Hvilke tall kalles primtall? Primtall: hverdagen til en uløst gåte

primtall

et naturlig tall som er større enn én og som ikke har andre deler enn seg selv og én: 2, 3, 5, 7, 11, 13... Antallet primtall er uendelig.

primtall

hel positivt tall, større enn én, som ikke har andre deler enn seg selv og én: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Begrepet et tall er grunnleggende i studiet av delebarheten til naturlige (positive heltall) tall ; Hovedsetningen i delebarhetsteorien slår nemlig fast at hvert positivt heltall, bortsett fra 1, er unikt dekomponert i produktet av et antall tall (rekkefølgen på faktorene tas ikke i betraktning). Det er uendelig mange primtall (dette forslaget var kjent for gamle greske matematikere; beviset er tilgjengelig i den niende boken av Euklids elementer). Spørsmål om naturlige talls delebarhet, og derfor spørsmål knyttet til primtall, er viktige i studiet av grupper; spesielt er strukturen til en gruppe med et begrenset antall elementer nært knyttet til måten dette antallet elementer (rekkefølgen på gruppen) dekomponeres på i primfaktorer. Teorien om algebraiske tall tar for seg spørsmålene om delbarhet av algebraiske heltall; Konseptet med et deltall viste seg å være utilstrekkelig for å konstruere en delbarhetsteori, dette førte til opprettelsen av begrepet et ideal. P. G. L. Dirichlet fastslo i 1837 at den aritmetiske progresjonen a + bx for x = 1, 2,... med coprime-heltall a og b inneholder uendelig mange primtall Å bestemme fordelingen av primtall i den naturlige tallrekka er en svært vanskelig problem i tallteori. Den er formulert som en studie av den asymptotiske oppførselen til funksjonen p(x), som angir antall deltall som ikke overstiger et positivt tall x. De første resultatene i denne retningen tilhører P.L Chebyshev, som i 1850 beviste at det er to konstanter a og A slik at ═.< p(x) < ═при любых x ³ 2 [т. е., что p(х) растет, как функция ]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения П. ч. (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения p(х) к ═равен

Deretter ble betydelig innsats fra matematikere rettet mot å klargjøre den asymptotiske loven om distribusjon av P.-tallet. Spørsmål om fordelingen av P.-tallet studeres og elementære metoder, og metoder matematisk analyse. Spesielt fruktbar er metoden basert på bruken av identiteten

(produktet strekker seg til alle P. h. p = 2, 3,...), først indikert av L. Euler; denne identiteten er gyldig for alle komplekse s med en reell del større enn enhet. På grunnlag av denne identiteten ledes spørsmål om fordelingen av P.-tall til studiet av en spesiell funksjon ≈ zetafunksjon x(s), bestemt for Res > 1 av serien

Denne funksjonen ble brukt i spørsmål om fordelingen av primtall for reelle s av Chebyshev; B. Riemann påpekte viktigheten av å studere x(er) for komplekse verdier av s. Riemann antok at alle røttene til ligningen x(s) = 0 som ligger i høyre halvplan har en reell del lik 1/

Denne hypotesen er ikke bevist til dags dato (1975); dets bevis ville gjøre mye for å løse problemet med fordelingen av primtall Spørsmål om fordelingen av primtall er nært knyttet til Goldbachs problem, det fortsatt uløste problemet med "tvillinger" og andre problemer med analytisk tallteori. Problemet med "tvillingene" er å finne ut om antallet P.-tall som avviker med 2 (som for eksempel 11 og 13) er endelig eller uendelig. Tabeller med P.-tall som ligger innenfor de første 11 millioner naturlige tallene viser tilstedeværelsen av veldig store "tvillinger" (for eksempel 10006427 og 10006429), men dette er ikke bevis på uendeligheten av antallet. Utenfor de kompilerte tabellene er individuelle deltall kjent som tillater et enkelt aritmetisk uttrykk [for eksempel ble det fastslått (1965) at 211213 ≈1 er et regulært tall; den har 3376 sifre].

Litt.: Vinogradov I.M., Fundamentals of Number Theory, 8. utgave, M., 1972; Hasse G., Forelesninger om tallteori, trans. fra German, M., 1953; Ingham A.E., Distribusjon av primtall, trans. fra engelsk, M. ≈ L., 1936; Prahar K., Distribusjon av primtall, trans. fra German, M., 1967; Trost E., primtall, oversettelse, fra tysk, M., 1959.

