Torget buet trapes numerisk lik et bestemt integral

Enhver bestemt integral (som finnes) har en veldig god geometrisk betydning. I timen sa jeg at et bestemt integral er et tall. Og nå er det på tide å si en til nyttig faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det definitive integralet AREA.

Det er, det bestemte integralet (hvis det eksisterer) tilsvarer geometrisk arealet til en viss figur. Tenk for eksempel på den bestemte integralen. Integranden definerer en bestemt kurve på planet (den kan alltid tegnes om ønskelig), og selve det bestemte integralet er numerisk lik areal tilsvarende buet trapes.

Eksempel 1

Dette er en typisk oppgaveerklæring. Først og det viktigste øyeblikket løsninger - tegning. Dessuten må tegningen være konstruert IKKE SANT.

Når du konstruerer en tegning, anbefaler jeg følgende rekkefølge: først det er bedre å konstruere alle rette linjer (hvis de finnes) og bare Deretter– parabler, hyperbler, grafer for andre funksjoner. Det er mer lønnsomt å bygge grafer over funksjoner punkt for punkt, punkt-for-punkt-konstruksjonsteknikken finnes i referansemateriale.

Der kan du også finne svært nyttig materiale til leksjonen vår – hvordan bygge en parabel raskt.

I dette problemet kan løsningen se slik ut.
La oss tegne tegningen (merk at ligningen definerer aksen):

Jeg skal ikke klekke ut en buet trapes, det er åpenbart her hva området er vi snakker om. Løsningen fortsetter slik:

På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, Derfor:

Svar:

Som har vanskeligheter med å beregne det bestemte integralet og bruke Newton-Leibniz-formelen , se foredraget Sikker integral. Eksempler på løsninger.

Etter at oppgaven er fullført, er det alltid nyttig å se på tegningen og finne ut om svaret er ekte. I dette tilfellet teller vi antall celler i tegningen "etter øye" - vel, det vil være omtrent 9, noe som ser ut til å være sant. Det er helt klart at hvis vi for eksempel fikk svaret: 20 kvadratenheter, så er det åpenbart at det ble gjort en feil et sted - 20 celler passer tydeligvis ikke inn i den aktuelle figuren, på det meste et dusin. Hvis svaret er negativt, så ble også oppgaven løst feil.

Eksempel 2

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer , , og akse

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen.

Hva skal jeg gjøre hvis den buede trapesen er plassert under akselen?

Eksempel 3

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer og koordinatakser.

Løsning: La oss lage en tegning:

Hvis en buet trapes helt plassert under aksen, så kan området bli funnet ved å bruke formelen:
I dette tilfellet:

Merk følgende! De to typene oppgaver bør ikke forveksles:

1) Hvis du blir bedt om å løse bare et bestemt integral uten noen geometrisk betydning, kan det være negativt.

2) Hvis du blir bedt om å finne arealet til en figur ved å bruke en bestemt integral, er arealet alltid positivt! Det er derfor minus vises i formelen som nettopp ble diskutert.

I praksis er figuren oftest plassert i både øvre og nedre halvplan, og derfor, fra den enkleste skoleproblemer La oss gå videre til mer meningsfulle eksempler.

Eksempel 4

Finn arealet til en plan figur avgrenset av linjene, .

Løsning: Først må du lage en tegning. Generelt sett, når vi konstruerer en tegning i områdeproblemer, er vi mest interessert i skjæringspunktene mellom linjer. La oss finne skjæringspunktene til parabelen og den rette linjen. Dette kan gjøres på to måter. Den første metoden er analytisk. Vi løser ligningen:

Dette betyr at den nedre grensen for integrasjon er, den øvre grensen for integrasjon er.
Det er bedre å ikke bruke denne metoden, hvis mulig.

