Hva er roten til et tall? Hvordan trekke ut kvadratrøtter raskt

Det er nødvendig å vite hva roten til et ord er for å gjøre det riktig morfemanalyse. I tillegg fra dette konseptet Det russiske språket avhenger også av riktig stavemåte for mange stavemåter, fordi reglene sier at det er nødvendig å velge ord med samme rot. Hva det er? Vi forteller deg i denne artikkelen.

Rotord: definisjon av konsept

Ethvert ord på det russiske språket kan deles inn i morfemer - betydelige deler. Noen av dem inneholder grammatisk innhold, andre - leksikalske. Sistnevnte er roten. Det er i denne delen den leksikalske betydningen er inneholdt.

Roten til et ord er hoveddelen. Faktisk kan et leksem eksistere uten prefiks, suffiks og ha null bøyning. Men uten en rot vil det være et meningsløst sett med bokstaver eller symboler.

La oss gi et eksempel: i ordene "bakvann" og "vann" er det henholdsvis et prefiks og et suffiks. Fjerner vi dem, gjenstår betydningen "noe relatert til vann". Men hvis du fjerner roten -vann-, vil de slutte å være slike. Dermed har vi bevist at det er roten som er bærer av hovedbetydningen.

Dette morfemet kan være fritt (eksistere uten andre deler) og bundet (ingen mening uten prefikser, avslutninger og suffikser). Dermed er roten til leksemet "løp" fri (løp - betydningen av ordet kan bestemmes), men roten til leksemet "vri" er bundet -i-, fordi uten bøyning og suffiks er det rett og slett en meningsløs stavelse.

Ord uten rot

Det er ett unikt ord i det russiske språket som ikke inneholder en rot: "ta ut". Når du vet hva roten til et ord er, er det vanskelig å forestille seg noe slikt! Dette var imidlertid ikke alltid tilfelle.

Etymologisk har dette ordet en rot, men det gikk tapt i prosessen med språkevolusjon. Det pleide å være skrevet annerledes - "ta ut". Over tid utviklet språket seg, og verb som "stikke", "blåse", "berøre" begynte å dukke opp. I analogi med dem endret "ta ut" seg også - det begynte å bli skrevet og uttalt som "ta ut." Så nå formelt sett består dette leksemet bare av prefikset du-, suffikset -nu- og bøyningen -t. Roten skilles bare etymologisk.

Hvilke ord har samme rot

Beslektede ord er de som har samme rot og deres leksikalske betydning er også lik. Leksemene "trøbbel" - "fattig" - "fattigdom" - "å bli fattig" er beslektet, fordi de har samme rot -seng-, som betegner ulykke, deprivasjon.

La oss gi et annet eksempel: roten til ordet "søk" sammenfaller med morfemene i ordene "søk", "søk", "søkemotor", "innfyllende". Dermed er alle disse leksemene av samme rot.

Beslektede ord er fulle av trusselen om å gjøre en feil når de identifiseres. Det bør forstås klart at i tillegg til den samme felles delen, må de også ha en lignende betydning. For eksempel, i ordene "å drive" og "submariner" er roten den samme, -vod-. Men betydningen av disse ordene varierer: drive - administrere kjøretøy, og en ubåter er en som jobber under vann. Dermed danner ikke disse homonyme røttene et par beslektede ord.

Det ville også være en feil å skille ut former for det samme ordet som beslektede ord: "sykepleier" - "barnepike" - "pleie". Dette er bare verbet å sykepleier, brukt i entall eller flertall og feminin.

Hvordan lete etter roten til et ord

For å identifisere hovedmorfemene riktig, er det ikke nok bare å vite hva roten til et ord er. Her må du kompetent kunne velge ord med samme rot og relaterte ord.

Slike ord hører ikke nødvendigvis til en bestemt del av talen, de kan alle ha betydning. Dermed vil leksemene ha samme rot: "light" - "light" - "shine" - "light"; "grønn" - "grønn" - "grønn" - "grønn"; "fred" - "global" - "å forsone" - "fredelig."

Hvordan fremheve roten til et ord? Regelen sier at du skal fordype deg i dens leksikale betydning, velge relaterte ord og observere hvilke deler som gjentas. På denne måten kan du enkelt forstå hvor hovedmorfemet er. Noen ganger hjelper det først å "kutte av" prefikset, bøyningen og suffikset, spesielt hvis de har ett alternativ.

For eksempel, i ordet "plantain" er det et prefiks po- (det har ingen andre varianter og er lett å visualisere) og et suffiks nik-, som også er veldig karakteristisk for substantiver. Roten -veien- gjenstår. La oss bevise dette ved å velge ord med samme rot: sti, vei.

Det siste eksemplet viser også at veksling skjer i røttene. Dette er diktert av historiske endringer i språket. Både konsonant- og vokallyder kan variere.

Veien er en sti.

Tørr - tørr.

Hånd - penn.

Samle - samle - samle.

Å dø er å dø.

Strålende - å skinne.

Når du vet hva roten til et ord er og hvordan du leter etter det riktig, kan du trygt gjøre en morfemisk analyse av slike ord uten frykt for å gjøre feil.

Ganske ofte, når vi løser problemer, står vi overfor store tall som vi trenger å trekke ut fra Kvadratrot. Mange elever bestemmer seg for at dette er en feil og begynner å løse hele eksemplet på nytt. Under ingen omstendigheter bør du gjøre dette! Det er to grunner til dette:

1. Røtter fra store tall faktisk oppstår i problemer. Spesielt i tekst;
2. Det er en algoritme der disse røttene beregnes nesten muntlig.

