Bestemt integral av en potensfunksjon. Integrering av produktet av potensfunksjoner til sin x og cos x

Komplekse integraler

Denne artikkelen avslutter temaet ubestemte integraler, og inkluderer integraler som jeg synes er ganske komplekse. Leksjonen ble opprettet etter gjentatte forespørsler fra besøkende som uttrykte ønske om at vanskeligere eksempler ble analysert på nettstedet.

Det forutsettes at leseren av denne teksten er godt forberedt og vet hvordan man anvender grunnleggende integreringsteknikker. Dummies og folk som ikke er veldig trygge på integraler bør referere til den aller første leksjonen - Ubestemt integral. Eksempler på løsninger, hvor du kan mestre emnet nesten fra bunnen av. Mer erfarne studenter kan bli kjent med teknikker og metoder for integrering som ennå ikke har blitt møtt i artiklene mine.

Hvilke integraler vil bli vurdert?

Først vil vi vurdere integraler med røtter, for løsningen som vi suksessivt bruker variabel utskifting Og integrering etter deler. Det vil si at i ett eksempel kombineres to teknikker samtidig. Og enda mer.

Da vil vi bli kjent med interessant og originalt metode for å redusere integralen til seg selv. Ganske mange integraler løses på denne måten.

Den tredje utgaven av programmet vil være integraler av komplekse fraksjoner, som fløy forbi kassen i tidligere artikler.

For det fjerde vil ytterligere integraler fra trigonometriske funksjoner bli analysert. Spesielt finnes det metoder som unngår tidkrevende universell trigonometrisk substitusjon.

(2) I integrandfunksjonen deler vi telleren med nevneren ledd for ledd.

(3) Vi bruker linearitetsegenskapen til det ubestemte integralet. I den siste integralen umiddelbart sett funksjonen under differensialtegnet.

(4) Vi tar de resterende integralene. Merk at i en logaritme kan du bruke parenteser i stedet for en modul, siden .

(5) Vi utfører en omvendt erstatning, og uttrykker "te" fra den direkte erstatningen:

Masochistiske studenter kan skille svaret og få den originale integranden, slik jeg nettopp gjorde. Nei, nei, jeg gjorde sjekken i riktig forstand =)

Som du kan se, under løsningen måtte vi bruke enda mer enn to løsningsmetoder, så for å håndtere slike integraler trenger du trygge integreringsferdigheter og ganske mye erfaring.

I praksis er kvadratroten mer vanlig her er tre eksempler for å løse det selv:

Eksempel 2

Finn det ubestemte integralet

Eksempel 3

Finn det ubestemte integralet

Eksempel 4

Finn det ubestemte integralet

Disse eksemplene er av samme type, så den komplette løsningen på slutten av artikkelen vil kun være for eksempel 3-4 har samme svar. Hvilken erstatning som skal brukes i begynnelsen av beslutninger, tror jeg er åpenbart. Hvorfor valgte jeg eksempler av samme type? Ofte funnet i sin rolle. Oftere, kanskje bare noe sånt som .

Men ikke alltid, når det under arctangens, sinus, cosinus, eksponentiell og andre funksjoner er en rot av en lineær funksjon, må du bruke flere metoder samtidig. I en rekke tilfeller er det mulig å "gå lett av", det vil si umiddelbart etter utskiftingen, oppnås en enkel integral som lett kan tas. Den enkleste av oppgavene foreslått ovenfor er eksempel 4, der, etter utskifting, oppnås en relativt enkel integral.

Ved å redusere integralen til seg selv

En vittig og vakker metode. La oss ta en titt på klassikerne i sjangeren:

Eksempel 5

Finn det ubestemte integralet

Under roten er et kvadratisk binomial, og å prøve å integrere dette eksemplet kan gi tekannen hodepine i timevis. Et slikt integral tas i deler og reduseres til seg selv. I prinsippet er det ikke vanskelig. Hvis du vet hvordan.

La oss betegne integralet som vurderes med en latinsk bokstav og begynne løsningen:

La oss integrere etter deler:

(1) Forbered integrandfunksjonen for termin-for-term-deling.

(2) Vi deler integrandfunksjonen ledd på ledd. Det er kanskje ikke klart for alle, men jeg vil beskrive det mer detaljert:

(3) Vi bruker linearitetsegenskapen til det ubestemte integralet.

(4) Ta det siste integralet ("lang" logaritme).

La oss nå se på begynnelsen av løsningen:

Og til slutten:

Hva skjedde? Som et resultat av våre manipulasjoner ble integralen redusert til seg selv!

La oss sette likhetstegn mellom begynnelsen og slutten:

Flytt til venstre side med et tegnskifte:

Og vi flytter de to til høyre side. Som et resultat:

Konstanten burde strengt tatt vært lagt til tidligere, men jeg la den til på slutten. Jeg anbefaler på det sterkeste å lese hva strengheten er her:

Merk: Mer strengt ser den siste fasen av løsningen slik ut:

Dermed:

Konstanten kan redesignes med . Hvorfor kan det redesignes? For han godtar det fortsatt noen verdier, og i denne forstand er det ingen forskjell mellom konstanter og.
Som et resultat:

Et lignende triks med konstant renotering er mye brukt i differensiallikninger. Og der skal jeg være streng. Og her tillater jeg en slik frihet bare for ikke å forvirre deg med unødvendige ting og for å fokusere oppmerksomheten nettopp på selve integreringsmetoden.

Eksempel 6

Finn det ubestemte integralet

En annen typisk integral for uavhengig løsning. Full løsning og svar på slutten av timen. Det vil være en forskjell med svaret i forrige eksempel!

Hvis det under kvadratroten er et kvadrattrinomial, så kommer løsningen i alle fall ned til to analyserte eksempler.

