Hva er et rasjonelt tall? Hva er rasjonelle tall? Hvilke andre er det?

Rasjonelle tall

Kvarter

Ordentlighet. en Og b det er en regel som tillater en unik å identifisere ett og bare ett av tre forhold mellom dem: "< », « >" eller " = ". Denne regelen kalles bestillingsregel og er formulert som følger: to ikke-negative tall og er relatert av samme relasjon som to heltall og ; to ikke-positive tall en Og b er relatert av samme relasjon som to ikke-negative tall og ; hvis plutselig en ikke-negativ, men b– negativt altså en > b.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Legge til brøker Tilleggsoperasjon. en Og b For alle rasjonelle tall det er en såkalt summeringsregel c summeringsregel. Samtidig, selve tallet kalt beløp en Og b tall og er betegnet med , og prosessen med å finne et slikt tall kalles summering . Summeringsregelen har: .
neste visning Tilleggsoperasjon. en Og b For alle rasjonelle tall Multiplikasjonsoperasjon. multiplikasjonsregel summeringsregel c summeringsregel. Samtidig, selve tallet , som tildeler dem et rasjonelt tall beløp en Og b arbeid og er betegnet med , og prosessen med å finne et slikt tall kalles også multiplikasjon .
. Multiplikasjonsregelen ser slik ut: Transitivitet av ordrerelasjonen. en , b Og summeringsregel For enhver trippel av rasjonelle tall en Hvis b Og b Hvis summeringsregel mindre en Hvis summeringsregel, Det en, og hvis b Og b, og hvis summeringsregel mindre en, og hvis summeringsregel er lik
. 6435">Kommutativitet av addisjon. Endring av plassering av rasjonelle termer endrer ikke summen.
Assosiativitet av tillegg. Rekkefølgen som tre rasjonelle tall legges til i, påvirker ikke resultatet.
Tilstedeværelse av null. Det er et rasjonelt tall 0 som bevarer hvert annet rasjonelt tall når det legges til.
Tilstedeværelsen av motsatte tall. Ethvert rasjonelt tall har et motsatt rasjonelt tall, som når det legges til gir 0.
Kommutativitet av multiplikasjon.Å endre stedene for rasjonelle faktorer endrer ikke produktet.
Assosiativitet av multiplikasjon. Rekkefølgen som tre rasjonelle tall multipliseres i, påvirker ikke resultatet.
Tilgjengelighet av enhet. Det er et rasjonelt tall 1 som bevarer hvert annet rasjonelt tall når det multipliseres.
Tilstedeværelse av gjensidige tall. Ethvert rasjonelt tall har et inverst rasjonelt tall, som når multiplisert med gir 1.
Fordeling av multiplikasjon i forhold til addisjon. Det samme rasjonelle tallet kan legges til venstre og høyre side av en rasjonell ulikhet.
/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Arkimedes aksiom. en Uansett rasjonelt tall en, kan du ta så mange enheter at summen deres overstiger

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ytterligere eiendommer

Alle andre egenskaper som er iboende i rasjonelle tall skilles ikke ut som grunnleggende, fordi de generelt sett ikke lenger er basert direkte på egenskapene til heltall, men kan bevises basert på de gitte grunnleggende egenskapene eller direkte ved definisjonen av et matematisk objekt . Det er mange slike tilleggsegenskaper. Det er fornuftig å liste opp bare noen få av dem her.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Telbarhet av et sett Nummerering av rasjonelle tall.

For å estimere antall rasjonelle tall, må du finne kardinaliteten til settet deres. Det er lett å bevise at settet med rasjonelle tall kan telles. For å gjøre dette er det nok å gi en algoritme som teller rasjonelle tall, dvs. etablerer en bijeksjon mellom settene av rasjonelle og naturlige tall Den enkleste av disse algoritmene ser slik ut. Et endeløst bord er laget vanlige brøker, på hver Jeg-te linje i hver vanlige brøker j Jeg den kolonnen som fraksjonen er plassert av. For nøyaktighetens skyld antas det at radene og kolonnene i denne tabellen er nummerert fra én. Tabellceller er merket med , hvor

- nummeret på tabellraden der cellen er plassert, og

- kolonnenummer.

