Hvordan få et tall fra en naturlig logaritme. Logaritme

Dette kan for eksempel være en kalkulator fra det grunnleggende settet med programmer operativsystem Windows. Lenken for å starte den er ganske skjult i hovedmenyen til operativsystemet - åpne den ved å klikke på "Start" -knappen, åpne deretter "Programmer" -delen, gå til "Standard" underseksjonen og deretter til "Verktøy" og til slutt klikker du på "Kalkulator"-elementet " I stedet for å bruke musen og navigere gjennom menyene, kan du bruke tastaturet og programstartdialogen - trykk på WIN + R-tastekombinasjonen, skriv inn calc (dette er navnet på kalkulatorens kjørbare fil) og trykk på Enter.

Bytt kalkulatorgrensesnittet til avansert modus, som lar deg utføre. Som standard åpnes den i "normal" visning, men du trenger "engineering" eller " " (avhengig av versjonen av operativsystemet du bruker). Utvid "Vis"-delen i menyen og velg riktig linje.

Skriv inn argumentet hvis naturlige tall du vil evaluere. Dette kan gjøres enten fra tastaturet eller ved å klikke på de tilsvarende knappene i kalkulatorgrensesnittet på skjermen.

Klikk på knappen merket ln - programmet vil beregne logaritmen til basen e og vise resultatet.

Bruk en av -kalkulatorene som alternativ beregning av verdien naturlig logaritme. For eksempel den som ligger på http://calc.org.ua. Grensesnittet er ekstremt enkelt - det er et enkelt inndatafelt der du må skrive inn verdien av tallet, logaritmen som du må beregne. Blant knappene, finn og klikk den som sier ln. Skriptet til denne kalkulatoren krever ikke sending av data til serveren og et svar, så du vil motta beregningsresultatet nesten umiddelbart. Den eneste funksjonen, som bør tas i betraktning - separatoren mellom brøkdelen og hele delen Det angitte tallet må ha en prikk her, ikke en .

Begrepet " logaritme" kommer fra to greske ord, det ene betyr "tall" og det andre betyr "forhold". Det betegner den matematiske operasjonen for å beregne en variabel mengde (eksponent) som en konstant verdi (base) må heves til for å få tallet angitt under tegnet logaritme EN. Hvis grunntallet er lik en matematisk konstant kalt tallet "e", så logaritme kalt "naturlig".

Du vil trenge

Internett-tilgang, Microsoft Office Excel eller kalkulator.

Bruksanvisning

Bruk de mange kalkulatorene som finnes på Internett - dette er kanskje en enkel måte å beregne naturlig a. Du trenger ikke å søke etter riktig tjeneste, siden mange søkemotorer og selv har innebygde kalkulatorer, ganske egnet til å jobbe med logaritme ami. Gå for eksempel til hovedsiden til den største søkemotoren på nett - Google. Det kreves ingen knapper her for å angi verdier eller velge funksjoner, bare skriv inn ønsket matematisk handling i søkefeltet. La oss si å beregne logaritme og tallet 457 i basen "e", skriv inn ln 457 - dette vil være nok for Google å vise med en nøyaktighet på åtte desimaler (6.12468339) selv uten å trykke på knappen for å sende en forespørsel til serveren.

Bruk den aktuelle innebygde funksjonen hvis du trenger å beregne verdien av en naturlig logaritme og oppstår når du arbeider med data i det populære regnearkredigeringsprogrammet Microsoft Office Excel. Denne funksjonen kalles her ved å bruke den vanlige notasjonen slik logaritme og med store bokstaver - LN. Velg cellen som beregningsresultatet skal vises i, og skriv inn et likhetstegn - dette er hvordan i dette regnearkredigeringsprogrammet skal postene begynne i cellene som inneholder i "Standard"-underseksjonen i "Alle programmer"-delen av hovedmenyen. Bytt kalkulatoren til en mer funksjonell modus ved å trykke på hurtigtasten Alt + 2. Angi deretter verdien, naturlig logaritme som du ønsker å beregne, og klikk i programgrensesnittet på knappen angitt av symbolene ln. Applikasjonen vil utføre beregningen og vise resultatet.

Video om emnet

Ikke verst i det hele tatt, ikke sant? Mens matematikere søker etter ord for å gi deg en lang, forvirrende definisjon, la oss se nærmere på denne enkle og klare.