Wikipedia

primtall

primtall- et naturlig tall som har nøyaktig to distinkte naturlige delere - og seg selv. Med andre ord, antallet x er primtall hvis den er større enn 1 og er delelig uten rest bare med 1 og x. For eksempel er 5 et primtall, og 6 er et sammensatt tall, siden det i tillegg til 1 og 6 også er delelig med 2 og 3.

Naturlige tall som er større enn ett og ikke er primtall kalles sammensatte tall. Altså alt heltall er delt inn i tre klasser: enhet. Tallteori studerer egenskapene til primtall. I ringteori tilsvarer primtall irreduserbare elementer.

Rekkefølgen av primtall starter slik:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 …

Tall er forskjellige: naturlige, rasjonelle, rasjonelle, heltall og brøk, positive og negative, komplekse og primtall, oddetall og partall, reelle osv. Fra denne artikkelen kan du finne ut hva primtall er.

Hvilke tall kalles "enkle" på engelsk?

Svært ofte vet ikke skolebarn hvordan de skal svare på et av de mest enkle spørsmålene i matematikk ved første øyekast, om hva et primtall er. De forveksler ofte primtall med naturlige tall (det vil si tallene som folk bruker når de teller objekter, mens de i noen kilder begynner med null, og i andre med en). Men dette er helt to forskjellige konsepter. Primtall er naturlige tall, det vil si heltall og positive tall som er større enn ett og som bare har 2 naturlige delere. Dessuten er en av disse divisorene det gitte tallet, og den andre er en. For eksempel er tre et primtall fordi det ikke kan deles uten en rest med noe annet tall enn seg selv og en.

Sammensatte tall

Det motsatte av primtall er sammensatte tall. De er også naturlige, også større enn én, men har ikke to, men stor kvantitet skillevegger. Så, for eksempel, tallene 4, 6, 8, 9 osv. er naturlige, sammensatte, men ikke primtall. Som du kan se, er dette stort sett partall, men ikke alle. Men "to" er et partall og det "første tallet" i en serie med primtall.

Etterfølge

For å konstruere en serie med primtall, er det nødvendig å velge fra alle naturlige tall, under hensyntagen til deres definisjon, det vil si at du må handle ved selvmotsigelse. Det er nødvendig å undersøke hvert av de positive naturlige tallene for å se om det har mer enn to divisorer. La oss prøve å bygge en serie (sekvens) som består av primtall. Listen starter med to, etterfulgt av tre, siden den kun er delbar med seg selv og én. Tenk på tallet fire. Har den andre deler enn fire og én? Ja, det tallet er 2. Så fire er ikke et primtall. Fem er også primtall (det er ikke delelig med noe annet tall, bortsett fra 1 og 5), men seks er delelig. Og generelt, hvis du følger alle partallene, vil du legge merke til at bortsett fra "to", er ingen av dem prime. Fra dette konkluderer vi med at partall, bortsett fra to, ikke er primtall. En annen oppdagelse: alle tall som er delbare med tre, bortsett fra de tre selv, enten partall eller oddetall, er heller ikke primtall (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 osv.). Det samme gjelder tall som er delbare med fem og syv. Hele mengden deres er heller ikke enkel. La oss oppsummere. Så enkle ensifrede tall inkluderer alle oddetall unntatt én og ni, og partall "to" er partall. Tierne i seg selv (10, 20,... 40 osv.) er ikke enkle. Tosifrede, tresifrede osv. primtall kan bestemmes basert på prinsippene ovenfor: hvis de ikke har andre divisorer enn seg selv og én.

Teorier om egenskapene til primtall

Det er en vitenskap som studerer egenskapene til heltall, inkludert primtall. Dette er en gren av matematikken som kalles høyere. I tillegg til egenskapene til heltall, tar hun også for seg algebraiske og transcendentale tall, samt funksjoner av ulik opprinnelse knyttet til aritmetikken til disse tallene. I disse studiene brukes i tillegg til elementære og algebraiske metoder også analytiske og geometriske. Nærmere bestemt omhandler "Tallteori" studiet av primtall.

