Gjensidige primtall. Coprime tall

Definisjon 1. Heltall a 1 , a 2 ,…,a k kalles co-prime hvis (a 1 ,a 2 ,...,a k) =1

Definisjon 2. Heltall a 1,a 2,…,a k kalles parvis coprime hvis i,s (i, s = 1, 2, .. , k, is, (a i, a s) =1) .

Hvis tallene tilfredsstiller definisjon 2, da tilfredsstiller de definisjon 1. Den omvendte setningen er generelt usann, for eksempel: (15, 21, 19) = 1, men (15, 21) = 3

Teorem (co-prime kriterium)

(a, b) = 1<=> x, y Z: ax + by = 1

Bevis:

La oss bevise nødvendigheten. La (a, b) = 1. Ovenfor viste vi at hvis d = (a, b), så  x, y Z: d = ax + by.

Fordi i dette tilfellet d =1, så vil det være  x, y Z (bestemt fra den euklidiske algoritmen): 1 = ax + by.

Tilstrekkelighet. La (*) ax + by = 1, la oss bevise at (a, b) = 1. Anta at (a, b) = d, så på venstre side av likhet (*)

(en / d ) & ( b/d ) => (ah + by) /d => (1/d) => (d=l) => (a, b) = 1.

§4. Nok av heltall og dets egenskaper.

Definisjon 1. Felles multiplum av et endelig sett med heltall a 1,a 2,...,a k, forskjellig fra null, er et heltall m som er delelig med alle tallene a i (i=l, 2,..., k)

Definisjon 2. Et heltall (m) kalles det minste felles multiplum av tallene a 1, a 2,..., a k, forskjellig fra null, hvis:

1 m - er deres felles multiplum;

2 (m) deler et annet felles multiplum av disse tallene.

Betegnelse: m = LCM (a 1,a 2,...,a k) eller m = [a 1,a 2,...,a k]

Eksempel. Tallene er gitt: 2, 3, 4, 6, 12.

Tallene 12, 24. 48. 96 er felles multiplum av tallene 2, 3, 4, 6, 12. Minste felles multiplum er tallet 12. d.v.s.

LCM bestemmes unikt opp til rekkefølgen av faktorene. Faktisk, hvis vi antar at m 1 = [a, b] &m 2 =  (m 1 / m 2) & (m 2 / m 1) => [(m 1 = m 2) v (m 1 = - m 2)]. Det er et forhold mellom det minste felles multiplum og den største felles divisor av to heltall, som uttrykkes med formelen: [a, b] = ab/(a, b) (der ut det selv)

Denne forbindelsen lar oss si at for ethvert par med heltall annet enn null, er det deres minste felles multiplum. Faktisk kan (a, b) alltid entydig utledes fra den euklidiske algoritmen og per definisjon (a, b)  0, vil brøken ab/(a, b)  0 være unikt bestemt.

LCM for to heltall beregnes lettest i tilfellet når (a, b) = 1, deretter [a, b] = ab/1 = a b

For eksempel = 215/1 = 105, fordi (21, 5) = 1.

§5. Primtall og deres egenskaper.

Definisjon 1. Et naturlig tall (p) kalles primtall hvis p > 1 og ikke har et positivt tall. andre divisorer enn 1 og s.

Definisjon 2. Et naturlig tall a > 1 som har andre positive divisorer enn 1 og i seg selv kalles sammensatt.

Fra disse definisjonene følger det at settet med naturlige tall kan deles inn i tre klasser:

a) sammensatte tall;

b) primtall;

c) enhet.

Hvis a er sammensatt, så er a = nq, hvor 1

Oppgave 1. Bevis at hvis aZ og p er et primtall, så er (a, p) = 1 v (a / p)

Bevis.

La d = (a, p) => (a /d) og (p /d), fordi p er et primtall, så har det to divisorer 1 og p. Hvis (a, p) = 1, så er a og p relativt primtall, hvis (a, p) = p, så er (a/p).

Oppgave 2. Hvis produktet av flere faktorer er delelig med p, så er minst én av faktorene delelig med p.

Løsning.

La produktet (en 1, en 2, ..., og k)/р, hvis all a i ikke er delelig med p, vil produktet være coprime med p, derfor er en eller annen faktor delelig med p.

Oppgave 3. Bevis at den minste ikke-1 divisor av et heltall a>1 er et primtall.

Bevis.

La aZ og a være et sammensatt tall (hvis a = p, så er påstanden bevist), så er a = a 1 q.