Vi vil vurdere denne algoritmen i dag. Kanskje noen ting vil virke uforståelige for deg. Men hvis du legger merke til denne leksjonen, får du kraftigste våpen imot kvadratrøtter.

Så, algoritmen:

1. Begrens den nødvendige roten over og under til tall som er multipler av 10. Dermed vil vi redusere søkeområdet til 10 tall;
2. Fra disse 10 tallene, luk ut de som definitivt ikke kan være røtter. Som et resultat vil 1-2 tall gjenstå;
3. Kvaddra disse 1-2 tallene. Den hvis kvadrat er lik det opprinnelige tallet vil være roten.

Før vi setter denne algoritmen i praksis, la oss se på hvert enkelt trinn.

Rotbegrensning

Først av alt må vi finne ut mellom hvilke tall roten vår ligger. Det er svært ønskelig at tallene er multipler av ti:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Vi får en rekke tall:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Hva forteller disse tallene oss? Det er enkelt: vi får grenser. Ta for eksempel tallet 1296. Det ligger mellom 900 og 1600. Derfor kan roten ikke være mindre enn 30 og større enn 40:

[Tekst til bildet]

Det samme gjelder for alle andre tall som du kan finne kvadratroten fra. For eksempel, 3364:

[Tekst til bildet]

I stedet for et uforståelig tall får vi altså et helt spesifikt område der den opprinnelige roten ligger. For å begrense søkeområdet ytterligere, gå videre til det andre trinnet.

Eliminerer åpenbart unødvendige tall

Så vi har 10 tall - kandidater for roten. Vi fikk dem veldig raskt, uten kompleks tenkning og multiplikasjon i en kolonne. Det er på tide å gå videre.

Tro det eller ei, vi skal nå redusere antall kandidattall til to – igjen uten noen kompliserte beregninger! Det er nok å kjenne til spesialregelen. Her er det:

Det siste sifferet i kvadratet avhenger bare av det siste sifferet originalnummer.

Med andre ord, bare se på det siste sifferet i firkanten og vi vil umiddelbart forstå hvor det opprinnelige tallet slutter.

Det er bare 10 sifre som kan vises på siste plass. La oss prøve å finne ut hva de blir til når de er kvadratiske. Ta en titt på tabellen:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Denne tabellen er enda et skritt mot å beregne roten. Som du kan se, viste tallene i den andre linjen seg å være symmetriske i forhold til de fem. For eksempel:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Som du kan se, er det siste sifferet det samme i begge tilfeller. Det betyr at for eksempel roten til 3364 må ende på 2 eller 8. På den annen side husker vi begrensningen fra forrige avsnitt. Vi får:

[Tekst til bildet]

Røde firkanter indikerer at vi ennå ikke kjenner denne figuren. Men roten ligger i området fra 50 til 60, der det bare er to tall som slutter på 2 og 8:

[Tekst til bildet]

Det er alt! Av alle mulige røtter forlot vi bare to alternativer! Og dette er i det vanskeligste tilfellet, fordi det siste sifferet kan være 5 eller 0. Og da vil det bare være én kandidat for røttene!

Endelige beregninger

Så vi har 2 kandidatnummer igjen. Hvordan vet du hvilken som er roten? Svaret er åpenbart: kvadrat begge tallene. Den som kvadrat gir det opprinnelige tallet vil være roten.

For eksempel, for tallet 3364 fant vi to kandidattall: 52 og 58. La oss kvadrere dem:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Det er alt! Det viste seg at roten er 58! Samtidig, for å forenkle beregningene, brukte jeg formelen for kvadratene av sum og differanse. Takket være dette trengte jeg ikke engang å multiplisere tallene i en kolonne! Dette er et annet nivå av beregningsoptimalisering, men det er selvfølgelig helt valgfritt :)

Eksempler på beregning av røtter

Teori er selvfølgelig bra. Men la oss sjekke det i praksis.

[Tekst til bildet]

Først, la oss finne ut mellom hvilke tall tallet 576 ligger:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

La oss nå se på det siste tallet. Det er lik 6. Når skjer dette? Bare hvis roten ender på 4 eller 6. Vi får to tall:

Alt som gjenstår er å kvadre hvert tall og sammenligne det med originalen:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Flott! Den første firkanten viste seg å være lik det opprinnelige tallet. Så dette er roten.

Oppgave. Regn ut kvadratroten:

[Tekst til bildet]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

La oss se på det siste sifferet:

1369 → 9;
33; 37.

Kvaddra det:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Her er svaret: 37.

Oppgave. Regn ut kvadratroten:

[Tekst til bildet]

Vi begrenser antallet:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

La oss se på det siste sifferet:

2704 → 4;
52; 58.

Kvaddra det:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Vi fikk svaret: 52. Det andre tallet trenger ikke lenger å være i annen.

Oppgave. Regn ut kvadratroten:

[Tekst til bildet]

Vi begrenser antallet:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

La oss se på det siste sifferet:

4225 → 5;
65.

Som du kan se, er det bare ett alternativ igjen etter det andre trinnet: 65. Dette er den ønskede roten. Men la oss fortsatt kvadre det og sjekke:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Alt er riktig. Vi skriver ned svaret.