Tenk for eksempel på integralen . Alt du trenger å gjøre er først velg en komplett firkant:
.
Deretter utføres en lineær erstatning, som gjør "uten konsekvenser":
, noe som resulterer i integralen . Noe kjent, ikke sant?

Eller dette eksemplet, med et kvadratisk binomial:
Velg en komplett firkant:
Og etter lineær erstatning får vi integralet, som også løses ved å bruke algoritmen som allerede er diskutert.

La oss se på to mer typiske eksempler på hvordan man kan redusere en integral til seg selv:
– integral av eksponentialen multiplisert med sinus;
– integral av eksponentialen multiplisert med cosinus.

I de oppførte integralene etter deler må du integrere to ganger:

Eksempel 7

Finn det ubestemte integralet

Integranden er eksponentialen multiplisert med sinus.

Vi integrerer med deler to ganger og reduserer integralen til seg selv:

Som et resultat av dobbel integrasjon av deler, ble integralet redusert til seg selv. Vi setter likhetstegn mellom begynnelsen og slutten av løsningen:

Vi flytter den til venstre side med et tegnskifte og uttrykker vår integral:

Klar. Samtidig er det lurt å gre høyre side, d.v.s. ta eksponenten ut av parentes, og plasser sinus og cosinus i parentes i en "vakker" rekkefølge.

La oss nå gå tilbake til begynnelsen av eksemplet, eller mer presist, til integrering etter deler:

Vi utpekte eksponenten som. Spørsmålet oppstår: er det eksponenten som alltid skal betegnes med ? Ikke nødvendig. Faktisk i den betraktede integralen grunnleggende spiller ingen rolle, hva mener vi med , vi kunne ha gått den andre veien:

Hvorfor er dette mulig? Fordi eksponentialen blir til seg selv (både under differensiering og integrasjon), blir sinus og cosinus gjensidig til hverandre (igjen, både under differensiering og integrasjon).

Det vil si at vi også kan betegne en trigonometrisk funksjon. Men i det betraktede eksemplet er dette mindre rasjonelt, siden brøker vil vises. Hvis du ønsker det, kan du prøve å løse dette eksemplet ved å bruke den andre metoden, svarene må samsvare.

Eksempel 8

Finn det ubestemte integralet

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Før du bestemmer deg, tenk på hva som er mer fordelaktig i dette tilfellet å betegne som , en eksponentiell eller en trigonometrisk funksjon? Full løsning og svar på slutten av timen.

Og, selvfølgelig, ikke glem at de fleste av svarene i denne leksjonen er ganske enkle å sjekke ved differensiering!

Eksemplene som ble vurdert var ikke de mest komplekse. I praksis er integraler mer vanlig der konstanten er både i eksponenten og i argumentasjonen til den trigonometriske funksjonen, for eksempel: . Mange vil bli forvirret i en slik integral, og jeg blir ofte forvirret selv. Faktum er at det er stor sannsynlighet for at det dukker opp brøker i løsningen, og det er veldig lett å miste noe ved uforsiktighet. I tillegg er det stor sannsynlighet for en feil i fortegnene merk at eksponenten har et minustegn, og dette introduserer ytterligere vanskeligheter.

På sluttfasen er resultatet ofte noe slikt:

Selv på slutten av løsningen bør du være ekstremt forsiktig og forstå brøkene riktig:

Integrering av komplekse brøker

Vi nærmer oss sakte leksjonens ekvator og begynner å vurdere integraler av brøker. Igjen, ikke alle av dem er super komplekse, det er bare det at eksemplene av en eller annen grunn var litt "utenfor tema" i andre artikler.

Fortsetter temaet røtter

Eksempel 9

Finn det ubestemte integralet

I nevneren under roten er det et kvadratisk trinomium pluss et "vedheng" i form av en "X" utenfor roten. En integral av denne typen kan løses ved å bruke en standard substitusjon.

Vi bestemmer:

Erstatningen her er enkel:

La oss se på livet etter utskifting:

(1) Etter substitusjon reduserer vi begrepene under roten til en fellesnevner.
(2) Vi tar den ut under roten.
(3) Telleren og nevneren reduseres med . Samtidig, under roten, omorganiserte jeg vilkårene i en passende rekkefølge. Med litt erfaring kan trinn (1), (2) hoppes over ved å utføre de kommenterte handlingene muntlig.
(4) Den resulterende integralen, som du husker fra leksjonen Integrering av noen brøker, blir avgjort komplett kvadratisk utvinningsmetode. Velg en komplett firkant.
(5) Ved integrasjon får vi en vanlig "lang" logaritme.
(6) Vi utfører omvendt utskifting. Hvis først , så tilbake: .
(7) Den siste handlingen er rettet mot å rette opp resultatet: under roten bringer vi igjen begrepene til en fellesnevner og tar dem ut under roten.

Eksempel 10

Finn det ubestemte integralet

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Her legges en konstant til den eneste "X", og erstatningen er nesten den samme:

Det eneste du trenger å gjøre i tillegg er å uttrykke "x" fra utskiftingen som utføres:

Full løsning og svar på slutten av timen.

Noen ganger i et slikt integral kan det være et kvadratisk binomial under roten, dette endrer ikke løsningsmetoden, det vil være enda enklere. Føl forskjellen:

Eksempel 11

Finn det ubestemte integralet

Eksempel 12

Finn det ubestemte integralet

Korte løsninger og svar på slutten av timen. Det skal bemerkes at eksempel 11 er nøyaktig binomial integral, løsningsmetoden som ble diskutert i klassen Integraler av irrasjonelle funksjoner.

Integral av et uoppløselig polynom av 2. grad i potens

(polynom i nevneren)

En mer sjelden type integral, men likevel påtruffet i praktiske eksempler.