La q være den minste divisor, la oss vise at det vil være et primtall. Hvis vi antar at q er et sammensatt tall, så er q = q 1 k og a = a 1 q 1 k, fordi q 1

Oppgave 4. Bevis at den minste primtall divisor (p) av et naturlig tall (n) ikke overstiger n.

Bevis.

La n = pn 1, og p< n 1 и р - простое. Тогда n  р 2 =>R<n .

Av dette utsagnet følger det at hvis et naturlig tall (n) ikke er delelig med noe primtall p n, så er n primtall, ellers vil det være sammensatt.

Eksempel 1. Finn ut om 137 er et primtall? elleve<137 <12.

Vi skriver ned primfaktorer som ikke overstiger 137: 2, 3, 5, 7, 11. Vi sjekker at 137 ikke er delelig med 2, 3, 5, 7, 11. Derfor er tallet 137 primtall.

Euklids teorem. Settet med primtall er uendelig.

Bevis.

La oss anta det motsatte, la p 1 ,p 2 , ..., p k er alle primtall, der p 1 = 2 og p k er det største primtallet.

La oss komponere et naturlig tall  = p 1 p 2  ... p til +1, fordi  p i, så må den være sammensatt, da vil dens minste divisor være primtall (se Oppgave 3). Imidlertid er  ikke delelig med verken p 1, eller p 2,... eller p k, fordi 1 er ikke delelig med noen p I.

Derfor var vår antagelse om at settet med primtall er endelig feil.

Det er imidlertid et teorem som sier at primtall bare utgjør en liten del av de naturlige tallene.

Intervallteorem. I den naturlige rekken er det vilkårlig lange intervaller som ikke inneholder et enkelt primtall.

Bevis.

La oss ta et vilkårlig naturlig tall (n) og lage en sekvens av naturlige tall (n+1)!+2, n+1)!+3,...,(n+1)!+(n+1).

I denne sekvensen er hvert påfølgende tall 1 større enn det forrige alle disse tallene er sammensatte, fordi hver har mer enn to divisorer (for eksempel er det første tallet delelig med 1, med 2 og med seg selv). Som n→∞ får vi et vilkårlig langt intervall som kun består av sammensatte tall.

Euklids teorem og intervallsetningen indikerer den komplekse naturen til fordelingen av primtall i den naturlige rekken.

Grunnleggende teorem for aritmetikk

Ethvert naturlig tall n>1 kan representeres på en unik måte som et produkt av primtall, opp til rekkefølgen av faktorene.

Bevis.

La oss bevise muligheten for representasjon:

La nN og n>1, hvis n er et primtall, så er n = p og teoremet er bevist. Hvis n er sammensatt, vil dens minste divisor være et primtall og n = p 1 n 1, hvor n 1

Deretter argumenterer vi på en lignende måte. Hvis n 1 er et primtall, så er teoremet bevist, hvis n 1 er et sammensatt tall, så er n 1 = p 2 n 2 , hvor n 2< n 1 и тогда n = p 1 p 2 n 2 . На каком-то шаге получим n = p 1 p 2 …p n , где все p i - простые числа.

La oss bevise det unike med nedbrytningen:

La oss anta at det er to forskjellige representasjoner for tallet (n): n = p 1 p 2 …p k , n = q 1 q 2 …q n og n>k.

Da får vi at p 1 p 2 …p k = q 1 q 2 …q n (1). Venstre side av likhet (1) er delelig med p 1 , deretter, med egenskapen til primtall (se Oppgave 2), må minst en av faktorene på høyre side være delelig med p 1 .

La (q 1 /p 1) => (q 1 =p 1). Ved å dele begge sider av likhet (1) med p 1, får vi likheten p 2 p 3 …p k = q 2 q 3 …q n. Ved å gjenta det forrige resonnementet en gang til (k-1), får vi likheten 1 = q k +1 q k +2 …q n , fordi alle q i >1, så er denne likheten umulig. Følgelig er antallet faktorer det samme i begge utvidelsene (k=n) og faktorene i seg selv er de samme.

Kommentar. Når du dekomponerer et tall (n) i enkle faktorer, kan noen av dem gjentas. Ved å angi med bokstavene  1 , 2 ,…, k mangfoldet av deres forekomst i (n), får vi den såkalte kanoniske utvidelsen av tallet (n):

Eksempel 2.

