Multiplisere og dele negative tall. Regler for å multiplisere negative tall

I denne artikkelen vil vi forstå prosessen multiplikasjon negative tall . Først formulerer vi regelen for å multiplisere negative tall og begrunner den. Etter dette vil vi gå videre til å løse typiske eksempler.

Sidenavigering.

Vi kunngjør det med en gang regel for å multiplisere negative tall: For å multiplisere to negative tall, må du multiplisere deres absolutte verdier.

La oss skrive denne regelen med bokstaver: for alle negative reelle tall −a og −b (i dette tilfellet er tallene a og b positive), er følgende likhet sann: (−a)·(−b)=a·b .

La oss bevise regelen for å multiplisere negative tall, det vil si bevise likheten (−a)·(−b)=a·b.

I artikkelen multiplisere tall med forskjellige tegn vi har underbygget gyldigheten av likheten a·(−b)=−a·b, på samme måte er det vist at (−a)·b=−a·b. Disse resultatene og egenskapene til motsatte tall lar oss skrive følgende likheter (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b))=a·b. Dette beviser regelen for å multiplisere negative tall.

Fra multiplikasjonsregelen ovenfor er det klart at produktet av to negative tall er et positivt tall. Faktisk, siden modulen til et hvilket som helst tall er positiv, er produktet av moduler også et positivt tall.

Som konklusjon av dette punktet merker vi at den betraktede regelen kan brukes til å multiplisere reelle tall, rasjonelle tall og heltall.

Det er på tide å ordne opp eksempler på å multiplisere to negative tall, når vi løser, vil vi bruke regelen fra forrige avsnitt.

Multipliser to negative tall −3 og −5.

Modulene til tallene som multipliseres er henholdsvis 3 og 5. Produktet av disse tallene er 15 (se om nødvendig multiplikasjon naturlige tall), så produktet av de opprinnelige tallene er 15.

Hele prosessen med å multiplisere innledende negative tall er kort skrevet som følger: (−3)·(−5)= 3·5=15.

Multiplikasjon av negative rasjonelle tall ved hjelp av den analyserte regelen kan reduseres til multiplikasjon vanlige brøker, multiplisere blandede tall eller multiplisere desimaler.

Beregn produktet (−0,125)·(−6) .

I følge regelen for å multiplisere negative tall har vi (−0,125)·(−6)=0,125·6. Alt som gjenstår er å fullføre beregningene multiplisere desimalbrøken med et naturlig tall i en kolonne:

Merk til slutt at hvis en eller begge faktorene er irrasjonelle tall, gitt i form av røtter, logaritmer, potenser osv., så må deres produkt ofte skrives som et numerisk uttrykk. Verdien av det resulterende uttrykket beregnes bare når det er nødvendig.

Multipliser et negativt tall med et negativt tall.

La oss først finne modulene til tallene som multipliseres: og (se egenskaper til logaritmen). Så, i henhold til regelen om å multiplisere negative tall, har vi. Det resulterende produktet er svaret.

Du kan fortsette å studere emnet ved å henvise til avsnittet multiplisere reelle tall.

Med litt strekk er den samme forklaringen også gyldig for produktet 1-5, hvis vi antar at "summen" er fra en enkelt

term er lik denne termen. Men produktet 0 5 eller (-3) 5 kan ikke forklares på denne måten: hva betyr summen av null eller minus tre ledd?

Du kan imidlertid omorganisere faktorene

Hvis vi ønsker at produktet ikke skal endres ved omorganisering av faktorene - slik tilfellet var positive tall– så må vi altså anta det

La oss nå gå videre til produktet (-3) (-5). Hva er det lik: -15 eller +15? Begge alternativene har en grunn. På den ene siden gjør et minus i én faktor allerede produktet negativt - desto mer bør det være negativt hvis begge faktorene er negative. På den annen side, i tabell. 7 har allerede to minuser, men bare ett pluss, og "i rettferdighet" (-3)-(-5) skal være lik +15. Så hva bør du foretrekke?

Selvfølgelig vil du ikke bli forvirret av slik prat: fra skolekurs Matematikere Du har bestemt erfart at minus ganger minus gir pluss. Men forestill deg at din yngre bror eller søster spør deg: hvorfor? Hva er dette - en lærers innfall, en ordre fra høyere myndigheter eller et teorem som kan bevises?

Vanligvis er regelen for å multiplisere negative tall forklart med eksempler som det som er presentert i tabellen. 8.

Det kan forklares annerledes. La oss skrive tallene på rad

Addisjon av negative tall Addisjon av positive og negative tall kan analyseres ved hjelp av talllinjen. Legge til tall ved hjelp av en koordinatlinje Å legge til små modulo-tall er praktisk å gjøre på [...]
Ordets betydning Forklar betydningen av ordene: lov, åger, slaveskyldner. Forklar betydningen av ordene: lov, åger, slaveskyldner. DELICIOUS STRAWBERRY (Gjeste) Skoler Spørsmål om emnet 1. Hvilke 3 typer kan deles […]
Enkeltskattesats - 2018 Enkeltskattesats - 2018 for gründere-individer av første og andre gruppe beregnes som en prosentandel av størrelsen levelønn og minstelønnen fastsatt 1. januar […]
Trenger du tillatelse for å bruke radio i en bil? hvor kan jeg lese det? Du må uansett registrere radiostasjonen din. Walkie-talkies som opererer med en frekvens på 462MHz, hvis du ikke er en representant for innenriksdepartementet, er ikke […]
Eksamensbilletter Trafikkregler kategori SD 2018 Eksamensbilletter CD STSI 2018 Offisielle eksamensbilletter av SD-kategorien 2018. Billetter og kommentarer er basert på trafikkregler fra 18. juli 2018 […]
Kurs fremmedspråk i Kiev "European Education" engelsk italiensk nederlandsk norsk islandsk vietnamesisk burmesisk bengal singalesisk tagalog nepalesisk madagaskisk Uansett hvor du […]

La oss nå skrive de samme tallene multiplisert med 3:

Det er lett å legge merke til at hvert tall er 3 mer enn det forrige La oss nå skrive de samme tallene i omvendt rekkefølge (begynner for eksempel med 5 og 15):

Dessuten, under tallet -5 var det et tall -15, så 3 (-5) = -15: pluss ved minus gir et minus.

