Definisjon av en antiderivativ funksjon. Antiderivater og integraler

Ubestemt integral

Hovedoppgaven til differensialregning var beregningen av den deriverte eller differensialen gitt funksjon. Integralregning, som vi går videre til studiet av, løser det inverse problemet, nemlig å finne selve funksjonen fra dens deriverte eller differensial. Det vil si å ha dF(x)= f(x)d (7.1) eller F ′(x)= f(x),

Hvor f(x)- kjent funksjon, må finne funksjonen F(x).

Definisjon:Funksjonen F(x) kalles antiderivat funksjon f(x) på segmentet hvis likheten gjelder på alle punkter i dette segmentet: F′(x) = f(x) eller dF(x)= f(x)d.

For eksempel, en av antiderivatfunksjonene for funksjonen f(x)=3x2 vil F(x)= x 3, fordi ( x 3)′=3x 2. Men en prototype for funksjonen f(x)=3x2 det vil også være funksjoner og siden .

Så denne funksjonen f(x)=3x2 har et uendelig antall primitiver, som hver skiller seg bare med et konstant ledd. La oss vise at dette resultatet også gjelder i det generelle tilfellet.

Teorem To forskjellige antiderivater av samme funksjon definert i et visst intervall skiller seg fra hverandre på dette intervallet med en konstant term.

Bevis

La funksjonen f(x) definert på intervallet (a¸b) Og F 1 (x) Og F 2 (x) - antiderivater, dvs. F 1 ′(x)= f(x) og F 2 ′(x)= f(x).

Deretter F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

Herfra, F 2 (x) = F 1 (x) + C

Hvor MED - konstant (en følge fra Lagranges teorem brukes her).

Teoremet er dermed bevist.

Geometrisk illustrasjon. Hvis på = F 1 (x) Og på = F 2 (x) – antiderivater med samme funksjon f(x), deretter tangenten til grafene deres i punkter med felles abscisse X parallelle med hverandre (fig. 7.1).

I dette tilfellet, avstanden mellom disse kurvene langs aksen OU forblir konstant F 2 (x) - F 1 (x) = C , altså disse kurvene inn litt forståelse"parallelle" med hverandre.

Konsekvens .

Legger til noen antiderivater F(x) for denne funksjonen f(x), definert på intervallet X, alle mulige konstanter MED, får vi alle mulige antiderivater for funksjonen f(x).

Så uttrykket F(x)+C , hvor , og F(x) – noen antideriverte av en funksjon f(x) inkluderer alle mulige antiderivater for f(x).

Eksempel 1. Sjekk om funksjoner er det antiderivater av funksjonen

Løsning:

Svar: antiderivater for en funksjon det vil være funksjoner Og

Definisjon: Hvis funksjonen F(x) er en antiderivert av funksjonen f(x), kalles settet med alle antideriverte F(x)+ C ubestemt integral av f(x) og angi:

∫f(х)dх.

A-priory:

f(x) - integrandfunksjon,

f(х)dх - integrand

Det følger av dette at det ubestemte integralet er en funksjon av generell form, hvis differensial er lik integranden, og hvis deriverte med hensyn til variabelen X er lik integranden på alle punkter.

MED geometrisk punkt syn et ubestemt integral er en familie av kurver, som hver oppnås ved å forskyve en av kurvene parallelt med seg selv opp eller ned, det vil si langs aksen OU(Fig. 7.2).

Operasjonen med å beregne det ubestemte integralet til en viss funksjon kalles integrering denne funksjonen.

Merk at hvis den deriverte av en elementær funksjon alltid er en elementær funksjon, kan det hende at antideriverten til en elementær funksjon ikke er representert av et begrenset antall elementære funksjoner.

La oss nå vurdere egenskapene til det ubestemte integralet.

Fra definisjon 2 følger det:

1. Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integranden, det vil si hvis F′(x) = f(x) , Det

2. Differensialen til det ubestemte integralet er lik integranden

. (7.4)

Fra definisjonen av differensial og eiendom (7.3)

3. Det ubestemte integralet av differensialen til en funksjon er lik denne funksjonen opp til et konstant ledd, dvs. (7.5)

Det er tre grunnleggende regler for å finne antiderivative funksjoner. De er veldig like de tilsvarende differensieringsreglene.