Primtall er "byggesteinene" til naturlige tall

I aritmetikk er det et teorem som kalles grunnsetningen. I følge den kan et hvilket som helst naturlig tall, bortsett fra ett, representeres som et produkt, hvis faktorer er primtall, og rekkefølgen på faktorene er unik, noe som betyr at representasjonsmetoden også er unik. Det kalles å faktorisere et naturlig tall i primfaktorer. Det er et annet navn for denne prosessen - faktorisering av tall. Basert på dette kan primtall kalles " byggemateriale”, “blokker” for å konstruere naturlige tall.

Søk etter primtall. Enkelhetstester

Mange forskere fra forskjellige tider prøvde å finne noen prinsipper (systemer) for å finne en liste over primtall. Vitenskapen kjenner til systemer som kalles Atkin-silen, Sundartham-silen og Eratosthenes-silen. De gir imidlertid ingen signifikante resultater, og en enkel test brukes for å finne primtallene. Matematikere laget også algoritmer. De kalles vanligvis primalitetstester. For eksempel er det en test utviklet av Rabin og Miller. Det brukes av kryptografer. Det er også Kayal-Agrawal-Sasquena-testen. Til tross for tilstrekkelig nøyaktighet er det imidlertid svært vanskelig å beregne, noe som reduserer dens praktiske betydning.

Har settet med primtall en grense?

Den antikke greske vitenskapsmannen Euclid skrev i sin bok "Elementer" at settet med primtal er uendelig. Han sa dette: «La oss forestille oss et øyeblikk at primtall har en grense. La oss så multiplisere dem med hverandre, og legge til en til produktet. Tallet oppnådd som et resultat av disse enkle handlingene kan ikke deles på noen av rekkene av primtall, fordi resten alltid vil være ett. Dette betyr at det er et annet tall som ennå ikke er inkludert i listen over primtall. Derfor er vår antagelse ikke sann, og dette settet kan ikke ha en grense. Foruten Euklids bevis, er det en mer moderne formel gitt av den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler fra det attende århundre. I følge den vokser den gjensidige summen av summen av de første n tallene ubegrenset når tallet n øker. Og her er formelen til teoremet angående fordelingen av primtall: (n) vokser som n/ln (n).

Hva er det største primtallet?

Den samme Leonard Euler var i stand til å finne sin tids største primtall. Dette er 2 31 - 1 = 2147483647. Innen 2013 ble imidlertid en annen mest nøyaktig største i listen over primtall beregnet - 2 57885161 - 1. Det kalles Mersenne-tallet. Den inneholder omtrent 17 millioner desimaler. Som du kan se, er antallet funnet av en vitenskapsmann fra det attende århundre flere ganger mindre enn dette. Det burde vært slik, for Euler utførte denne beregningen manuelt, mens vår samtid sannsynligvis ble hjulpet av en datamaskin. Dessuten ble dette tallet oppnådd ved det matematiske fakultet i et av de amerikanske fakultetene. Tall oppkalt etter denne forskeren består Luc-Lemaire-primalitetstesten. Vitenskapen ønsker imidlertid ikke å stoppe der. Electronic Frontier Foundation, som ble grunnlagt i 1990 i USA (EFF), har tilbudt en pengebelønning for å finne store primtall. Og hvis prisen frem til 2013 ble tildelt de forskerne som ville finne dem blant 1 og 10 millioner desimaltall, så i dag har dette tallet nådd fra 100 millioner til 1 milliard. Premiene varierer fra 150 til 250 tusen amerikanske dollar.

Navn på spesielle primtall

De tallene som ble funnet takket være algoritmer laget av visse forskere og besto enkelhetstesten kalles spesielle. Her er noen av dem:

1. Merssen.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Enkelheten til disse tallene, oppkalt etter de ovennevnte forskerne, er etablert ved å bruke følgende tester:

1. Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge og andre.

Moderne vitenskap stopper ikke der, og sannsynligvis vil verden i nær fremtid lære navnene på de som var i stand til å motta premien på 250 000 dollar ved å finne det største primtallet.