Tallet e betyr vekst

Tallet e betyr kontinuerlig vekst. Som vi så i forrige eksempel, tillater e x oss å koble rente og tid: 3 år ved 100 % vekst er det samme som 1 år ved 300 %, forutsatt "sammensatt rente".

Du kan erstatte en hvilken som helst prosent- og tidsverdi (50 % i 4 år), men det er bedre å sette prosentandelen til 100 % for enkelhets skyld (det viser seg 100 % i 2 år). Ved å gå over til 100 % kan vi fokusere utelukkende på tidskomponenten:

e x = e prosent * tid = e 1,0 * tid = e tid

Åpenbart betyr e x:

hvor mye vil mitt bidrag vokse etter x tidsenheter (forutsatt 100 % kontinuerlig vekst).
for eksempel, etter 3 tidsintervaller vil jeg motta e 3 = 20,08 ganger flere "ting".

e x er en skaleringsfaktor som viser hvilket nivå vi vil vokse til i løpet av x tid.

Naturlig logaritme betyr tid

Den naturlige logaritmen er inversen til e, en fancy term for motsatt. Apropos særheter; på latin heter det logarithmus naturali, derav forkortelsen ln.

Og hva betyr denne inversjonen eller det motsatte?

e x lar oss erstatte tid og få vekst.
ln(x) lar oss ta vekst eller inntekt og finne ut tiden det tar å generere den.

For eksempel:

e 3 tilsvarer 20.08. Etter tre perioder vil vi ha 20,08 ganger mer enn det vi startet med.
ln(08/20) vil være omtrent 3. Hvis du er interessert i vekst på 20,08 ganger, trenger du 3 tidsperioder (igjen, forutsatt 100 % kontinuerlig vekst).

Leser du fortsatt? Den naturlige logaritmen viser tiden det tar å nå ønsket nivå.

Dette ikke-standard logaritmiske antallet

Har du gått gjennom logaritmer? merkelige skapninger. Hvordan klarte de å gjøre multiplikasjon til addisjon? Hva med divisjon i subtraksjon? La oss ta en titt.

Hva er ln(1) lik? Intuitivt er spørsmålet: hvor lenge skal jeg vente for å få 1x mer enn det jeg har?

Null. Null. Ikke i det hele tatt. Du har det allerede en gang. Det tar ikke lang tid å gå fra nivå 1 til nivå 1.

ln(1) = 0

Ok, hva med brøkverdien? Hvor lang tid vil det ta før vi har 1/2 av tilgjengelig mengde igjen? Vi vet at med 100 % kontinuerlig vekst betyr ln(2) tiden det tar å doble seg. Hvis vi la oss skru tiden tilbake(dvs. vent en negativ tid), så får vi halvparten av det vi har.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logisk, ikke sant? Går vi tilbake (tid tilbake) til 0,693 sekunder, finner vi halve beløpet tilgjengelig. Generelt kan du snu brøken og ta negativ betydning: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Det betyr at hvis vi går tilbake i tid til 1,09 ganger, vil vi kun finne en tredjedel av dagens antall.

Ok, hva med logaritmen til et negativt tall? Hvor lang tid tar det å "dyrke" en koloni av bakterier fra 1 til -3?

Dette er umulig! Du kan vel ikke få et negativt bakterietall? Du kan få et maksimum (eh...minimum) på null, men det er ingen måte du kan få et negativt tall fra disse små dyrene. I negativt tall bakterier gir rett og slett ikke mening.

ln(negativt tall) = udefinert

"Udefinert" betyr at det ikke er noen tid som må vente for å få en negativ verdi.

Logaritmisk multiplikasjon er bare morsomt

Hvor lang tid vil det ta å vokse firedoblet? Selvfølgelig kan du bare ta ln(4). Men dette er for enkelt, vi går den andre veien.

Du kan tenke på firedobbel vekst som dobling (krever ln(2) tidsenheter) og deretter dobling igjen (krever ytterligere ln(2) tidsenheter):

Tid til å vokse 4 ganger = ln(4) = Tid til å doble og deretter doble igjen = ln(2) + ln(2)

Interessant. Enhver vekstrate, for eksempel 20, kan betraktes som en dobling rett etter en 10x økning. Eller vekst med 4 ganger, og deretter med 5 ganger. Eller tredoble og deretter øke med 6.666 ganger. Ser du mønsteret?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritmen til A ganger B er log(A) + log(B). Dette forholdet gir umiddelbart mening når det ses i form av vekst.

