Egenskaper for grader med forskjellige baser og eksponenter. Grad og dens egenskaper

En av hovedkarakteristikkene i algebra, og i all matematikk, er grad. Selvfølgelig, i det 21. århundre, kan alle beregninger gjøres på en online kalkulator, men det er bedre for hjernens utvikling å lære hvordan du gjør det selv.

I denne artikkelen vil vi vurdere de viktigste spørsmålene angående denne definisjonen. Nemlig, la oss forstå hva det er generelt og hva dets hovedfunksjoner er, hvilke egenskaper det er i matematikk.

La oss se på eksempler på hvordan regnestykket ser ut og hva de grunnleggende formlene er. La oss se på hovedtypene av mengder og hvordan de skiller seg fra andre funksjoner.

La oss forstå hvordan du løser forskjellige problemer ved å bruke denne mengden. Vi vil vise med eksempler hvordan man kan heve til null, irrasjonelt, negativt osv.

Online eksponentieringskalkulator

Hva er en potens av et tall

Hva menes med uttrykket "løfte et tall til en makt"?

Potensen n av et tall er produktet av størrelsesfaktorer n ganger på rad.

Matematisk ser det slik ut:

a n = a * a * a * …a n .

For eksempel:

• 2 3 = 2 i tredje grad. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 til trinn. to = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 til trinn. fire = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 i 5 trinn. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 = 10 i 4 trinn. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Nedenfor er en tabell med firkanter og terninger fra 1 til 10.

Tabell over grader fra 1 til 10

Nedenfor er resultatene av å heve naturlige tall til positive potenser - "fra 1 til 100".

Ch-lo	2. st.	3. trinn
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Egenskaper til grader

Hva er karakteristisk for en slik matematisk funksjon? La oss se på de grunnleggende egenskapene.

Forskere har etablert følgende tegn som er karakteristiske for alle grader:

• a n * a m = (a) (n+m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b*m).

La oss sjekke med eksempler:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. På den annen side er 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Tilsvarende: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Ellers 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Hva om det er annerledes? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Som du kan se, fungerer reglene.

Men hva med med addisjon og subtraksjon? Det er enkelt. Eksponentiering utføres først, og deretter addisjon og subtraksjon.

La oss se på eksempler:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Vær oppmerksom på: regelen vil ikke holde hvis du trekker fra først: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Men i dette tilfellet må du først beregne tillegget, siden det er handlinger i parentes: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Hvordan produsere beregninger i mer komplekse saker? Rekkefølgen er den samme:

• hvis det er parentes, må du begynne med dem;
• deretter eksponentiering;
• utfør deretter operasjonene multiplikasjon og divisjon;
• etter addisjon, subtraksjon.

Det er spesifikke egenskaper som ikke er karakteristiske for alle grader:

1. Den n-te roten av tallet a til graden m vil bli skrevet som: a m / n.
2. Når du hever en brøk til en potens: både telleren og dens nevner er underlagt denne prosedyren.
3. Når man hever produktet av forskjellige tall til en potens, vil uttrykket tilsvare produktet av disse tallene til den gitte potensen. Det vil si: (a * b) n = a n * b n .
4. Når du hever et tall til en negativ potens, må du dele 1 med et tall i samme århundre, men med et "+"-tegn.
5. Hvis nevneren til en brøk er til en negativ potens, vil dette uttrykket være lik produktet av telleren og nevneren til en positiv potens.
6. Et hvilket som helst tall i potensen 0 = 1, og i potensen. 1 = til deg selv.

Disse reglene er viktige i noen tilfeller, vi vil vurdere dem mer detaljert nedenfor.

Grad med negativ eksponent

Hva skal jeg gjøre med en minusgrad, det vil si når indikatoren er negativ?

Basert på eiendom 4 og 5(se punkt over), det viser seg:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Og vice versa:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Hva om det er en brøkdel?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Grad med naturlig indikator

Det forstås som en grad med eksponenter lik heltall.

Ting å huske:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...osv.

A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3...osv.

I tillegg, hvis (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... så vil resultatet være med et "+"-tegn. Hvis et negativt tall heves til en oddetall, så omvendt.

Generelle egenskaper, og alle de spesifikke egenskapene beskrevet ovenfor, er også karakteristiske for dem.

Brøkdel grad

Denne typen kan skrives som et skjema: A m / n. Les som: den n-te roten av tallet A i potensen m.

Du kan gjøre hva du vil med en brøkindikator: redusere den, dele den opp i deler, heve den til en annen kraft, etc.

Grad med irrasjonell eksponent

La α være et irrasjonelt tall og A ˃ 0.