Kanonisk utvidelse av tallet 588000 = 2 5 35 3 7 2

Konsekvens 1. Hvis
da har alle divisorer av tallet (n) formen:
hvor 0 i  i (i = 1, 2,...,k).

Eksempel 3. Alle divisorer av tallet 720 = 2 4 3 2 5 oppnås hvis i uttrykket
i stedet for  1,  2,  3, uavhengig av hverandre, vil vi erstatte følgende verdier:  1 =0, 1, 2, 3, 4,  2 =0, 1, 2,  3 = 0, 1.

De nødvendige divisorene vil være lik: 1; 2; 4; 8; 16; 3; 6; 12; 24; 48; 9; 18; 36; 72; 144; 5; 10; 20; 40; 80; 15; tretti; 60; 120; 240; 45; 90; 180; 360; 720.

Konsekvens 2. Hvis
Og
deretter (a, b) = p 1  1 p 2  2 …p k  k , hvor fii = min( I ,  i)

P 1  1 p 2  2 …p k  k, hvor i = max( I ,  i).

Eksempel 4. Finn GCD(a, b) og LCM(a, b) ved å bruke kanonisk utvidelse if

(24, 42) = 23 = 6

Informasjonen i denne artikkelen dekker emnet " coprimtall" Først er definisjonen av to coprimtall gitt, samt definisjonen av tre eller flere coprimtall. Etter dette gis eksempler på coprimtall, og det vises hvordan man kan bevise at gitte tall er coprime. Følgende lister opp og beviser de grunnleggende egenskapene til coprimtall. Til slutt nevnes parvise primtall fordi de er nært beslektet med coprimtall.

Sidenavigering.

Det er ofte oppgaver der du må bevise at gitte heltall er relativt prime. Beviset koker ned til å beregne den største felles divisor av de gitte tallene og sjekke gcd for å se om den er lik én. Det er også nyttig å se på tabellen med primtall før du beregner gcd: hva om de opprinnelige heltallene er primtall, og vi vet at den største felles deler primtall er lik en. La oss se på eksempelløsningen.

Eksempel.

Bevis at tallene 84 og 275 er relativt prime.

Løsning.

Det er klart at disse tallene ikke er primtall, så vi kan ikke umiddelbart snakke om det relative primtall til tallene 84 og 275, og vi må beregne gcd. Vi bruker den euklidiske algoritmen for å finne GCD: 275=84·3+23, 84=23·3+15, 23=15·1+8, 15=8·1+7, 8=7·1+1, 7 =7 ·1, derfor gcd(84, 275)=1. Dette beviser at tallene 84 og 275 er relativt prime.

Definisjonen av coprime tall kan utvides til tre og mer tall.

Definisjon.

Heltall a 1 , a 2 , …, a k , k>2 kalles gjensidig prime, hvis den største felles divisor av disse tallene er lik én.

Fra den angitte definisjonen følger det at hvis et visst sett med heltall har en positiv felles divisor annet enn én, så er disse heltallene ikke coprime.

La oss gi eksempler. Tre heltall −99, 17 og −27 er relativt primtall. Enhver samling av primtall utgjør et sett med coprimtall, for eksempel er 2, 3, 11, 19, 151, 293 og 677 coprimtall. Og de fire tallene 12, −9, 900 og −72 er ikke coprime fordi de har en positiv felles divisor 3 annet enn 1. Tallene 17, 85 og 187 er heller ikke relativt prime, siden hver av dem er delelig med 17.

Det er vanligvis langt fra åpenbart at noen tall er relativt prime, og dette faktum må bevises. For å finne ut om gitte tall er coprime, må du finne den største felles divisor av disse tallene og trekke en konklusjon basert på definisjonen av coprime tall.

Eksempel.

Er tallene 331, 463 og 733 relativt prime?

Løsning.

Ser vi på tabellen med primtall, vil vi finne at hvert av tallene 331, 463 og 733 er primtall. Derfor har de en enkelt positiv felles divisor - en. Dermed er de tre tallene 331, 463 og 733 relativt primtall.

Svar:

Ja.

Eksempel.

Bevis at tallene −14 , 105 , −2 107 og −91 ikke er coprime.

Løsning.

For å bevise at disse tallene ikke er relativt primtall, kan du finne deres gcd og sørge for at den ikke er lik én. Det er det vi skal gjøre.

