Antiderivativt område av en krumlinjet trapes. Online kalkulator Beregn den bestemte integralen (arealet til en buet trapes).

La oss vurdere en buet trapes avgrenset av Ox-aksen, kurven y=f(x) og to rette linjer: x=a og x=b (fig. 85). La oss ta en vilkårlig verdi av x (bare ikke a og ikke b). La oss gi det et inkrement h = dx og vurdere en stripe avgrenset av rette linjer AB og CD, Ox-aksen og buen BD som tilhører kurven under vurdering. Vi vil kalle denne stripen en elementær stripe. Arealet til en elementær stripe skiller seg fra arealet til rektangelet ACQB med den krumlinjede trekanten BQD, og arealet til sistnevnte er mindre enn arealet av rektangelet BQDM med sidene BQ = =h= dx) QD=Ay og areal lik hAy = Ay dx. Når siden h minker, reduseres også side Du og samtidig med h tenderer den til null. Derfor er arealet til BQDM andreordens uendelig liten. Arealet til en elementær stripe er økningen av arealet, og arealet til rektangelet ACQB, lik AB-AC ==/(x) dx> er differensialen til området. Følgelig finner vi selve området ved å integrere dets differensial. Innenfor figuren under vurdering, endres den uavhengige variabelen l: fra a til b, så det nødvendige arealet 5 vil være lik 5= \f(x) dx. (I) Eksempel 1. La oss beregne arealet avgrenset av parabelen y - 1 -x*, rette linjer X =--Fj-, x = 1 og O*-aksen (fig. 86). på fig. 87. Fig. 86. 1 Her er f(x) = 1 - l?, grensene for integrasjon er a = - og £ = 1, derfor J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Eksempel 2. La oss beregne arealet begrenset av sinusoiden y = sinXy, okseaksen og den rette linjen (fig. 87). Ved å bruke formel (I), får vi A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Eksempel 3. Regn ut arealet begrenset av buen til sinusoiden ^у = sin jc, vedlagt mellom to tilstøtende skjæringspunkter med okseaksen (for eksempel mellom origo og punktet med abscissen i). Legg merke til at fra geometriske betraktninger er det klart at dette området vil være dobbelt så stort som det forrige eksempelet. La oss imidlertid gjøre beregningene: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Vår antagelse viste seg å være riktig. Eksempel 4. Regn ut arealet avgrenset av sinus- og okseaksen ved én periode (fig. 88). Foreløpige beregninger tyder på at arealet vil være fire ganger større enn i eksempel 2. Etter å ha utført beregningene får vi imidlertid «i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Dette resultatet krever avklaring. For å klargjøre essensen av saken, beregner vi også arealet begrenset av den samme sinusformen y = sin l: og okseaksen i området fra l til 2i. Ved å bruke formel (I), får vi 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Dermed ser vi at dette området viste seg å være negativt. Sammenligner vi det med arealet beregnet i øvelse 3, finner vi at deres absolutte verdier er de samme, men tegnene er forskjellige. Hvis vi anvender egenskap V (se kap. XI, § 4), får vi 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Det som skjedde i dette eksemplet er ikke en tilfeldighet. Alltid området som ligger under Ox-aksen, forutsatt at den uavhengige variabelen endres fra venstre til høyre, oppnås når den beregnes ved bruk av integraler. På dette kurset vil vi alltid vurdere områder uten skilt. Derfor vil svaret i eksemplet som nettopp ble diskutert være: det nødvendige arealet er 2 + |-2| = 4. Eksempel 5. La oss beregne arealet av BAB vist i fig. 89. Dette området er begrenset av okseaksen, parabelen y = - xr og den rette linjen y - = -x+\. Arealet av en krumlinjet trapes Det nødvendige området OAB består av to deler: OAM og MAV. Siden punkt A er skjæringspunktet mellom en parabel og en rett linje, vil vi finne koordinatene ved å løse ligningssystemet 3 2 Y = mx. (vi trenger bare å finne abscissen til punkt A). Løser vi systemet, finner vi l; = ~. Derfor må arealet beregnes i deler, første kvadrat. OAM og deretter pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x kvm. enheter 2 = 2 kvm. enheter

Eksempel 5. Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Her må du beregne arealet til en krumlinjet trapes avgrenset av den øvre grenen av parabelen 2 = x, akse Ox og rette linjer x = 1 и x = 4 (se figur)

I henhold til formel (1), hvor f(x) = a = 1 og b = 4, har vi = (= kvadratenheter.

