Desimallogaritme 1 2. Logaritme

Bruksanvisning

Skriv ned det gitte logaritmisk uttrykk. Hvis uttrykket bruker logaritmen til 10, blir notasjonen forkortet og ser slik ut: lg b er desimallogaritmen. Hvis logaritmen har tallet e som base, så skriv uttrykket: ln b – naturlig logaritme. Det er forstått at resultatet av en hvilken som helst er potensen som grunntallet må heves til for å oppnå tallet b.

Når du skal finne summen av to funksjoner, trenger du bare å skille dem én etter én og legge til resultatene: (u+v)" = u"+v";

Når du finner den deriverte av produktet av to funksjoner, er det nødvendig å multiplisere den deriverte av den første funksjonen med den andre og legge til den deriverte av den andre funksjonen multiplisert med den første funksjonen: (u*v)" = u"*v +v"*u;

For å finne den deriverte av kvotienten til to funksjoner, er det nødvendig å trekke fra produktet av den deriverte av utbyttet multiplisert med divisorfunksjonen produktet av den deriverte av divisoren multiplisert med funksjonen til utbyttet, og dividere alt dette med divisorfunksjonen i annen. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Hvis gitt kompleks funksjon, så er det nødvendig å multiplisere den deriverte av intern funksjon og den deriverte av den eksterne. La y=u(v(x)), så y"(x)=y"(u)*v"(x).

Ved å bruke resultatene ovenfor, kan du skille nesten hvilken som helst funksjon. Så la oss se på noen eksempler:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Det er også problemer med å beregne den deriverte på et punkt. La funksjonen y=e^(x^2+6x+5) gis, du må finne verdien av funksjonen i punktet x=1.
1) Finn den deriverte av funksjonen: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Beregn verdien av funksjonen i gitt poeng y"(1)=8*e^0=8

Video om emnet

Nyttige råd

Lær tabellen over elementære derivater. Dette vil spare betydelig tid.

Kilder:

• derivert av en konstant

Så, hva er forskjellen mellom en irrasjonell ligning og en rasjonell? Hvis den ukjente variabelen er under tegnet kvadratrot, da anses ligningen som irrasjonell.

Bruksanvisning

Hovedmetoden for å løse slike ligninger er metoden for å konstruere begge sider ligninger inn i en firkant. Derimot. dette er naturlig, det første du må gjøre er å bli kvitt skiltet. Denne metoden er ikke teknisk vanskelig, men noen ganger kan den føre til problemer. For eksempel er ligningen v(2x-5)=v(4x-7). Ved å kvadrere begge sider får du 2x-5=4x-7. Å løse en slik ligning er ikke vanskelig; x=1. Men tallet 1 vil ikke bli gitt ligninger. Hvorfor? Bytt inn en i ligningen i stedet for verdien av x Og høyre og venstre side vil inneholde uttrykk som ikke gir mening, altså. Denne verdien er ikke gyldig for en kvadratrot. Derfor er 1 en fremmed rot, og derfor har denne ligningen ingen røtter.

Så en irrasjonell ligning løses ved å bruke metoden for å kvadrere begge sidene. Og etter å ha løst ligningen, er det nødvendig å kutte av fremmede røtter. For å gjøre dette, erstatte de funnet røttene i den opprinnelige ligningen.

Vurder en annen.
2х+vх-3=0
Selvfølgelig kan denne ligningen løses ved å bruke samme ligning som den forrige. Flytt forbindelser ligninger, som ikke har en kvadratrot, til høyre og bruk deretter kvadraturmetoden. løse den resulterende rasjonelle ligningen og røttene. Men også en annen, mer elegant. Skriv inn en ny variabel; vх=y. Følgelig vil du motta en ligning på formen 2y2+y-3=0. Det vil si det vanlige kvadratisk ligning. Finn dens røtter; y1=1 og y2=-3/2. Deretter løser du to ligninger vх=1; vх=-3/2. Den andre ligningen har ingen røtter fra den første finner vi at x=1. Ikke glem å sjekke røttene.

Å løse identiteter er ganske enkelt. For å gjøre dette er det nødvendig å utføre identiske transformasjoner til det fastsatte målet er oppnådd. Altså ved hjelp av de enkleste aritmetiske operasjoner oppgaven vil bli løst.

Du vil trenge

• - papir;
• - penn.

Bruksanvisning

Den enkleste av slike transformasjoner er algebraiske forkortede multiplikasjoner (som kvadratet av summen (differansen), forskjellen av kvadrater, sum (forskjellen), terningen av summen (forskjellen)). I tillegg er det mange og trigonometriske formler, som i hovedsak er de samme identitetene.

Faktisk er kvadratet av summen av to ledd lik kvadratet av det første pluss to ganger produktet av det første med det andre og pluss kvadratet av det andre, det vil si (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Forenkle begge deler

Generelle prinsipper for løsningen

Gjenta i henhold til læreboken matematisk analyse eller høyere matematikk, hva en bestemt integral er. Som kjent er løsningen bestemt integral det er en funksjon hvis deriverte gir en integrand. Denne funksjonen kalles antiderivat. Basert på dette prinsippet er hovedintegralene konstruert.
Bestem etter typen av integranden hvilken av tabellintegralene som er egnet i dette tilfellet. Det er ikke alltid mulig å fastslå dette umiddelbart. Ofte blir tabellformen merkbar først etter flere transformasjoner for å forenkle integranden.

Variabel erstatningsmetode

Hvis integrand-funksjonen er trigonometrisk funksjon, hvis argument inneholder et eller annet polynom, prøv deretter å bruke variabelerstatningsmetoden. For å gjøre dette, bytt ut polynomet i argumentet til integranden med en ny variabel. Basert på forholdet mellom de nye og gamle variablene, bestemme de nye grensene for integrasjon. Ved å differensiere dette uttrykket, finn den nye differensialen i . Så du får den nye typen av det forrige integralet, nær eller til og med tilsvarende en hvilken som helst tabell.

Løse integraler av den andre typen

Hvis integralet er et integral av den andre typen, en vektorform av integraden, må du bruke reglene for overgangen fra disse integralene til skalære. En slik regel er Ostrogradsky-Gauss-forholdet. Denne loven lar oss bevege oss fra rotorfluksen til en viss vektorfunksjon til trippelintegralet over divergensen til et gitt vektorfelt.

Substitusjon av integrasjonsgrenser

Etter å ha funnet antiderivatet, er det nødvendig å erstatte grensene for integrasjon. Bytt først verdien av den øvre grensen inn i uttrykket for antiderivatet. Du får et nummer. Deretter trekker du fra det resulterende tallet et annet tall hentet fra den nedre grensen til antideriverten. Hvis en av grensene for integrasjon er uendelig, så når du erstatter den med antiderivative funksjon det er nødvendig å gå til grensen og finne hva uttrykket streber etter.
Hvis integralet er todimensjonalt eller tredimensjonalt, må du representere grensene for integrasjon geometrisk for å forstå hvordan du skal evaluere integralet. Faktisk, i tilfelle av for eksempel et tredimensjonalt integral, kan grensene for integrasjon være hele plan som begrenser volumet som integreres.

Kraften til et gitt tall er et matematisk begrep som ble laget for århundrer siden. I geometri og algebra er det to alternativer - desimal og naturlige logaritmer. De beregnes av forskjellige formler, og ligninger som er forskjellige i stavemåte er alltid like med hverandre. Denne identiteten karakteriserer egenskapene som relaterer seg til funksjonens nyttige potensial.

Funksjoner og viktige tegn

På dette øyeblikket skille ti kjente matematiske kvaliteter. De vanligste og mest populære av dem er:

• Den radikale logaritmen delt på rotens størrelse er alltid den samme som desimallogaritmen √.
• Produktloggen er alltid lik produsentens sum.
• Lg = størrelsen på potensen multiplisert med tallet som heves til den.
• Hvis du trekker divisor fra log over utbyttet, får du log over kvotienten.

I tillegg er det en ligning basert på hovedidentiteten (betraktes som nøkkelen), en overgang til et oppdatert grunnlag og flere mindre formler.

Å beregne desimallogaritmen er en ganske spesialisert oppgave, så å integrere egenskaper i en løsning må behandles nøye og regelmessig kontrolleres handlingene og konsistensen. Vi må ikke glemme tabellene, som konstant må konsulteres, og kun veiledes av dataene som finnes der.

Varianter av matematiske termer

Hovedforskjellene mellom et matematisk tall er "gjemt" i grunntallet (a). Hvis den har en eksponent på 10, er den log desimal. I motsatt tilfelle blir "a" forvandlet til "y" og har transcendentale og irrasjonelle egenskaper. Det er også verdt å merke seg at naturverdien beregnes ved en spesiell ligning, hvor beviset er en teori studert utenfor skolepensum seniorklasser.

Desimallogaritmer oppnås bred applikasjon ved beregning av komplekse formler. Hele tabeller er satt sammen for å lette beregninger og tydelig vise prosessen med å løse problemet. I dette tilfellet, før du går rett til poenget, må du bygge logg til I tillegg, i hver butikk skole materiell Du kan finne en spesiell linjal med en trykt skala som hjelper deg med å løse en ligning av enhver kompleksitet.

Desimallogaritme Tallet kalles Briggs nummer, eller Eulers nummer, til ære for forskeren som først publiserte verdien og oppdaget kontrasten mellom de to definisjonene.

To typer formler

Alle typer og varianter av problemer for å beregne svaret, med begrepet logg i tilstanden, har et eget navn og en streng matematisk struktur. Eksponentialligning er praktisk talt en nøyaktig kopi logaritmiske beregninger, hvis de sees fra perspektivet om løsningens riktighet. Det er bare at det første alternativet inkluderer et spesialnummer som hjelper deg raskt å forstå tilstanden, og det andre erstatter loggen med en vanlig kraft. I dette tilfellet må beregninger med den siste formelen inkludere en variabelverdi.

Forskjell og terminologi

Begge hovedindikatorene har sine egne egenskaper som skiller tallene fra hverandre:

• Desimal logaritme. En viktig detalj ved nummeret er den obligatoriske tilstedeværelsen av en base. Standardversjonen av verdien er 10. Den er merket med sekvensen - log x eller log x.
• Naturlig. Hvis basen er tegnet "e", som er en konstant identisk med en strengt beregnet ligning, der n beveger seg raskt mot uendelig, så er den omtrentlige størrelsen på tallet i digital ekvivalent 2,72. Den offisielle merkingen, tatt i bruk både i skolen og i mer komplekse faglige formler, er ln x.
• Annerledes. I tillegg til grunnleggende logaritmer finnes det heksadesimale og binære typer (henholdsvis base 16 og 2). Det er et enda mer komplekst alternativ med en basisindikator på 64, som faller inn under en systematisk adaptiv typekontroll som beregner det endelige resultatet med geometrisk nøyaktighet.

Terminologien inkluderer følgende mengder inkludert i det algebraiske problemet:

• betydning;
• argument;
• utgangspunkt.

Beregner loggnummer

Det er tre måter å raskt og muntlig gjøre alle nødvendige beregninger for å finne resultatet av interessen, med det obligatoriske riktige resultatet av løsningen. Til å begynne med bringer vi desimallogaritmen nærmere rekkefølgen (den vitenskapelige notasjonen av et tall til en potens). Hver positiv verdi kan spesifiseres med en ligning, der den er lik mantissen (et tall fra 1 til 9) multiplisert med ti i n. grad. Dette beregningsalternativet er basert på to matematiske fakta:

• produktet og sumloggen har alltid samme eksponent;
• logaritmen tatt fra et tall fra én til ti kan ikke overstige en verdi på 1 poeng.

1. Hvis det oppstår en feil i beregningen, er den aldri mindre enn én i subtraksjonsretningen.
2. Nøyaktigheten øker hvis du tenker på at lg med base tre har et sluttresultat på fem tideler av en. Derfor vil enhver matematisk verdi større enn 3 automatisk legge til ett poeng til svaret.
3. Nesten perfekt nøyaktighet oppnås hvis du har et spesialisert bord for hånden som enkelt kan brukes i vurderingsaktivitetene dine. Med dens hjelp kan du finne ut hva desimallogaritmen er lik tideler av en prosent av det opprinnelige tallet.

Historie om ekte tømmerstokk

Det sekstende århundre hadde sårt behov for mer kompleks kalkulus enn det som var kjent for vitenskapen på den tiden. Dette gjaldt spesielt for å dele og multiplisere flersifrede tall med stor konsistens, inkludert brøker.

På slutten av andre halvdel av epoken kom flere hjerner umiddelbart til konklusjonen om å legge til tall ved å bruke en tabell som sammenlignet to og en geometrisk. I dette tilfellet måtte alle grunnleggende beregninger hvile på den siste verdien. Forskere har integrert subtraksjon på samme måte.

Den første omtalen av lg fant sted i 1614. Dette ble gjort av en amatørmatematiker ved navn Napier. Det er verdt å merke seg at til tross for den enorme populariseringen av de oppnådde resultatene, ble det gjort en feil i formelen på grunn av uvitenhet om noen definisjoner som dukket opp senere. Det begynte med det sjette sifferet i indikatoren. Bernoulli-brødrene var nærmest til å forstå logaritmen, og debutlegitimeringen skjedde på 1700-tallet av Euler. Han utvidet også funksjonen til utdanningsfeltet.

Historie om kompleks logg

Debutforsøk på å integrere lg i allmennheten ble gjort ved begynnelsen av 1700-tallet av Bernoulli og Leibniz. Men de klarte aldri å lage omfattende teoretiske beregninger. Det var en hel diskusjon om dette, men presis definisjon nummeret ble ikke tildelt. Senere gjenopptok dialogen, men mellom Euler og d'Alembert.

Sistnevnte var i prinsippet enig i mange av faktaene som ble foreslått av grunnleggeren av verdien, men mente at positive og negative indikatorer burde være like. På midten av århundret ble formelen demonstrert som en endelig versjon. I tillegg publiserte Euler den deriverte av desimallogaritmen og kompilerte de første grafene.

Tabeller

Egenskapene til tall indikerer at flersifrede tall ikke kan multipliseres, men loggen deres kan finnes og legges til ved hjelp av spesialiserte tabeller.

Denne indikatoren har blitt spesielt verdifull for astronomer som er tvunget til å jobbe med et stort sett med sekvenser. I sovjetisk tid Desimallogaritmen ble sett etter i Bradis' samling, utgitt i 1921. Senere, i 1971, dukket Vega-utgaven ut.

SEKSJON XIII.

LOGARITMAER OG DERES APPLIKASJONER.

§ 2. Desimallogaritmer.

Desimallogaritmen til tallet 1 er 0. Desimallogaritmen med positive potenser 10, dvs. tallene 10, 100, 1000,.... i hovedsak positive tall 1, 2, 3,...., så generelt logaritmen til et tall angitt med en med null, lik tallet nuller. Desimallogaritmer av negative potenser på 10, dvs. brøkene 0,1, 0,01, 0,001,.... er negative tall -1, -2, -3....., så generelt en logaritme desimal med en teller på én er lik det negative antallet nuller i nevneren.

Logaritmene til alle andre kommensurbare tall er inkommensurable. Slike logaritmer beregnes omtrentlig, vanligvis med en nøyaktighet på hundre tusendel, og uttrykkes derfor i femsifrede desimalbrøker; for eksempel log 3 = 0,47712.

Når du presenterer teorien om desimallogaritmer, antas alle tall å være sammensatt i henhold til desimalsystemet av deres enheter og brøker, og alle logaritmer uttrykkes gjennom en desimalbrøk som inneholder 0 heltall, med en heltallsøkning eller reduksjon. Brøkdelen av en logaritme kalles dens mantisse, og hele økningen eller reduksjonen kalles dens karakteristisk. Logaritmer av tall større enn én er alltid positive og har derfor en positiv karakteristikk; logaritmer av tall mindre enn én er alltid negative, men de er representert på en slik måte at mantissen deres viser seg å være positiv, og en karakteristikk er negativ: for eksempel log 500 = 0,69897 + 2 eller kortere 2,69897, og log 0,05 = 0, 69897-2, som for korthets skyld er betegnet som 2.69897, og setter karakteristikken i stedet for heltall, men med et tegn over seg. Dermed representerer logaritmen til et tall større enn én den aritmetiske summen av et positivt heltall og en positiv brøk, og logaritmen til et tall mindre enn én representerer den algebraiske summen av et negativt heltall med en positiv brøk.

Enhver negativ logaritme kan reduseres til den angitte kunstige formen. For eksempel har vi log 3 / 5 = log 3 - log 5 = 0,47712-0,69897 = -0,22185. For å konvertere denne sanne logaritmen til en kunstig form, legger vi til 1 til den, og etter algebraisk addisjon indikerer vi subtraksjonen av en for korreksjon.

Vi får log 3 / 5 = log 0,6 = (1-0,22185)-1 = 0,77815-1. Det viser seg at mantissen 0,77815 er den samme som tilsvarer telleren 6 for dette tallet, representert i desimalsystemet i form av brøken 0,6.

I den angitte representasjonen av desimallogaritmer har deres mantisse og egenskaper viktige egenskaper i forbindelse med betegnelsen av tallene som tilsvarer dem i desimalsystemet. For å forklare disse egenskapene merker vi oss følgende. La oss ta som hovedtype tall et vilkårlig tall som ligger mellom 1 og 10, og, uttrykke det i desimalsystemet, presentere det i formen A B C D E F ...., Hvor EN det er en av betydelige tall 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og desimaler, b,c,d,e,f ....... er alle tall som det kan være nuller mellom. På grunn av det faktum at det tatt tall er inneholdt mellom 1 og 10, er dets logaritme inneholdt mellom 0 og 1, og derfor består denne logaritmen av en mantisse uten karakteristikk eller med karakteristikk 0. La oss betegne denne logaritmen i formen 0 ,α β γ δ ε ...., Hvor α, β ,γ ,δ, ε essensen av noen tall. La oss nå gange dette tallet på den ene siden med tallene 10, 100, 1000,.... og på den andre siden med tallene 0,1, 0,01, 0,001,... og bruke teoremene på logaritmene til produktet og kvotienten. Da får vi en tallrekke større enn én og en tallrekke mindre enn én med deres logaritmer:

lg EN ,bcde f ....= 0 ,α β γ δ ε ....

lg A B C D E F ....= 1 ,α β γ δ ε ....lg 0,abcde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....

lg abc,de f ....= 2 ,α β γ δ ε ....lg 0.0abcde f ....= 2 ,α β γ δ ε ....

lg abcd,e f ....= 3 ,α β γ δ ε ....lg 0.00abcde f ....= 3 ,α β γ δ ε ....

Når man vurderer disse likhetene, avsløres følgende egenskaper til mantissen og egenskaper:

Mantissa eiendom. Mantissen avhenger av plasseringen og typen av de gapende sifrene til nummeret, men avhenger ikke i det hele tatt av stedet for kommaet i betegnelsen til dette nummeret. Mantisser av logaritmer av tall som har et desimalforhold, dvs. de hvis multiplumforhold er lik en hvilken som helst positiv eller negativ grad ti er like.

Karakteristisk egenskap. Karakteristikken avhenger av rangeringen av de høyeste enhetene eller desimalbrøkene av et tall, men avhenger ikke i det hele tatt av typen sifre i betegnelsen til dette tallet.

Hvis vi navngir tallene EN ,bcde f ...., A B C D E F ...., abc,de f .... antall positive sifre - første, andre, tredje, osv., tall for tall 0,abcde f .... vi vil vurdere null, og sifrene til tall 0.0abcde f ...., 0.00abcde f ...., 0.000 abcde f .... hvis vi uttrykker negative tall minus en, minus to, minus tre osv., så kan vi si generelt at karakteristikken til logaritmen til evt. desimaltall per enhet mindre antall, som indikerer rangeringen

101. Når du vet at log 2 = 0,30103, finn logaritmene til tallene 20,2000, 0,2 og 0,00002.

101. Når du vet at log 3=0,47712, finn logaritmene til tallene 300, 3000, 0,03 og 0,0003.

102. Når du vet at log 5 = 0,69897, finn logaritmene til tallene 2,5, 500, 0,25 og 0,005.

102. Når du vet at log 7 = 0,84510, finn logaritmene til tallene 0,7, 4,9, 0,049 og 0,0007.

103. Å vite log 3=0,47712 og log 7=0,84510, finn logaritmene til tallene 210, 0,021, 3/7, 7/9 og 3/49.

103. Å vite log 2=0,30103 og log 7=0,84510, finn logaritmene til tallene 140, 0,14, 2/7, 7/8 og 2/49.

104. Å vite log 3 = 0,47712 og log 5 = O.69897, finn logaritmene til tallene 1,5, 3 / 5, 0,12, 5 / 9 og 0,36.

104. Å vite log 5 = 0,69897 og log 7 = 0,84510, finn logaritmene til tallene 3,5, 5 / 7, 0,28, 5 / 49 og 1,96.

Desimallogaritmer av tall uttrykt med ikke mer enn fire sifre finnes direkte fra tabellene, og fra tabellene finnes mantissen til ønsket logaritme, og karakteristikken settes i samsvar med rangeringen til det gitte tallet.

Hvis tallet inneholder mer enn fire sifre, er det å finne logaritmen ledsaget av en ekstra beregning. Regelen er: for å finne logaritmen til et tall som inneholder mer enn fire sifre, må du i tabellene finne tallet angitt av de fire første sifrene og skrive ut mantissen som tilsvarer disse fire sifrene; multipliser deretter tabellforskjellen til mantissen med tallet som består av de forkastede sifrene, i produktet, kast så mange sifre fra høyre som ble forkastet i det gitte tallet, og legg resultatet til de siste sifrene i den funnet mantissen; sett karakteristikken i samsvar med rangeringen til det gitte tallet.

Når det søkes etter et tall ved hjelp av en gitt logaritme og denne logaritmen er inneholdt i tabeller, blir sifrene til det søkte tallet funnet direkte fra tabellene, og rangeringen av tallet bestemmes i samsvar med egenskapene til den gitte logaritmen.

Hvis denne logaritmen ikke finnes i tabellene, blir søking etter tallet ledsaget av en ekstra beregning. Regelen er: for å finne tallet som tilsvarer en gitt logaritme, hvis mantisse ikke finnes i tabellene, må du finne den nærmeste mindre mantissen og skrive ned sifrene til tallet som tilsvarer den; multipliser deretter forskjellen mellom den gitte mantissen og den funnet med 10 og del produktet med den tabellerte forskjellen; legg til det resulterende sifferet til kvotienten til høyre for de skrevne sifrene i tallet, og det er grunnen til at du får ønsket sett med sifre; Rangeringen av tallet må bestemmes i samsvar med egenskapene til den gitte logaritmen.

105. Finn logaritmene til tallene 8, 141, 954, 420, 640, 1235, 3907, 3010, 18,43, 2,05, 900,1, 0,73, 0,0028, 0,1000, 0.

105. Finn logaritmen til tallene 15.154, 837, 510, 5002,1309-, 8900, 8.315, 790.7, 0.09, 0.6745, 0.000745, 0.042070, 7.

106. Finn logaritmene til tallene 2174.6, 1445.7, 2169.5, 8437.2, 46.472, 6.2853, 0.7893B, 0.054294, 631.074, 2.79546, 740.708.

106. Finn logaritmene til tallene 2578,4, 1323,6, 8170,5, 6245,3, 437,65, 87,268, 0,059372, 0,84938, 62,5475, 7,020, 3,406, 3,406, 3,401.

107. Finn tallene som tilsvarer logaritmene 3.16227, 3.59207, 2.93318, 0.41078, 1.60065, 2.756.86, 3.23528, 1.79692. 4,87800 5,14613.

107. Finn tallene som tilsvarer logaritmene 3,07372, 3,69205, 1,64904, 2,16107, 0,70364, 1,31952, 4,30814, 3,00087, 2,69949, 2,69949.

108. Finn tallet som tilsvarer logaritmene 3.57686, 3.16340, 2.40359, 1.09817, 4.49823, 2.83882, 1.50060, 3.30056, 1.17112, 04.2510.

108. Finn tallene som tilsvarer logaritmene 3,33720, 3,09875, 0,70093, 4,04640, 2,94004, 1,41509, 2,32649, 4,14631, 3,01290, 3,01390, 3,01390.

Positive logaritmer av tall større enn én er aritmetiske summer deres egenskaper og mantisser. Derfor utføres operasjoner med dem i henhold til vanlige regneregler.

Negative logaritmer av tall mindre enn én er algebraiske summer negativ karakteristikk og positiv mantisse. Derfor utføres operasjoner med dem i henhold til algebraiske regler, som er supplert med spesielle instruksjoner knyttet til reduksjon av negative logaritmer til deres normale form. Normal form En negativ logaritme er en der karakteristikken er et negativt heltall og mantissen er en positiv egenbrøk.

For å konvertere den sanne reflekterende logaritmen til sin normale kunstige form, må du øke absolutt verdi hele terminen for en og gjør resultatet til en negativ egenskap; legg deretter til alle sifrene i brøkleddet til 9, og den siste til 10 og gjør resultatet til en positiv mantisse. For eksempel -2,57928 = 3,42072.

Å konvertere den kunstige normalformen til en logaritme til dens sanne form negativ betydning, må du redusere den negative karakteristikken med én og gjøre resultatet til et heltallsledd av den negative summen; legg deretter alle sifrene til mantissen til 9, og den siste til 10 og gjør resultatet til et brøkledd av samme negative sum. For eksempel: 4,57406= -3,42594.

109. Konverter logaritmer til kunstig form -2,69537, -4, 21283, -0,54225, -1,68307, -3,53820, -5,89990.

109. Konverter logaritmer til kunstig form -3.21729, -1.73273, -5.42936, -0.51395, -2.43780, -4.22990.

110. Finn de sanne verdiene av logaritmene 1,33278, 3,52793, 2,95426, 4,32725, 1,39420, 5,67990.

110. Finn de sanne verdiene til logaritmene 2,45438, 1,73977, 3,91243, 5,12912, 2,83770, 4,28990.

Reglene for algebraiske operasjoner med negative logaritmer er uttrykt som følger:

For å bruke en negativ logaritme i sin kunstige form, må du bruke mantissen og trekke fra den absolutte verdien av karakteristikken. Hvis tillegg av mantisser gir et heltall positivt tall, så må du tilskrive det karakteristikken til resultatet, og gjøre en passende endring i den. For eksempel,

3,89573 + 2 ,78452 = 1 1 ,68025 = 2,68025

1 ,54978 + 2 ,94963=3 1 ,49941=2 ,49941.

For å trekke fra en negativ logaritme i sin kunstige form, må du trekke fra mantissen og legge til den absolutte verdien av karakteristikken. Hvis den subtraherte mantissen er stor, må du gjøre en justering i karakteristikken til minuenden for å skille en positiv enhet fra minuenden. For eksempel,

2,53798-3 ,84582=1 1 ,53798-3 ,84582 = 4,69216,

2 ,22689-1 ,64853=3 1 ,22689-1 ,64853=2 ,57836.

For å multiplisere en negativ logaritme med et positivt heltall, må du multiplisere karakteristikken og mantissen separat. Hvis et helt positivt tall identifiseres når du multipliserer mantissen, må du tilskrive det egenskapen til resultatet, og gjøre en passende endring i den. For eksempel,

2 ,53729 5=10 2 ,68645=8 ,68645.

Når du multipliserer en negativ logaritme med en negativ mengde, må du erstatte multiplikanten med dens sanne verdi.

For å dele en negativ logaritme med et positivt heltall, må du skille karakteristikken og mantissen separat. Hvis karakteristikken til utbyttet ikke er nøyaktig delelig med divisor, må du gjøre en endring i den for å inkludere flere positive enheter i mantissen, og gjøre karakteristikken til et multiplum av divisor. For eksempel,

3 ,79432: 5=5 2 ,79432: 5=1 ,55886.

Når du deler en negativ logaritme med en negativ mengde, må du erstatte utbyttet med dens sanne verdi.

Utfør følgende beregninger ved hjelp av logaritmiske tabeller og kontroller resultatene i de enkleste tilfellene ved bruk av vanlige metoder:

174. Bestem volumet til en kjegle hvis generatrise er 0,9134 fot og hvis basisradius er 0,04278 fot.

175. Regn ut det 15. leddet i en multippel progresjon, hvor det første leddet er 2 3 / 5 og nevneren er 1,75.

175. Regn ut det første leddet i en multippel progresjon, hvis 11. ledd er lik 649,5 og nevneren er 1,58.

176. Bestem antall faktorer EN , EN 3 , EN 5 R . Finn noe slikt EN , der produktet av 10 faktorer er lik 100.

176. Bestem antall faktorer. EN 2 , EN 6 , EN 10 ,.... slik at produktet deres er lik det gitte tallet R . Finn noe slikt EN , der produktet av 5 faktorer er lik 10.

177. Nevneren for den multiple progresjonen er 1.075, summen av de 10 leddene er 2017.8. Finn første ledd.

177. Nevneren for den multiple progresjonen er 1,029, summen av dens 20 ledd er 8743,7. Finn det tjuende leddet.

178 . Uttrykk antall ledd i en multippel progresjon gitt det første leddet EN , siste og nevner q , og deretter tilfeldig valg av numeriske verdier en Og u , plukke opp q så det P

178. Uttrykk antall ledd i en multippel progresjon gitt den første termen EN , siste Og og nevner q Og Og q , plukke opp EN så det P var et heltall.

179. Bestem antall faktorer slik at deres produkt er lik R . Hvordan det må være R for å EN =0,5 og b =0,9 antall faktorer var 10.

179. Bestem antall faktorer slik at deres produkt er likt R . Hvordan det må være R for å EN =0,2 og b =2 antall faktorer var 10.

180. Uttrykk antall ledd i en multippel progresjon gitt det første leddet EN , jeg følger med Og og produktet av alle medlemmer R , og deretter velge vilkårlig numeriske verdier EN Og R , plukke opp Og og så nevneren q så det Og var et heltall.

160. Uttrykk antall ledd i en multippel progresjon gitt den første termen EN , det siste og og produktet av alle termer R , og deretter tilfeldig velge numeriske verdier Og Og R , plukke opp EN og så nevneren q så det P var et heltall.

Løs følgende ligninger, der det er mulig - uten hjelp av tabeller, og hvor ikke, med tabeller:

De tar ofte tallet ti. Logaritmer av tall basert på grunntallet ti kalles desimal. Når man utfører beregninger med desimallogaritmen, er det vanlig å operere med fortegnet lg, men ikke Logg; i dette tilfellet er ikke tallet ti, som definerer basen, angitt. Ja, la oss bytte ut logg 10 105 til forenklet lg105; EN logg 10 2 på lg2.

Til desimallogaritmer de samme egenskapene som logaritmer har med en base større enn én er typiske. Desimallogaritmer karakteriseres nemlig utelukkende for positive tall. Desimallogaritmene til tall større enn én er positive, og de for tall mindre enn én er negative; av to ikke-negative tall, tilsvarer det største den større desimallogaritmen osv. I tillegg har desimallogaritmer særegne trekk og særegne trekk som forklarer hvorfor det er behagelig å foretrekke tallet ti som basis for logaritmer.

Før vi undersøker disse egenskapene, la oss gjøre oss kjent med følgende formuleringer.

Heltallsdel av desimallogaritmen til et tall EN er kalt karakteristisk, og brøkdelen er mantissa denne logaritmen.

Kjennetegn ved desimallogaritmen til et tall EN er indikert som , og mantissen som (lg EN}.

La oss ta for eksempel log 2 ≈ 0,3010 Følgelig = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Likeledes for log 543.1 ≈2.7349. Følgelig = 2, (log 543,1) ≈ 0,7349.

Beregningen av desimallogaritmer av positive tall fra tabeller er mye brukt.

Karakteristiske trekk ved desimallogaritmer.

Det første tegnet på desimallogaritmen. ikke en helhet negativt tall, representert av en ener etterfulgt av nuller, er et positivt heltall lik antallet nuller i oppføringen av det valgte tallet .

La oss ta log 100 = 2, log 1 00000 = 5.

Generelt sett, if

At EN= 10n , som vi får fra

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Andre tegn. Ti-logaritmen til en positiv desimal, vist som en med innledende nuller, er - P, Hvor P- antall nuller i representasjonen av dette tallet, tatt i betraktning null heltall.

La oss vurdere , log 0,001 = - 3, log 0,000001 = -6.

Generelt sett, if

,

At en= 10-n og det viser seg

lga= lg 10n =-n log 10 =-n

Tredje tegn. Karakteristikken til desimallogaritmen til et ikke-negativt tall større enn én er lik antall sifre i heltallsdelen av dette tallet unntatt ett.

La oss analysere denne funksjonen: 1) Karakteristikken til logaritmen lg 75.631 er lik 1.

Faktisk 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Dette innebærer,

log 75.631 = 1 +b,

Å flytte et desimaltegn i en desimalbrøk til høyre eller venstre tilsvarer operasjonen med å multiplisere denne brøken med ti potens med en heltallseksponent P(positiv eller negativ). Og derfor, når desimaltegnet i en positiv desimalbrøk flyttes til venstre eller høyre, endres ikke mantissen til desimallogaritmen til denne brøken.

Så, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).