a * …a n .

For eksempel:

• 2 3 = 2 i tredje grad. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 til trinn. to = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 til trinn. fire = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 i 5 trinn. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 = 10 i 4 trinn. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Nedenfor er en tabell med firkanter og terninger fra 1 til 10.

Tabell over grader fra 1 til 10

Nedenfor er resultatene av å heve naturlige tall til positive potenser - "fra 1 til 100".

Ch-lo	2. st.	3. trinn
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Egenskaper til grader

Hva er karakteristisk for en slik matematisk funksjon? La oss se på de grunnleggende egenskapene.

Forskere har etablert følgende tegn som er karakteristiske for alle grader:

• a n * a m = (a) (n+m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b*m).

La oss sjekke med eksempler:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. På den annen side er 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Tilsvarende: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Ellers 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Hva om det er annerledes? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Som du kan se, fungerer reglene.

Men hva med med addisjon og subtraksjon? Det er enkelt. Eksponentiering utføres først, og deretter addisjon og subtraksjon.

La oss se på eksempler:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Vær oppmerksom på: regelen vil ikke holde hvis du trekker fra først: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Men i dette tilfellet må du først beregne tillegget, siden det er handlinger i parentes: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Hvordan produsere beregninger i mer vanskelige saker ? Rekkefølgen er den samme:

• hvis det er parentes, må du begynne med dem;
• deretter eksponentiering;
• utfør deretter operasjonene multiplikasjon og divisjon;
• etter addisjon, subtraksjon.

Spise spesifikke egenskaper, ikke typisk for alle grader:

1. Den n-te roten av et tall a til m-graden vil bli skrevet som: a m / n.
2. Når du hever en brøk til en potens: både telleren og dens nevner er underlagt denne prosedyren.
3. Når du bygger et verk forskjellige tall til en potens vil uttrykket tilsvare produktet av disse tallene til den gitte potensen. Det vil si: (a * b) n = a n * b n .
4. Når du hever et tall til en negativ potens, må du dele 1 med et tall i samme århundre, men med et "+"-tegn.
5. Hvis nevneren til en brøk er in negativ grad, da vil dette uttrykket være lik produktet av telleren og nevneren til en positiv potens.
6. Et hvilket som helst tall i potensen 0 = 1, og i potensen. 1 = til deg selv.

Disse reglene er viktige i noen tilfeller, vi vil vurdere dem mer detaljert nedenfor.

Grad med negativ eksponent

Hva skal jeg gjøre med en minusgrad, det vil si når indikatoren er negativ?

Basert på eiendom 4 og 5(se punkt over), det viser seg:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Og vice versa:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Hva om det er en brøkdel?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Grad med naturlig indikator

Det forstås som en grad med eksponenter lik heltall.

Ting å huske:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...osv.

A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3...osv.

I tillegg, hvis (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... så vil resultatet være med et "+"-tegn. Hvis et negativt tall heves til en oddetall, så omvendt.

Generelle egenskaper, og alle de spesifikke egenskapene beskrevet ovenfor, er også karakteristiske for dem.

Brøkdel grad

Denne typen kan skrives som et skjema: A m / n. Les som: den n-te roten av tallet A i potensen m.

Du kan gjøre hva du vil med en brøkindikator: redusere den, dele den opp i deler, heve den til en annen styrke, etc.

Grad med irrasjonell eksponent

La α være et irrasjonelt tall og A ˃ 0.

For å forstå essensen av en grad med en slik indikator, La oss se på forskjellige mulige tilfeller:

• A = 1. Resultatet vil være lik 1. Siden det er et aksiom - er 1 i alle potenser lik en;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 – rasjonelle tall;

• 0˂А˂1.

I dette tilfellet er det omvendt: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 under de samme betingelsene som i andre ledd.

Eksponenten er for eksempel tallet π. Det er rasjonelt.

r 1 - i dette tilfellet er lik 3;

r 2 – vil være lik 4.

Så, for A = 1, 1 π = 1.

A = 2, deretter 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, deretter (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Slike grader er preget av alle de matematiske operasjonene og spesifikke egenskapene beskrevet ovenfor.

Konklusjon

La oss oppsummere - hva trengs disse mengdene til, hva er fordelene med slike funksjoner? Selvfølgelig forenkler de først og fremst livet til matematikere og programmerere når de løser eksempler, siden de lar dem minimere beregninger, forkorte algoritmer, systematisere data og mye mer.

Hvor ellers kan denne kunnskapen være nyttig? I enhver arbeidsspesialitet: medisin, farmakologi, odontologi, konstruksjon, teknologi, ingeniørfag, design, etc.

