Beregn ln fra tallet. LN og LOG funksjoner for beregning av naturlig logaritme i EXCEL

De grunnleggende egenskapene til den naturlige logaritmen, grafen, definisjonsdomene, verdisett, grunnleggende formler, derivert, integral, potensserieutvidelse og representasjon av funksjonen ln x ved bruk av komplekse tall er gitt.

Definisjon

Naturlig logaritme er funksjonen y = ln x, den inverse av eksponentialen, x = e y, og er logaritmen til grunntallet for tallet e: ln x = log e x.

Den naturlige logaritmen er mye brukt i matematikk fordi dens deriverte har den enkleste formen: (ln x)′ = 1/ x.

Basert definisjoner, er basisen til den naturlige logaritmen tallet e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf for funksjonen y = ln x.

Graf av naturlig logaritme (funksjoner y = ln x) er hentet fra den eksponentielle grafen ved speilrefleksjon i forhold til den rette linjen y = x.

Den naturlige logaritmen er definert ved positive verdier variabel x.

Den øker monotont i sitt definisjonsdomene. 0 Ved x →

grensen for den naturlige logaritmen er minus uendelig (-∞).

Som x → + ∞ er grensen for den naturlige logaritmen pluss uendelig (+ ∞). For stor x øker logaritmen ganske sakte. Enhver potensfunksjon x a med en positiv eksponent a vokser raskere enn logaritmen.

Egenskaper til den naturlige logaritmen

Definisjonsdomene, sett med verdier, ekstrema, økning, reduksjon

Den naturlige logaritmen er en monotont økende funksjon, så den har ingen ekstrema. Hovedegenskapene til den naturlige logaritmen er presentert i tabellen.

ln x verdier

ln 1 = 0

Grunnleggende formler for naturlige logaritmer

Formler som følger av definisjonen av den inverse funksjonen:

Hovedegenskapen til logaritmer og dens konsekvenser

Formel for baseerstatning

Enhver logaritme kan uttrykkes i form av naturlige logaritmer ved å bruke basesubstitusjonsformelen:

Bevis på disse formlene er presentert i delen "Logaritme".

Invers funksjon

Den inverse av den naturlige logaritmen er eksponenten.

Hvis da

Hvis da.

Derivat ln x
.
Derivert av den naturlige logaritmen:
.
Derivert av den naturlige logaritmen til modul x:
.
Derivert av n-te orden:

Utlede formler > > >

Integral
.
Integralet beregnes ved integrasjon av deler:

Så,

Uttrykk som bruker komplekse tall
.
Tenk på funksjonen til den komplekse variabelen z: La oss uttrykke den komplekse variabelen z via modul r φ :
.
og argumentasjon
.
Ved å bruke egenskapene til logaritmen har vi:
.
Argumentet φ er ikke unikt definert. Hvis du setter
, hvor n er et heltall,
det vil være det samme tallet for forskjellige n.

Derfor er den naturlige logaritmen, som funksjon av en kompleks variabel, ikke en funksjon med én verdi.

Power serie utvidelse

Når utvidelsen finner sted:

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.

Ikke verst i det hele tatt, ikke sant? Mens matematikere søker etter ord for å gi deg en lang, forvirrende definisjon, la oss se nærmere på denne enkle og klare.

Tallet e betyr vekst

Tallet e betyr kontinuerlig vekst. Som vi så i forrige eksempel, tillater e x oss å koble rente og tid: 3 år ved 100 % vekst er det samme som 1 år ved 300 %, forutsatt "sammensatt rente".

Du kan erstatte en hvilken som helst prosent- og tidsverdi (50 % i 4 år), men det er bedre å sette prosentandelen til 100 % for enkelhets skyld (det viser seg 100 % i 2 år). Ved å gå over til 100 % kan vi fokusere utelukkende på tidskomponenten:

e x = e prosent * tid = e 1,0 * tid = e tid

Åpenbart betyr e x:

hvor mye vil mitt bidrag vokse etter x tidsenheter (forutsatt 100 % kontinuerlig vekst).
for eksempel, etter 3 tidsintervaller vil jeg motta e 3 = 20,08 ganger flere "ting".

e x er en skaleringsfaktor som viser hvilket nivå vi vil vokse til i løpet av x tid.

Naturlig logaritme betyr tid

Den naturlige logaritmen er inversen til e, en fancy term for motsatt. Apropos særheter; på latin heter det logarithmus naturali, derav forkortelsen ln.

Og hva betyr denne inversjonen eller det motsatte?

e x lar oss erstatte tid og få vekst.
ln(x) lar oss ta vekst eller inntekt og finne ut tiden det tar å generere den.