Konklusjon

Akk, ikke bedre. La oss se på årsakene. Det er to av dem:

• I enhver vanlig matematikk-eksamen, enten det er statseksamen eller Unified State-eksamen, er bruk av kalkulatorer forbudt. Og tar du med en kalkulator inn i timen, kan du lett bli kastet ut av eksamen.
• Ikke vær som dumme amerikanere. Som ikke bare er røtter - de er to primtall De kan ikke brette den. Og når de ser brøker, blir de generelt hysteriske.

I denne artikkelen vil vi introdusere konseptet med en rot av et tall. Vi fortsetter sekvensielt: la oss begynne med kvadratrot, fra den går vi videre til beskrivelsen av kuberoten, hvoretter vi generaliserer begrepet rot ved å definere roten til n-te grad. Samtidig vil vi introdusere definisjoner, notasjoner, gi eksempler på røtter og gi nødvendige forklaringer og kommentarer.

Kvadratrot, aritmetisk kvadratrot

For å forstå definisjonen av roten til et tall, og kvadratroten spesielt, må du ha . På dette tidspunktet vil vi ofte møte andre potens av et tall - kvadratet av et tall.

La oss begynne med kvadratrotdefinisjoner.

Definisjon

Kvadratroten av en er et tall hvis kvadrat er lik a.

For å bringe eksempler på kvadratrøtter, ta flere tall, for eksempel 5, −0,3, 0,3, 0, og kvadrere dem, får vi tallene 25, 0,09, 0,09 og 0, henholdsvis (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3)2=0,3·0,3=0,09 og 02=0,0=0). Så, i henhold til definisjonen gitt ovenfor, er tallet 5 kvadratroten av tallet 25, tallene -0,3 og 0,3 er kvadratrøttene av 0,09, og 0 er kvadratroten av null.

Det skal bemerkes at det ikke for noe tall a eksisterer en hvis kvadrat er lik a. For ethvert negativt tall a er det nemlig ikke noe reelt tall b hvis kvadrat er lik a. Faktisk er likheten a=b 2 umulig for enhver negativ a, siden b 2 ikke er det et negativt tall for enhver b. Dermed, det er ingen kvadratrot av et negativt tall på settet med reelle tall. Med andre ord, på settet med reelle tall er kvadratroten av et negativt tall ikke definert og har ingen betydning.

Dette fører til et logisk spørsmål: "Finnes det en kvadratrot av a for enhver ikke-negativ a"? Svaret er ja. Dette faktum kan begrunnes med den konstruktive metoden som brukes for å finne verdien av kvadratroten.

Da oppstår det neste logiske spørsmålet: "Hva er antallet av alle kvadratrøtter av et gitt ikke-negativt tall a - en, to, tre eller enda mer"? Her er svaret: hvis a er null, så er den eneste kvadratroten av null null; hvis a er noen positivt tall, da er antallet kvadratrøtter av tallet a to, og røttene er . La oss begrunne dette.

La oss starte med tilfellet a=0 . Først, la oss vise at null faktisk er kvadratroten av null. Dette følger av den åpenbare likheten 0 2 =0·0=0 og definisjonen av kvadratroten.

La oss nå bevise at 0 er den eneste kvadratroten av null. La oss bruke den motsatte metoden. Anta at det er et tall b som ikke er null, som er kvadratroten av null. Da må betingelsen b 2 =0 være oppfylt, noe som er umulig, siden for enhver ikke-null b verdien av uttrykket b 2 er positiv. Vi har kommet frem til en motsetning. Dette beviser at 0 er den eneste kvadratroten av null.

La oss gå videre til tilfeller der a er et positivt tall. Vi sa ovenfor at det alltid er en kvadratrot av et ikke-negativt tall, la kvadratroten av a være tallet b. La oss si at det er et tall c, som også er kvadratroten av a. Da, ved definisjonen av en kvadratrot, er likhetene b 2 =a og c 2 =a sanne, hvorav det følger at b 2 −c 2 =a−a=0, men siden b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c), deretter (b−c)·(b+c)=0 . Den resulterende likheten er gyldig egenskaper ved operasjoner med reelle tall bare mulig når b−c=0 eller b+c=0 . Dermed er tallene b og c like eller motsatte.

Hvis vi antar at det er et tall d, som er en annen kvadratrot av tallet a, så bevises det ved å resonnere lik de som allerede er gitt, at d er lik tallet b eller tallet c. Så antallet kvadratrøtter av et positivt tall er to, og kvadratrøttene er motsatte tall.

For å gjøre det enklere å jobbe med kvadratrøtter, er den negative roten "atskilt" fra den positive. For dette formålet er det introdusert definisjon av aritmetisk kvadratrot.

Definisjon

Aritmetisk kvadratrot av et ikke-negativt tall a er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er lik a.

Notasjonen for den aritmetiske kvadratroten av a er . Tegnet kalles det aritmetiske kvadratrottegnet. Det kalles også det radikale tegnet. Derfor kan du noen ganger høre både "root" og "radikal", som betyr det samme objektet.

Tallet under det aritmetiske kvadratrottegnet kalles radikalt tall, og uttrykket under rottegnet er radikalt uttrykk, mens begrepet «radikalt tall» ofte erstattes med «radikalt uttrykk». For eksempel, i notasjonen er tallet 151 et radikalt tall, og i notasjonen er uttrykket a et radikalt uttrykk.

Ved lesing blir ordet «aritmetikk» ofte utelatt, for eksempel leses oppføringen som «kvadratroten av syv komma tjueni». Ordet "aritmetikk" brukes bare når de ønsker å understreke det vi snakker om spesielt om den positive kvadratroten av et tall.

