Den gjensidige av desimallogaritmen. Definisjon av logaritmen og dens egenskaper: teori og problemløsning

I forhold

oppgaven med å finne hvilket som helst av de tre tallene fra de to andre gitte kan settes. Hvis a og deretter N er gitt, blir de funnet ved eksponentiering. Hvis N og deretter a gis ved å ta roten av graden x (eller heve den til potensen). Tenk nå på tilfellet når vi, gitt a og N, må finne x.

La tallet N være positivt: tallet a være positivt og ikke lik en: .

Definisjon. Logaritmen av tallet N til grunntallet a er eksponenten som a må heves til for å få tallet N; logaritmen er betegnet med

Således, i likhet (26.1) er eksponenten funnet som logaritmen av N til base a. Innlegg

har samme betydning. Likhet (26.1) kalles noen ganger hovedidentiteten til logaritmeteorien; i virkeligheten uttrykker det definisjonen av begrepet logaritme. Ved denne definisjonen Grunnlaget for logaritmen a er alltid positiv og forskjellig fra enhet; det logaritmiske tallet N er positivt. Negative tall og null har ingen logaritmer. Det kan bevises at ethvert tall med en gitt base har en veldefinert logaritme. Derfor innebærer likhet. Legg merke til at betingelsen er avgjørende her, ellers ville konklusjonen ikke være berettiget, siden likheten er sann for alle verdier av x og y.

Eksempel 1. Finn

Løsning. For å få et tall, må du heve grunntallet 2 til potensen Derfor.

Du kan gjøre notater når du løser slike eksempler i følgende skjema:

Eksempel 2. Finn .

Løsning. Vi har

I eksempel 1 og 2 fant vi enkelt ønsket logaritme ved å representere logaritmetallet som en potens av grunntallet med en rasjonell eksponent. I det generelle tilfellet, for eksempel for etc., kan dette ikke gjøres, siden logaritmen har en irrasjonell verdi. La oss ta hensyn til ett problem knyttet til denne uttalelsen. I avsnitt 12 ga vi konseptet om muligheten for å bestemme en hvilken som helst reell grad av en gitt positivt tall. Dette var nødvendig for innføringen av logaritmer, som generelt sett kan være irrasjonelle tall.

La oss se på noen egenskaper ved logaritmer.

Egenskap 1. Hvis tallet og grunntallet er like, så er logaritmen lik én, og omvendt, hvis logaritmen er lik én, så er tallet og grunntallet like.

Bevis. La Ved definisjonen av en logaritme har vi og hvorfra

Omvendt, la Then per definisjon

Egenskap 2. Logaritmen til en til en hvilken som helst grunntall er lik null.

Bevis. Per definisjon av en logaritme (nullpotensen til enhver positiv base er lik én, se (10.1)). Herfra

Q.E.D.

Det motsatte utsagnet er også sant: hvis , så N = 1. Vi har faktisk .

Før du formulerer den neste egenskapen til logaritmer, la oss bli enige om å si at to tall a og b ligger på samme side av det tredje tallet c hvis de begge er større enn c eller mindre enn c. Hvis ett av disse tallene er større enn c, og det andre er mindre enn c, vil vi si at de ligger langs forskjellige sider fra bygda

Egenskap 3. Hvis tallet og grunntallet ligger på samme side av en, så er logaritmen positiv; Hvis tallet og grunntallet ligger på motsatte sider av én, er logaritmen negativ.

Beviset for egenskap 3 er basert på det faktum at potensen til a er større enn én hvis grunntallet er større enn én og eksponenten er positiv eller grunntallet er mindre enn én og eksponenten er negativ. En potens er mindre enn én hvis grunntallet er større enn én og eksponenten er negativ eller grunntallet er mindre enn én og eksponenten er positiv.

Det er fire saker å vurdere:

Vi vil begrense oss til å analysere den første av dem, leseren vil vurdere resten på egen hånd.

La så eksponenten i likhet verken være negativ eller lik null, derfor er den positiv, dvs. som kreves for å bli bevist.

Eksempel 3. Finn ut hvilke av logaritmene nedenfor som er positive og hvilke som er negative:

Løsning, a) siden tallet 15 og basen 12 er plassert på samme side av en;

b) siden 1000 og 2 er plassert på den ene siden av enheten; i dette tilfellet er det ikke viktig at grunntallet er større enn det logaritmiske tallet;

c) siden 3.1 og 0.8 ligger på motsatte sider av enheten;

G); Hvorfor?

d) ; Hvorfor?

Følgende egenskaper 4-6 kalles ofte logaritmeringsreglene: de tillater, ved å kjenne logaritmene til noen tall, å finne logaritmene til deres produkt, kvotient og grad av hvert av dem.

Egenskap 4 (produktlogaritmeregel). Logaritme av produktet av flere positive tall til en gitt base lik summen logaritmer av disse tallene til samme grunntall.

Bevis. La de gitte tallene være positive.

For logaritmen til produktet deres skriver vi likheten (26.1) som definerer logaritmen:

Herfra finner vi

Ved å sammenligne eksponentene til det første og siste uttrykket får vi den nødvendige likheten:

Merk at tilstanden er essensiell; logaritme av produktet av to negative tall fornuftig, men i dette tilfellet får vi

Generelt, hvis produktet av flere faktorer er positivt, er logaritmen lik summen av logaritmene til de absolutte verdiene til disse faktorene.