Eksempel 6 . Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Det nødvendige området er begrenset av halvbølgen til sinus- og okseaksen (se figur).

Vi har - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. enheter

Eksempel 7. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = - 6x, y = 0 og x = 4.

Figuren er plassert under okseaksen (se figur).

Derfor finner vi arealet ved hjelp av formel (3)

= =

Eksempel 8. Regn ut arealet av figuren avgrenset av linjene: y = og x = 2. Konstruer y = kurven med punkter (se figur). Dermed finner vi arealet av figuren ved å bruke formel (4)

Eksempel 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Her må du beregne arealet som er omsluttet av sirkelen x 2 + y 2 = r 2 , dvs. arealet av en sirkel med radius r med sentrum i origo. La oss finne den fjerde delen av dette området ved å ta grensene for integrasjon fra 0

før; vi har: 1 = = [

Derfor, 1 =

Eksempel 10. Beregn arealet av en figur avgrenset av linjer: y= x 2 og y = 2x

Denne figuren er begrenset av parabelen y = x 2 og den rette linjen y = 2x (se figur) For å bestemme skjæringspunktene til de gitte linjene løser vi ligningssystemet: x 2 – 2x = 0 x = 0 og x = 2

Ved å bruke formel (5) for å finne arealet får vi

= arealet av den buede trapesen dannet av funksjonen f, er lik økningen av antiderivatet til denne funksjonen:

Oppgave 1:

Finn arealet til en krumlinjet trapes avgrenset av grafen til funksjonen: f(x) = x 2 og rett y = 0, x = 1, x = 2.

Løsning: ( i henhold til algoritmen lysbilde 3)

La oss tegne en graf over funksjonen og linjene

La oss finne en av antiderivatene til funksjonen f(x) = x 2 :

Selvtest på lysbilde

Integral

Tenk på en krumlinjet trapes definert av funksjonen f på segmentet [ en; b]. La oss dele dette segmentet inn i flere deler. Arealet til hele trapeset vil bli delt inn i summen av arealene til mindre buede trapeser. ( lysbilde 5). Hver slik trapes kan omtrent betraktes som et rektangel. Summen av arealene til disse rektanglene gir en omtrentlig ide om hele arealet til den buede trapesen. Jo mindre vi deler segmentet [ en; b], jo mer nøyaktig beregner vi arealet.

La oss skrive disse argumentene i form av formler.

Del segmentet [ en; b] i n deler med prikker x 0 = a, x1,..., xn = b. Lengde k- th betegne med xk = xk – xk-1. La oss gjøre en sum

Geometrisk representerer denne summen arealet av figuren som er skyggelagt i figuren ( sh.m.)

Sum av formen kalles integralsummer for funksjonen f. (sh.m.)

Hele summer gir en omtrentlig verdi av arealet. Den nøyaktige verdien oppnås ved å gå til grensen. La oss forestille oss at vi avgrenser partisjonen til segmentet [ en; b] slik at lengdene til alle små segmenter har en tendens til null. Da vil området til den sammensatte figuren nærme seg området til den buede trapesen. Vi kan si at arealet til en buet trapes er lik grensen for integrerte summer, Sc.t. (sh.m.) eller integral, dvs.

Definisjon:

Integral av en funksjon f(x) fra en til b kalt grensen for integral summer

= (sh.m.)

Newton-Leibniz formel.

Vi husker at grensen for integrerte summer er lik arealet til en krumlinjet trapes, noe som betyr at vi kan skrive:

Sc.t. = (sh.m.)

På den annen side beregnes arealet til en buet trapes ved hjelp av formelen

S k.t. (sh.m.)

Ved å sammenligne disse formlene får vi:

= (sh.m.)

Denne likheten kalles Newton-Leibniz-formelen.

For å lette beregningen er formelen skrevet som:

= = (sh.m.)

Oppgaver: (sh.m.)

1. Beregn integralet ved å bruke Newton-Leibniz-formelen: ( sjekk på lysbilde 5)

2. Komponer integraler i henhold til tegningen ( sjekk på lysbilde 6)

3. Finn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Lysbilde 7)

Finne arealene til flyfigurer ( lysbilde 8)

Hvordan finne området til figurer som ikke er buede trapeser?

La to funksjoner bli gitt, grafene som du ser på lysbildet . (sh.m.) Finn området til den skyggelagte figuren . (sh.m.). Er den aktuelle figuren en buet trapes? Hvordan kan du finne området ved å bruke egenskapen additivitet til området? Tenk på to buede trapeser og trekk fra arealet til den andre fra arealet til en av dem ( sh.m.)