For å forstå essensen av en grad med en slik indikator, La oss se på forskjellige mulige tilfeller:

• A = 1. Resultatet vil være lik 1. Siden det er et aksiom - er 1 i alle potenser lik en;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – rasjonelle tall;

• 0˂А˂1.

I dette tilfellet er det omvendt: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 under de samme betingelsene som i andre ledd.

Eksponenten er for eksempel tallet π. Det er rasjonelt.

r 1 - i dette tilfellet er lik 3;

r 2 – vil være lik 4.

Så, for A = 1, 1 π = 1.

A = 2, deretter 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, deretter (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Slike grader er preget av alle de matematiske operasjonene og spesifikke egenskapene beskrevet ovenfor.

Konklusjon

La oss oppsummere - hva trengs disse mengdene til, hva er fordelene med slike funksjoner? Selvfølgelig forenkler de først og fremst livet til matematikere og programmerere når de løser eksempler, siden de lar dem minimere beregninger, forkorte algoritmer, systematisere data og mye mer.

Hvor ellers kan denne kunnskapen være nyttig? I enhver arbeidsspesialitet: medisin, farmakologi, odontologi, konstruksjon, teknologi, ingeniørfag, design, etc.

Hvordan multiplisere potenser? Hvilke potenser kan multipliseres og hvilke kan ikke? Hvordan multiplisere et tall med en potens?

I algebra kan du finne et produkt av potenser i to tilfeller:

1) hvis gradene har samme base;

2) hvis gradene har samme indikatorer.

Når du multipliserer potenser med de samme grunnene, må grunntallet være det samme, og eksponentene må legges til:

Når du multipliserer grader med de samme indikatorene, kan den samlede indikatoren tas ut av parentes:

La oss se på hvordan du multipliserer potenser ved å bruke spesifikke eksempler.

Enheten er ikke skrevet i eksponenten, men når du multipliserer potenser, tar de hensyn til:

Når du multipliserer, kan det være et hvilket som helst antall potenser. Det bør huskes at du ikke trenger å skrive multiplikasjonstegnet før bokstaven:

I uttrykk gjøres eksponentisering først.

Hvis du trenger å multiplisere et tall med en potens, bør du først utføre eksponentieringen, og først deretter multiplikasjonen:

www.algebraclass.ru

Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og deling av potenser

Addisjon og subtraksjon av potenser

Det er åpenbart at tall med potenser kan legges til som andre størrelser , ved å legge dem etter hverandre med deres tegn.

Så summen av a 3 og b 2 er a 3 + b 2.
Summen av a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds like potenser av identiske variabler kan legges til eller trekkes fra.

Så summen av 2a 2 og 3a 2 er lik 5a 2.

Det er også åpenbart at hvis du tar to ruter a, eller tre ruter a, eller fem ruter a.

Men grader ulike variabler Og ulike grader identiske variabler, må komponeres ved å legge dem til med deres tegn.

Så summen av en 2 og en 3 er summen av en 2 + en 3.

Det er åpenbart at kvadratet av a, og kuben til a, ikke er lik to ganger kvadratet av a, men to ganger terningen av a.

Summen av a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtraksjon krefter utføres på samme måte som addisjon, bortsett fra at tegnene til subtrahendene må endres tilsvarende.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3t 2 b 6 — 4t 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplisere potenser

Tall med potenser kan multipliseres, som andre størrelser, ved å skrive dem etter hverandre, med eller uten multiplikasjonstegn mellom dem.

Dermed er resultatet av å multiplisere a 3 med b 2 a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det siste eksemplet kan bestilles ved å legge til identiske variabler.
Uttrykket vil ha formen: a 5 b 5 y 3.

Ved å sammenligne flere tall (variabler) med potenser, kan vi se at hvis to av dem multipliseres, så er resultatet et tall (variabel) med potens lik beløp grader av termer.

Så, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen til multiplikasjonsresultatet, som er lik 2 + 3, summen av potensene til leddene.

Så, a n.a m = a m+n.

For a n tas a som en faktor like mange ganger som potensen til n;

Og en m tas som en faktor like mange ganger som graden m er lik;

Derfor, potenser med samme grunntall kan multipliseres ved å legge til potensens eksponenter.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliser (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multipliser (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regelen gjelder også for tall hvis eksponenter er negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

Hvis a + b multipliseres med a - b, blir resultatet a 2 - b 2: altså

Resultatet av å multiplisere summen eller differansen av to tall er lik summen eller differansen av kvadratene deres.

Hvis summen og differansen av to tall hevet til torget, vil resultatet være lik summen eller differansen av disse tallene i fjerde grader.

Så, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Inndeling av grader

Tall med potenser kan deles som andre tall, ved å trekke fra utbyttet, eller ved å plassere dem i brøkform.

Dermed er a 3 b 2 delt på b 2 lik a 3.

