Komplette leksjoner - Kunnskapshypermarked. Sirkel

La oss huske sakene relativ posisjon rett linje og sirkel.

Gitt en sirkel med sentrum O og radius r. Rett linje P, avstanden fra sentrum til den rette linjen, det vil si vinkelrett på OM, er lik d.

Sak 1- avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er mindre enn radiusen til sirkelen:

Vi har bevist at i tilfellet når avstanden d er mindre enn radiusen til sirkelen r, har den rette linjen og sirkelen bare to felles punkter (fig. 1).

Ris. 1. Illustrasjon for sak 1

Sak to- avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er lik radiusen til sirkelen:

Vi har bevist at det i dette tilfellet kun er ett felles punkt (fig. 2).

Ris. 2. Illustrasjon for sak 2

Tilfelle 3- avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er større enn radiusen til sirkelen:

Vi har bevist at i dette tilfellet har ikke sirkelen og den rette linjen fellespunkter (fig. 3).

Ris. 3. Illustrasjon for sak 3

På denne leksjonen vi er interessert i det andre tilfellet, når linjen og sirkelen har ett felles punkt.

Definisjon:

En rett linje som har et enkelt felles punkt med en sirkel kalles en tangent til sirkelen.

Rett linje p er en tangent, punkt A er et tangenspunkt (fig. 4).

Ris. 4. Tangent

Teorem:

Tangensen til sirkelen er vinkelrett på radiusen trukket til kontaktpunktet (fig. 5).

Ris. 5. Illustrasjon for teoremet

Bevis:

Tvert imot, la OA ikke være vinkelrett på rett linje r. I dette tilfellet senker vi en vinkelrett fra punkt O til rett linje p, som vil være avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen:

Fra en rettvinklet trekant kan vi si at hypotenusen OH er mindre enn benet OA, det vil si at den rette linjen og sirkelen har to felles punkter, den rette linjen p er en sekant. Dermed har vi fått en selvmotsigelse, som betyr at teoremet er bevist.

Ris. 6. Illustrasjon for teoremet

Det omvendte teoremet er også sant.

Teorem:

Hvis en linje går gjennom enden av en radius som ligger på en sirkel og er vinkelrett på denne radien, så er det en tangent.

Bevis:

Siden den rette linjen er vinkelrett på radien, er avstanden OA avstanden fra den rette linjen til sentrum av sirkelen og den er lik radius: . Det vil si, og i dette tilfellet, som vi tidligere har bevist, har linjen og sirkelen det eneste fellespunktet - punkt A, dermed er linjen p tangent til sirkelen per definisjon (fig. 7).

Ris. 7. Illustrasjon for teoremet

De direkte og inverse teoremet kan kombineres som følger (fig. 8):

Gitt en sirkel med sentrum O, rett linje p, radius OA

Ris. 8. Illustrasjon for teoremet

Teorem:

En rett linje er tangent til en sirkel hvis og bare hvis radiusen tegnet til tangenspunktet er vinkelrett på den.

Dette teoremet betyr at hvis en linje er en tangent, så er radiusen trukket til tangenspunktet vinkelrett på den, og omvendt, fra vinkelrettigheten til OA og p følger det at p er en tangent, det vil si den rette linjen og sirkelen har ett felles punkt.

Tenk på to tangenter trukket fra ett punkt til en sirkel.

Teorem:

Segmenter av tangenter til en sirkel tegnet fra ett punkt er like og danner like vinkler med en rett linje trukket gjennom dette punktet og sentrum av sirkelen.

Gitt en sirkel, sentrum O, punkt A utenfor sirkelen. To tangenter er trukket fra punkt A, punkt B og C er tangenspunkter. Du må bevise at vinkel 3 og 4 er like.