Eksempel 13

Finn det ubestemte integralet

Men la oss gå tilbake til eksemplet med lykkenummer 13 (ærlig talt, jeg gjettet ikke riktig). Denne integralen er også en av de som kan være ganske frustrerende hvis du ikke vet hvordan du skal løse.

Løsningen starter med en kunstig transformasjon:

Jeg tror alle allerede forstår hvordan man deler telleren med nevneren begrep for begrep.

Det resulterende integralet er tatt i deler:

For et integral av formen ( – naturlig tall) utleder vi tilbakevendende reduksjonsformel:
, Hvor – integral av en grad lavere.

La oss verifisere gyldigheten av denne formelen for det løste integralet.
I dette tilfellet: , , bruker vi formelen:

Som du kan se, er svarene de samme.

Eksempel 14

Finn det ubestemte integralet

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Prøveløsningen bruker formelen ovenfor to ganger etter hverandre.

Hvis under graden er udelelig kvadrattrinomial, så reduseres løsningen til et binomial ved å isolere det perfekte kvadratet, for eksempel:

Hva om det er et ekstra polynom i telleren? I dette tilfellet brukes metoden med ubestemte koeffisienter, og integrandfunksjonen utvides til en sum av brøker. Men i min praksis er det et slikt eksempel aldri møtt, så jeg savnet denne saken i artikkelen Integraler av brøk-rasjonelle funksjoner, jeg hopper over det nå. Hvis du fortsatt møter en slik integral, se på læreboken - alt er enkelt der. Jeg tror ikke det er tilrådelig å inkludere materiale (selv enkle), sannsynligheten for å møte som har en tendens til null.

Integrering av komplekse trigonometriske funksjoner

Adjektivet "kompleks" for de fleste eksempler er igjen stort sett betinget. La oss starte med tangenter og cotangenter i høye potenser. Fra synspunktet til løsningsmetodene som brukes, er tangent og cotangens nesten det samme, så jeg vil snakke mer om tangent, og antyder at den demonstrerte metoden for å løse integralet også er gyldig for cotangens.

I leksjonen ovenfor så vi på universell trigonometrisk substitusjon for å løse en bestemt type integraler av trigonometriske funksjoner. Ulempen med universell trigonometrisk substitusjon er at bruken ofte resulterer i tungvinte integraler med vanskelige beregninger. Og i noen tilfeller kan universell trigonometrisk substitusjon unngås!

La oss vurdere et annet kanonisk eksempel, integralet av en delt på sinus:

Eksempel 17

Finn det ubestemte integralet

Her kan du bruke universell trigonometrisk substitusjon og få svaret, men det er en mer rasjonell måte. Jeg vil gi den komplette løsningen med kommentarer for hvert trinn:

(1) Vi bruker den trigonometriske formelen for sinus til en dobbel vinkel.
(2) Vi gjennomfører en kunstig transformasjon: Del i nevneren og gang med .
(3) Ved å bruke den velkjente formelen i nevneren transformerer vi brøken til en tangent.
(4) Vi bringer funksjonen under differensialtegnet.
(5) Ta integralen.

Et par enkle eksempler du kan løse på egen hånd:

Eksempel 18

Finn det ubestemte integralet

Merk: Det aller første trinnet bør være å bruke reduksjonsformelen og utfør forsiktig handlinger som ligner på det forrige eksemplet.

Eksempel 19

Finn det ubestemte integralet

Vel, dette er et veldig enkelt eksempel.

Fullfør løsninger og svar på slutten av leksjonen.

Jeg tror nå ingen vil ha problemer med integraler:
og så videre.

Hva er ideen med metoden? Ideen er å bruke transformasjoner og trigonometriske formler for å organisere kun tangenter og tangentderiverten i integranden. Det vil si at vi snakker om å erstatte: . I eksemplene 17-19 brukte vi faktisk denne erstatningen, men integralene var så enkle at vi klarte oss med en ekvivalent handling - å legge funksjonen under differensialtegnet.

Lignende resonnement, som jeg allerede har nevnt, kan utføres for cotangenten.

Det er også en formell forutsetning for å bruke erstatningen ovenfor:

Summen av potensene av cosinus og sinus er et negativt heltall ELLT tall, For eksempel:

for integralet – et negativt heltall ELLT tall.

! Merk : hvis integranden KUN inneholder en sinus eller KUN en cosinus, så tas integralet også for en negativ oddetallsgrad (de enkleste tilfellene er i eksemplene nr. 17, 18).

La oss se på et par mer meningsfylte oppgaver basert på denne regelen:

Eksempel 20

Finn det ubestemte integralet

Summen av potensene av sinus og cosinus: 2 – 6 = –4 er et negativt heltall ELLT tall, som betyr at integralet kan reduseres til tangenter og dens deriverte:

(1) La oss transformere nevneren.
(2) Ved å bruke den velkjente formelen får vi .
(3) La oss transformere nevneren.
(4) Vi bruker formelen .
(5) Vi bringer funksjonen under differensialtegnet.
(6) Vi utfører utskifting. Mer erfarne elever gjennomfører kanskje ikke utskiftingen, men det er likevel bedre å erstatte tangenten med én bokstav - det er mindre risiko for å bli forvirret.

Eksempel 21

Finn det ubestemte integralet

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd.

Stå på, mesterskapsrundene begynner snart =)

Ofte inneholder integranden en "hodgepodge":

Eksempel 22

Finn det ubestemte integralet

Dette integralet inneholder i utgangspunktet en tangent, som umiddelbart fører til en allerede kjent tanke:

Jeg vil forlate den kunstige transformasjonen helt i begynnelsen og de resterende trinnene uten kommentar, siden alt allerede er diskutert ovenfor.