La oss nå gjenta den samme prosedyren, multiplisere tallene 1,2,3,4,5. med -3 (vi vet allerede at pluss ved minus gir minus):

Hvert neste tall i den nederste raden er mindre enn det forrige med 3. Skriv tallene i omvendt rekkefølge

Under tallet -5 er det 15, så (-3) (-5) = 15.

Kanskje disse forklaringene vil tilfredsstille din yngre bror eller søster. Men du har rett til å spørre hvordan ting egentlig er og er det mulig å bevise at (-3) (-5) = 15?

Svaret her er at det kan bevises at (-3) (-5) må være lik 15 hvis vi vil at de ordinære egenskapene addisjon, subtraksjon og multiplikasjon skal forbli sanne for alle tall, inkludert negative. Omrisset av dette beviset er som følger.

La oss først bevise at 3 (-5) = -15. Hva er -15? Dette er det motsatte tallet av 15, det vil si tallet som når det legges til 15 gir 0. Så vi må bevise at

(Ved å ta 3 ut av parentesen brukte vi fordelingsloven ab + ac = a(b + c) for - tross alt antar vi at den forblir sann for alle tall, inkludert negative.) Så, (De grundige leseren vil spørre oss hvorfor. Vi innrømmer ærlig: vi hopper over beviset på dette faktum - så vel som den generelle diskusjonen om hva null er.)

La oss nå bevise at (-3) (-5) = 15. For å gjøre dette, skriver vi

og multipliser begge sider av likheten med -5:

La oss åpne parentesene på venstre side:

dvs. (-3) (-5) + (-15) = 0. Dermed er tallet det motsatte av tallet -15, dvs. lik 15. (Det er også hull i dette resonnementet: det ville være nødvendig å bevise at det bare er ett tall, det motsatte av -15.)

Regler for å multiplisere negative tall

Forstår vi multiplikasjon riktig?

«A og B satt på røret. A falt, B forsvant, hva er igjen på røret?
"Brevet ditt I forblir."

(Fra filmen «Youths in the Universe»)

Hvorfor gir det null å multiplisere et tall med null?

Hvorfor gir multiplisering av to negative tall et positivt tall?

Lærere kommer med alt de kan for å gi svar på disse to spørsmålene.

Men ingen har mot til å innrømme at det er tre semantiske feil i formuleringen av multiplikasjon!

Er det mulig å gjøre feil i grunnleggende aritmetikk? Tross alt posisjonerer matematikk seg som en eksakt vitenskap.

Skolebøker i matematikk gir ikke svar på disse spørsmålene, og erstatter forklaringer med et sett med regler som må huskes. Kanskje anses dette temaet som vanskelig å forklare på ungdomsskolen? La oss prøve å forstå disse problemene.

7 er multiplikanten. 3 er multiplikatoren. 21-arbeid.

I følge den offisielle ordlyden:

å multiplisere et tall med et annet tall betyr å legge til så mange multiplikander som multiplikatoren foreskriver.

I følge den aksepterte formuleringen forteller faktor 3 oss at det skal være tre syvere på høyre side av likheten.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Men denne formuleringen av multiplikasjon kan ikke forklare spørsmålene ovenfor.

La oss korrigere ordlyden av multiplikasjon

Vanligvis i matematikk er det mye som menes, men det snakkes ikke om eller skrives ned.

Dette refererer til plusstegnet før de første syv på høyre side av ligningen. La oss skrive ned dette plusset.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Men hva er de syv første lagt til? Dette betyr selvfølgelig null. La oss skrive ned null.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Hva om vi ganger med tre minus syv?

— 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

Vi skriver addisjonen av multiplikanet -7, men faktisk trekker vi fra null flere ganger. La oss åpne parentesene.

— 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

Nå kan vi gi en mer presis formulering av multiplikasjon.

Multiplikasjon er prosessen med gjentatte ganger å legge til (eller trekke fra null) multiplikaden (-7) så mange ganger som multiplikatoren indikerer. Multiplikatoren (3) og dens fortegn (+ eller -) indikerer antall operasjoner som legges til eller trekkes fra null.

Ved å bruke denne avklarte og litt modifiserte formuleringen av multiplikasjon, er "tegnreglene" for multiplikasjon når multiplikatoren er negativ lett forklart.

7 * (-3) - det må være tre minustegn etter null = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

- 7 * (-3) - igjen skal det være tre minustegn etter null =

0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Multipliser med null

7 * 0 = 0 + . det er ingen addisjons-til-null-operasjoner.

Hvis multiplikasjon er et addisjon til null, og en multiplikator viser antall operasjoner for å addere til null, så viser en multiplikator av null at ingenting legges til null. Det er derfor det forblir null.

Så i den eksisterende formuleringen av multiplikasjon fant vi tre semantiske feil som blokkerer forståelsen av de to "tegnreglene" (når multiplikatoren er negativ) og multiplikasjonen av et tall med null.

Du trenger ikke legge til multiplikanten, men legge den til null.
Multiplikasjon er ikke bare å legge til null, men også å trekke fra null.
Multiplikatoren og dens fortegn viser ikke antall ledd, men antall pluss- eller minustegn når multiplikasjonen dekomponeres i ledd (eller subtraksjoner).

Etter å ha klargjort formuleringen noe, var vi i stand til å forklare tegnreglene for multiplikasjon og multiplikasjon av et tall med null uten hjelp av den kommutative multiplikasjonsloven, uten den distributive loven, uten å involvere analogier med tallinjen, uten ligninger , uten bevis fra det motsatte, etc.

