Finne antiderivative eksempler. Antiderivat av funksjon og generelt utseende

Jobbtype: 7
Emne: Antiderivat av funksjon

Betingelse

Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x) (som er en brutt linje som består av tre rette segmenter). Bruk figuren til å beregne F(9)-F(5), hvor F(x) er en av antiderivertene til funksjonen f(x).

Vis løsning

Løsning

I følge Newton-Leibniz-formelen er forskjellen F(9)-F(5), hvor F(x) er en av antiderivatene til funksjonen f(x), lik arealet til den krumlinjede trapesen begrenset ved grafen til funksjonen y=f(x), rette linjer y=0 , x=9 og x=5. Fra grafen bestemmer vi at den indikerte buede trapesen er en trapes med baser lik 4 og 3 og høyde 3.

Arealet er likt \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Svar

Jobbtype: 7
Emne: Antiderivat av funksjon

Betingelse

Figuren viser en graf av funksjonen y=F(x) - en av antiderivatene til en funksjon f(x) definert på intervallet (-5; 5). Bruk figuren til å bestemme antall løsninger til ligningen f(x)=0 på segmentet [-3; 4].

Vis løsning

Løsning

I følge definisjonen av en antiderivert gjelder likheten: F"(x)=f(x). Derfor kan ligningen f(x)=0 skrives som F"(x)=0. Siden figuren viser grafen til funksjonen y=F(x), må vi finne disse punktene i intervallet [-3; 4], der den deriverte av funksjonen F(x) er lik null. Det er tydelig fra figuren at disse vil være abscissen til ekstrempunktene (maksimum eller minimum) til F(x)-grafen. Det er nøyaktig 7 av dem i det angitte intervallet (fire minimumspoeng og tre maksimumspoeng).

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobbtype: 7
Emne: Antiderivat av funksjon

Betingelse

Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x) (som er en brutt linje som består av tre rette segmenter). Bruk figuren til å beregne F(5)-F(0), hvor F(x) er en av antiderivertene til funksjonen f(x).

Vis løsning

Løsning

I følge Newton-Leibniz-formelen er forskjellen F(5)-F(0), der F(x) er en av antiderivatene til funksjonen f(x), lik arealet til den krumlinjede trapesen begrenset ved grafen til funksjonen y=f(x), rette linjer y=0 , x=5 og x=0. Fra grafen bestemmer vi at den indikerte buede trapesen er en trapes med baser lik 5 og 3 og høyde 3.

Arealet er likt \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobbtype: 7
Emne: Antiderivat av funksjon

Betingelse

Figuren viser en graf av funksjonen y=F(x) - en av antiderivatene til en funksjon f(x), definert på intervallet (-5; 4). Bruk figuren til å bestemme antall løsninger til ligningen f (x) = 0 på segmentet (-3; 3].

Vis løsning

Løsning

Det er tydelig fra figuren at disse vil være abscissen til ekstrempunktene (maksimum eller minimum) til F(x)-grafen. Det er nøyaktig 5 av dem i det angitte intervallet (to minimumspoeng og tre maksimumspoeng).

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobbtype: 7
Emne: Antiderivat av funksjon

Betingelse

Figuren viser en graf for en funksjon y=f(x). Funksjonen F(x)=-x^3+4,5x^2-7 er en av antiderivatene til funksjonen f(x).

Finn området til den skyggelagte figuren.

Vis løsning

Løsning

Den skraverte figuren er buet trapes, avgrenset ovenfra av grafen til funksjonen y=f(x), av de rette linjene y=0, x=1 og x=3. I følge Newton-Leibniz-formelen er arealet S lik forskjellen F(3)-F(1), hvor F(x) er antideriverten til funksjonen f(x) spesifisert i betingelsen. Derfor S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4.5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4.5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobbtype: 7
Emne: Antiderivat av funksjon

Betingelse

Figuren viser en graf for en funksjon y=f(x). Funksjonen F(x)=x^3+6x^2+13x-5 er en av antiderivertene til funksjonen f(x). Finn området til den skyggelagte figuren.