Et par kreative eksempler for din egen løsning:

Eksempel 23

Finn det ubestemte integralet

Eksempel 24

Finn det ubestemte integralet

Ja, i dem kan du selvfølgelig senke potensene til sinus og cosinus, og bruke en universell trigonometrisk substitusjon, men løsningen vil være mye mer effektiv og kortere hvis den utføres gjennom tangenter. Full løsning og svar på slutten av leksjonen

Rektorintegraler som enhver elev bør kjenne til

De oppførte integralene er grunnlaget, grunnlaget for det grunnleggende. Disse formlene bør definitivt huskes. Når du beregner mer komplekse integraler, må du bruke dem konstant.

Vær spesielt oppmerksom på formlene (5), (7), (9), (12), (13), (17) og (19). Ikke glem å legge til en vilkårlig konstant C i svaret ditt når du integrerer!

Integral av en konstant

∫ A d x = A x + C (1)

Integrering av en strømfunksjon

Faktisk var det mulig å begrense oss til kun formlene (5) og (7), men resten av integralene fra denne gruppen forekommer så ofte at det er verdt å være litt oppmerksom på dem.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integraler av eksponentielle funksjoner og hyperbolske funksjoner

Selvfølgelig kan formel (8) (kanskje den mest praktiske for memorering) betraktes som et spesielt tilfelle av formel (9). Formler (10) og (11) for integralene til hyperbolsk sinus og hyperbolsk cosinus er lett avledet fra formel (8), men det er bedre å bare huske disse relasjonene.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Grunnleggende integraler av trigonometriske funksjoner

En feil som elevene ofte gjør, er at de forveksler tegnene i formlene (12) og (13). Husk at den deriverte av sinus er lik cosinus, av en eller annen grunn tror mange at integralet til funksjonen sinx er lik cosx. Dette er ikke sant! Integralet av sinus er lik "minus cosinus", men integralet av cosx er lik "bare sinus":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integraler som reduserer til inverse trigonometriske funksjoner

Formel (16), som fører til arctangensen, er naturlig nok et spesialtilfelle av formel (17) for a=1. Tilsvarende er (18) et spesialtilfelle av (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Mer komplekse integraler

Det er også tilrådelig å huske disse formlene. De brukes også ganske ofte, og produksjonen deres er ganske kjedelig.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Generelle regler for integrering

1) Integralet av summen av to funksjoner er lik summen av de tilsvarende integralene: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integralet av forskjellen mellom to funksjoner er lik forskjellen til de tilsvarende integralene: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Konstanten kan tas ut av integrertegnet: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Det er lett å se at eiendom (26) ganske enkelt er en kombinasjon av egenskaper (25) og (27).

4) Integral av en kompleks funksjon hvis den interne funksjonen er lineær: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Her er F(x) en antiderivert for funksjonen f(x). Vær oppmerksom på: denne formelen fungerer bare når den indre funksjonen er Ax + B.

Viktig: det er ingen universell formel for integralet av produktet av to funksjoner, så vel som for integralet av en brøk:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (tretti)

Dette betyr selvsagt ikke at en fraksjon eller et produkt ikke kan integreres. Det er bare at hver gang du ser en integral som (30), må du finne opp en måte å "bekjempe" den på. I noen tilfeller vil integrering av deler hjelpe deg, i andre må du gjøre en endring av variabel, og noen ganger kan til og med "skole"-algebra eller trigonometriformler hjelpe.

Et enkelt eksempel på beregning av ubestemt integral

Eksempel 1. Finn integralet: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

La oss bruke formlene (25) og (26) (integralet av summen eller differansen av funksjoner er lik summen eller forskjellen av de tilsvarende integralene. Vi får: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

La oss huske at konstanten kan tas ut av integrertegnet (formel (27)). Uttrykket konverteres til formen

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x

La oss nå bare bruke tabellen over grunnleggende integraler. Vi må bruke formlene (3), (12), (8) og (1). La oss integrere potensfunksjonen, sinus, eksponentiell og konstant 1. Ikke glem å legge til en vilkårlig konstant C på slutten:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Etter elementære transformasjoner får vi det endelige svaret:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Test deg selv ved differensiering: ta den deriverte av den resulterende funksjonen og sørg for at den er lik den opprinnelige integranden.

Sammendragstabell over integraler

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Last ned tabellen over integraler (del II) fra denne lenken

Hvis du studerer ved et universitet, hvis du har problemer med høyere matematikk (matematisk analyse, lineær algebra, sannsynlighetsteori, statistikk), hvis du trenger tjenestene til en kvalifisert lærer, gå til siden til en høyere matematikkveileder. Vi løser dine problemer sammen!

Du kan også være interessert i

Det er vist at integralet til produktet av potensfunksjonene til sin x og cos x kan reduseres til integralet til en differensialbinomial. For heltallsverdier av eksponenter beregnes slike integraler enkelt av deler eller ved hjelp av reduksjonsformler. Utledningen av reduksjonsformlene er gitt. Et eksempel på beregning av et slikt integral er gitt.

Innhold

Se også:
Tabell over ubestemte integraler

Reduksjon til integralet av en differensial binomial

La oss vurdere integraler av skjemaet:

Slike integraler reduseres til integralet til differensialbinomialet til en av substitusjonene t = synd x eller t = fordi x.

La oss demonstrere dette ved å utføre substitusjonen
t = synd x.
Deretter
dt = (sin x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x = 1 - sin 2 x = 1 - t 2;

Hvis m og n er rasjonelle tall, bør differensielle binomiale integreringsmetoder brukes.