Den resulterende tabellen krysses ved hjelp av en "slange" i henhold til følgende formelle algoritme. Disse reglene søkes fra topp til bunn og neste posisjon velges basert på den første kampen. I prosessen med en slik traversering blir hvert nytt rasjonelt tall assosiert med et annet naturlig tall. Det vil si at brøken 1/1 tildeles tallet 1, brøken 2/1 til tallet 2 osv. Det skal bemerkes at kun irreduserbare brøker er nummerert.

Ved å følge denne algoritmen kan vi telle opp alle positive rasjonelle tall. Dette betyr at settet med positive rasjonelle tall kan telles. Det er lett å etablere en bijeksjon mellom settene med positive og negative rasjonelle tall ved ganske enkelt å tilordne hvert rasjonelt tall dets motsatte. At. settet med negative rasjonelle tall kan også telles. Foreningen deres kan også telles etter eiendommen til tellbare sett. Settet med rasjonelle tall kan også telles som foreningen av en tellbar mengde med en endelig.

Utsagnet om tellebarheten til settet med rasjonelle tall kan forårsake en del forvirring, siden det ved første øyekast ser ut til at det er mye mer omfattende enn settet med naturlige tall. Faktisk er det ikke slik, og det er nok naturlige tall til å telle opp alle rasjonelle.

Mangel på rasjonelle tall

Hypotenusen til en slik trekant kan ikke uttrykkes med noe rasjonelt tall

Rasjonale tall på formen 1 / n for øvrig n vilkårlig små mengder kan måles. Dette faktum skaper det misvisende inntrykket at rasjonelle tall kan brukes til å måle alle geometriske avstander. Det er lett å vise at dette ikke stemmer.

Notater

Litteratur

I. Kushnir. Håndbok i matematikk for skolebarn. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P.S. Alexandrov. Innføring i mengdlære og generell topologi. - M.: kapittel. utg. fysikk og matematikk tent. utg. "Vitenskap", 1977
I. L. Khmelnitsky. Introduksjon til teorien om algebraiske systemer

Lenker

Wikimedia Foundation.

2010. Antall

- et viktig matematisk begrep som har endret seg gjennom århundrene.

De første ideene om tall oppsto ved å telle mennesker, dyr, frukt, ulike produkter osv. Resultatet er naturlige tall: 1, 2, 3, 4, ...

Historisk sett er den første utvidelsen av tallbegrepet tillegget av brøktall til det naturlige tallet. Brøkdel

en del (andel) av en enhet eller flere like deler kalles. Utpekt av: , hvor m, n

- hele tall; n Brøker med nevner 10 n, Hvor - et heltall, kalt: .

desimal Blant desimaler Spesielt sted okkupere: periodiske brøker - ren periodisk fraksjon,

- blandet periodisk fraksjon. Ytterligere utvidelse av tallbegrepet er forårsaket av utviklingen av selve matematikken (algebra). Descartes på 1600-tallet. introduserer konseptet.

negativt tall Tallene heltall (positive og negative), brøker (positive og negative) og null kalles rasjonelle tall

For å studere kontinuerlig skiftende variable mengder, viste det seg å være nødvendig med en ny utvidelse av tallbegrepet - introduksjonen av reelle (reelle) tall - ved å legge til irrasjonelle tall til rasjonelle tall: irrasjonelle tall er uendelig desimal ikke-periodiske brøker.

Irrasjonelle tall dukket opp ved måling av inkommensurable segmenter (siden og diagonalen til et kvadrat), i algebra - når man trekker ut røtter, er et eksempel på et transcendentalt, irrasjonelt tall π, e .

Tall naturlig(1, 2, 3,...), hel(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), rasjonell(representerbar som brøk) og irrasjonell(ikke representert som en brøkdel ) danne et sett ekte (ekte) tall.

Komplekse tall skilles separat i matematikk.

Komplekse tall oppstå i forbindelse med problemet med å løse ruter for saken D< 0 (здесь D– diskriminant av en andregradsligning). I lang tid fant ikke disse tallene fysisk anvendelse, og derfor ble de kalt "imaginære" tall. Imidlertid er de nå veldig mye brukt i forskjellige felt av fysikk og teknologi: elektroteknikk, hydro- og aerodynamikk, elastisitetsteori, etc.

Komplekse tall skrives på formen: z= en+ bi. Her en Og b – reelle tall, A vanlige brøker – imaginær enhet, dvs.e. vanlige brøker 2 = -1. Antall en kalt abscisse, a b –ordinere komplekst tall en+ bi. To komplekse tall en+ bi Og a–bi er kalt konjugerer komplekse tall.

Egenskaper:

1. Reelt tall EN kan også skrives i kompleks tallform: en+ 0vanlige brøker eller en – 0vanlige brøker. For eksempel 5 + 0 vanlige brøker og 5-0 vanlige brøker betyr det samme tallet 5.

2. Kompleks tall 0 + bi kalt rent imaginært Antall. Ta opp bi betyr det samme som 0 + bi.

3. To komplekse tall en+ bi Og summeringsregel+ di anses like hvis en= c Og b= d. Ellers komplekse tall ikke lik.

Handlinger:

Addisjon. Summen av komplekse tall en+ bi Og summeringsregel+ di kalles et komplekst tall ( en+ summeringsregel) + (b+ d)vanlige brøker. Dermed, Når du legger til komplekse tall, legges abscissene og ordinatene deres til separat.

Subtraksjon. Forskjellen mellom to komplekse tall en+ bi(minsket) og summeringsregel+ di(subtrahend) kalles et komplekst tall ( a–c) + (b–d)vanlige brøker. Dermed, Når du trekker fra to komplekse tall, trekkes abscissene og ordinatene deres separat.

Multiplikasjon. Produkt av komplekse tall en+ bi Og summeringsregel+ di kalles et komplekst tall:

(ac–bd) + (annonse+ f.Kr)vanlige brøker. Denne definisjonen følger av to krav:

1) tall en+ bi Og summeringsregel+ di må multipliseres som algebraiske binomialer,

2) nummer vanlige brøker har hovedegenskapen: vanlige brøker 2 = –1.

EKSEMPEL ( a+ bi)(a–bi)= a 2 +b 2 . Derfor, arbeidav to konjugerte komplekse tall er lik et positivt reelt tall.

Inndeling. Del et komplekst tall en+ bi(delelig) med en annen summeringsregel+ di (deler) - betyr å finne det tredje tallet e+ f i(chat), som når multiplisert med en divisor summeringsregel+ di, resulterer i utbytte en+ bi. Hvis divisor ikke er null, er divisjon alltid mulig.

EKSEMPEL Finn (8+ vanlige brøker) : (2 – 3vanlige brøker) .

Løsning La oss omskrive dette forholdet som en brøk:

Multipliser telleren og nevneren med 2 + 3 vanlige brøker og etter å ha utført alle transformasjonene får vi:

Oppgave 1: Addere, subtrahere, multiplisere og dele z 1 på z 2

Trekk ut kvadratroten: Løs ligningen x 2 = -en. For å løse denne ligningen vi er tvunget til å bruke tall av en ny type - imaginære tall . Dermed, innbilt ringte nummeret den andre potensen er et negativt tall. I henhold til denne definisjonen av imaginære tall kan vi definere og innbilt enhet:

Så for ligningen x 2 = – 25 får vi to innbilt rot:

Oppgave 2: Løs ligningen:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Geometrisk representasjon av komplekse tall. Reelle tall er representert med punkter på tallinjen:

Her er poenget EN betyr tallet –3, prikk B–nummer 2, og O-null. I kontrast er komplekse tall representert av punkter på koordinatplanet. Til dette formålet velger vi rektangulære (kartesiske) koordinater med samme skalaer på begge akser. Deretter det komplekse tallet en+ bi vil bli representert med en prikk P med abscisseEN og ordinereb. Dette koordinatsystemet kalles komplekst plan .

Modul komplekst tall er lengden på vektoren OP, som representerer et komplekst tall på koordinaten ( omfattende) fly. Modulus til et komplekst tall en+ bi betegnet | en+ bi| eller) brev r og er lik:

Konjugerte komplekse tall har samme modul.

Reglene for å tegne en tegning er nesten de samme som for en tegning i et kartesisk koordinatsystem Langs aksene må du sette dimensjonen, merk:

e
enhet langs den reelle aksen; Re z

imaginær enhet langs den imaginære aksen. Jeg er z

Oppgave 3. Konstruer følgende komplekse tall på det komplekse planet: , , , , , , ,

1. Tallene er nøyaktige og omtrentlige. Tallene vi møter i praksis er av to slag. Noen gir den sanne verdien av mengden, andre bare omtrentlige. Den første kalles eksakt, den andre - omtrentlig. Oftest er det praktisk å bruke et omtrentlig tall i stedet for et eksakt, spesielt siden det i mange tilfeller eksakt antall umulig å finne i det hele tatt.

Så hvis de sier at det er 29 elever i en klasse, er tallet 29 nøyaktig. Hvis de sier at avstanden fra Moskva til Kiev er 960 km, her er tallet 960 omtrentlig, siden måleinstrumentene våre på den ene siden ikke er helt nøyaktige, på den annen side har byene selv en viss grad.

Resultatet av handlinger med omtrentlige tall er også et omtrentlig tall. Ved å utføre noen operasjoner på eksakte tall (divisjon, rotekstraksjon), kan du også få omtrentlige tall.

Teorien om omtrentlige beregninger tillater:

1) vite graden av nøyaktighet av dataene, evaluere graden av nøyaktighet av resultatene;

2) ta data med en passende grad av nøyaktighet som er tilstrekkelig til å sikre den nødvendige nøyaktigheten av resultatet;

3) rasjonalisere beregningsprosessen, frigjør den fra de beregningene som ikke vil påvirke nøyaktigheten til resultatet.

2. Avrunding. En kilde for å få omtrentlige tall er avrunding. Både omtrentlige og nøyaktige tall er avrundet.

Å avrunde et gitt tall til et bestemt siffer kalles å erstatte det med et nytt tall, som er hentet fra det gitte ved å forkaste alle sifrene skrevet til høyre for sifferet til dette sifferet, eller ved å erstatte dem med nuller. Disse nullene er vanligvis understreket eller skrevet mindre. For å sikre at det avrundede tallet er så nært som mulig til det som avrundes, bør du bruke følgende regler: for å avrunde et tall til ett av et bestemt siffer, må du forkaste alle sifrene etter sifferet til dette sifferet, og erstatte dem med nuller i hele tallet. Følgende er tatt i betraktning:

1) hvis det første (til venstre) av de forkastede sifrene er mindre enn 5, endres ikke det siste gjenværende sifferet (avrunding nedover);

2) hvis det første sifferet som skal forkastes er større enn 5 eller lik 5, økes det siste sifferet som er igjen med én (avrunding med overskytende).

La oss vise dette med eksempler. Rund:

a) opptil tideler 12.34;

b) til hundredeler 3,2465; 1038,785;

c) opptil tusendeler 3,4335.

d) opptil tusen 12375; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Absolutte og relative feil. Forskjellen mellom det nøyaktige tallet og dets omtrentlige verdi kalles den absolutte feilen til det omtrentlige tallet. For eksempel, hvis det nøyaktige tallet 1,214 rundes av til nærmeste tiendedel, får vi et omtrentlig tall på 1,2. I dette tilfellet absolutt feil det omtrentlige tallet 1.2 er lik 1.214 - 1.2, dvs. 0,014.

Men i de fleste tilfeller eksakt verdi mengden som vurderes er ukjent, men kun omtrentlig. Da er den absolutte feilen ukjent. I disse tilfellene, angi grensen som den ikke overskrider. Dette tallet kalles den begrensende absolutte feilen. De sier at den nøyaktige verdien av et tall er lik dens omtrentlige verdi med en feil mindre enn marginalfeilen. For eksempel er tallet 23,71 en omtrentlig verdi av tallet 23,7125 med en nøyaktighet på 0,01, siden den absolutte feilen for tilnærmingen er 0,0025 og mindre enn 0,01. Her er den begrensende absolutte feilen 0,01 *.

Absolutt grensefeil for det omtrentlige tallet EN angitt med symbolet Δ en. Ta opp

x≈en(±Δ en)

skal forstås som følger: den nøyaktige verdien av mengden x er mellom tallene EN– Δ en Og EN+ Δ EN, som kalles henholdsvis nedre og øvre grenser X og angir NG x VG X.

For eksempel hvis x≈ 2,3 (±0,1), deretter 2,2<x< 2,4.

Omvendt, hvis 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). Den absolutte eller marginale absolutte feilen karakteriserer ikke kvaliteten på den utførte målingen. Den samme absolutte feilen kan betraktes som betydelig og ubetydelig avhengig av tallet som måleverdien uttrykkes med. For eksempel, hvis vi måler avstanden mellom to byer med en nøyaktighet på én kilometer, er en slik nøyaktighet ganske tilstrekkelig for denne endringen, men på samme tid, når vi måler avstanden mellom to hus i samme gate, vil en slik nøyaktighet være uakseptabelt. Følgelig avhenger nøyaktigheten av den omtrentlige verdien av en mengde ikke bare av størrelsen på den absolutte feilen, men også av verdien av den målte mengden. Derfor er den relative feilen et mål på nøyaktighet.

Relativ feil er forholdet mellom den absolutte feilen og verdien av det omtrentlige tallet. Forholdet mellom den begrensende absolutte feilen og det omtrentlige tallet kalles den begrensende relative feilen; de betegner det slik: . Relative og marginale relative feil uttrykkes vanligvis i prosent. For eksempel hvis målinger viste at avstanden X mellom to punkter er mer enn 12,3 km, men mindre enn 12,7 km, så tas det aritmetiske gjennomsnittet av disse to tallene som sin omtrentlige verdi, dvs. deres halvsum, så er den marginale absolutte feilen lik halve forskjellen til disse tallene. I dette tilfellet X≈ 12,5 (±0,2). Her er den begrensende absolutte feilen 0,2 km, og den begrensende relative

) er tall med positivt eller negativt fortegn (heltall og brøker) og null. Et mer presist konsept for rasjonelle tall høres slik ut:

Rasjonalt tall- et tall som er representert som en vanlig brøk m/n, hvor telleren m er heltall, og nevneren n- heltall, for eksempel 2/3.

Uendelige ikke-periodiske brøker er IKKE inkludert i settet med rasjonelle tall.

a/b, Hvor en∈ Z (en tilhører heltall), b∈ N (b tilhører naturlige tall).

Bruke rasjonelle tall i det virkelige liv.

I det virkelige liv brukes settet med rasjonelle tall til å telle delene av noen heltallsdelbare objekter, For eksempel, kaker eller annen mat som kuttes i biter før inntak, eller for grov estimering av romforholdet til utvidede objekter.

Egenskaper til rasjonelle tall.

Grunnleggende egenskaper til rasjonelle tall.

1. Ordentlighet en Og b det er en regel som lar deg entydig identifisere 1 og bare en av 3 relasjoner mellom dem: "<», «>" eller "=". Denne regelen er - bestillingsregel og formuler det slik:

2 positive tall a=m a /n a Og b=m b /n b er relatert av samme forhold som 2 heltall m a⋅ n b Og m b⋅ n a;
2 negative tall en Og b er relatert med samme forhold som 2 positive tall |b| Og |a|;
Når en positiv og b– negativt altså a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Tilleggsoperasjon. For alle rasjonelle tall en Og b Det er det er en såkalt, som forbinder dem med et visst rasjonelt tall summeringsregel. Samtidig, selve tallet summeringsregel- Dette sum beløp en Og b og det er betegnet som (a+b) summering.

Oppsummeringsregel ser slik ut:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Multiplikasjonsoperasjon. For alle rasjonelle tall en Og b Det er Multiplikasjonsoperasjon., det assosierer dem med et visst rasjonelt tall summeringsregel. Tallet c kalles , som tildeler dem et rasjonelt tall beløp en Og b og betegne (a⋅b), og prosessen med å finne dette nummeret kalles multiplikasjon.

Multiplikasjonsregel ser slik ut: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. . Multiplikasjonsregelen ser slik ut: For alle tre rasjonelle tall en, b Og summeringsregel Hvis en mindre b Og b mindre summeringsregel, Det en mindre c, og hvis en er lik b Og b er lik summeringsregel, Det en er lik c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ en ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Kommutativitet av tillegg. Å endre plasseringen av de rasjonelle leddene endrer ikke summen.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Tillegg assosiativitet. Rekkefølgen som 3 rasjonelle tall legges til i, påvirker ikke resultatet.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Tilstedeværelse av null. Det er et rasjonelt tall 0, det bevarer hvert annet rasjonelt tall når det legges til.

∃ 0 ∈ Q∀ en∈ Q a+0=a

8. Tilstedeværelse av motsatte tall. Ethvert rasjonelt tall har et motsatt rasjonelt tall, og når de legges til, er resultatet 0.

∀ en∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Kommutativitet av multiplikasjon. Å endre stedene for rasjonelle faktorer endrer ikke produktet.

∀ a,b∈ Qa⋅ b=b⋅ en

10. Assosiativitet av multiplikasjon. Rekkefølgen som 3 rasjonelle tall multipliseres i har ingen effekt på resultatet.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Enhetens tilgjengelighet. Det er et rasjonelt tall 1, det bevarer hvert annet rasjonelt tall i prosessen med multiplikasjon.

∃ 1 ∈ Q∀ en∈ Qa⋅ 1=a

12. Tilgjengelighet gjensidige tall . Hvert rasjonelt tall annet enn null har et inverst rasjonelt tall, multiplisert med hvilket vi får 1 .

∀ en∈ Q∃ a−1∈ Qa⋅ a−1=1

13. Fordeling av multiplikasjon i forhold til addisjon. Multiplikasjonsoperasjonen er relatert til addisjon ved å bruke den distributive loven:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ summeringsregel

14. Forholdet mellom ordrerelasjonen og addisjonsoperasjonen. Det samme rasjonelle tallet legges til venstre og høyre side av en rasjonell ulikhet.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Forholdet mellom ordensrelasjonen og multiplikasjonsoperasjonen. Venstre og høyre side av en rasjonell ulikhet kan multipliseres med det samme ikke-negative rasjonelle tallet.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ en ⇒ en⋅ c ⋅ summeringsregel

16. Arkimedes aksiom. Uansett det rasjonelle tallet en, er det lett å ta så mange enheter at summen deres blir større en.