Hvis du er interessert i 30x vekst, kan du vente ln(30) i en gang, eller vente ln(3) for tredobling, og deretter en annen ln(10) for 10x. Sluttresultatet er det samme, så selvfølgelig må tiden forbli konstant (og det gjør den).

Hva med divisjon? Nærmere bestemt betyr ln(5/3): hvor lang tid vil det ta å vokse 5 ganger og deretter få 1/3 av det?

Flott, vekst med 5 ganger er ln(5). En økning på 1/3 ganger vil ta -ln(3) tidsenheter. Så,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Dette betyr: la det vokse 5 ganger, og deretter "gå tilbake i tid" til det punktet hvor bare en tredjedel av den mengden gjenstår, slik at du får 5/3 vekst. Generelt viser det seg

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Jeg håper at den merkelige aritmetikken til logaritmer begynner å gi mening for deg: å multiplisere veksthastigheter blir å legge til veksttidsenheter, og å dele blir å subtrahere tidsenheter. Du trenger ikke å huske reglene, prøv å forstå dem.

Bruke den naturlige logaritmen for vilkårlig vekst

Vel, selvfølgelig," sier du, "det er bra hvis veksten er 100 %, men hva med de 5 % jeg får?"

Ikke noe problem. "Tiden" vi beregner med ln() er egentlig en kombinasjon av rente og tid, samme X fra e x-ligningen. Vi bestemte oss nettopp for å sette prosentandelen til 100 % for enkelhets skyld, men vi står fritt til å bruke alle tall.

La oss si at vi ønsker å oppnå 30x vekst: ta ln(30) og få 3,4 Dette betyr:

e x = høyde
e 3,4 = 30

Åpenbart betyr denne ligningen "100 % avkastning over 3,4 år gir 30x vekst." Vi kan skrive denne ligningen som følger:

e x = e rate*tid
e 100 % * 3,4 år = 30

Vi kan endre verdiene for "bet" og "time", så lenge innsatsen * tiden forblir 3,4. For eksempel, hvis vi er interessert i 30x vekst, hvor lenge må vi vente med en rente på 5 %?

ln(30) = 3,4
rate * tid = 3,4
0,05 * tid = 3,4
tid = 3,4 / 0,05 = 68 år

Jeg resonnerer slik: "ln(30) = 3,4, så ved 100 % vekst vil det ta 3,4 år. Hvis jeg dobler veksthastigheten, halveres tiden som kreves."

100 % i 3,4 år = 1,0 * 3,4 = 3,4
200 % på 1,7 år = 2,0 * 1,7 = 3,4
50 % i 6,8 år = 0,5 * 6,8 = 3,4
5 % over 68 år = ,05 * 68 = 3,4.

Flott, ikke sant? Den naturlige logaritmen kan brukes med hvilken som helst rente og tid fordi produktet deres forblir konstant. Du kan flytte variabelverdier så mye du vil.

Kult eksempel: Regel om syttito

Rule of Seventy-Two er en matematisk teknikk som lar deg anslå hvor lang tid det vil ta før pengene dine dobles. Nå skal vi utlede det (ja!), og dessuten vil vi prøve å forstå essensen.

Hvor lang tid vil det ta å doble pengene dine til 100 % rente sammensatt årlig?

Oops. Vi brukte den naturlige logaritmen for tilfellet med kontinuerlig vekst, og nå snakker du om årlig sammensetning? Ville ikke denne formelen blitt uegnet for et slikt tilfelle? Ja, det vil det, men for realrenter som 5 %, 6 % eller til og med 15 %, vil forskjellen mellom årlig sammensetning og kontinuerlig vekst være liten. Så det grove anslaget fungerer, um, omtrent, så vi vil late som om vi har en helt kontinuerlig periodisering.

Nå er spørsmålet enkelt: Hvor raskt kan du doble med 100 % vekst? ln(2) = 0,693. Det tar 0,693 tidsenheter (år i vårt tilfelle) å doble beløpet vårt med en kontinuerlig økning på 100 %.

Så, hva om renten ikke er 100 %, men si 5 % eller 10 %?

