Sentrert ved punkt A.
α er vinkelen uttrykt i radianer.

Tangent ( tan α) er en trigonometrisk funksjon avhengig av vinkelen α mellom hypotenusen og benet høyre trekant, lik forholdet mellom lengden på motsatt side |BC|

til lengden av det tilstøtende benet |AB| . Cotangens () ctg α

er en trigonometrisk funksjon avhengig av vinkelen α mellom hypotenusen og benet til en rettvinklet trekant, lik forholdet mellom lengden til det tilstøtende benet |AB|

til lengden av motsatt ben |BC| . Tangent Hvor

n
.
;
;
.

- hel.

I vestlig litteratur er tangent betegnet som følger:

til lengden av motsatt ben |BC| . Tangent Hvor

Graf for tangentfunksjonen, y = tan x
.
Cotangens
;
;
.

I vestlig litteratur er cotangens betegnet som følger:

Følgende notasjoner godtas også:

Graf over cotangensfunksjonen, y = ctg x

Egenskaper til tangent og cotangens Periodisitet Funksjoner y = tg x og y =

ctg x

er periodiske med periode π.

Paritet

Tangent- og cotangensfunksjonene er odde. Tangent Definisjonsområder og verdier, økende, avtagende

	Tangent- og cotangensfunksjonene er kontinuerlige i sitt definisjonsdomene (se bevis på kontinuitet). Hovedegenskapene til tangent og cotangens er presentert i tabellen ( Periodisitet	Tangent- og cotangensfunksjonene er kontinuerlige i sitt definisjonsdomene (se bevis på kontinuitet). Hovedegenskapene til tangent og cotangens er presentert i tabellen ( tg x
- hel).
y =	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Omfang og kontinuitet		-
Rekkevidde av verdier	-
Økende	-	-
Synkende 0
Ekstremer 0	Tangent- og cotangensfunksjonene er kontinuerlige i sitt definisjonsdomene (se bevis på kontinuitet). Hovedegenskapene til tangent og cotangens er presentert i tabellen ( 0	-

Null, y =

Avskjæringspunkter med ordinataksen, x =

; ;
; ;
;

Formler

Uttrykk som bruker sinus og cosinus

Formler for tangent og cotangens fra sum og differanse

De resterende formlene er enkle å få tak i, for eksempel

Produkt av tangenter

Formel for summen og differansen av tangenter

Denne tabellen presenterer verdiene til tangenter og cotangenser for visse verdier av argumentet.

;
;

Uttrykk som bruker komplekse tall

; .

.
Uttrykk gjennom hyperbolske funksjoner
.
Derivater

Derivert av n-te orden med hensyn til variabelen x i funksjonen:

Utlede formler for tangent > > > ; for cotangens > > >

Integraler Serieutvidelser For å få utvidelsen av tangenten i potenser av x, må du ta flere ledd av utvidelsen i en potensserie for funksjonene synd x Og

fordi x

og dele disse polynomene med hverandre, .
Dette gir følgende formler. kl. kl.
;
;
Hvor
Bn

- Bernoulli-tall. De bestemmes enten fra gjentakelsesrelasjonen:

Hvor .

Eller i henhold til Laplaces formel:

Inverse funksjoner Tangent Hvor

De inverse funksjonene til tangent og cotangens er henholdsvis arctangent og arccotangent.

Inverse funksjoner Tangent Hvor

Arctangens, arctg
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.

Lar deg etablere en rekke karakteristiske resultater - egenskapene til sinus, cosinus, tangens og cotangens. I denne artikkelen skal vi se på tre hovedegenskaper. Den første av dem indikerer fortegnene for sinus, cosinus, tangens og cotangens til vinkelen α avhengig av vinkelen for hvilken koordinatfjerding er α. Deretter vil vi vurdere egenskapen periodisitet, som etablerer invariansen til verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens til vinkelen α når denne vinkelen endres med et heltall av omdreininger. Den tredje egenskapen uttrykker forholdet mellom verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens av motsatte vinkler α og −α.

Hvis du er interessert i egenskapene til funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens, kan du studere dem i den tilsvarende delen av artikkelen.

