La oss vurdere en buet trapes avgrenset av Ox-aksen, kurven y=f(x) og to rette linjer: x=a og x=b (fig. 85). La oss ta en vilkårlig verdi av x (bare ikke a og ikke b). La oss gi det et inkrement h = dx og vurdere en stripe avgrenset av rette linjer AB og CD, Ox-aksen og buen BD som tilhører kurven under vurdering. Vi vil kalle denne stripen en elementær stripe. Arealet til en elementær stripe skiller seg fra arealet til rektangelet ACQB med den krumlinjede trekanten BQD, og ​​arealet til sistnevnte er mindre enn arealet av rektangelet BQDM med sidene BQ = =h= dx) QD=Ay og areal lik hAy = Ay dx. Når siden h minker, reduseres også side Du og samtidig med h tenderer den til null. Derfor er arealet til BQDM andreordens uendelig liten. Arealet til en elementær stripe er økningen av arealet, og arealet til rektangelet ACQB, lik AB-AC ==/(x) dx> er differensialen til området. Følgelig finner vi selve området ved å integrere dets differensial. Innenfor figuren under vurdering, endres den uavhengige variabelen l: fra a til b, så det nødvendige arealet 5 vil være lik 5= \f(x) dx. (I) Eksempel 1. La oss beregne arealet avgrenset av parabelen y - 1 -x*, rette linjer X =--Fj-, x = 1 og O*-aksen (fig. 86). på fig. 87. Fig. 86. 1 Her er f(x) = 1 - l?, grensene for integrasjon er a = - og £ = 1, derfor J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Eksempel 2. La oss beregne arealet begrenset av sinusoiden y = sinXy, okseaksen og den rette linjen (fig. 87). Ved å bruke formel (I), får vi A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Eksempel 3. Regn ut arealet begrenset av buen til sinusoiden ^у = sin jc, vedlagt mellom to tilstøtende skjæringspunkter med okseaksen (for eksempel mellom origo og punktet med abscissen i). Merk at ut fra geometriske betraktninger er det klart at dette arealet vil være to ganger mer område forrige eksempel. La oss imidlertid gjøre beregningene: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Vår antagelse viste seg å være riktig. Eksempel 4. Regn ut arealet avgrenset av sinus- og okseaksen ved én periode (fig. 88). Foreløpige beregninger tyder på at arealet vil være fire ganger større enn i eksempel 2. Etter å ha utført beregningene får vi imidlertid «i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Dette resultatet krever avklaring. For å klargjøre essensen av saken, beregner vi også arealet begrenset av den samme sinusformen y = sin l: og okseaksen i området fra l til 2i. Ved å bruke formel (I), får vi 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Dermed ser vi at dette området viste seg å være negativt. Sammenligner vi det med arealet beregnet i oppgave 3, finner vi at deres absolutte verdier er de samme, men tegnene er forskjellige. Hvis vi anvender egenskap V (se kap. XI, § 4), får vi 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Det som skjedde i dette eksemplet er ikke en tilfeldighet. Alltid området som ligger under Ox-aksen, forutsatt at den uavhengige variabelen endres fra venstre til høyre, oppnås når den beregnes ved bruk av integraler. På dette kurset vil vi alltid vurdere områder uten skilt. Derfor vil svaret i eksemplet som nettopp ble diskutert være: det nødvendige arealet er 2 + |-2| = 4. Eksempel 5. La oss beregne arealet av BAB vist i fig. 89. Dette området er begrenset av okseaksen, parabelen y = - xr og den rette linjen y - = -x+\. Torget buet trapes Det nødvendige området til OAB består av to deler: OAM og MAV. Siden punkt A er skjæringspunktet mellom en parabel og en rett linje, vil vi finne koordinatene ved å løse ligningssystemet 3 2 Y = mx. (vi trenger bare å finne abscissen til punkt A). Løser vi systemet, finner vi l; = ~. Derfor må arealet beregnes i deler, første kvadrat. OAM og deretter pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x = [erstatning:

] =

Dette betyr at det uriktige integralet konvergerer og verdien er lik .

Tilbake fremover

Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisninger er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle funksjonene i presentasjonen. Hvis du er interessert denne jobben, last ned fullversjonen.