Egenskap 5 (regel for å ta logaritmer av kvotienter). Logaritmen til en kvotient av positive tall er lik differansen mellom logaritmene til utbyttet og divisoren, tatt til samme base. Bevis. Vi finner konsekvent

Q.E.D.

Egenskap 6 (potenslogaritmeregel). Logaritme av potensen til et positivt tall lik logaritmen dette tallet multiplisert med eksponenten.

Bevis. La oss skrive igjen hovedidentiteten (26.1) for nummeret:

Q.E.D.

Konsekvens. Logaritmen til en rot av et positivt tall er lik logaritmen til radikalet delt på eksponenten til roten:

Gyldigheten av denne konsekvensen kan bevises ved å forestille seg hvordan og bruke egenskap 6.

Eksempel 4. Ta logaritmen til å basere a:

a) (det antas at alle verdier b, c, d, e er positive);

b) (det antas at ).

Løsning, a) Det er praktisk å gå til brøkpotenser i dette uttrykket:

Basert på likheter (26.5)-(26.7), kan vi nå skrive:

Vi legger merke til at enklere operasjoner utføres på logaritmene til tallene enn på tallene i seg selv: når tall multipliseres, blir logaritmene deres lagt til, når de divideres, trekkes de fra osv.

Det er derfor logaritmer brukes i beregningspraksis (se avsnitt 29).

Den inverse handlingen til logaritmen kalles potensering, nemlig: potensering er handlingen som tallet i seg selv blir funnet fra en gitt logaritme av et tall. I hovedsak er det ikke potensering spesiell handling: det kommer ned til å heve basen til en kraft ( lik logaritmen tall). Begrepet "potensiale" kan betraktes som synonymt med begrepet "eksponentiering".

Ved potensering må man bruke reglene invers til logaritmeringsreglene: erstatte summen av logaritmene med logaritmen til produktet, forskjellen av logaritmene med logaritmen til kvotienten osv. Spesielt hvis det er en faktor foran av logaritmens fortegn, så må den under potensiering overføres til eksponentgradene under logaritmens fortegn.

Eksempel 5. Finn N hvis det er kjent at

Løsning. I forbindelse med den nettopp nevnte potenseringsregelen vil vi overføre faktorene 2/3 og 1/3 som står foran logaritmenes tegn på høyre side av denne likheten til eksponenter under disse logaritmenes fortegn; vi får

Nå erstatter vi forskjellen av logaritmer med logaritmen til kvotienten:

for å få den siste brøken i denne likhetskjeden, frigjorde vi den forrige brøken fra irrasjonalitet i nevneren (klausul 25).

Eiendom 7. Hvis basen er større enn én, da større antall har en større logaritme (og et mindre tall har en mindre), hvis grunntallet er mindre enn én, så har det større tallet en mindre logaritme (og det mindre tallet har en større).

Denne egenskapen er også formulert som en regel for å ta logaritmer av ulikheter, hvor begge sider er positive:

Når du logaritmer ulikheter til en grunntall som er større enn én, bevares tegnet på ulikhet, og når du logaritmer til en grunntall mindre enn én, endres tegnet på ulikhet til det motsatte (se også avsnitt 80).

Beviset er basert på egenskapene 5 og 3. Tenk på tilfellet når If , then og, med logaritmer, får vi

(a og N/M ligger på samme side av enheten). Herfra

I tilfelle a følger, vil leseren finne ut av det på egen hånd.

Så vi har to krefter. Hvis du tar tallet fra bunnlinjen, kan du enkelt finne kraften du må heve to til for å få dette tallet. For eksempel, for å få 16, må du heve to til den fjerde potensen. Og for å få 64, må du heve to til sjette potens. Dette kan sees fra tabellen.

Og nå - faktisk, definisjonen av logaritmen:

Grunnlaget a logaritmen av x er potensen som a må heves til for å få x.

Betegnelse: log a x = b, hvor a er grunntallet, x er argumentet, b er det logaritmen faktisk er lik.

For eksempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (grunntall 2-logaritmen av 8 er tre fordi 2 3 = 8). Med samme suksesslogg 2 64 = 6, siden 2 6 = 64.

Operasjonen med å finne logaritmen til et tall til en gitt base kalles logaritmisering. Så la oss legge til en ny linje i tabellen vår:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Dessverre er ikke alle logaritmer beregnet så lett. Prøv for eksempel å finne logg 2 5 . Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsier at logaritmen vil ligge et sted på segmentet. Fordi 2 2< 5 < 2 3 , а чем mer grad toere, jo større tall.

Slike tall kalles irrasjonelle: tallene etter desimaltegn kan skrives i det uendelige, og de gjentas aldri. Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, er det bedre å la det være slik: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det er viktig å forstå at en logaritme er et uttrykk med to variabler (grunnlaget og argumentet). Til å begynne med forvirrer mange hvor grunnlaget er og hvor argumentasjonen er. For å unngå irriterende misforståelser, se bare på bildet:

Foran oss er ikke noe mer enn definisjonen av en logaritme. Huske: logaritme er en potens, som basen må bygges inn i for å få et argument. Det er basen som er hevet til en kraft – den er uthevet med rødt på bildet. Det viser seg at basen alltid er nederst! Jeg forteller elevene mine denne fantastiske regelen allerede i den første leksjonen – og det oppstår ingen forvirring.