Tegnreglene for den raffinerte formuleringen av multiplikasjon er utledet veldig enkelt.

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

Multiplikatoren og dens fortegn (+3 eller -3) indikerer antall "+" eller "-" tegn på høyre side av ligningen.

Den modifiserte formuleringen av multiplikasjon tilsvarer operasjonen med å heve et tall til en potens.

2^0 = 1 (en er ikke multiplisert eller delt med noe, så den forblir en)

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matematikere er enige om at å heve et tall til en positiv potens er å multiplisere ett om og om igjen. Og heve et tall til negativ grad er en multippel divisjon av en enhet.

Operasjonen av multiplikasjon skal være lik operasjonen av eksponentiering.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*0 = 0 (ingenting legges til null og ingenting trekkes fra null)

2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

Den modifiserte formuleringen av multiplikasjon endrer ikke noe i matematikk, men returnerer den opprinnelige betydningen av multiplikasjonsoperasjonen, forklarer "tegnreglene", multipliserer et tall med null, og forener multiplikasjon med eksponentiering.

La oss sjekke om vår formulering av multiplikasjon stemmer overens med divisjonsoperasjonen.

15: 5 = 3 (invers av multiplikasjon 5 * 3 = 15)

Kvotienten (3) tilsvarer antall operasjoner med addisjon til null (+3) under multiplikasjon.

Å dele tallet 15 med 5 betyr å finne hvor mange ganger du trenger å trekke 5 fra 15. Dette gjøres ved sekvensiell subtraksjon til et nullresultat er oppnådd.

For å finne resultatet av divisjonen må du telle antall minustegn. Det er tre av dem.

15: 5 = 3 operasjoner med å trekke fem fra 15 for å få null.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (divisjon 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (multipliser 5 * 3)

Divisjon med resten.

17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

17: 5 = 3 og 2 resten

Hvis det er divisjon med en rest, hvorfor ikke multiplikasjon med et vedheng?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

La oss se på forskjellen i ordlyden på kalkulatoren

Eksisterende formulering av multiplikasjon (tre ledd).

10 + 10 + 10 = 30

Korrigert multiplikasjonsformulering (tre tillegg til null operasjoner).

0 + 10 = = = 30

(Trykk "lik" tre ganger.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

En multiplikator på 3 indikerer at multiplikanten 10 må legges til null tre ganger.

Prøv å multiplisere (-10) * (-3) ved å legge til begrepet (-10) minus tre ganger!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

Hva betyr minustegnet for tre? Kanskje det?

(-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

Ops. Det er ikke mulig å dekomponere produktet i summen (eller differansen) av ledd (-10).

Den reviderte ordlyden gjør dette riktig.

0 — (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Multiplikatoren (-3) indikerer at multiplikanten (-10) må trekkes fra null tre ganger.

Tegn regler for addisjon og subtraksjon

Ovenfor viste vi en enkel måte å utlede reglene for tegn for multiplikasjon ved å endre betydningen av ordlyden til multiplikasjon.

Men for konklusjonen brukte vi reglene for tegn for addisjon og subtraksjon. De er nesten de samme som for multiplikasjon. La oss lage en visualisering av reglene for tegn for addisjon og subtraksjon, slik at selv en førsteklassing kan forstå det.

Hva er "minus", "negativ"?

Det er ikke noe negativt i naturen. Nei negativ temperatur, ingen negativ retning, ingen negativ masse, ingen negative ladninger. Selv sinus i sin natur kan bare være positivt.

Men matematikere kom opp med negative tall. For hva? Hva betyr "minus"?

Minus betyr motsatt retning. Venstre høyre. Topp bunn. Med klokken - mot klokken. Frem og tilbake. Kald varm. Lett tungt. Sakte fort. Hvis du tenker deg om, kan du gi mange andre eksempler hvor det er praktisk å bruke negative verdier mengder

I den verden vi kjenner starter uendelig fra null og går til pluss uendelig.

"Minus uendelighet" i virkelige verden eksisterer ikke. Dette er den samme matematiske konvensjonen som konseptet "minus".

Så, "minus" angir motsatt retning: bevegelse, rotasjon, prosess, multiplikasjon, addisjon. La oss analysere ulike retninger når du legger til og subtraherer positive og negative (øker i den andre retningen) tall.

Vanskeligheten med å forstå reglene for tegn for addisjon og subtraksjon skyldes at disse reglene vanligvis er forklart på en talllinje. På talllinjen blandes tre ulike komponenter, som regler er avledet fra. Og på grunn av forvirring, på grunn av å klumpe forskjellige konsepter i én haug, skapes det vanskeligheter med å forstå.

For å forstå reglene må vi dele inn:

det første leddet og summen (de vil være på den horisontale aksen);
det andre leddet (det vil være på den vertikale aksen);
retning for addisjons- og subtraksjonsoperasjoner.

Denne inndelingen er tydelig vist i figuren. Tenk deg mentalt at den vertikale aksen kan rotere og legge den horisontale aksen.

Addisjonsoperasjonen utføres alltid ved å rotere den vertikale aksen med klokken (plusstegn). Subtraksjonsoperasjonen utføres alltid ved å rotere den vertikale aksen mot klokken (minustegn).

Eksempel. Diagram i nedre høyre hjørne.

Det kan sees at to tilstøtende minustegn (tegnet for subtraksjonsoperasjonen og tegnet på tallet 3) har forskjellige betydninger. Den første minus viser retningen for subtraksjon. Den andre minus er tegnet på tallet på den vertikale aksen.

Finn det første leddet (-2) på den horisontale aksen. Finn det andre leddet (-3) på den vertikale aksen. Roter den vertikale aksen mentalt mot klokken til (-3) er på linje med tallet (+1) på den horisontale aksen. Tallet (+1) er resultatet av addisjon.

gir samme resultat som addisjonsoperasjonen i diagrammet i øvre høyre hjørne.

Derfor kan to tilstøtende minustegn erstattes med ett plusstegn.