Enkelt! Siden innsats * tid = 0,693, dobler vi beløpet:

rate * tid = 0,693
tid = 0,693 / innsats

Det viser seg at dersom veksten er 10 %, vil det ta 0,693 / 0,10 = 6,93 år å doble seg.

For å forenkle beregningene, la oss multiplisere begge sider med 100, så kan vi si "10" i stedet for "0,10":

tid til dobling = 69,3 / innsats, hvor innsatsen er uttrykt i prosent.

Nå er det på tide å doble med en hastighet på 5 %, 69,3 / 5 = 13,86 år. 69,3 er imidlertid ikke det mest praktiske utbyttet. La oss velge et nært tall, 72, som er praktisk å dele på 2, 3, 4, 6, 8 og andre tall.

tid til å doble = 72 / innsats

som er regelen for syttito. Alt er dekket.

Hvis du trenger å finne tiden til å tredoble, kan du bruke ln(3) ~ 109.8 og få

tid til å tredoble = 110 / innsats

Hva er en annen nyttig regel. "Rule of 72" gjelder høyde renter, befolkningsvekst, bakteriekulturer og alt som vokser eksponentielt.

Hva blir det neste?

Forhåpentligvis gir den naturlige logaritmen nå mening for deg - den viser tiden det tar før et tall vokser eksponentielt. Jeg tror det kalles naturlig fordi e er et universelt mål på vekst, så ln kan vurderes på en universell måte bestemme hvor lang tid det tar å vokse.

Hver gang du ser ln(x), husk "tiden det tar å vokse X ganger." I en kommende artikkel vil jeg beskrive e og ln i sammenheng slik at den friske duften av matematikk skal fylle luften.

Tillegg: Naturlig logaritme av e

Rask quiz: hva er ln(e)?

en matematikkrobot vil si: siden de er definert som invers av hverandre, er det åpenbart at ln(e) = 1.
forstå person: ln(e) er antall ganger det tar å vokse "e" ganger (omtrent 2.718). Imidlertid er tallet e i seg selv et mål på vekst med en faktor på 1, så ln(e) = 1.

Tenk klart.

9. september 2013

1.1. Bestemme eksponenten for en heltallseksponent

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N ganger

1.2. Null grader.

Per definisjon er det generelt akseptert at nullpotensen til ethvert tall er 1:

1.3. Negativ grad.

X -N = 1/X N

1.4. Brøkkraft, rot.

X 1/N = N roten av X.

For eksempel: X 1/2 = √X.

1.5. Formel for å legge til krefter.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Formel for å subtrahere potenser.

X (N-M) = X N/X M

1.7. Formel for å multiplisere potenser.

X N*M = (X N) M

1.8. Formel for å heve en brøkdel til en potens.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Nummer e.

Verdien av tallet e er lik følgende grense:

E = lim(1+1/N), som N → ∞.

Med en nøyaktighet på 17 sifre er tallet e 2,71828182845904512.

3. Eulers likestilling.

Denne likheten forbinder fem tall som spiller en spesiell rolle i matematikk: 0, 1, e, pi, imaginær enhet.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Eksponentiell funksjon exp(x)

exp(x) = e x

5. Derivert av eksponentiell funksjon

Eksponentialfunksjonen har en bemerkelsesverdig egenskap: den deriverte av funksjonen er lik selve eksponentialfunksjonen:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logaritme.

6.1. Definisjon av logaritmefunksjonen

Hvis x = b y, så er logaritmen funksjonen

Y = Logg b(x).

Logaritmen viser til hvilken potens et tall - basen til logaritmen (b) - må heves for å få et gitt tall (X). Logaritmefunksjonen er definert for X større enn null.

For eksempel: Logg 10 (100) = 2.

6.2. Desimallogaritme

Dette er logaritmen til base 10:

Y = Logg 10 (x) .

Angitt med Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Eksempel på bruk desimal logaritme- desibel.

6.3. Desibel

Elementet er uthevet på en egen side Desibel

6.4. Binær logaritme

Dette er basis 2-logaritmen:

Y = Logg 2 (x).

Angitt med Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Naturlig logaritme

Dette er logaritmen for å basere e:

Y = Log e (x) .

Angitt med Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Den naturlige logaritmen er den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen exp(X).