Mål:

Dannelse av begrepet antiderivat.
Forberedelse for oppfatningen av integralet.
Dannelse av dataferdigheter.
Å dyrke en følelse av skjønnhet (evnen til å se skjønnhet i det uvanlige).

Matematisk analyse er et sett med grener av matematikk viet til studiet av funksjoner og deres generaliseringer ved bruk av metodene for differensial- og integralregning.

Til nå har vi studert en gren av matematisk analyse kalt differensialregning, hvis essens er studiet av en funksjon i det "små".

De. studie av en funksjon i tilstrekkelig små nabolag av hvert definisjonspunkt. En av operasjonene til differensiering er å finne den deriverte (differensial) og bruke den til studiet av funksjoner.

Det omvendte problemet er ikke mindre viktig. Hvis oppførselen til en funksjon i nærheten av hvert punkt i dens definisjon er kjent, hvordan kan man da rekonstruere funksjonen som helhet, dvs. gjennom hele omfanget av definisjonen. Denne oppgaven er gjenstand for studier av den såkalte integralregningen.

Integrasjon er den omvendte handlingen av differensiering. Eller gjenopprette funksjonen f(x) fra en gitt derivert f`(x). latinsk ord"Integro" betyr restaurering.

Eksempel nr. 1.

La (x)`=3x2.
La oss finne f(x).

Løsning:

Basert på differensieringsregelen er det ikke vanskelig å gjette at f(x) = x 3, fordi (x 3)` = 3x 2
Imidlertid kan man lett legge merke til at f(x) ikke finnes unikt.
Som f(x) kan vi ta
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 osv.

Fordi den deriverte av hver av dem er lik 3x2. (Den deriverte av en konstant er 0). Alle disse funksjonene skiller seg fra hverandre med et konstant ledd. Derfor felles vedtak oppgaven kan skrives på formen f(x)= x 3 +C, der C er et hvilket som helst konstant reelt tall.

Enhver av de funne funksjonene f(x) kalles PRIMODIUM for funksjonen F`(x)= 3x 2

Definisjon. En funksjon F(x) kalles antiderivert for en funksjon f(x) på et gitt intervall J hvis for alle x fra dette intervallet F`(x)= f(x). Så funksjonen F(x)=x 3 er antiderivert for f(x)=3x 2 på (- ∞ ; ∞).
Siden, for alle x ~R er likheten sann: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Som vi allerede har lagt merke til, har denne funksjonen et uendelig antall antiderivater (se eksempel nr. 1).

Eksempel nr. 2. Funksjonen F(x)=x er antiderivert for alle f(x)= 1/x i intervallet (0; +), fordi for alle x fra dette intervallet gjelder likhet.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Eksempel nr. 3. Funksjonen F(x)=tg3x er en antiderivert for f(x)=3/cos3x på intervallet (-n/ 2; P/ 2),
fordi F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Eksempel nr. 4. Funksjonen F(x)=3sin4x+1/x-2 er antiderivert for f(x)=12cos4x-1/x 2 på intervallet (0;∞)
fordi F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Forelesning 2.

Emne: Antiderivat. Hovedegenskapen til en antiderivatfunksjon.

Når vi studerer antiderivatet, vil vi stole på følgende uttalelse. Tegn på konstans for en funksjon: Hvis på intervallet J den deriverte Ψ(x) av funksjonen er lik 0, så er funksjonen Ψ(x) konstant på dette intervallet.

Dette utsagnet kan demonstreres geometrisk.

Det er kjent at Ψ`(x)=tgα, γde α er helningsvinkelen til tangenten til grafen til funksjonen Ψ(x) i punktet med abscisse x 0. Hvis Ψ`(υ)=0 på et hvilket som helst punkt i intervallet J, så er tanα=0 δ for enhver tangent til grafen til funksjonen Ψ(x). Dette betyr at tangenten til grafen til funksjonen på et hvilket som helst punkt er parallell med abscisseaksen. Derfor, på det angitte intervallet, faller grafen til funksjonen Ψ(x) sammen med det rette linjestykket y=C.

Så funksjonen f(x)=c er konstant på intervallet J hvis f`(x)=0 på dette intervallet.