For eksempel:

e 3 tilsvarer 20.08. Etter tre perioder vil vi ha 20,08 ganger mer enn det vi startet med.
ln(08/20) vil være omtrent 3. Hvis du er interessert i vekst på 20,08 ganger, trenger du 3 tidsperioder (igjen, forutsatt 100 % kontinuerlig vekst).

Leser du fortsatt? Den naturlige logaritmen viser tiden det tar å nå ønsket nivå.

Dette ikke-standard logaritmiske antallet

Har du gått gjennom logaritmer? merkelige skapninger. Hvordan klarte de å gjøre multiplikasjon til addisjon? Hva med divisjon i subtraksjon? La oss ta en titt.

Hva er ln(1) lik? Intuitivt er spørsmålet: hvor lenge skal jeg vente for å få 1x mer enn det jeg har?

Null. Null. Ikke i det hele tatt. Du har det allerede en gang. Det tar ikke lang tid å gå fra nivå 1 til nivå 1.

ln(1) = 0

Ok, hva med brøkverdien? Hvor lang tid vil det ta før vi har 1/2 av tilgjengelig mengde igjen? Vi vet at med 100 % kontinuerlig vekst betyr ln(2) tiden det tar å doble seg. Hvis vi la oss skru tiden tilbake(dvs. vent en negativ tid), så får vi halvparten av det vi har.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logisk, ikke sant? Går vi tilbake (tid tilbake) til 0,693 sekunder, finner vi halve beløpet tilgjengelig. Generelt kan du snu brøken og ta negativ betydning: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Det betyr at hvis vi går tilbake i tid til 1,09 ganger, vil vi kun finne en tredjedel av dagens antall.

Ok, hva med logaritmen til et negativt tall? Hvor lang tid tar det å "dyrke" en koloni av bakterier fra 1 til -3?

Dette er umulig! Du kan vel ikke få et negativt bakterietall? Du kan få et maksimum (eh...minimum) på null, men det er ingen måte du kan få et negativt tall fra disse små dyrene. I negativt tall bakterier gir rett og slett ikke mening.

ln(negativt tall) = udefinert

"Udefinert" betyr at det ikke er noen tid som må vente for å få en negativ verdi.

Logaritmisk multiplikasjon er bare morsomt

Hvor lang tid vil det ta å vokse firedoblet? Selvfølgelig kan du bare ta ln(4). Men dette er for enkelt, vi går den andre veien.

Du kan tenke på firedobbel vekst som dobling (krever ln(2) tidsenheter) og deretter dobling igjen (krever ytterligere ln(2) tidsenheter):

Tid til å vokse 4 ganger = ln(4) = Tid til å doble og deretter doble igjen = ln(2) + ln(2)

Interessant. Enhver vekstrate, for eksempel 20, kan betraktes som en dobling rett etter en 10x økning. Eller vekst med 4 ganger, og deretter med 5 ganger. Eller tredoble og deretter øke med 6.666 ganger. Ser du mønsteret?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritmen til A ganger B er log(A) + log(B). Dette forholdet gir umiddelbart mening når det sees i form av vekst.

Hvis du er interessert i 30x vekst, kan du vente ln(30) i en gang, eller vente ln(3) for tredobling, og deretter en annen ln(10) for 10x. Sluttresultatet er det samme, så selvfølgelig må tiden forbli konstant (og det gjør den).

Hva med deling? Nærmere bestemt betyr ln(5/3): hvor lang tid vil det ta å vokse 5 ganger og deretter få 1/3 av det?

Flott, vekst med 5 ganger er ln(5). En økning på 1/3 ganger vil ta -ln(3) tidsenheter. Så,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Dette betyr: la det vokse 5 ganger, og deretter "gå tilbake i tid" til det punktet hvor bare en tredjedel av den mengden gjenstår, slik at du får 5/3 vekst. Generelt viser det seg

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Jeg håper at den merkelige aritmetikken til logaritmer begynner å gi mening for deg: å multiplisere veksthastigheter blir å legge til veksttidsenheter, og å dele blir å subtrahere tidsenheter. Du trenger ikke å huske reglene, prøv å forstå dem.

Bruke den naturlige logaritmen for vilkårlig vekst

Vel, selvfølgelig," sier du, "det er bra hvis veksten er 100 %, men hva med de 5 % jeg mottar?"

Ikke noe problem. "Tiden" vi beregner med ln() er faktisk en kombinasjon av rente og tid, samme X fra e x-ligningen. Vi bestemte oss nettopp for å sette prosentandelen til 100 % for enkelhets skyld, men vi står fritt til å bruke alle tall.