6.6. Karakteristiske poeng

Loga(1) = 0
Logg a (a) = 1

6.7. Produktlogaritmeformel

Logg a (x*y) = Logg a (x)+Logg a (y)

6.8. Formel for logaritme av kvotient

Logg a (x/y) = Logg a (x)-Logg a (y)

6.9. Formel for potenslogaritme

Logg a (x y) = y*Logg a (x)

6.10. Formel for å konvertere til en logaritme med en annen base

Logg b (x) = (Logg a (x))/Logg a (b)

Eksempel:

Logg 2 (8) = Logg 10 (8)/Logg 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formler nyttige i livet

Ofte er det problemer med å konvertere volum til areal eller lengde og det omvendte problemet - å konvertere areal til volum. For eksempel selges brett i terninger (kubikkmeter), og vi må beregne hvor mye veggareal som kan dekkes med brett inneholdt i et visst volum, se beregning av brett, hvor mange brett er det i en kube. Eller, hvis dimensjonene på veggen er kjent, må du beregne antall murstein, se mursteinsberegning.

Det er tillatt å bruke nettstedsmateriell forutsatt at en aktiv lenke til kilden er installert.

Naturlig logaritme

Graf over den naturlige logaritmefunksjonen. Funksjonen nærmer seg sakte positiv uendelighet ettersom den øker x og nærmer seg raskt negativ uendelighet når x har en tendens til 0 ("sakte" og "rask" sammenlignet med noen strømfunksjon fra x).

Naturlig logaritme er logaritmen til grunntallet , Hvor e- en irrasjonell konstant lik omtrent 2,718281 828. Den naturlige logaritmen skrives vanligvis som ln( x), Logg e (x) eller noen ganger bare logg( x), hvis basen e underforstått.

Naturlig logaritme av et tall x(skrevet som ln(x)) er eksponenten som tallet må heves til e, For å oppnå x. For eksempel, ln(7 389...) er lik 2 fordi e 2 =7,389... . Naturlig logaritme av selve tallet e (ln(e)) er lik 1 fordi e 1 = e, og den naturlige logaritmen er 1 ( ln(1)) er lik 0 fordi e 0 = 1.

Den naturlige logaritmen kan defineres for ethvert positivt reelt tall en som området under kurven y = 1/x fra 1 til en. Enkelheten i denne definisjonen, som er i samsvar med mange andre formler som bruker den naturlige logaritmen, førte til navnet "naturlig". Denne definisjonen kan utvides til komplekse tall, som vil bli diskutert nedenfor.

Hvis vi betrakter den naturlige logaritmen som en reell funksjon av en reell variabel, så er det den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen som fører til identitetene:

Som alle logaritmer, kartlegger den naturlige logaritmen multiplikasjon til addisjon:

Dermed er den logaritmiske funksjonen en isomorfisme av gruppen av positive reelle tall med hensyn til multiplikasjon med gruppen av reelle tall med hensyn til addisjon, som kan representeres som en funksjon:

Logaritmen kan defineres for en hvilken som helst positiv base enn 1, ikke bare e, men logaritmer for andre baser skiller seg fra den naturlige logaritmen bare med en konstant faktor, og er vanligvis definert i form av den naturlige logaritmen. Logaritmer er nyttige for å løse ligninger som involverer ukjente som eksponenter. For eksempel brukes logaritmer for å finne henfallskonstanten for en kjent halveringstid, eller for å finne hentingstiden for å løse radioaktivitetsproblemer. De spiller en viktig rolle i mange områder av matematikk og anvendte vitenskaper, og brukes i finans for å løse mange problemer, inkludert å finne renters rente.

Historie

Den første omtalen av den naturlige logaritmen ble gjort av Nicholas Mercator i hans arbeid Logaritmoteknikk, publisert i 1668, selv om matematikklærer John Spidell kompilerte en tabell over naturlige logaritmer tilbake i 1619. Den ble tidligere kalt den hyperbolske logaritmen fordi den tilsvarer arealet under hyperbelen. Det kalles noen ganger Napier-logaritmen, selv om den opprinnelige betydningen av dette begrepet var noe annerledes.

Betegnelseskonvensjoner

Den naturlige logaritmen er vanligvis betegnet med "ln( x)", logaritme til base 10 - via "lg( x)", og andre årsaker er vanligvis angitt eksplisitt med symbolet "logg".

