Hva er cosinus alfa. Sinus, cosinus, tangens, cotangens av en spiss vinkel

Trigonometri, som en vitenskap, oppsto i det gamle østen. De første trigonometriske forholdstallene ble utledet av astronomer for å lage en nøyaktig kalender og orientering etter stjernene. Disse beregningene knyttet til sfærisk trigonometri, mens de var i skolekurs studere forholdet mellom sider og vinkler i en plan trekant.

Trigonometri er en gren av matematikken som omhandler egenskapene til trigonometriske funksjoner og forholdet mellom sidene og vinklene til trekanter.

Under kulturens og vitenskapens storhetstid i det 1. årtusen e.Kr. spredte kunnskap seg fra Det gamle østen til Hellas. Men de viktigste oppdagelsene av trigonometri er fortjenesten til mennene i det arabiske kalifatet. Spesielt introduserte den turkmenske forskeren al-Marazwi funksjoner som tangent og cotangens, og kompilerte de første tabellene med verdier for sinus, tangenter og cotangens. Begrepene sinus og cosinus ble introdusert av indiske forskere. Trigonometri fikk mye oppmerksomhet i verkene til så store skikkelser fra antikken som Euklid, Arkimedes og Eratosthenes.

Grunnleggende mengder trigonometri

De grunnleggende trigonometriske funksjonene til et numerisk argument er sinus, cosinus, tangens og cotangens. Hver av dem har sin egen graf: sinus, cosinus, tangens og cotangens.

Formlene for å beregne verdiene til disse mengdene er basert på Pythagoras teorem. Det er bedre kjent for skolebarn i formuleringen: "Pythagoreiske bukser er like i alle retninger," siden beviset er gitt ved å bruke eksemplet med en likebenet rettvinklet trekant.

Sinus-, cosinus- og andre forhold etablerer forholdet mellom de spisse vinklene og sidene til en rettvinklet trekant. La oss presentere formler for å beregne disse størrelsene for vinkel A og spore forholdet mellom trigonometriske funksjoner:

Som du kan se, er tg og ctg inverse funksjoner. Hvis vi forestiller oss ben a som produktet av sin A og hypotenus c, og ben b som cos A * c, får vi følgende formler for tangent og cotangens:

Trigonometrisk sirkel

Grafisk kan forholdet mellom de nevnte mengdene representeres som følger:

Sirkelen, i dette tilfellet, representerer alt mulige verdier vinkel α - fra 0° til 360°. Som det fremgår av figuren, tar hver funksjon en negativ eller positiv verdi avhengig av størrelsen på vinkelen. For eksempel vil sin α ha et "+"-tegn hvis α tilhører 1. og 2. kvartal av sirkelen, det vil si at den er i området fra 0° til 180°. For α fra 180° til 360° (III og IV kvartaler), kan sin α bare være en negativ verdi.

La oss prøve å bygge trigonometriske tabeller for spesifikke vinkler og finne ut betydningen av mengdene.

Verdier av α lik 30°, 45°, 60°, 90°, 180° og så videre kalles spesielle tilfeller. Verdiene av trigonometriske funksjoner for dem beregnes og presenteres i form av spesielle tabeller.

Disse vinklene ble ikke valgt tilfeldig. Betegnelsen π i tabellene er for radianer. Rad er vinkelen der lengden av en sirkelbue tilsvarer radiusen. Denne verdien ble introdusert for å etablere en universell avhengighet ved beregning i radianer, den faktiske lengden på radien i cm spiller ingen rolle.

Vinkler i tabeller for trigonometriske funksjoner tilsvarer radianverdier:

Så det er ikke vanskelig å gjette at 2π er det full sirkel eller 360°.

Egenskaper til trigonometriske funksjoner: sinus og cosinus

For å vurdere og sammenligne de grunnleggende egenskapene til sinus og cosinus, tangent og cotangens, er det nødvendig å tegne funksjonene deres. Dette kan gjøres i form av en kurve som ligger i et todimensjonalt koordinatsystem.