Å skrive en 5 delt på en 3 ser ut som $\frac $. Men dette er lik en 2 . I en rekke tall
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
et hvilket som helst tall kan deles på et annet, og eksponenten vil være lik forskjell indikatorer på delbare tall.

Når du deler grader med samme grunntall, trekkes eksponentene deres fra..

Så, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Det vil si $\frac = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil si $\frac = a^n$.

Eller:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Regelen gjelder også for tall med negativ verdier av grader.
Resultatet av å dele en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Det er nødvendig å mestre multiplikasjon og deling av potenser veldig godt, siden slike operasjoner er veldig mye brukt i algebra.

Eksempler på å løse eksempler med brøker som inneholder tall med potenser

1. Reduser eksponentene med $\frac $ Svar: $\frac $.

2. Reduser eksponenter med $\frac$. Svar: $\frac$ eller 2x.

3. Reduser eksponentene a 2 /a 3 og a -3 /a -4 og bring til en fellesnevner.
a 2 .a -4 er en -2 den første telleren.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den andre telleren.
a 3 .a -4 er en -1 , den vanlige telleren.
Etter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reduser eksponentene 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og kom med til en fellesnevner.
Svar: 2a 3 /5a 7 og 5a 5 /5a 7 eller 2a 3 /5a 2 og 5/5a 2.

5. Multipliser (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Multipliser (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliser b 4 /a -2 med h -3 /x og a n /y -3 .

8. Del a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

Gradens egenskaper

Vi minner deg om at i denne leksjonen vil vi forstå egenskaper til grader med naturlige indikatorer og null. Potenser med rasjonelle eksponenter og deres egenskaper vil bli diskutert i leksjoner for 8. klasse.

En potens med naturlig eksponent har flere viktige egenskaper som gjør at vi kan forenkle beregninger i eksempler med potenser.

Eiendom nr. 1
Produkt av makter

Når potenser multipliseres med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og potensenes eksponenter adderes.

a m · a n = a m + n, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.

Denne egenskapen til potenser gjelder også produktet av tre eller flere potenser.

Forenkle uttrykket.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Presenter det som en grad.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Presenter det som en grad.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Vær oppmerksom på at i den spesifiserte egenskapen snakket vi bare om multiplikasjon av potenser med de samme basene. Det gjelder ikke tillegget deres.

Du kan ikke erstatte summen (3 3 + 3 2) med 3 5. Dette er forståelig hvis
antall (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, og 3 5 = 243

Eiendom nr. 2
Delgrader

Når du deler potenser med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og eksponenten til divisoren trekkes fra eksponenten til utbyttet.

Skriv kvotienten som en potens
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Regne ut.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Eksempel. Løs ligningen. Vi bruker egenskapen til kvotekrefter.
3 8: t = 3 4

Svar: t = 3 4 = 81

Ved å bruke egenskap nr. 1 og nr. 2 kan du enkelt forenkle uttrykk og utføre beregninger.

Eksempel. Forenkle uttrykket.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Eksempel. Finn verdien av et uttrykk ved å bruke egenskapene til eksponenter.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vær oppmerksom på at i Eiendom 2 snakket vi kun om å dele potenser med samme grunnlag.

Du kan ikke erstatte differansen (4 3 −4 2) med 4 1. Dette er forståelig hvis du regner ut (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, og 4 1 = 4

Eiendom nr. 3
Å heve en grad til en makt

Når du hever en grad til en potens, forblir basisen til graden uendret, og eksponentene multipliseres.

(a n) m = a n · m, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.

Vær oppmerksom på at egenskap nr. 4, i likhet med andre egenskaper for grader, også brukes i omvendt rekkefølge.

(a n b n)= (a b) n

Det vil si at for å multiplisere potenser med de samme eksponentene, kan du multiplisere basene, men la eksponenten være uendret.

Eksempel. Regne ut.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Eksempel. Regne ut.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

I mer komplekse eksempler kan det være tilfeller der multiplikasjon og divisjon må utføres over potenser med forskjellige grunner og forskjellige eksponenter. I dette tilfellet anbefaler vi deg å gjøre følgende.

For eksempel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Et eksempel på å heve en desimal til en potens.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Egenskaper 5
Kraften til en kvotient (brøk)

For å heve en kvotient til en potens, kan du heve utbyttet og divisoren separat til denne potensen, og dele det første resultatet med det andre.

(a: b) n = a n: b n, hvor "a", "b" er alle rasjonelle tall, b ≠ 0, n - et hvilket som helst naturlig tall.

Eksempel. Presenter uttrykket som en maktkvotient.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Vi minner om at en kvotient kan representeres som en brøk. Derfor vil vi dvele ved temaet å heve en brøk til en potens mer detaljert på neste side.