Gradsformler brukes i prosessen med å redusere og forenkle komplekse uttrykk, i å løse likninger og ulikheter.

Antall c er n-te potens av et tall en Når:

Operasjoner med grader.

1. Ved å multiplisere grader med samme base, blir indikatorene deres lagt til:

en m·a n = a m + n .

2. Når du deler grader med samme grunntall, trekkes eksponentene deres fra:

3. Kraften til produktet av 2 eller mer faktorer er lik produktet av potensene til disse faktorene:

(abc...) n = a n · b n · c n …

4. Graden av en brøk er lik forholdet mellom gradene av utbytte og divisor:

(a/b) n = a n /b n .

5. Ved å heve en potens til en potens multipliseres eksponentene:

(a m) n = a m n .

Hver formel ovenfor er sann i retningene fra venstre til høyre og omvendt.

For eksempel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasjoner med røtter.

1. Roten til produktet av flere faktorer er lik produktet av røttene til disse faktorene:

2. Roten av et forholdstall er lik forholdet mellom utbyttet og divisoren til røttene:

3. Når du hever en rot til en makt, er det nok å heve det radikale tallet til denne makten:

4. Hvis du øker graden av roten inn n en gang og samtidig bygge inn n den th potensen er et radikalt tall, så endres ikke verdien av roten:

5. Hvis du reduserer graden av roten i n trekke ut roten samtidig n-te potens av et radikalt tall, vil verdien av roten ikke endres:

En grad med negativ eksponent. Potensen til et bestemt tall med en ikke-positiv (heltalls) eksponent er definert som en dividert med potensen av samme tall med en eksponent lik absolutt verdi ikke-positiv indikator:

Formel en m:a n =a m - n kan brukes ikke bare til m> n, men også med m< n.

For eksempel. en4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Til formel en m:a n =a m - n ble rettferdig når m=n, tilstedeværelsen av null grader er nødvendig.

En grad med nullindeks. Potensen til et tall som ikke er lik null med en nulleksponent er lik en.

For eksempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad med en brøkeksponent. For å heve et reelt tall EN til den grad m/n, må du trekke ut roten n grad av m-te potens av dette tallet EN.

Leksjonstype: leksjon om generalisering og systematisering av kunnskap

Mål:

• pedagogisk– gjenta definisjonen av en grad, reglene for å multiplisere og dele grader, heve en grad til en potens, konsolidere ferdighetene til å løse eksempler som inneholder grader,
• utvikle seg- utvikling logisk tenkning studenter, interesse for materialet som studeres,
• heve– å fremme en ansvarlig holdning til læring, en kommunikasjonskultur og en følelse av kollektivisme.

Utstyr: datamaskin, multimedia projektor, interaktiv tavle, presentasjon av "Grader" for muntlig regning, oppgavekort, utdelingsark.

Timeplan:

1. Organisering av tid.
2. Gjentakelse av regler
3. Verbal telling.
4. Historisk referanse.
5. Arbeid i styret.
6. Kroppsøvingsminutt.
7. Arbeid på en interaktiv tavle.
8. Selvstendig arbeid.
9. Hjemmelekser.
10. Oppsummering av leksjonen.

I løpet av timene

I. Organisatorisk øyeblikk

Kommuniser emnet og målene for leksjonen.

I tidligere leksjoner oppdaget du fantastisk verden grader, lærte å multiplisere og dividere grader, og heve dem til en potens. I dag må vi konsolidere den ervervede kunnskapen ved å løse eksempler.

II. Gjentakelse av regler(muntlig)

1. Gi definisjonen av grad med en naturlig eksponent? (Tallets kraft EN med en naturlig eksponent større enn 1 kalles et produkt n faktorer som hver er like EN.)
2. Hvordan multiplisere to potenser? (For å multiplisere potenser med de samme grunnene, må du la grunntallet være det samme og legge til eksponentene.)
3. Hvordan dele grad for grad? (For å dele potenser med samme grunntall, må du la grunntallet være det samme og trekke fra eksponentene.)
4. Hvordan heve et produkt til en makt? (For å heve et produkt til en makt, må du heve hver faktor til den makten)
5. Hvordan heve en grad til en makt? (For å heve en potens til en potens, må du la grunntallet være det samme og multiplisere eksponentene)

III. Verbal telling(via multimedia)

IV. Historisk referanse

Alle problemer er fra Ahmes-papyrusen, som ble skrevet rundt 1650 f.Kr. e. knyttet til byggeskikk, fradeling av tomter etc. Oppgaver er gruppert etter tema. Dette er hovedsakelig oppgaver med å finne arealene til en trekant, firkanter og en sirkel, ulike operasjoner med heltall og brøker, proporsjonal divisjon, finne forholdstall, og det er også heving i ulike grader, løse ligninger av første og andre grad med en ukjent.

