Hvordan finne alle røttene til en ligning som tilhører et segment. Trigonometriske ligninger

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige organer i Den russiske føderasjonen - å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Å løse vellykket trigonometriske ligninger praktisk å bruke reduksjonsmetode til tidligere løste problemer. La oss finne ut hva essensen av denne metoden er?

I ethvert foreslått problem må du se et tidligere løst problem, og deretter, ved å bruke påfølgende ekvivalente transformasjoner, prøve å redusere problemet gitt til deg til et enklere.

Når de løser trigonometriske ligninger, lager de derfor vanligvis en viss begrenset sekvens av ekvivalente ligninger, hvor den siste lenken er en ligning med en åpenbar løsning. Det er bare viktig å huske at hvis ferdighetene for å løse de enkleste trigonometriske ligningene ikke er utviklet, vil det å løse mer komplekse ligninger være vanskelig og ineffektivt.

I tillegg, når du løser trigonometriske ligninger, bør du aldri glemme at det er flere mulige løsningsmetoder.

Eksempel 1. Finn antall røtter til ligningen cos x = -1/2 på intervallet.

Løsning:

Metode I. La oss plotte funksjonene y = cos x og y = -1/2 og finne antall fellespunkter på intervallet (fig. 1).

Siden grafene til funksjoner har to felles punkter på intervallet, inneholder ligningen to røtter på dette intervallet.

II metode. Ved hjelp av en trigonometrisk sirkel (fig. 2) finner vi ut antall punkter som tilhører intervallet der cos x = -1/2. Figuren viser at ligningen har to røtter.

III metode. Ved å bruke formelen for røttene til den trigonometriske ligningen, løser vi ligningen cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – heltall (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – heltall (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – heltall (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – heltall (k € Z).

Intervallet inneholder røttene 2π/3 og -2π/3 + 2π, k er et heltall. Dermed har ligningen to røtter på et gitt intervall.

Svar: 2.

I fremtiden vil trigonometriske ligninger løses ved hjelp av en av de foreslåtte metodene, som i mange tilfeller ikke utelukker bruk av andre metoder.

Eksempel 2. Finn antall løsninger til ligningen tg (x + π/4) = 1 på intervallet [-2π; 2π].

Løsning:

Ved å bruke formelen for røttene til en trigonometrisk ligning får vi:

x + π/4 = arktan 1 + πk, k – heltall (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – heltall (k € Z);

x = πk, k – heltall (k € Z);

Intervallet [-2π; 2π] tilhører tallene -2π; -π; 0; π; 2π. Så ligningen har fem røtter på et gitt intervall.

Svar: 5.

Eksempel 3. Finn antall røtter til ligningen cos 2 x + sin x · cos x = 1 på intervallet [-π; π].

Løsning:

Siden 1 = sin 2 x + cos 2 x (den grunnleggende trigonometriske identiteten), har den opprinnelige ligningen formen:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x – sin x cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Produktet er lik null, noe som betyr at minst én av faktorene må være lik null, derfor:

sin x = 0 eller sin x – cos x = 0.

Siden verdiene til variabelen der cos x = 0 ikke er røttene til den andre ligningen (sinus og cosinus til samme tall kan ikke være lik null samtidig), deler vi begge sider av den andre ligningen av cos x:

sin x = 0 eller sin x / cos x - 1 = 0.

I den andre ligningen bruker vi det faktum at tg x = sin x / cos x, da:

sin x = 0 eller tan x = 1. Ved å bruke formler har vi:

x = πk eller x = π/4 + πk, k – heltall (k € Z).

Fra den første rekken med røtter til intervallet [-π; π] tilhører tallene -π; 0; π. Fra den andre serien: (π/4 – π) og π/4.

Dermed tilhører de fem røttene til den opprinnelige ligningen intervallet [-π; π].

Svar: 5.

Eksempel 4. Finn summen av røttene til ligningen tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 på intervallet [-π; 1.1π].

Løsning:

La oss omskrive ligningen som følger:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 og gjør en erstatning.

La tg x + сtgx = a. La oss kvadrere begge sider av ligningen:

(tg x + сtg x) 2 = a 2. La oss utvide parentesene:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.

Siden tg x · сtgx = 1, så er tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, som betyr

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.

Nå ser den opprinnelige ligningen slik ut:

a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Ved å bruke Vietas teorem finner vi at a = -1 eller a = -2.

La oss gjøre omvendt erstatning, vi har:

tg x + сtgx = -1 eller tg x + сtgx = -2. La oss løse de resulterende ligningene.

tg x + 1/tgx = -1 eller tg x + 1/tgx = -2.

Ved egenskapen til to gjensidig inverse tall bestemmer vi at den første ligningen ikke har noen røtter, og fra den andre ligningen har vi:

tg x = -1, dvs. x = -π/4 + πk, k – heltall (k € Z).

Intervall [-π; 1,1π] tilhører røttene: -π/4; -π/4 + π. Summen deres:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Svar: π/2.