Tenk på den sammenlignende tabellen over egenskaper for sinus og cosinus:

Sinusbølge	Cosinus
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, for x = πk, hvor k ϵ Z	cos x = 0, for x = π/2 + πk, hvor k ϵ Z
sin x = 1, for x = π/2 + 2πk, hvor k ϵ Z	cos x = 1, ved x = 2πk, hvor k ϵ Z
sin x = - 1, ved x = 3π/2 + 2πk, hvor k ϵ Z	cos x = - 1, for x = π + 2πk, hvor k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, dvs. funksjonen er oddetall	cos (-x) = cos x, dvs. funksjonen er partall
	funksjonen er periodisk, den minste perioden er 2π
sin x › 0, med x som tilhører 1. og 2. kvartal eller fra 0° til 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, med x som tilhører I- og IV-kvartalene eller fra 270° til 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, med x som tilhører tredje og fjerde kvartal eller fra 180° til 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, med x som tilhører 2. og 3. kvartal eller fra 90° til 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
øker i intervallet [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	øker med intervallet [-π + 2πk, 2πk]
reduseres med intervaller [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	avtar med intervaller
derivert (sin x)' = cos x	derivert (cos x)’ = - sin x

Det er veldig enkelt å bestemme om en funksjon er partall eller ikke. Nok til å forestille seg trigonometrisk sirkel med tegn på trigonometriske størrelser og mentalt "brette" grafen i forhold til OX-aksen. Hvis tegnene faller sammen, er funksjonen partall, ellers er den oddetall.

Introduksjonen av radianer og listen over de grunnleggende egenskapene til sinus- og cosinusbølger tillater oss å presentere følgende mønster:

Det er veldig enkelt å verifisere at formelen er riktig. For eksempel, for x = π/2, er sinus 1, som er cosinus til x = 0. Kontrollen kan gjøres ved å konsultere tabeller eller ved å spore funksjonskurver for gitte verdier.

Egenskaper til tangentsoider og kotangensoider

Grafene til tangent- og cotangensfunksjonene skiller seg betydelig fra sinus- og cosinusfunksjonene. Verdiene tg og ctg er gjensidige av hverandre.

Y = brun x.
Tangenten har en tendens til verdiene til y ved x = π/2 + πk, men når dem aldri.
Den minste positive perioden til tangentoiden er π.
Tg (- x) = - tg x, dvs. funksjonen er oddetall.
Tg x = 0, for x = πk.
Funksjonen øker.
Tg x › 0, for x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, for x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Derivat (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Tenk på det grafiske bildet av cotangentoiden nedenfor i teksten.

Hovedegenskaper til cotangentoider:

Y = barneseng x.
I motsetning til sinus- og cosinusfunksjonene, kan Y i tangentoiden ta på seg verdiene til settet med alle reelle tall.
Cotangentoiden har en tendens til verdiene til y ved x = πk, men når dem aldri.
Den minste positive perioden til en cotangentoid er π.
Ctg (- x) = - ctg x, dvs. funksjonen er oddetall.
Ctg x = 0, for x = π/2 + πk.
Funksjonen er avtagende.
Ctg x › 0, for x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, for x ϵ (π/2 + πk, πk).
Derivat (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Riktig

Der problemer med å løse en rettvinklet trekant ble vurdert, lovet jeg å presentere en teknikk for å huske definisjonene av sinus og cosinus. Ved å bruke den vil du alltid raskt huske hvilken side som tilhører hypotenusen (tilstøtende eller motsatt). Jeg bestemte meg for å ikke utsette det for lenge, nødvendig materiale nedenfor, les 😉

Faktum er at jeg gjentatte ganger har observert hvordan elever på 10-11 trinn har problemer med å huske disse definisjonene. De husker godt at benet refererer til hypotenusen, men hvilken– de glemmer og forvirret. Prisen på en feil, som du vet i en eksamen, er et tapt poeng.

Informasjonen jeg vil presentere direkte har ingenting med matematikk å gjøre. Det er assosiert med figurativ tenkning og med metoder for verbal-logisk kommunikasjon. Det er akkurat slik jeg husker det, en gang for alledefinisjonsdata. Hvis du glemmer dem, kan du alltid enkelt huske dem ved å bruke teknikkene som presenteres.

La meg minne deg på definisjonene av sinus og cosinus i en rettvinklet trekant:

Cosinus spiss vinkel i en rettvinklet trekant er dette forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:

Sinus Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen:

Så, hvilke assosiasjoner har du til ordet cosinus?

Sannsynligvis har alle sin egen 😉Husk linken:

Dermed vil uttrykket umiddelbart vises i minnet ditt -

«… forholdet mellom det TILSTANDENDE benet og hypotenusen».

Problemet med å bestemme cosinus er løst.

Hvis du trenger å huske definisjonen av sinus i en rettvinklet trekant, og husker definisjonen av cosinus, kan du enkelt fastslå at sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen. Tross alt er det bare to ben; hvis det tilstøtende benet er "opptatt" av cosinus, er det bare det motsatte benet som forblir med sinus.