Krafter og røtter

Operasjoner med krefter og røtter. Grad med negativ ,

null og brøk indikator. Om uttrykk som ikke har noen betydning.

Operasjoner med grader.

1. Når potenser multipliseres med samme grunntall, legges deres eksponenter til:

en m · a n = a m + n .

2. Når du deler grader med samme base, deres eksponenter er trukket fra .

3. Graden av produktet av to eller flere faktorer er lik produktet av gradene av disse faktorene.

4. Graden av et forholdstall (brøk) er lik forholdet mellom gradene av utbytte (teller) og divisor (nevner):

(a/b) n = a n/b n .

5. Når du hever en potens til en potens, multipliseres eksponentene deres:

Alle formlene ovenfor leses og utføres i begge retninger fra venstre til høyre og omvendt.

EKSEMPEL (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operasjoner med røtter. I alle formlene nedenfor betyr symbolet aritmetisk rot(det radikale uttrykket er positivt).

1. Roten til produktet av flere faktorer er lik produktet av røttene til disse faktorene:

2. Roten av et forholdstall er lik forholdet mellom røttene til utbyttet og divisoren:

3. Når du hever en rot til en makt, er det nok å heve til denne makten radikalt tall:

4. Hvis du øker graden av roten med m ganger og samtidig hever det radikale tallet til mth potens, vil verdien av roten ikke endres:

5. Hvis du reduserer graden av roten med m ganger og samtidig trekker ut månedsroten av radikaltallet, vil verdien av roten ikke endres:

Utvide gradsbegrepet. Så langt har vi vurdert grader bare med naturlige eksponenter; men operasjoner med krefter og røtter kan også føre til negativ, null Og brøkdel indikatorer. Alle disse eksponentene krever ytterligere definisjon.

En grad med negativ eksponent. Potensen til et visst tall med en negativ (heltalls) eksponent er definert som en dividert med potensen til samme tall med en eksponent lik den absolutte verdien av den negative eksponenten:

Nå formelen en m : en n = a m - n kan brukes ikke bare til m, mer enn n, men også med m, mindre enn n .

EKSEMPEL en 4: en 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Hvis vi vil ha formelen en m : en n = en m — n var rettferdig når m = n, trenger vi en definisjon av grad null.

En grad med nullindeks. Potensen til ethvert tall som ikke er null med eksponent null er 1.

EKSEMPLER. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grad med en brøkeksponent. For å heve et reelt tall a til potensen m/n, må du trekke ut den n-te roten av den mnde potensen til dette tallet a:

Om uttrykk som ikke har noen betydning. Det finnes flere slike uttrykk.

Hvor en ≠ 0 , eksisterer ikke.

Faktisk, hvis vi antar det x er et visst tall, så har vi i samsvar med definisjonen av divisjonsoperasjonen: en = 0· x, dvs. en= 0, som motsier betingelsen: en ≠ 0

— hvilket som helst tall.

Faktisk, hvis vi antar at dette uttrykket er lik et eller annet tall x, så har vi i henhold til definisjonen av divisjonsoperasjonen: 0 = 0 · x. Men denne likheten oppstår når et hvilket som helst tall x, som var det som måtte bevises.

0 0 — hvilket som helst tall.

Løsning La oss vurdere tre hovedsaker:

1) x = 0 – denne verdien tilfredsstiller ikke denne ligningen

2) når x> 0 får vi: x/x= 1, dvs. 1 = 1, som betyr

Hva x– et hvilket som helst tall; men tatt i betraktning det i

i vårt tilfelle x> 0 , er svaret x > 0 ;

Regler for å multiplisere potenser med forskjellige baser

GRAD MED RASJONELL INDIKATOR,

STRØMFUNKSJON IV

§ 69. Multiplikasjon og deling av potenser med samme grunntall

Teorem 1. For å multiplisere potenser med de samme grunnene, er det nok å legge til eksponentene og la grunntallet være det samme, dvs.

Bevis. Etter definisjon av grad

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Vi så på produktet av to potenser. Faktisk er den påviste egenskapen sann for et hvilket som helst antall krefter med samme baser.

Teorem 2. For å dele potenser med samme grunnlag, når indeksen til utbyttet er større enn indeksen til divisor, er det nok å trekke indeksen til divisor fra indeksen for utbytte, og la grunnlaget være det samme, det vil si. på t > s

(en =/= 0)

Bevis. Husk at kvotienten for å dele ett tall med et annet er tallet som, multiplisert med divisoren, gir utbyttet. Bevis derfor formelen hvor en =/= 0, det er det samme som å bevise formelen

Hvis t > s , deretter nummeret t - s vil være naturlig; derfor ved teorem 1

Teorem 2 er bevist.