La oss si at vi ønsker å oppnå 30x vekst: ta ln(30) og få 3,4 Dette betyr:

e x = høyde
e 3,4 = 30

Åpenbart betyr denne ligningen "100 % avkastning over 3,4 år gir 30x vekst." Vi kan skrive denne ligningen som følger:

e x = e rate*tid
e 100 % * 3,4 år = 30

Vi kan endre verdiene for "bet" og "time", så lenge innsatsen * tiden forblir 3,4. For eksempel, hvis vi er interessert i 30x vekst, hvor lenge må vi vente med en rente på 5 %?

ln(30) = 3,4
rate * tid = 3,4
0,05 * tid = 3,4
tid = 3,4 / 0,05 = 68 år

Jeg resonnerer slik: "ln(30) = 3,4, så ved 100 % vekst vil det ta 3,4 år. Hvis jeg dobler veksthastigheten, halveres tiden som kreves."

100 % i 3,4 år = 1,0 * 3,4 = 3,4
200 % på 1,7 år = 2,0 * 1,7 = 3,4
50 % i 6,8 år = 0,5 * 6,8 = 3,4
5 % over 68 år = ,05 * 68 = 3,4.

Flott, ikke sant? Den naturlige logaritmen kan brukes med hvilken som helst rente og tid fordi produktet deres forblir konstant. Du kan flytte variabelverdier så mye du vil.

Kult eksempel: Regel om syttito

Rule of Seventy-Two er en matematisk teknikk som lar deg anslå hvor lang tid det vil ta før pengene dine dobles. Nå skal vi utlede det (ja!), og dessuten vil vi prøve å forstå essensen.

Hvor lang tid vil det ta å doble pengene dine til 100 % rente sammensatt årlig?

Oops. Vi brukte den naturlige logaritmen for tilfellet med kontinuerlig vekst, og nå snakker du om årlig sammensetning? Ville ikke denne formelen blitt uegnet for et slikt tilfelle? Ja, det vil det, men for realrenter som 5 %, 6 % eller til og med 15 %, vil forskjellen mellom årlig sammensetning og kontinuerlig vekst være liten. Så det grove anslaget fungerer, um, omtrent, så vi vil late som om vi har en helt kontinuerlig periodisering.

Nå er spørsmålet enkelt: Hvor raskt kan du doble med 100 % vekst? ln(2) = 0,693. Det tar 0,693 tidsenheter (år i vårt tilfelle) å doble beløpet vårt med en kontinuerlig økning på 100 %.

Så, hva om renten ikke er 100 %, men si 5 % eller 10 %?

Enkelt! Siden innsats * tid = 0,693, dobler vi beløpet:

rate * tid = 0,693
tid = 0,693 / innsats

Det viser seg at dersom veksten er 10 % vil det ta 0,693 / 0,10 = 6,93 år å doble seg.

For å forenkle beregningene, la oss multiplisere begge sider med 100, så kan vi si "10" i stedet for "0,10":

tid til dobling = 69,3 / innsats, hvor innsatsen er uttrykt i prosent.

Nå er det på tide å doble med en hastighet på 5 %, 69,3 / 5 = 13,86 år. 69,3 er imidlertid ikke det mest praktiske utbyttet. La oss velge et nært tall, 72, som er praktisk å dele på 2, 3, 4, 6, 8 og andre tall.

tid til å doble = 72 / innsats

som er regelen for syttito. Alt er dekket.

Hvis du trenger å finne tiden til å tredoble, kan du bruke ln(3) ~ 109.8 og få

tid til å tredoble = 110 / innsats

Hva er en annen nyttig regel. "Rule of 72" gjelder høyde renter, befolkningsvekst, bakteriekulturer og alt som vokser eksponentielt.

Hva blir det neste?

Jeg håper den naturlige logaritmen nå gir mening for deg - den viser tiden det tar før et tall vokser eksponentielt. Jeg tror det kalles naturlig fordi e er et universelt mål på vekst, så ln kan vurderes på en universell måte bestemme hvor lang tid det tar å vokse.

Hver gang du ser ln(x), husk "tiden det tar å vokse X ganger". I en kommende artikkel vil jeg beskrive e og ln i sammenheng slik at den friske duften av matematikk skal fylle luften.

Tillegg: Naturlig logaritme av e

Rask quiz: hva er ln(e)?

en matematikkrobot vil si: siden de er definert som invers av hverandre, er det åpenbart at ln(e) = 1.
forstå person: ln(e) er antall ganger det tar å vokse "e" ganger (omtrent 2.718). Imidlertid er tallet e i seg selv et mål på vekst med en faktor på 1, så ln(e) = 1.