Sidenavigering.

Tegn på sinus, cosinus, tangens og cotangens etter kvartaler

Nedenfor i dette avsnittet vil uttrykket "vinkel av I, II, III og IV koordinatkvartal" vises. La oss forklare hva disse vinklene er.

La oss ta en enhetssirkel, markere startpunktet A(1, 0) på den, og rotere den rundt punktet O med en vinkel α, og vi vil anta at vi kommer til punktet A 1 (x, y).

De sier det vinkel α er vinkelen til I, II, III, IV koordinatkvadranten, hvis punkt A 1 ligger i henholdsvis I, II, III, IV kvartalene; hvis vinkelen α er slik at punktet A 1 ligger på noen av koordinatlinjene Ox eller Oy, så hører ikke denne vinkelen til noen av de fire kvartalene.

For klarhet, her er en grafisk illustrasjon. Tegningene nedenfor viser rotasjonsvinkler på 30, -210, 585 og -45 grader, som er vinklene til henholdsvis I, II, III og IV koordinatkvartaler.

Vinkler 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grader hører ikke til noen av koordinatkvartalene.

La oss nå finne ut hvilke tegn som har verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for rotasjonsvinkelen α, avhengig av hvilken kvartvinkel α er.

For sinus og cosinus er dette enkelt å gjøre.

Per definisjon er sinusen til vinkelen α ordinaten til punktet A 1. Åpenbart, i I- og II-koordinatkvartalene er det positivt, og i III- og IV-kvartalene er det negativt. Dermed har sinusen til vinkelen α et plusstegn i 1. og 2. kvartal, og et minustegn i 3. og 6. kvartal.

I sin tur er cosinus til vinkelen α abscissen til punktet A 1. I I og IV kvartalene er det positivt, og i II og III kvartalene er det negativt. Følgelig er verdiene til cosinus til vinkelen α i I- og IV-kvartalene positive, og i II- og III-kvartalene er de negative.

For å bestemme tegnene etter kvarte av tangent og cotangens, må du huske definisjonene deres: tangent er forholdet mellom ordinaten til punkt A 1 og abscissen, og cotangens er forholdet mellom abscissen til punkt A 1 og ordinaten. Så fra regler for deling av tall med samme og forskjellige tegn det følger at tangent og cotangens har et plusstegn når abscissen og ordinattegnene til punkt A 1 er like, og har et minustegn når abscissen og ordinattegnene til punkt A 1 er forskjellige. Følgelig har tangenten og cotangensen til vinkelen et +-tegn i I- og III-koordinatkvartalene, og et minustegn i II- og IV-kvartalene.

Faktisk, for eksempel, i første kvartal er både abscissen x og ordinaten y til punkt A 1 positive, da er både kvotienten x/y og kvotienten y/x positive, derfor har tangent og cotangens +-tegn. Og i andre kvartal er abscissen x negativ, og ordinaten y er positiv, derfor er både x/y og y/x negative, derfor har tangenten og cotangensen et minustegn.

La oss gå videre til neste egenskap for sinus, cosinus, tangens og cotangens.

Periodisitetsegenskap

Nå skal vi se på den kanskje mest åpenbare egenskapen til sinus, cosinus, tangens og cotangens til en vinkel. Det er som følger: når vinkelen endres med et helt antall hele omdreininger, endres ikke verdiene til sinus, cosinus, tangent og cotangens til denne vinkelen.

Dette er forståelig: når vinkelen endres med et helt antall omdreininger, vil vi alltid komme fra startpunktet A til punktet A 1 på enhetssirkelen, derfor forblir verdiene til sinus, cosinus, tangent og cotangens uendret, siden koordinatene til punkt A 1 er uendret.

Ved å bruke formler kan den betraktede egenskapen til sinus, cosinus, tangens og cotangens skrives som følger: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , der α er rotasjonsvinkelen i radianer, z er hvilken som helst , absolutt verdi som angir antall hele omdreininger som vinkelen α endres med, og tegnet til tallet z angir rotasjonsretningen.

Hvis rotasjonsvinkelen α er spesifisert i grader, vil de angitte formlene skrives om som sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(a+360°·z)=ctga.