Det skal bemerkes at formelen

vi har bevist det bare under antagelsen om at t > s . Derfor, fra det som er bevist, er det ennå ikke mulig å trekke for eksempel følgende konklusjoner:

I tillegg har vi ennå ikke vurdert grader med negative eksponenter og vi vet ennå ikke hvilken betydning uttrykk 3 kan gis - 2 .

Teorem 3. For å heve en grad til en potens, er det nok å multiplisere eksponentene, slik at bunnen av graden er den samme, det er

Bevis. Ved å bruke definisjonen av grad og teorem 1 i denne delen får vi:

Q.E.D.

For eksempel, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Muntlig) Bestem X fra ligningene:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Sett nr.) Forenkle:

520. (Sett nr.) Forenkle:

521. Presenter disse uttrykkene i form av grader med samme grunnlag:

1) 32 og 64; 3) 8 5 og 16 3; 5) 4 100 og 32 50;

2) -1000 og 100; 4) -27 og -243; 6) 81 75 8 200 og 3 600 4 150.

I den siste videoleksjonen lærte vi at graden av en bestemt base er et uttrykk som representerer produktet av basen i seg selv, tatt i en mengde lik eksponenten. La oss nå studere noen av maktens viktigste egenskaper og operasjoner.

La oss for eksempel multiplisere to forskjellige potenser med samme grunntall:

La oss presentere dette arbeidet i sin helhet:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Etter å ha beregnet verdien av dette uttrykket, får vi tallet 32. På den annen side, som man kan se fra samme eksempel, kan 32 representeres som produktet av samme grunntall (to), tatt 5 ganger. Og faktisk, hvis du teller det, så:

Dermed kan vi med sikkerhet konkludere med at:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Denne regelen fungerer vellykket for alle indikatorer og grunner. Denne egenskapen til potensmultiplikasjon følger av regelen om at betydningen av uttrykk bevares under transformasjoner i et produkt. For enhver base a er produktet av to uttrykk (a)x og (a)y lik a(x + y). Med andre ord, når noen uttrykk med samme base produseres, har den resulterende monomialen en total grad dannet ved å legge til gradene til det første og andre uttrykket.

Den presenterte regelen fungerer også utmerket når du multipliserer flere uttrykk. Hovedbetingelsen er at alle har samme grunnlag. For eksempel:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Det er umulig å legge til grader, og faktisk å utføre noen maktbaserte felleshandlinger med to elementer av et uttrykk hvis deres grunnlag er forskjellige.
Som videoen vår viser, på grunn av likheten mellom prosessene med multiplikasjon og divisjon, blir reglene for å legge til krefter i et produkt perfekt overført til divisjonsprosedyren. Tenk på dette eksemplet:

La oss utføre en term-for-term-transformasjon av uttrykket til dets fulle form og redusere de samme elementene i utbytte og divisor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Sluttresultatet av dette eksemplet er ikke så interessant, for allerede i prosessen med å løse det er det klart at verdien av uttrykket er lik kvadratet av to. Og det er to som oppnås ved å trekke graden av det andre uttrykket fra graden til det første.

For å bestemme graden av kvotienten, er det nødvendig å trekke divisorgraden fra graden av utbytte. Regelen fungerer med samme grunnlag for alle sine verdier og for alle naturlige krefter. I form av abstraksjon har vi:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Fra regelen om å dele identiske baser med grader, følger definisjonen for nullgraden. Åpenbart ser følgende uttrykk slik ut:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

På den annen side, hvis vi gjør inndelingen på en mer visuell måte, får vi:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Når du reduserer alle synlige elementer i en brøk, oppnås alltid uttrykket 1/1, det vil si en. Derfor er det generelt akseptert at enhver base hevet til null potens er lik en:

Uavhengig av verdien av en.

Imidlertid ville det være absurd hvis 0 (som fortsatt gir 0 for enhver multiplikasjon) på en eller annen måte er lik én, så et uttrykk for formen (0) 0 (null til null potens) gir rett og slett ikke mening, og formel ( a) 0 = 1 legg til en betingelse: "hvis a ikke er lik 0."

La oss løse øvelsen. La oss finne betydningen av uttrykket:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Siden basen er den samme overalt og lik 34, vil sluttverdien ha samme base med en grad (i henhold til reglene ovenfor):

Med andre ord:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Svar: uttrykket er lik en.

Vi minner deg om at i denne leksjonen vil vi forstå egenskaper til grader med naturlige indikatorer og null. Potenser med rasjonelle eksponenter og deres egenskaper vil bli diskutert i leksjoner for 8. klasse.

En potens med naturlig eksponent har flere viktige egenskaper som gjør at vi kan forenkle beregninger i eksempler med potenser.

Eiendom nr. 1
Produkt av makter

Huske!