Hva med tangent og cotangens? Forvirringen er den samme. Elevene vet at dette er et forhold mellom ben, men problemet er å huske hvilken som refererer til hvilken - enten det motsatte av det tilstøtende, eller omvendt.

Definisjoner:

Tangent Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side:

Cotangens Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte:

Hvordan huske? Det er to måter. Den ene bruker også en verbal-logisk sammenheng, den andre bruker en matematisk.

MATEMATISK METODE

Det er en slik definisjon - tangenten til en spiss vinkel er forholdet mellom vinkelens sinus og cosinus:

*Når du har memorert formelen, kan du alltid bestemme at tangenten til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.

Like måte.Cotangensen til en spiss vinkel er forholdet mellom vinkelens cosinus og sinus:

Så! Ved å huske disse formlene kan du alltid fastslå at:

- tangenten til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og den tilstøtende

- cotangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte.

ORDLOGISK METODE

Om tangent. Husk linken:

Det vil si at hvis du trenger å huske definisjonen av tangent, ved å bruke denne logiske forbindelsen, kan du enkelt huske hva det er

"... forholdet mellom den motsatte siden og den tilstøtende siden"

Hvis vi snakker om cotangens, så husker du definisjonen av tangent, kan du enkelt gi uttrykk for definisjonen av cotangens -

"... forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden"

Det er et interessant triks for å huske tangent og cotangens på nettstedet " Matematisk tandem " , se.

UNIVERSELL METODE

Du kan bare huske det.Men som praksis viser, takket være verbale-logiske forbindelser, husker en person informasjon i lang tid, og ikke bare matematiske.

Jeg håper materialet var nyttig for deg.

Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller meg om nettstedet på sosiale nettverk.

Viktige notater!
1. Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. Hvordan du gjør dette i nettleseren din er skrevet her:
2. Før du begynner å lese artikkelen, vær mest oppmerksom på navigatoren vår nyttig ressurs Til

Sinus, cosinus, tangens, cotangens

Begrepene sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () er uløselig knyttet til begrepet vinkel. For å ha en god forståelse av disse, ved første øyekast, komplekse konsepter (som forårsaker en tilstand av redsel hos mange skolebarn), og for å sikre at "djevelen ikke er så forferdelig som han er malt," la oss starte fra helt i begynnelsen og forstå konseptet med en vinkel.

Vinkelkonsept: radian, grad

La oss se på bildet. Vektoren har "snudd" i forhold til punktet med en viss mengde. Så målet for denne rotasjonen i forhold til utgangsposisjonen vil være hjørne.

Hva annet trenger du å vite om begrepet vinkel? Vel, selvfølgelig, vinkelenheter!

Vinkel, både i geometri og trigonometri, kan måles i grader og radianer.

Vinkel (én grad) er den sentrale vinkelen i en sirkel dekket av en sirkelbue lik en del av sirkelen. Dermed består hele sirkelen av "biter" av sirkelbuer, eller vinkelen beskrevet av sirkelen er lik.

Det vil si at figuren over viser en vinkel lik, det vil si at denne vinkelen hviler på en sirkelbue på størrelse med omkretsen.

En vinkel i radianer er den sentrale vinkelen i en sirkel dekket av en sirkelbue hvis lengde er lik sirkelens radius. Vel, fant du ut av det? Hvis ikke, la oss finne det ut fra tegningen.

Så, figuren viser en vinkel lik en radian, det vil si at denne vinkelen hviler på en sirkelbue, hvis lengde er lik radiusen til sirkelen (lengden er lik lengden eller radiusen er lik lengden på buen). Dermed beregnes buelengden med formelen:

Hvor er den sentrale vinkelen i radianer.

Vel, når du vet dette, kan du svare på hvor mange radianer som finnes i vinkelen beskrevet av sirkelen? Ja, for dette må du huske formelen for omkrets. Her er hun:

Vel, la oss nå korrelere disse to formlene og finne at vinkelen beskrevet av sirkelen er lik. Det vil si at ved å korrelere verdien i grader og radianer får vi det. Henholdsvis. Som du kan se, i motsetning til "grader", er ordet "radian" utelatt, siden måleenheten vanligvis er tydelig fra konteksten.

Hvor mange radianer er det? Det er riktig!

Har det? Så fortsett og fiks det:

Har du vanskeligheter? Så se svar:

Rettvinklet trekant: sinus, cosinus, tangens, cotangens av vinkelen

Så vi fant ut konseptet med en vinkel. Men hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel? La oss finne ut av det. For dette vil det hjelpe oss høyre trekant.

Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant? Det stemmer, hypotenusen og bena: hypotenusen er siden som ligger motsatt rett vinkel(i vårt eksempel er dette siden); bena er de to gjenværende sidene og (de ved siden av den rette vinkelen), og hvis vi ser på bena i forhold til vinkelen, så er benet det tilstøtende benet, og benet er det motsatte. Så la oss nå svare på spørsmålet: hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel?

Sinus av vinkel- dette er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet til hypotenusen.

I vår trekant.

Cosinus av vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.

I vår trekant.

Tangent av vinkelen- dette er forholdet mellom den motsatte (fjerne) siden til den tilstøtende (nære).

I vår trekant.

Kotangens av vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).

I vår trekant.

Disse definisjonene er nødvendige huske! For å gjøre det lettere å huske hvilket ben du skal dele inn i hva, må du tydelig forstå det i tangent Og cotangens bare bena sitter, og hypotenusen vises bare i sinus Og kosinus. Og så kan du komme opp med en kjede av assosiasjoner. For eksempel denne:

Cosinus→berøring→berøring→tilstøtende;

Kotangens→berøring→berøring→tilstøtende.

Først av alt må du huske at sinus, cosinus, tangens og cotangens, da forholdet mellom sidene i en trekant ikke avhenger av lengdene på disse sidene (i samme vinkel). Tror ikke? Pass deretter på ved å se på bildet:

Tenk for eksempel på cosinus til en vinkel. Per definisjon, fra en trekant: , men vi kan beregne cosinus til en vinkel fra en trekant: . Du skjønner, lengdene på sidene er forskjellige, men verdien av cosinus til en vinkel er den samme. Dermed avhenger verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens utelukkende av størrelsen på vinkelen.

Hvis du forstår definisjonene, så fortsett og konsolider dem!

For trekanten vist i figuren nedenfor finner vi.

Vel, fikk du det? Så prøv det selv: beregn det samme for vinkelen.

Enhetssirkel (trigonometrisk).

For å forstå begrepene grader og radianer, betraktet vi en sirkel med en radius lik. En slik sirkel kalles enkelt. Det vil være veldig nyttig når du studerer trigonometri. La oss derfor se litt mer detaljert på det.

Som du kan se, gitt sirkel konstruert i et kartesisk koordinatsystem. Sirkelens radius er lik én, mens sentrum av sirkelen ligger ved opprinnelsen til koordinatene, er startposisjonen til radiusvektoren fast langs den positive retningen til aksen (i vårt eksempel er dette radiusen).

Hvert punkt på sirkelen tilsvarer to tall: aksekoordinaten og aksekoordinaten. Hva er disse koordinattallene? Og generelt, hva har de med emnet å gjøre? For å gjøre dette, må vi huske på den betraktede rettvinklet. I figuren over kan du se to hele rette trekanter. Tenk på en trekant. Den er rektangulær fordi den er vinkelrett på aksen.

Hva er trekanten lik? Det er riktig. I tillegg vet vi at det er radiusen til enhetssirkelen, som betyr . La oss erstatte denne verdien i formelen vår for cosinus. Her er hva som skjer:

Hva er trekanten lik? Selvfølgelig, ! Bytt ut radiusverdien i denne formelen og få:

Så, kan du fortelle hvilke koordinater et punkt som tilhører en sirkel har? Vel, ingen måte? Hva om du innser det og bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer det? Vel, selvfølgelig, koordinatene! Og hvilken koordinat tilsvarer det? Det stemmer, koordinater! Altså punktum.

Hva er og lik da? Det stemmer, la oss bruke de tilsvarende definisjonene av tangent og cotangens og få det, a.

Hva om vinkelen er større? For eksempel, som på dette bildet:

Hva har endret seg i i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, la oss snu igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant: vinkel (som ved siden av en vinkel). Hva er verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel? Det er riktig, vi holder oss til de tilsvarende definisjonene av trigonometriske funksjoner:

Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten; verdien av cosinus til vinkelen - koordinaten; og verdiene av tangent og cotangens til de tilsvarende forholdene. Dermed gjelder disse relasjonene for enhver rotasjon av radiusvektoren.

Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva skjer hvis vi roterer den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, du vil også få en vinkel med en viss verdi, men bare den vil være negativ. Således, når vi roterer radiusvektoren mot klokken, får vi positive vinkler, og når du roterer med klokken - negativ.