Eksempel 5. Finn det aritmetiske gjennomsnittet av røttene til ligningen sin 3x + sin x = sin 2x på intervallet [-π; 0,5π].

Løsning:

La oss bruke formelen sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), deretter

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x og ligningen blir

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. La oss ta den felles faktoren sin 2x ut av parentes

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Løs den resulterende ligningen:

sin 2x = 0 eller 2cos x – 1 = 0;

sin 2x = 0 eller cos x = 1/2;

2x = πk eller x = ±π/3 + 2πk, k – heltall (k € Z).

Dermed har vi røtter

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – heltall (k € Z).

Intervall [-π; 0,5π] tilhører røttene -π; -π/2; 0; π/2 (fra den første serien med røtter); π/3 (fra den andre serien); -π/3 (fra den tredje serien). Deres aritmetiske gjennomsnitt er:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Svar: -π/6.

Eksempel 6. Finn antall røtter til ligningen sin x + cos x = 0 på intervallet [-1,25π; 2π].

Løsning:

Denne ligningen er en homogen ligning av første grad. La oss dele begge delene med cosx (verdiene til variabelen der cos x = 0 er ikke røttene til denne ligningen, siden sinus og cosinus til samme tall ikke kan være lik null på samme tid). Den opprinnelige ligningen er:

x = -π/4 + πk, k – heltall (k € Z).

Intervallet [-1,25π; 2π] tilhører røttene -π/4; (-π/4 + π); og (-π/4 + 2π).

Dermed inneholder det gitte intervallet tre røtter av ligningen.

Svar: 3.

Lær å gjøre det viktigste - forestill deg tydelig en plan for å løse et problem, og da vil enhver trigonometrisk ligning være innenfor rekkevidde.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser trigonometriske ligninger?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.

Å løse vellykket trigonometriske ligninger praktisk å bruke reduksjonsmetode til tidligere løste problemer. La oss finne ut hva essensen av denne metoden er?

I ethvert foreslått problem må du se et tidligere løst problem, og deretter, ved å bruke påfølgende ekvivalente transformasjoner, prøve å redusere problemet gitt til deg til et enklere.

I tillegg, når du løser trigonometriske ligninger, bør du aldri glemme at det er flere mulige løsningsmetoder.

Eksempel 1. Finn antall røtter til ligningen cos x = -1/2 på intervallet.

Løsning:

Metode I. La oss plotte funksjonene y = cos x og y = -1/2 og finne antall fellespunkter på intervallet (fig. 1).

Siden grafene til funksjoner har to felles punkter på intervallet, inneholder ligningen to røtter på dette intervallet.

II metode. Ved hjelp av en trigonometrisk sirkel (fig. 2) finner vi ut antall punkter som tilhører intervallet der cos x = -1/2. Figuren viser at ligningen har to røtter.

III metode. Ved å bruke formelen for røttene til den trigonometriske ligningen, løser vi ligningen cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – heltall (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – heltall (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – heltall (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – heltall (k € Z).

Intervallet inneholder røttene 2π/3 og -2π/3 + 2π, k er et heltall. Dermed har ligningen to røtter på et gitt intervall.

Svar: 2.

I fremtiden vil trigonometriske ligninger løses ved hjelp av en av de foreslåtte metodene, som i mange tilfeller ikke utelukker bruk av andre metoder.

Eksempel 2. Finn antall løsninger til ligningen tg (x + π/4) = 1 på intervallet [-2π; 2π].

Løsning:

Ved å bruke formelen for røttene til en trigonometrisk ligning får vi:

x + π/4 = arktan 1 + πk, k – heltall (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – heltall (k € Z);

x = πk, k – heltall (k € Z);

Intervallet [-2π; 2π] tilhører tallene -2π; -π; 0; π; 2π. Så ligningen har fem røtter på et gitt intervall.

Svar: 5.

Eksempel 3. Finn antall røtter til ligningen cos 2 x + sin x · cos x = 1 på intervallet [-π; π].

Løsning:

Siden 1 = sin 2 x + cos 2 x (den grunnleggende trigonometriske identiteten), har den opprinnelige ligningen formen:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x – sin x cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Produktet er lik null, noe som betyr at minst én av faktorene må være lik null, derfor:

sin x = 0 eller sin x – cos x = 0.

sin x = 0 eller sin x / cos x - 1 = 0.

I den andre ligningen bruker vi det faktum at tg x = sin x / cos x, da:

sin x = 0 eller tan x = 1. Ved å bruke formler har vi:

x = πk eller x = π/4 + πk, k – heltall (k € Z).

Fra den første rekken med røtter til intervallet [-π; π] tilhører tallene -π; 0; π. Fra den andre serien: (π/4 – π) og π/4.

Dermed tilhører de fem røttene til den opprinnelige ligningen intervallet [-π; π].

Svar: 5.

Eksempel 4. Finn summen av røttene til ligningen tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 på intervallet [-π; 1.1π].

Løsning:

La oss omskrive ligningen som følger:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 og gjør en erstatning.

La tg x + сtgx = a. La oss kvadrere begge sider av ligningen:

(tg x + сtg x) 2 = a 2. La oss utvide parentesene:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.