Det er mye mer lønnsomt og raskere å konstruere linjer punkt for punkt, og grensene for integrasjon blir tydelige «av seg selv». Punkt-for-punkt-konstruksjonsteknikken for ulike grafer er omtalt i detalj i hjelpen Grafer og egenskaper til elementære funksjoner. Likevel må den analytiske metoden for å finne grenser fortsatt noen ganger brukes hvis for eksempel grafen er stor nok, eller den detaljerte konstruksjonen ikke avslørte grensene for integrasjon (de kan være brøkdeler eller irrasjonelle). Og vi vil også vurdere et slikt eksempel.

La oss gå tilbake til oppgaven vår: det er mer rasjonelt å først konstruere en rett linje og først deretter en parabel. La oss lage tegningen:

Jeg gjentar at når man konstruerer punktvis, blir grensene for integrasjon oftest funnet ut "automatisk".

Og nå arbeidsformelen: Hvis det på et segment er en eller annen kontinuerlig funksjon større enn eller lik en kontinuerlig funksjon, så kan området til den tilsvarende figuren bli funnet ved å bruke formelen:

Her trenger du ikke lenger tenke på hvor figuren er plassert - over aksen eller under aksen, og grovt sett, det spiller noen rolle hvilken graf som er HØYERE(i forhold til en annen graf), og hvilken er UNDER.

I eksemplet under vurdering er det åpenbart at på segmentet er parabelen plassert over den rette linjen, og derfor er det nødvendig å trekke fra

Den ferdige løsningen kan se slik ut:

Den ønskede figuren er begrenset av en parabel over og en rett linje under.
På segmentet, i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Faktisk er skoleformelen for arealet til en kurvelinjeformet trapes i det nedre halvplanet (se enkelt eksempel nr. 3) spesielt tilfelle formler . Siden aksen er spesifisert av ligningen og grafen til funksjonen er plassert under aksen,

Og nå et par eksempler for din egen løsning

Eksempel 5

Eksempel 6

Finn arealet av figuren avgrenset av linjene, .

Når du løser problemer som involverer beregning av areal ved hjelp av en bestemt integral, skjer det noen ganger en morsom hendelse. Tegningen var riktig utført, beregningene var riktige, men på grunn av slurv... området til feil figur ble funnet, det er akkurat slik din ydmyke tjener skrudd sammen flere ganger. Her ekte tilfelle fra livet:

Eksempel 7

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , , , .

La oss først lage en tegning:

Figuren hvis område vi må finne er skyggelagt med blått(se nøye på tilstanden - hvordan tallet er begrenset!). Men i praksis, på grunn av uoppmerksomhet, oppstår det ofte at du må finne området til en figur som er skyggelagt grønn!

Dette eksemplet er også nyttig fordi det beregner arealet til en figur ved å bruke to bestemte integraler. Egentlig:

1) På segmentet over aksen er det en graf av en rett linje;

2) På segmentet over aksen er det en graf av en hyperbel.

Det er ganske åpenbart at områdene kan (og bør) legges til, derfor:

Svar:

Eksempel 8

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer,
La oss presentere ligningene i "skole"-form og lage en punkt-for-punkt-tegning:

Fra tegningen er det klart at vår øvre grense er "god": .
Men hva er nedre grense?! Det er klart at dette ikke er et heltall, men hva er det? Kan være ? Men hvor er garantien for at tegningen er laget med perfekt nøyaktighet, det kan godt vise seg at... Eller roten. Hva om vi bygde grafen feil?

I slike tilfeller må du bruke ekstra tid og avklare grensene for integrasjon analytisk.

La oss finne skjæringspunktene til en rett linje og en parabel.
For å gjøre dette løser vi ligningen:

Derfor,.

Den videre løsningen er triviell, det viktigste er å ikke bli forvirret i erstatninger og tegn, beregningene her er ikke de enkleste.

På segmentet , i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Vel, for å avslutte leksjonen, la oss se på to vanskeligere oppgaver.

Eksempel 9

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , ,

Løsning: La oss skildre denne figuren på tegningen.

For å tegne en punkt-for-punkt-tegning må du vite utseende sinusoider (og generelt nyttig å vite grafer for alle elementære funksjoner), samt noen sinusverdier, kan de finnes i trigonometrisk tabell. I noen tilfeller (som i dette tilfellet) er det mulig å konstruere en skjematisk tegning, der grafene og grensene for integrasjon skal vises grunnleggende korrekt.