La oss gi eksempler på bruk av denne egenskapen. For eksempel, , fordi , A . Her er et annet eksempel: eller .

Denne egenskapen, sammen med reduksjonsformler, brukes veldig ofte når man beregner verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for "store" vinkler.

Den betraktede egenskapen til sinus, cosinus, tangens og cotangens kalles noen ganger egenskapen periodisitet.

Egenskaper til sinus, cosinus, tangens og cotangens av motsatte vinkler

La A 1 være punktet oppnådd ved å rotere startpunktet A(1, 0) rundt punktet O med en vinkel α, og punktet A 2 være resultatet av å rotere punktet A med en vinkel −α, motsatt av vinkelen α.

Egenskapen til sinus, cosinus, tangenter og cotangenter av motsatte vinkler er basert på et ganske åpenbart faktum: punktene A 1 og A 2 nevnt ovenfor enten sammenfaller (at) eller er plassert symmetrisk i forhold til okseaksen. Det vil si at hvis punkt A 1 har koordinater (x, y), så vil punkt A 2 ha koordinater (x, −y). Herfra, ved å bruke definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens, skriver vi likhetene og .
Ved å sammenligne dem kommer vi til forhold mellom sinus, cosinus, tangenter og cotangenter av motsatte vinkler α og −α av formen.
Dette er egenskapen som vurderes i form av formler.

La oss gi eksempler på bruk av denne egenskapen. For eksempel likestillingene og .

Det gjenstår bare å merke seg at egenskapen til sinus, cosinus, tangenter og cotangens av motsatte vinkler, som den forrige egenskapen, ofte brukes når du beregner verdiene til sinus, cosinus, tangent og cotangens, og lar deg unngå negativ helt vinkler.

Bibliografi.

• Algebra: Lærebok for 9. klasse. gj.sn. skole/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Utdanning, 1990. - 272 s.: ill
• Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. allmennutdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. utg. - M.: Utdanning, 2004. - 384 s.: ill.
• Bashmakov M. I. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok. for 10-11 klassetrinn. gj.sn. skole - 3. utg. - M.: Utdanning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

Tabell over verdier trigonometriske funksjoner

Merk. Denne tabellen med trigonometriske funksjonsverdier bruker √-tegnet for å indikere kvadratrot. For å indikere en brøk, bruk symbolet "/".

se også nyttige materialer:

Til bestemme verdien av en trigonometrisk funksjon, finn den i skjæringspunktet mellom linjen som indikerer den trigonometriske funksjonen. For eksempel, sinus 30 grader - vi ser etter kolonnen med overskriften sin (sinus) og finner skjæringspunktet mellom denne tabellkolonnen med raden "30 grader", i skjæringspunktet deres leser vi resultatet - halvparten. Tilsvarende finner vi kosinus 60 grader, sinus 60 grader (nok en gang, i skjæringspunktet mellom sin-kolonnen og 60-graderslinjen finner vi verdien sin 60 = √3/2), etc. Verdiene til sinus, cosinus og tangenter til andre "populære" vinkler finnes på samme måte.

Sinus pi, cosinus pi, tangent pi og andre vinkler i radianer

Tabellen nedenfor over cosinus, sinus og tangenter er også egnet for å finne verdien av trigonometriske funksjoner hvis argument er gitt i radianer. For å gjøre dette, bruk den andre kolonnen med vinkelverdier. Takket være dette kan du konvertere verdien av populære vinkler fra grader til radianer. La oss for eksempel finne vinkelen på 60 grader i den første linjen og lese verdien i radianer under den. 60 grader er lik π/3 radianer.

Tallet pi uttrykker entydig omkretsens avhengighet av gradsmål hjørne. Dermed er pi-radianer lik 180 grader.

Ethvert tall uttrykt i form av pi (radianer) kan enkelt konverteres til grader ved å erstatte pi (π) med 180.

Eksempler:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
dermed er sinusen til pi den samme som sinusen til 180 grader og den er lik null.

2. Cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
dermed er cosinus til pi den samme som cosinus på 180 grader, og den er lik minus én.

3. Tangent pi
tg π = tg 180 = 0
dermed er tangent pi det samme som tangent 180 grader, og det er lik null.

Tabell over sinus, cosinus, tangensverdier for vinkler 0 - 360 grader (vanlige verdier)

vinkel α verdi (grader)	vinkel α verdi i radianer (via pi)	synd (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (cotangens)	sek (sekant)	cosec (cosecant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Hvis det i tabellen over verdier for trigonometriske funksjoner er angitt en strek i stedet for funksjonsverdien (tangens (tg) 90 grader, cotangens (ctg) 180 grader), så for en gitt verdi av gradmålet for vinkelen funksjonen har ikke en bestemt verdi. Hvis det ikke er noen bindestrek, er cellen tom, noe som betyr at vi ennå ikke har angitt den nødvendige verdien. Vi er interessert i hvilke spørsmål brukere kommer til oss for og supplerer tabellen med nye verdier, til tross for at gjeldende data om verdiene til cosinus, sinus og tangenter til de vanligste vinkelverdiene er ganske tilstrekkelig til å løse de fleste problemer.

Tabell over verdier for trigonometriske funksjoner sin, cos, tg for de mest populære vinklene
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grader
(numeriske verdier "i henhold til Bradis-tabeller")

vinkel α verdi (grader)	vinkel α-verdi i radianer	synd (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn gjør at vi kan kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Oppgave 6.12. Samme spørsmål som i forrige oppgave, men for en vanlig femkant (hint: se oppgave 3.5).

Oppgave 6.13. I oppgave 4.8 ble det sagt at som en omtrentlig verdi av cosinus til en liten vinkel α, kan vi ta tallet 1, det vil si verdien av cosinusfunksjonen til null. Hva om vi uten videre tar 0 = sin 0 som en omtrentlig verdi for sinusen til en liten vinkel α? Hvorfor er dette ille?

Ris. 6.4. Punkt M beveger seg langs en cykloid.

Oppgave 6.14. Tenk på et hjul med radius 1 som berører x-aksen ved origo (fig. 6.4). La oss anta at hjulet ruller langs x-aksen i positiv retning med en hastighet på 1 (det vil si i løpet av tiden t skifter midten t til høyre).

a) Tegn (omtrent) en kurve som vil bli beskrevet ved punkt M, som berører abscisseaksen i det første øyeblikket.

b) Finn hva abscissen og ordinaten til punktet M vil være etter tid t etter bevegelsens start.

6.1. Tangent akse

I denne delen definerte vi sinus og cosinus geometrisk, som ordinaten og abscissen til et punkt, og tangent - algebraisk, som sin t/ cos t. Det er imidlertid mulig å gi tangenten en geometrisk betydning.

For å gjøre dette, tegn gjennom punktet med koordinater (1; 0) (origo på den trigonometriske sirkelen) en tangent til den trigonometriske sirkelen - en rett linje parallelt med aksen

Ris. 6.5. Tangent akse.

ordinere La oss kalle denne rette linjen tangentaksen (fig. 6.5). Dette navnet begrunnes på denne måten: la M være et punkt på den trigonometriske sirkelen som tilsvarer tallet t. La oss fortsette radiusen SM til den skjærer tangentaksen. Da viser det seg at ordinaten til skjæringspunktet er lik tg t.

Faktisk, trekanter NOS og MP S i fig. 6,5 så klart

	men lignende. Herfra
	som er det som ble oppgitt.									eller (0; −1), deretter direkte
	Hvis punkt M har koordinater (0; 1)

May SM er parallell med tangentaksen, og tangenten kan ikke bestemmes ved hjelp av vår metode. Dette er ikke overraskende: abscissen til disse punktene er 0, så cos t = 0 for de tilsvarende verdiene av t, og tg t = sin t/ cos t er ikke definert.

6.2. Tegn på trigonometriske funksjoner

La oss finne ut ved hvilke verdier av t sinus, cosinus og tangens er positive, og til hvilke verdier de er negative. I følge definisjonen er sin t ordinaten til et punkt på den trigonometriske sirkelen som tilsvarer tallet t. Derfor sin t > 0 hvis punkt t er på