Tenk klart.

9. september 2013

Logaritme av et gitt tall kalles eksponenten som et annet tall må heves til, kalt basis logaritme for å få dette tallet. For eksempel er grunntallet 10-logaritmen av 100 2. Med andre ord må 10 kvadreres for å få 100 (10 2 = 100). Hvis n– et gitt tall, b– base og l– logaritme altså b l = n. Antall n også kalt base antilogaritme b tall l. For eksempel er antilogaritmen av 2 til grunntallet 10 lik 100. Dette kan skrives i form av relasjonsloggen b n = l og antilog b l = n.

Grunnleggende egenskaper for logaritmer:

Noen positivt tall, bortsett fra enhet, kan tjene som grunnlag for logaritmer, men dessverre viser det seg at hvis b Og n er rasjonelle tall, så er det i sjeldne tilfeller et slikt rasjonelt tall l, Hva b l = n. Det er imidlertid mulig å definere et irrasjonelt tall l for eksempel slik at 10 l= 2; dette er et irrasjonelt tall l kan tilnærmes med hvilken som helst nødvendig nøyaktighet rasjonelle tall. Det viser seg at i eksemplet ovenfor l er omtrent lik 0,3010, og denne tilnærmingen til base 10-logaritmen på 2 kan finnes i firesifrede tabeller desimallogaritmer. Base 10 logaritmer (eller base 10 logaritmer) er så ofte brukt i beregninger at de kalles vanlig logaritmer og skrevet som log2 = 0,3010 eller log2 = 0,3010, og utelater den eksplisitte indikasjonen av logaritmebasen. Logaritmer til basen e, et transcendentalt tall omtrent lik 2,71828, kalles naturlig logaritmer. De finnes hovedsakelig i arbeider på matematisk analyse og dens anvendelser til ulike vitenskaper. Naturlige logaritmer skrives også uten eksplisitt angivelse av grunntallet, men ved å bruke den spesielle notasjonen ln: for eksempel ln2 = 0,6931, fordi e 0,6931 = 2.

Bruke tabeller med vanlige logaritmer.

Den vanlige logaritmen til et tall er en eksponent som 10 må heves til for å få et gitt tall. Siden 10 0 = 1, 10 1 = 10 og 10 2 = 100, får vi umiddelbart at log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, osv. for økende heltallspotenser 10. Likeledes er 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 og derfor log0,1 = –1, log0,01 = –2 osv. for alle heltall negative krefter 10. De vanlige logaritmene til de gjenværende tallene er inneholdt mellom logaritmene til de nærmeste heltallspottene til tallet 10; log2 må være mellom 0 og 1, log20 må være mellom 1 og 2, og log0.2 må være mellom -1 og 0. Dermed består logaritmen av to deler, et heltall og desimal, innelukket mellom 0 og 1. Heltallsdelen kalles karakteristisk logaritme og bestemmes av selve tallet, kalles brøkdelen mantissa og kan finnes fra tabeller. Dessuten er log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritmen til 2 er 0,3010, så log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Tilsvarende er log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Etter subtraksjon får vi log0,2 = – 0,6990. Det er imidlertid mer praktisk å representere log0.2 som 0,3010 – 1 eller som 9,3010 – 10; kan formuleres og generell regel: alle tall oppnådd fra et gitt tall ved å multiplisere med 10 potens har samme mantisse, lik mantissen til det gitte tallet. De fleste tabellene viser mantissene til tall i området fra 1 til 10, siden mantissene til alle andre tall kan fås fra de som er gitt i tabellen.

De fleste tabeller gir logaritmer med fire eller fem desimaler, selv om det er syvsifrede tabeller og tabeller med enda flere desimaler. Den enkleste måten å lære å bruke slike tabeller på er med eksempler. For å finne log3.59 legger vi først og fremst merke til at tallet 3.59 ligger mellom 10 0 og 10 1, så karakteristikken er 0. Vi finner tallet 35 (til venstre) i tabellen og beveger oss langs raden til kolonnen som har tallet 9 øverst ; skjæringspunktet mellom denne kolonnen og rad 35 er 5551, så log3.59 = 0.5551. For å finne mantissen til et tall med fire betydelige tall, er det nødvendig å ty til interpolasjon. I noen tabeller er interpolering forenklet av proporsjonene gitt i de siste ni kolonnene på høyre side av hver side i tabellene. La oss nå finne log736.4; tallet 736,4 ligger mellom 10 2 og 10 3, derfor er karakteristikken for logaritmen 2. I tabellen finner vi en rad til venstre for hvilken det er 73 og kolonne 6. I skjæringspunktet mellom denne raden og denne kolonnen er det tallet 8669. Blant de lineære delene finner vi kolonne 4 I skjæringspunktet mellom rad 73 og kolonne 4 er det tallet 2. Ved å legge til 2 til 8669 får vi mantissen - den er lik 8671. Dermed log736.4. = 2,8671.

