Et høyre parallellepiped med kvadratisk base. Rektangulært parallellepipedum

Rektangulært parallellepipedum

Et rektangulært parallellepiped er et rett parallellepiped hvis alle flater er rektangler.

Det er nok å se rundt oss, og vi vil se at gjenstandene rundt oss har en form som ligner på et parallellepiped. De kan skilles ut med farge, har mange tilleggsdetaljer, men hvis disse finessene forkastes, kan vi si at for eksempel et skap, en boks, etc., har omtrent samme form.

Vi kommer over konseptet med et rektangulært parallellepiped nesten hver dag! Se deg rundt og fortell meg hvor du ser rektangulære parallellepipeder? Se på boken, den har akkurat samme form! En murstein, en fyrstikkeske, en trekloss har samme form, og selv akkurat nå er du inne i et rektangulært parallellepiped, fordi klasserommet er den lyseste tolkningen av dette geometrisk figur.

Trening: Hvilke eksempler på parallellepiped kan du nevne?

La oss se nærmere på kuben. Og hva ser vi?

Først ser vi at denne figuren er dannet av seks rektangler, som er flatene til en kuboid;

For det andre har en kuboid åtte hjørner og tolv kanter. Kantene på en kuboid er sidene av dens flater, og hjørnene på cuboiden er hjørnene på flatene.

Trening:

1. Hva heter hver av flatene til et rektangulært parallellepiped? 2. Takket være hvilke parametere kan et parallellogram måles? 3. Definer motsatte ansikter.

Typer parallellepipeder

Men parallellepipedene er ikke bare rektangulære, men de kan også være rette og skråstilte, og rette linjer er delt inn i rektangulære, ikke-rektangulære og terninger.

Oppgave: Se på bildet og si hvilke parallellepipeder som er vist på det. Hvordan skiller et rektangulært parallellepiped seg fra en terning?

Egenskaper til et rektangulært parallellepiped

Et rektangulært parallellepiped har en rekke viktige egenskaper:

For det første er kvadratet på diagonalen til denne geometriske figuren lik summen av kvadratene til de tre hovedparametrene: høyde, bredde og lengde.

For det andre er alle fire diagonalene helt identiske.

For det tredje, hvis alle tre parameterne til et parallellepiped er like, det vil si lengden, bredden og høyden er like, kalles et slikt parallellepiped en kube, og alle flatene vil være lik den samme firkanten.

Trening

1. Har et rektangulært parallellepiped like sider? Hvis det er noen, vis dem på figuren. 2. Hvilke geometriske former består flatene til et rektangulært parallellepiped av? 3. Hva er arrangementet av like kanter i forhold til hverandre? 4. Nevn antall par like flater på denne figuren. 5. Finn kantene i et rektangulært parallellepiped som angir lengden, bredden, høyden. Hvor mange telte du?

Oppgave

For å vakkert dekorere en bursdagsgave til moren, tok Tanya en boks i form av et rektangulært parallellepiped. Størrelsen på denne boksen er 25cm*35cm*45cm. For å gjøre denne emballasjen vakker, bestemte Tanya seg for å dekke den til vakkert papir, hvor kostnaden er 3 hryvnia per 1 dm2. Hvor mye penger bør du bruke på innpakningspapir?

Vet du at den berømte illusjonisten David Blaine tilbrakte 44 dager i et glassparallellepipedum hengt over Themsen som en del av et eksperiment. I disse 44 dagene spiste han ikke, men drakk bare vann. I sitt frivillige fengsel tok David bare med seg skrivemateriell, en pute og madrass og lommetørklær.

Da du var liten og lekte med kuber, kan det hende du har laget formene vist i figur 154. Disse tallene gir en idé om rektangulært parallellepipedum. For eksempel har en sjokoladeboks, en murstein, en fyrstikkeske, en pakkeboks og en juiceboks form som et rektangulært parallellepiped.