Når potenser multipliseres med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og potensenes eksponenter adderes.

a m · a n = a m + n, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.

Denne egenskapen til potenser gjelder også produktet av tre eller flere potenser.

• Forenkle uttrykket.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Presenter det som en grad.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Presenter det som en grad.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Viktig!

Vær oppmerksom på at i den angitte egenskapen snakket vi kun om å multiplisere potenser med på samme grunnlag . Det gjelder ikke tillegget deres.

Du kan ikke erstatte summen (3 3 + 3 2) med 3 5. Dette er forståelig hvis
antall (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, og 3 5 = 243

Eiendom nr. 2
Delgrader

Huske!

Når du deler potenser med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og eksponenten til divisoren trekkes fra eksponenten til utbyttet.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Eksempel. Løs ligningen. Vi bruker egenskapen til kvotekrefter.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Svar: t = 3 4 = 81

Ved å bruke egenskap nr. 1 og nr. 2 kan du enkelt forenkle uttrykk og utføre beregninger.

• Eksempel. Forenkle uttrykket.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Eksempel. Finn verdien av et uttrykk ved å bruke egenskapene til eksponenter.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Viktig!

  Vær oppmerksom på at i Eiendom 2 snakket vi kun om å dele potenser med samme grunnlag.

  Du kan ikke erstatte differansen (4 3 −4 2) med 4 1. Dette er forståelig hvis du teller (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , og 4 1 = 4

  Vær forsiktig!

  Eiendom nr. 3
  Å heve en grad til en makt

  Huske!

  Når du hever en grad til en potens, forblir basisen til graden uendret, og eksponentene multipliseres.

  (a n) m = a n · m, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.

  
  

  Egenskaper 4
  Produktkraft

  Huske!

  Når man hever et produkt til en makt, blir hver av faktorene hevet til en potens. De oppnådde resultatene multipliseres deretter.

  (a b) n = a n b n, hvor "a", "b" er alle rasjonelle tall; "n" er et hvilket som helst naturlig tall.

  • Eksempel 1.
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • Eksempel 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Viktig!

  Vær oppmerksom på at egenskap nr. 4, i likhet med andre egenskaper for grader, også brukes i omvendt rekkefølge.

  (a n b n)= (a b) n

  Det vil si at for å multiplisere potenser med de samme eksponentene, kan du multiplisere basene, men la eksponenten være uendret.

  • Eksempel. Regne ut.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Eksempel. Regne ut.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  I mer komplekse eksempler kan det være tilfeller der multiplikasjon og divisjon må utføres over potenser med forskjellige grunner og forskjellige eksponenter. I dette tilfellet anbefaler vi deg å gjøre følgende.

  For eksempel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Et eksempel på å heve en desimal til en potens.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Egenskaper 5
  Kraften til en kvotient (brøk)

  Huske!

  For å heve en kvotient til en potens, kan du heve utbyttet og divisoren separat til denne potensen, og dele det første resultatet med det andre.

  (a: b) n = a n: b n, der "a", "b" er alle rasjonelle tall, b ≠ 0, n er et hvilket som helst naturlig tall.

  • Eksempel. Presenter uttrykket som en maktkvotient.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Vi minner om at en kvotient kan representeres som en brøk. Derfor vil vi dvele ved temaet å heve en brøk til en potens mer detaljert på neste side.

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater! Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på vilkårene er feil. Hvis de ble omvendt, kan regelen gjelde.

Men hvordan gjøre det? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

På magisk vis endret begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes.

Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Hel vi kaller de naturlige tallene, deres motsetninger (det vil si tatt med tegnet " ") og tallet.

positivt heltall, og det er ikke forskjellig fra naturlig, så ser alt ut akkurat som i forrige seksjon.

La oss nå se på nye saker. La oss starte med en indikator lik.

Ethvert tall i null potens er lik en:

Som alltid, la oss spørre oss selv: hvorfor er det slik?

La oss vurdere en viss grad med en base. Ta for eksempel og multipliser med:

Så vi multipliserte tallet med, og vi fikk det samme som det var - . Hvilket tall skal du gange med slik at ingenting endres? Det stemmer, på. Midler.

Vi kan gjøre det samme med et vilkårlig tall:

La oss gjenta regelen:

Ethvert tall i null potens er lik en.

Men det finnes unntak fra mange regler. Og her er det også der - dette er et tall (som en base).

På den ene siden må det være lik i hvilken som helst grad - uansett hvor mye du multipliserer null med seg selv, vil du fortsatt få null, dette er klart. Men på den annen side, som et hvilket som helst tall til null potens, må det være likt. Så hva av dette er sant? Matematikerne bestemte seg for ikke å bli involvert og nektet å heve null til null potens. Det vil si at nå kan vi ikke bare dele med null, men også heve den til null potens.

La oss gå videre. I tillegg til naturlige tall og tall inkluderer heltall også negative tall. For å forstå hva en negativ potens er, la oss gjøre som forrige gang: multiplisere et normalt tall med det samme tallet til en negativ potens:

Herfra er det enkelt å uttrykke hva du leter etter:

La oss nå utvide den resulterende regelen til en vilkårlig grad:

Så la oss formulere en regel:

Et tall med negativ potens er det gjensidige av samme tall med positiv potens. Men samtidig Basen kan ikke være null:(fordi du ikke kan dele med).

La oss oppsummere:

I. Uttrykket er ikke definert i saken. Hvis da.

II. Ethvert tall i nullpotens er lik én: .

III. Et tall som ikke er lik null til en negativ potens er inversen av samme tall til en positiv potens: .

Oppgaver for selvstendig løsning:

Vel, som vanlig, eksempler på uavhengige løsninger:

Analyse av problemer for uavhengig løsning:

Jeg vet, jeg vet, tallene er skumle, men på Unified State-eksamenen må du være forberedt på hva som helst! Løs disse eksemplene eller analyser løsningene deres hvis du ikke kunne løse dem, og du vil lære å takle dem enkelt i eksamen!

La oss fortsette å utvide rekkevidden av tall "egnet" som eksponent.

La oss nå vurdere rasjonelle tall. Hvilke tall kalles rasjonelle?

Svar: alt som kan representeres som en brøk, hvor og er heltall, og.

For å forstå hva det er "brøkdel grad", tenk på brøken:

La oss heve begge sider av ligningen til en potens:

La oss nå huske regelen om "grad til grad":

Hvilket tall må heves til en makt for å få?

Denne formuleringen er definisjonen av roten til th grad.

La meg minne deg på: roten av den te potensen til et tall () er et tall som, når det heves til en potens, er lik.

Det vil si at roten til th potens er den omvendte operasjonen av å heve til en potens: .

Det viser seg at. Selvfølgelig kan dette spesielle tilfellet utvides: .

Nå legger vi til telleren: hva er det? Svaret er enkelt å få ved å bruke makt-til-kraft-regelen:

Men kan basen være et hvilket som helst tall? Tross alt kan ikke roten trekkes ut fra alle tall.

Ingen!

La oss huske regelen: ethvert tall hevet til en partall er et positivt tall. Det vil si at det er umulig å trekke ut jevne røtter fra negative tall!

Dette betyr at slike tall ikke kan heves til en brøkpotens med en jevn nevner, det vil si at uttrykket ikke gir mening.

Hva med uttrykket?

Men her oppstår et problem.

Et tall kan representeres som andre, reduserbare brøker, for eksempel, eller.

Og det viser seg at det eksisterer, men ikke eksisterer, men dette er bare to forskjellige poster med samme nummer.

Eller et annet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men hvis vi skriver ned indikatoren annerledes, får vi problemer igjen: (det vil si at vi fikk et helt annet resultat!).

For å unngå slike paradokser, vurderer vi bare positiv baseeksponent med brøkeksponent.

Så hvis:

• - naturlig tall;
• - heltall;

Eksempler:

Rasjonelle eksponenter er veldig nyttige for å transformere uttrykk med røtter, for eksempel:

5 eksempler å øve på

Analyse av 5 eksempler for trening

1. Ikke glem de vanlige egenskapene til grader:

2. . Her husker vi at vi glemte å lære oss gradertabellen:

tross alt - dette er eller. Løsningen blir funnet automatisk: .

Vel, nå kommer den vanskeligste delen. Nå skal vi finne ut av det grad med irrasjonell eksponent.

Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak

Tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si at irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer.

For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger;

...tall til null potens- dette er, som det var, et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp ennå - derfor er resultatet bare et visst "tomt tall" , nemlig et tall;

...negativ heltallsgrad- det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall.

Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter, du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

HVOR ER VI SIKRE AT DU GÅR! (hvis du lærer å løse slike eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse av løsninger:

1. La oss starte med regelen for å heve en makt til en makt, som allerede er vanlig for oss:

Se nå på indikatoren. Minner han deg ikke om noe? La oss huske formelen for forkortet multiplikasjon av forskjellen av kvadrater:

I dette tilfellet,

Det viser seg at:

Svar: .

2. Vi reduserer brøker i eksponenter til samme form: enten begge desimaler eller begge ordinære. Vi får for eksempel:

Svar: 16

3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

AVANSERT NIVÅ

Fastsettelse av grad

En grad er et uttrykk for formen: , hvor:

• — gradsgrunnlag;
• - eksponent.

Grad med naturlig indikator (n = 1, 2, 3,...)