Naturlige logaritmer.

Tabeller og egenskaper naturlige logaritmer ligner på tabellene og egenskapene til vanlige logaritmer. Hovedforskjellen mellom begge er at heltallsdelen av den naturlige logaritmen ikke er signifikant for å bestemme posisjonen til desimalpunktet, og derfor spiller ikke forskjellen mellom mantissen og karakteristikken noen spesiell rolle. Naturlige logaritmer av tall 5.432; 54,32 og 543,2 er lik henholdsvis 1,6923; 3,9949 og 6,2975. Forholdet mellom disse logaritmene vil bli tydelig hvis vi vurderer forskjellene mellom dem: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; siste nummer er ikke noe mer enn den naturlige logaritmen til tallet 10 (skrevet slik: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; det siste tallet er 2ln10. Men 543.2 = 10ґ54.32 = 10 2ґ5.432. Altså ved den naturlige logaritmen til et gitt tall en du kan finne naturlige logaritmer av tall, lik produktene tall en uansett grad n tall 10 hvis til ln en legg til ln10 multiplisert med n, dvs. ln( enґ10n) = logg en + n ln10 = ln en + 2,3026n. For eksempel, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Derfor inneholder tabeller med naturlige logaritmer, som tabeller med vanlige logaritmer, vanligvis bare logaritmer av tall fra 1 til 10. I systemet med naturlige logaritmer kan man snakke om antilogaritmer, men oftere snakker de om eksponentiell funksjon eller om utstilleren. Hvis x= logg y, Det y = e x, Og y kalt eksponent for x(for typografisk bekvemmelighet skriver de ofte y= eksp x). Eksponenten spiller rollen som antilogaritmen til tallet x.

Ved å bruke tabeller med desimal og naturlige logaritmer, kan du lage tabeller med logaritmer i en hvilken som helst annen base enn 10 og e. Hvis logg b a = x, Det b x = en, og derfor logge c b x=logg c a eller x Logg c b=logg c a, eller x=logg c a/Logg c b=logg b a. Bruk derfor denne inversjonsformelen fra basislogaritmetabellen c du kan bygge tabeller med logaritmer i en hvilken som helst annen base b. Multiplikator 1/log c b kalt overgangsmodul fra basen c til basen b. Ingenting hindrer for eksempel å bruke inversjonsformelen eller overgangen fra ett system av logaritmer til et annet, finne naturlige logaritmer fra tabellen over vanlige logaritmer eller gjøre omvendt overgang. For eksempel log105.432 = log e 5.432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Tallet 0,4343, som den naturlige logaritmen til et gitt tall må multipliseres med for å oppnå en ordinær logaritme, er modulen for overgangen til systemet med vanlige logaritmer.

Spesielle bord.

Logaritmer ble opprinnelig oppfunnet slik at, ved hjelp av egenskapene deres logg ab=logg en+logg b og logg en/b=logg en- Logg b, gjør produkter til summer og kvotienter til forskjeller. Med andre ord, hvis logg en og logg b er kjent, så kan vi ved hjelp av addisjon og subtraksjon enkelt finne logaritmen til produktet og kvotienten. I astronomi, men ofte gitt verdier av log en og logg b må finne logg( en + b) eller logg( en – b). Selvfølgelig kunne man først finne fra tabeller over logaritmer en Og b, utfør deretter den indikerte addisjonen eller subtraksjonen, og gå igjen til tabellene og finn de nødvendige logaritmene, men en slik prosedyre vil kreve å referere til tabellene tre ganger. Z. Leonelli i 1802 publiserte tabeller over den såkalte. Gaussiske logaritmer– logaritmer for å legge til summer og differanser – som gjorde det mulig å begrense seg til én tilgang til tabeller.

I 1624 foreslo I. Kepler tabeller med proporsjonale logaritmer, dvs. logaritmer av tall en/x, Hvor en– noen positiv konstant verdi. Disse tabellene brukes først og fremst av astronomer og navigatører.

Proporsjonale logaritmer kl en= 1 kalles kologaritmer og brukes i beregninger når man skal forholde seg til produkter og kvotienter. Kologaritme av et tall n lik logaritmen gjensidig nummer; de. colog n= log1/ n= – logg n. Hvis log2 = 0,3010, så er colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Fordelen med å bruke kologaritmer er at når man beregner verdien av logaritmen til uttrykk som f.eks. pq/via modul trippel sum av positive desimaler log s+logg q+colog via modul er lettere å finne enn den blandede sum- og differanseloggen s+logg q- Logg via modul.