Regel 1

Hvis F er et antiderivat for en funksjon f, og G er et antiderivat for en funksjon g, vil F + G være et antiderivat for f + g.

Per definisjon av et antiderivat, F' = f. G' = g. Og siden disse betingelsene er oppfylt, vil vi i henhold til regelen for beregning av den deriverte for summen av funksjoner ha:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Regel 2

Hvis F er en antiderivert for en funksjon f, og k er en konstant. Da er k*F en antiderivert for funksjonen k*f. Denne regelen følger av regelen for beregning av den deriverte av en kompleks funksjon.

Vi har: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Regel 3

Hvis F(x) er en antiderivert for funksjonen f(x), og k og b er noen konstanter, og k ikke er lik null, vil (1/k)*F*(k*x+b) være en antiderivert for funksjonen f (k*x+b).

Denne regelen følger av regelen for å beregne den deriverte av en kompleks funksjon:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

La oss se på noen eksempler på hvordan disse reglene gjelder:

Eksempel 1. Finne generell form antiderivater for funksjonen f(x) = x^3 +1/x^2. For funksjonen x^3 vil en av antiderivertene være funksjonen (x^4)/4, og for funksjonen 1/x^2 vil en av antiderivertene være funksjonen -1/x. Ved å bruke den første regelen har vi:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Eksempel 2. La oss finne den generelle formen for antiderivater for funksjonen f(x) = 5*cos(x). For funksjonen cos(x) vil en av antiderivatene være funksjonen sin(x). Hvis vi nå bruker den andre regelen, vil vi ha:

F(x) = 5*sin(x).

Eksempel 3. Finn en av antiderivertene for funksjonen y = sin(3*x-2). For funksjonen sin(x) vil en av antiderivatene være funksjonen -cos(x). Hvis vi nå bruker den tredje regelen, får vi et uttrykk for antideriverten:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Eksempel 4. Finn antideriverten for funksjonen f(x) = 1/(7-3*x)^5

Antideriverten for funksjonen 1/x^5 vil være funksjonen (-1/(4*x^4)). Nå, ved å bruke den tredje regelen, får vi.

Tidligere, gitt en gitt funksjon, styrt av forskjellige formler og regler, fant vi dens deriverte. Derivatet har mange bruksområder: det er bevegelseshastigheten (eller mer generelt hastigheten til enhver prosess); skråningen tangent til grafen til en funksjon; ved å bruke den deriverte kan du undersøke funksjonen for monotonisitet og ekstrema; det hjelper med å løse optimaliseringsproblemer.

Men sammen med problemet med å finne hastigheten i henhold til en kjent bevegelseslov, er det også et omvendt problem - problemet med å gjenopprette bevegelsesloven i henhold til en kjent hastighet. La oss vurdere ett av disse problemene.

Eksempel 1. Beveger seg i en rett linje materiell poeng, hastigheten på dens bevegelse på tidspunktet t er gitt av formelen v=gt. Finn bevegelsesloven.
Løsning. La s = s(t) være den ønskede bevegelsesloven. Det er kjent at s"(t) = v(t). Dette betyr at for å løse problemet må du velge en funksjon s = s(t), hvis deriverte er lik gt. Det er ikke vanskelig å gjette at \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \venstre(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Svar: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

La oss umiddelbart merke at eksemplet er løst riktig, men ufullstendig. Vi fikk \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Faktisk har problemet uendelig mange løsninger: enhver funksjon av formen \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), der C er en vilkårlig konstant, kan tjene som en lov for bevegelse, siden \(\venstre (\frac(gt^2)(2) +C \høyre)" = gt \)

For å gjøre problemet mer spesifikt, måtte vi fikse startsituasjonen: angi koordinaten til et bevegelig punkt på et tidspunkt, for eksempel ved t = 0. Hvis for eksempel s(0) = s 0, så fra likhet s(t) = (gt 2)/2 + C får vi: s(0) = 0 + C, dvs. C = s 0. Nå er bevegelsesloven unikt definert: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

I matematikk tildeles gjensidige operasjoner forskjellige navn, kom opp med spesielle notasjoner, for eksempel: kvadrating (x 2) og ekstrahering kvadratrot(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) og arcsine (arcsin x), etc. Prosessen med å finne den deriverte av en gitt funksjon kalles differensiering, og den inverse operasjonen, dvs. prosessen med å finne en funksjon fra en gitt derivert, er integrering.