Oppregning av divisorer. Per definisjon, tall n er primtall bare hvis den ikke er jevnt delelig med 2 og andre heltall bortsett fra 1 og seg selv. Formelen ovenfor fjerner unødvendige trinn og sparer tid: for eksempel, etter å ha sjekket om et tall er delelig med 3, er det ikke nødvendig å sjekke om det er delbart med 9.

Gulv(x)-funksjonen avrunder x til nærmeste heltall som er mindre enn eller lik x.

Lær om modulær aritmetikk. Operasjonen er "x mod y" (mod er en forkortelse for latinsk ord"modulo" betyr "del x med y og finn resten." Med andre ord, i modulær aritmetikk, ved å nå en viss verdi, som kalles modul, "snus" tallene til null igjen. For eksempel holder en klokke tid med en modul på 12: den viser klokken 10, 11 og 12 og går deretter tilbake til 1.

Mange kalkulatorer har en mod-nøkkel. Slutten av denne delen viser hvordan man manuelt beregner denne funksjonen for store tall.

Lær om fallgruvene i Fermats lille teorem. Alle tall som testbetingelsene ikke er oppfylt for er sammensatte, men de resterende tallene er kun sannsynligvis klassifiseres som enkle. Hvis du vil unngå feil resultater, se etter n i listen over "Carmichael-tall" (sammensatte tall som tilfredsstiller denne testen) og "pseudo-prime Fermat-tall" (disse tallene tilsvarer testbetingelsene bare for visse verdier en).

Hvis det er praktisk, bruk Miller-Rabin-testen. Selv om denne metoden er ganske tungvint å beregne manuelt, brukes den ofte i dataprogrammer. Det gir akseptabel hastighet og gir færre feil enn Fermats metode. Et sammensatt tall vil ikke bli akseptert som et primtall hvis det gjøres beregninger for mer enn ¼ av verdiene en. Hvis du velger tilfeldig forskjellige betydninger en og for alle av dem vil testen gi et positivt resultat, vi kan anta med en ganske høy grad av sikkerhet at n er et primtall.

For store tall, bruk modulær aritmetikk. Hvis du ikke har en kalkulator med mod for hånden, eller kalkulatoren din ikke er laget for å håndtere så store tall, bruk egenskapene til potenser og modulær aritmetikk for å gjøre beregningene enklere. Nedenfor er et eksempel på 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:

Skriv om uttrykket i en mer praktisk form: mod 50. Ved manuelle beregninger kan ytterligere forenklinger være nødvendig.
(3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Her tok vi hensyn til egenskapen til modulær multiplikasjon.
3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
(3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
= 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
= 49 (\displaystyle =49).

Oversettelse

Egenskapene til primtall ble først studert av matematikere Antikkens Hellas. Matematikere fra Pythagoras skole (500 - 300 f.Kr.) var først og fremst interessert i de mystiske og numerologiske egenskapene til primtall. De var de første som kom med ideer om perfekte og vennlige tall.

Et perfekt tall har summen av sine egne divisorer lik seg selv. For eksempel er de riktige divisorene for tallet 6 1, 2 og 3. 1 + 2 + 3 = 6. Divisorene for tallet 28 er 1, 2, 4, 7 og 14. Dessuten, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Tall kalles vennlige hvis summen av de riktige divisorene til ett tall er lik et annet, og omvendt - for eksempel 220 og 284. Vi kan si at et perfekt tall er vennlig mot seg selv.

På tidspunktet for Euklids elementer i 300 f.Kr. flere er allerede bevist viktige fakta angående primtall. I elementets bok IX beviste Euklid at det finnes et uendelig antall primtall. Dette er forresten et av de første eksemplene på bruk av bevis ved selvmotsigelse. Han beviser også aritmetikkens grunnleggende teorem - hvert heltall kan representeres unikt som et produkt av primtall.

Han viste også at hvis tallet 2n-1 er primtall, vil tallet 2n-1 * (2n-1) være perfekt. En annen matematiker, Euler, var i stand til å vise i 1747 at alle jevne perfekte tall kan skrives i denne formen. Til i dag er det ukjent om det finnes oddetall.

I år 200 f.Kr. Den greske Eratosthenes kom opp med en algoritme for å finne primtall kalt "Sieve of Eratosthenes."

Og så skjedde det stort gjennombrudd i historien om studiet av primtall, assosiert med middelalderen.