Integrasjon med heltall m og n

Deretter vurderer du tilfellet når m og n er heltall (ikke nødvendigvis positive). I dette tilfellet er integranden en rasjonell funksjon av synd x Og fordi x. Derfor kan du bruke reglene som er presentert i avsnittet "Integrering av trigonometriske rasjonelle funksjoner".

Men med tanke på de spesifikke funksjonene, er det lettere å bruke reduksjonsformler, som enkelt oppnås ved integrering av deler.

Reduksjonsformler

Reduksjonsformler for integralet

har formen:

;
;
;
.

Det er ikke nødvendig å huske dem, siden de lett oppnås ved å integrere med deler.

Bevis for reduksjonsformler

La oss integrere etter deler.

Ved å multiplisere med m + n får vi den første formelen:

Vi får på samme måte den andre formelen.

La oss integrere etter deler.

Ved å multiplisere med m + n får vi den andre formelen:

Tredje formel.

La oss integrere etter deler.

Multiplisere med n + 1 , får vi den tredje formelen:

Tilsvarende for den fjerde formelen.

La oss integrere etter deler.

Multiplisere med m + 1 , får vi den fjerde formelen:

Eksempel

La oss beregne integralet:

La oss transformere:

Her m = 10, n = - 4.

Vi bruker reduksjonsformelen:

Når m = 10, n = - 4:

Når m = 8, n = - 2:

Vi bruker reduksjonsformelen:

Når m = 6, n = - 0:

Når m = 4, n = - 0:

Når m = 2, n = - 0:

Vi beregner gjenværende integral:

Vi samler mellomresultater i én formel.

Referanser:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Samling av problemer i høyere matematikk, "Lan", 2003.

Se også:

Hei igjen, venner!

Som jeg lovet, med denne leksjonen vil vi begynne å utforske de endeløse viddene av den poetiske verdenen av integraler og begynne å løse et bredt utvalg av (noen ganger veldig vakre) eksempler. :)

For å navigere kompetent i alt det integrerte mangfoldet og ikke gå seg vill, trenger vi bare fire ting:

1) Tabell over integraler. Alle detaljene om henne - . Dette er nøyaktig hvordan man jobber med henne.

2) Linearitetsegenskaper til det ubestemte integralet (integralet av summen/forskjellen og produktet av en konstant).

3) Tabell over derivater og differensieringsregler.

Ja, ja, ikke bli overrasket! Uten muligheten til å telle derivater er det absolutt ingenting å tjene på integrasjon. Enig, det gir ingen mening, for eksempel å lære divisjon uten å vite hvordan man multipliserer. :) Og veldig snart vil du se at uten finpussede differensieringsferdigheter kan du ikke beregne et enkelt integral som går utover de elementære tabellformene.

4) Integreringsmetoder.

Det er veldig, veldig mange av dem. For en bestemt klasse funksjoner - din egen. Men blant alt deres rike mangfold skiller tre grunnleggende seg ut:

– ,

– .

Hver av dem vil bli diskutert i separate leksjoner.

Og nå, endelig, la oss komme i gang med å løse de etterlengtede eksemplene. For ikke å hoppe fra seksjon til seksjon, vil jeg duplisere hele herresettet igjen, noe som vil være nyttig for vårt videre arbeid. La alle verktøyene være for hånden.)

Først av alt, dette tabell over integraler:

I tillegg trenger vi de grunnleggende egenskapene til det ubestemte integralet (linearitetsegenskaper):

Vel, nødvendig utstyr er forberedt. Det er på tide å gå! :)

Direkte påføring av tabellen

Dette avsnittet vil vurdere de enkleste og mest harmløse eksemplene. Algoritmen her er veldig enkel:

1) Se på tabellen og se etter de(n) nødvendige formelen(e);

2) Bruk linearitetsegenskaper (der det er nødvendig);

3) Vi utfører transformasjonen ved hjelp av tabellformler og legger til en konstant på slutten MED (ikke glem!) ;

4) Skriv ned svaret.

Så la oss gå.)

Eksempel 1

Det er ingen slik funksjon i tabellen vår. Men det er en integral av en potensfunksjon i generell form (andre gruppe). I vårt tilfelle n=5. Så vi erstatter de fem med n og beregner resultatet nøye:

Klar. :)

Selvfølgelig er dette eksemplet helt primitivt. Rent for bekjentskap.) Men evnen til å integrere potenser gjør det enkelt å beregne integraler av eventuelle polynomer og andre potenskonstruksjoner.

Eksempel 2

Under integralet er summen. Vel ok. Vi har linearitetsegenskaper for dette tilfellet. :) Vi deler integralet vårt i tre separate, tar alle konstantene ut av fortegnene til integralene og teller hver i henhold til tabellen (gruppe 1-2):

Vennligst merk: konstant MED vises nøyaktig i det øyeblikket når ALLE integraltegn forsvinner! Selvfølgelig, etter det må du hele tiden bære den med deg. Så, hva gjør vi…

Selvfølgelig er det vanligvis ikke nødvendig å beskrive så detaljert. Dette gjøres kun for å forstå. For å skjønne poenget.)

For eksempel, veldig snart, uten mye ettertanke, vil du mentalt gi et svar på monstre som:

Polynomer er de mest frie funksjonene i integraler.) Og i diffuser, fysikk, materialers styrke og andre seriøse disipliner, må du hele tiden integrere polynomer. Bli vant til det.)

Det neste eksemplet blir litt kulere.

Eksempel 3

Jeg håper alle forstår at integranden vår kan skrives slik:

Integrandfunksjonen er separat, og faktoren dx (differensialikon)- hver for seg.

Kommentar: i denne leksjonsmultiplikatoren dx i prosessen med integrering Ha det deltar ikke på noen måte, og vi "glemmer" ham mentalt for nå. :) Vi jobber kun med integrand funksjon. Men la oss ikke glemme ham. Svært snart, bokstavelig talt i neste leksjon dedikert til, vil vi huske det. Og vi vil føle viktigheten og kraften til dette ikonet i full kraft!)