Siden tg x · сtgx = 1, så er tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, som betyr

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.

Nå ser den opprinnelige ligningen slik ut:

a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Ved å bruke Vietas teorem finner vi at a = -1 eller a = -2.

La oss gjøre omvendt erstatning, vi har:

tg x + сtgx = -1 eller tg x + сtgx = -2. La oss løse de resulterende ligningene.

tg x + 1/tgx = -1 eller tg x + 1/tgx = -2.

Ved egenskapen til to gjensidig inverse tall bestemmer vi at den første ligningen ikke har noen røtter, og fra den andre ligningen har vi:

tg x = -1, dvs. x = -π/4 + πk, k – heltall (k € Z).

Intervall [-π; 1,1π] tilhører røttene: -π/4; -π/4 + π. Summen deres:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Svar: π/2.

Eksempel 5. Finn det aritmetiske gjennomsnittet av røttene til ligningen sin 3x + sin x = sin 2x på intervallet [-π; 0,5π].

Løsning:

La oss bruke formelen sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), deretter

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x og ligningen blir

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. La oss ta den felles faktoren sin 2x ut av parentes

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Løs den resulterende ligningen:

sin 2x = 0 eller 2cos x – 1 = 0;

sin 2x = 0 eller cos x = 1/2;

2x = πk eller x = ±π/3 + 2πk, k – heltall (k € Z).

Dermed har vi røtter

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – heltall (k € Z).

Intervall [-π; 0,5π] tilhører røttene -π; -π/2; 0; π/2 (fra den første serien med røtter); π/3 (fra den andre serien); -π/3 (fra den tredje serien). Deres aritmetiske gjennomsnitt er:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Svar: -π/6.

Eksempel 6. Finn antall røtter til ligningen sin x + cos x = 0 på intervallet [-1,25π; 2π].

Løsning:

x = -π/4 + πk, k – heltall (k € Z).

Intervallet [-1,25π; 2π] tilhører røttene -π/4; (-π/4 + π); og (-π/4 + 2π).

Dermed inneholder det gitte intervallet tre røtter av ligningen.

Svar: 3.

Lær å gjøre det viktigste - forestill deg tydelig en plan for å løse et problem, og da vil enhver trigonometrisk ligning være innenfor rekkevidde.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser trigonometriske ligninger?
For å få hjelp fra en veileder -.

blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.

På din forespørsel!

13. Løs ligningen 3-4cos 2 x=0. Finn summen av røttene som tilhører intervallet.

La oss redusere graden av cosinus ved å bruke formelen: 1+cos2α=2cos 2 α. Vi får en ekvivalent ligning:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Vi deler begge sider av likheten med (-2) og får den enkleste trigonometriske ligningen:

14. Finn b 5 av den geometriske progresjonen hvis b 4 =25 og b 6 =16.

Hvert ledd i den geometriske progresjonen, fra det andre, er lik det aritmetiske gjennomsnittet av naboleddene:

(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1. Vi har (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20.

15. Finn den deriverte av funksjonen: f(x)=tgx-ctgx.

16. Finn de største og minste verdiene av funksjonen y(x)=x 2 -12x+27

på segmentet.

For å finne de største og minste verdiene til en funksjon y=f(x) på segmentet, må du finne verdiene til denne funksjonen i enden av segmentet og på de kritiske punktene som tilhører dette segmentet, og deretter velge den største og minste fra alle de oppnådde verdiene.

La oss finne verdiene til funksjonen ved x=3 og ved x=7, dvs. på slutten av segmentet.

y(3)=32-12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=72 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

Finn den deriverte av denne funksjonen: y’(x)=(x 2 -12x+27)’ =2x-12=2(x-6); det kritiske punktet x=6 tilhører dette intervallet. La oss finne verdien av funksjonen ved x=6.

y(6)=62 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. Nå velger vi fra de tre oppnådde verdiene: 0; -8 og -9 største og minste: på den største. =0; ved navn =-9.

17. Finn den generelle formen for antiderivater for funksjonen:

Dette intervallet er definisjonsdomenet for denne funksjonen. Svar bør begynne med F(x), og ikke med f(x) - vi leter tross alt etter en antiderivert. Per definisjon er funksjonen F(x) en antiderivert av funksjonen f(x) dersom likheten gjelder: F’(x)=f(x). Så du kan ganske enkelt finne deriverte av de foreslåtte svarene til du får den gitte funksjonen. En streng løsning er beregningen av integralet til en gitt funksjon. Vi bruker formlene:

19. Skriv en ligning for linjen som inneholder medianen BD av trekanten ABC hvis toppunktene er A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).

For å kompilere ligningen til en linje, må du kjenne koordinatene til 2 punkter på denne linjen, men vi kjenner bare koordinatene til punkt B. Siden medianen BD deler motsatt side i to, er punkt D midtpunktet til segmentet AC. Koordinatene til midten av et segment er halvsummene av de tilsvarende koordinatene til endene av segmentet. La oss finne koordinatene til punkt D.