Nøkkelord: integrert, krumlinjet trapes, område av figurer avgrenset av liljer

Utstyr: merketavle, datamaskin, multimediaprojektor

Leksjonstype: leksjon-forelesning

Leksjonens mål:

• pedagogisk:å skape en kultur for mentalt arbeid, skape en suksesssituasjon for hver elev og skape positiv motivasjon for læring; utvikle evnen til å snakke og lytte til andre.
• utvikle: dannelse av selvstendig tenkning av studenten i å anvende kunnskap i ulike situasjoner, evnen til å analysere og trekke konklusjoner, utvikling av logikk, utvikling av evnen til å stille spørsmål riktig og finne svar på dem. Forbedre dannelsen av beregnings- og beregningsevner, utvikle studentenes tenkning i løpet av å fullføre foreslåtte oppgaver, utvikle en algoritmisk kultur.
• pedagogisk: å danne begreper om en krumlinjet trapes, om en integral, å mestre ferdighetene til å beregne arealene til planfigurer

Undervisningsmetode: forklarende og illustrerende.

I løpet av timene

I tidligere klasser lærte vi å beregne arealene til figurer hvis grenser er polygonale linjer. I matematikk er det metoder som lar deg beregne arealene til figurer avgrenset av kurver. Slike figurer kalles kurvlineære trapeser, og deres areal beregnes ved hjelp av antiderivater.

krumlinjet trapes ( lysbilde 1)

En buet trapes er en figur avgrenset av grafen til en funksjon, ( sh.m.), rett x = a Og x = b og x-aksen

Ulike typer buede trapeser ( lysbilde 2)

Vi vurderer forskjellige typer krumlinjede trapeser og merk: en av linjene degenererer til et punkt, rollen som begrensende funksjon spilles av linjen

Arealet av en buet trapes (lysbilde 3)

La oss fikse den venstre enden av intervallet EN, og den rette X vi vil endre, dvs. vi flytter den høyre veggen til den krumlinjede trapesen og får en skiftende figur. Arealet til en variabel krumlinjet trapes avgrenset av grafen til funksjonen er en antiderivert F for funksjon f

Og på segmentet [ en; b] området av en krumlinjet trapes dannet av funksjonen f, er lik økningen av antiderivatet til denne funksjonen:

Øvelse 1:

Finn arealet til en krumlinjet trapes avgrenset av grafen til funksjonen: f(x) = x 2 og rett y = 0, x = 1, x = 2.

Løsning: ( i henhold til algoritmen lysbilde 3)

La oss tegne en graf over funksjonen og linjene

La oss finne en av antiderivative funksjoner f(x) = x 2 :

Slide selvtest

Integral

Tenk på en krumlinjet trapes definert av funksjonen f på segmentet [ en; b]. La oss dele dette segmentet inn i flere deler. Arealet til hele trapeset vil bli delt inn i summen av arealene til mindre buede trapeser. ( lysbilde 5). Hver slik trapes kan omtrent betraktes som et rektangel. Summen av arealene til disse rektanglene gir en omtrentlig ide om hele arealet til den buede trapesen. Jo mindre vi deler segmentet [ en; b], jo mer nøyaktig beregner vi arealet.

La oss skrive disse argumentene i form av formler.

Del segmentet [ en; b] i n deler med prikker x 0 =a, x1,...,xn = b. Lengde k- th betegne med xk = xk – xk-1. La oss gjøre en sum

Geometrisk representerer denne summen arealet av figuren som er skyggelagt i figuren ( sh.m.)

Sum av formen kalles integralsummer for funksjonen f. (sh.m.)

Helsummer gir en omtrentlig verdi av arealet. Eksakt verdi oppnås ved å passere til grensen. La oss forestille oss at vi avgrenser partisjonen til segmentet [ en; b] slik at lengdene til alle små segmenter har en tendens til null. Da vil området til den sammensatte figuren nærme seg området til den buede trapesen. Vi kan si at arealet til en buet trapes er lik grensen for integrerte summer, Sc.t. (sh.m.) eller integral, dvs.

Definisjon:

Integral av en funksjon f(x) fra en før b kalt grensen for integral summer

= (sh.m.)

Newton-Leibniz formel.

Vi husker at grensen for integrerte summer er lik arealet til en krumlinjet trapes, noe som betyr at vi kan skrive:

Sc.t. = (sh.m.)

På den annen side beregnes arealet til en buet trapes ved hjelp av formelen

S k.t. (sh.m.)

Ved å sammenligne disse formlene får vi:

= (sh.m.)

Denne likheten kalles Newton-Leibniz-formelen.

For å lette beregningen er formelen skrevet som:

= = (sh.m.)

Oppgaver: (sh.m.)