Det er ingen problemer med grensene for integrasjon her, de følger direkte av betingelsen: "x" endres fra null til "pi". La oss ta en ytterligere avgjørelse:

På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, derfor:

(1) Du kan se hvordan sinus og cosinus er integrert i odde potenser i leksjonen Integraler fra trigonometriske funksjoner . Dette er en typisk teknikk, vi kniper av en sinus.

(2) Vi bruker den trigonometriske hovedidentiteten i skjemaet

(3) La oss endre variabelen, så:

Nye integreringsområder:

Alle som er virkelig dårlige med erstatninger, ta en leksjon. Erstatningsmetode i ubestemt integral . For de som ikke helt forstår erstatningsalgoritmen i en bestemt integral, besøk siden Sikker integral. Eksempler på løsninger.

Det er nødvendig å beregne arealet til en buet trapes avgrenset av rette linjer,
,
og kurve
.

La oss dele segmentet
dotmina elementære segmenter, lengde
segmentet
. La oss gjenopprette perpendikulære fra segmentets divisjonspunkt til skjæringspunktet med kurven
, la
. Som et resultat får vi elementære trapeser, er summen av deres arealer åpenbart lik summen av en gitt kurvelinjeformet trapes.

La oss bestemme de største og minste verdiene av funksjonen på hvert elementært intervall dette er
, på den andre
og så videre. La oss beregne beløpene

Den første summen representerer arealet av alle beskrevet, den andre er arealet av alle rektangler innskrevet i en buet trapes.

Det er klart at den første summen gir en omtrentlig verdi av arealet til trapesen "med et overskudd", den andre - "med en mangel". Den første summen kalles den øvre Darboux-summen, den andre – følgelig den nedre Darboux-summen. Dermed er arealet til en buet trapes tilfredsstiller ulikheten
. La oss finne ut hvordan Darboux-summene oppfører seg når antallet partisjonspunkter for segmentet øker
. La antall partisjonspoeng øke med ett, og det er midt i intervallet
.

Nå er tallet som
innskrevne og omskrevne rektangler økt med én. La oss vurdere hvordan den nedre Darboux-summen endret seg. I stedet for en firkant
innskrevne rektangel, lik
vi får summen av arealene til to rektangler
, siden lengden
kan ikke være mindre
den minste verdien av funksjonen på
. På den andre siden,
det kan ikke være mer
den største verdien av funksjonen på intervallet
. Så, å legge til nye poeng for å dele et segment øker verdien av den nedre Darboux-summen og reduserer den øvre Darboux-summen. I dette tilfellet kan ikke den nedre Darboux-summen, med en økning i antall partisjonspunkter, overstige verdien av en øvre sum, siden summen av arealene til de beskrevne rektanglene alltid er mer enn beløpet områder av rektangler innskrevet i en buet trapes.

Dermed øker sekvensen av lavere Darboux-summer med antall partisjonspunkter for segmentet og er avgrenset ovenfra i henhold til det velkjente teoremet, det har en grense. Denne grensen er arealet til en gitt buet trapes.

På samme måte reduseres sekvensen av øvre Darboux-summer med økende antall punkter for intervallet og begrenses nedenfra av en hvilken som helst nedre Darboux-sum, noe som betyr at den også har en grense, og den er også lik arealet til den krumlinjede trapesen.

Derfor, for å beregne arealet til en buet trapes, er det nok å partisjoner av intervallet, bestem enten den nedre eller øvre Darboux-summen, og beregn deretter
, eller
.

En slik løsning på problemet forutsetter imidlertid for enhver, vilkårlig stort nummer partisjoner
, finne den største eller minste verdien av en funksjon på hvert elementært intervall, noe som er en svært arbeidskrevende oppgave.

