Hvordan bevise at en lineær vinkel er en dihedral vinkel. Mattetimersnotater "Dihedral vinkel"

$\blacktriangleright$ Dihedral vinkel er en vinkel som dannes av to halvplan og en rett linje $a$, som er deres felles grense.

$\blacktriangleright$ For å finne vinkelen mellom planene $\xi$ og $\pi$ , må du finne den lineære vinkelen (og krydret eller rett) dihedral vinkel dannet av planene $\xi$ og $\pi$:

Trinn 1: la $\xi\cap\pi=a$ (skjæringslinjen mellom flyene). I planet $\xi$ markerer vi et vilkårlig punkt $F$ og tegner $FA\perp a$ ;

Trinn 2: utfør $FG\perp \pi$ ;

Trinn 3: i henhold til TTP ($FG$ – vinkelrett, $FA$ – skrå, $AG$ – projeksjon) har vi: $AG\perp a$ ;

Trinn 4: Vinkelen $\angle FAG$ kalles den lineære vinkelen til den dihedrale vinkelen som dannes av planene $\xi$ og $\pi$ .

Merk at trekanten $AG$ er rettvinklet.
Merk også at planet $AFG$ konstruert på denne måten er vinkelrett på begge planene $\xi$ og $\pi$ . Derfor kan vi si det annerledes: vinkel mellom planene$\xi$ og $\pi$ er vinkelen mellom to kryssende linjer $c\in \xi$ og $b\in\pi$ som danner et plan vinkelrett på og $\xi\ ), og \(\pi$ .

Oppgave 1 #2875

Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen

Gitt en firkantet pyramide, hvor alle kanter er like, og basen er en firkant. Finn $6\cos \alpha$ , hvor $\alpha$ er vinkelen mellom de tilstøtende sideflatene.

La $SABCD$ være en gitt pyramide ($S$ er et toppunkt) hvis kanter er lik $a$ . Følgelig er alle sideflater like likesidede trekanter. La oss finne vinkelen mellom flatene $SAD$ og $SCD$ .

La oss gjøre $CH\perp SD$ . Fordi $\triangle SAD=\triangle SCD$, da vil $AH$ også være høyden på $\triangle SAD$ . Derfor, per definisjon, er $\angle AHC=\alpha$ den lineære vinkelen til den dihedrale vinkelen mellom flatene $SAD$ og $SCD$ .
Siden grunnflaten er en firkant, så $AC=a\sqrt2$ . Merk også at $CH=AH$ er høyden til en likesidet trekant med siden $a$, derfor $CH=AH=\frac(\sqrt3)2a$ .
Deretter, ved cosinussetningen fra $\triangle AHC$: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Svar: -2

Oppgave 2 #2876

Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen

Planene $\pi_1$ og $\pi_2$ skjærer hverandre i en vinkel hvis cosinus er lik $0,2$. Planene $\pi_2$ og $\pi_3$ skjærer hverandre i rette vinkler, og skjæringslinjen for planene $\pi_1$ og $\pi_2$ er parallell med skjæringslinjen til planene $\pi_2$ og $\ pi_3$ . Finn sinusen til vinkelen mellom planene $\pi_1$ og $\pi_3$ .

La skjæringslinjen for $\pi_1$ og $\pi_2$ være en rett linje $a$, skjæringslinjen til $\pi_2$ og $\pi_3$ være en rett linje linje $b$, og skjæringslinjen $\pi_3$ og $\pi_1$ – rett linje $c$ . Siden $a\parallell b$ , så $c\parallell a\parallell b$ (ifølge teoremet fra delen av den teoretiske referansen "Geometri i rommet" $\høyrepil$ "Introduksjon til stereometri, parallellisme").

La oss merke punktene $A\i a, B\i b$ slik at $AB\perp a, AB\perp b$ (dette er mulig siden $a\parallell b$ ). La oss merke $C\in c$ slik at $BC\perp c$ , derfor $BC\perp b$ . Deretter $AC\perp c$ og $AC\perp a$ .
Faktisk, siden $AB\perp b, BC\perp b$ , så er $b$ vinkelrett på planet $ABC$ . Siden $c\parallell a\parallell b$, så er linjene $a$ og $c$ også vinkelrett på planet $ABC$, og derfor til enhver linje fra dette planet, spesielt , linjen \ (AC\) .

Det følger at $\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)$, $\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ$, $\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)$. Det viser seg at $\triangel ABC$ er rektangulær, som betyr \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

Svar: 0,2

Oppgave 3 #2877

Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen

Gitt rette linjer $a, b, c$ som krysser i ett punkt, og vinkelen mellom to av dem er lik $60^\circ$ . Finn $\cos^(-1)\alpha$ , hvor $\alpha$ er vinkelen mellom planet dannet av linjer $a$ og $c$ og planet dannet av linjer $ b$ og $c$ . Gi svaret i grader.

La linjene krysse i punktet $O$ . Siden vinkelen mellom to av dem er lik $60^\sirkel$, kan ikke alle de tre rette linjene ligge i samme plan. La oss markere punktet $A$ på linjen $a$ og tegne $AB\perp b$ og $AC\perp c$ . Deretter $\triangle AOB=\triangle AOC$ som rektangulær langs hypotenusen og spiss vinkel. Derfor, $OB=OC$ og $AB=AC$ .
La oss gjøre $AH\perp (BOC)$ . Så ved teoremet om tre perpendikulære $HC\perp c$ , $HB\perp b$ . Siden $AB=AC$ , da $\triangle AHB=\triangle AHC$ som rektangulær langs hypotenusen og benet. Derfor, $HB=HC$ . Dette betyr at $OH$ er halveringslinjen til vinkelen $BOC$ (siden punktet $H$ er like langt fra sidene av vinkelen).

Legg merke til at vi på denne måten også konstruerte den lineære vinkelen til den dihedriske vinkelen dannet av planet dannet av linjene $a$ og $c$ og planet dannet av linjene $b$ og $c $ . Dette er vinkelen $ACH$ .

La oss finne denne vinkelen. Siden vi valgte punktet $A$ vilkårlig, la oss velge det slik at $OA=2$ . Så i rektangulær $\triangle AOC$ : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Siden $OH$ er en halveringslinje, så $\angle HOC=30^\circ$ , derfor i en rektangulær $\triangle HOC$ : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Så fra den rektangulære $\triangle ACH$: \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Svar: 3

Oppgave 4 #2910

Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen

Planene $\pi_1$ og $\pi_2$ skjærer hverandre langs den rette linjen $l$ som punktene $M$ og $N$ ligger på. Segmentene $MA$ og $MB$ er vinkelrett på den rette linjen $l$ og ligger i henholdsvis planene $\pi_1$ og $\pi_2$, og $MN = 15 $ , $AN = 39$ , $BN = 17$ , $AB = 40$ . Finn $3\cos\alpha$ , hvor $\alpha$ er vinkelen mellom planene $\pi_1$ og $\pi_2$ .

Trekanten $AMN$ er rettvinklet, $AN^2 = AM^2 + MN^2$, hvorfra \ Trekanten $BMN$ er rettvinklet, $BN^2 = BM^2 + MN^2$, hvorfra \Vi skriver cosinussetningen for trekanten $AMB$: \ Deretter \ Siden vinkelen $\alpha$ mellom planene er skarpt hjørne, og $\angle AMB$ viste seg å være stump, deretter $\cos\alpha=\dfrac5(12)$ . Deretter \

Svar: 1,25

Oppgave 5 #2911

Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ er et parallellepiped, $ABCD$ er et kvadrat med siden $a$, punktet $M$ er bunnen av perpendikulæren droppet fra punktet $A_1$ til planet \ ((ABCD)\) , i tillegg er $M$ skjæringspunktet mellom diagonalene til kvadratet $ABCD$ . Det er kjent at $A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a$. Finn vinkelen mellom planene $(ABCD)$ og $(AA_1B_1B)$ . Gi svaret i grader.

La oss konstruere $MN$ vinkelrett på $AB$ som vist på figuren.

Siden $ABCD$ er et kvadrat med siden $a$ og $MN\perp AB$ og $BC\perp AB$ , så $MN\parallell BC$ . Siden $M$ er skjæringspunktet mellom diagonalene til kvadratet, så er $M$ midten av $AC$, derfor er $MN$ midtlinjen og $MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a$.
$MN$ er projeksjonen av $A_1N$ på planet $(ABCD)$, og $MN$ er vinkelrett på $AB$, deretter, ved teoremet om tre perpendikulære, \ (A_1N\) er vinkelrett på $AB $ og vinkelen mellom planene $(ABCD)$ og $(AA_1B_1B)$ er $\vinkel A_1NM$ .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Svar: 60

Oppgave 6 #1854

Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen

I en firkant $ABCD$ : $O$ – skjæringspunktet mellom diagonalene; $S$ – ligger ikke i kvadratets plan, $SO \perp ABC$ . Finn vinkelen mellom planene $ASD$ og $ABC$ hvis $SO = 5$ og $AB = 10$ .