I mange arbeider om diskret matematikk, kybernetikk og informatikk bruker forfattere notasjonen "log( x)" for logaritmer til base 2, men denne konvensjonen er ikke generelt akseptert og krever avklaring enten i listen over notasjoner som brukes eller (i mangel av en slik liste) med en fotnote eller kommentar når den brukes første gang.

Parenteser rundt logaritmenes argument (hvis dette ikke fører til feillesing av formelen) utelates vanligvis, og når man hever en logaritme til en potens, tildeles eksponenten direkte til logaritmens fortegn: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

anglo-amerikansk system

Matematikere, statistikere og noen ingeniører bruker vanligvis begrepet "naturlig logaritme" eller "log( x)" eller "ln( x)", og for å betegne base 10-logaritmen - "log 10 ( x)».

Noen ingeniører, biologer og andre spesialister skriver alltid "ln( x)" (eller noen ganger "logg e ( x)") når de betyr den naturlige logaritmen, og notasjonen "log( x)" de betyr logg 10 ( x).

Logg e er en "naturlig" logaritme fordi den oppstår automatisk og dukker opp veldig ofte i matematikk. Tenk for eksempel på problemet med den deriverte av en logaritmisk funksjon:

Hvis basen b er lik e, da er den deriverte ganske enkelt 1/ x, og når x= 1 denne deriverte er lik 1. En annen grunn til at basen e Det mest naturlige med logaritmen er at den ganske enkelt kan defineres i form av en enkel integral eller Taylor-serie, som ikke kan sies om andre logaritmer.

Ytterligere begrunnelser for naturlighet er ikke knyttet til notasjon. For eksempel er det flere enkle serier med naturlige logaritmer. Pietro Mengoli og Nicholas Mercator kalte dem logarithmus naturalis flere tiår før Newton og Leibniz utviklet differensial- og integralregning.

Definisjon

Formelt ln( en) kan defineres som arealet under kurven til grafen 1/ x fra 1 til en, dvs. som en integral:

Det er virkelig en logaritme fordi den tilfredsstiller den grunnleggende egenskapen til logaritmen:

Dette kan demonstreres ved å anta som følger:

Numerisk verdi

For å beregne den numeriske verdien av den naturlige logaritmen til et tall, kan du bruke utvidelsen av Taylor-serien i formen:

For å oppnå bedre hastighet konvergens, kan vi bruke følgende identitet:

forutsatt at y = (x−1)/(x+1) og x > 0.

For ln( x), Hvor x> 1, jo nærmere verdien x til 1, da raskere hastighet konvergens. Identitetene knyttet til logaritmen kan brukes for å oppnå målet:

Disse metodene ble brukt selv før bruken av kalkulatorer, for hvilke numeriske tabeller ble brukt og manipulasjoner som ligner de beskrevet ovenfor ble utført.

Høy presisjon

For å beregne den naturlige logaritmen med stort beløp nøyaktighetstall, er ikke Taylor-serien effektiv fordi konvergensen er langsom. Et alternativ er å bruke Newtons metode for å invertere til en eksponentiell funksjon hvis serie konvergerer raskere.

Et alternativ for svært høy beregningsnøyaktighet er formelen:

Hvor M betegner det aritmetisk-geometriske gjennomsnittet av 1 og 4/s, og

m valgt slik at s nøyaktighetsmerker oppnås. (I de fleste tilfeller er en verdi på 8 for m tilstrekkelig.) Faktisk, hvis denne metoden brukes, kan Newtons invers av den naturlige logaritmen brukes for å effektivt beregne eksponentialfunksjonen. (Konstantene ln 2 og pi kan forhåndsberegnes til ønsket nøyaktighet ved å bruke hvilken som helst av de kjente raskt konvergerende seriene.)

Beregningsmessig kompleksitet

Beregningskompleksiteten til naturlige logaritmer (ved å bruke det aritmetisk-geometriske gjennomsnittet) er O( M(n) ln n). Her n er antall sifre med presisjon som den naturlige logaritmen må evalueres for, og M(n) er beregningskompleksiteten ved å multiplisere to n-sifrede tall.