Ris. 9. Illustrasjon for teoremet

Bevis:

Beviset er basert på likheten mellom trekanter . La oss forklare likheten mellom trekanter. De er rektangulære fordi radiusen trukket til kontaktpunktet er vinkelrett på tangenten. Dette betyr at vinklene er både rette og like i . Benene OB og OS er like, siden de er radiusen til sirkelen. Hypotenusen AO er generell.

Dermed er trekantene like når det gjelder likheten mellom benet og hypotenusen. Herfra er det åpenbart at beina AB og AC også er like. Vinkler også motsatt like sider, er like, som betyr at vinklene og , er like.

Teoremet er bevist.

Så vi har blitt kjent med konseptet med en tangent til en sirkel, i neste leksjon skal vi se på gradsmål sirkelbuer.

Bibliografi

1. Alexandrov A.D. etc. Geometri 8. klasse. - M.: Utdanning, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri 8. - M.: Education, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri 8. klasse. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Univer.omsk.su ().
2. Oldskola1.narod.ru ().
3. School6.aviel.ru ().

Hjemmelekser

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al., Geometry 7-9, nr. 634-637, s. 168.

La oss huske tilfellene av den relative plasseringen av en linje og en sirkel.

Gitt en sirkel med sentrum O og radius r. Rett linje P, avstanden fra sentrum til den rette linjen, det vil si vinkelrett på OM, er lik d.

Sak 1- avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er mindre enn radiusen til sirkelen:

Vi har bevist at i tilfellet når avstanden d er mindre enn radiusen til sirkelen r, har den rette linjen og sirkelen bare to felles punkter (fig. 1).

Ris. 1. Illustrasjon for sak 1

Sak to- avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er lik radiusen til sirkelen:

Vi har bevist at det i dette tilfellet kun er ett felles punkt (fig. 2).

Ris. 2. Illustrasjon for sak 2

Tilfelle 3- avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er større enn radiusen til sirkelen:

Vi har bevist at i dette tilfellet har ikke sirkelen og den rette linjen fellespunkter (fig. 3).

Ris. 3. Illustrasjon for sak 3

I denne leksjonen er vi interessert i det andre tilfellet, når en linje og en sirkel har et enkelt felles punkt.

Definisjon:

En rett linje som har et enkelt felles punkt med en sirkel kalles en tangent til sirkelen.

Rett linje p er en tangent, punkt A er et tangenspunkt (fig. 4).

Ris. 4. Tangent

Teorem:

Tangensen til sirkelen er vinkelrett på radiusen trukket til kontaktpunktet (fig. 5).

Ris. 5. Illustrasjon for teoremet

Bevis:

Tvert imot, la OA ikke være vinkelrett på rett linje r. I dette tilfellet senker vi en vinkelrett fra punkt O til rett linje p, som vil være avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen:

Fra en rettvinklet trekant kan vi si at hypotenusen OH er mindre enn benet OA, det vil si at den rette linjen og sirkelen har to felles punkter, den rette linjen p er en sekant. Dermed har vi fått en selvmotsigelse, som betyr at teoremet er bevist.

Ris. 6. Illustrasjon for teoremet

Det omvendte teoremet er også sant.

Teorem:

Hvis en linje går gjennom enden av en radius som ligger på en sirkel og er vinkelrett på denne radien, så er det en tangent.

Bevis:

Siden den rette linjen er vinkelrett på radien, er avstanden OA avstanden fra den rette linjen til sentrum av sirkelen og den er lik radius: . Det vil si, og i dette tilfellet, som vi tidligere har bevist, har linjen og sirkelen det eneste fellespunktet - punkt A, dermed er linjen p tangent til sirkelen per definisjon (fig. 7).

Ris. 7. Illustrasjon for teoremet

De direkte og inverse teoremet kan kombineres som følger (fig. 8):

Gitt en sirkel med sentrum O, rett linje p, radius OA

Ris. 8. Illustrasjon for teoremet

Teorem:

En rett linje er tangent til en sirkel hvis og bare hvis radiusen tegnet til tangenspunktet er vinkelrett på den.

Dette teoremet betyr at hvis en linje er en tangent, så er radiusen trukket til tangenspunktet vinkelrett på den, og omvendt, fra vinkelrettigheten til OA og p følger det at p er en tangent, det vil si den rette linjen og sirkelen har ett felles punkt.

Tenk på to tangenter trukket fra ett punkt til en sirkel.

Teorem:

Segmenter av tangenter til en sirkel tegnet fra ett punkt er like og danner like vinkler med en rett linje trukket gjennom dette punktet og sentrum av sirkelen.

Gitt en sirkel, sentrum O, punkt A utenfor sirkelen. To tangenter er trukket fra punkt A, punkt B og C er tangenspunkter. Du må bevise at vinkel 3 og 4 er like.

Ris. 9. Illustrasjon for teoremet

Bevis:

Beviset er basert på likheten mellom trekanter . La oss forklare likheten mellom trekanter. De er rektangulære fordi radiusen trukket til kontaktpunktet er vinkelrett på tangenten. Dette betyr at vinklene er både rette og like i . Benene OB og OS er like, siden de er radiusen til sirkelen. Hypotenusen AO er generell.

Dermed er trekantene like når det gjelder likheten mellom benet og hypotenusen. Herfra er det åpenbart at beina AB og AC også er like. Dessuten er vinkler som ligger motsatte like sider like, noe som betyr at vinkler og , er like.

Teoremet er bevist.

Så vi har blitt kjent med begrepet en tangent til en sirkel i neste leksjon vil vi se på gradmålet til en sirkelbue.

Bibliografi

1. Alexandrov A.D. etc. Geometri 8. klasse. - M.: Utdanning, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri 8. - M.: Education, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri 8. klasse. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Univer.omsk.su ().
2. Oldskola1.narod.ru ().
3. School6.aviel.ru ().

Hjemmelekser

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al., Geometry 7-9, nr. 634-637, s. 168.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn gjør at vi kan kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettssaker, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

direkte ( MN), har bare ett felles punkt med sirkelen ( EN), kalt tangent til sirkelen.

Fellespunktet kalles i dette tilfellet kontaktpunkt.

Mulighet for eksistens tangent, og dessuten trukket gjennom ethvert punkt sirkel, som et tangenspunkt, bevises som følger teorem.

La det bli pålagt å utføre sirkel med sentrum O tangent gjennom punktet EN. For å gjøre dette fra punktet EN, som fra sentrum, beskriver vi bue radius A.O., og fra poenget O, som sentrum, skjærer vi denne buen ved punktene B Og MED en kompassløsning lik diameteren til den gitte sirkelen.

Etter å ha brukt da akkorder O.B. Og OS, koble til prikken EN med prikker D Og E, hvor disse akkordene krysser en gitt sirkel. Direkte AD Og A.E. - tangenter til en sirkel O. Faktisk, fra konstruksjonen er det klart at trekanter AOB Og AOC likebent(AO = AB = AC) med baser O.B. Og OS, lik diameteren til sirkelen O.

Fordi O.D. Og O.E.- radier, altså D - midten O.B., A E- midten OS, Midler AD Og A.E. - medianer, trukket til basene til likebenede trekanter, og derfor vinkelrett på disse basene. Hvis rett D.A. Og E.A. vinkelrett på radiene O.D. Og O.E., så de - tangenter.

Konsekvens.

To tangenter trukket fra ett punkt til en sirkel er like og danner like vinkler med den rette linjen som forbinder dette punktet med sentrum.

Så AD=AE og ∠ OAD = ∠OAE fordi rette trekanter AOD Og AOE, har en felles hypotenusen A.O. og likeverdig bena O.D. Og O.E.(som radier), er like. Merk at her betyr ordet "tangens" faktisk " tangentsegment” fra et gitt punkt til kontaktpunktet.