Figur 155 viser et rektangulært parallellepipedum ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Et rektangulært parallellepiped er begrenset av seks kanter. Hvert ansikt er et rektangel, dvs. Overflaten til et rektangulært parallellepiped består av seks rektangler.

Sidene av ansiktene kalles kantene på et rektangulært parallellepiped, hjørner av ansikter − toppunktene til et rektangulært parallellepiped. For eksempel er segmentene AB, BC, A 1 B 1 kanter, og punktene B, A 1, C 1 er hjørner av parallellepipedet ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (fig. 155).

Et rektangulært parallellepiped har 8 topper og 12 kanter.

Ansiktene AA 1 B 1 B og DD 1 C 1 C har ikke felles hjørner. Slike kanter kalles motsatte. I parallellepipedet ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er det ytterligere to par med motsatte flater: rektanglene ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1, samt rektanglene AA 1 D 1 D og BB 1 C 1 C.

Motstående flater av et rektangulært parallellepiped er like.

I figur 155 kalles ansiktet ABCD basis rektangulært parallellepipedum ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Overflatearealet til et parallellepiped er summen av arealene til alle overflatene.

For å ha en ide om dimensjonene til et rektangulært parallellepiped, er det nok å vurdere alle tre kanter som har et felles toppunkt. Lengdene på disse kantene kalles målinger rektangulært parallellepipedum. For å skille dem bruker de navn: lengde, bredde, høyde(Fig. 156).

Et rektangulært parallellepiped der alle dimensjoner er like kalles kube(Fig. 157). Overflaten på kuben består av seks like firkanter.

Hvis en boks i form av et rektangulært parallellepiped åpnes (fig. 158) og kuttes langs fire vertikale kanter (fig. 159), og deretter brettes ut, får vi en figur som består av seks rektangler (fig. 160). Denne figuren kalles utvikling av et rektangulært parallellepiped.

Figur 161 viser en figur bestående av seks like firkanter. Det er et nett av en kube.

Ved hjelp av en fremkalling kan du lage en modell av et rektangulært parallellepiped.

Dette kan for eksempel gjøres slik. Tegn omrisset på papir. Klipp den ut, bøy den langs segmentene som tilsvarer kantene på det rektangulære parallellepipedet (se fig. 159), og lim det sammen.

Et rektangulært parallellepiped er en type polyeder - en figur hvis overflate består av polygoner. Figur 162 viser polyedre.

En type polyeder er pyramide.

Denne figuren er ikke ny for deg. Studerer kurset Antikkens verden, ble du kjent med et av verdens syv underverker - de egyptiske pyramidene.

Figur 163 viser pyramidene MABC, MABCD, MABCDE. Pyramidens overflate består av sideflater− trekanter som har felles toppunkt, og begrunnelse(Fig. 164). Den vanlige toppunktet til sideflatene kalles kantene av bunnen av pyramiden, og sidene av sideflatene som ikke hører til basen er sidekanter av pyramiden.

Pyramider kan klassifiseres etter antall sider av basen: trekantede, firkantede, femkantede (se fig. 163), etc.

Overflaten til en trekantet pyramide består av fire trekanter. Enhver av disse trekantene kan tjene som bunnen av en pyramide. Denne basen er en type pyramide, hvor ethvert ansikt kan tjene som base.

Figur 165 viser en figur som kan tjene utvikling av en firkantet pyramide. Den består av en firkant og fire like likebenede trekanter.

Figur 166 viser en figur bestående av fire like likesidede trekanter. Ved å bruke denne figuren kan du lage en modell av en trekantet pyramide, hvis ansikter alle er likesidede trekanter.

Polyedre er eksempler geometriske legemer.

Figur 167 viser kjente geometriske legemer, som ikke er polyeder. Du vil lære mer om disse kroppene i 6. klasse.

I denne leksjonen vil alle kunne studere emnet "Rektangulært parallellepiped". I begynnelsen av leksjonen vil vi gjenta hva vilkårlige og rette parallellepiped er, husk egenskapene til deres motsatte flater og diagonaler til parallellepipedet. Deretter skal vi se på hva en kuboid er og diskutere dens grunnleggende egenskaper.