Fortsatt brøker

Selv om det ikke er noen enkle fortsatte brøker for å representere en logaritme, kan flere generaliserte fortsatte brøker brukes, inkludert:

Komplekse logaritmer

Eksponentialfunksjonen kan utvides til en funksjon som gir et komplekst tall av formen e x for enhver vilkårlig komplekst tall x, i dette tilfellet en uendelig serie med kompleks x. Dette eksponentiell funksjon kan inverteres for å danne en kompleks logaritme, som vil ha de fleste egenskapene til vanlige logaritmer. Det er imidlertid to vanskeligheter: det er ingen x, for hvilket e x= 0, og det viser seg at e 2πi = 1 = e 0 . Siden multiplikativitetsegenskapen er gyldig for en kompleks eksponentiell funksjon, da e z = e z+2nπi for alle komplekse z og hele n.

Logaritmen kan ikke defineres over hele det komplekse planet, og selv så er den flerverdi - enhver kompleks logaritme kan erstattes med en "ekvivalent" logaritme ved å legge til et heltallsmultiplum av 2 πi. Den komplekse logaritmen kan bare gis én verdi på en del av det komplekse planet. For eksempel, ln Jeg = 1/2 πi eller 5/2 πi eller −3/2 πi, etc., og selv om Jeg 4 = 1,4 log Jeg kan defineres som 2 πi, eller 10 πi eller −6 πi, og så videre.

se også

John Napier - oppfinner av logaritmer

Notater

Matematikk for fysisk kjemi. - 3. - Academic Press, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Utdrag av side 9
JJ O"Connor og EF Robertson Tallet e. MacTutor History of Mathematics-arkivet (september 2001). Arkivert
Cajori Florian A History of Mathematics, 5. utg. - AMS Bokhandel, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Estimering av integraler ved hjelp av polynomer. Arkivert fra originalen 12. februar 2012.

Så vi har to krefter. Hvis du tar tallet fra bunnlinjen, kan du enkelt finne kraften du må heve to til for å få dette tallet. For eksempel, for å få 16, må du heve to til den fjerde potensen. Og for å få 64, må du heve to til sjette potens. Dette kan sees fra tabellen.

Og nå - faktisk, definisjonen av logaritmen:

Grunnlaget a logaritmen av x er potensen som a må heves til for å få x.

Betegnelse: log a x = b, hvor a er grunntallet, x er argumentet, b er det logaritmen faktisk er lik.

For eksempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (grunntall 2-logaritmen av 8 er tre fordi 2 3 = 8). Med samme suksesslogg 2 64 = 6, siden 2 6 = 64.

Operasjonen med å finne logaritmen til et tall til en gitt base kalles logaritmisering. Så la oss legge til en ny linje i tabellen vår:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Dessverre er ikke alle logaritmer beregnet så lett. Prøv for eksempel å finne logg 2 5 . Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsier at logaritmen vil ligge et sted på segmentet. Fordi 2 2< 5 < 2 3 , а чем mer grad toere, jo større tall.

Slike tall kalles irrasjonelle: tallene etter desimaltegn kan skrives i det uendelige, og de gjentas aldri. Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, er det bedre å la det være slik: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det er viktig å forstå at en logaritme er et uttrykk med to variabler (grunnlaget og argumentet). Til å begynne med forvirrer mange hvor grunnlaget er og hvor argumentasjonen er. For å unngå irriterende misforståelser, se bare på bildet:

Foran oss er ikke noe mer enn definisjonen av en logaritme. Huske: logaritme er en potens, som basen må bygges inn i for å få et argument. Det er basen som er hevet til en kraft – den er uthevet med rødt på bildet. Det viser seg at basen alltid er nederst! Jeg forteller elevene mine denne fantastiske regelen allerede i den første leksjonen – og det oppstår ingen forvirring.

Vi har funnet ut definisjonen – det eneste som gjenstår er å lære å telle logaritmer, dvs. bli kvitt "logg"-tegnet. Til å begynne med merker vi at to viktige fakta følger av definisjonen:

Argumentet og grunnlaget må alltid være større enn null. Dette følger av definisjonen av en grad med en rasjonell eksponent, som definisjonen av en logaritme reduseres til.
Basen må være forskjellig fra en, siden en i noen grad fortsatt forblir en. På grunn av dette er spørsmålet "til hvilken makt må man heves for å få to" meningsløst. Det er ingen slik grad!

Slike restriksjoner kalles region akseptable verdier (ODZ). Det viser seg at ODZ til logaritmen ser slik ut: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Merk at det ikke er noen begrensninger på tallet b (verdien av logaritmen). For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 = −1, fordi 0,5 = 2 −1.