En enklere løsning oppnås ved å bruke Riemann-integralsummen, som er

Hvor
et punkt av hvert elementært intervall, det vil si
. Følgelig er Riemann-integralsummen summen av arealene til alle mulige rektangler, og
. Som vist ovenfor, er grensene for de øvre og nedre Darboux-summene de samme og lik arealet til den buede trapesen. Ved å bruke en av egenskapene til grensen til en funksjon (to-politi-regelen), får vi det for enhver partisjon av segmentet
og velge punkter Arealet til en buet trapes kan beregnes ved hjelp av formelen
.

Eksempel 1 . Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 og x = 2

La oss konstruere en figur (se figur) Vi bygger en rett linje x + 2y – 4 = 0 ved å bruke to punkter A(4;0) og B(0;2). Ved å uttrykke y til x får vi y = -0,5x + 2. Ved å bruke formel (1), hvor f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, finner vi

S = = [-0,25=11,25 kvm. enheter

Eksempel 2. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 og y = 0.

Løsning. La oss konstruere figuren.

La oss konstruere en rett linje x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

La oss konstruere en rett linje x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

La oss finne skjæringspunktet for linjene ved å løse likningssystemet:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

For å beregne det nødvendige arealet deler vi trekanten AMC i to trekanter AMN og NMC, siden når x endres fra A til N, begrenses arealet av en rett linje, og når x endres fra N til C - av en rett linje

For trekant AMN har vi: ; y = 0,5x + 2, dvs. f(x) = 0,5x + 2, a = -4, b = 2.

For trekant NMC har vi: y = - x + 5, dvs. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Ved å beregne arealet til hver trekant og legge til resultatene finner vi:

sq. enheter

sq. enheter

9 + 4, 5 = 13,5 kvm. enheter Sjekk: = 0,5 AC = 0,5 kvm. enheter

Eksempel 3. Beregn arealet av en figur avgrenset av linjer: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

I dette tilfellet må du beregne arealet til en buet trapes avgrenset av parabelen y = x 2 , rette linjer x = 2 og x = 3 og okseaksen (se figur) Ved å bruke formel (1) finner vi arealet til den krumlinjede trapesen

= = 6 kvm. enheter

Eksempel 4. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = - x 2 + 4 og y = 0

La oss konstruere figuren. Det nødvendige området er innelukket mellom parabelen y = - x 2 + 4 og okseaksen.

La oss finne skjæringspunktene til parabelen med okseaksen. Forutsatt at y = 0, finner vi x = Siden denne figuren er symmetrisk om Oy-aksen, beregner vi arealet av figuren som ligger til høyre for Oy-aksen, og dobler resultatet: = +4x]sq. enheter 2 = 2 kvm. enheter

Eksempel 5. Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Her må du beregne arealet til en krumlinjet trapes avgrenset av den øvre grenen av parabelen 2 = x, okseakse og rette linjer x = 1 og x = 4 (se figur)

I henhold til formel (1), hvor f(x) = a = 1 og b = 4, har vi = (= kvadratenheter.

Eksempel 6 . Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Det nødvendige området er begrenset av halvbølgen til sinus- og okseaksen (se figur).

Vi har - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. enheter

Eksempel 7. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = - 6x, y = 0 og x = 4.

Figuren er plassert under okseaksen (se figur).

Derfor finner vi arealet ved hjelp av formel (3)

= =

Eksempel 8. Regn ut arealet av figuren avgrenset av linjene: y = og x = 2. Konstruer y = kurven fra punktene (se figur). Dermed finner vi arealet av figuren ved å bruke formel (4)

Eksempel 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Her må du beregne arealet som er omsluttet av sirkelen x 2 + y 2 = r 2 , dvs. arealet av en sirkel med radius r med sentrum i origo. La oss finne den fjerde delen av dette området ved å ta grensene for integrasjon fra 0

før; vi har: 1 = = [

Derfor, 1 =

Eksempel 10. Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer: y= x 2 og y = 2x

Denne figuren begrenset av parablen y=x 2 og den rette linjen y = 2x (se figur) For å bestemme skjæringspunktene til de gitte linjene løser vi ligningssystemet: x 2 – 2x = 0 x = 0 og x = 2

Ved å bruke formel (5) for å finne arealet får vi

= }