Så vi vet at en hel omdreining av radiusvektoren rundt en sirkel er eller. Er det mulig å rotere radiusvektoren til eller til? Vel, selvfølgelig kan du det! I det første tilfellet vil derfor radiusvektoren gjøre en hel omdreining og stoppe ved posisjon eller.

I det andre tilfellet, det vil si at radiusvektoren vil gjøre tre hele omdreininger og stoppe ved posisjon eller.

Fra eksemplene ovenfor kan vi konkludere med at vinkler som er forskjellige med eller (hvor er et heltall) tilsvarer den samme posisjonen til radiusvektoren.

Figuren under viser en vinkel. Det samme bildet tilsvarer hjørnet osv. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen eller (hvor er et heltall)

Nå, når du kjenner definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene og bruker enhetssirkelen, prøv å svare på hva verdiene er:

Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:

Har du vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:

Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse vinkelmål. Vel, la oss starte i rekkefølge: vinkelen ved tilsvarer et punkt med koordinater, derfor:

Eksisterer ikke;

Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i samsvarer med henholdsvis punkter med koordinater. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til trigonometriske funksjoner på de tilsvarende punktene. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.

Svar:

Dermed kan vi lage følgende tabell:

Det er ikke nødvendig å huske alle disse verdiene. Det er nok å huske korrespondansen mellom koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:

Men verdiene til de trigonometriske funksjonene til vinkler i og gitt i tabellen nedenfor, må huskes:

Ikke vær redd, nå skal vi vise deg ett eksempel ganske enkelt å huske de tilsvarende verdiene:

For å bruke denne metoden er det viktig å huske verdiene til sinusen for alle tre vinkelmålene (), samt verdien av tangensen til vinkelen. Når du kjenner disse verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:

Når du vet dette, kan du gjenopprette verdiene for. Telleren " " vil matche og nevneren " " vil matche. Kotangensverdier overføres i samsvar med pilene angitt i figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med pilene, vil det være nok å huske alle verdiene fra tabellen.

Koordinater til et punkt på en sirkel

Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, kjenne koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel?

Vel, selvfølgelig kan du det! La oss få det ut generell formel for å finne koordinatene til et punkt.

For eksempel, her er en sirkel foran oss:

Vi er gitt at punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til et punkt oppnådd ved å rotere punktet i grader.

Som det fremgår av figuren, tilsvarer koordinaten til punktet lengden på segmentet. Lengden på segmentet tilsvarer koordinaten til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik. Lengden på et segment kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:

Så har vi det for punktkoordinaten.

Ved å bruke samme logikk finner vi y-koordinatverdien for punktet. Dermed,

Så inn generelt syn koordinater av punkter bestemmes av formlene:

Koordinater til sentrum av sirkelen,

Sirkelradius,

Rotasjonsvinkelen til vektorradiusen.

Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er lik null og radius er lik en:

Vel, la oss prøve disse formlene ved å øve på å finne punkter på en sirkel?

1. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.

2. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.

3. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.

4. Punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.

5. Punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.

Har du problemer med å finne koordinatene til et punkt på en sirkel?

Løs disse fem eksemplene (eller bli flink til å løse dem) så lærer du å finne dem!

SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Sinusen til en vinkel er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og hypotenusen.

Cosinus av en vinkel er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.

Tangensen til en vinkel er forholdet mellom motsatt (fjern) side og tilstøtende (nær) side.

Kotangensen til en vinkel er forholdet mellom den tilstøtende (nære) siden og den motsatte (fjerne) siden.

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.

Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, så er du på disse 5%!

Nå er det viktigste.

Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

Til vellykket gjennomføring Unified State Exam, for opptak til college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...

Folk som mottok en god utdannelse, tjene mye mer enn de som ikke fikk det. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er MER LYKKELIG (det finnes slike studier). Kanskje fordi mange flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?

FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.

Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.

Du vil trenge løse problemer mot tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.

Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.

Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

Lås opp alle skjulte oppgaver i denne artikkelen -
Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - Kjøp en lærebok - 499 RUR

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for HELE nettstedets levetid.

For å konkludere...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.

«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs dem!

Sentrert ved punkt A.
α er vinkelen uttrykt i radianer.

Tangent ( tan α) er en trigonometrisk funksjon avhengig av vinkelen α mellom hypotenusen og benet til en rettvinklet trekant, lik forholdet mellom lengden til det motsatte benet |BC|

til lengden av det tilstøtende benet |AB| . Cotangens () ctg α

er en trigonometrisk funksjon avhengig av vinkelen α mellom hypotenusen og benet til en rettvinklet trekant, lik forholdet mellom lengden til det tilstøtende benet |AB|

til lengden av motsatt ben |BC| . Tangent Hvor

n
.
;
;
.