Følgende funn ble gjort allerede på begynnelsen av 1600-tallet av matematikeren Fermat. Han beviste Albert Girards formodning om at ethvert primtall av formen 4n+1 kan skrives unikt som summen av to kvadrater, og formulerte også teoremet om at et hvilket som helst tall kan skrives som summen av fire kvadrater.

Han utviklet seg ny metode faktorisering av store tall, og demonstrerte det på tallet 2027651281 = 44021 × 46061. Han beviste også Fermats lille teorem: hvis p er et primtall, så vil det for ethvert heltall a være sant at a p = en modulo p.

Denne uttalelsen beviser halvparten av det som ble kjent som den "kinesiske formodningen" og dateres tilbake 2000 år: et heltall n er primtall hvis og bare hvis 2 n -2 er delelig med n. Den andre delen av hypotesen viste seg å være feil - for eksempel er 2341 - 2 delelig med 341, selv om tallet 341 er sammensatt: 341 = 31 × 11.

Fermats lille teorem fungerte som grunnlag for mange andre resultater innen tallteori og metoder for å teste om tall er primtall – hvorav mange fortsatt brukes i dag.

Fermat korresponderte mye med sin samtid, spesielt med en munk som het Maren Mersenne. I et av brevene hans antok han at tall på formen 2 n +1 alltid vil være primtall hvis n er en potens av to. Han testet dette for n = 1, 2, 4, 8 og 16, og var sikker på at i tilfellet der n ikke var en potens av to, var tallet ikke nødvendigvis primtall. Disse tallene kalles Fermats tall, og bare 100 år senere viste Euler at neste tall, 2 32 + 1 = 4294967297, er delelig med 641, og derfor ikke er primtall.

Tall på formen 2 n - 1 har også vært gjenstand for forskning, siden det er lett å vise at hvis n er sammensatt, så er selve tallet også sammensatt. Disse tallene kalles Mersenne-tall fordi han studerte dem mye.

Men ikke alle tall på formen 2 n - 1, der n er primtall, er primtall. For eksempel, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Dette ble først oppdaget i 1536.

I mange år ga tall av denne typen matematikere de største kjente primtallene. At M 19 ble bevist av Cataldi i 1588, og i 200 år var det største kjente primtallet, inntil Euler beviste at M 31 også var primtall. Denne rekorden sto i hundre år til, og så viste Lucas at M 127 er primtall (og dette er allerede et tall på 39 sifre), og etter det fortsatte forskningen med fremkomsten av datamaskiner.

I 1952 ble primiteten til tallene M 521, M 607, M 1279, M 2203 og M 2281 bevist.

I 2005 hadde 42 Mersenne-primtal blitt funnet. Den største av dem, M 25964951, består av 7816230 sifre.

Eulers arbeid hadde en enorm innvirkning på tallteorien, inkludert primtall. Han utvidet Fermats lille teorem og introduserte φ-funksjonen. Faktoriserte den 5. Fermat nummer 2 32 +1, fant 60 par vennlige tall, og formulerte (men kunne ikke bevise) den kvadratiske gjensidighetsloven.

Han var den første som introduserte metoder for matematisk analyse og utviklet analytisk tallteori. Han beviste at ikke bare den harmoniske serien ∑ (1/n), men også en serie av formen

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Resultatet oppnådd ved summen av de gjensidige av primtall divergerer også. Summen av n ledd av den harmoniske serien vokser omtrent som log(n), og den andre serien divergerer saktere som log[ log(n) ]. Det betyr at for eksempel beløpet gjensidige til alle primtall funnet til dags dato vil bare gi 4, selv om serien fortsatt divergerer.

Ved første øyekast ser det ut til at primtall er fordelt ganske tilfeldig mellom heltall. For eksempel, blant de 100 tallene rett før 10000000 er det 9 primtall, og blant de 100 tallene rett etter denne verdien er det bare 2. Men over store segmenter er primtallene fordelt ganske jevnt. Legendre og Gauss behandlet spørsmål om distribusjonen deres. Gauss fortalte en gang en venn at i alle ledige 15 minutter teller han alltid antall primtall i de neste 1000 tallene. Ved slutten av livet hadde han telt alle primtallene opp til 3 millioner. Legendre og Gauss beregnet like mye at for stor n er primtettheten 1/log(n). Legendre estimerte antall primtall i området fra 1 til n as

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Og Gauss er som et logaritmisk integral

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Med et integrasjonsintervall fra 2 til n.