Men nå vurderer vi bare numeriske uttrykk, der det ikke er nødvendig å kjenne logaritmens CVD. Alle begrensninger er allerede tatt i betraktning av forfatterne av oppgavene. Men når logaritmiske ligninger og ulikheter spiller inn, vil DL-krav bli obligatoriske. Tross alt kan grunnlaget og argumentasjonen inneholde svært sterke konstruksjoner som ikke nødvendigvis samsvarer med begrensningene ovenfor.

La oss nå se på det generelle opplegget for beregning av logaritmer. Den består av tre trinn:

Uttrykk grunntallet a og argumentet x som en potens med minimum mulig grunntall større enn én. Underveis er det bedre å kvitte seg med desimaler;
Løs ligningen for variabel b: x = a b ;
Det resulterende tallet b vil være svaret.

Det er alt! Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, vil dette være synlig allerede i første trinn. Kravet om at grunnlaget skal være større enn én er svært viktig: dette reduserer sannsynligheten for feil og forenkler beregningene betydelig. Samme med desimaler: hvis du umiddelbart konverterer dem til vanlige, vil det være mange færre feil.

La oss se hvordan denne ordningen fungerer ved å bruke spesifikke eksempler:

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 5 25

La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

La oss lage og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Vi fikk svar: 2.

Oppgave. Regn ut logaritmen:

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 4 64

La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
La oss lage og løse ligningen:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Vi fikk svar: 3.

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 16 1

La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
La oss lage og løse ligningen:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Vi fikk svaret: 0.

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 7 14

La oss forestille oss grunnlaget og argumentet som en potens av syv: 7 = 7 1 ; 14 kan ikke representeres som en potens av syv, siden 7 1< 14 < 7 2 ;
Fra forrige avsnitt følger det at logaritmen ikke teller;
Svaret er ingen endring: logg 7 14.

En liten merknad til det siste eksemplet. Hvordan kan du være sikker på at et tall ikke er en eksakt potens av et annet tall? Det er veldig enkelt - bare ta det inn i hovedfaktorer. Hvis utvidelsen har minst to forskjellige faktorer, er ikke tallet en eksakt potens.

Oppgave. Finn ut om tallene er nøyaktige potenser: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - eksakt grad, fordi det er bare én multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - er ikke en eksakt potens, siden det er to faktorer: 3 og 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - eksakt grad;
35 = 7 · 5 - igjen ikke en eksakt potens;
14 = 7 · 2 - igjen ikke en eksakt grad;

Vi merker også at vi selv primtall er alltid eksakte grader av seg selv.

Desimallogaritme

Noen logaritmer er så vanlige at de har et spesielt navn og symbol.

Desimallogaritmen til x er logaritmen til grunntallet 10, dvs. Potensen som tallet 10 må heves til for å oppnå tallet x. Betegnelse: lg x.

For eksempel log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Fra nå av, når en setning som "Finn lg 0.01" vises i en lærebok, vet du: dette er ikke en skrivefeil. Dette er en desimallogaritme. Men hvis du ikke er kjent med denne notasjonen, kan du alltid skrive den om:
log x = log 10 x

Alt som er sant for vanlige logaritmer, er også sant for desimallogaritmer.

Naturlig logaritme

Det er en annen logaritme som har sin egen betegnelse. På noen måter er det enda viktigere enn desimal. Det handler om om den naturlige logaritmen.

Den naturlige logaritmen til x er logaritmen til basen e, dvs. potensen som tallet e må heves til for å oppnå tallet x. Betegnelse: ln x .

Mange vil spørre: hva er tallet e? Dette er et irrasjonelt tall, det eksakt verdi umulig å finne og registrere. Jeg vil bare gi de første tallene:
e = 2,718281828459...

Vi vil ikke gå i detalj om hva dette nummeret er og hvorfor det trengs. Bare husk at e er grunnlaget for den naturlige logaritmen:
ln x = log e x

Dermed ln e = 1; ln e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den annen side er ln 2 et irrasjonelt tall. Generelt er den naturlige logaritmen til evt rasjonalt tall irrasjonell. Bortsett fra, selvfølgelig, for en: ln 1 = 0.

For naturlige logaritmer er alle reglene som er sanne for vanlige logaritmer gyldige.