Arealet til en rombe er lik produktet. Hvordan finne området til en rombe

Til tross for at matematikk er naturvitenskapens dronning, og aritmetikk er matematikkens dronning, er geometri det vanskeligste for skolebarn å lære. Planimetri er en gren av geometri som studerer planfigurer. En av disse formene er en rombe. De fleste problemer med å løse firkanter kommer ned til å finne områdene deres. La oss systematisere de kjente formlene og ulike måterå beregne arealet til en rombe.

En rombe er et parallellogram med alle fire sider like. Husk at et parallellogram har fire vinkler og fire par parallelle like sider. Som enhver firkant har en rombe en rekke egenskaper, som koker ned til følgende: når diagonalene skjærer hverandre danner de en vinkel lik 90 grader (AC ⊥ BD), skjæringspunktet deler hver i to like segmenter. Diagonalene til en rombe er også halveringslinjene til vinklene (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, etc.). Det følger at de deler romben i fire like høyre trekant. Summen av lengdene av diagonalene hevet til andre potens er lik lengden på siden til andre potens multiplisert med 4, dvs. BD 2 + AC 2 = 4AB 2. Det er mange metoder som brukes i planimetri for å beregne arealet til en rombe, hvis anvendelse avhenger av kildedataene. Hvis sidelengden og en hvilken som helst vinkel er kjent, kan du bruke følgende formel: arealet til en rombe er lik kvadratet på siden multiplisert med sinusen til vinkelen. Fra trigonometrikurset vet vi at sin (π – α) = sin α, som betyr at man i beregninger kan bruke sinusen til enhver vinkel - både spiss og stump. Et spesielt tilfelle er en rombe, der alle vinkler er rette. Dette er en firkant. Det er kjent at sinus rett vinkel er lik én, så arealet av en firkant er lik lengden på siden hevet til andre potens.

Hvis størrelsen på sidene er ukjent, bruker vi lengden på diagonalene. I dette tilfellet er arealet av romben lik halvparten av produktet av de store og mindre diagonalene.

Gitt den kjente lengden på diagonalene og størrelsen på enhver vinkel, bestemmes arealet til en rombe på to måter. For det første: arealet er halvparten av kvadratet av den større diagonalen multiplisert med tangensen til halvparten gradsmål spiss vinkel, dvs. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), hvor D er hoveddiagonalen, α er den spisse vinkelen. Hvis du vet størrelsen på den lille diagonalen, vil vi bruke formelen 1/2*d 2 *tg(β/2), der d er den lille diagonalen, β er en stump vinkel. La oss huske at målet på en spiss vinkel er mindre enn 90 grader (målet på en rett vinkel), og en stump vinkel er derfor større enn 90 0.

Arealet til en rombe kan bli funnet ved å bruke lengden på siden (husk at alle sider av en rombe er like) og høyden. Høyde er en vinkelrett senket til siden motsatt vinkelen eller til dens forlengelse. For at bunnen av høyden skal ligge inne i romben, bør den senkes fra en stump vinkel.

Noen ganger krever et problem å finne området til en rombe basert på data relatert til den innskrevne sirkelen. I dette tilfellet må du vite radiusen. Det er to formler som kan brukes til beregning. Så for å svare på spørsmålet kan du doble produktet av siden av romben og radiusen til den innskrevne sirkelen. Med andre ord må du multiplisere diameteren til den innskrevne sirkelen med siden av romben. Hvis størrelsen på vinkelen er presentert i problemstillingen, blir arealet funnet gjennom kvotienten mellom kvadratet på radiusen multiplisert med fire og sinusen til vinkelen.

Som du kan se, er det mange måter å finne området til en rombe på. Selvfølgelig vil det kreve tålmodighet, oppmerksomhet og selvfølgelig tid for å huske hver av dem. Men i fremtiden kan du enkelt velge metoden som passer for oppgaven din, og du vil oppdage at geometri ikke er vanskelig.

Torget geometrisk figur - en numerisk karakteristikk av en geometrisk figur som viser størrelsen på denne figuren (en del av overflaten begrenset av den lukkede konturen til denne figuren). Størrelsen på området er uttrykt ved antall kvadratenheter som det inneholder.

Trekantarealformler

Formel for arealet av en trekant ved side og høyde
Arealet av en trekant lik halvparten av produktet av lengden av en side av en trekant og lengden av høyden trukket til denne siden
Formel for arealet til en trekant basert på tre sider og radiusen til den omskrevne sirkelen
Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til den innskrevne sirkelen
Arealet av en trekant er lik produktet av halvperimeteren til trekanten og radiusen til den innskrevne sirkelen.

Kvadratarealformler

Formel for arealet av et kvadrat ved sidelengde
Firkantet område lik kvadratet på lengden på siden.
Formel for arealet av en firkant langs diagonallengden
Firkantet område lik halve kvadratet av lengden på diagonalen.
S= 1 2
2

Formel for rektangelareal

Arealet av et rektangel

Parallelogramarealformler

Formel for arealet av et parallellogram basert på sidelengde og høyde
Arealet av et parallellogram
Formel for arealet av et parallellogram basert på to sider og vinkelen mellom dem
Arealet av et parallellogram er lik produktet av lengdene på sidene multiplisert med sinusen til vinkelen mellom dem.
a b sin α

Formler for området til en rombe

Formel for området til en rombe basert på sidelengde og høyde
Området til en rombe lik produktet av lengden på siden og lengden på høyden senket til denne siden.
Formel for arealet til en rombe basert på sidelengde og vinkel
Området til en rombe er lik produktet av kvadratet av lengden på siden og sinusen til vinkelen mellom sidene av romben.
Formel for området til en rombe basert på lengden på diagonalene
Området til en rombe lik halvparten av produktet av lengdene på diagonalene.

Trapesformler for område

Herons formel for trapes
Hvor S er arealet av trapeset,
- lengder på basene til trapesen,
- lengder på sidene av trapesen,

I skolekurs i geometri, blant hovedoppgavene, er det lagt stor vekt på eksempler beregne arealet og omkretsen til en rombe. La oss huske at romben tilhører en egen klasse av firkanter og skiller seg ut blant dem like sider. En rombe er også et spesialtilfelle av et parallellogram hvis sistnevnte har alle sider like AB=BC=CD=AD. Nedenfor er et bilde som viser en rombe.

Egenskaper til en rombe

Siden en rombe opptar en del av parallellogrammer, vil egenskapene i dem være like.

Motsatte vinkler på en rombe, som et parallellogram, er like.
Summen av vinklene til en rombe ved siden av den ene siden er 180°.
Diagonalene til en rombe skjærer hverandre i en vinkel på 90 grader.
Diagonalene til en rombe er også halveringslinjene til vinklene.
Diagonalene til en rombe er delt i to i skjæringspunktet.

Tegn på en diamant

Alle egenskapene til en rombe oppstår fra dens egenskaper og bidrar til å skille den mellom firkanter, rektangler og parallellogrammer.

Et parallellogram hvis diagonaler skjærer hverandre i rette vinkler er en rombe.
Et parallellogram hvis diagonaler er halveringslinjer er en rombe.
Et parallellogram med like sider er en rombe.
En firkant med alle sider like er en rombe.
En firkant hvis diagonaler er vinkelhalveringslinjer og skjærer i rette vinkler, er en rombe.
Et parallellogram med like høyder er en rombe.

Formel for omkretsen til en rombe

Perimeter per definisjon lik summen alle sider. Siden alle sider av en rombe er like, beregner vi omkretsen ved hjelp av formelen

Omkretsen beregnes i lengdeenheter.

Radius av en sirkel innskrevet i en rombe

Et av de vanlige problemene når man studerer en rombe er å finne radiusen eller diameteren til den innskrevne sirkelen. Figuren nedenfor viser noen av de vanligste formlene for radiusen til en innskrevet sirkel i en rombe.

Den første formelen viser at radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe er lik produktet av diagonalene delt på summen av alle sidene (4a).

En annen formel viser at radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe er lik halve høyden på romben

Den andre formelen i figuren er en modifikasjon av den første og brukes når man beregner radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe når diagonalene til romben er kjent, det vil si de ukjente sidene.

Den tredje formelen for radiusen til en innskrevet sirkel finner faktisk halve høyden av den lille trekanten som dannes av skjæringspunktet mellom diagonalene.

Blant de mindre populære formlene for å beregne radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe, kan du også gi følgende:

her er D diagonalen til romben, alfa er vinkelen som skjærer diagonalen.

Hvis arealet (S) av en rombe og størrelsen på den spisse vinkelen (alfa) er kjent, må du finne radiusen til den innskrevne sirkelen for å beregne Kvadratrot fra en fjerdedel av produktet av området og sinusen til en spiss vinkel:

Fra formlene ovenfor kan du enkelt finne radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe hvis betingelsene i eksemplet inneholder det nødvendige settet med data.

Formel for området til en rombe

Formler for beregning av areal er vist i figuren.

Den enkleste er utledet som summen av arealene til to trekanter som en rombe er delt inn i med diagonalen.

Den andre arealformelen gjelder for problemer der diagonalene til en rombe er kjent. Da er arealet til en rombe lik halvparten av produktet av diagonalene

Det er enkelt nok å huske og også lett å beregne.

Den tredje arealformelen gir mening når vinkelen mellom sidene er kjent. Ifølge den er arealet til en rombe lik produktet av kvadratet på siden og sinusen til vinkelen. Om den er spiss eller ikke spiller ingen rolle siden sinusen til begge vinklene får samme verdi.

Hva er Rhombus? En rombe er et parallellogram der alle sider er like.

RHOMBUS, en figur på et plan, en firkant med like sider. Diamant - spesielt tilfelle Et PARALLELOGRAM der enten to tilstøtende sider er like, eller diagonalene skjærer hverandre i rette vinkler, eller diagonalen halverer vinkelen. En rombe med rette vinkler kalles en firkant.

Den klassiske formelen for arealet til en rombe er å beregne verdien gjennom høyden. Arealet til en rombe er lik produktet av en side og høyden trukket til den siden.

1. Arealet til en rombe er lik produktet av en side og høyden trukket til denne siden:

\[ S = a \cdot h \]

2. Hvis siden til en rombe er kjent (alle sider på en rombe er like) og vinkelen mellom sidene, kan arealet finnes ved å bruke følgende formel:

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. Arealet til en rombe er også lik halvproduktet av diagonalene, det vil si:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Hvis radius r til en sirkel innskrevet i en rombe og siden til romben a er kjent, beregnes arealet av formelen:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Egenskaper til en rombe

I figuren ovenfor er \(ABCD\) en rombe, \(AC = DB = CD = AD\) . Siden en rombe er et parallellogram, har den alle egenskapene til et parallellogram, men det er også egenskaper som bare er iboende for en rombe.

Du kan passe en sirkel inn i hvilken som helst rombe. Sentrum av en sirkel innskrevet i en rombe er skjæringspunktet for diagonalene. Sirkelradius lik halve høyden av romben:

\[ r = \frac( AH )(2) \]

Egenskaper til en rombe

Diagonalene til en rombe er vinkelrette;

Diagonalene til en rombe er halveringslinjene til vinklene.

Tegn på en diamant

Et parallellogram hvis diagonaler skjærer hverandre i rette vinkler er en rombe;

Et parallellogram hvis diagonaler er halveringslinjene til vinklene er en rombe.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For å utføre beregninger må du aktivere ActiveX-kontroller!

En rombe er et spesielt tilfelle av et parallellogram. Det er en flat firkantet figur der alle sider er like. Denne eiendommen bestemmer at romber har motsatte sider parallelle og motsatte vinkler like. Diagonalene til en rombe skjærer hverandre i rette vinkler, skjæringspunktet er i midten av hver diagonal, og vinklene de kommer ut fra er delt i to. Det vil si at diagonalene til en rombe er halveringslinjer for vinklene. Basert på definisjonene ovenfor og de listede egenskapene til romber, kan deres område bestemmes på forskjellige måter.

1. Hvis begge diagonalene til en rombe AC og BD er kjent, kan arealet av romben bestemmes som halvparten av produktet av diagonalene.

S = ½ ∙ A.C. ∙ BD

hvor AC, BD er lengden på diagonalene til romben.

For å forstå hvorfor det er slik, kan du mentalt passe et rektangel inn i en rombe slik at sidene til sistnevnte er vinkelrett på diagonalene til romben. Det blir åpenbart at arealet av romben vil være lik halvparten av arealet av rektangelet som er skrevet inn på denne måten i romben, hvis lengde og bredde vil tilsvare størrelsen på diagonalene til romben.

2. I analogi med et parallellepiped kan arealet til en rombe finnes som produktet av siden og høyden på perpendikulæren fra motsatt side senket til en gitt side.

S = a ∙ h

hvor a er siden av romben;
h er høyden på perpendikulæren som faller til en gitt side.

3. Arealet til en rombe er også lik kvadratet på siden multiplisert med sinusen til vinkelen α.

S = a 2 ∙ synd α

hvor a er siden av romben;
α er vinkelen mellom sidene.

4. Også området til en rombe kan finnes gjennom siden og radiusen til sirkelen som er innskrevet i den.

S=2 ∙ en ∙ r

hvor a er siden av romben;
r er radiusen til sirkelen innskrevet i romben.

Interessante fakta
Ordet rombe kommer fra det gamle greske rombus, som betyr "tamburin". På den tiden hadde tamburiner faktisk en diamantform, og ikke rund, slik vi er vant til å se dem nå. Navnet kom fra samme tid kort farge"diamanter". Veldig brede diamanter forskjellige typer brukt i heraldikk.