Utsagnet om primtettheten 1/log(n) er kjent som Prime Distribution Theorem. De prøvde å bevise det gjennom hele 1800-tallet, og fremskritt ble oppnådd av Chebyshev og Riemann. De koblet det sammen med Riemann-hypotesen, en fortsatt uprøvd hypotese om fordelingen av nuller av Riemann-zeta-funksjonen. Tettheten av primtall ble samtidig bevist av Hadamard og Vallée-Poussin i 1896.

Det er fortsatt mange uløste spørsmål i primtallsteorien, noen av dem er hundrevis av år gamle:

Tvillingprimtallshypotesen handler om et uendelig antall par med primtall som skiller seg fra hverandre med 2
Goldbachs hypotese: enhver partall, som starter med 4, kan representeres som summen av to primtall
Er det et uendelig antall primtall på formen n 2 + 1?
Er det alltid mulig å finne et primtall mellom n 2 og (n + 1) 2? (det faktum at det alltid er et primtall mellom n og 2n ble bevist av Chebyshev)
Er antallet Fermat-primtal uendelig? Er det noen Fermat-primtall etter 4?
finnes det aritmetisk progresjon av påfølgende primtall for en gitt lengde? for eksempel for lengde 4: 251, 257, 263, 269. Maksimal lengde funnet er 26.
Er det et uendelig antall sett med tre påfølgende primtall i en aritmetisk progresjon?
n 2 - n + 41 er et primtall for 0 ≤ n ≤ 40. Er det et uendelig antall slike primtall? Det samme spørsmålet for formelen n 2 - 79 n + 1601. Disse tallene er primtall for 0 ≤ n ≤ 79.
Er det et uendelig antall primtall på formen n# + 1? (n# er resultatet av å multiplisere alle primtall mindre enn n)
Er det et uendelig antall primtall på formen n# -1?
Er det et uendelig antall primtall på formen n? + 1?
Er det et uendelig antall primtall på formen n? - 1?
hvis p er primtall, inneholder ikke 2 p -1 alltid primtallskvadrater blant faktorene?
inneholder Fibonacci-sekvensen et uendelig antall primtall?

De største tvillingprimtallene er 2003663613 × 2 195000 ± 1. De består av 58711 sifre og ble oppdaget i 2007.

Det største faktorielle primtallet (av typen n! ± 1) er 147855! - 1. Den består av 142891 sifre og ble funnet i 2002.

Det største primtall (et tall på formen n# ± 1) er 1098133# + 1.

primtall er et naturlig (positivt heltall) tall som er delelig uten en rest med bare to naturlige tall: av seg selv. Med andre ord, et primtall har nøyaktig to naturlige delere: og selve tallet.

Per definisjon er settet av alle divisorer av et primtall to-element, dvs. representerer et sett.

Settet med alle primtall er merket med symbolet. På grunn av definisjonen av settet med primtall kan vi altså skrive: .

Rekkefølgen av primtall ser slik ut:

Grunnleggende teorem for aritmetikk

Grunnleggende teorem for aritmetikk sier at hvert naturlig tall større enn ett kan representeres som et produkt av primtall, og på en unik måte, opp til faktorenes rekkefølge. Derfor er primtall de elementære "byggesteinene" i settet med naturlige tall.

Naturlig tallutvidelse title="Gengitt av QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonisk:

hvor er et primtall, og . For eksempel ser den kanoniske utvidelsen av et naturlig tall slik ut: .

Representasjon av et naturlig tall som et produkt av primtall kalles også faktorisering av et tall.

Egenskaper til primtall

Sil av Eratosthenes

En av de mest kjente algoritmene for å søke og gjenkjenne primtall er sikt av Eratosthenes. Så denne algoritmen ble oppkalt etter den greske matematikeren Eratosthenes fra Kyrene, som regnes som forfatteren av algoritmen.