Vi har funnet ut definisjonen - det gjenstår bare å lære å telle logaritmer, dvs. bli kvitt "logg"-tegnet. Til å begynne med merker vi at to viktige fakta følger av definisjonen:

1. Argumentet og grunnlaget må alltid være større enn null. Dette følger av definisjonen av en grad med en rasjonell eksponent, som definisjonen av en logaritme reduseres til.
2. Basen må være forskjellig fra en, siden en i noen grad fortsatt forblir en. På grunn av dette er spørsmålet "til hvilken makt må man heves for å få to" meningsløst. Det er ingen slik grad!

Slike restriksjoner kalles region akseptable verdier (ODZ). Det viser seg at ODZ til logaritmen ser slik ut: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Merk at det ikke er noen begrensninger på tallet b (verdien av logaritmen). For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 = −1, fordi 0,5 = 2 −1.

Men nå vurderer vi bare numeriske uttrykk der det ikke er nødvendig å kjenne VA til logaritmen. Alle begrensninger er allerede tatt i betraktning av forfatterne av problemene. Men når logaritmiske ligninger og ulikheter spiller inn, vil DL-krav bli obligatoriske. Tross alt kan grunnlaget og argumentasjonen inneholde svært sterke konstruksjoner som ikke nødvendigvis samsvarer med begrensningene ovenfor.

La oss nå se på det generelle opplegget for beregning av logaritmer. Den består av tre trinn:

1. Uttrykk grunntallet a og argumentet x som en potens med minimum mulig grunntall større enn én. Underveis er det bedre å kvitte seg med desimaler;
2. Løs ligningen for variabel b: x = a b ;
3. Det resulterende tallet b vil være svaret.

Det er det! Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, vil dette være synlig allerede i første trinn. Kravet om at grunnlaget skal være større enn én er svært viktig: dette reduserer sannsynligheten for feil og forenkler beregningene betydelig. Det er det samme med desimalbrøker: hvis du umiddelbart konverterer dem til vanlige, vil det være mange færre feil.

La oss se hvordan denne ordningen fungerer ved å bruke spesifikke eksempler:

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 5 25

1. La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

La oss lage og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Vi fikk svar: 2.

Oppgave. Regn ut logaritmen:

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 4 64

1. La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. La oss lage og løse ligningen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Vi fikk svar: 3.

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 16 1

1. La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. La oss lage og løse ligningen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Vi fikk svaret: 0.

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 7 14

1. La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av syv: 7 = 7 1 ; 14 kan ikke representeres som en potens av syv, siden 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Fra forrige avsnitt følger det at logaritmen ikke teller;
3. Svaret er ingen endring: logg 7 14.

En liten merknad til det siste eksemplet. Hvordan kan du være sikker på at et tall ikke er en eksakt potens av et annet tall? Det er veldig enkelt - bare ta det inn i hovedfaktorer. Hvis utvidelsen har minst to forskjellige faktorer, er ikke tallet en eksakt potens.

Oppgave. Finn ut om tallene er nøyaktige potenser: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - eksakt grad, fordi det er bare én multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - er ikke en eksakt potens, siden det er to faktorer: 3 og 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - eksakt grad;
35 = 7 · 5 - igjen ikke en eksakt potens;
14 = 7 · 2 - igjen ikke en eksakt grad;

La oss også merke oss at vi selv primtall er alltid eksakte grader av seg selv.

Desimallogaritme

Noen logaritmer er så vanlige at de har et spesielt navn og symbol.

Desimallogaritmen til x er logaritmen til grunntallet 10, dvs. Potensen som tallet 10 må heves til for å oppnå tallet x. Betegnelse: lg x.

For eksempel log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Fra nå av, når en setning som "Finn lg 0.01" vises i en lærebok, vet du: dette er ikke en skrivefeil. Dette er en desimallogaritme. Men hvis du ikke er kjent med denne notasjonen, kan du alltid skrive den om:
log x = log 10 x

Alt som er sant for vanlige logaritmer, er også sant for desimallogaritmer.

Naturlig logaritme

Det er en annen logaritme som har sin egen betegnelse. På noen måter er det enda viktigere enn desimal. Det handler om om den naturlige logaritmen.

Den naturlige logaritmen til x er logaritmen til basen e, dvs. potensen som tallet e må heves til for å oppnå tallet x. Betegnelse: ln x .

Mange vil spørre: hva er tallet e? Dette er et irrasjonelt tall, det eksakt verdi umulig å finne og registrere. Jeg vil bare gi de første tallene:
e = 2,718281828459...

Vi vil ikke gå i detalj om hva dette nummeret er og hvorfor det trengs. Bare husk at e er grunnlaget for den naturlige logaritmen:
ln x = log e x

Dermed ln e = 1; ln e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den annen side er ln 2 et irrasjonelt tall. Generelt er den naturlige logaritmen til evt rasjonelt tall irrasjonell. Bortsett fra, selvfølgelig, for en: ln 1 = 0.

For naturlige logaritmer er alle reglene som er sanne for vanlige logaritmer gyldige.