Selve begrepet "derivat" kan rettferdiggjøres "i hverdagen": funksjonen y = f(x) "produserer" ny funksjon y" = f"(x). Funksjonen y = f(x) fungerer som en "forelder", men matematikere kaller den naturligvis ikke en "forelder" eller "produsent" de sier at den er, i forhold til funksjonen y" = f"(; x) , primærbilde eller primitiv.

Definisjon. Funksjonen y = F(x) kalles antiderivert for funksjonen y = f(x) på intervallet X hvis likheten F"(x) = f(x) gjelder for \(x \i X\)

I praksis er intervallet X vanligvis ikke spesifisert, men underforstått (som det naturlige domene for definisjon av funksjonen).

La oss gi eksempler.
1) Funksjonen y = x 2 er antiderivert for funksjonen y = 2x, siden for enhver x er likheten (x 2)" = 2x sann
2) Funksjonen y = x 3 er antiderivert for funksjonen y = 3x 2, siden for enhver x er likheten (x 3)" = 3x 2 sann
3) Funksjonen y = sin(x) er antiderivert for funksjonen y = cos(x), siden for enhver x er likheten (sin(x))" = cos(x) sann

Når du finner antiderivater, så vel som derivater, brukes ikke bare formler, men også noen regler. De er direkte relatert til de tilsvarende reglene for beregning av derivater.

Vi vet at den deriverte av en sum er lik summen av dens deriverte. Denne regelen genererer den tilsvarende regelen for å finne antiderivater.

Regel 1. Antideriverten til en sum er lik summen av antiderivatene.

Vi vet at konstantfaktoren kan tas ut av fortegnet til den deriverte. Denne regelen genererer den tilsvarende regelen for å finne antiderivater.

Regel 2. Hvis F(x) er et antiderivat for f(x), så er kF(x) et antiderivat for kf(x).

Teorem 1. Hvis y = F(x) er en antiderivert for funksjonen y = f(x), så er antideriverten for funksjonen y = f(kx + m) funksjonen \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorem 2. Hvis y = F(x) er en antiderivert for funksjonen y = f(x) på intervallet X, så har funksjonen y = f(x) uendelig mange antideriverte, og de har alle formen y = F(x) + C.

Integreringsmetoder

Variabel erstatningsmetode (substitusjonsmetode)

Metoden for integrasjon ved substitusjon innebærer å introdusere en ny integrasjonsvariabel (det vil si substitusjon). I dette tilfellet reduseres det gitte integralet til et nytt integral, som er tabellformet eller reduserbart til det. Det finnes ingen generelle metoder for å velge erstatninger. Evnen til riktig å bestemme substitusjon oppnås gjennom praksis.
La det være nødvendig å beregne integralet \(\tekststil \int F(x)dx \). La oss gjøre substitusjonen \(x= \varphi(t) \) der \(\varphi(t) \) er en funksjon som har en kontinuerlig derivert.
Så \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) og basert på invariansegenskapen til integrasjonsformelen for det ubestemte integralet, får vi integrasjonsformelen ved substitusjon:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integrasjon av uttrykk av formen \(\tekststil \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Hvis m er oddetall, m > 0, er det mer praktisk å gjøre substitusjonen sin x = t.
Hvis n er oddetall, n > 0, er det mer praktisk å gjøre substitusjonen cos x = t.
Hvis n og m er like, er det mer praktisk å gjøre substitusjonen tg x = t.

Integrasjon etter deler

Integrasjon etter deler - bruk følgende formel for integrasjon:
\(\tekststil \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
eller:
\(\tekststil \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabell over ubestemte integraler (antiderivater) av noen funksjoner

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \nev -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\tekst(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Leksjon og presentasjon om emnet: "En antiderivert funksjon. Graf over en funksjon"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral nettbutikk for 11. klasse
Algebraiske problemer med parametere, klassetrinn 9–11
"Interaktive oppgaver om å bygge i rom for klasse 10 og 11"

Antiderivatfunksjon. Introduksjon

Gutter, du vet hvordan du finner avledede funksjoner ved å bruke forskjellige formler og regler. I dag skal vi studere den inverse operasjonen for å beregne den deriverte. Begrepet derivat brukes ofte i det virkelige liv. La meg minne deg på: den deriverte er endringshastigheten til en funksjon på et spesifikt punkt. Prosesser som involverer bevegelse og hastighet er godt beskrevet i disse begrepene.