I lys av den introduserte notasjonen følger det av definisjonen av en aritmetisk kvadratrot at for ethvert ikke-negativt tall a .

Kvadratrottene av et positivt tall a skrives ved å bruke det aritmetiske kvadratrottegnet som og . For eksempel er kvadratrøttene av 13 og . Den aritmetiske kvadratroten av null er null, det vil si. For negative tall a vil vi ikke legge betydning til notasjonen før vi studerer komplekse tall . For eksempel er uttrykkene og meningsløse.

Ut fra definisjonen av kvadratroten påvises egenskapene til kvadratrøtter, som ofte brukes i praksis.

Som konklusjon av dette avsnittet merker vi at kvadratrøttene til tallet a er løsninger på formen x 2 =a med hensyn til variabelen x.

Terningrot av et tall

Definisjon av terningrot av tallet a er gitt på samme måte som definisjonen av kvadratroten. Bare det er basert på konseptet med en kube av et tall, ikke et kvadrat.

Definisjon

Terningrot av en er et tall hvis terning er lik a.

La oss gi eksempler på kuberøtter. For å gjøre dette, ta flere tall, for eksempel 7, 0, −2/3, og kube dem: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Så, basert på definisjonen av en terningrot, kan vi si at tallet 7 er terningroten av 343, 0 er terningroten av null, og −2/3 er terningroten av −8/27.

Det kan vises at terningsroten til et tall, i motsetning til kvadratroten, alltid eksisterer, ikke bare for ikke-negativ a, men også for et hvilket som helst reelt tall a. For å gjøre dette kan du bruke samme metode som vi nevnte når du studerte kvadratrøtter.

Dessuten er det bare en enkelt terningrot av et gitt tall a. La oss bevise det siste utsagnet. For å gjøre dette, vurdere tre tilfeller separat: a er et positivt tall, a=0 og a er et negativt tall.

Det er lett å vise at hvis a er positiv, kan terningroten av a verken være et negativt tall eller null. Faktisk, la b være terningroten til a, så kan vi per definisjon skrive likheten b 3 =a. Det er klart at denne likheten ikke kan være sann for negativ b og for b=0, siden b 3 =b·b·b i disse tilfellene vil være henholdsvis et negativt tall eller null. Så terningroten av et positivt tall a er et positivt tall.

Anta nå at det i tillegg til tallet b er en annen terningrot av tallet a, la oss betegne det c. Så c 3 =a. Derfor er b 3 −c 3 =a−a=0, men b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(dette er den forkortede multiplikasjonsformelen forskjell på kuber), hvorav (b−c)·(b2 +b·c+c2)=0. Den resulterende likheten er bare mulig når b−c=0 eller b 2 +b·c+c 2 =0. Fra den første likheten har vi b=c, og den andre likheten har ingen løsninger, siden dens venstre side er et positivt tall for alle positive tall b og c som summen av tre positive ledd b 2, b·c og c 2. Dette beviser unikheten til kuberoten til et positivt tall a.

Når a=0, er terningsroten av tallet a bare tallet null. Faktisk, hvis vi antar at det er et tall b, som er en ikke-null terningrot av null, så må likheten b 3 =0 holde, noe som bare er mulig når b=0.

For negativ a kan argumenter som ligner på tilfellet for positiv a gis. Først viser vi at terningroten av et negativt tall ikke kan være lik verken et positivt tall eller null. For det andre antar vi at det er en andre terningrot av et negativt tall og viser at det nødvendigvis vil falle sammen med det første.

Så det er alltid en terningrot av et gitt reelt tall a, og en unik.

La oss gi definisjon av aritmetisk terningsrot.

Definisjon

Aritmetisk terningrot av et ikke-negativt tall a er et ikke-negativt tall hvis terning er lik a.

Den aritmetiske kuberoten av et ikke-negativt tall a er betegnet som , tegnet kalles tegnet til den aritmetiske kuberoten, tallet 3 i denne notasjonen kalles rotindeks. Nummeret under rottegnet er radikalt tall, er uttrykket under rottegnet radikalt uttrykk.

Selv om den aritmetiske kuberoten er definert kun for ikke-negative tall a, er det også praktisk å bruke notasjoner der negative tall finnes under tegnet til den aritmetiske kuberoten. Vi vil forstå dem som følger: , hvor a er et positivt tall. For eksempel, .

Vi vil snakke om egenskapene til kuberøtter i den generelle artikkelen egenskaper til røtter.

Å beregne verdien av en terningrot kalles å trekke ut en terningrot. Denne handlingen er omtalt i artikkelen trekke ut røtter: metoder, eksempler, løsninger.

For å konkludere med dette punktet, la oss si at terningroten av tallet a er en løsning av formen x 3 =a.

n-te rot, aritmetisk rot av grad n

La oss generalisere konseptet med en rot av et tall - vi introduserer definisjon av n-te rot for n.

Definisjon

n-te rot av en er et tall hvis n-te potens er lik a.

Fra denne definisjonen det er tydelig at den første gradsroten av tallet a er tallet a selv, siden når vi studerte graden med en naturlig eksponent tok vi en 1 =a.

Ovenfor så vi på spesielle tilfeller av den n-te roten for n=2 og n=3 - kvadratrot og terningsrot. Det vil si at en kvadratrot er en rot av andre grad, og en terningrot er en rot av tredje grad. For å studere røtter av n-te grad for n=4, 5, 6, ..., er det praktisk å dele dem inn i to grupper: den første gruppen - røtter av jevne grader (det vil si for n = 4, 6, 8 , ...), den andre gruppen - røtter odde grader (det vil si med n=5, 7, 9, ...). Dette skyldes det faktum at røtter av partallskrefter ligner kvadratrøtter, og røtter til odde potenser ligner kubikkrøtter. La oss håndtere dem en etter en.

La oss starte med røttene, hvis krefter er partall 4, 6, 8, ... Som vi sa, ligner de kvadratroten av tallet a. Det vil si at roten til en jevn grad av tallet a eksisterer bare for ikke-negativ a. Dessuten, hvis a=0, så er roten av a unik og lik null, og hvis a>0, så er det to røtter med jevn grad av tallet a, og de er motsatte tall.

La oss underbygge den siste påstanden. La b være en partall rot (vi betegner den som 2·m, der m er et naturlig tall) av tallet a. Anta at det er et tall c - en annen rot av grad 2·m fra tallet a. Så b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Men vi kjenner formen b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2), deretter (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2)=0. Fra denne likheten følger det at b−c=0, eller b+c=0, eller b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2 =0. De to første likhetene betyr at tallene b og c er like eller b og c er motsatte. Og den siste likheten er bare gyldig for b=c=0, siden det på venstre side er et uttrykk som er ikke-negativt for enhver b og c som summen av ikke-negative tall.

Når det gjelder røttene til n-te grad for oddetall n, ligner de på kuberoten. Det vil si at roten til en hvilken som helst oddetall av tallet a eksisterer for et hvilket som helst reelt tall a, og for et gitt tall a er det unikt.

Det unike til en rot av oddetallsgrad 2·m+1 av tallet a bevises i analogi med beviset for unikheten til terningroten til a. Bare her i stedet for likestilling a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) en likhet på formen b 2 m+1 −c 2 m+1 = brukes (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +... +c 2·m). Uttrykket i siste parentes kan skrives om som b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m−2 + c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). For eksempel, med m=2 har vi b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Når a og b begge er positive eller begge negative, er produktet deres et positivt tall, så er uttrykket b 2 +c 2 +b·c i de høyeste nestede parentesene positivt som summen av de positive tallene. Når vi nå går sekvensielt til uttrykkene i parentes for de tidligere hekkegradene, er vi overbevist om at de også er positive som summen av positive tall. Som et resultat får vi at likheten b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +... +c 2·m)=0 bare mulig når b−c=0, det vil si når tallet b er lik tallet c.

Det er på tide å forstå notasjonen til n-te røtter. For dette formålet er det gitt definisjon av aritmetisk rot av n-te grad.

Definisjon

Aritmetisk rot av n-te grad av et ikke-negativt tall a er et ikke-negativt tall hvis n-te potens er lik a.

Ord er nødvendig ikke bare for riktig utførelse morfemanalyse, men også for riktig stavemåte av de fleste ord, siden det ofte er nødvendig å vite riktig stavemåte til et spesifikt morfem.

Morfemi, dens emne og mål

I russisk lingvistikk er det en seksjon viet til studiet av systemet med morfemer og den morfemiske strukturen til ord og ordformer, kalt morfemikk. Morfemiens hovedoppgave er studiet og klassifiseringen av morfemer, samt en algoritme for å dele ord inn i morfemer.

Morfemet, som er den grunnleggende enheten for morfemi, er den minste. Samtidig er det minimumsenheten av språk som har betydning. Det er verdt å merke seg at morfemet har forskjeller med enheter på alle andre språknivåer. Dermed skiller det seg fra en lyd ved tilstedeværelse av mening, fra et ord ved fravær av et grammatisk formalisert navn, og fra en setning ved at det ikke representerer en kommunikativ enhet.

Roten til ordet

Hvert ord i det russiske språket kan deles inn i morfemer. Alle morfemer er delt inn i rot (selve roten) og ikke-rot (prefiks, suffiks, slutning). Og hvis ikke-rotmorfemer bærer grammatisk betydning ord, så uttrykker roten den leksikalske betydningen. For eksempel, i ordene "under vann" og "vann", bærer roten "vann-" betydningen "noe relatert til vann." Imidlertid er det ord hvis betydning ikke er inneholdt nøyaktig i roten eller i et annet morfem. For eksempel ordet "matinee" i betydningen barnefest uttrykker ikke sin betydning i noen av morfemene.

Roten er hoveddelen av ordet, uten hvilken den ikke kan eksistere. Det er mange ord som kan brukes uten prefiks, suffiks eller slutt (skogmann, stol, taxi osv.), men uten rot blir ordet et enkelt sett med bokstaver som ikke har noen betydning. Unntaket er det eneste ordet på russisk, som ikke har noen rot. Dette er ordet "ta ut", som består av prefikset du-, suffikset -brønn og bøyningen -t. Fraværet av en rot i dette ordet kan forklares ved å studere etymologien. Faktum er at i ferd med språkutvikling gitt ord endret sin utseende, og i stedet for originalversjonen «ta ut», hvor roten -n- kunne skilles, kom formen «ta ut» i bruk, der roten kun kan skilles etymologisk.

Alle røtter kan deles inn i gratis og koblet. Førstnevnte kan brukes enten uavhengig eller i kombinasjon med ulike bøyninger (brannmann, undervann, løp, etc.). Sistnevnte brukes bare i kombinasjon med bøyninger (na-d-et, o-d-et, raz-d-et, etc.).