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Du trenger definitivt å kjenne til disse reglene - ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem kan løses uten dem. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: log en x og logg en y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

1. logg en x+ logg en y=logg en (x · y);
2. logg en x− logg en y=logg en (x : y).

Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelpunkt Her - identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg å beregne logaritmisk uttrykk selv når dens individuelle deler ikke telles (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Logg 6 4 + logg 6 9.

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien til uttrykket: log 2 48 − log 2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange er bygget på dette faktum tester. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: en > 0, en ≠ 1, x> 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt, dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien til uttrykket: log 7 49 6 .

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

[Tekst til bildet]

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:

[Tekst til bildet]

Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log 2 7. Siden log 2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La det bli gitt logaritmelogg en x. Deretter for et hvilket som helst tall c slik at c> 0 og c≠ 1, likheten er sann:

[Tekst til bildet]

Spesielt hvis vi setter c = x, vi får:

[Tekst til bildet]

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i konvensjonelle numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 5 16 log 2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

[Tekst til bildet]

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

[Tekst til bildet]

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

[Tekst til bildet]

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet, tallet n blir en indikator på graden stående i argumentasjonen. Tall n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det er det det kalles: den grunnleggende logaritmiske identiteten.

Faktisk, hva vil skje hvis nummeret b heve til en slik styrke at tallet b til denne potensen gir tallet en? Det stemmer: du får det samme nummeret en. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast på den.

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

[Tekst til bildet]

Merk at log 25 64 = log 5 8 - vi tok rett og slett kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

[Tekst til bildet]

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.

1. logg en en= 1 er en logaritmisk enhet. Husk en gang for alle: logaritme til hvilken som helst base en fra denne grunnen er lik en.
2. logg en 1 = 0 er logaritmisk null. Base en kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder én, er logaritmen lik null! Fordi en 0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs oppgavene.

Logaritmiske uttrykk, løsningseksempler. I denne artikkelen skal vi se på problemer knyttet til å løse logaritmer. Oppgavene stiller spørsmålet om å finne meningen med et uttrykk. Det skal bemerkes at begrepet logaritme brukes i mange oppgaver, og det er ekstremt viktig å forstå betydningen. Når det gjelder Unified State Exam, brukes logaritmen ved løsning av ligninger, i anvendte problemer, og også i oppgaver knyttet til studiet av funksjoner.

La oss gi eksempler for å forstå selve betydningen av logaritmen:

Grunnleggende logaritmisk identitet:

Egenskaper til logaritmer som alltid må huskes:

*Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene til faktorene.

* * *

*Logaritmen til en kvotient (brøk) er lik forskjellen mellom logaritmene til faktorene.

* * *

*Logaritme av grad lik produktet eksponent ved logaritmen til basen.

* * *

*Overgang til ny stiftelse

* * *

Flere eiendommer:

* * *

Beregningen av logaritmer er nært knyttet til bruken av egenskaper til eksponenter.

La oss liste noen av dem:

Essensen av denne eiendommen ligger i det faktum at når man overfører telleren til nevneren og omvendt, endres fortegnet til eksponenten til det motsatte. For eksempel:

En konsekvens fra denne egenskapen:

* * *

Når du hever en potens til en potens, forblir basen den samme, men eksponentene multipliseres.

* * *

Som du har sett, er selve konseptet med en logaritme enkelt. Hovedsaken er at du trenger god øvelse, som gir deg en viss ferdighet. Det kreves selvfølgelig kunnskap om formler. Hvis ferdighetene i å konvertere elementære logaritmer ikke er utviklet, kan du lett gjøre en feil når du løser enkle oppgaver.

Øv, løs de enkleste eksemplene fra matematikkkurset først, fortsett så til mer komplekse. I fremtiden vil jeg definitivt vise hvordan "skumle" logaritmer er løst de ikke vises på Unified State Examination, men de er av interesse, ikke gå glipp av dem!

Det er alt! Lykke til til deg!

Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller meg om nettstedet på sosiale nettverk.

Definisjon av logaritme

Logaritmen av b til base a er eksponenten som a må heves til for å oppnå b.

Nummer e i matematikk er det vanlig å betegne grensen som et uttrykk strekker seg mot

Nummer e er irrasjonelt tall- et tall som ikke kan sammenlignes med ett, det kan ikke uttrykkes nøyaktig som verken et heltall eller en brøk rasjonell tall.

Brev e- første bokstav latinsk ord exponere- å vise seg frem, derav navnet i matematikk eksponentiell- eksponentiell funksjon.

Tall e mye brukt i matematikk, og i alle vitenskaper som på en eller annen måte bruker matematiske beregninger for sine behov.

Logaritmer. Egenskaper til logaritmer

Definisjon: Logaritmen til et positivt tall b til grunntallet er eksponenten av c som tallet a må heves til for å få tallet b.

Grunnleggende logaritmisk identitet:

7) Formel for å flytte til en ny base:

lna = log e a, e ≈ 2,718...

Problemer og tester om emnet "Logarithms. Egenskaper til logaritmer"

• Logaritmer - Viktige emner for å gjenta Unified State Examination i matematikk

For å fullføre oppgaver om dette emnet, må du kjenne til definisjonen av en logaritme, egenskapene til logaritmer, den grunnleggende logaritmiske identiteten, definisjonene av desimal og naturlige logaritmer. Hovedtyper av problemer om dette emnet er problemer som involverer beregning og transformasjon av logaritmiske uttrykk. La oss vurdere deres løsning ved å bruke følgende eksempler.