Historie.

Prinsippet som ligger til grunn for ethvert system av logaritmer har vært kjent i svært lang tid og kan spores tilbake til gammel babylonsk matematikk (ca. 2000 f.Kr.). I disse dager ble interpolasjon mellom tabellverdier av positive heltallspotenser av heltall brukt for å beregne rentes rente. Mye senere brukte Arkimedes (287–212 f.Kr.) potensene 108 for å finne en øvre grense for antall sandkorn som kreves for å fylle det da kjente universet fullstendig. Arkimedes trakk oppmerksomheten til egenskapen til eksponenter som ligger til grunn for effektiviteten til logaritmer: produktet av potenser tilsvarer summen av eksponentene. På slutten av middelalderen og begynnelsen av moderne tid begynte matematikere i økende grad å vende seg til forholdet mellom geometriske og aritmetiske progresjoner. M. Stiefel i sitt essay Heltallsaritmetikk(1544) ga en tabell over positive og negative potenser av tallet 2:

Stiefel la merke til at summen av de to tallene i den første raden (eksponentraden) er lik eksponenten av to som tilsvarer produktet av de to tilsvarende tallene i den nederste raden (eksponentraden). I forbindelse med denne tabellen formulerte Stiefel fire regler tilsvarende de fire moderne reglene for operasjoner på eksponenter eller de fire reglene for operasjoner på logaritmer: summen på den øverste linjen tilsvarer produktet på den nederste linjen; subtraksjon på den øverste linjen tilsvarer divisjon på den nederste linjen; multiplikasjon på den øverste linjen tilsvarer eksponentiering på den nederste linjen; deling på den øverste linjen tilsvarer roting på den nederste linjen.

Tilsynelatende førte regler som ligner på Stiefels regler til at J. Naper formelt introduserte det første logaritmesystemet i sitt arbeid Beskrivelse av den fantastiske tabellen over logaritmer, utgitt i 1614. Men Napiers tanker var opptatt av problemet med å konvertere produkter til summer helt siden, mer enn ti år før utgivelsen av hans arbeid, mottok Napier nyheter fra Danmark om at hans assistenter ved Tycho Brahe-observatoriet hadde en metode som gjorde at det mulig å konvertere produkter til summer. Metoden nevnt i meldingen Napier mottok var basert på bruken trigonometriske formler type

Derfor bestod Napers tabeller hovedsakelig av logaritmer trigonometriske funksjoner. Selv om konseptet base ikke var eksplisitt inkludert i definisjonen foreslått av Napier, ble rollen som tilsvarer basen til logaritmesystemet i systemet hans spilt av tallet (1 – 10 –7)ґ10 7, omtrent lik 1/ e.

Uavhengig av Naper og nesten samtidig med ham, ble et system av logaritmer, ganske lik type, oppfunnet og utgitt av J. Bürgi i Praha, utgitt i 1620 Aritmetiske og geometriske progresjonstabeller. Dette var tabeller med antilogaritmer til basen (1 + 10 –4) ґ10 4, en ganske god tilnærming av tallet e.

I Naper-systemet ble logaritmen til tallet 10 7 tatt til null, og etter hvert som tallene ble redusert, økte logaritmene. Da G. Briggs (1561–1631) besøkte Napier, var begge enige om at det ville være mer hensiktsmessig å bruke tallet 10 som grunntall og vurdere logaritmen til en som null. Etter hvert som tallene økte, ville logaritmene deres øke. Så vi fikk moderne system desimallogaritmer, en tabell som Briggs publiserte i sitt arbeid Logaritmisk aritmetikk(1620). Logaritmer til basen e, selv om det ikke akkurat er de som ble introdusert av Naper, kalles ofte Naper's. Begrepene "karakteristisk" og "mantissa" ble foreslått av Briggs.

De første logaritmene i kraft historiske årsaker brukte tilnærminger til tallene 1/ e Og e. Noe senere begynte ideen om naturlige logaritmer å bli assosiert med studiet av områder under en hyperbel xy= 1 (fig. 1). På 1600-tallet det ble vist at området avgrenset av denne kurven, aksen x og ordinater x= 1 og x = en(i fig. 1 er dette området dekket med tykkere og sparsomme prikker) øker i aritmetisk progresjon, Når enøker eksponentielt. Det er nettopp denne avhengigheten som oppstår i reglene for operasjoner med eksponenter og logaritmer. Dette ga opphav til å kalle naperiske logaritmer "hyperbolske logaritmer."

Logaritmisk funksjon.

Det var en tid da logaritmer kun ble betraktet som et beregningsmiddel, men på 1700-tallet, hovedsakelig takket være arbeidet til Euler, ble konseptet med en logaritmisk funksjon dannet. Graf over en slik funksjon y= logg x, hvis ordinater øker i en aritmetisk progresjon, mens abscissen øker i en geometrisk progresjon, er presentert i fig. 2, EN. Graf av den inverse, eller eksponentielle (eksponentielle) funksjonen y = e x, hvis ordinater øker i geometrisk progresjon, og abscissas - i aritmetisk progresjon, er presentert henholdsvis i fig. 2, b. (Kurver y=logg x Og y = 10x lik i form som kurver y= logg x Og y = e x.) Alternative definisjoner av den logaritmiske funksjonen er også foreslått, f.eks.

kpi ; og på samme måte er de naturlige logaritmene til tallet -1 komplekse tall av formen (2 k + 1)pi, Hvor k– et heltall. Lignende utsagn gjelder for generelle logaritmer eller andre logaritmer. I tillegg kan definisjonen av logaritmer generaliseres ved å bruke Eulers identiteter til å inkludere komplekse logaritmer av komplekse tall.

En alternativ definisjon av en logaritmisk funksjon er gitt av funksjonell analyse. Hvis f(x) – kontinuerlig funksjon av et reelt tall x, som har følgende tre egenskaper: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), Det f(x) er definert som logaritmen til tallet x basert på b. Denne definisjonen har en rekke fordeler i forhold til definisjonen gitt i begynnelsen av denne artikkelen.

Applikasjoner.

Logaritmer ble opprinnelig brukt utelukkende for å forenkle beregninger, og denne applikasjonen er fortsatt en av deres viktigste. Beregningen av produkter, kvotienter, potenser og røtter lettes ikke bare av den brede tilgjengeligheten av publiserte tabeller over logaritmer, men også ved bruk av såkalte. skyveregel - et beregningsverktøy hvis driftsprinsipp er basert på egenskapene til logaritmer. Linjalen er utstyrt med logaritmiske skalaer, d.v.s. avstand fra nummer 1 til et hvilket som helst tall x valgt å være lik logg x; Ved å forskyve en skala i forhold til en annen, er det mulig å plotte summen eller forskjellene av logaritmer, noe som gjør det mulig å lese direkte fra skalaen produktene eller kvotientene til de tilsvarende tallene. Du kan også dra nytte av fordelene ved å representere tall i logaritmisk form. logaritmisk papir for plotting av grafer (papir med logaritmiske skalaer trykt på begge koordinataksene). Hvis en funksjon tilfredsstiller en potenslov av formen y = kxn, så ser dens logaritmiske graf ut som en rett linje, fordi Logg y=logg k + n Logg x– ligning lineær med hensyn til log y og logg x. Tvert imot, hvis den logaritmiske grafen til en funksjonell avhengighet ser ut som en rett linje, er denne avhengigheten en potensiell. Semi-log papir (der y-aksen har en logaritmisk skala og x-aksen har en enhetlig skala) er nyttig når du skal identifisere eksponentielle funksjoner. Formens ligninger y = kb rx oppstår når en mengde, for eksempel en populasjon, en mengde radioaktivt materiale eller en banksaldo, reduseres eller øker med en hastighet som er proporsjonal med tilgjengelig dette øyeblikket antall innbyggere, radioaktivt stoff eller penger. Hvis en slik avhengighet er plottet på semi-logaritmisk papir, vil grafen se ut som en rett linje.

Den logaritmiske funksjonen oppstår i forbindelse med en lang rekke naturlige former. Blomster i solsikkeblomsterstander er ordnet i logaritmiske spiraler, og bløtdyrskjell er vridd. Nautilus, horn fjellsau og papegøyenebb. Alle disse naturlige formene kan tjene som eksempler på en kurve kjent som en logaritmisk spiral fordi, i et polart koordinatsystem, er ligningen dens r = ae bq, eller ln via modul= logg en + bq. En slik kurve er beskrevet av et bevegelig punkt, hvis avstand fra polen øker i geometrisk progresjon, og vinkelen beskrevet av radiusvektoren øker i aritmetisk progresjon. Tilstedeværelsen av en slik kurve, og derfor den logaritmiske funksjonen, er godt illustrert av det faktum at den forekommer i så fjerne og helt forskjellige områder som konturen til en eksentrisk kam og banen til noen insekter som flyr mot lyset.