Siden heltallsdelere negative tall faller sammen med divisorene til den tilsvarende , da GCD(−14; 105; 2 107; −91)= GCD(14, 105, 2 107, 91) . Når vi ser på materialet i artikkelen som finner den største felles divisor av tre eller flere tall, finner vi ut at GCD(14, 105, 2 107, 91) = 7. Derfor er den største felles divisor av de opprinnelige tallene syv, så disse tallene er ikke coprime.

Egenskaper til koprimtall

Coprimtall har en rekke egenskaper. La oss se på hovedsaken egenskaper til koprimtall.

Tallene oppnådd ved å dele heltallene a og b med deres største felles divisor er coprime, det vil si a:GCD(a, b) og b:GCD(a,b) er coprime.

Vi beviste denne egenskapen da vi undersøkte egenskapene til GCD.

Den betraktede egenskapen til koprimtall lar oss finne par med koprimtall. For å gjøre dette er det nok å ta to heltall og dele dem med den største felles divisor, de resulterende tallene vil være relativt prime.

For at heltallene a og b skal være relativt prime, er det nødvendig og tilstrekkelig at det finnes heltall u 0 og v 0 slik at a·u 0 +b·v 0 =1.

La oss først bevise nødvendigheten.

La tallene a og b være relativt prime. Deretter, ved definisjonen av coprimtall, gcd(a, b)=1. Og fra egenskapene til GCD vet vi at for heltall a og b er Bezout-relasjonen a·u 0 +b·v 0 =GCD(a, b) sann. Derfor er a·u 0 +b·v 0 =1.

Det gjenstår å bevise tilstrekkeligheten.

La likheten a·u 0 +b·v 0 =1 være sann. Siden GCD(a, b) deler både a og b, så må GCD(a, b), på grunn av egenskapene til delbarhet, dele summen a·u 0 +b·v 0, og derfor enhet. Og dette er bare mulig når GCD(a, b)=1. Derfor er a og b relativt primtall.

Den neste egenskapen til coprimtall er denne: hvis tallene a og b er coprime, og produktet a·c er delelig med b, så er c delelig med b.

Faktisk, siden a og b er relativt primtall, har vi fra den forrige egenskapen likheten a·u 0 +b·v 0 =1. Multipliserer begge sider av denne likheten med c, har vi a·c·u 0 +b·c·v 0 =c. Det første leddet av summen a·c·u 0 +b·c·v 0 deles på b, siden a·c deles med b i henhold til betingelsen, er det andre leddet i denne summen også delt på b, siden en av faktorene er lik b, derfor deles hele summen på b. Og siden summen a·c·u 0 +b·c·v 0 er lik c, så er c delelig med b.

Hvis tallene a og b er relativt prime, så er gcd(a c, b) = gcd(c, b) .

La oss for det første vise at gcd(a c, b) deler gcd(c, b), og for det andre at gcd(c, b) deler gcd(a c, b), dette vil bevise likheten GCD(a c, b) =GCD(c, b) .

GCD(a c, b) deler både a c og b, og siden gcd(a c, b) deler b, deler den også b c. Det vil si at gcd(a c, b) deler både a c og b c, derfor, på grunn av egenskapene til den største felles divisor, deler den også gcd(a c, b c), som ifølge egenskapene til gcd er lik c GCD(a, b)=c . Dermed deler gcd(a c, b) både b og c, derfor deler gcd(c, b) også.

På den annen side deler GCD(c, b) både c og b, og siden den deler c, deler den også a·c. Dermed deler gcd(c, b) både a c og b, derfor deler den også gcd(a c, b).

Så vi viste at gcd(a c, b) og gcd(c, b) deler hverandre, noe som betyr at de er like.

Hvis hvert av tallene a 1 , a 2 , …, a k er coprime med hvert av tallene b 1 , b 2 , …, b m (der k og m er noen naturlige tall), så er produktene a 1 · a 2 · … · a k og b 1 · b 2 ·…·b m er koprimtall, spesielt hvis a 1 =a 2 =…=a k =a og b 1 =b 2 =…=b m =b, så er a k og b m coprimtall.

Den forrige egenskapen til coprimtall lar oss skrive en serie likheter av formen GCD(a 1 · a 2 ·…·a k , b m)= GCD(a 2 ·…·a k , b m)=…=GCD(a k , b m)=1, hvor den siste overgangen er mulig, siden a k og b m er innbyrdes primtall etter betingelse. Så, GCD(a 1 · a 2 ·…·a k , b m)=1.

Nå, som betegner a 1 ·a 2 ·…·a k =A, har vi
GCD(b 1 ·b 2 ·…·b m , a 1 ·a 2 ·…·a k)= GCD(b 1 b 2…b m , A)=
=GCD(b 2 ·…·b m , A)=... =GCD(b m , A)=1
(siste overgang er gyldig, på grunn av siste likhet fra forrige avsnitt). Slik fikk vi likestilling GCD(b 1 ·b 2 ·…·b m , a 1 ·a 2 ·…·a k)=1, som beviser at produktene a 1 ·a 2 ·…·a k og b 1 ·b 2 ·…·b m er koprimtall.

Dette avslutter vår gjennomgang av de grunnleggende egenskapene til coprimtall.

Parvise primtall - definisjoner og eksempler

Gjennom coprimtall er det gitt identifisere par av primtall.

Definisjon.

Heltall a 1, a 2, …, a k, som hver er relativt primtall til alle de andre, kalles parvise primtall.

La oss gi et eksempel på parvise primtall. Tallene 14, 9, 17 og −25 er parvise primtall, siden parene med tallene 14 og 9, 14 og 17, 14 og −25, 9 og 17, 9 og −25, 17 og −25 er koprimtall. Her legger vi merke til at parvise primtall alltid er coprime.

På den annen side er ikke koprimtall alltid parvise primtall, som følgende eksempel bekrefter. Tallene 8, 16, 5 og 15 er ikke parvise primtall, siden tallene 8 og 16 ikke er coprime. Tallene 8, 16, 5 og 15 er imidlertid relativt prime. Dermed er 8, 16, 5 og 15 relativt primtall, men ikke parvise primtall.

Vi bør spesielt fremheve samlingen av et visst antall primtall. Disse tallene er alltid både relativt primtall og parvise primtall. For eksempel er 71, 443, 857, 991 både parvise primtall og coprimtall.

Det er også klart at når vi snakker om om to heltall, så for dem faller begrepene "parvis primtall" og "gjensidig primtall" sammen.

Bibliografi.

Vilenkin N.Ya. og andre. 6. klasse: lærebok for allmennutdanningsinstitusjoner.
Vinogradov I.M. Grunnleggende om tallteori.
Mikhelovich Sh.H. Tallteori.
Kulikov L.Ya. og andre Samling av problemer i algebra og tallteori: Opplæringen for studenter i fysikk og matematikk. spesialiteter ved pedagogiske institutter.

Hva er coprimtall?

Definisjon av primtall

Definisjon av coprimtall:

Coprimtall er heltall som ikke har noen felles faktorer annet enn én.

Eksempler på coprime tall

Eksempel på coprimtall:

2 og 3 har ingen andre felles deler enn én.

Et annet eksempel på coprimtall:

3 og 7 har ingen andre fellesfaktorer enn én.

Et annet eksempel på coprimtall:

11 og 13 har ingen andre fellesfaktorer enn én.

Nå kan vi svare på spørsmålet om hva coprimtall betyr.

Hva betyr koprimtall?

Dette er heltall som ikke har andre felles deler enn én.

To coprimtall

Hvert av disse parene er to relativt primtall.

11 og 15
15 og 16
16 og 23

Felles divisorer for coprimtall

De vanlige divisorene for coprimtall er bare én, som følger av definisjonen av coprimtall.

Største felles deler av coprimtall

Den største felles divisor for coprimtall er én, som følger av definisjonen av coprimtall.

Er tall coprime?

Er tallene 3 og 13 coprime? Ja, fordi de ikke har noen felles deler bortsett fra én.

Er tallene 3 og 12 coprime? Nei, fordi deres felles divisorer er 1 og 3. Og ved definisjonen av coprimtall skal felles divisor bare være en.

Er tallene 3 og 108 coprime? Nei, fordi deres felles divisorer er 1 og 3. Og ved definisjonen av coprimtall, skal felles divisor bare være en.

Er tallene 108 og 5 coprime? Ja, fordi de ikke har noen felles deler unntatt én.

$p$ kalles et primtall hvis det bare har $2$ divisorer: $1$ og seg selv.

Deler naturlig tall$a$ er et naturlig tall som det opprinnelige tallet $a$ er delelig med uten en rest.

Eksempel 1

Finn divisorene til tallet $6$.

Løsning: Vi må finne alle tallene som det gitte tallet $6$ er delelig med uten en rest. Disse vil være tallene: $1,2,3, 6$. Så deleren av tallet $6$ vil være tallene $1,2,3,6.$

Svar: $1,2,3,6$.

Dette betyr at for å finne divisorene til et tall, må du finne alle de naturlige tallene som det gitte tallet er delelig i uten en rest. Det er lett å se at tallet $1$ vil være en divisor av et hvilket som helst naturlig tall.

Definisjon 2

Sammensatte De ringer et nummer som har andre delere enn en og seg selv.

Et eksempel på et primtall vil være tallet $13$, et eksempel på et sammensatt tall vil være $14.$

Merknad 1

Tallet $1$ har bare én divisor - selve tallet, så det er verken primtall eller sammensatt.

Coprime tall

Definisjon 3

Innbyrdes primtall de er de hvis gcd er lik $1$. Dette betyr at for å finne ut om tallene er relativt prime, må du finne deres gcd og sammenligne den med $1$.

Parvis coprime

Definisjon 4

Hvis i et sett med tall noen to er coprime, kalles slike tall parvis coprime. For to tall faller begrepene "coprime" og "parvis coprime" sammen.

Eksempel 2

$8, $15 - ikke enkelt, men relativt enkelt.

$6, 8, 9$ er coprime tall, men ikke parvise coprime tall.

$8, 15, 49$ er parvis relativt gode.

Som vi ser, for å finne ut om tall er relativt prime, er det nødvendig å først faktorisere dem til primfaktorer. La oss ta hensyn til hvordan du gjør dette riktig.

primtallsfaktorisering

La oss for eksempel faktorisere tallet $180$ til primfaktorer:

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

La oss bruke maktens eiendom, så får vi,

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Denne notasjonen av dekomponering til primfaktorer kalles kanonisk, dvs. for å faktorisere et tall i kanonisk form, er det nødvendig å bruke egenskapen potenser og representere tallet som et produkt av potenser med av ulike grunner

Kanonisk utvidelse av et naturlig tall i generell form

Kanonisk utvidelse av et naturlig tall i generelt syn har formen:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

der $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ er primtall, og eksponenter er naturlige tall.

Å representere et tall som en kanonisk dekomponering til primtall gjør det lettere å finne den største felles divisor av tall, og fungerer som en konsekvens av beviset eller definisjonen av coprimtall.

Eksempel 3

Finn den største felles deleren av tallene $180$ og $240$.

Løsning: La oss dekomponere tall til enkle sett ved å bruke kanonisk dekomponering

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, deretter $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, deretter $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

La oss nå finne gcd for disse tallene, for dette velger vi potenser med samme grunntall og med den minste eksponenten, så

$GCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

La oss komponere algoritme for å finne GCD som tar hensyn til kanonisk faktorisering til primfaktorer.

For å finne den største felles divisor av to tall ved å bruke kanonisk utvidelse, må du:

faktortall til primfaktorer i kanonisk form
velg potenser med samme grunntall og med den minste eksponenten av potensene som er inkludert i utvidelsen av disse tallene
Finn produktet av tallene som ble funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være den ønskede største felles divisor.

Eksempel 4

Bestem om tallene $195$ og $336$ er primtall, coprimtall.

$195=3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$GCD\(195;336) =3\cdot 5=15$

Vi ser at gcd for disse tallene er forskjellig fra $1$, noe som betyr at tallene ikke er relativt primtall. Vi ser også at hvert av tallene inkluderer faktorer, i tillegg til $1$ og selve tallet, som betyr at tallene ikke vil være primtall, men vil være sammensatte.

Eksempel 5

Bestem om tallene $39$ og $112$ er primtall, coprimtall.

Løsning: La oss bruke den kanoniske faktoriseringen for å faktorisere:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$GCD\(39;112)=1$

Vi ser at gcd for disse tallene er lik $1$, noe som betyr at tallene er relativt prime. Vi ser også at hvert av tallene inkluderer faktorer, i tillegg til $1$ og selve tallet, som betyr at tallene ikke vil være primtall, men vil være sammensatte.

Eksempel 6

Bestem om tallene $883$ og $997$ er primtall, coprimtall.

Løsning: La oss bruke den kanoniske faktoriseringen for å faktorisere:

$883=1\cdot 883$

$997=1\cdot 997$

$GCD\(883;997)=1$

Vi ser at gcd for disse tallene er lik $1$, noe som betyr at tallene er relativt prime. Vi ser også at hvert tall bare inkluderer faktorer lik $1$ og selve tallet, noe som betyr at tallene vil være primtall.