Løsning: Ved å bruke egenskapene til logaritmer får vi

Løsning: Ved å bruke egenskapene til grader får vi

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Egenskaper til logaritmer, formuleringer og bevis.

Logaritmer har en rekke karakteristiske egenskaper. I denne artikkelen skal vi se på det viktigste egenskapene til logaritmer. Her vil vi gi deres formuleringer, skrive egenskapene til logaritmer i form av formler, vise eksempler på deres anvendelse, og også gi bevis for egenskapene til logaritmer.

Sidenavigering.

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer, formler

La oss forestille oss for å gjøre det enklere å huske og bruke grunnleggende egenskaper ved logaritmer i form av en liste med formler. I neste punkt Vi vil gi deres formuleringer, bevis, eksempler på bruk og nødvendige forklaringer.

Egenskapen til enhetslogaritmen: log a 1=0 for enhver a>0, a≠1.

Logaritme av et tall som er lik grunntallet: log a a=1 for a>0, a≠1.

Egenskapen til logaritmen av potensen til grunntall: log a a p =p, der a>0, a≠1 og p er et hvilket som helst reelt tall.

Logaritme av produktet av to positive tall: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
og egenskapen til logaritmen til produktet av n positive tall: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, xn >0.

Egenskapen til logaritmen til en kvotient: , hvor a>0, a≠1, x>0, y>0.

Logaritme av potensen til et tall: log a b p =p·log a |b| , hvor a>0, a≠1, b og p er tall slik at graden b p gir mening og b p >0.

Konsekvens: , hvor a>0, a≠1, n – naturlig tall, større enn én, b>0.

Konsekvens 1: , a>0, a≠1, b>0, b≠1.

Konsekvens 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p og q er reelle tall, q≠0 , spesielt for b=a har vi .

Formuleringer og bevis på egenskaper

Vi fortsetter til formuleringen og beviset på de skriftlige egenskapene til logaritmer. Alle egenskaper ved logaritmer er bevist på grunnlag av definisjonen av logaritmen og den grunnleggende logaritmiske identiteten som følger av den, samt gradens egenskaper.

La oss begynne med egenskapene til logaritmen til en. Formuleringen er som følger: logaritmen av enhet er lik null, det vil si, logg a 1=0 for enhver a>0, a≠1. Beviset er ikke vanskelig: siden a 0 = 1 for enhver a som tilfredsstiller betingelsene ovenfor a>0 og a≠1, følger likhetsloggen a 1=0 som skal bevises umiddelbart fra definisjonen av logaritmen.

La oss gi eksempler på bruken av den vurderte egenskapen: log 3 1=0, log1=0 og .

La oss gå videre til neste eiendom: logaritmen til et tall lik grunntall er lik en, det vil si log a a=1 for a>0, a≠1. Faktisk, siden a 1 =a for enhver a, så logaritmen logaritmen a a = 1 per definisjon av logaritmen.

Eksempler på bruk av denne egenskapen til logaritmer er likhetene log 5 5=1, log 5,6 5,6 og lne=1.

Logaritmen til en potens av et tall som er lik basen til logaritmen er lik eksponenten. Denne egenskapen til logaritmen tilsvarer en formel i formen log a a p =p, hvor a>0, a≠1 og p – et hvilket som helst reelt tall. Denne egenskapen følger direkte av definisjonen av logaritmen. Legg merke til at det lar deg umiddelbart angi verdien av logaritmen, hvis det er mulig å representere tallet under logaritmetegnet som en potens av basen, vil vi snakke mer om dette i artikkelen som beregner logaritmer.

For eksempel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 og .

Logaritme av produktet av to positive tall x og y er lik produktet av logaritmene til disse tallene: log a (x y)=logg a x+log a y, a>0, a≠1. La oss bevise egenskapen til logaritmen til et produkt. På grunn av egenskapene til graden a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, og siden ved den logaritmiske hovedidentiteten a log a x =x og en log a y =y, så a log a x ·a log a y =x·y. Dermed en log a x+log a y =x·y, hvorfra, ved definisjonen av en logaritme, følger likheten som bevises.

La oss vise eksempler på bruk av egenskapen til logaritmen til et produkt: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 og .

Egenskapen til logaritmen til et produkt kan generaliseres til produktet av et endelig antall n av positive tall x 1 , x 2 , …, x n som log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Denne likheten kan bevises uten problemer ved å bruke metoden for matematisk induksjon.

For eksempel kan den naturlige logaritmen til produktet erstattes med summen av tre naturlige logaritmer av tallene 4, e og.

Logaritme av kvotienten til to positive tall x og y er lik forskjellen mellom logaritmene til disse tallene. Egenskapen til logaritmen til en kvotient tilsvarer en formel i formen , hvor a>0, a≠1, x og y er noen positive tall. Gyldigheten av denne formelen er bevist, så vel som formelen for logaritmen til et produkt: siden , da per definisjon av logaritmen .

Her er et eksempel på bruk av denne egenskapen til logaritmen: .