I mellomtiden trekkes blikket vårt mot integrand-funksjonen

Ser ikke mye ut som en kraftfunksjon, men det er det det er. :) Hvis vi husker skoleegenskapene til røtter og krefter, så er det fullt mulig å transformere funksjonen vår:

Og x til makten minus to tredjedeler er allerede en tabellfunksjon! Andre gruppe n=-2/3. Og den konstante 1/2 er ikke en hindring for oss. Vi tar det utenfor, bortenfor integrertegnet, og regner direkte ved å bruke formelen:

I dette eksemplet ble vi hjulpet av de elementære egenskapene til grader. Og dette bør gjøres i de fleste tilfeller når det er ensomme røtter eller fraksjoner under integralen. Derfor et par praktiske tips ved integrering av kraftkonstruksjoner:

Vi erstatter brøker med potenser med negative eksponenter;

Vi erstatter røtter med potenser med brøkeksponenter.

Men i det endelige svaret er overgangen fra makter tilbake til brøker og røtter en smakssak. Personlig bytter jeg tilbake - det er mer estetisk tiltalende, eller noe.

Og vær så snill, tell alle brøker nøye! Vi overvåker nøye skiltene og hva som går hvor – hva som står i telleren og hva som er nevneren.

Hva? Lei av kjedelige kraftfunksjoner allerede? OK! La oss ta oksen ved hornene!

Eksempel 4

Hvis vi nå bringer alt under integralet til en fellesnevner, så kan vi bli sittende fast på dette eksempelet på alvor og lenge.) Men, ser vi nærmere på integranden, kan vi se at forskjellen vår består av to tabellfunksjoner . Så la oss ikke bli perverterte, men i stedet dekomponere vår integral i to:

Det første integralet er en vanlig potensfunksjon, (andre gruppe, n = -1): 1/x = x-1.

Vår tradisjonelle formel for antiderivatet av en potensfunksjon

Fungerer ikke her, men for oss n = -1 det er et verdig alternativ - en formel med en naturlig logaritme. Denne:

Deretter, i henhold til denne formelen, vil den første brøken bli integrert slik:

Og den andre brøken er også en bordfunksjon! Lært? Ja! Dette syvende formel med "høy" logaritme:

Konstanten "a" i denne formelen er lik to: a=2.

Viktig notat: Vær oppmerksom på konstantenMED med mellomliggende integrasjon I ingen steder Jeg tilskriver det ikke! Hvorfor? For hun vil gå til det endelige svaret hele eksempelet. Dette er nok.) Strengt tatt må konstanten skrives etter hver enkelt integrasjon - enten det er mellomliggende eller endelige: det er det den ubestemte integralen krever...)

For eksempel, etter den første integrasjonen må jeg skrive:

Etter den andre integrasjonen:

Men trikset er at summen/forskjellen av vilkårlige konstanter er også noen konstante! I vårt tilfelle, for det endelige svaret trenger vi fra den første integralen trekke fra sekund. Da kan vi gjøre det forskjell to mellomkonstanter:

C1-C2

Og vi har all rett til å erstatte nettopp denne forskjellen i konstanter en konstant! Og bare redesigne den med bokstaven "C" som er kjent for oss. Som dette:

C1-C2 = C

Så vi tillegger denne samme konstanten MED til det endelige resultatet og vi får svaret:

Ja, ja, de er brøker! Flertasjes logaritmer når integrert er det vanligste. Vi begynner å bli vant til det også.)

Huske:

Under mellomliggende integrasjon av flere termer, konstanten MED Etter hver av dem trenger du ikke å skrive. Det er nok å inkludere det i det endelige svaret i hele eksemplet. Til slutt.

Det neste eksempelet er også med en brøk. For oppvarming.)

Eksempel 5

Tabellen har selvfølgelig ikke en slik funksjon. Men det er lignende funksjon:

Dette er den aller siste åttende formel. Med arctangens. :)

Denne:

Og Gud selv beordret oss til å tilpasse vår integral til denne formelen! Men det er ett problem: i tabellformelen før x 2 Det er ingen koeffisient, men vi har en ni. Vi kan ennå ikke bruke formelen direkte. Men i vårt tilfelle er problemet fullstendig løsbart. La oss først ta denne ni fra parentes, og så ta den helt utenfor brøkdelen vår.)

Og den nye brøken er tabellfunksjonen vi allerede trenger, nummer 8! Her og 2 = 4/9. Eller a=2/3.

Alle. Vi tar 1/9 ut av integrertegnet og bruker den åttende formelen:

Dette er svaret. Dette eksemplet, med koeffisienten foran x 2, jeg valgte det på den måten med vilje. For å gjøre det klart hva man skal gjøre i slike tilfeller. :) Hvis før x 2 det er ingen koeffisient, da vil slike brøker også bli integrert i sinnet.

For eksempel:

Her a 2 = 5, så "a" i seg selv vil være "root of five". Generelt forstår du.)

La oss nå endre funksjonen vår litt: vi skriver nevneren under roten.) Nå tar vi denne integralen:

Eksempel 6

Nevneren har nå en rot. Naturligvis har den tilsvarende formelen for integrering også endret seg, ja.) Igjen går vi inn i tabellen og ser etter en passende. Vi har røtter i formlene til 5. og 6. gruppe. Men i den sjette gruppen er det bare forskjell under røttene. Og vi har beløpet. Så vi jobber med femte formel, med en "lang" logaritme:

Antall EN vi har fem. Bytt inn i formelen og få:

Og det er alt. Dette er svaret. Ja, ja, så enkelt er det!)