Tema: Vinkelretthet av linjer og plan

Leksjon: Cuboid

En overflate sammensatt av to like parallellogrammer ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 og fire parallellogrammer ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 kalles parallellepipedum(Figur 1).

Ris. 1 parallellpiped

Det vil si: vi har to like parallellogrammer ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 (baser), de ligger i parallelle plan slik at sidekantene AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 er parallelle. Dermed kalles en overflate sammensatt av parallellogrammer parallellepipedum.

Dermed er overflaten til et parallellepiped summen av alle parallellogrammene som utgjør parallellepipedet.

1. De motsatte flatene til et parallellepiped er parallelle og like.

(formene er like, det vil si at de kan kombineres ved å overlappe)

For eksempel:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (like parallellogrammer per definisjon),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (siden AA 1 B 1 B og DD 1 C 1 C er motsatte sider av parallellepipedet),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (siden AA 1 D 1 D og BB 1 C 1 C er motsatte sider av parallellepipedet).

2. Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre i ett punkt og er halvert av dette punktet.

Diagonalene til parallellepipedet AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B skjærer hverandre i ett punkt O, og hver diagonal er delt i to med dette punktet (fig. 2).

Ris. 2 Diagonalene til et parallellepipedum skjærer hverandre og er delt i to av skjæringspunktet.

3. Det er tre firedobler av like og parallelle kanter på et parallellepiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definisjon. Et parallellepiped kalles rett hvis sidekantene er vinkelrett på basene.

La sidekanten AA 1 være vinkelrett på basen (fig. 3). Dette betyr at rett linje AA 1 er vinkelrett på rette linjer AD og AB, som ligger i grunnplanet. Dette betyr at sideflatene inneholder rektangler. Og basene inneholder vilkårlige parallellogrammer. La oss betegne ∠DÅRLIG = φ, vinkelen φ kan være hvilken som helst.

Ris. 3 Høyre parallellepipedum

Så, et høyre parallellepiped er et parallellepiped der sidekantene er vinkelrett på bunnen av parallellepipedet.

Definisjon. Parallepipedet kalles rektangulært, hvis sidekantene er vinkelrette på basen. Basene er rektangler.

Den parallellepipediserte ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er rektangulær (fig. 4), hvis:

1. AA 1 ⊥ ABCD (sidekant vinkelrett på basens plan, det vil si en rett parallellepiped).

2. ∠DÅRLIG = 90°, dvs. basen er et rektangel.

Ris. 4 Rektangulært parallellepipedum

Et rektangulært parallellepiped har alle egenskapene til et vilkårlig parallellepiped. Men det er ytterligere egenskaper som er avledet fra definisjonen av en cuboid.

Så, kuboid er et parallellepiped hvis sidekanter er vinkelrett på basen. Basen til et rektangulært parallellepiped er et rektangel.

1. I et rektangulært parallellepiped er alle seks flatene rektangler.

ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 er rektangler per definisjon.

2. Laterale ribber er vinkelrett på basen. Dette betyr at alle sideflatene til et rektangulært parallellepiped er rektangler.

3. Alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallellepiped er rett.

La oss for eksempel se på den dihedriske vinkelen til et rektangulært parallellepiped med kant AB, dvs. den dihedrale vinkelen mellom planene ABC 1 og ABC.

AB er en kant, punkt A 1 ligger i ett plan - i planet ABB 1, og punkt D i det andre - i planet A 1 B 1 C 1 D 1. Da kan den dihedriske vinkelen som vurderes også betegnes som følger: ∠A 1 ABD.

La oss ta punkt A på kanten AB. AA 1 er vinkelrett på kanten AB i planet АВВ-1, AD er vinkelrett på kanten AB i planet ABC. Så, ∠A 1 AD - lineær vinkel gitt dihedral vinkel. ∠A 1 AD = 90°, som betyr at den dihedrale vinkelen ved kanten AB er 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

På samme måte er det bevist at alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallellepiped er riktige.