Faktisk, for en vilkårlig x 1 og x 2 fra intervallet J, ved å bruke teoremet om middelverdien til en funksjon, kan vi skrive:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), fordi f`(c)=0, deretter f(x 2)= f(x 1)

Teorem: (Hovedegenskapen til antiderivatfunksjonen)

Hvis F(x) er en av antiderivertene for funksjonen f(x) på intervallet J, så har settet av alle antiderivertene av denne funksjonen formen: F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tall.

Bevis:

La F`(x) = f (x), deretter (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), for x Є J.
Anta at det finnes Φ(x) - et annet antiderivat for f (x) på intervallet J, dvs. Φ`(x) = f (x),
deretter (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, for x Є J.
Dette betyr at Φ(x) - F(x) er konstant på intervallet J.
Derfor er Φ(x) - F(x) = C.
Fra hvor Φ(x)= F(x)+C.
Dette betyr at hvis F(x) er en antiderivert for en funksjon f (x) på intervallet J, så har settet av alle antideriverte av denne funksjonen formen: F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tall.
Følgelig skiller to antiderivater av en gitt funksjon seg fra hverandre med et konstant ledd.

Eksempel: Finn settet med antideriverte av funksjonen f (x) = cos x. Tegn grafer over de tre første.

Løsning: Sin x er en av antiderivatene for funksjonen f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – settet av alle antiderivater.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometrisk illustrasjon: Grafen til et hvilket som helst antiderivat F(x)+C kan fås fra grafen til antiderivatet F(x) ved bruk av parallell overføring av r (0;c).

Eksempel: For funksjonen f (x) = 2x, finn en antiderivert hvis graf går gjennom t.M (1;4)

Løsning: F(x)=x 2 +C – settet av alle antiderivater, F(1)=4 – i henhold til betingelsene for problemet.
Derfor er 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Antiderivat.

Antiderivatet er lett å forstå med et eksempel.

La oss ta funksjonen y = x 3. Som vi vet fra de foregående avsnittene, er den deriverte av X 3 er 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Derfor, fra funksjonen y = x 3 får vi ny funksjon: på = 3X 2 .
Figurativt sett funksjonen på = X 3 produsert funksjon på = 3X 2 og er dens "forelder". I matematikk er det ikke noe ord "foreldre", men det er et beslektet konsept: antiderivativ.

Det vil si: funksjon y = x 3 er et antiderivat av funksjonen på = 3X 2 .

Definisjon av antiderivat:

I vårt eksempel ( X 3)" = 3X 2 derfor y = x 3 – antiderivat for på = 3X 2 .

Integrering.

Som du vet, prosessen med å finne derivatet mht gitt funksjon kalles differensiering. Og den inverse operasjonen kalles integrasjon.

Eksempel-forklaring:

på = 3X 2 + synd x.

Løsning :

Vi vet at antiderivatet for 3 X 2 er X 3 .

Antiderivat for synd x er –cos x.

Vi legger til to antiderivater og får antiderivatet for den gitte funksjonen:

y = x 3 + (–cos x),

y = x 3 - cos x.

Svar :
for funksjon på = 3X 2 + synd x y = x 3 - cos x.

Eksempel-forklaring:

La oss finne et antiderivat for funksjonen på= 2 synd x.

Løsning :

Vi legger merke til at k = 2. Antiderivatet for synd x er –cos x.

Derfor for funksjonen på= 2 synd x antiderivatet er funksjonen på= –2cos x.
Koeffisient 2 i funksjonen y = 2 sin x tilsvarer koeffisienten til antiderivatet som denne funksjonen ble dannet fra.

Eksempel-forklaring:

La oss finne et antiderivat for funksjonen y= synd 2 x.

Løsning :

Det merker vi k= 2. Antiderivat for synd x er –cos x.

Vi bruker formelen vår for å finne antiderivatet til funksjonen y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

cos 2 x
y = – ----
2

cos 2 x
Svar: for en funksjon y= synd 2 x antiderivatet er funksjonen y = – ----
2

(4)

Eksempel-forklaring.

La oss ta funksjonen fra forrige eksempel: y= synd 2 x.

For denne funksjonen har alle antiderivater formen:

cos 2 x
y = – ---- + C.
2

Forklaring.

La oss ta den første linjen. Den lyder slik: hvis funksjonen y = f( x) er 0, så er antiderivatet 1. Hvorfor? Fordi den deriverte av enhet er null: 1" = 0.

De resterende linjene leses i samme rekkefølge.

Hvordan skrive data fra en tabell? La oss ta linje åtte:

(-cos x)" = synd x

Vi skriver den andre delen med det deriverte tegnet, deretter likhetstegnet og den deriverte.

Vi leser: antiderivat for funksjoner synd x er -cos-funksjonen x.

Eller: funksjon -cos x er antiderivat for funksjonen sin x.

Tidligere, gitt en gitt funksjon, styrt av forskjellige formler og regler, fant vi dens deriverte. Derivatet har mange bruksområder: det er bevegelseshastigheten (eller mer generelt hastigheten til enhver prosess); skråningen tangent til grafen til en funksjon; ved å bruke den deriverte kan du undersøke en funksjon for monotonisitet og ekstrema; det hjelper med å løse optimaliseringsproblemer.

Men sammen med problemet med å finne hastigheten i henhold til en kjent bevegelseslov, er det også et omvendt problem - problemet med å gjenopprette bevegelsesloven i henhold til en kjent hastighet. La oss vurdere ett av disse problemene.

Eksempel 1. Beveger seg i en rett linje materiell poeng, hastigheten på dens bevegelse på tidspunktet t er gitt av formelen v=gt. Finn bevegelsesloven.
Løsning. La s = s(t) være den ønskede bevegelsesloven. Det er kjent at s"(t) = v(t). Dette betyr at for å løse problemet må du velge en funksjon s = s(t), hvis deriverte er lik gt. Det er ikke vanskelig å gjette at $s(t) = \frac(gt^ 2)(2)$.
$s"(t) = \venstre(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
Svar: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

La oss umiddelbart merke at eksemplet er løst riktig, men ufullstendig. Vi fikk $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. Faktisk har problemet uendelig mange løsninger: enhver funksjon av formen $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C$, der C er en vilkårlig konstant, kan tjene som en lov for bevegelse, siden $\venstre (\frac(gt^2)(2) +C \høyre)" = gt $

For å gjøre problemet mer spesifikt, måtte vi fikse startsituasjonen: angi koordinaten til et bevegelig punkt på et tidspunkt, for eksempel ved t = 0. Hvis for eksempel s(0) = s 0, så fra likhet s(t) = (gt 2)/2 + C får vi: s(0) = 0 + C, dvs. C = s 0. Nå er bevegelsesloven unikt definert: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

I matematikk tildeles gjensidige operasjoner forskjellige navn, kom opp med spesielle notasjoner, for eksempel: kvadrating (x 2) og ekstrahering kvadratrot($\sqrt(x) $), sinus (sin x) og arcsine (arcsin x), etc. Prosessen med å finne den deriverte av en gitt funksjon kalles differensiering, og den inverse operasjonen, dvs. prosessen med å finne en funksjon fra en gitt derivert, er integrering.

Selve begrepet "derivert" kan rettferdiggjøres "i dagligdagse termer": funksjonen y = f(x) "føder" en ny funksjon y" = f"(x). Funksjonen y = f(x) fungerer som en "forelder", men matematikere kaller den naturligvis ikke en "forelder" eller "produsent" de sier at den er, i forhold til funksjonen y" = f"(; x) , primærbilde eller primitiv.

Definisjon. Funksjonen y = F(x) kalles antiderivert for funksjonen y = f(x) på intervallet X hvis likheten F"(x) = f(x) gjelder for $x \i X$

I praksis er intervallet X vanligvis ikke spesifisert, men antydet (som det naturlige domene for definisjon av funksjonen).