Hvis tvil sniker seg inn, kan (og bør) du alltid sjekke resultatet ved omvendt differensiering. Skal vi sjekke? Hva om det er en slags skrubb?

Vi skiller (vi tar ikke hensyn til modulen og oppfatter den som vanlige parenteser):

Alt er rettferdig. :)

Forresten, hvis du i integranden under roten endrer tegnet fra pluss til minus, vil formelen for integrasjon forbli den samme. Det er ikke tilfeldig at i tabellen under roten er det pluss minus. :)

For eksempel:

Viktig! Ved minus, på først stedet under roten skal være nøyaktig x 2, og på sekund – Antall. Hvis det motsatte er sant under roten, vil den tilsvarende tabellformelen være smalere en annen!

Eksempel 7

Under roten igjen minus, men x 2 med de fem byttet vi plass. Det er likt, men ikke det samme... For dette tilfellet har tabellen vår også en formel.) Formel nummer seks, vi har ikke jobbet med den ennå:

Men nå - forsiktig. I forrige eksempel brukte vi fem som et tall EN . Her vil fem fungere som et tall en 2!

Derfor, for å bruke formelen riktig, ikke glem å trekke ut roten av fem:

Og nå er eksemplet løst i én handling. :)

Bare sånn! Bare vilkårene under roten ble byttet, og resultatet av integrasjonen endret seg betydelig! Logaritme og arcsine... Så vær så snill ikke forveksle disse to formlene! Selv om integrand-funksjonene er veldig like...

Bonus:

I tabellformlene 7-8 er det koeffisienter før logaritmen og arctangens 1/(2a) Og 1/a hhv. Og i en alarmerende kampsituasjon, når man skriver ned disse formlene, blir selv nerder som er erfarne av studiene ofte forvirret, hvor er det enkelt 1/a, Og hvor 1/(2a). Her er et enkelt triks å huske.

I formel nr. 7

Nevneren til integranden inneholder forskjell på kvadrater x 2 – a 2. Som ifølge den fryktsomme skoleformelen brytes ned som (x-a)(x+a). På to multiplikator Søkeord - to. Og disse to ved integrering går parentesene til logaritmen: med minus opp, med pluss - ned.) Og koeffisienten foran logaritmen er også 1/( 2 EN).

Men i formel nr. 8

Nevneren til brøken inneholder summen av kvadrater. Men summen av kvadrater x 2 +a 2 kan ikke dekomponeres i enklere faktorer. Derfor, uansett hva man kan si, vil nevneren forbli slik en faktor. Og koeffisienten foran arctangensen vil også være 1/a.

La oss nå integrere litt trigonometri for en endring.)

Eksempel 8

Eksemplet er enkelt. Så enkelt at folk, uten engang å se på bordet, umiddelbart med glede skriver svaret og... vi har kommet. :)

La oss følge skiltene! Dette er den vanligste feilen ved integrering av sinus/cosinus. Ikke forveksle med derivater!

Ja, (synd x)" = cos x Og (cos x)’ = - synd x.

Men!

Siden folk vanligvis husker derivater i det minste, for ikke å bli forvirret i tegnene, er teknikken for å huske integraler veldig enkel:

Integral av sinus/cosinus = minus avledet av samme sinus/cosinus.

For eksempel vet vi fra skolen at den deriverte av en sinus er lik en cosinus:

(synd x)" = cos x.

Så for integrert fra samme sinus vil det være sant:

Det er alt.) Det er det samme med cosinus.

La oss nå fikse eksemplet vårt:

Foreløpige elementære transformasjoner av integranden

Frem til dette punktet var det de enkleste eksemplene. For å få en følelse av hvordan tabellen fungerer og ikke gjøre feil når du velger en formel.)

Selvfølgelig gjorde vi noen enkle transformasjoner - vi tok ut faktorene og delte dem inn i termer. Men svaret lå fortsatt på overflaten på en eller annen måte.) Men ... Hvis beregningen av integraler bare var begrenset til direkte bruk av tabellen, ville det være mye gratis og livet ville blitt kjedelig.)

La oss nå se på flere imponerende eksempler. Den typen der ingenting ser ut til å være bestemt direkte. Men det er verdt å huske bare et par grunnskoleformler eller transformasjoner, og veien til svaret blir enkel og klar. :)

Anvendelse av trigonometriformler

La oss fortsette å ha det gøy med trigonometri.

Eksempel 9

Det er ingen slik funksjon i tabellen selv i nærheten. Men i skole trigonometri det er en så lite kjent identitet:

Nå uttrykker vi den kvadratiske tangenten vi trenger fra den og setter den inn under integralet:

Hvorfor ble dette gjort? Og så, etter en slik transformasjon, vil vår integral bli redusert til to tabellformede og vil bli tatt i tankene!

Se:

La oss nå analysere handlingene våre. Ved første øyekast ser alt ut til å være enklere enn noen gang. Men la oss tenke på dette. Hvis vi sto overfor en oppgave differensiere samme funksjon, da ville vi nøyaktig visste nøyaktig hva de skulle gjøre - søke formel avledet av en kompleks funksjon:

Det er alt. Enkel og problemfri teknologi. Det fungerer alltid og vil garantert føre til suksess.

Hva med integralen? Men her måtte vi rote gjennom trigonometri, grave opp en eller annen obskur formel i håp om at den på en eller annen måte ville hjelpe oss å komme oss ut og redusere integralet til en tabellform. Og det er ikke et faktum at det ville hjelpe oss, det er ikke et faktum i det hele tatt... Det er derfor integrering er en mer kreativ prosess enn differensiering. Kunst, vil jeg til og med si. :) Og dette er ikke det vanskeligste eksemplet. Det er bare begynnelsen!