For å finne alle primtall mindre enn et gitt tall, ved å følge metoden til Eratosthenes, må du følge disse trinnene:

Trinn 1. Skriv ned alle de naturlige tallene fra to til , dvs. .
Steg 2. Tilordne variabelen verdien , det vil si verdien lik det minste primtallet.
Trinn 3. Kryss av i listen alle tall fra til som er multipler av , det vil si tallene: .
Trinn 4. Finn det første tallet som ikke er krysset i listen større enn , og tilordne verdien av dette tallet til en variabel.
Trinn 5. Gjenta trinn 3 og 4 til nummeret er nådd.

Prosessen med å bruke algoritmen vil se slik ut:

Alle gjenværende ukryssede tall i listen på slutten av prosessen med å bruke algoritmen vil være settet med primtall fra til .

Goldbach-formodning

Omslag til boken "Onkel Petros og Goldbach-hypotesen"

Til tross for at primtall har blitt studert av matematikere i ganske lang tid, forblir mange relaterte problemer uløst i dag. Et av de mest kjente uløste problemene er Goldbachs hypotese, som er formulert slik:

Er det sant at hvert partall større enn to kan representeres som summen av to primtall (Goldbachs binære hypotese)?
Er det sant at hver oddetall, større enn 5, kan representeres som en sum tre enkle tall (ternær Goldbach-hypotese)?

Det skal sies at den ternære Goldbach-hypotesen er et spesialtilfelle av den binære Goldbach-hypotesen, eller som matematikere sier, den ternære Goldbach-hypotesen er svakere enn den binære Goldbach-hypotesen.

Goldbachs formodning ble viden kjent utenfor det matematiske miljøet i 2000 takket være et salgsfremmende markedsføringsstunt av forlagsselskapene Bloomsbury USA (USA) og Faber and Faber (UK). Disse forlagene, etter å ha gitt ut boken "Onkel Petros og Goldbachs formodning", lovet å betale en premie på 1 million amerikanske dollar til alle som beviser Goldbachs hypotese innen 2 år fra datoen for utgivelsen av boken. Noen ganger forveksles den nevnte prisen fra forlag med premier for å løse tusenårsprisproblemene. Gjør ingen feil, Goldbachs hypotese er ikke klassifisert av Clay Institute som en "millenniumutfordring", selv om den er nært knyttet til Riemanns hypotese- en av "tusenårsutfordringene".

Boken «Primtall. Lang vei til det uendelige"

Omslag til boken «The World of Mathematics. Primtall. Lang vei til det uendelige"

I tillegg anbefaler jeg å lese en fascinerende populærvitenskapelig bok, hvor kommentaren sier: «Søken etter primtall er et av de mest paradoksale problemene i matematikk. Forskere har forsøkt å løse det i flere årtusener, men i takt med nye versjoner og hypoteser er dette mysteriet fortsatt uløst. Utseendet til primtall er ikke underlagt noe system: de vises spontant i rekken av naturlige tall, og ignorerer alle forsøk fra matematikere på å identifisere mønstre i sekvensen deres. Denne boken vil tillate leseren å spore utviklingen vitenskapelige ideer fra antikken til i dag og vil introdusere deg til de mest interessante teoriene om søk etter primtall.»

I tillegg vil jeg sitere begynnelsen av det andre kapittelet i denne boken: «Primtall er et av de viktige temaene som returnerer oss til selve opprinnelsen til matematikken, og deretter, langs en vei med økende kompleksitet, fører til Forkant moderne vitenskap. Derfor ville det være veldig nyttig å spore den fascinerende og komplekse historien til primtallsteorien: nøyaktig hvordan den utviklet seg, nøyaktig hvordan fakta og sannheter som nå er allment akseptert ble samlet. I dette kapittelet skal vi se hvordan generasjoner av matematikere nøye studerte de naturlige tallene på jakt etter en regel som forutså utseendet til primtall – en regel som ble stadig mer unnvikende etter hvert som søket skred frem. Vi vil også se i detalj på den historiske konteksten: under hvilke forhold matematikere arbeidet og i hvilken grad deres arbeid involverte mystiske og semireligiøse praksiser, som slett ikke ligner på vitenskapelige metoder, brukt i dag. Likevel, sakte og med vanskeligheter, ble grunnen forberedt for nye synspunkter som inspirerte Fermat og Euler på 1600- og 1700-tallet."