La oss gå videre til egenskapen til potensens logaritme. Logaritmen til en grad er lik produktet av eksponenten og logaritmen til modulen til basisen til denne graden. La oss skrive denne egenskapen til logaritmen til en potens som en formel: log a b p =p·log a |b|, hvor a>0, a≠1, b og p er tall slik at graden b p gir mening og b p >0.

Først beviser vi denne egenskapen for positiv b. Den grunnleggende logaritmiske identiteten lar oss representere tallet b som en log a b , så er b p =(a log a b) p , og det resulterende uttrykket, på grunn av egenskapen til makt, er lik en p·log a b . Så vi kommer til likheten b p =a p·log a b, hvorfra vi ved definisjonen av en logaritme konkluderer med at log a b p =p·log a b.

Det gjenstår å bevise denne egenskapen for negativ b. Her legger vi merke til at uttrykket log a b p for negativ b gir mening bare for like eksponenter p (siden verdien av graden b p må være større enn null, ellers vil ikke logaritmen gi mening), og i dette tilfellet b p =|b| s. Så b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , hvorfra log a b p =p·log a |b| .

For eksempel og ln(-3)4=4·ln|-3|=4·ln3.

Det følger av forrige eiendom egenskapen til logaritmen fra roten: logaritmen til den n-te roten er lik produktet av brøken 1/n ved logaritmen til det radikale uttrykket, det vil si hvor a>0, a≠1, n er et naturlig tall større enn én, b>0 .

Beviset er basert på likheten (se definisjon av eksponent med en brøkeksponent), som er gyldig for enhver positiv b, og egenskapen til logaritmen til eksponenten: .

Her er et eksempel på bruk av denne egenskapen: .

La oss nå bevise formel for å flytte til en ny logaritmebase type . For å gjøre dette er det nok å bevise gyldigheten av likhetsloggen c b=log a b·log c a. Den grunnleggende logaritmiske identiteten lar oss representere tallet b som en log a b , deretter log c b=log c a log a b . Det gjenstår å bruke egenskapen til logaritmen til graden: log c a log a b =log a b·log c a . Dette beviser likhetsloggen c b=log a b·log c a , noe som betyr at formelen for overgang til en ny base av logaritmen også er bevist .

La oss vise et par eksempler på bruk av denne egenskapen til logaritmer: og .

Formelen for å flytte til en ny base lar deg gå videre til å jobbe med logaritmer som har en "praktisk" base. For eksempel kan den brukes til å endre til naturlige eller desimale logaritmer slik at du kan beregne verdien av en logaritme fra en tabell med logaritmer. Formelen for å flytte til en ny logaritmebase tillater også, i noen tilfeller, å finne verdien av en gitt logaritme når verdiene til noen logaritmer med andre baser er kjent.

Ofte brukt spesielt tilfelle formler for overgang til en ny base av logaritmen med c=b av formen. Dette viser at log a b og log b a er gjensidig inverse tall. For eksempel .

Formelen brukes også ofte, noe som er praktisk for å finne verdiene til logaritmer. For å bekrefte ordene våre, vil vi vise hvordan det kan brukes til å beregne verdien av en logaritme av formen . Vi har . For å bevise formelen er det nok å bruke formelen for å flytte til en ny base av logaritmen a: .

Det gjenstår å bevise egenskapene til sammenligning av logaritmer.

La oss bruke den motsatte metoden. Anta at for a 1 >1, a 2 >1 og a 1 2 og for 0 1 er log a 1 b≤log a 2 b sann. Basert på egenskapene til logaritmer kan disse ulikhetene skrives om som Og henholdsvis, og av dem følger det at henholdsvis log b a 1 ≤log b a 2 og log b a 1 ≥log b a 2. Deretter, i henhold til egenskapene til potenser med samme base, må likhetene b log b a 1 ≥b log b a 2 og b log b a 1 ≥b log b a 2 holde, det vil si a 1 ≥a 2. Så vi kom til en motsetning til betingelsen a 1 2. Dette fullfører beviset.

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

• Materiale til timen
• Last ned alle formler

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Du trenger definitivt å kjenne disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem løses. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logg a x og logg a y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 6 4 + log 6 9.

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien til uttrykket: log 2 48 − log 2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange tester er basert på dette faktum. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

• log a x n = n · log a x ;
• 
• 

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt , dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien til uttrykket: log 7 49 6 .

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

[Tekst til bildet]

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:

[Tekst til bildet]

Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log 2 7. Siden log 2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logg a x gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

[Tekst til bildet]

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

[Tekst til bildet]

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 5 16 log 2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

[Tekst til bildet]

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

[Tekst til bildet]

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

[Tekst til bildet]

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

1. n = log a a n

2. I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

   Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det er det det kalles: den grunnleggende logaritmiske identiteten.

   Faktisk, hva skjer hvis tallet b heves til en slik potens at tallet b i denne potensen gir tallet a? Det stemmer: resultatet er det samme tallet a. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast på den.

   Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

   [Tekst til bildet]

   Merk at log 25 64 = log 5 8 - vi tok rett og slett kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

   [Tekst til bildet]

   Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

   Logaritmisk enhet og logaritmisk null

   Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.

   1. log a a = 1 er en logaritmisk enhet. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen er lik én.
   2. log a 1 = 0 er logaritmisk null. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en, er logaritmen lik null! Fordi en 0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

   Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs oppgavene.