Det er en fullstendig mangel på noen forklaring eller bevis. Det ønskede resultatet er enten gitt direkte eller en kort algoritme for å beregne det er gitt. Denne presentasjonsmetoden, typisk for vitenskap i land det gamle østen, antyder at matematikken der utviklet seg gjennom generaliseringer og gjetninger som ikke dannet noen generell teori. Papyrusen inneholder imidlertid en rekke bevis på at egyptiske matematikere visste hvordan de skulle trekke ut røtter og heve seg til makter, løse ligninger og til og med mestret algebraens rudimenter.

V. Arbeid i styret

Finn betydningen av uttrykket på en rasjonell måte:

Regn ut verdien av uttrykket:

VI. Kroppsøvingsminutt

1. for øynene
2. for nakken
3. for hender
4. for overkroppen
5. for ben

VII. Problemløsning(med visning på den interaktive tavlen)

Er roten av ligningen et positivt tall?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Selvstendig arbeid

IX. Hjemmelekser

X. Oppsummering av leksjonen

Analyse av resultater, kunngjøring av karakterer.

Vi vil bruke den tilegnete kunnskapen om grader når vi løser ligninger og problemer på videregående de finnes også ofte i Unified State Exam.

Gå til youtube-kanalen til nettstedet vårt for å holde deg oppdatert med alle de nye videoleksjonene.

Først, la oss huske de grunnleggende formlene for krefter og deres egenskaper.

Produkt av et tall en forekommer på seg selv n ganger, kan vi skrive dette uttrykket som a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Potens eller eksponentialligninger– dette er ligninger der variablene er i potenser (eller eksponenter), og grunntallet er et tall.

Eksempler eksponentielle ligninger:

I i dette eksemplet tallet 6 er basen, det er alltid nederst, og variabelen x grad eller indikator.

La oss gi flere eksempler på eksponentialligninger.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

La oss nå se på hvordan eksponentielle ligninger løses?

La oss ta en enkel ligning:

2 x = 2 3

Dette eksemplet kan løses selv i hodet ditt. Det kan sees at x=3. Tross alt, for at venstre og høyre side skal være like, må du sette tallet 3 i stedet for x.
La oss nå se hvordan du formaliserer denne avgjørelsen:

2 x = 2 3
x = 3

For å løse en slik ligning fjernet vi identiske grunner(altså toere) og skrev ned det som var igjen, dette er grader. Vi fikk svaret vi var ute etter.

La oss nå oppsummere avgjørelsen vår.

Algoritme for å løse eksponentialligningen:
1. Må sjekkes det samme om ligningen har baser til høyre og venstre. Hvis årsakene ikke er de samme, ser vi etter alternativer for å løse dette eksemplet.
2. Etter at basene er blitt de samme, likestille grader og løs den resulterende nye ligningen.

La oss nå se på noen eksempler:

La oss starte med noe enkelt.

Basene på venstre og høyre side er lik tallet 2, noe som betyr at vi kan forkaste basen og sette likhetstegn mellom potensene deres.

x+2=4 Den enkleste ligningen er oppnådd.
x=4 – 2
x=2
Svar: x=2

I følgende eksempel kan du se at basene er forskjellige: 3 og 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Først flytter du de ni til høyre side, vi får:

Nå må du lage de samme basene. Vi vet at 9=3 2. La oss bruke potensformelen (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Vi får 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Nå er det klart at på venstre og høyre side er basene like og lik tre, noe som betyr at vi kan forkaste dem og sette likhetstegn mellom gradene.

3x=2x+16 får vi den enkleste ligningen
3x - 2x=16
x=16
Svar: x=16.

La oss se på følgende eksempel:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Først av alt ser vi på basene, base to og fire. Og vi trenger at de er like. Vi transformerer de fire ved å bruke formelen (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Og vi bruker også en formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Legg til i ligningen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Vi ga et eksempel av samme grunn. Men andre tall 10 og 24 plager oss. Hva skal vi gjøre med dem? Hvis du ser nøye etter kan du se at på venstre side har vi 2 2x gjentatte, her er svaret - vi kan sette 2 2x ut av parentes:

2 2x (2 4 - 10) = 24

La oss beregne uttrykket i parentes:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Vi deler hele ligningen på 6:

La oss forestille oss 4=2 2:

2 2x = 2 2 baser er like, vi kaster dem og setter likhetstegn mellom gradene.
2x = 2 er den enkleste ligningen. Del den på 2 og vi får
x = 1
Svar: x = 1.