Eksempel 10

Hva inspirerer det? Tabellen over integraler er fortsatt maktesløs, ja. Men hvis du ser igjen i vår skattkammer av trigonometriske formler, kan du grave opp en veldig, veldig nyttig dobbel vinkel cosinus formel:

Så vi bruker denne formelen på integrandfunksjonen vår. I "alfa"-rollen har vi x/2.

Vi får:

Effekten er fantastisk, ikke sant?

Disse to eksemplene viser tydelig at pre-transformering av en funksjon før integrering Det er helt akseptabelt og noen ganger gjør livet enormt enklere! Og i integrasjon er denne prosedyren (transformasjon av integranden) en størrelsesorden mer berettiget enn i differensiering. Du får se alt senere.)

La oss se på et par mer typiske transformasjoner.

Formler for forkortet multiplikasjon, åpne parenteser, bringe lignende og metoden for termin-for-term divisjon.

De vanlige banale skoletransformasjonene. Men noen ganger er de de eneste som sparer, ja.)

Eksempel 11

Hvis vi beregnet den deriverte, ville det ikke være noe problem: formelen for den deriverte av et produkt og - fortsett. Men standardformelen for integrert eksisterer ikke fra verket. Og den eneste veien ut her er å åpne alle parentesene slik at vi under integralet får et polynom. Og vi vil på en eller annen måte integrere polynomet.) Men vi åpner også parentesene med omhu: forkortede multiplikasjonsformler er kraftige ting!

(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1

Nå teller vi:

Og det er alt.)

Eksempel 12

Igjen, standardformelen for integral av en brøk eksisterer ikke. Imidlertid inneholder nevneren til integranden ensom x. Dette endrer situasjonen radikalt.) La oss dele telleren med nevneren ledd for ledd, og redusere vår forferdelige brøk til en ufarlig sum av tabellforme potensfunksjoner:

Jeg vil ikke kommentere spesifikt prosedyren for å integrere gradene: de er ikke små lenger.)

La oss integrere summen av potensfunksjoner. I følge skiltet.)

Det er alt.) Forresten, hvis nevneren ikke var X, men si, x+1, som dette:

Dette trikset med termin-for-termin-deling hadde ikke fungert så lett. Det er nettopp på grunn av tilstedeværelsen av en rot i telleren og en enhet i nevneren. Jeg måtte bli kvitt roten. Men slike integraler er mye mer kompliserte. Om dem - i andre leksjoner.

Se! Man trenger bare å endre funksjonen litt – tilnærmingen til integrasjonen endres umiddelbart. Noen ganger dramatisk!) Det er ingen klar standardordning. Hver funksjon har sin egen tilnærming. Noen ganger til og med unik.)

I noen tilfeller er konverteringer til brøker enda vanskeligere.

Eksempel 13

Og her, hvordan kan du redusere integralet til et sett med tabellformede? Her kan du på smart måte unnslippe ved å legge til og trekke fra uttrykket x 2 i telleren av brøken etterfulgt av ledd-for-ledd divisjon. Et veldig smart triks i integraler! Se mesterklassen! :)

Og nå, hvis vi erstatter den opprinnelige brøken med forskjellen på to brøker, deler vår integral seg i to tabellformede - kraftfunksjonen som allerede er kjent for oss og arctangensen (formel 8):

Vel, hva kan vi si? Wow!

Dette trikset med å legge til/subtrahere termer i telleren er veldig populært for å integrere rasjonelle brøker. Veldig! Jeg anbefaler å ta det til etterretning.

Eksempel 14

Den samme teknologien regler her også. Du trenger bare å legge til/subtrahere en for å trekke ut uttrykket i nevneren fra telleren:

Generelt sett er rasjonelle brøker (med polynom i teller og nevner) et eget, veldig bredt tema. Poenget er at rasjonelle brøker er en av de svært få funksjonsklassene som er en universell metode for integrering. finnes. Metoden for dekomponering til enkle fraksjoner, kombinert med . Men denne metoden er svært arbeidskrevende og brukes vanligvis som tungt artilleri. Mer enn én leksjon vil bli dedikert til ham. I mellomtiden trener vi og blir bedre på enkle funksjoner.

La oss oppsummere dagens leksjon.

I dag undersøkte vi i detalj nøyaktig hvordan du bruker tabellen, med alle nyansene, analyserte mange eksempler (og ikke de mest trivielle) og ble kjent med de enkleste metodene for å redusere integraler til tabellformede. Og slik skal vi gjøre det nå Alltid. Uansett hvilken forferdelig funksjon som er under integralet, vil vi ved hjelp av en lang rekke transformasjoner sikre at vår integral før eller senere, på en eller annen måte, reduseres til et sett med tabellformede.

Noen praktiske tips.

1) Hvis integralet er en brøk, hvis teller er summen av potenser (røtter), og nevneren er ensom x makt, så bruker vi ledd-for-ledd deling av telleren med nevneren. Erstatt røtter med potenser av c brøkindikatorer og arbeid etter formlene 1-2.

2) I trigonometriske konstruksjoner prøver vi først og fremst de grunnleggende formlene for trigonometri - dobbel/trippel vinkel,

Du kan være veldig heldig. Eller kanskje ikke…

3) Der det er nødvendig (spesielt i polynomer og brøker), bruker viforkortede multiplikasjonsformler:

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2

(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2

(a-b)(a+b) = a2-b2

4) Ved integrering av brøker med polynom prøver vi kunstig å isolere uttrykket(e) i nevneren i telleren. Svært ofte forenkles brøken og integralet reduseres til en kombinasjon av tabellformede.

Vel, venner? Jeg ser at du begynner å like integraler. :) Da blir vi flinkere til å løse eksemplene selv.) Dagens materiale er nok til å lykkes med dem.