Vi er alle vant til å bruke ferdige regneregler uten å tenke på betydningen. Derfor legger vi ofte ikke engang merke til hvordan reglene for tegn for addisjon (subtraksjon) skiller seg fra reglene for tegn for multiplikasjon (divisjon). Virker de like? Nesten. En liten forskjell kan sees i følgende illustrasjon.

Nå har vi alt vi trenger for å utlede tegnreglene for multiplikasjon. Utgangssekvensen er som følger.

Vi viser tydelig hvordan reglene for tegn for addisjon og subtraksjon oppnås.
Vi gjør semantiske endringer i den eksisterende formuleringen av multiplikasjon.
Basert på den modifiserte formuleringen av multiplikasjon og reglene for tegn for addisjon, utleder vi tegnreglene for multiplikasjon.

Nedenfor er skrevet Tegn regler for addisjon og subtraksjon, hentet fra visualiseringen. Og i rødt, til sammenligning, de samme tegnreglene fra læreboken i matematikk. Det grå pluss i parentes er et usynlig pluss, som ikke er skrevet for et positivt tall.

Det er alltid to tegn mellom begrepene: operasjonstegnet og talltegnet (vi skriver ikke pluss, men vi mener det). Tegnreglene foreskriver erstatning av ett tegnpar med et annet par uten å endre resultatet av addisjon (subtraksjon). Faktisk er det bare to regler.

Regel 1 og 3 (for visualisering) - dupliserte regler 4 og 2.. Regel 1 og 3 i skoletolkningen er ikke sammenfallende med det visuelle skjemaet, derfor gjelder de ikke reglene for tegn for tillegg. Dette er noen andre regler.

Skoleregel 1. (rød) lar deg erstatte to plusser på rad med ett pluss. Regelen gjelder ikke for utskifting av tegn i tillegg og subtraksjon.

Skoleregel 3. (rød) lar deg ikke skrive et plusstegn for et positivt tall etter en subtraksjonsoperasjon. Regelen gjelder ikke for utskifting av tegn i tillegg og subtraksjon.

Betydningen av tegnreglene for tillegg er å erstatte ett PAR med tegn med et annet PAR med tegn uten å endre resultatet av tillegget.

Skolemetodologer blandet to regler i en regel:

— to tegnregler når man adderer og subtraherer positive og negative tall (erstatter ett tegnpar med et annet tegnpar);

- to regler som du ikke kan skrive et plusstegn for et positivt tall i henhold til.

To forskjellige regler, blandet til ett, ligner reglene for tegn i multiplikasjon, der to tegn resulterer i et tredje. De ser helt like ut.

Stor forvirring! Det samme igjen, for bedre filtring. La oss markere operasjonsskiltene i rødt for å skille dem fra tallskiltene.

1. Addisjon og subtraksjon. To tegnregler i henhold til hvilke tegnpar mellom ledd byttes ut. Driftsskilt og nummerskilt.

2. To regler der plusstegnet for et positivt tall er tillatt å ikke skrives. Dette er reglene for påmeldingsskjemaet. Gjelder ikke tillegg. For et positivt tall skrives bare tegnet på operasjonen.

3. Fire tegnregler for multiplikasjon. Når to tegn på faktorer resulterer i et tredje tegn på produktet. Tegnreglene for multiplikasjon inneholder kun talltegn.

Nå som vi har skilt formreglene, bør det være klart at fortegnsreglene for addisjon og subtraksjon slett ikke ligner tegnreglene for multiplikasjon.

"Regelen for å multiplisere negative tall og tall med forskjellige fortegn." 6. klasse

Presentasjon for leksjonen

Last ned presentasjon (622,1 kB)

Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisninger er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle funksjonene i presentasjonen. Hvis du er interessert denne jobben, last ned fullversjonen.

Leksjonens mål.

Emne:

formulere en regel for å multiplisere negative tall og tall med forskjellige fortegn,
lære elevene hvordan de skal anvende denne regelen.

Metaemne:

utvikle evnen til å jobbe i samsvar med den foreslåtte algoritmen, lage en plan for handlingene dine,
utvikle selvkontrollferdigheter.

Personlig:

utvikle kommunikasjonsevner,
form kognitiv interesse studenter.

Utstyr: datamaskin, lerret, multimediaprojektor, Powerpoint presentasjon, utdelingsark: tabell for registreringsregler, tester.

(Lærebok av N.Ya. Vilenkin "Matematikk. 6. klasse", M: "Mnemosyne", 2013.)

I løpet av timene

I. Organisatorisk øyeblikk.

Kommunisere emnet for leksjonen og registrere emnet i notatbøker av elevene.

II. Motivasjon.

Lysbilde nr. 2. (Leksjonsmål. Leksjonsplan).

I dag skal vi fortsette å studere en viktig aritmetisk egenskap - multiplikasjon.

Du vet allerede hvordan du multipliserer naturlige tall - verbalt og kolonnemessig,

Lærte å multiplisere desimaler og vanlige brøker. I dag må du formulere multiplikasjonsregelen for negative tall og tall med forskjellige fortegn. Og ikke bare formulere det, men også lære å bruke det.

III. Oppdatering av kunnskap.

Løs ligningene: a) x: 1,8 = 0,15; b) y: = . (Student ved tavlen)

Konklusjon: for å løse slike ligninger må du kunne multiplisere forskjellige tall.

2) Hjemmesjekk selvstendig arbeid. Se gjennom reglene for å multiplisere desimaler, brøker og blandede tall. (lysbilde nr. 4 og nr. 5).

IV. Formulering av regelen.

Tenk på oppgave 1 (lysbilde nummer 6).

Tenk på oppgave 2 (lysbilde nummer 7).

I prosessen med å løse oppgaver, måtte vi multiplisere tall med forskjellige fortegn og negative tall. La oss se nærmere på denne multiplikasjonen og dens resultater.