La oss lage en algoritme for å finne området ved hjelp av animasjon på et lysbilde:

Graffunksjoner
Projiser skjæringspunktene til grafene på x-aksen
Skyggelegg figuren som oppnås når grafene krysser hverandre
Finn kurvelinjeformede trapeser hvis skjæringspunkt eller forening er den gitte figuren.
Beregn arealet til hver av dem
Finn differansen eller summen av arealer

Muntlig oppgave: Hvordan få tak i området til en skyggelagt figur (fortell ved hjelp av animasjon, lysbilde 8 og 9)

Lekser: Arbeid gjennom notatene, nr. 353 (a), nr. 364 (a).

Referanser

Algebra og begynnelsen av analyse: en lærebok for klassetrinn 9-11 på kvelds (skift)skole / red. G.D. Glaser. - M: Opplysning, 1983.
Bashmakov M.I. Algebra og begynnelsen av analysen: en lærebok for 10-11 klassetrinn på ungdomsskolen / Bashmakov M.I. - M: Opplysning, 1991.
Bashmakov M.I. Matematikk: lærebok for institusjoner som begynner. og onsdag prof. utdanning / M.I. Bashmakov. - M: Akademiet, 2010.
Kolmogorov A.N. Algebra og begynnelse av analyse: lærebok for klassetrinn 10-11. utdanningsinstitusjoner / A.N. Kolmogorov. - M: Utdanning, 2010.
Ostrovsky S.L. Hvordan lage en presentasjon for en leksjon?/ S.L. Ostrovsky. – M.: 1. september 2010.

Ferdige arbeider

GRAD ARBEID

Mye har allerede gått, og nå er du utdannet, hvis du selvfølgelig skriver oppgaven i tide. Men livet er slik at først nå blir det klart for deg at etter å ha sluttet å være student, vil du miste alle studentgledene, mange av dem har du aldri prøvd, utsette alt og utsette det til senere. Og nå, i stedet for å ta igjen, jobber du med oppgaven din? Det er en utmerket løsning: last ned oppgaven du trenger fra nettsiden vår - og du vil umiddelbart ha mye fritid!
Avhandlinger har blitt forsvart med suksess ved ledende universiteter i republikken Kasakhstan.
Arbeidskostnad fra 20.000 tenge

KURS FUNGERER

Kursprosjektet er det første seriøse praktiske arbeidet. Det er med skrivingen av kursene at forberedelsene til utviklingen av diplomprosjekter starter. Hvis en student lærer å presentere innholdet i et emne korrekt i et kursprosjekt og formatere det kompetent, vil han i fremtiden ikke ha noen problemer med å skrive rapporter, komponere avhandlinger eller utføre andre praktiske oppgaver. For å hjelpe studentene med å skrive denne typen studentarbeid og for å avklare spørsmål som dukker opp under forberedelsen, ble faktisk denne informasjonsdelen opprettet.
Arbeidskostnad fra 2500 tenge

MASTERAVHANDLINGER

For øyeblikket, i høyere utdanningsinstitusjoner i Kasakhstan og CIS-landene, er nivået på høyere profesjonsutdanning som følger etter bachelorgrad veldig vanlig - mastergrad. I masterstudiet studerer studentene med sikte på å oppnå en mastergrad, som er anerkjent i de fleste land i verden mer enn en bachelorgrad, og som også er anerkjent av utenlandske arbeidsgivere. Resultatet av masterstudier er forsvar av en masteroppgave.
Vi vil gi deg oppdatert analytisk og tekstlig materiale. Prisen inkluderer 2 vitenskapelige artikler og et sammendrag.
Arbeidskostnad fra 35.000 tenge

PRAKTISK RAPPORTER

Etter å ha fullført en hvilken som helst type internship (pedagogisk, industriell, pre-graduation), kreves en rapport. Dette dokumentet vil være en bekreftelse på studentens praktiske arbeid og grunnlaget for å danne en vurdering for praksis. Vanligvis, for å lage en rapport om et praksisopphold, må du samle inn og analysere informasjon om virksomheten, vurdere strukturen og arbeidsrutinen til organisasjonen der praksisplassen foregår, utarbeide en kalenderplan og beskrive din praktiske aktiviteter.
Vi vil hjelpe deg med å skrive en rapport om praksisplassen din, under hensyntagen til de spesifikke aktivitetene til en bestemt bedrift.