- hel.

I vestlig litteratur er tangent betegnet som følger:

til lengden av motsatt ben |BC| . Tangent Hvor

Graf for tangentfunksjonen, y = tan x
.
Cotangens
;
;
.

I vestlig litteratur er cotangens betegnet som følger:

Følgende notasjoner godtas også:

Graf over cotangensfunksjonen, y = ctg x

Egenskaper til tangent og cotangens Periodisitet Funksjoner y = tg x og y =

ctg x

er periodiske med periode π.

Paritet

Tangent- og cotangensfunksjonene er odde. Tangent Definisjonsområder og verdier, økende, avtagende

	Tangent- og cotangensfunksjonene er kontinuerlige i sitt definisjonsdomene (se bevis på kontinuitet). Hovedegenskapene til tangent og cotangens er presentert i tabellen ( Periodisitet	Tangent- og cotangensfunksjonene er kontinuerlige i sitt definisjonsdomene (se bevis på kontinuitet). Hovedegenskapene til tangent og cotangens er presentert i tabellen ( tg x
- hel).
y =	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Omfang og kontinuitet		-
Rekkevidde av verdier	-
Økende	-	-
Synkende 0
Ekstremer 0	Tangent- og cotangensfunksjonene er kontinuerlige i sitt definisjonsdomene (se bevis på kontinuitet). Hovedegenskapene til tangent og cotangens er presentert i tabellen ( 0	-

Null, y =

Avskjæringspunkter med ordinataksen, x =

; ;
; ;
;

Formler

Uttrykk som bruker sinus og cosinus

Formler for tangent og cotangens fra sum og differanse

De resterende formlene er enkle å få tak i, for eksempel

Produkt av tangenter

Formel for summen og differansen av tangenter

Denne tabellen presenterer verdiene til tangenter og cotangenser for visse verdier av argumentet.

;
;

Uttrykk som bruker komplekse tall

; .

.
Uttrykk gjennom hyperbolske funksjoner
.
Derivater

Derivert av n-te orden med hensyn til variabelen x i funksjonen:

Utlede formler for tangent > > > ; for cotangens > > >

Integraler Serieutvidelser Og For å få utvidelsen av tangenten i potenser av x, må du ta flere ledd av utvidelsen i en potensserie for funksjonene synd x

fordi x

og dele disse polynomene med hverandre, .
Dette gir følgende formler. kl. kl.
;
;
Hvor
Bn

- Bernoulli-tall. De bestemmes enten fra gjentakelsesrelasjonen:

Hvor .

Eller i henhold til Laplaces formel:

Inverse funksjoner Tangent Hvor

De inverse funksjonene til tangent og cotangens er henholdsvis arctangent og arccotangent.

Inverse funksjoner Tangent Hvor

Arctangens, arctg
, Hvor
Arccotangens, arcctg

Begrepene sinus, cosinus, tangens og cotangens er hovedkategoriene for trigonometri, en gren av matematikk, og er uløselig knyttet til definisjonen av vinkel. Mestring av denne matematiske vitenskapen krever memorering og forståelse av formler og teoremer, samt utviklet romlig tenkning. Dette er grunnen til at trigonometriske beregninger ofte forårsaker vanskeligheter for skolebarn og elever. For å overvinne dem, bør du bli mer kjent med trigonometriske funksjoner og formler.

Begreper i trigonometri

For å forstå de grunnleggende begrepene i trigonometri, må du først forstå hva en rettvinklet trekant og en vinkel i en sirkel er, og hvorfor alle grunnleggende trigonometriske beregninger er knyttet til dem. En trekant der en av vinklene måler 90 grader er rektangulær. Historisk sett ble denne figuren ofte brukt av mennesker innen arkitektur, navigasjon, kunst og astronomi. Følgelig, ved å studere og analysere egenskapene til denne figuren, kom folk til å beregne tilsvarende forhold mellom parameterne.

Hovedkategoriene knyttet til rette trekanter er hypotenusen og bena. Hypotenusen er siden av en trekant motsatt den rette vinkelen. Bena er henholdsvis de resterende to sidene. Summen av vinklene til alle trekanter er alltid 180 grader.

Sfærisk trigonometri er en del av trigonometri som ikke studeres på skolen, men i anvendte vitenskaper som astronomi og geodesi bruker forskere den. Det særegne ved en trekant i sfærisk trigonometri er at den alltid har en sum av vinkler som er større enn 180 grader.

Vinkler av en trekant

I en rettvinklet trekant er sinusen til en vinkel forholdet mellom benet motsatt ønsket vinkel og hypotenusen til trekanten. Følgelig er cosinus forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen. Begge disse verdiene har alltid en størrelse mindre enn én, siden hypotenusen alltid er lengre enn benet.

Tangensen til en vinkel er en verdi lik forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side av ønsket vinkel, eller sinus til cosinus. Cotangens er på sin side forholdet mellom den tilstøtende siden av ønsket vinkel og motsatt side. Kotangensen til en vinkel kan også oppnås ved å dele en på tangentverdien.

Enhetssirkel

En enhetssirkel i geometri er en sirkel hvis radius er lik én. En slik sirkel er konstruert i et kartesisk koordinatsystem, med sentrum av sirkelen sammenfallende med opprinnelsespunktet, og startposisjonen til radiusvektoren bestemmes langs den positive retningen til X-aksen (abscisse-aksen). Hvert punkt på sirkelen har to koordinater: XX og YY, det vil si koordinatene til abscissen og ordinaten. Ved å velge et hvilket som helst punkt på sirkelen i XX-planet og slippe en perpendikulær fra den til abscisseaksen, får vi en rettvinklet trekant dannet av radius til det valgte punktet (angitt med bokstaven C), vinkelrett tegnet til X-aksen (skjæringspunktet er angitt med bokstaven G), og segmentet abscisseaksen er mellom opprinnelsen til koordinatene (punktet er angitt med bokstaven A) og skjæringspunktet G. Den resulterende trekanten ACG er en rettvinklet trekant innskrevet i en sirkel, der AG er hypotenusen, og AC og GC er bena. Vinkelen mellom radiusen til sirkelen AC og segmentet til abscisseaksen med betegnelsen AG er definert som α (alfa). Så, cos α = AG/AC. Tatt i betraktning at AC er radiusen til enhetssirkelen, og den er lik én, viser det seg at cos α=AG. På samme måte er sin α=CG.

I tillegg, ved å kjenne disse dataene, kan du bestemme koordinaten til punkt C på sirkelen, siden cos α=AG, og sin α=CG, som betyr at punkt C har de gitte koordinatene (cos α;sin α). Når vi vet at tangenten er lik forholdet mellom sinus og cosinus, kan vi bestemme at tan α = y/x, og cot α = x/y. Ved å vurdere vinkler i et negativt koordinatsystem kan du beregne at sinus- og cosinusverdiene til noen vinkler kan være negative.

Beregninger og grunnleggende formler

Trigonometriske funksjonsverdier

Etter å ha vurdert essensen av trigonometriske funksjoner gjennom enhetssirkelen, kan vi utlede verdiene til disse funksjonene for noen vinkler. Verdiene er oppført i tabellen nedenfor.

De enkleste trigonometriske identitetene

Ligninger der tegnet til den trigonometriske funksjonen inneholder ukjent verdi, kalles trigonometriske. Identiteter med verdien sin x = α, k - et hvilket som helst heltall:

sin x = 0, x = πk.
2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
sin x = a, |a| > 1, ingen løsninger.
sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identiteter med verdien cos x = a, der k er et hvilket som helst heltall:

cos x = 0, x = π/2 + πk.
cos x = 1, x = 2πk.
cos x = -1, x = π + 2πk.
cos x = a, |a| > 1, ingen løsninger.
cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Identiteter med verdien tg x = a, der k er et hvilket som helst heltall:

tan x = 0, x = π/2 + πk.
tan x = a, x = arctan α + πk.

Identiteter med verdien ctg x = a, der k er et hvilket som helst heltall:

barneseng x = 0, x = π/2 + πk.
ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Reduksjonsformler

Denne kategorien med konstante formler angir metoder som du kan bruke til å flytte fra trigonometriske funksjoner av formen til funksjoner av et argument, det vil si redusere sinus, cosinus, tangent og cotangens til en vinkel av en hvilken som helst verdi til de tilsvarende indikatorene for vinkelen til intervallet fra 0 til 90 grader for større bekvemmelighet med beregninger.

Formler for å redusere funksjoner for sinus til en vinkel ser slik ut:

sin(900 - α) = α;
sin(900 + α) = cos α;
sin(1800 - α) = sin α;
sin(1800 + α) = -sin α;
sin(2700 - α) = -cos α;
sin(2700 + α) = -cos α;
sin(3600 - α) = -sin α;
sin(3600 + α) = sin α.