Å heve et tall til den naturlige potensen n betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:

Grad med en heltallseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltall Antall:

Konstruksjon til null grad:

Uttrykket er ubestemt, fordi på den ene siden, i en hvilken som helst grad er dette, og på den annen side, et hvilket som helst tall i den th grad er dette.

Hvis eksponenten er negativt heltall Antall:

(fordi du ikke kan dele med).

Nok en gang om nuller: uttrykket er ikke definert i kasus. Hvis da.

Eksempler:

Kraft med rasjonell eksponent

• - naturlig tall;
• - heltall;

Eksempler:

Egenskaper til grader

For å gjøre det lettere å løse problemer, la oss prøve å forstå: hvor kom disse egenskapene fra? La oss bevise dem.

La oss se: hva er og?

A-priory:

Så på høyre side av dette uttrykket får vi følgende produkt:

Men per definisjon er det en potens av et tall med en eksponent, det vil si:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene. Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det er fortsatt en egen faktor:

En annen viktig merknad: denne regelen - bare for produkt av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

La oss omgruppere dette arbeidet slik:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt: !

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive? Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base.

Til nå har vi bare diskutert hvordan det skal være indeks grader. Men hva skal ligge til grunn? I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall .

Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall. La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha kraften til positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ?

Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi multipliserer med (), får vi - .

Og så videre i det uendelige: med hver påfølgende multiplikasjon vil tegnet endres. Følgende enkle regler kan formuleres:

1. til og med grad, - antall positivt.
2. Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
3. Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
4. Null til enhver potens er lik null.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarte du deg? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de fire første eksemplene håper jeg at alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt. Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt. Her må du finne ut hva som er mindre: eller? Hvis vi husker det, blir det klart det, som betyr at basen er mindre enn null. Det vil si at vi bruker regel 2: resultatet blir negativt.

Og igjen bruker vi definisjonen av grad:

Alt er som vanlig - vi skriver ned definisjonen av grader og deler dem på hverandre, deler dem i par og får:

Før vi ser på den siste regelen, la oss løse noen eksempler.

Regn ut uttrykkene:

Løsninger :

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater!

Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på begrepene er feil. Hvis de ble omvendt, kunne regel 3 gjelde. Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

Hvis du ganger det med, endres ingenting, ikke sant? Men nå blir det slik:

På magisk vis skiftet begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i en jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes. Men det er viktig å huske: Alle tegn endres samtidig! Du kan ikke erstatte den med ved å endre bare én ulempe vi ikke liker!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Så nå siste regel:

Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som vanlig: la oss utvide begrepet grad og forenkle det:

Vel, la oss nå åpne parentesene. Hvor mange bokstaver er det totalt? ganger med multiplikatorer - hva minner dette deg om? Dette er ikke annet enn en definisjon av operasjonen multiplikasjon: Det var bare multiplikatorer der. Det vil si at dette per definisjon er en potens av et tall med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrasjonell eksponent

I tillegg til informasjon om grader for gjennomsnittsnivået vil vi analysere graden med en irrasjonell eksponent. Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak - tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si , irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle tall).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer. For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger; et tall til null potens er så å si et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp enda - derfor er resultatet bare et visst "blankt nummer", nemlig et tall; en grad med en negativ heltallseksponent - det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Det er ekstremt vanskelig å forestille seg en grad med en irrasjonell eksponent (akkurat som det er vanskelig å forestille seg et 4-dimensjonalt rom). Det er snarere et rent matematisk objekt som matematikere skapte for å utvide gradsbegrepet til hele tallrommet.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall. Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter, du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

Så hva gjør vi hvis vi ser en irrasjonell eksponent? Vi prøver så godt vi kan å bli kvitt det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

1)

2)

3)

Svar:

1. La oss huske formelen for forskjellen på kvadrater. Svar: .
2. Vi reduserer brøkene til samme form: enten begge desimaler eller begge vanlige. Vi får for eksempel: .
3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

SAMMENDRAG AV SEKSJONEN OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Grad kalt et uttrykk for formen: , hvor:

Grad med en heltallseksponent

en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Kraft med rasjonell eksponent

grad, hvis eksponent er negative tall og brøktall.

Grad med irrasjonell eksponent

en grad hvis eksponent er en uendelig desimalbrøk eller rot.

Egenskaper til grader

Funksjoner av grader.

• Negativt tall hevet til til og med grad, - antall positivt.
• Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
• Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
• Null er lik enhver potens.
• Ethvert tall i nullpotens er lik.

NÅ HAR DU ORDET...

Hvordan liker du artikkelen? Skriv nedenfor i kommentarfeltet om du likte det eller ikke.

Fortell oss om din erfaring med gradsegenskaper.

Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarfeltet.

Og lykke til med eksamen!