La oss se på dette problemet: “Hastigheten til et objekt som beveger seg i en rett linje er beskrevet av formelen $V=gt$ Det kreves for å gjenopprette bevegelsesloven.
Løsning.
Vi kjenner formelen godt: $S"=v(t)$, der S er bevegelsesloven.
Vår oppgave går ut på å finne en funksjon $S=S(t)$ hvis deriverte er lik $gt$. Når du ser nøye etter, kan du gjette at $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
La oss sjekke riktigheten av løsningen på dette problemet: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Når vi kjente den deriverte av funksjonen, fant vi selve funksjonen, det vil si at vi utførte den inverse operasjonen.
Men det er verdt å ta hensyn til dette øyeblikket. Løsningen på problemet vårt krever avklaring hvis vi legger til et hvilket som helst tall (konstant) til funnfunksjonen, vil verdien av den deriverte ikke endres: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+; c,c=konst$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Gutter, vær oppmerksom: problemet vårt har et uendelig antall løsninger!
Hvis problemet ikke spesifiserer en initial eller en annen tilstand, ikke glem å legge til en konstant til løsningen. For eksempel kan oppgaven vår spesifisere posisjonen til kroppen vår helt i begynnelsen av bevegelsen. Da er det ikke vanskelig å beregne konstanten ved å erstatte null i den resulterende ligningen, får vi verdien av konstanten.

Hva kalles denne operasjonen?
Den inverse operasjonen av differensiering kalles integrasjon.
Finne en funksjon fra en gitt derivert – integrasjon.
Selve funksjonen vil bli kalt et antiderivat, det vil si bildet som den deriverte av funksjonen ble hentet fra.
Det er vanlig å skrive antiderivatet stor bokstav$y=F"(x)=f(x)$.

Definisjon. Funksjonen $y=F(x)$ kalles antiderivative funksjon$у=f(x)$ på intervallet X hvis for noen $хϵХ$ likheten $F’(x)=f(x)$ gjelder.

La oss lage en tabell over antiderivater for ulike funksjoner. Den skal skrives ut som en påminnelse og huskes.

Det er ingen i tabellen vår Innledende forhold ble ikke spurt. Dette betyr at en konstant skal legges til hvert uttrykk på høyre side av tabellen. Vi vil avklare denne regelen senere.

Regler for å finne antiderivater

La oss skrive ned noen regler som vil hjelpe oss med å finne antiderivater. De ligner alle på differensieringsreglene.

Regel 1. Antideriverten til en sum er lik summen av antiderivatene. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Eksempel.
Finn antideriverten for funksjonen $y=4x^3+cos(x)$.
Løsning.
Antideriverten av summen er lik summen av antiderivatene, da må vi finne antideriverten for hver av de presenterte funksjonene.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Da vil antideriverten til den opprinnelige funksjonen være: $y=x^4+sin(x)$ eller en hvilken som helst funksjon av formen $y=x^4+sin(x)+C$.

Regel 2. Hvis $F(x)$ er en antiderivert for $f(x)$, så er $k*F(x)$ en antiderivert for funksjonen $k*f(x)$.(Vi kan trygt tilordne koeffisienten som en funksjon).

Eksempel.
Finn antiderivater av funksjoner:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Løsning.
a) Antiderivatet til $sin(x)$ er minus $cos(x)$. Da vil antideriverten til den opprinnelige funksjonen ha formen: $y=-8cos(x)$.

B) Antideriverten til $cos(x)$ er $sin(x)$. Da vil antideriverten til den opprinnelige funksjonen ha formen: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) Antideriverten for $x^2$ er $\frac(x^3)(3)$. Antideriverten til x er $\frac(x^2)(2)$. Antiderivatet av 1 er x. Da vil antideriverten til den opprinnelige funksjonen ha formen: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .

Regel 3. Hvis $у=F(x)$ er en antideriverte for funksjonen $y=f(x)$, så er antideriverten for funksjonen $y=f(kx+m)$ funksjonen $y=\frac(1) )(k)* F(kx+m)$.

Eksempel.
Finn antiderivater av følgende funksjoner:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Løsning.
a) Antideriverten til $cos(x)$ er $sin(x)$. Da vil antideriverten for funksjonen $y=cos(7x)$ være funksjonen $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

B) Antideriverten til $sin(x)$ er minus $cos(x)$. Da vil antideriverten for funksjonen $y=sin(\frac(x)(2))$ være funksjonen $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) Antideriverten for $x^3$ er $\frac(x^4)(4)$, deretter antideriverten til den opprinnelige funksjonen $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) Forenkle uttrykket litt til potensen $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Antideriverten til eksponentialfunksjonen er seg selv eksponentiell funksjon. Antideriverten til den opprinnelige funksjonen vil være $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Teorem. Hvis $y=F(x)$ er en antiderivert for funksjonen $y=f(x)$ i intervallet X, så har funksjonen $y=f(x)$ uendelig mange antideriverte, og alle har form $y=F( x)+С$.

Hvis det i alle eksemplene diskutert ovenfor var nødvendig å finne settet med alle antiderivater, bør konstanten C legges til overalt.
For funksjonen $y=cos(7x)$ har alle antiderivater formen: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
For funksjonen $y=(-2x+3)^3$ har alle antiderivater formen: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Eksempel.
I henhold til den gitte loven om endring i et legemes hastighet over tid $v=-3sin(4t)$, finn bevegelsesloven $S=S(t)$ hvis kroppen i det første øyeblikket hadde en koordinat lik 1,75.
Løsning.
Siden $v=S’(t)$, må vi finne antideriverten for en gitt hastighet.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
I dette problemet er en tilleggsbetingelse gitt - det første øyeblikket. Dette betyr at $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Da beskrives bevegelsesloven med formelen: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Problemer å løse selvstendig

1. Finn antiderivater av funksjoner:
a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Finn antiderivater av følgende funksjoner:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. I henhold til den gitte loven om endring i et legemes hastighet over tid $v=4cos(6t)$, finn bevegelsesloven $S=S(t)$ hvis kroppen i det første øyeblikket hadde en koordinat lik 2. Dokument

Noen intervall X. Hvis Til hvilken som helst xХ F"(x) = f(x), deretter funksjon F kaltantiderivatTilfunksjoner f på intervallet X. AntiderivatTilfunksjoner du kan prøve å finne...

Antiderivat for funksjon

Dokument

... . Funksjon F(x) kaltantiderivatTilfunksjoner f(x) på intervallet (a;b), if Til alle x(a;b) gjelder likheten F(x) = f(x). For eksempel, Tilfunksjoner x2 antiderivat vil funksjon x3...

Fundamentals of Integral Calculus Study Guide

Opplæringen

... ; 5. Finn integralet. ; B); C); D) ; 6. Funksjonkaltantiderivat Til funksjoner på et sett hvis: Til alle; på et tidspunkt; Til alle; med et eller annet intervall. Definisjon 1. FunksjonkaltantiderivatTilfunksjoner på mange...

Antiderivativ Ubestemt integral

Dokument

Integrering. Antiderivat. Kontinuerlige funksjon F(x) kaltantiderivatTilfunksjoner f (x) på intervallet X if Til hver F’ (x) = f (x). EKSEMPEL Funksjon F(x) = x 3 er antiderivatTilfunksjoner f(x) = 3x...

SPESIELL UTDANNING AV USSR Godkjent av Utdannings- og metodologisk direktorat for høyere utdanning HØYERE MATEMATIKK METODISKE INSTRUKSJONER OG KONTROLLOPPGAVER (Med PROGRAMMET) for deltidsstudenter i ingeniørfag og tekniske spesialiteter

Retningslinjer

Spørsmål Til selvtest Definer antiderivatfunksjoner. Angi den geometriske betydningen av tilslaget primitivfunksjoner. Hva kalt usikker...