Firkantet diagonal av en kuboid lik summen kvadrater av dens tre dimensjoner.

Merk. Lengdene til de tre kantene som kommer fra ett toppunkt av en kuboid er målene til cuboid. De kalles noen ganger lengde, bredde, høyde.

Gitt: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rektangulært parallellepipedum (fig. 5).

Bevis: .

Ris. 5 Rektangulær parallellepipedum

Bevis:

Rett linje CC 1 er vinkelrett på plan ABC, og derfor på rett linje AC. Dette betyr at trekanten CC 1 A er rettvinklet. I følge Pythagoras teorem:

La oss vurdere høyre trekant ABC. I følge Pythagoras teorem:

Men BC og AD er motsatte sider av rektangelet. Så BC = AD. Deretter:

Fordi , A , Det. Siden CC 1 = AA 1, er dette det som måtte bevises.

Diagonalene til et rektangulært parallellepiped er like.

La oss betegne dimensjonene til parallellepipedet ABC som a, b, c (se fig. 6), da AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Prismet kalles parallellepipedum, hvis basene er parallellogrammer. Cm. Figur 1.

Egenskaper til et parallellepiped:

De motsatte flatene til et parallellepiped er parallelle (det vil si at de ligger i parallelle plan) og like.

Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre i ett punkt og er halvert av dette punktet.

Tilstøtende flater av et parallellepiped– to ansikter som har en felles kant.

Motstående sider av et parallellepiped– ansikter som ikke har felles kanter.

Motsatte hjørner av et parallellepiped– to hjørner som ikke tilhører samme ansikt.

Diagonal av et parallellepiped– et segment som forbinder motsatte hjørner.

Hvis sidekantene er vinkelrette på planene til basene, kalles parallellepipedet direkte.

Et rett parallellepiped hvis baser er rektangler kalles rektangulær. Et prisme, hvis ansikter alle er firkanter, kalles kube.

Parallelepiped- et prisme hvis base er parallellogrammer.

Høyre parallellepipedum- et parallellepiped hvis sidekanter er vinkelrett på bunnplanet.

Rektangulært parallellepipedum er et rett parallellepiped hvis base er rektangler.

Kube– et rektangulært parallellepiped med like kanter.

parallellepipedum kalt et prisme hvis base er et parallellogram; Dermed har et parallellepiped seks flater og alle er parallellogrammer.

Motstående flater er parvis like og parallelle. Parallepipedet har fire diagonaler; de krysser alle på ett punkt og er delt i to på det. Ethvert ansikt kan tas som base; volum lik produktet grunnflate per høyde: V = Sh.

Et parallellepiped hvis fire sideflater er rektangler kalles et rett parallellepiped.

Et rett parallellepiped hvis seks flater er rektangler kalles rektangulært. Cm. Fig.2.

Volumet (V) av et rett parallellepiped er lik produktet av grunnflaten (S) og høyden (h): V = Sh .

For et rektangulært parallellepiped gjelder i tillegg formelen V=abc, hvor a,b,c er kanter.

Diagonalen (d) til et rektangulært parallellepiped er relatert til kantene ved relasjonen d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

Rektangulært parallellepipedum- et parallellepiped hvis sidekanter er vinkelrette på basene, og basene er rektangler.

Egenskaper til et rektangulært parallellepiped:

I et rektangulært parallellepiped er alle seks flatene rektangler.

Alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallellepiped er rett.

Kvadraten til diagonalen til et rektangulært parallellepiped er lik summen av kvadratene av dets tre dimensjoner (lengdene av tre kanter som har et felles toppunkt).

Diagonalene til et rektangulært parallellepiped er like.

Et rektangulært parallellepiped, hvis flater alle er firkanter, kalles en terning. Alle kanter på kuben er like; volumet (V) av en terning uttrykkes med formelen V=a 3, hvor a er kanten på kuben.