La oss gi eksempler.
1) Funksjonen y = x 2 er antiderivert for funksjonen y = 2x, siden for enhver x er likheten (x 2)" = 2x sann
2) Funksjonen y = x 3 er antiderivert for funksjonen y = 3x 2, siden for enhver x er likheten (x 3)" = 3x 2 sann
3) Funksjonen y = sin(x) er antiderivert for funksjonen y = cos(x), siden for enhver x er likheten (sin(x))" = cos(x) sann

Når du finner antiderivater, så vel som derivater, brukes ikke bare formler, men også noen regler. De er direkte relatert til de tilsvarende reglene for beregning av derivater.

Vi vet at den deriverte av en sum er lik summen av dens deriverte. Denne regelen genererer den tilsvarende regelen for å finne antiderivater.

Regel 1. Antiderivaten til en sum er lik summen av antiderivatene.

Vi vet at konstantfaktoren kan tas ut av fortegnet til den deriverte. Denne regelen genererer den tilsvarende regelen for å finne antiderivater.

Regel 2. Hvis F(x) er et antiderivat for f(x), så er kF(x) et antiderivat for kf(x).

Teorem 1. Hvis y = F(x) er en antiderivert for funksjonen y = f(x), så er antideriverten for funksjonen y = f(kx + m) funksjonen $y=\frac(1)(k)F (kx+m) $

Teorem 2. Hvis y = F(x) er en antiderivert for funksjonen y = f(x) på intervallet X, så har funksjonen y = f(x) uendelig mange antideriverte, og de har alle formen y = F(x) + C.

Integreringsmetoder

Variabel erstatningsmetode (substitusjonsmetode)

Metoden for integrasjon ved substitusjon innebærer å introdusere en ny integrasjonsvariabel (det vil si substitusjon). I dette tilfellet reduseres det gitte integralet til et nytt integral, som er tabellformet eller reduserbart til det. Det finnes ingen generelle metoder for å velge erstatninger. Evnen til riktig å bestemme substitusjon oppnås gjennom praksis.
La det være nødvendig å beregne integralet $\tekststil \int F(x)dx $. La oss gjøre substitusjonen $x= \varphi(t) $ der $\varphi(t) $ er en funksjon som har en kontinuerlig derivert.
Så $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ og basert på invariansegenskapen til integrasjonsformelen for det ubestemte integralet, får vi integrasjonsformelen ved substitusjon:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Integrasjon av uttrykk av formen $\tekststil \int \sin^n x \cos^m x dx $

Hvis m er oddetall, m > 0, er det mer praktisk å gjøre substitusjonen sin x = t.
Hvis n er oddetall, n > 0, er det mer praktisk å gjøre substitusjonen cos x = t.
Hvis n og m er like, er det mer praktisk å gjøre substitusjonen tg x = t.

Integrasjon av deler

Integrasjon etter deler - bruk følgende formel for integrasjon:
$\tekststil \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
eller:
$\tekststil \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Tabell over ubestemte integraler (antiderivater) av noen funksjoner

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \nev -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\tekst(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$ Dokument

Noen intervall X. Hvis Til hvilken som helst xХ F"(x) = f(x), deretter funksjon F kaltantiderivatTilfunksjoner f på intervallet X. AntiderivatTilfunksjoner du kan prøve å finne...

Antiderivat for funksjon

Dokument

... . Funksjon F(x) kaltantiderivatTilfunksjoner f(x) på intervallet (a;b), if Til alle x(a;b) gjelder likheten F(x) = f(x). For eksempel, Tilfunksjoner x2 antiderivat vil funksjon x3...

Fundamentals of Integral Calculus Study Guide

Opplæringen

... ; 5. Finn integralet. ; B); C); D) ; 6. Funksjonkaltantiderivat Til funksjoner på et sett hvis: Til alle; på et tidspunkt; Til alle; med et eller annet intervall. Definisjon 1. FunksjonkaltantiderivatTilfunksjoner på mange...

Antiderivativ Ubestemt integral

Dokument

Integrering. Antiderivat. Kontinuerlige funksjon F(x) kaltantiderivatTilfunksjoner f (x) på intervallet X if Til hver F’ (x) = f (x). EKSEMPEL Funksjon F(x) = x 3 er antiderivatTilfunksjoner f(x) = 3x...