Rettvinklede trekanter $\triangle SAO$ og $\triangle SDO$ er like i to sider og vinkelen mellom dem ($SO \perp ABC$ $\Høyrepil$ $\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ$; $AO = DO$ , fordi $O$ – skjæringspunktet mellom diagonalene til kvadratet, $SO$ – fellessiden) $\Høyrepil$ $AS = SD$ $\Høyrepil$ $\trekant ASD$ – likebenet. Punktet $K$ er midten av $AD$, så er $SK$ høyden i trekanten $\triangel ASD$, og $OK$ er høyden i trekanten $ AOD$ $\ Høyrepil$ plan $SOK$ er vinkelrett på plan $ASD$ og $ABC$ $\Høyrepil$ $\vinkel SKO$ – lineær vinkel lik ønsket dihedral vinkel.

I $\triangle SKO$ : $OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO$$\Høyrepil$ $\trekant SOK$ – likebenet rettvinklet trekant $\Høyrepil$ $\vinkel SKO = 45^\sirkel$ .

Svar: 45

Oppgave 7 #1855

Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen

I en firkant $ABCD$ : $O$ – skjæringspunktet mellom diagonalene; $S$ – ligger ikke i kvadratets plan, $SO \perp ABC$ . Finn vinkelen mellom planene $ASD$ og $BSC$ hvis $SO = 5$ og $AB = 10$ .

Rette trekanter $\triangle SAO$ , $\triangle SDO$ , $\triangle SOB$ og $\triangle SOC$ er like i to sider og vinkelen mellom dem ($SO \perp ABC $ $\Høyre pil$ $\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ$; $AO = OD = OB = OC$, fordi $O$ – skjæringspunktet mellom diagonalene til kvadratet, $SO$ – felles side) $\Høyrepil$ $AS = DS = BS = CS$ $\Høyrepil$ $ \triangle ASD$ og $\triangle BSC$ er likebente. Punktet $K$ er midten av $AD$, så er $SK$ høyden i trekanten $\triangel ASD$, og $OK$ er høyden i trekanten $ AOD$ $\ Høyrepil$ plan $SOK$ er vinkelrett på planet $ASD$ . Punkt $L$ er midten av $BC$, så er $SL$ høyden i trekanten $\triangel BSC$, og $OL$ er høyden i trekanten $ BOC$ $\ Høyrepil$ planet $SOL$ (aka planet $SOK$) er vinkelrett på planet $BSC$ . Dermed får vi at $\angle KSL$ er en lineær vinkel lik ønsket dihedral vinkel.

$KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10$$\Høyrepil$ $OL = 5$ ; $SK = SL$ – like høyder likebente trekanter, som kan bli funnet ved hjelp av Pythagoras teorem: $SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50$. Det kan merkes $SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2$$\Høyrepil$ for en trekant $\triangel KSL$ den inverse Pythagoras teorem har $\Høyrepil$ $\trekant KSL$ – rettvinklet trekant $\Høyrepil$ $\vinkel KSL = 90 ^\ circ$ .

Svar: 90

Å forberede studentene til å ta Unified State-eksamen i matematikk, begynner som regel med å gjenta grunnleggende formler, inkludert de som lar deg bestemme vinkelen mellom flyene. Til tross for at denne delen av geometri er dekket i tilstrekkelig detalj innenfor skolepensum, må mange nyutdannede gjenta grunnleggende materiale. Ved å forstå hvordan de finner vinkelen mellom flyene, vil elever på videregående skole raskt kunne beregne det riktige svaret når de løser et problem og regne med å få anstendige poengsum på resultatene av å bestå den enhetlige statenseksamenen.

Hovednyanser

For å sikre at spørsmålet om hvordan du finner en dihedral vinkel ikke forårsaker vanskeligheter, anbefaler vi å følge en løsningsalgoritme som vil hjelpe deg med å takle Unified State Examination-oppgaver.

Først må du bestemme den rette linjen langs hvilken flyene krysser hverandre.

Deretter må du velge et punkt på denne linjen og tegne to perpendikulære til det.

Neste steg- å finne trigonometrisk funksjon dihedral vinkel dannet av perpendikulære. Den mest praktiske måten å gjøre dette på er ved hjelp av den resulterende trekanten, som vinkelen er en del av.

Svaret vil være verdien av vinkelen eller dens trigonometriske funksjon.

Å forberede seg til eksamensprøven med Shkolkovo er nøkkelen til din suksess

I timene dagen før bestått Unified State-eksamenen Mange skoleelever står overfor problemet med å finne definisjoner og formler som lar dem beregne vinkelen mellom 2 plan. En skolebok er ikke alltid tilgjengelig akkurat når det trengs. Og for å finne de nødvendige formlene og eksemplene på deres korrekte anvendelse, inkludert for å finne vinkelen mellom fly på Internett på nettet, må du noen ganger bruke mye tid.

Den matematiske portalen Shkolkovo tilbyr en ny tilnærming til å forberede seg til statseksamenen. Klasser på nettsiden vår vil hjelpe elevene å identifisere de vanskeligste delene for seg selv og fylle hull i kunnskap.

Vi har forberedt og tydelig presentert alt nødvendig materiale. Grunnleggende definisjoner og formler er presentert i delen "Teoretisk informasjon".

For å bedre forstå materialet, foreslår vi også at du øver på de riktige øvelsene. Et stort utvalg oppgaver av ulik grad av kompleksitet, for eksempel, er presentert i "Katalog"-delen. Alle oppgaver inneholder en detaljert algoritme for å finne riktig svar. Listen over øvelser på nettsiden blir kontinuerlig supplert og oppdatert.

Mens de øver på å løse problemer som krever å finne vinkelen mellom to plan, har elevene muligheten til å lagre enhver oppgave på nettet som "Favoritter." Takket være dette vil de kunne gå tilbake til det så mange ganger som nødvendig og diskutere fremdriften til løsningen med skole lærer eller en veileder.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Personopplysningene vi samler inn gjør at vi kan kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Konsept av dihedral vinkel

For å introdusere konseptet med en dihedral vinkel, la oss først huske en av stereometriaksiomene.

Ethvert plan kan deles inn i to halvplan av linjen $a$ som ligger i dette planet. I dette tilfellet er punkter som ligger i samme halvplan plassert på den ene siden av den rette linjen $a$, og punkter som ligger i forskjellige halvplan er på samme side. forskjellige sider fra rett linje $a$ (fig. 1).

Bilde 1.

Prinsippet for å konstruere en dihedral vinkel er basert på dette aksiomet.

Definisjon 1

Figuren heter dihedral vinkel, hvis den består av en linje og to halvplan av denne linjen som ikke tilhører samme plan.

I dette tilfellet kalles halvplanene til den dihedrale vinkelen kanter, og den rette linjen som skiller halvplanene er dihedral kant(Figur 1).

Figur 2. Dihedral vinkel

Gradmål for dihedral vinkel

Definisjon 2

La oss velge et vilkårlig punkt $A$ på kanten. Vinkelen mellom to rette linjer som ligger i forskjellige halvplan, vinkelrett på en kant og krysser i punktet $A$ kalles lineær dihedral vinkel(Fig. 3).

Figur 3.

Det er klart at hver dihedral vinkel har et uendelig antall lineære vinkler.

Teorem 1

Alle lineære vinkler av en dihedral vinkel er like med hverandre.

Bevis.

La oss vurdere to lineære vinkler $AOB$ og $A_1(OB)_1$ (fig. 4).

Figur 4.

Siden strålene $OA$ og $(OA)_1$ ligger i samme halvplan $\alpha $ og er vinkelrett på den samme rette linjen, så er de codirectional. Siden strålene $OB$ og $(OB)_1$ ligger i samme halvplan $\beta $ og er vinkelrett på den samme rette linjen, så er de codirectional. Derfor

\[\vinkel AOB=\vinkel A_1(OB)_1\]

På grunn av vilkårligheten i valget av lineære vinkler. Alle lineære vinkler av en dihedral vinkel er like med hverandre.

Teoremet er bevist.

Definisjon 3

Gradmålet for en dihedral vinkel er gradmålet for den lineære vinkelen til en dihedral vinkel.

Prøveproblemer

Eksempel 1

La oss få to ikke-vinkelrette plan $\alfa $ og $\beta $ som skjærer hverandre langs den rette linjen $m$. Punkt $A$ tilhører planet $\beta$. $AB$ er vinkelrett på linjen $m$. $AC$ er vinkelrett på planet $\alpha $ (punkt $C$ tilhører $\alpha $). Bevis at vinkel $ABC$ er en lineær vinkel av en dihedral vinkel.

Bevis.

La oss tegne et bilde i henhold til betingelsene for problemet (fig. 5).

Figur 5.

For å bevise det, husk følgende teorem

Teorem 2: En rett linje som går gjennom bunnen av en skrå linje er vinkelrett på den, vinkelrett på projeksjonen.

Siden $AC$ er vinkelrett på planet $\alpha $, så er punktet $C$ projeksjonen av punktet $A$ på planet $\alpha $. Derfor er $BC$ en projeksjon av den skrå $AB$. Ved teorem 2 er $BC$ vinkelrett på kanten av den dihedrale vinkelen.

Da tilfredsstiller vinkel $ABC$ alle kravene for å definere en lineær dihedral vinkel.

Eksempel 2

Den dihedriske vinkelen er $30^\circ$. På en av flatene ligger et punkt $A$, som ligger i en avstand på $4$ cm fra den andre flaten Finn avstanden fra punktet $A$ til kanten av dihedral vinkelen.

Løsning.

La oss se på figur 5.

Etter betingelse har vi $AC=4\cm$.

Ved definisjon av gradmålet til en dihedral vinkel har vi at vinkelen $ABC$ er lik $30^\circ$.

Trekant $ABC$ er en rettvinklet trekant. Per definisjon av sinusen til en spiss vinkel

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Leksjonsemne: "Dihedral vinkel."

Hensikten med leksjonen: introduksjon av konseptet dihedral vinkel og dens lineære vinkel.

Oppgaver:

Pedagogisk: vurdere oppgaver om anvendelsen av disse konseptene, utvikle den konstruktive ferdigheten til å finne vinkelen mellom planene;

Utviklingsmessig: utvikling kreativ tenking studenter, personlig selvutvikling av studenter, utvikling av elevenes tale;

Pedagogisk: å pleie en kultur for mentalt arbeid, kommunikativ kultur, reflekterende kultur.

Leksjonstype: leksjon i å lære ny kunnskap

Læringsmetoder: forklarende og illustrerende

Utstyr: datamaskin, interaktiv tavle.

Litteratur:

Geometri. 10-11 klassetrinn: lærebok. for 10-11 klassetrinn. allmennutdanning institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, etc.] - 18. utg. – M.: Utdanning, 2009. – 255 s.

Timeplan:

Organisering av tid(2 minutter)

Oppdatering av kunnskap (5 min)

Lære nytt materiale (12 min)

Forsterkning av innlært materiale (21 min)

Lekser (2 min)

Oppsummering (3 min)

I løpet av timene:

1. Organisatorisk øyeblikk.

Inkluderer at læreren hilser på klassen, forbereder rommet for leksjonen og sjekker fravær.

2. Oppdatering av grunnleggende kunnskap.

Lærer: I den siste leksjonen du skrev selvstendig arbeid. Generelt var arbeidet godt skrevet. La oss nå gjenta det litt. Hva kalles en vinkel i et plan?

Student: En vinkel på et plan er en figur dannet av to stråler som kommer fra ett punkt.

Lærer: Hva kalles vinkelen mellom linjer i rommet?

Student: Vinkelen mellom to kryssende linjer i rommet er den minste av vinklene som dannes av strålene fra disse linjene med toppunktet i skjæringspunktet.

Student: Vinkelen mellom kryssende linjer er vinkelen mellom kryssende linjer, henholdsvis parallelt med dataene.

Lærer: Hva kalles vinkelen mellom en rett linje og et plan?

Student: Vinkelen mellom en rett linje og et planEnhver vinkel mellom en rett linje og dens projeksjon på dette planet kalles.

3.Lære nytt materiale.

Lærer: I stereometri, sammen med slike vinkler, vurderes en annen type vinkel - dihedrale vinkler. Du har sikkert allerede gjettet hva temaet for dagens leksjon er, så åpne notatbøkene dine, skriv ned dagens dato og temaet for leksjonen.

Skriv på tavlen og i notatbøker:

10.12.14.

Dihedral vinkel.

Lærer : For å introdusere konseptet med en dihedral vinkel, bør det huskes at enhver rett linje tegnet i et gitt plan deler dette planet i to halvplan(Fig. 1, a)

Lærer : La oss tenke oss at vi har bøyd planet langs en rett linje slik at to halvplan med en grense ikke lenger ligger i samme plan (fig. 1, b). Den resulterende figuren er den dihedrale vinkelen. En dihedral vinkel er en figur dannet av en rett linje og to halvplan med felles grense som ikke tilhører samme plan. Halvplanene som danner en dihedral vinkel kalles dens flater. En dihedral vinkel har to sider, derav navnet dihedral vinkel. Den rette linjen - den felles grensen til halvplanene - kalles kanten av den dihedrale vinkelen. Skriv definisjonen i notatboken.

En dihedral vinkel er en figur dannet av en rett linje og to halvplan med felles grense som ikke tilhører samme plan.

Lærer : I hverdagen møter vi ofte gjenstander som har form av en dihedral vinkel. Gi eksempler.

Student : Halvåpnet mappe.

Student : Rommets vegg er sammen med gulvet.

Student : Sadeltak på bygninger.

Lærer : Ikke sant. Og det er et stort antall slike eksempler.

Lærer : Som du vet, er vinkler i et plan målt i grader. Du har sannsynligvis et spørsmål, hvordan måles dihedrale vinkler? Dette gjøres som følger.La oss markere et punkt på kanten av den dihedrale vinkelen og tegne en stråle vinkelrett på kanten fra dette punktet på hver side. Vinkelen som dannes av disse strålene kalles den lineære vinkelen til den dihedrale vinkelen. Lag en tegning i notatbøkene dine.

Skriv på tavlen og i notatbøker.

OM ∈ a, JSC ⊥ a, VO ⊥ en, SABD- dihedral vinkel,∠ AOB– lineær vinkel på den dihedrale vinkelen.

Lærer : Alle lineære vinkler i en dihedral vinkel er like. Lag deg en annen tegning som denne.

Lærer : La oss bevise det. Tenk på to lineære vinkler AOB ogPQR. Stråler OA ogQPligge på samme ansikt og er vinkelrettOQ, som betyr at de er co-dirigert. Tilsvarende vil strålene OB ogQRco-regissert. Midler,∠ AOB= ∠ PQR(som vinkler med justerte sider).

Lærer : Vel, nå er svaret på spørsmålet vårt hvordan den dihedrale vinkelen måles.Gradmålet for en dihedral vinkel er gradmålet for dens lineære vinkel. Tegn om bildene av en spiss, rett og stump dihedral vinkel fra læreboken på side 48.

4. Konsolidering av det studerte materialet.

Lærer : Lage tegninger til oppgavene.

№ 1 . Gitt: ΔABC, AC = BC, AB ligger i planetα, CD ⊥ α, C∉ α. Konstruer lineær vinkel for dihedral vinkelCABD.

Student : Løsning:C.M. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - ettertraktet.

№ 2. Gitt: ΔABC, ∠ C= 90°, BC ligger på planetα, JSC⊥ α, EN∈ α.

Konstruer lineær vinkel med dihedral vinkelABCO.

Student : Løsning:AB ⊥ B.C., JSC⊥ BC betyr OS⊥ Sol.∠ ET KOMPANI - ettertraktet.

№ 3 . Gitt: ΔABC, ∠ C = 90°, AB ligger i planetα, CD⊥ α, C∉ α. Byggelineær dihedral vinkelDABC.

Student : Løsning: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB betyr∠ DKC - ettertraktet.

№ 4 . Gitt:DABC- tetraeder,GJØRE⊥ ABC.Konstruer den lineære vinkelen til den dihedrale vinkelenABCD.

Student : Løsning:DM ⊥ sol,GJØRE ⊥ VS betyr OM⊥ Sol;∠ OMD - ettertraktet.

5. Oppsummering.

Lærer: Hva nytt lærte du i klassen i dag?

Studenter : Det som kalles dihedral vinkel, lineær vinkel, hvordan måles dihedral vinkel.

Lærer : Hva gjentok de?

Studenter : Det som kalles en vinkel på et plan; vinkel mellom rette linjer.

6.Lekser.

Skriv på tavlen og i dagbøkene dine: paragraf 22, nr. 167, nr. 170.

Dihedral vinkel. Lineær dihedral vinkel. En dihedral vinkel er en figur dannet av to halvplan som ikke tilhører samme plan og har en felles grense - rett linje a. Halvplanene som danner en dihedral vinkel kalles dens flater, og den felles grensen for disse halvplanene kalles en kant av dihedral vinkelen. Den lineære vinkelen til en dihedrisk vinkel er en vinkel hvis sider er strålene langs hvilke flatene til den dihedriske vinkelen er krysset av et plan vinkelrett på kanten av den dihedriske vinkelen. Hver dihedral vinkel har et hvilket som helst antall lineære vinkler: gjennom hvert punkt på kanten kan man tegne et plan vinkelrett på denne kanten; Strålene langs hvilke dette planet skjærer flatene til en dihedral vinkel danner lineære vinkler.

Alle lineære vinkler i en dihedral vinkel er lik hverandre. La oss bevise at hvis de dihedriske vinklene dannet av planet til bunnen av pyramiden CABC og planene til dens sideflater er like, så er bunnen av vinkelrett tegnet fra toppunktet K sentrum av den innskrevne sirkelen i trekanten ABC.

Bevis. Først av alt, la oss konstruere lineære vinkler med like dihedriske vinkler. Per definisjon må planet til en lineær vinkel være vinkelrett på kanten av den dihedrale vinkelen. Derfor må kanten av en dihedral vinkel være vinkelrett på sidene av den lineære vinkelen. Hvis KO er vinkelrett på grunnplanet, så kan vi tegne OR vinkelrett AC, OR vinkelrett SV, OQ vinkelrett AB, og deretter koble sammen punktene P, Q, R MED punktet K. Dermed vil vi konstruere en projeksjon av skrå RK, QK , RK slik at kantene AC, NE, AB er vinkelrett på disse fremspringene. Følgelig er disse ribbeina også vinkelrette på de skråstilte. Og derfor er planene til trekantene ROK, QOK, ROK vinkelrett på de tilsvarende kantene til den dihedrale vinkelen og danner de like lineære vinklene som er nevnt i betingelsen. Rettvinklede trekanter ROK, QOK, ROK er kongruente (siden de har et felles ben OK og vinklene motsatt av dette beinet er like). Derfor er OR = OR = OQ. Hvis vi tegner en sirkel med sentrum O og radius OP, så er sidene av trekanten ABC vinkelrett på radiene OP, OR og OQ og er derfor tangent til denne sirkelen.

Vinkelretthet av fly. Alfa- og beta-planene kalles perpendikulære hvis den lineære vinkelen til en av de dihedriske vinklene dannet ved skjæringspunktet deres er lik 90." Tegn på perpendikularitet til to plan Hvis ett av de to planene passerer gjennom en linje vinkelrett på det andre planet, da er disse planene vinkelrette.

Figuren viser et rektangulært parallellepiped. Basene er rektanglene ABCD og A1B1C1D1. Og sideribbene AA1 BB1, CC1, DD1 er vinkelrett på basene. Det følger at AA1 er vinkelrett på AB, dvs. sideflaten er et rektangel. Dermed er det mulig å rettferdiggjøre egenskapene rektangulært parallellepipedum: I et rektangulært parallellepiped er alle seks flatene rektangler. I et rektangulært parallellepiped er alle seks flatene rektangler. Alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallellepiped er rette vinkler. Alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallellepiped er rette vinkler.

Teorem Square av diagonalen til et rektangulært parallellepiped lik summen kvadrater av dens tre dimensjoner. La oss snu igjen til figuren, og bevise at AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Siden kanten CC1 er vinkelrett på grunnflaten ABCD, er vinkelen ACC1 rett. Fra høyre trekant ACC1 ved å bruke Pythagoras teorem får vi AC12=AC2+CC12. Men AC er diagonalen til rektangel ABCD, så AC2 = AB2 + AD2. I tillegg er CC1 = AA1. Derfor AC12= AB2+AD2+AA12 Teoremet er bevist.