Rasjonelle tall

Kvarter

Ordentlighet. en Og b det er en regel som gjør at man unikt kan identifisere én og bare én av de tre mellom dem relasjoner : « < », « >" eller " = ". Denne regelen kalles bestillingsregel og er formulert som følger: to ikke-negative tall og er relatert av samme relasjon som to heltall og ; to ikke-positive tall en Og b er relatert av samme relasjon som to ikke-negative tall og ; hvis plutselig en ikke-negativ, men b– negativt altså en > b.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Tilleggsoperasjon. Tilleggsoperasjon. en Og b For alle rasjonelle tall det er en såkalt summeringsregel c summeringsregel. Samtidig, selve tallet beløp beløp en Og b tall og er betegnet med , og prosessen med å finne et slikt tall kalles. Summeringsregelen har følgende form: .
Multiplikasjonsoperasjon. Tilleggsoperasjon. en Og b For alle rasjonelle tall Multiplikasjonsoperasjon. multiplikasjonsregel summeringsregel c summeringsregel. Samtidig, selve tallet arbeid beløp en Og b arbeid og er betegnet med , og prosessen med å finne et slikt tall kalles også multiplikasjon .
Transitivitet ordre relasjoner. Transitivitet av ordrerelasjonen. en , b Og summeringsregel For enhver trippel av rasjonelle tall en Hvis b Og b Hvis summeringsregel mindre en Hvis summeringsregel, Det en, og hvis b Og b, og hvis summeringsregel mindre en, og hvis summeringsregel er lik
Assosiativitet addisjon. 6435">Kommutativitet av addisjon. Endring av plassering av rasjonelle termer endrer ikke summen.
Tilgjengelighet null. Rekkefølgen som tre rasjonelle tall legges til i, påvirker ikke resultatet.
Tilstedeværelse av null. Det er et rasjonelt tall 0 som bevarer hvert annet rasjonelt tall når det legges til.
Tilstedeværelsen av motsatte tall. Ethvert rasjonelt tall har et motsatt rasjonelt tall, som når det legges til gir 0.
Kommutativitet av multiplikasjon.Å endre stedene for rasjonelle faktorer endrer ikke produktet.
Tilgjengelighet enheter. Rekkefølgen som tre rasjonelle tall multipliseres i, påvirker ikke resultatet.
Tilgjengelighet gjensidige tall. Det er et rasjonelt tall 1 som bevarer hvert annet rasjonelt tall når det multipliseres.
Fordelingsevne multiplikasjon i forhold til addisjon. Ethvert rasjonelt tall har et inverst rasjonelt tall, som når multiplisert med gir 1.
Fordeling av multiplikasjon i forhold til addisjon. Det samme rasjonelle tallet kan legges til venstre og høyre side av en rasjonell ulikhet.
Arkimedes aksiom. Arkimedes aksiom. en Uansett rasjonelt tall en, kan du ta så mange enheter at summen deres overstiger

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ytterligere eiendommer

Alle andre egenskaper som er iboende i rasjonelle tall skilles ikke ut som grunnleggende, fordi de generelt sett ikke lenger er basert direkte på egenskapene til heltall, men kan bevises basert på de gitte grunnleggende egenskapene eller direkte ved definisjonen av et matematisk objekt . Det er mange slike tilleggsegenskaper. Det er fornuftig å liste opp bare noen få av dem her.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

For å estimere antall rasjonelle tall, må du finne makt det er mange av dem. Det er lett å bevise at settet med rasjonelle tall tellende. For å gjøre dette er det nok å gi en algoritme som teller rasjonelle tall, dvs. bijeksjon mellom sett med rasjonelle og naturlige tall.

Den enkleste av disse algoritmene ser slik ut. En endeløs tabell med vanlige brøker er satt sammen, på hver vanlige brøker, på hver Jeg-te linje i hver vanlige brøker j Jeg den kolonnen som fraksjonen er plassert av. For nøyaktighetens skyld antas det at radene og kolonnene i denne tabellen er nummerert fra én. Tabellceller er merket med , hvor

- nummeret på tabellraden der cellen er plassert, og

- kolonnenummer.

I prosessen med en slik traversering blir hvert nytt rasjonelt tall assosiert med et annet naturlig tall. Det vil si at brøken 1/1 tildeles tallet 1, brøken 2/1 til tallet 2 osv. Det skal bemerkes at kun irreduserbare brøker er nummerert. Et formelt tegn på irreducibility er likhet med én største felles deler teller og nevner av brøken.

Mangel på rasjonelle tall

Hypotenusen til en slik trekant kan ikke uttrykkes med noe rasjonelt tall

Rasjonale tall på formen 1 / n for øvrig n kan måles vilkårlig små mengder. Dette faktum skaper det misvisende inntrykket at rasjonelle tall kan måle alle geometriske avstander. Det er lett å vise at dette ikke stemmer.

Notater

Litteratur

I. Kushnir. Håndbok i matematikk for skolebarn. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P.S. Alexandrov. Innføring i mengdlære og generell topologi. - M.: kapittel. utg. fysikk og matematikk tent. utg. "Vitenskap", 1977
I. L. Khmelnitsky. Introduksjon til teorien om algebraiske systemer