Roten til et ord er også definert som den vanlige delen av beslektede ord. Men også her må du huske at det er ganske mange røtter som kan forekomme i bare ett ord. For eksempel, "ak", "kakadue", noen geografiske navn.

Kognater

Ord som har samme del (rot) og er like i betydning kalles kognate. For eksempel: regn, regn, regnfrakk; skyte, skutt, skutt ned.

For å identifisere roten i et ord riktig, må du velge så mange ord med samme rot som mulig. Den delen av ordet som gjentas i alle ord med samme rot vil være roten. Det er imidlertid nyanser som bør tas i betraktning når du velger ord med samme rot.

For det første bør du ikke forveksle ord med samme rot med relaterte ord. Alle kognater er beslektede, det vil si at de har noe til felles i sin betydning, men ikke alle kognater er beslektede. Dette skyldes det faktum at noen ord i utviklingsprosessen har mistet sin opprinnelige betydning. For eksempel er ordene "svart" og "blekk" relatert, men har forskjellige røtter, selv om den etymologiske sammenhengen mellom betydningen av disse ordene kan spores. I moderne språk ordet "blekk" i betydningen "lim inn i en skrivestav" har mistet sin forbindelse med betydningen av "svart", siden blekk kan ha hvilken som helst farge. Derfor, for å identifisere roten riktig i beslektede ord, er det ofte nødvendig å spore deres etymologi.

For det andre, når du velger ord med samme rot, kan du ikke bruke former for ett ord. Dermed er ordene "lage mat", "lage mat", "lage mat" den samme roten. Og ordene "kokt", "kokt", "kokt" er bare former for ett ord.

For det tredje må vi ikke glemme at det er homonyme røtter. Disse røttene høres ut og ser like ut, men har forskjellige betydninger. For eksempel er røttene i ordene "å kjøre" og "vann".

Vanskelige ord

Det kan være vanskelig å identifisere en rot i et ord selv når det inneholder flere røtter. Slike ord kalles sammensatte ord. De er dannet ved å legge til to eller til og med tre ord og kombinere betydningene deres. For å identifisere røttene i et ord som er komplekst, må du riktig bestemme betydningen. For eksempel en fotgjenger (går), en stålarbeider (støper stål), en betongblander (blande betong). Vanligvis, for å danne ord ved addisjon, brukes forbindelsesvokalene -o- (gass-o-wire) og -e- (olje-e-wire).

Røtter med veksling

I det russiske språket er det røtter som tillater flere alternativer for å skrive en vokal eller konsonantbokstav i roten, avhengig av ordets form. Slike røtter kalles alternerende røtter. I slike tilfeller vil kunnskap bidra til å identifisere roten i et ord mulige alternativer vekslinger. Så blant vokalene er disse:

O/a (forbrenning - brun);

O/e/i (brenne - tenne - brenne);

O/s (s) (hyle - hyl, slått - slåss);

O/s/u (tørket opp - tørke ut - tørk);

O/null lyd (søvn - drømmer);

E/null lyd (dag - dagtid).

Stavemåten til slike røtter kan avhenge av stress, påfølgende bokstaver, plassering og leksikalsk betydning og bestemmes av regler.

Blant konsonantene skilles følgende vekslinger ut:

G/f/z (venn - å være venner - venner);

K/t (hender - manuell);

D/jernbane (sjåfør - rådgiver - eskorte);

H/sh (stille - roligere);

P/pl (blind - blindet);

M/ml (fôr - fôring);

B/bl (å elske - forelsket);

V/vl (fangst - fangst).

Stavemåter i roten av et ord

En stavemåte er stedet i et ord hvor en feil kan gjøres. Slike steder kan være i hvilken som helst del av ordet, inkludert roten. Etter å ha identifisert stavemåten i roten av et ord, må du først finne ut om det er verifiserbart eller ikke verifiserbart. Stavemåten til ukontrollerte stavemåter må kontrolleres i en ordbok og må huskes. Blant de testede stavemåtene er det: ubetonede parstemmede og stemmeløse konsonanter, staving av uuttalelige konsonanter. For å velge riktig stavemåte må du sette bokstaven i tvil i en sterk posisjon. Denne posisjonen for en vokal vil bli understreket (fly - pilot), og for en konsonant - før en vokal eller sonorant (eik - eik, hei - helse, tann - tann). For rask og riktig valg testord, er det nødvendig å identifisere roten nøyaktig i ord med samme rot, som er testord.

Dermed er evnen til riktig å identifisere roten i et ord en av nøklene til kompetent skriving. I tillegg til å huske reglene, kan lesing utvilsomt hjelpe til med å utvikle denne ferdigheten. Tross alt, hva flere mennesker leser, jo rikere er ordforrådet hans.

Fakta 1.
\(\bullet\) La oss ta et ikke-negativt tall \(a\) (det vil si \(a\geqslant 0\) ). Deretter (aritmetikk) kvadratrot fra tallet \(a\) kalles et slikt ikke-negativt tall \(b\) , når vi kvadreres får vi tallet \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(samme som )\quad a=b^2\] Av definisjonen følger det at \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Disse restriksjonene er en viktig betingelse for at det skal eksistere en kvadratrot og bør huskes!
Husk at et hvilket som helst tall når det er kvadratisk gir et ikke-negativt resultat. Det vil si \(100^2=10000\geqslant 0\) og \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Hva er \(\sqrt(25)\) lik? Vi vet at \(5^2=25\) og \((-5)^2=25\) . Siden vi per definisjon må finne et ikke-negativt tall, er \(-5\) ikke egnet, derfor \(\sqrt(25)=5\) (siden \(25=5^2\) ).
Å finne verdien av \(\sqrt a\) kalles å ta kvadratroten av tallet \(a\) , og tallet \(a\) kalles det radikale uttrykket.
\(\bullet\) Basert på definisjonen, uttrykk \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), etc. gir ikke mening.

Fakta 2.
For raske beregninger vil det være nyttig å lære kvadrattabellen naturlige tall fra \(1\) til \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Hvilke operasjoner kan du gjøre med kvadratrøtter?
\(\kule\) Summen eller differansen av kvadratrøtter ER IKKE LIK med kvadratroten av summen eller differansen, det vil si \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Så hvis du trenger å beregne for eksempel \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , må du først finne verdiene til \(\sqrt(25)\) og \(\ sqrt(49)\ ) og brett dem deretter. Derfor, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Hvis verdiene\(\sqrt a\) eller \(\sqrt b\) ikke kan bli funnet når du legger til \(\sqrt a+\sqrt b\), blir ikke et slikt uttrykk transformert videre og forblir som det er. For eksempel, i summen \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kan vi finne \(\sqrt(49)\) er \(7\) , men \(\sqrt 2\) kan ikke transformeres i uansett, det er derfor \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Dette uttrykket kan dessverre ikke forenkles ytterligere\(\bullet\) Produktet/kvotienten av kvadratrøtter er lik kvadratroten av produktet/kvotienten, dvs. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (forutsatt at begge sider av likestillingene gir mening)
Eksempel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\).
\(\bullet\) Ved å bruke disse egenskapene er det praktisk å finne kvadratrøtter av store tall ved å faktorisere dem.
La oss se på et eksempel. La oss finne \(\sqrt(44100)\) . Siden \(44100:100=441\) , deretter \(44100=100\cdot 441\) . I henhold til kriteriet for delbarhet er tallet \(441\) delelig med \(9\) (siden summen av sifrene er 9 og er delelig med 9), derfor \(441:9=49\), det vil si \(441=9\ cdot 49\) . Dermed fikk vi:\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) La oss vise hvordan du legger inn tall under kvadratrottegnet ved å bruke eksempelet på uttrykket \(5\sqrt2\) (kort notasjon for uttrykket \(5\cdot \sqrt2\)). Siden \(5=\sqrt(25)\) , da \ Merk også at f.eks.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Hvorfor det? La oss forklare ved hjelp av eksempel 1). Som du allerede forstår, kan vi ikke på en eller annen måte transformere tallet \(\sqrt2\). La oss forestille oss at \(\sqrt2\) er et tall \(a\) . Følgelig er uttrykket \(\sqrt2+3\sqrt2\) ikke mer enn \(a+3a\) (ett tall \(a\) pluss tre til av de samme tallene \(a\)). Og vi vet at dette er lik fire slike tall \(a\) , det vil si \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) De sier ofte "du kan ikke trekke ut roten" når du ikke kan bli kvitt tegnet \(\sqrt () \ \) til roten (radikal) når du finner verdien av et tall . For eksempel kan du ta roten av tallet \(16\) fordi \(16=4^2\) , derfor \(\sqrt(16)=4\) . Men det er umulig å trekke ut roten av tallet \(3\), det vil si å finne \(\sqrt3\), fordi det ikke er noe tall som kvadrat vil gi \(3\) .
Slike tall (eller uttrykk med slike tall) er irrasjonelle. For eksempel tall \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) og så videre. er irrasjonelle.
Også irrasjonelle er tallene \(\pi\) (tallet "pi", omtrent lik \(3.14\)), \(e\) (dette tallet kalles Euler-tallet, det er omtrent lik \(2.7) \)) etc.
\(\bullet\) Vær oppmerksom på at et hvilket som helst tall vil være enten rasjonelt eller irrasjonelt. Og sammen danner alle rasjonelle og alle irrasjonelle tall et sett kalt et sett med reelle tall. Dette settet er merket med bokstaven \(\mathbb(R)\) .
Dette betyr at alle tallene som står på dette øyeblikket vi vet kalles reelle tall.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulen til et reelt tall \(a\) er et ikke-negativt tall \(|a|\) , lik avstand fra punktet \(a\) til \(0\) på den reelle linjen. For eksempel er \(|3|\) og \(|-3|\) lik 3, siden avstandene fra punktene \(3\) og \(-3\) til \(0\) er samme og lik \(3 \) .
\(\bullet\) Hvis \(a\) er et ikke-negativt tall, så \(|a|=a\) .
Eksempel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
Eksempel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
De sier at for negative tall "spiser" modulen minus, mens positive tall, så vel som tallet \(0\), forblir uendret av modulen.
MEN Denne regelen gjelder kun for tall. Hvis det under modultegnet ditt er en ukjent \(x\) (eller en annen ukjent), for eksempel \(|x|\) , som vi ikke vet om den er positiv, null eller negativ, så bli kvitt av modulen kan vi ikke. I dette tilfellet forblir dette uttrykket det samme: \(|x|\) . \(\bullet\) Følgende formler holder: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]\[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \tekst( gitt ) a\geqslant 0\]
Svært ofte gjøres følgende feil: de sier at \(\sqrt(a^2)\) og \((\sqrt a)^2\) er ett og det samme. Dette er bare sant hvis \(a\) er et positivt tall eller null. Men hvis \(a\) er et negativt tall, så er dette usant. Det er nok å vurdere dette eksemplet. La oss ta i stedet for \(a\) tallet \(-1\) . Så \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , men uttrykket \((\sqrt (-1))^2\) eksisterer ikke i det hele tatt (tross alt, det er umulig å bruke rottegnet sette negative tall!). Derfor gjør vi oppmerksom på at \(\sqrt(a^2)\) ikke er lik \((\sqrt a)^2\) ! Eksempel: 1)\(\sqrt(\venstre(-\sqrt2\høyre)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)<0\) ;

, fordi \(-\sqrt2 \(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) .
\(\bullet\) Siden \(\sqrt(a^2)=|a|\) , deretter \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(uttrykket \(2n\) angir et partall)
Det vil si at når man tar roten til et tall som til en viss grad er, halveres denne graden.
Eksempel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)

2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (merk at hvis modulen ikke leveres, viser det seg at roten av tallet er lik \(-25\ ) ; men vi husker at dette per definisjon av en rot ikke kan skje: når vi trekker ut en rot, bør vi alltid få et positivt tall eller null)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (siden ethvert tall i partall er ikke-negativt)
Fakta 6.<\sqrt b\) , то \(a(uttrykket \(2n\) angir et partall)
Hvordan sammenligne to kvadratrøtter? \(\bullet\) For kvadratrøtter er det sant: hvis \(\sqrt a 1) sammenlign \(\sqrt(50)\) og \(6\sqrt2\) . Først, la oss forvandle det andre uttrykket til<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
\(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\)
. Dermed, siden \(50<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
2) Mellom hvilke heltall er \(\sqrt(50)\) plassert? \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((legg til en på begge sider))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadrat på begge sider))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(justert)\] Vi ser at vi har fått en feil ulikhet. Derfor var antakelsen vår feil og \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Merk at det å legge til et visst tall på begge sider av ulikheten ikke påvirker fortegnet. Å multiplisere/dele begge sider av en ulikhet med et positivt tall påvirker heller ikke fortegnet, men å multiplisere/dele med et negativt tall reverserer tegnet på ulikheten!
Du kan kvadre begge sider av en ligning/ulikhet BARE HVIS begge sider er ikke-negative. For eksempel, i ulikheten fra forrige eksempel kan du kvadrat begge sider, i ulikheten \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Det bør huskes \[\begin(justert) &\sqrt 2\approx 1.4\\ &\sqrt 3\approx 1.7 \end(aligned)\]Å vite den omtrentlige betydningen av disse tallene vil hjelpe deg når du sammenligner tall!
\(\bullet\) For å trekke ut roten (hvis den kan trekkes ut) fra et stort tall som ikke er i rutetabellen, må du først bestemme mellom hvilke "hundrevis" den er plassert, deretter - mellom hvilke " tiere", og bestem deretter det siste sifferet i dette tallet. La oss vise hvordan dette fungerer med et eksempel.
La oss ta \(\sqrt(28224)\) . Vi vet at \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), etc. Merk at \(28224\) er mellom \(10\,000\) og \(40\,000\) . Derfor er \(\sqrt(28224)\) mellom \(100\) og \(200\) .
La oss nå bestemme mellom hvilke "tiere" tallet vårt er plassert (det vil for eksempel være mellom \(120\) og \(130\)). Også fra rutetabellen vet vi at \(11^2=121\) , \(12^2=144\) osv., deretter \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Så vi ser at \(28224\) er mellom \(160^2\) og \(170^2\) . Derfor er tallet \(\sqrt(28224)\) mellom \(160\) og \(170\) .
La oss prøve å bestemme det siste sifferet. La oss huske hvilke ensifrede tall, når de kvadreres, gir \(4\) på slutten? Disse er \(2^2\) og \(8^2\) . Derfor vil \(\sqrt(28224)\) ende på enten 2 eller 8. La oss sjekke dette. La oss finne \(162^2\) og \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .

For å løse Unified State-eksamen i matematikk tilstrekkelig, må du først studere teoretisk materiale, som introduserer deg til en rekke teoremer, formler, algoritmer, etc. Ved første øyekast kan det virke som om dette er ganske enkelt. Men å finne en kilde der teorien for Unified State Exam i matematikk presenteres på en enkel og forståelig måte for elever med et hvilket som helst treningsnivå, er faktisk en ganske vanskelig oppgave. Skolebøker kan ikke alltid holdes for hånden. Og å finne grunnleggende formler for Unified State Exam i matematikk kan være vanskelig selv på Internett.

Hvorfor er det så viktig å studere teori i matematikk, ikke bare for de som tar Unified State Exam?

1. Fordi det utvider horisonten din. Å studere teoretisk stoff i matematikk er nyttig for alle som ønsker å få svar på en lang rekke spørsmål knyttet til kunnskap om verden rundt seg. Alt i naturen er ordnet og har en klar logikk. Det er nettopp dette som gjenspeiles i vitenskapen, der det er mulig å forstå verden.
2. Fordi det utvikler intelligens. Ved å studere referansemateriale for Unified State Exam i matematikk, i tillegg til å løse ulike problemer, lærer en person å tenke og resonnere logisk, å formulere tanker kompetent og tydelig. Han utvikler evnen til å analysere, generalisere og trekke konklusjoner.

Vi inviterer deg til personlig å vurdere alle fordelene ved vår tilnærming til systematisering og presentasjon av pedagogisk materiale.