La oss løse ligningen:

9 x – 12*3 x +27= 0

La oss konvertere:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Vi får ligningen:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Våre baser er de samme, lik tre I dette eksemplet kan du se at de tre første har en grad to ganger (2x) enn den andre (bare x). I dette tilfellet kan du løse erstatningsmetode. Vi erstatter tallet med den minste graden:

Så 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Vi erstatter alle x potenser i ligningen med t:

t 2 - 12t+27 = 0
Vi får kvadratisk ligning. Løser vi gjennom diskriminanten, får vi:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Gå tilbake til variabelen x.

Ta t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Det er,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

En rot ble funnet. Vi ser etter den andre fra t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Svar: x 1 = 2; x 2 = 1.

På nettsiden kan du stille spørsmål du måtte ha i HJELP AVGJØRELSE-delen, vi vil definitivt svare deg.

Bli med i gruppen

Første nivå

Grad og dens egenskaper. Omfattende guide (2019)

Hvorfor trengs grader? Hvor vil du trenge dem? Hvorfor bør du ta deg tid til å studere dem?

For å lære alt om grader, hva de er til for, hvordan du kan bruke kunnskapen din i Hverdagen les denne artikkelen.

Og selvfølgelig vil kunnskap om grader bringe deg nærmere vellykket gjennomføring OGE eller Unified State eksamen og opptak til universitetet du drømmer om.

La oss gå... (La oss gå!)

Viktig notat! Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. For å gjøre dette, trykk CTRL+F5 (på Windows) eller Cmd+R (på Mac).

FØRSTE NIVÅ

Eksponentiering er en matematisk operasjon akkurat som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon.

Nå skal jeg forklare alt på menneskelig språk på veldig enkle eksempler. Vær forsiktig. Eksemplene er elementære, men forklarer viktige ting.

La oss starte med tillegg.

Det er ingenting å forklare her. Du vet allerede alt: vi er åtte. Alle har to flasker cola. Hvor mye cola er det? Det stemmer - 16 flasker.

Nå multiplikasjon.

Det samme eksempelet med cola kan skrives annerledes: . Matematikere er utspekulerte og late mennesker. De legger først merke til noen mønstre, og finner deretter ut en måte å "telle" dem raskere. I vårt tilfelle la de merke til at hver av de åtte personene hadde like mange colaflasker og kom opp med en teknikk kalt multiplikasjon. Enig, det anses som enklere og raskere enn.

Så for å telle raskere, enklere og uten feil, trenger du bare å huske gangetabell. Selvfølgelig kan du gjøre alt langsommere, vanskeligere og med feil! Men…

Her er multiplikasjonstabellen. Gjenta.

Og en annen, vakrere en:

Hvilke andre smarte telletriks har late matematikere funnet på? Ikke sant - heve et tall til en makt.

Å heve et tall til en makt

Hvis du trenger å multiplisere et tall med seg selv fem ganger, så sier matematikere at du må heve det tallet til femte potens. For eksempel, . Matematikere husker at to til femte potens er... Og de løser slike problemer i hodet - raskere, enklere og uten feil.

Alt du trenger å gjøre er husk hva som er uthevet i farger i tabellen over tallkrefter. Tro meg, dette vil gjøre livet ditt mye enklere.

Forresten, hvorfor heter det andre grad? torget tall, og den tredje - kube? Hva betyr det? Veldig godt spørsmål. Nå vil du ha både firkanter og terninger.

Eksempel #1 fra det virkelige liv

La oss starte med kvadratet eller andre potens av tallet.

Se for deg et kvadratisk basseng som måler én meter ganger én meter. Bassenget er på din dacha. Det er varmt og jeg har veldig lyst til å svømme. Men... bassenget har ingen bunn! Du må dekke bunnen av bassenget med fliser. Hvor mange fliser trenger du? For å bestemme dette, må du kjenne til bunnområdet av bassenget.

Du kan ganske enkelt regne ut ved å vise fingeren at bunnen av bassenget består av meter for meter terninger. Hvis du har fliser en meter ganger en meter, trenger du brikker. Det er enkelt... Men hvor har du sett slike fliser? Flisen vil mest sannsynlig være cm for cm. Og så vil du bli torturert ved å "telle med fingeren". Da må du multiplisere. Så på den ene siden av bunnen av bassenget vil vi montere fliser (stykker) og på den andre også fliser. Multipliser med og du får fliser ().