For cosinus av vinkel:

cos(900 - α) = sin α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sin α;
cos(2700 + α) = sin α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

Bruken av formlene ovenfor er mulig med to regler. For det første, hvis vinkelen kan representeres som en verdi (π/2 ± a) eller (3π/2 ± a), endres verdien av funksjonen:

fra synd til cos;
fra cos til synd;
fra tg til ctg;
fra ctg til tg.

Verdien av funksjonen forblir uendret hvis vinkelen kan representeres som (π ± a) eller (2π ± a).

For det andre endres ikke tegnet på den reduserte funksjonen: hvis det opprinnelig var positivt, forblir det slik. Samme med negative funksjoner.

Addisjonsformler

Disse formlene uttrykker verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens av summen og differansen til to rotasjonsvinkler gjennom deres trigonometriske funksjoner. Vinklene er typisk betegnet som α og β.

Formlene ser slik ut:

sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Disse formlene er gyldige for alle vinkler α og β.

Dobbel og trippel vinkel formler

De trigonometriske formlene med dobbel og trippel vinkel er formler som relaterer funksjonene til henholdsvis vinklene 2α og 3α til de trigonometriske funksjonene til vinkelen α. Avledet fra addisjonsformler:

sin2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 - 2sin^2 α.
tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Overgang fra sum til produkt

Tatt i betraktning at 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), ved å forenkle denne formelen, får vi identiteten sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Tilsvarende sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tga - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Overgang fra produkt til sum

Disse formlene følger av identiteten til overgangen til en sum til et produkt:

sinα * sinβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2*.

Formler for gradreduksjon

I disse identitetene kan kvadrat- og kubikkpotensene til sinus og cosinus uttrykkes i form av sinus og cosinus til første potens av en multippel vinkel:

sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universell substitusjon

Formler for universell trigonometrisk substitusjon uttrykker trigonometriske funksjoner i form av tangenten til en halv vinkel.

sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), med x = π + 2πn;
cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), hvor x = π + 2πn;
tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), hvor x = π + 2πn;
barneseng x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), med x = π + 2πn.

Spesielle tilfeller

Spesielle tilfeller av protozoer trigonometriske ligninger er gitt nedenfor (k er et hvilket som helst heltall).

Kvotienter for sinus:

Sin x-verdi	x-verdi
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk eller 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk eller -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk eller 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk eller -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk eller 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk eller -2π/3 + 2πk

Quotients for cosinus:

cos x verdi	x-verdi
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Kvotienter for tangent:

tg x-verdi	x-verdi
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kvotienter for cotangens:

ctg x-verdi	x-verdi
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoremer

Teorem for sinus

Det er to versjoner av teoremet - enkel og utvidet. Enkel sinussetning: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. I dette tilfellet er a, b, c sidene av trekanten, og α, β, γ er henholdsvis de motsatte vinklene.

Utvidet sinussetning for en vilkårlig trekant: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. I denne identiteten betegner R radiusen til sirkelen der den gitte trekanten er innskrevet.

Cosinus teorem

Identiteten vises som følger: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. I formelen er a, b, c sidene i trekanten, og α er vinkelen motsatt side a.

Tangentteorem

Formelen uttrykker forholdet mellom tangentene til to vinkler og lengden på sidene overfor dem. Sidene er merket a, b, c, og de tilsvarende motstående vinklene er α, β, γ. Formel for tangentsetningen: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Cotangens teorem

Forbinder radiusen til en sirkel innskrevet i en trekant med lengden på sidene. Hvis a, b, c er sidene av trekanten, og henholdsvis A, B, C er vinklene overfor dem, r er radien til den innskrevne sirkelen, og p er halvperimeteren til trekanten, følgende identiteter er gyldige:

barneseng A/2 = (p-a)/r;
barneseng B/2 = (p-b)/r;
sprinkelseng C/2 = (p-c)/r.

applikasjon

Trigonometri er ikke bare en teoretisk vitenskap knyttet til matematiske formler. Dens egenskaper, teoremer og regler brukes i praksis av ulike bransjer. menneskelig aktivitet- astronomi, luft og sjønavigasjon, musikkteori, geodesi, kjemi, akustikk, optikk, elektronikk, arkitektur, økonomi, maskinteknikk, målearbeid, datagrafikk, kartografi, oseanografi og mange andre.

Sinus, cosinus, tangent og cotangens er trigonometriens grunnleggende begreper, ved hjelp av disse kan man matematisk uttrykke sammenhengene mellom vinklene og lengdene på sidene i en trekant, og finne de nødvendige størrelsene gjennom identiteter, teoremer og regler.