   Logaritme. Egenskaper til logaritmen (addisjon og subtraksjon).

   Egenskaper til logaritmen følge av definisjonen. Og så logaritmen til tallet b basert på EN er definert som eksponenten som et tall må heves til en for å få nummeret b(logaritme eksisterer bare for positive tall).

   Av denne formuleringen følger det at beregningen x=log a b, tilsvarer å løse ligningen a x =b. For eksempel log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 . Formuleringen av logaritmen gjør det mulig å rettferdiggjøre at if b=a c, deretter logaritmen til tallet b basert på en lik Med. Det er også tydelig at temaet logaritmer er nært knyttet til emnet potenser.

   Med logaritmer, som med alle tall, kan du gjøre operasjoner med addisjon, subtraksjon og transformere på alle mulige måter. Men på grunn av at logaritmer ikke er helt vanlige tall, gjelder her egne spesielle regler, som kalles hovedegenskaper.

   Legge til og subtrahere logaritmer.

   La oss ta to logaritmer med samme base: logg en x Og logg et y. Da er det mulig å utføre addisjons- og subtraksjonsoperasjoner:

   Som vi ser, summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjell logaritmer- logaritme av kvotienten. Dessuten er dette sant hvis tallene EN, X Og på positiv og a ≠ 1.

   Det er viktig å merke seg at hovedaspektet i disse formlene er de samme basene. Dersom begrunnelsen er annerledes, gjelder ikke disse reglene!

   Reglene for å legge til og subtrahere logaritmer med de samme basene leses ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt. Som et resultat har vi teoremene for logaritmen til produktet og logaritmen til kvotienten.

   Logaritme av produktet to positive tall er lik summen av deres logaritmer ; ved å omskrive denne teoremet får vi følgende hvis tallene EN, x Og på positiv og a ≠ 1, Det:

   Logaritme av kvotienten to positive tall er lik differansen mellom logaritmene til utbyttet og divisoren. For å si det på en annen måte, hvis tallene EN, X Og på positiv og a ≠ 1, Det:

   La oss bruke teoremene ovenfor for å løse eksempler:

   Hvis tallene x Og på er negative altså produktlogaritmeformel blir meningsløst. Derfor er det forbudt å skrive:

   siden uttrykkene log 2 (-8) og log 2 (-4) ikke er definert i det hele tatt (logaritmisk funksjon på= logg 2 X definert kun for positive verdier argument X).

   Produktteorem gjelder ikke bare for to, men også for et ubegrenset antall faktorer. Dette betyr at for hver naturlig k og eventuelle positive tall x 1 , x 2 , . . . ,x n det er en identitet:

   Fra logaritmekvotientsetning enda en egenskap til logaritmen kan oppnås. Det er allment kjent at logg en 1= 0, derfor

   Dette betyr at det er en likhet:

   Logaritmer av to gjensidig gjensidige tall av samme grunn vil skille seg fra hverandre utelukkende ved tegn. Så:

   Logaritme. Egenskaper til logaritmer

   Logaritme. Egenskaper til logaritmer

   La oss vurdere likestilling. Gi oss beskjed om verdiene til og og vi ønsker å finne verdien av .

   Det vil si at vi leter etter eksponenten som vi må spenne den med for å få .

   La en variabel kan få en hvilken som helst reell verdi, da pålegges følgende begrensninger for variablene: o" title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″ />

   Hvis vi kjenner verdiene til og , og vi står overfor oppgaven med å finne det ukjente, blir det for dette formålet introdusert en matematisk operasjon, som kalles logaritme.

   For å finne verdien vi tar logaritme av et tall Ved basis :

   Logaritmen til et tall til grunntallet er eksponenten som det må heves til for å få .

   Det vil si grunnleggende logaritmisk identitet:

   o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>

   er egentlig en matematisk notasjon definisjoner av logaritme.

   Den matematiske operasjonen til logaritmen er den inverse av operasjonen til eksponentiering, altså egenskapene til logaritmer er nært knyttet til gradens egenskaper.

   La oss liste opp de viktigste egenskapene til logaritmer:

   (o" title="a>o"/> , 1" tittel=»a1″/>, 0" tittel=»b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

   4.

   5.

   Følgende gruppe egenskaper lar deg representere eksponenten til et uttrykk under logaritmens tegn, eller stå ved bunnen av logaritmen i form av en koeffisient foran tegnet til logaritmen:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Den neste gruppen med formler lar deg gå fra en logaritme med en gitt base til en logaritme med en vilkårlig base, og kalles formler for å flytte til en ny base:

   10.

   12. (følger fra eiendom 11)

   

   Følgende tre egenskaper er ikke godt kjent, men de brukes ofte når man løser logaritmiske ligninger, eller når man forenkler uttrykk som inneholder logaritmer:

   13.

   14.

   15.

   Spesielle tilfeller:

   — desimal logaritme

   — naturlig logaritme

   Når du forenkler uttrykk som inneholder logaritmer, brukes en generell tilnærming:

   1. Introduserer desimaler i form av vanlige.

   2. Blandede tall representert som uekte brøker.

   3. Vi dekomponerer tallene i bunnen av logaritmen og under logaritmens fortegn til enkle faktorer.

   4. Vi prøver å redusere alle logaritmer til samme base.

   5. Bruk egenskapene til logaritmer.

   La oss se på eksempler på forenkling av uttrykk som inneholder logaritmer.