La du merke til at for å bestemme arealet av bassengbunnen multipliserte vi det samme tallet med seg selv? Hva betyr det? Siden vi multipliserer det samme tallet, kan vi bruke "eksponentieringsteknikken". (Selvfølgelig, når du bare har to tall, må du fortsatt multiplisere dem eller heve dem til en potens. Men hvis du har mange av dem, er det mye enklere å heve dem til en potens, og det er også færre feil i beregningene For Unified State-eksamenen er dette veldig viktig).
Så, tretti til andre potens vil være (). Eller vi kan si at tretti kvadrat vil være. Med andre ord, andre potens av et tall kan alltid representeres som en kvadrat. Og omvendt, hvis du ser en firkant, er det ALLTID andre potens av et tall. Et kvadrat er et bilde av andre potens av et tall.

Eksempel #2 fra det virkelige liv

Her er en oppgave for deg: tell hvor mange ruter det er på sjakkbrettet ved å bruke kvadratet av tallet... På den ene siden av cellene og på den andre også. For å beregne tallet deres må du gange åtte med åtte eller... hvis du legger merke til at et sjakkbrett er en firkant med en side, kan du rute åtte. Du vil få celler. () Så?

Eksempel #3 fra det virkelige liv

Nå er kuben eller tredje potens av et tall. Det samme bassenget. Men nå må du finne ut hvor mye vann som må helles i dette bassenget. Du må beregne volumet. (Volumer og væsker måles forresten i kubikkmeter. Uventet, ikke sant?) Tegn et basseng: bunnen er en meter stor og en meter dyp, og prøv å regne ut hvor mange kuber som måler en meter på en meter vil passer inn i bassenget ditt.

Bare pek fingeren og tell! En, to, tre, fire ... tjueto, tjuetre ... Hvor mange fikk du? Ikke tapt? Er det vanskelig å telle med fingeren? Så det! Ta et eksempel fra matematikere. De er late, så de la merke til at for å beregne volumet til bassenget, må du multiplisere lengden, bredden og høyden med hverandre. I vårt tilfelle vil volumet til bassenget være lik kuber... Lettere, ikke sant?

Tenk deg nå hvor late og utspekulerte matematikere er hvis de forenklet dette også. Vi reduserte alt til én handling. De la merke til at lengden, bredden og høyden er like og at samme tall multipliseres med seg selv... Hva betyr dette? Dette betyr at du kan dra nytte av graden. Så det du en gang telte med fingeren, gjør de i én handling: tre terninger er lik. Det er skrevet slik:.

Alt som gjenstår er husk tabellen over grader. Med mindre du selvfølgelig er like lat og utspekulert som matematikere. Hvis du liker å jobbe hardt og gjøre feil, kan du fortsette å telle med fingeren.

Vel, for endelig å overbevise deg om at grader ble oppfunnet av sluttere og utspekulerte mennesker for å løse sine egne livsproblemer, og ikke for å skape problemer for deg, her er et par flere eksempler fra livet.

Eksempel #4 fra det virkelige liv

Du har en million rubler. Ved begynnelsen av hvert år, for hver million du tjener, tjener du en million til. Det vil si at hver million du har dobles i begynnelsen av hvert år. Hvor mye penger vil du ha om år? Hvis du sitter nå og «teller med fingeren», så er du en veldig hardtarbeidende person og... dum. Men mest sannsynlig gir du svar om et par sekunder, for du er smart! Så, i det første året - to multiplisert med to... i det andre året - hva skjedde, med to til, i det tredje året... Stopp! Du la merke til at tallet multipliseres med seg selv ganger. Så to til femte potens er en million! Tenk deg nå at du har en konkurranse og den som kan telle raskest vil få disse millionene... Det er verdt å huske tallenes krefter, synes du ikke?

Eksempel #5 fra det virkelige liv

Du har en million. I begynnelsen av hvert år tjener du to til for hver million. Flott er det ikke? Hver million tredobles. Hvor mye penger vil du ha i løpet av et år? La oss telle. Det første året - multipliser med, deretter resultatet med et annet ... Det er allerede kjedelig, fordi du allerede har forstått alt: tre ganges med seg selv ganger. Så til fjerde potens er det lik en million. Du må bare huske at tre til fjerde potens er eller.

Nå vet du at ved å heve et tall til en makt vil du gjøre livet ditt mye enklere. La oss se nærmere på hva du kan gjøre med grader og hva du trenger å vite om dem.

Termer og begreper... for ikke å bli forvirret

Så la oss først definere konseptene. Hva tror du, hva er en eksponent? Det er veldig enkelt - det er tallet som er "øverst" av potensen til tallet. Ikke vitenskapelig, men tydelig og lett å huske...