Ved å multiplisere tall med forskjellige fortegn får vi et negativt tall.

La oss se på et annet eksempel. Finn produktet (–2) * 3, og erstatt multiplikasjonen med summen av identiske ledd. På samme måte finner du produktet 3 * (–2). (Sjekk - lysbilde nr. 8).

Spørsmål:

1) Hva er tegnet på resultatet når man multipliserer tall med forskjellige fortegn?

2) Hvordan oppnås resultatmodulen? Vi formulerer en regel for å multiplisere tall med forskjellige fortegn og skriver regelen i venstre kolonne i tabellen. (lysbilde nr. 9 og vedlegg 1).

Regel for å multiplisere negative tall og tall med forskjellige fortegn.

La oss gå tilbake til den andre oppgaven, der vi multipliserte to negative tall. Det er ganske vanskelig å forklare en slik multiplikasjon på en annen måte.

La oss bruke forklaringen som ble gitt tilbake på 1700-tallet av den store russiske vitenskapsmannen (født i Sveits), matematikeren og mekanikeren Leonhard Euler. (Leonard Euler etterlot seg ikke bare vitenskapelige arbeider, men skrev også en rekke lærebøker om matematikk beregnet på elever ved den akademiske gymnaset).

Så Euler forklarte resultatet omtrent som følger. (lysbilde nummer 10).

Det er klart at –2 · 3 = – 6. Derfor kan ikke produktet (–2) · (–3) være lik –6. Imidlertid må det på en eller annen måte være relatert til tallet 6. Det gjenstår én mulighet: (–2) · (–3) = 6. .

Spørsmål:

1) Hva er tegnet på produktet?

2) Hvordan ble produktmodulen oppnådd?

Vi formulerer regelen for å multiplisere negative tall og fyller ut høyre kolonne i tabellen. (lysbilde nr. 11).

For å gjøre det lettere å huske tegnregelen når du multipliserer, kan du bruke dens formulering i vers. (lysbilde nr. 12).

Pluss med minus, multiplisere,
Vi setter minus uten å gjespe.
Multipliser minus med minus
Vi gir deg et pluss som svar!

V. Dannelse av ferdigheter.

La oss lære hvordan du bruker denne regelen for beregninger. I dag i leksjonen vil vi utføre beregninger bare med hele tall og desimalbrøker.

1) Utarbeide handlingsplan.

Det utarbeides en ordning for anvendelse av regelen. Notater gjøres på tavlen. Tilnærmet diagram på lysbilde nr. 13.

2) Gjennomføring av handlinger etter ordningen.

Vi løser fra lærebok nr. 1121 (b, c, i, j, p, p). Vi utfører løsningen i henhold til opptegnet diagram. Hvert eksempel er forklart av en av elevene. Samtidig vises løsningen på lysbilde nr. 14.

3) Arbeid i par.

Oppgave på lysbilde nummer 15.

Studentene jobber med alternativer. Først løser og forklarer eleven fra alternativ 1 løsningen til alternativ 2, eleven fra alternativ 2 lytter nøye, hjelper til og retter om nødvendig, og deretter bytter elevene rolle.

Tilleggsoppgave for de parene som avslutter arbeidet tidligere: nr. 1125.

På slutten av arbeidet utføres verifisering ved hjelp av en ferdig løsning plassert på lysbilde nr. 15 (animasjon benyttes).

Hvis mange mennesker klarte å løse nr. 1125, så trekkes konklusjonen at tallets fortegn endres når det multipliseres med (?1).

4) Psykologisk lindring.

5) Selvstendig arbeid.

Selvstendig arbeid - tekst på lysbilde nr. 17. Etter fullført arbeid - selvtest ved hjelp av en ferdig løsning (lysbilde nr. 17 - animasjon, hyperlenke til lysbilde nr. 18).

VI. Kontrollere assimileringsnivået til det studerte materialet. Speilbilde.

Elevene tar testen. Evaluer arbeidet ditt i klassen på samme stykke papir ved å fylle ut tabellen.

Test "Multiplikasjonsregel". Valg 1.

Multiplisere negative tall: regel, eksempler

I denne artikkelen skal vi formulere regelen for å multiplisere negative tall og gi en forklaring på den. Prosessen med å multiplisere negative tall vil bli diskutert i detalj. Eksemplene viser alle mulige tilfeller.

Multiplisere negative tall

Regel for å multiplisere negative tall er at for å multiplisere to negative tall, er det nødvendig å multiplisere modulene deres. Denne regelen er skrevet som følger: for eventuelle negative tall – a, – b, anses denne likheten som sann.

Over er regelen for å multiplisere to negative tall. Basert på det beviser vi uttrykket: (— a) · (— b) = a · b. Artikkelen som multipliserer tall med forskjellige fortegn sier at likhetene a · (- b) = - a · b er gyldige, så vel som (- a) · b = - a · b. Dette følger av egenskapen til motsatte tall, på grunn av hvilken likhetene vil bli skrevet som følger:

(— a) · (— b) = — (— a · (— b)) = — (— (a · b)) = a · b .

Her kan du tydelig se beviset på regelen for å multiplisere negative tall. Ut fra eksemplene er det klart at produktet av to negative tall er et positivt tall. Når du multipliserer moduler av tall, er resultatet alltid et positivt tall.

Denne regelen gjelder for å multiplisere reelle tall, rasjonelle tall og heltall.

Eksempler på å multiplisere negative tall

La oss nå se på eksempler på å multiplisere to negative tall i detalj. Når du regner må du bruke regelen skrevet ovenfor.

Multipliser tallene - 3 og - 5.

Løsning.

Den absolutte verdien av de to tallene som multipliseres er lik de positive tallene 3 og 5. Produktet deres resulterer i 15. Det følger at produktet av de gitte tallene er 15

La oss kort skrive ned selve multiplikasjonen av negative tall:

(– 3) · (– 5) = 3 · 5 = 15

Svar: (- 3) · (- 5) = 15.