1. Beregn integralet ved å bruke Newton-Leibniz-formelen: ( sjekk på lysbilde 5)

2. Komponer integraler i henhold til tegningen ( sjekk på lysbilde 6)

3. Finn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Lysbilde 7)

Finne arealene til flyfigurer ( lysbilde 8)

Hvordan finne området til figurer som ikke er buede trapeser?

La to funksjoner bli gitt, grafene som du ser på lysbildet . (sh.m.) Finn området til den skyggelagte figuren . (sh.m.). Er den aktuelle figuren en buet trapes? Hvordan kan du finne området ved å bruke egenskapen additivitet til området? Tenk på to buede trapeser og trekk fra arealet til den andre fra arealet til en av dem ( sh.m.)

La oss lage en algoritme for å finne området ved hjelp av animasjon på et lysbilde:

1. Graffunksjoner
2. Projiser skjæringspunktene til grafene på x-aksen
3. Skyggelegg figuren som oppnås når grafene krysser hverandre
4. Finn kurvelinjeformede trapeser hvis skjæringspunkt eller forening er den gitte figuren.
5. Beregn arealet til hver av dem
6. Finn differansen eller summen av arealer

Muntlig oppgave: Hvordan få området til en skyggelagt figur (fortell ved hjelp av animasjon, lysbilde 8 og 9)

Hjemmelekser: Arbeid gjennom notatene, nr. 353 (a), nr. 364 (a).

Bibliografi

1. Algebra og begynnelsen av analyse: en lærebok for klassetrinn 9-11 på kvelds (skift)skole / red. G.D. Glaser. - M: Opplysning, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra og begynnelsen av analysen: en lærebok for 10-11 klassetrinn på ungdomsskolen / Bashmakov M.I. - M: Opplysning, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematikk: lærebok for institusjoner som begynner. og onsdag prof. utdanning / M.I. Bashmakov. - M: Akademiet, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra og begynnelse av analyse: lærebok for klasse 10-11. utdanningsinstitusjoner / A.N. Kolmogorov. - M: Utdanning, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Hvordan lage en presentasjon for en leksjon?/ S.L. Ostrovsky. – M.: Første september 2010.

Sikker integral. Hvordan beregne arealet til en figur

La oss gå videre til å vurdere anvendelser av integralregning. I denne leksjonen vil vi analysere den typiske og vanligste oppgaven – hvordan bruke et bestemt integral for å beregne arealet til en plan figur. Til slutt, de som leter etter mening i høyere matematikk - må de finne den. Du vet aldri. Vi må bringe det nærmere i livet hytteområde på landet elementære funksjoner og finne arealet ved hjelp av et bestemt integral.

For å lykkes med å mestre materialet, må du:

1) Forstå ubestemt integral i hvert fall på et gjennomsnittlig nivå. Derfor bør dummies først lese leksjonen Ikke.

2) Kunne bruke Newton-Leibniz-formelen og regne bestemt integral. Sett opp varmt vennlige forhold med bestemte integraler finnes på siden Sikker integral. Eksempler på løsninger.

Faktisk, for å finne arealet til en figur, trenger du ikke så mye kunnskap om det ubestemte og bestemte integralet. Oppgaven "beregn arealet ved hjelp av en bestemt integral" innebærer alltid å konstruere en tegning, så mye mer aktuell problemstilling vil være dine kunnskaper og ferdigheter i tegning. I denne forbindelse er det nyttig å oppdatere minnet om grafene til grunnleggende elementære funksjoner, og i det minste å kunne konstruere en rett linje, parabel og hyperbel. Dette kan gjøres (for mange er det nødvendig) ved hjelp av metodisk materiale og artikler om geometriske transformasjoner av grafer.

Egentlig er alle kjent med oppgaven med å finne området ved hjelp av en bestemt integral siden skolen, og vi kommer ikke mye lenger fra skolepensum. Denne artikkelen har kanskje ikke eksistert i det hele tatt, men faktum er at problemet oppstår i 99 tilfeller av 100, når en elev lider av en forhat skole og entusiastisk mestrer et kurs i høyere matematikk.

Materialene til denne workshopen presenteres enkelt, detaljert og med et minimum av teori.

La oss starte med en buet trapes.

Krumlinjeformet trapes er en flat figur avgrenset av en akse, rette linjer og grafen til en funksjon kontinuerlig på et intervall som ikke endrer fortegn på dette intervallet. La denne figuren være lokalisert ikke mindre x-akse:

Deretter arealet til en krumlinjet trapes er numerisk lik en bestemt integral. Enhver bestemt integral (som finnes) har en veldig god geometrisk betydning. På timen Sikker integral. Eksempler på løsninger Jeg sa at et bestemt integral er et tall. Og nå er det på tide å si en til nyttig faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det definitive integralet AREA.