   Eksempel 1.

   Kalkulere:

   La oss forenkle alle eksponenter: vår oppgave er å redusere dem til logaritmer, hvis basis er det samme tallet som basisen til eksponenten.

   ==(av egenskap 7)=(ved egenskap 6) =

   La oss erstatte indikatorene som vi fikk inn i det opprinnelige uttrykket. Vi får:

   Svar: 5,25

   Eksempel 2. Regn ut:

   

   La oss redusere alle logaritmer til grunntallet 6 (i dette tilfellet vil logaritmene fra nevneren til brøken "migrere" til telleren):

   La oss dekomponere tallene under logaritmetegnet i enkle faktorer:

   La oss bruke egenskap 4 og 6:

   La oss introdusere erstatningen

   Vi får:

   Svar: 1

   Logaritme . Grunnleggende logaritmisk identitet.

   Egenskaper til logaritmer. Desimallogaritme. Naturlig logaritme.

   Logaritme positivt tall N til grunntall (b > 0, b 1) er eksponenten x som b må heves til for å få N .

   Denne oppføringen tilsvarer følgende: b x = N .

   Eksempler: log 3 81 = 4, siden 3 4 = 81;

   log 1/3 27 = – 3, siden (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

   Ovennevnte definisjon av logaritme kan skrives som en identitet:

   

   Grunnleggende egenskaper ved logaritmer.

   2) log 1 = 0, siden b 0 = 1 .

   3) Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene til faktorene:

   4) Logaritmen til kvotienten er lik forskjellen mellom logaritmene til utbyttet og divisoren:

   5) Logaritmen til en potens er lik produktet av eksponenten og logaritmen av basen:

   Konsekvensen av denne egenskapen er følgende: logaritmen til roten lik logaritmen til det radikale tallet delt på kraften til roten:

   

   6) Hvis basen til logaritmen er en grad, så verdien inversen av eksponenten kan tas ut som et log rim:

   

   De to siste egenskapene kan kombineres til én:

   

   7) Overgangsmodulformel (dvs. overgang fra en logaritmebase til en annen base):

   

   I det spesielle tilfellet når N=a vi har:

   

   Desimallogaritme ringte basislogaritme 10. Det er betegnet lg, dvs. logg 10 N= logg N. Logaritmer av tallene 10, 100, 1000, . p er henholdsvis 1, 2, 3, …, dvs. har så mye positivt

   enheter, hvor mange nuller er det i et logaritmisk tall etter én. Logaritmer av tallene 0,1, 0,01, 0,001, . p er henholdsvis –1, –2, –3, …, dvs. ha like mange negative som det er nuller i det logaritmiske tallet før én (inkludert null heltall). Logaritmer av andre tall har en brøkdel kalt mantissa. Hele delen logaritmen kalles karakteristisk. For praktisk bruk er desimallogaritmer mest praktisk.

   Naturlig logaritme ringte basislogaritme e. Det er betegnet med ln, dvs. logg e N= logg N. Tall e er irrasjonell, dens omtrentlige verdi er 2,718281828. Det er grensen som tallet går mot (1 + 1 / n) n med ubegrenset økning n(cm. først fantastisk grense på "Nummersekvensgrenser"-siden).
   Hvor rart det kan virke, viste naturlige logaritmer seg å være veldig praktiske når de utføres ulike slag operasjoner knyttet til funksjonsanalyse. Beregner logaritmer til grunn e utføres mye raskere enn av noen annen grunn.

• Hva trengs i dag for å adoptere et barn i Russland? Adopsjon i Russland, i tillegg til en ansvarlig personlig beslutning, innebærer en rekke prosedyrer for statlig verifisering av kandidater. Tøft utvalg for forberedende stadium bidrar til mer […]
• Gratis informasjon om TIN eller OGRN fra skatteregisteret i hele Russland - online Informasjon om statlig registrering kan fås på Unified Tax Services Portal juridiske personer, individuelle gründere, […]
• Straff for kjøring uten dokumenter ( førerkort, forsikring, STS) Noen ganger, på grunn av glemsel, setter sjåfører seg bak rattet uten førerkort og får en bot for å kjøre uten dokumenter. Vi vil minne om at en bilentusiast må ha […]
• Blomster for menn. Hvilke blomster kan du gi en mann? Hvilke blomster kan du gi en mann? Det er ikke mange "hannlige" blomster, men det er noen som gis til menn. En liten blomsterliste foran deg: Krysantemum.
• Roser. Nelliker.[…] Et notat er spesiell form dokument som brukes i indre miljø
• bedrifter og tjener for
• rask løsning nåværende produksjonsproblemer. Vanligvis er dette dokumentet utarbeidet med det formål å introdusere noen […] Når og hvordan mottar du den finansierte delen av pensjonen din fra Sberbank? Sberbank er en partnerbank av statens pensjonsfond. Basert på dette kunne borgere som registrerte seg for en finansiert pensjon overføre den finansierte delen […]
• Barnetrygd i Ulyanovsk og Ulyanovsk-regionen i 2018 I tillegg har programmer godkjent av føderal lovgivning . La oss se på hvem som kan regne med hvilke fordeler. Hvordan regionale myndigheter […] Detaljert veiledning