Graf over den naturlige logaritmefunksjonen. Funksjonen nærmer seg sakte positiv uendelig etter hvert som du øker x og nærmer seg raskt negativ uendelighet når x har en tendens til 0 ("sakte" og "rask" sammenlignet med noen strømfunksjon fra x).

Naturlig logaritme er logaritmen til grunntallet , Hvor e (\displaystyle e)- en irrasjonell konstant lik omtrent 2,72. Det er betegnet som ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) eller noen ganger bare log ⁡ x (\displaystyle \log x), hvis basen e (\displaystyle e) underforstått. Med andre ord, den naturlige logaritmen til et tall x- dette er en eksponent som et tall må heves til e, For å oppnå x. Denne definisjonen kan utvides til komplekse tall.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), fordi e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), fordi e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Den naturlige logaritmen kan også defineres geometrisk for ethvert positivt reelt tall en som området under kurven y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) imellom [ 1 ; a ] (\displaystyle ). Enkelheten til denne definisjonen, som er i samsvar med mange andre formler som bruker denne logaritmen, forklarer opprinnelsen til navnet "naturlig".

Hvis vi betrakter den naturlige logaritmen som en reell funksjon av en reell variabel, så er det den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen som fører til identitetene:

e ln ⁡ a = a (a > 0); (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Som alle logaritmer, kartlegger den naturlige logaritmen multiplikasjon til addisjon:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

Logaritmen av et positivt tall b til grunntallet a (a>0, a er ikke lik 1) er et tall c slik at a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Merk at logaritmen til et ikke-positivt tall er udefinert. I tillegg må basen til logaritmen være et positivt tall som ikke er lik 1. Hvis vi for eksempel kvadrerer -2, får vi tallet 4, men dette betyr ikke at logaritmen til grunntallet -2 av 4 er lik 2.

Grunnleggende logaritmisk identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Det er viktig at omfanget av definisjon av høyre og venstre side av denne formelen er forskjellig. Venstre side er definert kun for b>0, a>0 og a ≠ 1. Høyre side er definert for enhver b, og er ikke avhengig av a i det hele tatt. Dermed kan anvendelsen av den grunnleggende logaritmiske "identiteten" ved løsning av likninger og ulikheter føre til en endring i OD.

To åpenbare konsekvenser av definisjonen av logaritme

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Faktisk, når vi hever tallet a til første potens, får vi det samme tallet, og når vi hever det til null potens, får vi en.

Logaritme av produktet og logaritme av kvotienten

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Logg a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Jeg vil advare skoleelever mot tankeløst å bruke disse formlene når de løser logaritmiske ligninger og ulikheter. Når du bruker dem "fra venstre til høyre", smalner ODZ, og når du flytter fra summen eller differansen av logaritmer til logaritmen til produktet eller kvotienten, utvides ODZ.

Faktisk er uttrykket log a (f (x) g (x)) definert i to tilfeller: når begge funksjonene er strengt tatt positive eller når f (x) og g (x) begge er mindre enn null.

Ved å transformere dette uttrykket til summen log a f (x) + log a g (x), er vi tvunget til å begrense oss til tilfellet når f(x)>0 og g(x)>0. Det er en innsnevring av området akseptable verdier, og dette er kategorisk uakseptabelt, fordi det kan føre til tap av løsninger. Et lignende problem eksisterer for formel (6).

Graden kan tas ut av logaritmens fortegn

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Og igjen vil jeg oppfordre til forsiktighet. Tenk på følgende eksempel:

Logg a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Venstre side av likheten er åpenbart definert for alle verdier av f(x) bortsett fra null. Høyre side er kun for f(x)>0! Ved å ta graden ut av logaritmen, begrenser vi igjen ODZ. Den omvendte prosedyren fører til en utvidelse av utvalget av akseptable verdier. Alle disse merknadene gjelder ikke bare for kraft 2, men også for enhver jevn kraft.

Formel for å flytte til en ny stiftelse

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Det sjeldne tilfellet når ODZ ikke endres under transformasjon. Hvis du har valgt base c med omhu (positiv og ikke lik 1), er formelen for å flytte til en ny base helt trygg.

Velger vi tallet b som ny grunntall c, får vi en viktig spesielt tilfelle formler (8):

Logg a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Noen enkle eksempler med logaritmer

Eksempel 1. Regn ut: log2 + log50.
Løsning. log2 + log50 = log100 = 2. Vi brukte summen av logaritmene formel (5) og definisjonen av desimallogaritmen.

Eksempel 2. Regn ut: lg125/lg5.
Løsning. log125/log5 = log 5 125 = 3. Vi brukte formelen for å flytte til en ny base (8).