Det er, det bestemte integralet (hvis det eksisterer) tilsvarer geometrisk arealet til en viss figur. Tenk for eksempel på den bestemte integralen. Integranden definerer en kurve på planet som ligger over aksen (de som ønsker det kan lage en tegning), og selve det bestemte integralet er numerisk lik areal tilsvarende buet trapes.

Eksempel 1

Dette er en typisk oppgaveerklæring. Først og det viktigste øyeblikket løsninger - tegning. Dessuten må tegningen være konstruert IKKE SANT.

Når du konstruerer en tegning, anbefaler jeg følgende rekkefølge: først det er bedre å konstruere alle rette linjer (hvis de finnes) og bare Deretter– parabler, hyperbler, grafer for andre funksjoner. Det er mer lønnsomt å bygge grafer over funksjoner punkt for punkt, punkt-for-punkt-konstruksjonsteknikken finnes i referansemateriale Grafer og egenskaper til elementære funksjoner. Der kan du også finne svært nyttig materiale til leksjonen vår – hvordan bygge en parabel raskt.

I dette problemet kan løsningen se slik ut.
La oss tegne tegningen (merk at ligningen definerer aksen):

Jeg skal ikke klekke ut en buet trapes, det er åpenbart her hva området er vi snakker om. Løsningen fortsetter slik:

På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, Derfor:

Svar:

Som har problemer med å beregne det bestemte integralet og bruke Newton-Leibniz-formelen , se foredraget Sikker integral. Eksempler på løsninger.

Etter at oppgaven er fullført, er det alltid nyttig å se på tegningen og finne ut om svaret er ekte. I dette tilfellet teller vi antall celler i tegningen "etter øye" - vel, det vil være omtrent 9, det ser ut til å være sant. Det er helt klart at hvis vi for eksempel fikk svaret: 20 kvadratenheter, så er det åpenbart at det ble gjort en feil et sted - 20 celler passer tydeligvis ikke inn i den aktuelle figuren, på det meste et dusin. Hvis svaret er negativt, så ble også oppgaven løst feil.

Eksempel 2

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer , , og akse

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen.

Hva skal jeg gjøre hvis den buede trapesen er plassert under akselen?

Eksempel 3

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer og koordinatakser.

Løsning: La oss lage en tegning:

Hvis en buet trapes er lokalisert under akselen(i det minste ikke høyere gitt akse), kan området bli funnet ved å bruke formelen:
I dette tilfellet:

Merk følgende! De to typene oppgaver bør ikke forveksles:

1) Hvis du blir bedt om å løse ganske enkelt en bestemt integral uten noen geometrisk betydning, så kan det være negativt.

2) Hvis du blir bedt om å finne arealet til en figur ved å bruke en bestemt integral, er arealet alltid positivt! Det er derfor minus vises i formelen som nettopp ble diskutert.

I praksis er figuren oftest plassert i både øvre og nedre halvplan, og derfor, fra den enkleste skoleproblemer La oss gå videre til mer meningsfulle eksempler.

Eksempel 4

Finn arealet til en plan figur avgrenset av linjene, .

Løsning: Først må du fullføre tegningen. Generelt sett, når vi konstruerer en tegning i områdeproblemer, er vi mest interessert i skjæringspunktene mellom linjer. La oss finne skjæringspunktene til parabelen og den rette linjen. Dette kan gjøres på to måter. Den første metoden er analytisk. Vi løser ligningen:

Dette betyr at den nedre grensen for integrasjon er, den øvre grensen for integrasjon er.
Hvis mulig, er det bedre å ikke bruke denne metoden..

Det er mye mer lønnsomt og raskere å konstruere linjer punkt for punkt, og grensene for integrasjon blir tydelige «av seg selv». Punkt-for-punkt-konstruksjonsteknikken for ulike grafer er omtalt i detalj i hjelpen Grafer og egenskaper til elementære funksjoner. Likevel må den analytiske metoden for å finne grenser fortsatt noen ganger brukes hvis for eksempel grafen er stor nok, eller den detaljerte konstruksjonen ikke avslørte grensene for integrasjon (de kan være brøkdeler eller irrasjonelle). Og vi vil også vurdere et slikt eksempel.