Vel, på samme tid, hva et slikt gradsgrunnlag? Enda enklere - dette er nummeret som er plassert under, ved basen.

Her er en tegning for godt mål.

Vel inne generelt syn, for å generalisere og huske bedre... En grad med en base " " og en eksponent " " leses som "til den grad" og skrives som følger:

Potensen til et tall med naturlig eksponent

Du har sikkert allerede gjettet: fordi eksponenten er naturlig tall. Ja, men hva er det naturlig tall? Elementært! Naturlige tall er de tallene som brukes til å telle når objekter listes opp: en, to, tre... Når vi teller objekter, sier vi ikke: «minus fem», «minus seks», «minus syv». Vi sier heller ikke: «en tredjedel» eller «null komma fem». Dette er ikke naturlige tall. Hvilke tall tror du dette er?

Tall som "minus fem", "minus seks", "minus syv" refererer til hele tall. Generelt inkluderer heltall alle naturlige tall, tall motsatt naturlige tall (det vil si tatt med et minustegn) og tall. Null er lett å forstå - det er når det ikke er noe. Hva betyr negative ("minus") tall? Men de ble først og fremst oppfunnet for å indikere gjeld: hvis du har en saldo på telefonen i rubler, betyr dette at du skylder operatøren rubler.

Alle brøker er rasjonelle tall. Hvordan oppsto de, tror du? Veldig enkelt. For flere tusen år siden oppdaget våre forfedre at de manglet naturlige tall for å måle lengde, vekt, areal osv. Og de kom på rasjonelle tall... Interessant, ikke sant?

Det finnes også irrasjonelle tall. Hva er disse tallene? Kort sagt, uendelig desimal. For eksempel, hvis du deler omkretsen av en sirkel på diameteren, får du et irrasjonelt tall.

Sammendrag:

La oss definere konseptet med en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

1. Ethvert tall i første potens er lik seg selv:
2. Å kvadrere et tall betyr å multiplisere det med seg selv:
3. Å kube et tall betyr å multiplisere det med seg selv tre ganger:

Definisjon.Å heve et tall til en naturlig potens betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:
.

Egenskaper til grader

Hvor kom disse egenskapene fra? Jeg skal vise deg nå.

La oss se: hva er det Og ?

A-priory:

Hvor mange multiplikatorer er det totalt?

Det er veldig enkelt: vi la til multiplikatorer til faktorene, og resultatet er multiplikatorer.

Men per definisjon er dette en potens av et tall med en eksponent, det vil si: , som er det som måtte bevises.

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning:

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning: Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene!
Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det er fortsatt en egen faktor:

bare for produktet av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

2. det er det potensen til et tall

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt:

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive?

Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base

Frem til dette punktet har vi bare diskutert hva eksponenten skal være.

Men hva skal ligge til grunn?

I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall. Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall.

La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha grader av positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ? Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi ganger med, fungerer det.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klarte du deg?

Her er svarene: I de fire første eksemplene håper jeg at alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt.

Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt!

6 eksempler å øve på

Analyse av løsningen 6 eksempler

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater! Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på vilkårene er feil. Hvis de ble omvendt, kan regelen gjelde.

Men hvordan gjøre det? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

På magisk vis endret begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes.

Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Hel vi kaller de naturlige tallene, deres motsetninger (det vil si tatt med tegnet " ") og tallet.

positivt heltall, og det er ikke forskjellig fra naturlig, så ser alt ut akkurat som i forrige seksjon.

La oss nå se på nye saker. La oss starte med en indikator lik.

Ethvert tall i null potens er lik en:

Som alltid, la oss spørre oss selv: hvorfor er det slik?

La oss vurdere en viss grad med en base. Ta for eksempel og multipliser med:

Så vi multipliserte tallet med, og vi fikk det samme som det var - . Hvilket tall skal du gange med slik at ingenting endres? Det stemmer, på. Midler.

Vi kan gjøre det samme med et vilkårlig tall:

La oss gjenta regelen:

Ethvert tall i null potens er lik en.

Men det finnes unntak fra mange regler. Og her er det også der - dette er et tall (som en base).

På den ene siden må det være lik i hvilken som helst grad - uansett hvor mye du multipliserer null med seg selv, vil du fortsatt få null, dette er klart. Men på den annen side, som et hvilket som helst tall til null potens, må det være likt. Så hvor mye av dette er sant? Matematikerne bestemte seg for ikke å bli involvert og nektet å heve null til null potens. Det vil si at nå kan vi ikke bare dele med null, men også heve den til null potens.

La oss gå videre. I tillegg til naturlige tall og tall inkluderer heltall også negative tall. For å forstå hva en negativ potens er, la oss gjøre som forrige gang: multiplisere et normalt tall med det samme tallet til en negativ potens:

Herfra er det enkelt å uttrykke hva du leter etter:

La oss nå utvide den resulterende regelen til en vilkårlig grad:

Så la oss formulere en regel:

Et tall med negativ potens er det gjensidige av samme tall med positiv potens. Men samtidig Basen kan ikke være null:(fordi du ikke kan dele med).

La oss oppsummere:

I. Uttrykket er ikke definert i saken. Hvis da.

II. Ethvert tall i nullpotens er lik én: .

III. Et tall som ikke er lik null til en negativ potens er inversen av samme tall til en positiv potens: .

Oppgaver for selvstendig løsning:

Vel, som vanlig, eksempler på uavhengige løsninger:

Analyse av problemer for uavhengig løsning:

Jeg vet, jeg vet, tallene er skumle, men på Unified State-eksamenen må du være forberedt på hva som helst! Løs disse eksemplene eller analyser løsningene deres hvis du ikke kunne løse dem, og du vil lære å takle dem enkelt i eksamen!

La oss fortsette å utvide rekkevidden av tall "egnet" som eksponent.

La oss nå vurdere rasjonelle tall. Hvilke tall kalles rasjonelle?

Svar: alt som kan representeres som en brøk, hvor og er heltall, og.

For å forstå hva det er "brøkdel grad", tenk på brøken:

La oss heve begge sider av ligningen til en potens:

La oss nå huske regelen om "grad til grad":

Hvilket tall må heves til en makt for å få?

Denne formuleringen er definisjonen av roten til th grad.

La meg minne deg på: roten av den te potensen til et tall () er et tall som, når det heves til en potens, er lik.

Det vil si at roten til th potens er den omvendte operasjonen av å heve til en potens: .

Det viser seg at. Tydeligvis dette spesielt tilfelle kan utvides: .

Nå legger vi til telleren: hva er det? Svaret er enkelt å få ved å bruke makt-til-makt-regelen:

Men kan basen være et hvilket som helst tall? Tross alt kan ikke roten trekkes ut fra alle tall.

Ingen!

La oss huske regelen: ethvert tall hevet til en partall er et positivt tall. Det vil si at det er umulig å trekke ut jevne røtter fra negative tall!

Dette betyr at slike tall ikke kan heves til en brøkpotens med en jevn nevner, det vil si at uttrykket ikke gir mening.

Hva med uttrykket?

Men her oppstår et problem.

Tallet kan representeres i form av andre, reduserbare brøker, for eksempel, eller.

Og det viser seg at det eksisterer, men ikke eksisterer, men dette er bare to forskjellige poster med samme nummer.

Eller et annet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men hvis vi skriver ned indikatoren annerledes, får vi problemer igjen: (det vil si at vi fikk et helt annet resultat!).

For å unngå slike paradokser, vurderer vi bare positiv baseeksponent med brøkeksponent.

Så hvis:

• - naturlig tall;
• - heltall;

Eksempler:

Rasjonelle eksponenter er svært nyttige for å transformere uttrykk med røtter, for eksempel:

5 eksempler å øve på

Analyse av 5 eksempler for trening

Vel, nå kommer den vanskeligste delen. Nå skal vi finne ut av det grad med irrasjonell eksponent.

Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak

Tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si at irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer.

For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger;

...tall til null potens- dette er som det var et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp ennå - derfor er resultatet bare et visst "tomt tall" , nemlig et tall;

...negativ heltallsgrad- det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall.

Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter, du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

HVOR ER VI SIKRE AT DU GÅR! (hvis du lærer å løse slike eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse av løsninger:

1. La oss starte med den vanlige regelen for å heve en makt til en makt:

Se nå på indikatoren. Minner han deg ikke om noe? La oss huske formelen for forkortet multiplikasjon av forskjellen av kvadrater:

I dette tilfellet,

Det viser seg at:

Svar: .

2. Vi reduserer brøker i eksponenter til samme form: enten begge desimaler eller begge ordinære. Vi får for eksempel:

Svar: 16

3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

AVANSERT NIVÅ

Fastsettelse av grad

En grad er et uttrykk for formen: , hvor:

• — gradsgrunnlag;
• - eksponent.

Grad med naturlig indikator (n = 1, 2, 3,...)

Å heve et tall til den naturlige potensen n betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:

Grad med en heltallseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltall Antall:

Konstruksjon til null grad:

Uttrykket er ubestemt, fordi på den ene siden, i en hvilken som helst grad er dette, og på den annen side, et hvilket som helst tall i den th grad er dette.

Hvis eksponenten er negativt heltall Antall:

(fordi du ikke kan dele med).

Nok en gang om nuller: uttrykket er ikke definert i kasus. Hvis da.

Eksempler:

Kraft med rasjonell eksponent

• - naturlig tall;
• - heltall;

Eksempler:

Egenskaper til grader

For å gjøre det lettere å løse problemer, la oss prøve å forstå: hvor kom disse egenskapene fra? La oss bevise dem.

La oss se: hva er og?

A-priory:

Så på høyre side av dette uttrykket får vi følgende produkt:

Men per definisjon er det en potens av et tall med en eksponent, det vil si:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene. Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det er fortsatt en egen faktor:

En annen viktig merknad: denne regelen - bare for produkt av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

La oss omgruppere dette arbeidet slik:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt: !

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive? Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base.

Til nå har vi bare diskutert hvordan det skal være indeks grader. Men hva skal ligge til grunn? I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall .

Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall. La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha kraften til positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ?

Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi multipliserer med (), får vi - .

Og så videre i det uendelige: med hver påfølgende multiplikasjon vil tegnet endres. Vi kan formulere følgende enkle regler:

1. til og med grad, - antall positivt.
2. Et negativt tall, innebygd merkelig grad, - antall negativ.
3. Positivt tall til enhver grad er et positivt tall.
4. Null til enhver potens er lik null.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarte du deg? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de fire første eksemplene håper jeg at alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt. Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt. Her må du finne ut hva som er mindre: eller? Hvis vi husker det, blir det klart det, som betyr at basen er mindre enn null. Det vil si at vi bruker regel 2: resultatet blir negativt.

Og igjen bruker vi definisjonen av grad:

Alt er som vanlig - vi skriver ned definisjonen av grader og deler dem på hverandre, deler dem i par og får:

Før vi ser på den siste regelen, la oss løse noen eksempler.

Regn ut uttrykkene:

Løsninger :

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater!

Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på vilkårene er feil. Hvis de ble omvendt, kunne regel 3 gjelde. Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

Hvis du ganger det med, endres ingenting, ikke sant? Men nå blir det slik:

På magisk vis endret begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes. Men det er viktig å huske: Alle tegn endres samtidig! Du kan ikke erstatte den med ved å endre bare én ulempe vi ikke liker!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Så nå siste regel:

Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som vanlig: la oss utvide begrepet grad og forenkle det:

Vel, la oss nå åpne parentesene. Hvor mange bokstaver er det totalt? ganger med multiplikatorer - hva minner dette deg om? Dette er ikke annet enn en definisjon av en operasjon multiplikasjon: Det var bare multiplikatorer der. Det vil si at dette, per definisjon, er en potens av et tall med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrasjonell eksponent

I tillegg til informasjon om grader for gjennomsnittsnivået, vil vi analysere graden med en irrasjonell eksponent. Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak - tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si , irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle tall).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer. For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger; et tall til null potens er så å si et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp enda - derfor er resultatet bare et visst «blankt nummer», nemlig et tall; en grad med en heltalls negativ eksponent - det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Det er ekstremt vanskelig å forestille seg en grad med en irrasjonell eksponent (akkurat som det er vanskelig å forestille seg et 4-dimensjonalt rom). Det er snarere et rent matematisk objekt som matematikere skapte for å utvide gradsbegrepet til hele tallrommet.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall. Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter, du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

Så hva gjør vi hvis vi ser en irrasjonell eksponent? Vi prøver så godt vi kan å bli kvitt det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

1)

2)

3)

Svar:

1. La oss huske formelen for forskjellen på kvadrater. Svar: .
2. Vi reduserer brøkene til samme form: enten begge desimaler eller begge vanlige. Vi får for eksempel: .
3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

SAMMENDRAG AV SEKSJONEN OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Grad kalt et uttrykk for formen: , hvor:

Grad med en heltallseksponent

en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Kraft med rasjonell eksponent

grad, hvis eksponent er negative tall og brøktall.

Grad med irrasjonell eksponent

en grad hvis eksponent er en uendelig desimalbrøk eller rot.

Egenskaper til grader

Funksjoner av grader.

• Negativt tall hevet til til og med grad, - antall positivt.
• Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
• Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
• Null er lik enhver potens.
• Ethvert tall i nullpotens er lik.

NÅ HAR DU ORDET...

Hvordan liker du artikkelen? Skriv nedenfor i kommentarfeltet om du likte det eller ikke.

Fortell oss om din erfaring med å bruke gradsegenskaper.

Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarfeltet.

Og lykke til med eksamen!