Når du multipliserer negative rasjonelle tall, ved å bruke den omtalte regelen, kan du mobilisere for å multiplisere brøker, multiplisere blandede tall, multiplisere desimaler.

Beregn produktet (— 0 , 125) · (— 6) .

Ved å bruke regelen for å multiplisere negative tall, får vi at (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6. For å få resultatet må du multiplisere desimalbrøken med det naturlige antallet kolonner. Det ser slik ut:

Vi fant at uttrykket vil ha formen (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.

Svar: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

I tilfelle når faktorene er irrasjonelle tall, kan produktet deres skrives i skjemaet numerisk uttrykk. Verdien beregnes kun når det er nødvendig.

Det er nødvendig å multiplisere den negative - 2 med den ikke-negative loggen 5 1 3 .

Finne modulene til de gitte tallene:

- 2 = 2 og log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Etter reglene for å multiplisere negative tall får vi resultatet - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Dette uttrykket er svaret.

Svar: — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

For å fortsette å studere emnet, må du gjenta avsnittet om å multiplisere reelle tall.

La oss nå forholde oss til multiplikasjon og divisjon.

La oss si at vi må multiplisere +3 med -4. Hvordan gjøre det?

La oss vurdere en slik sak. Tre personer er i gjeld og har $4 i gjeld hver. Hva er den totale gjelden? For å finne den må du legge sammen alle tre gjeldene: 4 dollar + 4 dollar + 4 dollar = 12 dollar. Vi bestemte at tillegg av tre tall 4 er betegnet som 3x4. Siden vi i dette tilfellet snakker om gjeld, er det et "-"-tegn før 4. Vi vet at den totale gjelden er $12, så problemet vårt blir nå 3x(-4)=-12.

Vi vil få det samme resultatet hvis, i henhold til problemet, hver av de fire personene har en gjeld på $3. Med andre ord, (+4)x(-3)=-12. Og siden rekkefølgen på faktorene ikke spiller noen rolle, får vi (-4)x(+3)=-12 og (+4)x(-3)=-12.

La oss oppsummere resultatene. Når du multipliserer ett positivt og ett negativt tall, vil resultatet alltid være et negativt tall. Den numeriske verdien av svaret vil være den samme som ved positive tall. Produkt (+4)x(+3)=+12. Tilstedeværelsen av "-"-tegnet påvirker bare tegnet, men påvirker ikke den numeriske verdien.

Hvordan multiplisere to negative tall?

Dessverre er det veldig vanskelig å komme opp med et passende eksempel fra det virkelige liv om dette emnet. Det er lett å forestille seg en gjeld på 3 eller 4 dollar, men det er absolutt umulig å forestille seg -4 eller -3 personer som har satt seg i gjeld.

Kanskje vi går en annen vei. I multiplikasjon, når tegnet til en av faktorene endres, endres fortegnet til produktet. Hvis vi endrer tegnene til begge faktorene, må vi endre to ganger arbeidsmerke, først fra positivt til negativt, og deretter omvendt, fra negativt til positivt, det vil si at produktet vil ha et innledende tegn.

Derfor er det ganske logisk, selv om det er litt merkelig, at (-3) x (-4) = +12.

Skilt posisjon når multiplisert endres det slik:

positivt tall x positivt tall = positivt tall;
negativt tall x positivt tall = negativt tall;
positivt tall x negativt tall = negativt tall;
negativt tall x negativt tall = positivt tall.

Med andre ord, multipliserer to tall med samme fortegn, får vi et positivt tall. Multipliserer to tall med forskjellige fortegn, får vi et negativt tall.

Den samme regelen gjelder for handlingen motsatt av multiplikasjon - for.

Du kan enkelt verifisere dette ved å kjøre inverse multiplikasjonsoperasjoner. I hvert av eksemplene ovenfor, hvis du multipliserer kvotienten med divisor, vil du få utbyttet og sørge for at den har samme fortegn, for eksempel (-3)x(-4)=(+12).

Siden vinteren kommer, er det på tide å tenke på hva du skal bytte jernhestens sko til for ikke å skli på isen og føle deg trygg på vinterveiene. Du kan for eksempel kjøpe Yokohama-dekk på nettstedet: mvo.ru eller noen andre, det viktigste er at de er av høy kvalitet, mer informasjon og priser kan du finne ut på nettstedet Mvo.ru.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Multiplisere negative tall

Definisjon 1

Regel for å multiplisere negative tall er at for å multiplisere to negative tall, er det nødvendig å multiplisere modulene deres. Denne regelen er skrevet som følger: for alle negative tall - a, - b, anses denne likheten som sann.

(- a) · (- b) = a · b.

Over er regelen for å multiplisere to negative tall. Basert på det beviser vi uttrykket: (- a) · (- b) = a · b. Artikkelen som multipliserer tall med forskjellige fortegn sier at likhetene a · (- b) = - a · b er gyldige, som er (- a) · b = - a · b. Dette følger av egenskapen til motsatte tall, på grunn av hvilken likhetene vil bli skrevet som følger:

(- a) · (- b) = - (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b.

Denne regelen gjelder for å multiplisere reelle tall, rasjonelle tall og heltall.

La oss nå se på eksempler på å multiplisere to negative tall i detalj. Når du regner må du bruke regelen skrevet ovenfor.

Eksempel 1

Multipliser tallene - 3 og - 5.

Løsning.

Den absolutte verdien av de to tallene som multipliseres er lik de positive tallene 3 og 5. Produktet deres resulterer i 15. Det følger at produktet av de gitte tallene er 15

La oss kort skrive ned selve multiplikasjonen av negative tall:

(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15

Svar: (- 3) · (- 5) = 15.

Når du multipliserer negative rasjonelle tall, ved å bruke den omtalte regelen, kan du mobilisere for å multiplisere brøker, multiplisere blandede tall, multiplisere desimaler.

Eksempel 2

Beregn produktet (- 0 , 125) · (- 6) .

Løsning.

Vi fant at uttrykket vil ha formen (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.

Svar: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

I tilfellet når faktorene er irrasjonelle tall, kan produktet deres skrives som et numerisk uttrykk. Verdien beregnes kun når det er nødvendig.

Eksempel 3

Det er nødvendig å multiplisere negativ - 2 med ikke-negativ log 5 1 3.

Løsning

Finne modulene til de gitte tallene:

2 = 2 og log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Etter reglene for å multiplisere negative tall får vi resultatet - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Dette uttrykket er svaret.

Svar: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

For å fortsette å studere emnet, må du gjenta avsnittet om å multiplisere reelle tall.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

I denne artikkelen skal vi ta for oss multiplisere tall med forskjellige fortegn. Her skal vi først formulere regelen for å multiplisere positive og negative tall, begrunne den og deretter vurdere bruken av denne regelen når vi løser eksempler.

Sidenavigering.

Regel for å multiplisere tall med forskjellige fortegn

Å multiplisere et positivt tall med et negativt tall, så vel som et negativt tall med et positivt tall, utføres som følger: regelen for å multiplisere tall med forskjellige fortegn: for å multiplisere tall med forskjellige tegn, må du multiplisere og sette et minustegn foran det resulterende produktet.

La oss skrive det ned denne regelen i brevform. For ethvert positivt reelt tall a og ethvert negativt reelt tall −b, gjelder følgende likhet: a·(−b)=−(|a|·|b|) , og også for et negativt tall −a og et positivt tall b er likheten (−a)·b=−(|a|·|b|) .

Regelen for å multiplisere tall med forskjellige fortegn er helt i tråd med egenskaper ved operasjoner med reelle tall. På grunnlag av dem er det faktisk lett å vise at for reelle og positive tall a og b en kjede av likheter av formen a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, som beviser at a·(−b) og a·b er motsatte tall, noe som innebærer likheten a·(−b)=−(a·b) . Og av den følger gyldigheten av den aktuelle multiplikasjonsregelen.

Det skal bemerkes at den oppgitte regelen for å multiplisere tall med forskjellige fortegn er gyldig både for reelle tall og for rasjonelle tall og for heltall. Dette følger av at operasjoner med rasjonelle tall og heltall har de samme egenskapene som ble brukt i beviset ovenfor.

Det er klart at å multiplisere tall med forskjellige fortegn i henhold til den resulterende regelen kommer ned til å multiplisere positive tall.

Det gjenstår bare å vurdere eksempler på bruken av den demonterte multiplikasjonsregelen når du multipliserer tall med forskjellige tegn.

Eksempler på å multiplisere tall med forskjellige fortegn

La oss se på flere løsninger eksempler på å multiplisere tall med forskjellige fortegn. La oss starte med en enkel sak for å fokusere på trinnene i regelen i stedet for beregningskompleksiteten.

Multipliser det negative tallet −4 med det positive tallet 5.

I henhold til regelen for å multiplisere tall med forskjellige tegn, må vi først multiplisere de absolutte verdiene til de opprinnelige faktorene. Modulen til −4 er 4, og modulen til 5 er 5, og multiplisering av de naturlige tallene 4 og 5 gir 20. Til slutt gjenstår det å sette et minustegn foran det resulterende tallet, vi har −20. Dette fullfører multiplikasjonen.

Kort fortalt kan løsningen skrives som følger: (−4) 5=−(4 5)=−20.

(−4)·5=−20.

Når du multipliserer brøker med forskjellige fortegn, må du kunne multiplisere vanlige brøker, multiplisere desimaler og deres kombinasjoner med naturlige og blandede tall.

Multipliser tall med forskjellige fortegn 0, (2) og.

Ved å konvertere en periodisk desimalbrøk til en vanlig brøk, og også ved å utføre overgangen fra blandet tall til en uekte brøk, fra det originale produktet vil vi komme til produktet av vanlige brøker med forskjellige tegn på formen. Dette produktet er lik regelen for å multiplisere tall med forskjellige fortegn. Det gjenstår bare å multiplisere de vanlige brøkene i parentes, vi har .

Separat er det verdt å nevne multiplikasjonen av tall med forskjellige fortegn, når en eller begge faktorer er

La oss nå forholde oss til multiplikasjon og divisjon.

La oss si at vi må multiplisere +3 med -4. Hvordan gjøre det?

La oss oppsummere resultatene. Når du multipliserer ett positivt tall og ett negativt tall, vil resultatet alltid være et negativt tall. Den numeriske verdien av svaret vil være den samme som ved positive tall. Produkt (+4)x(+3)=+12. Tilstedeværelsen av "-"-tegnet påvirker bare tegnet, men påvirker ikke den numeriske verdien.

Hvordan multiplisere to negative tall?

Derfor er det ganske logisk, selv om det er litt merkelig, at (-3) x (-4) = +12.

Skilt posisjon når multiplisert endres det slik:

positivt tall x positivt tall = positivt tall;
negativt tall x positivt tall = negativt tall;
positivt tall x negativt tall = negativt tall;
negativt tall x negativt tall = positivt tall.

Med andre ord, multipliserer to tall med samme fortegn, får vi et positivt tall. Multipliserer to tall med forskjellige fortegn, får vi et negativt tall.

Den samme regelen gjelder for handlingen motsatt av multiplikasjon - for.

Siden vinteren kommer, er det på tide å tenke på hva du skal bytte jernhestens sko til for ikke å skli på isen og føle deg trygg på vinterveiene. Du kan for eksempel kjøpe Yokohama-dekk på nettstedet: mvo.ru eller noen andre, det viktigste er at de er av høy kvalitet, du kan finne ut mer informasjon og priser på nettstedet Mvo.ru.

Denne artikkelen gir en detaljert oversikt dele tall med forskjellige fortegn. Først er regelen for å dele tall med forskjellige fortegn gitt. Nedenfor er eksempler på å dele positive tall med negative og negative tall med positive.

Sidenavigering.

Regel for å dele tall med forskjellige fortegn

I artikkelinndelingen av heltall fikk man en regel for å dele heltall med forskjellige fortegn. Det kan utvides til både rasjonelle tall og reelle tall ved å gjenta alle resonnementene fra artikkelen ovenfor.

Så, regel for å dele tall med forskjellige fortegn har følgende formulering: for å dele et positivt tall med et negativt eller et negativt tall med et positivt, må du dele utbyttet med modulen til divisoren, og sette et minustegn foran det resulterende tallet.

La oss skrive denne delingsregelen med bokstaver. Hvis tallene a og b har forskjellige fortegn, er formelen gyldig a:b=−|a|:|b| .

Fra den oppgitte regelen er det klart at resultatet av å dele tall med forskjellige fortegn er et negativt tall. Faktisk, siden modulen til utbyttet og modulen til divisoren er positive tall, er kvotienten deres et positivt tall, og minustegnet gjør dette tallet negativt.

Merk at regelen som vurderes reduserer delingen av tall med forskjellige fortegn til delingen av positive tall.

Du kan gi en annen formulering av regelen for å dele tall med forskjellige fortegn: for å dele tallet a med tallet b, må du multiplisere tallet a med tallet b −1, det inverse av tallet b. Det er, a:b=a b −1 .

Denne regelen kan brukes når det er mulig å gå utover settet med heltall (siden ikke hvert heltall har en invers). Med andre ord gjelder det settet med rasjonelle tall så vel som settet med reelle tall.

Det er klart at denne regelen for å dele tall med forskjellige fortegn lar deg gå fra divisjon til multiplikasjon.

Den samme regelen brukes når du deler negative tall.

Det gjenstår å vurdere hvordan denne regelen for å dele tall med forskjellige tegn brukes når du løser eksempler.

Eksempler på å dele tall med forskjellige fortegn

La oss vurdere løsninger på flere egenskaper eksempler på å dele tall med forskjellige fortegnå forstå prinsippet om å anvende reglene fra forrige avsnitt.

Del det negative tallet −35 med det positive tallet 7.

Regelen for å dele tall med forskjellige fortegn foreskriver først å finne modulene til utbytte og divisor. Modulen til −35 er 35, og modulen til 7 er 7. Nå må vi dele utbyttemodulen med divisormodulen, det vil si at vi må dele 35 med 7. Når vi husker hvordan deling av naturlige tall utføres, får vi 35:7=5. Det siste trinnet som gjenstår i regelen for å dele tall med forskjellige fortegn er å sette et minus foran det resulterende tallet, vi har −5.

Her er hele løsningen: .

Det var mulig å gå ut fra en annen formulering av regelen for å dele tall med forskjellige fortegn. I dette tilfellet finner vi først inversen av divisor 7. Dette tallet er den vanlige brøken 1/7. Dermed, . Det gjenstår å multiplisere tall med forskjellige tegn: . Selvfølgelig kom vi til samme resultat.

(−35):7=−5 .

Regn ut kvotienten 8:(−60) .

I følge regelen for å dele tall med forskjellige fortegn har vi 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Det resulterende uttrykket tilsvarer en negativ ordinær brøk (se divisjonstegnet som en brøklinje), du kan redusere brøken med 4, vi får .

La oss skrive ned hele løsningen kort: .

Når du deler rasjonelle brøktall med forskjellige fortegn, blir deres utbytte og divisor vanligvis representert som vanlige brøker. Dette skyldes det faktum at det ikke alltid er praktisk å utføre divisjon med tall i annen notasjon (for eksempel i desimal).

Modulen til utbyttet er lik, og modulen til divisoren er 0,(23) . For å dele modulen til utbyttet med modulen til divisoren, la oss gå videre til vanlige brøker.

Tabell 5

Tabell 6

Med litt strekk er den samme forklaringen også gyldig for produktet 1-5, hvis vi antar at "summen" er fra en enkelt

term er lik denne termen. Men produktet 0 5 eller (-3) 5 kan ikke forklares på denne måten: hva betyr summen av null eller minus tre ledd?

Du kan imidlertid omorganisere faktorene

Hvis vi vil at produktet ikke skal endres når faktorene omorganiseres - slik tilfellet var for positive tall - så må vi anta at

Tabell 7

Selvfølgelig vil du ikke bli forvirret av slik prat: fra skolens matematikkkurs har du bestemt lært at minus ved minus gir et pluss. Men forestill deg at din yngre bror eller søster spør deg: hvorfor? Hva er dette - en lærers innfall, en ordre fra høyere myndigheter eller et teorem som kan bevises?

Vanligvis er regelen for å multiplisere negative tall forklart med eksempler som det som er presentert i tabellen. 8.

Tabell 8

Det kan forklares annerledes. La oss skrive tallene på rad

La oss nå skrive de samme tallene multiplisert med 3:

Det er lett å legge merke til at hvert tall er 3 mer enn det forrige La oss nå skrive de samme tallene i omvendt rekkefølge (begynner for eksempel med 5 og 15):

Dessuten, under tallet -5 var det et tall -15, så 3 (-5) = -15: pluss ved minus gir et minus.

La oss nå gjenta den samme prosedyren, multiplisere tallene 1,2,3,4,5 ... med -3 (vi vet allerede at pluss med minus gir minus):

Hvert neste tall i den nederste raden er mindre enn det forrige med 3. Skriv tallene i omvendt rekkefølge

og fortsett:

Under tallet -5 er det 15, så (-3) (-5) = 15.

Kanskje disse forklaringene ville tilfredsstille din yngre bror eller søster. Men du har rett til å spørre hvordan ting egentlig er og er det mulig å bevise at (-3) (-5) = 15?

La oss først bevise at 3 (-5) = -15. Hva er -15? Dette er det motsatte tallet av 15, det vil si tallet som når det legges til 15 gir 0. Så vi må bevise at