La oss gå tilbake til oppgaven vår: det er mer rasjonelt å først konstruere en rett linje og først deretter en parabel. La oss lage tegningen:

Jeg gjentar at når man konstruerer punktvis, blir grensene for integrasjon oftest funnet ut "automatisk".

Og nå arbeidsformelen: Hvis det er en eller annen kontinuerlig funksjon på segmentet større enn eller lik en eller annen kontinuerlig funksjon, deretter arealet av figuren, begrenset av tidsplaner gitte funksjoner og rette linjer , , kan bli funnet ved hjelp av formelen:

Her trenger du ikke lenger tenke på hvor figuren er plassert - over aksen eller under aksen, og grovt sett, det spiller noen rolle hvilken graf som er HØYERE(i forhold til en annen graf), og hvilken er UNDER.

I eksemplet under vurdering er det åpenbart at på segmentet er parabelen plassert over den rette linjen, og derfor er det nødvendig å trekke fra

Den ferdige løsningen kan se slik ut:

Den ønskede figuren er begrenset av en parabel over og en rett linje under.
På segmentet, i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Faktisk er skoleformelen for arealet til en kurvelinjeformet trapes i det nedre halvplanet (se enkelt eksempel nr. 3) spesielt tilfelle formler . Siden aksen er spesifisert av ligningen, og grafen til funksjonen er lokalisert ikke høyereøkser altså

Og nå et par eksempler for din egen løsning

Eksempel 5

Eksempel 6

Finn arealet av figuren avgrenset av linjene, .

Når du løser problemer som involverer beregning av areal ved hjelp av en bestemt integral, skjer det noen ganger en morsom hendelse. Tegningen var riktig utført, beregningene var riktige, men på grunn av slurv... området til feil figur ble funnet, det er akkurat slik din ydmyke tjener skrudd sammen flere ganger. Her ekte tilfelle fra livet:

Eksempel 7

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , , , .

Løsning: Først, la oss lage en tegning:

...Eh, tegningen ble dritt, men alt ser ut til å være lesbart.

Figuren hvis område vi må finne er skyggelagt med blått(se nøye på tilstanden - hvordan tallet er begrenset!). Men i praksis, på grunn av uoppmerksomhet, oppstår det ofte en "feil" som du trenger for å finne området til en figur som er skyggelagt grønn!

Dette eksemplet er også nyttig ved at det beregner arealet til en figur ved å bruke to bestemte integraler. Egentlig:

1) På segmentet over aksen er det en graf av en rett linje;

2) På segmentet over aksen er det en graf av en hyperbel.

Det er ganske åpenbart at områdene kan (og bør) legges til, derfor:

Svar:

La oss gå videre til en annen meningsfull oppgave.

Eksempel 8

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer,
La oss presentere ligningene i "skole"-form og lage en punkt-for-punkt-tegning:

Fra tegningen er det tydelig at vår øvre grense er "god": .
Men hva er nedre grense?! Det er klart at dette ikke er et heltall, men hva er det? Kan være ? Men hvor er garantien for at tegningen er laget med perfekt nøyaktighet, det kan godt vise seg at... Eller roten. Hva om vi bygde grafen feil?

I slike tilfeller må du bruke ekstra tid og avklare grensene for integrasjon analytisk.

La oss finne skjæringspunktene til en rett linje og en parabel.
For å gjøre dette løser vi ligningen:


,

Egentlig, .

Den videre løsningen er triviell, det viktigste er å ikke bli forvirret i erstatninger og tegn, beregningene her er ikke de enkleste.

På segmentet , i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Vel, for å avslutte leksjonen, la oss se på to vanskeligere oppgaver.

Eksempel 9

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , ,

Løsning: La oss skildre denne figuren på tegningen.

Jammen, jeg glemte å signere timeplanen, og beklager, jeg ville ikke gjøre om bildet. Ikke en tegnedag, kort sagt, i dag er dagen =)

For punkt-for-punkt-konstruksjon må du vite utseende sinusoider (og generelt nyttig å vite grafer for alle elementære funksjoner), samt noen sinusverdier, kan de finnes i trigonometrisk tabell. I noen tilfeller (som i dette tilfellet) er det mulig å konstruere en skjematisk tegning, der grafene og grensene for integrasjon skal vises grunnleggende korrekt.

Det er ingen problemer med grensene for integrasjon her, de følger direkte av betingelsen: "x" endres fra null til "pi". La oss ta en ytterligere avgjørelse:

På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, derfor: