Hva er konstanten e Historien til tallet e

PERVUSHKIN BORIS NIKOLAEVICH

Privat utdanningsinstitusjon "St. Petersburg School "Tete-a-Tete"

Matematikklærer av høyeste kategori

Nummer e

Nummeret dukket først opp imatematikksom noe ubetydelig. Dette skjedde i 1618. I vedlegget til Napiers arbeid om logaritmer ble det gitt en tabell over naturlige logaritmer av forskjellige tall. Ingen skjønte imidlertid at dette var logaritmer til basen, siden konseptet med en logaritme på den tiden ikke inkluderte noe slikt som en base. Dette er det vi nå kaller en logaritme, potensen som basen må heves til for å få det nødvendige tallet. Vi kommer tilbake til dette senere. Tabellen i vedlegget er mest sannsynlig laget av Augthred, selv om forfatteren ikke ble identifisert. Noen år senere, i 1624, dukker den opp igjen i matematisk litteratur, men igjen på en tilslørt måte. I år ga Briggs en numerisk tilnærming desimal logaritme, men selve tallet er ikke nevnt i hans arbeid.

Neste opptreden av nummeret er igjen tvilsomt. I 1647 beregnet Saint-Vincent arealet til hyperbelsektoren. Om han forsto sammenhengen med logaritmer kan man bare gjette på, men selv om han forsto det, er det lite sannsynlig at han kunne komme til selve tallet. Det var først i 1661 at Huygens forsto sammenhengen mellom den likesidede hyperbelen og logaritmene. Han beviste at arealet under grafen til en likesidet hyperbel til en likesidet hyperbel i intervallet fra 1 til er lik 1. Denne egenskapen danner grunnlaget for naturlige logaritmer, men dette ble ikke forstått av datidens matematikere, men de var sakte nærmer seg denne forståelsen.

Det gjorde Huygens neste steg i 1661. Han definerte en kurve som han kalte logaritmisk (i vår terminologi vil vi kalle den eksponentiell). Dette er en typekurve. Og igjen vises desimallogaritmen, som Huygens finner nøyaktig til 17 desimaler. Imidlertid oppsto det fra Huygens som en slags konstant og var ikke assosiert med logaritmen til et tall (så igjen kom de nær , men selve tallet forblir ukjent).

I videre arbeid for logaritmer, igjen, vises ikke tallet eksplisitt. Studiet av logaritmer fortsetter imidlertid. I 1668 ga Nicolaus Mercator ut et verkLogaritmoteknikk, som inneholder en serieutvidelse. I dette arbeidet bruker Mercator først navnet "naturlig logaritme" for grunnlogaritmen. Nummeret dukker tydeligvis ikke opp igjen, men forblir unnvikende et sted ved siden av.

Det er overraskende at tall først dukker opp i eksplisitt form ikke i forbindelse med logaritmer, men i forbindelse med uendelige produkter. I 1683 prøver Jacob Bernoulli å finne

Han bruker binomiale teoremet for å bevise at denne grensen er mellom 2 og 3, som vi kan tenke på som en første tilnærming til . Selv om vi tar dette for å være definisjonen av , er dette første gang et tall er definert som en grense. Bernoulli forsto selvfølgelig ikke sammenhengen mellom arbeidet hans og arbeidet med logaritmer.

Det ble tidligere nevnt at logaritmer i begynnelsen av studien deres ikke var forbundet på noen måte med eksponenter. Selvfølgelig, fra ligningen finner vi at , men dette er en mye senere måte å oppfatte. Her mener vi faktisk en funksjon med en logaritme, mens logaritmen først ble betraktet som et tall som hjalp i beregninger. Jacob Bernoulli kan ha vært den første som innså at den logaritmiske funksjonen er den inverse eksponentialen. På den annen side kan den første personen som koblet logaritmer og potenser ha vært James Gregory. I 1684 anerkjente han sikkert sammenhengen mellom logaritmer og potenser, men han var kanskje ikke den første.

Vi vet at nummeret dukket opp i sin nåværende form i 1690. Leibniz brukte i et brev til Huygens betegnelsen for det. Til slutt dukket det opp en betegnelse (selv om den ikke falt sammen med den moderne), og denne betegnelsen ble anerkjent.

I 1697 begynte Johann Bernoulli å studere eksponentiell funksjon og publisererPrincipia calculi exponentialum seu percurrentium. I dette arbeidet beregnes summene av ulike eksponentielle serier, og noen resultater oppnås ved deres term-for-term integrasjon.

Euler introduserte så mange matematiske notasjoner at
ikke overraskende tilhører også betegnelsen ham. Det virker latterlig å si at han brukte bokstaven fordi det er den første bokstaven i navnet hans. Dette er sannsynligvis ikke engang fordi det er hentet fra ordet "eksponentiell", men ganske enkelt fordi det er den neste vokalen etter "a", og Euler hadde allerede brukt notasjonen "a" i arbeidet sitt. Uansett årsak dukker notasjonen først opp i et brev fra Euler til Goldbach i 1731. Han gjorde mange funn mens han studerte videre, men først i 1748.Introduksjon i Analysin infinitorumhan ga full begrunnelse for alle ideer knyttet til. Det viste han

Euler fant også de første 18 desimalene til et tall:

imidlertid uten å forklare hvordan han fikk dem. Det ser ut som han har beregnet denne verdien selv. Faktisk, hvis vi tar omtrent 20 termer av serie (1), får vi nøyaktigheten som Euler oppnådde. Blant de andre interessante resultater hans arbeid viser sammenhengen mellom funksjonene sinus og cosinus og den komplekse eksponentialfunksjonen, som Euler utledet fra Moivres formel.

Det er interessant at Euler til og med fant dekomponeringen av et tall i fortsatte brøker og ga eksempler på slik dekomponering. Spesielt fikk han

Euler ga ikke bevis for at disse brøkene fortsetter på samme måte, men han visste at hvis det fantes et slikt bevis, ville det bevise irrasjonalitet. Faktisk, hvis den fortsatte brøken for , fortsatte på samme måte som i eksemplet gitt, 6,10,14,18,22,26, (vi legger til 4 hver gang), ville den aldri bli avbrutt, og (og derfor ) kunne ikke være rasjonell. Dette er åpenbart det første forsøket på å bevise irrasjonalitet.

Den første til å beregne ganske stort antall desimaler i tallet, var Shanks i 1854. Glaisher viste at de første 137 stedene beregnet av Shanks var riktige, men fant så en feil. Shanks korrigerte det, og 205 desimaler ble oppnådd. I virkeligheten trenger du ca
120 utvidelsesvilkår (1) for å få 200 riktige sifre i nummeret.

I 1864 sto Benjamin Peirce ved en tavle som var skrevet på

I sine forelesninger kan han si til studentene sine: «Mine herrer, vi har ikke den minste anelse om hva dette betyr, men vi kan være sikre på at det betyr noe veldig viktig.»

De fleste tror at Euler beviste irrasjonaliteten til tallet. Dette ble imidlertid gjort av Hermite i 1873. Spørsmålet om tallet er algebraisk er fortsatt åpent. Siste resultat i denne retningen er at minst ett av tallene er transcendentalt.

Deretter ble de neste desimalene i tallet beregnet. I 1884 beregnet Boorman 346 sifre, hvorav de første 187 falt sammen med Shanks sifre, men de påfølgende var forskjellige. I 1887 beregnet Adams de 272 sifrene i desimallogaritmen.

| Euler-nummer (E)

e - grunnlaget for den naturlige logaritmen, en matematisk konstant, et irrasjonelt og transcendentalt tall. Omtrent lik 2,71828. Noen ganger ringes nummeret Euler-nummer eller Napier nummer. Indikert med små bokstaver latinsk bokstav « e».

Historie

Antall e dukket først opp i matematikk som noe ubetydelig. Dette skjedde i 1618. I vedlegget til John Napiers arbeid om logaritmer ble det gitt en tabell over naturlige logaritmer av forskjellige tall. Ingen skjønte imidlertid at dette er logaritmer til basen e , siden konseptet med en logaritme fra den tiden ikke inkluderte noe slikt som en base. Dette er det vi nå kaller en logaritme, potensen som basen må heves til for å få det nødvendige tallet. Vi kommer tilbake til dette senere. Tabellen i vedlegget er mest sannsynlig laget av Augthred, selv om forfatteren ikke ble identifisert. Noen år senere, i 1624, dukker den opp igjen i matematisk litteratur. e , men igjen på en tilslørt måte. I år ga Briggs en numerisk tilnærming til desimallogaritmen e , men selve nummeret e ikke nevnt i hans arbeid.

Neste forekomst av nummeret e igjen tvilsomt. I 1647 beregnet Saint-Vincent arealet til hyperbelsektoren. Om han forsto sammenhengen med logaritmer kan man bare gjette på, men selv om han gjorde det, er det usannsynlig at han kunne ha kommet frem til selve tallet e . Det var først i 1661 at Huygens forsto sammenhengen mellom den likesidede hyperbelen og logaritmene. Han beviste at området under grafen til en likesidet hyperbel xy = 1 likesidet hyperbel på intervallet fra 1 til e er lik 1. Denne egenskapen gjør e grunnlaget for naturlige logaritmer, men dette ble ikke forstått av datidens matematikere, men de nærmet seg sakte denne forståelsen.

Huygens tok neste steg i 1661. Han definerte en kurve som han kalte logaritmisk (i vår terminologi vil vi kalle den eksponentiell). Dette er en kurve av formen y = ka x . Og desimallogaritmen vises igjen e , som Huygens finner nøyaktig til 17 desimaler. Imidlertid oppsto det fra Huygens som en slags konstant og var ikke assosiert med logaritmen til et tall (så igjen kom vi nær e , men selve nummeret e forblir ukjent).

I videre arbeid med logaritmer, igjen tallet e vises ikke eksplisitt. Studiet av logaritmer fortsetter imidlertid. I 1668 ga Nicolaus Mercator ut et verk Logaritmoteknikk, som inneholder en serieutvidelse log(1 + x) . I dette arbeidet bruker Mercator først navnet "naturlig logaritme" for grunnlogaritmen e . Antall e dukker tydeligvis ikke opp igjen, men forblir unnvikende et sted til siden.

Det er overraskende at antallet e vises eksplisitt for første gang ikke i forbindelse med logaritmer, men i forbindelse med uendelige produkter. I 1683 prøver Jacob Bernoulli å finne

Han bruker binomiale teoremet for å bevise at denne grensen er mellom 2 og 3, som vi kan tenke på som en første tilnærming av tallet e . Selv om vi tar dette som en definisjon e , dette er første gang et tall er definert som en grense. Bernoulli forsto selvfølgelig ikke sammenhengen mellom arbeidet hans og arbeidet med logaritmer.

Det ble tidligere nevnt at logaritmer i begynnelsen av studien ikke var koblet på noen måte med eksponenter. Selvfølgelig, fra ligningen x = a t det finner vi t = stokkøks , men dette er en mye senere måte å oppfatte på. Her mener vi faktisk en funksjon med en logaritme, mens logaritmen først ble betraktet som et tall som hjalp i beregninger. Jacob Bernoulli kan ha vært den første som innså at den logaritmiske funksjonen er den inverse eksponentialen. På den annen side kan den første personen som koblet logaritmer og potenser ha vært James Gregory. I 1684 anerkjente han sikkert sammenhengen mellom logaritmer og potenser, men han var kanskje ikke den første.

Vi vet at antallet e dukket opp i sin nåværende form i 1690. Leibniz brukte i et brev til Huygens betegnelsen for det b . Endelig e en betegnelse dukket opp (selv om den ikke falt sammen med den moderne), og denne betegnelsen ble anerkjent.

I 1697 begynte Johann Bernoulli å studere den eksponentielle funksjonen og publiserte Principia calculi exponentialum seu percurrentium. I dette arbeidet beregnes summene av ulike eksponentielle serier, og noen resultater oppnås ved deres term-for-term integrasjon.

Leonhard Euler introduserte så mye matematisk notasjon at det ikke er overraskende at notasjonen e også tilhører ham. Det virker latterlig å si at han brukte brevet e på grunn av at det er den første bokstaven i navnet hans. Det er nok ikke engang fordi e tatt fra ordet "eksponentiell", er det ganske enkelt den neste vokalen etter "a", og Euler hadde allerede brukt notasjonen "a" i arbeidet sitt. Uansett årsak dukker notasjonen først opp i et brev fra Euler til Goldbach i 1731. Han gjorde mange oppdagelser mens han studerte e senere, men først i 1748 Introduksjon i Analysin infinitorum han ga full begrunnelse for alle ideer knyttet til e . Det viste han

Euler fant også de første 18 desimalene i tallet e :

Riktignok uten å forklare hvordan han fikk dem. Det ser ut som han har beregnet denne verdien selv. Faktisk, hvis vi tar omtrent 20 termer av serie (1), får vi nøyaktigheten som Euler oppnådde. Blant andre interessante resultater i hans arbeid er sammenhengen mellom funksjonene sinus og cosinus og den komplekse eksponentialfunksjonen, som Euler utledet fra De Moivres formel.

Interessant nok fant Euler til og med en dekomponering av tallet e i fortsatte fraksjoner og ga eksempler på slik dekomponering. Spesielt fikk han

Euler ga ikke bevis for at disse brøkene fortsetter på samme måte, men han visste at hvis det var et slikt bevis, ville det bevise irrasjonalitet e . Faktisk, hvis den fortsatte brøken for (e - 1) / 2 , fortsatte på samme måte som i eksemplet ovenfor, 6,10,14,18,22,26, (vi legger til 4 hver gang), så ville den aldri blitt avbrutt, og (e -1) / 2 (og derfor e ) kunne ikke være rasjonell. Dette er åpenbart det første forsøket på å bevise irrasjonalitet e .

Den første som beregnet et ganske stort antall desimaler av et tall e , var Shanks i 1854. Glaisher viste at de første 137 tegnene beregnet av Shanks var riktige, men fant så en feil. Shanks korrigerte det, og 205 desimaler av tallet ble oppnådd e . Faktisk er det nødvendig med omtrent 120 utvidelsesvilkår (1) for å få 200 riktige sifre i tallet e .

I 1864 sto Benjamin Peirce ved en tavle som var skrevet på

I sine forelesninger kan han si til studentene sine: «Mine herrer, vi har ikke den minste anelse om hva dette betyr, men vi kan være sikre på at det betyr noe veldig viktig.»

De fleste mener at Euler beviste irrasjonaliteten til tallet e . Dette ble imidlertid gjort av Hermite i 1873. Spørsmålet er fortsatt åpent om antallet er e e algebraisk. Det endelige resultatet i denne retningen er at minst ett av tallene e e Og e e 2 er transcendental.

Deretter ble følgende desimaler av tallet beregnet e . I 1884 beregnet Boorman 346 sifre e , hvorav de første 187 falt sammen med Shanks tegn, men de påfølgende skilte seg. I 1887 beregnet Adams de 272 sifrene i desimallogaritmen e .

J. J. Connor, E. F. Robertson. Antallet e.

Som noe ubetydelig. Dette skjedde i 1618. I vedlegget til Napiers arbeid om logaritmer ble det gitt en tabell over naturlige logaritmer av forskjellige tall. Imidlertid var det ingen som skjønte at dette var logaritmer til basen, siden konseptet med en logaritme på den tiden ikke inkluderte noe slikt som en base. Dette er det vi nå kaller en logaritme, potensen som basen må heves til for å få det nødvendige tallet. Vi kommer tilbake til dette senere. Tabellen i vedlegget er mest sannsynlig laget av Augthred, selv om forfatteren ikke ble identifisert. Noen år senere, i 1624, dukker den opp igjen i matematisk litteratur, men igjen på en tilslørt måte. I år ga Briggs en numerisk tilnærming av desimallogaritmen, men selve tallet er ikke nevnt i hans arbeid.

Neste opptreden av nummeret er igjen tvilsomt. I 1647 beregnet Saint-Vincent arealet til hyperbelsektoren. Om han forsto sammenhengen med logaritmer kan man bare gjette på, men selv om han forsto, er det lite sannsynlig at han kunne komme til selve tallet. Det var først i 1661 at Huygens forsto sammenhengen mellom den likesidede hyperbelen og logaritmene. Han beviste at arealet under grafen til en likesidet hyperbel av en likesidet hyperbel på intervallet fra til er lik . Denne egenskapen danner grunnlaget for naturlige logaritmer, men dette ble ikke forstått av datidens matematikere, men de nærmet seg sakte denne forståelsen.

Huygens tok neste steg i 1661. Han definerte en kurve som han kalte logaritmisk (i vår terminologi vil vi kalle den eksponentiell). Dette er en typekurve. Og igjen dukker desimallogaritmen opp, som Huygens finner nøyaktig til 17 desimaler. Imidlertid oppsto det fra Huygens som en slags konstant og var ikke assosiert med logaritmen til et tall (så igjen kom de nær , men selve tallet forblir ukjent).

I videre arbeid med logaritmer kommer tallet igjen ikke eksplisitt. Studiet av logaritmer fortsetter imidlertid. I 1668 ga Nicolaus Mercator ut et verk Logaritmoteknikk, som inneholder en serieutvidelse. I dette arbeidet bruker Mercator først navnet "naturlig logaritme" for grunnlogaritmen. Nummeret dukker tydeligvis ikke opp igjen, men forblir unnvikende et sted ved siden av.

Det er overraskende at tall vises for første gang i eksplisitt form ikke i forbindelse med logaritmer, men i forbindelse med uendelige produkter. I 1683 prøver Jacob Bernoulli å finne

Han bruker binomial teorem for å bevise at denne grensen er mellom og , som vi kan tenke på som en første tilnærming til . Selv om vi tar dette for å være definisjonen av , er dette første gang et tall er definert som en grense. Bernoulli forsto selvfølgelig ikke sammenhengen mellom arbeidet hans og arbeidet med logaritmer.

Euler introduserte så mange matematiske notasjoner at
ikke overraskende tilhører også betegnelsen ham. Det virker latterlig å si at han brukte bokstaven fordi det er den første bokstaven i navnet hans. Dette er sannsynligvis ikke engang fordi det er hentet fra ordet "eksponentiell", men ganske enkelt fordi det er den neste vokalen etter "a", og Euler hadde allerede brukt notasjonen "a" i arbeidet sitt. Uansett årsak dukker notasjonen først opp i et brev fra Euler til Goldbach i 1731. Han gjorde mange funn mens han studerte videre, men først i 1748. Introduksjon i Analysin infinitorum han ga full begrunnelse for alle ideer knyttet til. Det viste han

Euler fant også de første 18 desimalene til et tall:

imidlertid uten å forklare hvordan han fikk dem. Det ser ut som han har beregnet denne verdien selv. Faktisk, hvis vi tar omtrent 20 termer av serie (1), får vi nøyaktigheten som Euler oppnådde. Blant andre interessante resultater i hans arbeid er sammenhengen mellom funksjonene sinus og cosinus og den komplekse eksponentialfunksjonen, som Euler utledet fra De Moivres formel.

Det er interessant at Euler til og med fant dekomponeringen av et tall i fortsatte brøker og ga eksempler på slik dekomponering. Spesielt fikk han
Og
Euler ga ikke bevis for at disse brøkene fortsetter på samme måte, men han visste at hvis det fantes et slikt bevis, ville det bevise irrasjonalitet. Faktisk, hvis den fortsatte brøken for fortsatte på samme måte som i eksemplet ovenfor (vi legger til hver gang), ville den aldri bli avbrutt, og (og derfor) kunne ikke være rasjonell. Dette er åpenbart det første forsøket på å bevise irrasjonalitet.

Den første som beregnet et ganske stort antall desimaler var Shanks i 1854. Glaisher viste at de første 137 sifrene beregnet av Shanks var riktige, men fant så en feil. Shanks korrigerte det, og 205 desimaler ble oppnådd. I virkeligheten trenger du ca
120 utvidelsesvilkår (1) for å få 200 riktige sifre i nummeret.

I 1864 sto Benjamin Peirce ved en tavle som var skrevet på

I sine forelesninger kan han si til studentene sine: «Mine herrer, vi har ikke den minste anelse om hva dette betyr, men vi kan være sikre på at det betyr noe veldig viktig.»

De fleste tror at Euler beviste irrasjonaliteten til tallet. Dette ble imidlertid gjort av Hermite i 1873. Spørsmålet om tallet er algebraisk er fortsatt åpent. Det endelige resultatet i denne retningen er at minst ett av tallene er transcendentalt.

y (x) = e x, hvis deriverte er lik selve funksjonen.

Eksponenten er betegnet som , eller .

Nummer e

Grunnlaget for eksponentgraden er nummer e. Dette er et irrasjonelt tall. Det er omtrent likt
e ≈ 2,718281828459045...

Tallet e bestemmes gjennom sekvensens grense. Dette er den såkalte andre fantastiske grensen:
.

Tallet e kan også representeres som en serie:
.

Eksponentiell graf

Eksponentiell graf, y = e x .

Grafen viser eksponenten e til en grad X.
y (x) = e x
Grafen viser at eksponenten øker monotont.

Formler

Grunnformlene er de samme som for eksponentialfunksjonen med basis av grad e.

;
;
;

Uttrykk for en eksponentiell funksjon med en vilkårlig base av grad a til en eksponentiell:
.

Private verdier

La y (x) = e x. Deretter
.

Eksponentegenskaper

Eksponenten har egenskapene til en eksponentiell funksjon med potensbase e > 1 .

Domene, sett med verdier

Eksponent y (x) = e x definert for alle x.
Dets definisjonsdomene:
- ∞ < x + ∞ .
Dens mange betydninger:
0 < y < + ∞ .

Ekstremer, økende, avtagende

Eksponentialen er en monotont økende funksjon, så den har ingen ekstrema. Hovedegenskapene er presentert i tabellen.

Invers funksjon

Den inverse av eksponenten er den naturlige logaritmen.
;
.

Derivert av eksponenten

Derivat e til en grad X lik e til en grad X :
.
Derivert av n-te orden:
.
Utlede formler > > >

Integral

Komplekse tall

Operasjoner med komplekse tall utføres ved hjelp av Eulers formler:
,
hvor er den imaginære enheten:
.

Uttrykk gjennom hyperbolske funksjoner

; ;
.

Uttrykk som bruker trigonometriske funksjoner

; ;
;
.

Power serie utvidelse

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.

Doktor i geologiske og mineralogiske vitenskaper, kandidat i fysiske og matematiske vitenskaper B. GOROBETS.

Grafer for funksjonene y = buen x, den inverse funksjonen y = sin x

Grafen til funksjonen y = arctan x, den inverse av funksjonen y = tan x.

Normalfordelingsfunksjon (gaussisk fordeling). Maksimumet av grafen tilsvarer den mest sannsynlige verdien av en tilfeldig variabel (for eksempel lengden på et objekt målt med en linjal), og graden av "spredning" av kurven avhenger av parameterne a og sigma.

Prestene i det gamle Babylon beregnet at solskiven passer på himmelen 180 ganger fra daggry til solnedgang og introduserte en ny måleenhet - en grad lik dens vinkelstørrelse.

Dimensjoner naturlige formasjoner- sanddyner, åser og fjell - øke med hvert trinn med gjennomsnittlig 3,14 ganger.

Vitenskap og liv // Illustrasjoner

Pendelen, som svinger uten friksjon eller motstand, opprettholder en konstant svingningsamplitude. Utseendet til motstand fører til eksponentiell demping av svingninger.

I et veldig viskøst medium beveger en avbøyd pendel seg eksponentielt mot sin likevektsposisjon.

Vekter kongler og krøllene til skjellene til mange bløtdyr er ordnet i logaritmiske spiraler.

Vitenskap og liv // Illustrasjoner

En logaritmisk spiral skjærer alle stråler som kommer fra punkt O i de samme vinklene.

Sannsynligvis vil enhver søker eller student, når du blir spurt om hva tall og e er, svare: - dette er et tall som er lik forholdet mellom omkretsen og diameteren, og e er grunnlaget for naturlige logaritmer. Hvis du blir bedt om å definere disse tallene strengere og beregne dem, vil elevene gi formler:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 2,7183...

(husk at faktoriell n! =1 x 2x 3x… x n);

3(1+ 1/3x 2 3 + 1x 3/4x 5x 2 5 + .....) 3,14159…

(Newtons serie er den siste, det finnes andre serier).

Alt dette er sant, men som du vet er tall og e inkludert i mange formler i matematikk, fysikk, kjemi, biologi og også i økonomi. Dette betyr at de reflekterer noe generelle lover natur. Hvilke nøyaktig? Definisjonene av disse tallene gjennom serier, til tross for deres korrekthet og strenghet, etterlater fortsatt en følelse av misnøye. De er abstrakte og formidler ikke de aktuelle tallenes sammenheng med omverdenen gjennom hverdagserfaring. Det er ikke mulig å finne svar på spørsmålet som stilles i undervisningslitteraturen.

I mellomtiden kan det hevdes at konstanten e er direkte relatert til homogeniteten til rom og tid, og til rommets isotropi. Dermed gjenspeiler de bevaringslovene: tallet e - energi og momentum (momentum), og tallet - dreiemoment (momentum). Vanligvis forårsaker slike uventede uttalelser overraskelse, selv om det i hovedsak, fra teoretisk fysikks synspunkt, ikke er noe nytt i dem. Den dype betydningen av disse verdenskonstantene forblir terra incognita for skolebarn, studenter og, tilsynelatende, selv for flertallet av lærere i matematikk og generell fysikk, for ikke å nevne andre områder innen naturvitenskap og økonomi.

I det første året på universitetet kan studentene bli forvirret av for eksempel et spørsmål: hvorfor vises arctangensen når funksjoner av type 1/(x 2 +1) integreres og sirkulære trigonometriske funksjoner av arcsine-typen, som uttrykker størrelsen av sirkelbuen? Med andre ord, hvor "kommer sirklene fra" under integrasjon og hvor forsvinner de så under den inverse handlingen - differensierer arctangens og arcsine? Det er usannsynlig at utledningen av de tilsvarende formlene for differensiering og integrasjon vil svare på spørsmålet som stilles av seg selv.

Videre, i det andre året på universitetet, når du studerer sannsynlighetsteori, vises tallet i formelen for loven om normalfordeling tilfeldige variabler(se "Vitenskap og liv" nr. 2, 1995); ut fra den kan du for eksempel beregne sannsynligheten for at en mynt vil falle på våpenskjoldet et antall ganger med for eksempel 100 kast. Hvor er sirklene? Har formen på mynten egentlig noen betydning? Nei, formelen for sannsynlighet er den samme for en kvadratisk mynt. Dette er faktisk ikke enkle spørsmål.

Men karakteren til tallet e er nyttig for studenter i kjemi og materialvitenskap, biologer og økonomer å vite mer om. Dette vil hjelpe dem å forstå kinetikken til forfallet av radioaktive elementer, metning av løsninger, slitasje av materialer, spredning av mikrober, virkningen av signaler på sansene, prosesser for kapitalakkumulering, etc. - et uendelig antall fenomener i lever og livløs natur og menneskelige aktiviteter.

Antall og sfæriske symmetri av rommet

Først formulerer vi den første hovedoppgaven, og forklarer deretter dens betydning og konsekvenser.

1. Tallet gjenspeiler isotropien til egenskapene til det tomme rommet i universet vårt, deres likhet i alle retninger. Loven om bevaring av dreiemoment er assosiert med isotropien i rommet.

Dette fører til velkjente konsekvenser som studeres i videregående skole.

Konsekvens 1. Lengden på buen til en sirkel som dens radius passer langs er den naturlige buen og vinkelenheten radian.

Denne enheten er dimensjonsløs. For å finne antall radianer i en sirkelbue, må du måle lengden og dele med lengden på radiusen til denne sirkelen. Som vi vet, langs evt full sirkel dens radius er omtrent 6,28 ganger. Mer presist er lengden på en hel sirkelbue 2 radianer, og i alle tallsystemer og lengdeenheter. Da hjulet ble oppfunnet, viste det seg å være det samme blant indianerne i Amerika, nomadene i Asia og de svarte i Afrika. Bare buemåleenhetene var forskjellige og konvensjonelle. Dermed ble våre vinkel- og buegrader introdusert av de babylonske prestene, som mente at solskiven, som ligger nesten i senit, passer 180 ganger på himmelen fra daggry til solnedgang. 1 grad er 0,0175 rad eller 1 rad er 57,3°. Det kan hevdes at hypotetiske fremmede sivilisasjoner lett ville forstå hverandre ved å utveksle en melding der sirkelen er delt inn i seks deler "med en hale"; dette vil bety at "forhandlingspartneren" allerede i det minste har passert stadiet med å finne opp hjulet på nytt og vet hva tallet er.

Konsekvens 2. Hensikt trigonometriske funksjoner- uttrykke forholdet mellom buen og lineære dimensjoner til objekter, samt mellom de romlige parametrene til prosesser som skjer i et sfærisk symmetrisk rom.

Fra det ovenstående er det klart at argumentene til trigonometriske funksjoner i prinsippet er dimensjonsløse, som for andre typer funksjoner, dvs. dette er reelle tall - punkter på tallaksen som ikke trenger gradnotasjon.

Erfaring viser at skoleelever, høyskole- og universitetsstudenter har problemer med å venne seg til dimensjonsløse argumenter for sinus, tangens osv. Ikke alle søkere vil kunne svare på spørsmålet uten kalkulator hva cos1 (ca. 0,5) eller arctg / 3. Det siste eksemplet er spesielt forvirrende. Det sies ofte at dette er tull: "en bue hvis arctangens er 60 o." Hvis du sier akkurat det, vil feilen være i uautorisert bruk gradsmål til funksjonsargumentet. Og det riktige svaret er: arctg(3.14/3) arctg1 /4 3/4. Dessverre sier ganske ofte søkere og studenter at = 180 0, hvoretter de må korrigere dem: i desimalsystemet = 3,14…. Men vi kan selvfølgelig si at en radian er lik 180 0.

La oss undersøke en annen ikke-triviell situasjon som oppstår i sannsynlighetsteori. Det gjelder den viktige formelen for sannsynligheten for en tilfeldig feil (eller normal lov sannsynlighetsfordeling), som inkluderer tallet . Ved å bruke denne formelen kan du for eksempel regne ut sannsynligheten for at en mynt faller på våpenskjoldet 50 ganger med 100 kast. Så, hvor kom tallet i den fra? Tross alt ser ingen sirkler eller sirkler ut til å være synlige der. Men poenget er at mynten faller tilfeldig i et sfærisk symmetrisk rom, i alle retninger som tilfeldige svingninger bør tas like godt i betraktning. Matematikere gjør dette ved å integrere rundt en sirkel og beregne det såkalte Poisson-integralet, som er lik og inkludert i den angitte sannsynlighetsformelen. En tydelig illustrasjon av slike svingninger er eksemplet med å skyte mot et mål under konstante forhold. Hullene på målet er spredt i en sirkel (!) med den høyeste tettheten nær midten av målet, og sannsynligheten for et treff kan beregnes ved å bruke samme formel som inneholder tallet .

Er tall "involvert" i naturlige strukturer?

La oss prøve å forstå fenomenene, hvis årsaker er langt fra klare, men som kanskje heller ikke var uten tall.

Innenlandsk geograf V.V. Piotrovsky sammenlignet de gjennomsnittlige karakteristiske størrelsene naturlige relieffer i neste rad: sandriffel på grunne, sanddyner, åser, fjellsystemer Kaukasus, Himalaya, etc. Det viste seg at den gjennomsnittlige økningen i størrelse er 3,14. Et lignende mønster ser ut til å ha blitt oppdaget nylig i topografien til Månen og Mars. Piotrovsky skriver: "Tektoniske strukturelle former dannet i jordskorpen og uttrykt på overflaten i form av relieffformer, utvikles som et resultat av noen generelle prosesser som skjer i jordens kropp, de er proporsjonale med jordens størrelse." For å være mer presis er de proporsjonale med forholdet av dens lineære og buede dimensjoner.

Grunnlaget for disse fenomenene kan være den såkalte loven om distribusjon av maksima for tilfeldige serier, eller "trillingloven", formulert tilbake i 1927 av E. E. Slutsky.

Statistisk sett, i henhold til loven om tre, dannes kystbølger, som de gamle grekerne kjente til. Hver tredje bølge er i gjennomsnitt litt høyere enn sine naboer. Og i rekken av disse tredje maksima er hver tredje på sin side høyere enn naboene. Slik dannes den berømte niende bølgen. Han er toppen av "andre rang periode". Noen forskere antyder at i henhold til loven om trillinger forekommer også svingninger i sol-, komet- og meteorittaktiviteter. Intervallene mellom deres maksima er ni til tolv år, eller omtrent 3 2 . Hva mener legen? Biologiske vitenskap G. Rosenberg, vi kan fortsette å konstruere tidssekvenser som følger. Perioden i tredje rang 3 3 tilsvarer intervallet mellom alvorlige tørkeperioder, som i gjennomsnitt er 27-36 år; periode 3 4 - sekulær syklus solaktivitet(81-108 år); periode 3 5 - glasiasjonssykluser (243-324 år). Tilfeldighetene vil bli enda bedre hvis vi går bort fra loven om "rene" trillinger og går videre til tallkrefter. Forresten, de er veldig enkle å beregne, siden 2 er nesten lik 10 (en gang i India ble tallet til og med definert som roten av 10). Du kan fortsette å justere syklusene til geologiske epoker, perioder og epoker til hele trepotenser (som er det G. Rosenberg spesielt gjør i samlingen "Eureka-88", 1988) eller tallene 3.14. Og du kan alltid ta ønsketenkning med ulik grad av nøyaktighet. (I forbindelse med justeringer dukker det opp en matematisk vits. La oss bevise det oddetall Essensen av tallene er enkel. Vi tar: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, osv., og 9 her er en eksperimentell feil.) Og likevel ideen om den uopplagte rollen til tallet p i mange geologiske og biologiske fenomener, ser det ut til, ikke er helt tomme, og kanskje vil de vise seg i fremtiden.

Tallet e og homogeniteten til tid og rom

La oss nå gå videre til den andre store verdenskonstanten - tallet e. Den matematisk feilfrie bestemmelsen av tallet e ved å bruke serien gitt ovenfor, avklarer i hovedsak ikke dets forbindelse med fysisk eller annen. naturfenomener. Hvordan nærme seg dette problemet? Spørsmålet er ikke lett. La oss starte, kanskje, med standardfenomenet for forplantning av elektromagnetiske bølger i et vakuum. (Vi vil dessuten forstå vakuum som et klassisk tomt rom, uten å berøre den mest komplekse naturen til fysisk vakuum.)

Alle vet at en kontinuerlig bølge i tid kan beskrives med en sinusbølge eller summen av sinus- og cosinusbølger. I matematikk, fysikk og elektroteknikk er en slik bølge (med en amplitude lik 1) beskrevet av eksponentialfunksjonen e iβt =cos βt + isin βt, hvor β er frekvensen til harmoniske svingninger. En av de mest kjente matematiske formlene er skrevet her - Eulers formel. Det var til ære for den store Leonhard Euler (1707-1783) at tallet e ble oppkalt etter den første bokstaven i etternavnet hans.

Denne formelen er velkjent for studenter, men den må forklares for elever på ikke-matematiske skoler, fordi i vår tid, fra vanlige skoleprogrammer Komplekse tall er ekskludert. Det komplekse tallet z = x+iy består av to ledd - det reelle tallet (x) og det imaginære tallet, som er det reelle tallet y multiplisert med den imaginære enheten. Reelle tall telles langs den reelle aksen O x, og imaginære tall telles på samme skala langs den imaginære aksen O y, hvis enhet er i, og lengden på dette enhetssegmentet er modulen | jeg | =1. Derfor komplekst tall tilsvarer et punkt på planet med koordinater (x, y). Så, uvanlig utseende et tall e med en eksponent som bare inneholder imaginære enheter i betyr tilstedeværelsen av kun udempede svingninger beskrevet av en cosinus- og sinusbølge.

Det er klart at en udempet bølge demonstrerer samsvar med loven om bevaring av energi for elektromagnetisk bølge i et vakuum. Denne situasjonen oppstår under den "elastiske" interaksjonen av en bølge med et medium uten tap av energi. Formelt kan dette uttrykkes slik: hvis du flytter referansepunktet langs tidsaksen, vil energien til bølgen bli bevart, siden den harmoniske bølgen vil beholde samme amplitude og frekvens, det vil si energienheter, og bare dens fase vil endres, den delen av perioden som er fjern fra det nye referansepunktet. Men fasen påvirker ikke energien nettopp på grunn av ensartetheten i tiden når referansepunktet forskyves. Så parallell overføring av koordinatsystemet (det kalles oversettelse) er lovlig på grunn av homogeniteten til tiden t. Nå er det sannsynligvis prinsipielt klart hvorfor homogenitet i tid fører til loven om bevaring av energi.

La oss deretter forestille oss en bølge ikke i tid, men i rom. Et tydelig eksempel det kan være en stående bølge (svingninger av en streng ubevegelig i flere punkter-noder) eller kystsand krusninger. Matematisk vil denne bølgen langs O x-aksen skrives som e ix = cos x + isin x. Det er klart at i dette tilfellet vil ikke translasjon langs x endre verken cosinus eller sinus hvis rommet er homogent langs denne aksen. Igjen, bare deres fase vil endre seg. Det er kjent fra teoretisk fysikk at rommets homogenitet fører til loven om bevaring av momentum (momentum), det vil si masse multiplisert med hastighet. La nå rommet være homogent i tid (og loven om bevaring av energi er oppfylt), men inhomogen i koordinat. Da vil hastigheten på forskjellige punkter i inhomogent rom også være ulik, siden det per enhet av homogen tid vil være forskjellige betydninger lengden på segmentene dekket per sekund av en partikkel med en gitt masse (eller en bølge med et gitt momentum).

Så vi kan formulere den andre hovedoppgaven:

2. Tallet e som grunnlag for en funksjon av en kompleks variabel gjenspeiler to grunnleggende lover for bevaring: energi - gjennom tidens homogenitet, momentum - gjennom rommets homogenitet.

Og likevel, hvorfor akkurat tallet e, og ikke noe annet, ble inkludert i Eulers formel og viste seg å være i bunnen av bølgefunksjonen? Holde seg innenfor grensene skolekurs matematikk og fysikk, er det ikke lett å svare på dette spørsmålet. Forfatteren diskuterte dette problemet med teoretikeren, Doctor of Physical and Mathematical Sciences V.D. Efros, og vi prøvde å forklare situasjonen som følger.

Den viktigste klassen av prosesser - lineære og lineariserte prosesser - beholder sin linearitet nettopp på grunn av homogeniteten i rom og tid. Matematisk beskrives en lineær prosess med en funksjon som fungerer som en løsning på en differensialligning med konstante koeffisienter(denne typen ligninger studeres i første og andre år ved universiteter og høyskoler). Og kjernen er Euler-formelen ovenfor. Så løsningen inneholder en kompleks funksjon med base e, akkurat som bølgeligningen. Dessuten er det e, og ikke et annet tall i bunnen av graden! Fordi bare funksjonen ex ikke endres for et hvilket som helst antall differensiasjoner og integrasjoner. Og derfor, etter substitusjon inn i den opprinnelige ligningen, vil bare løsningen med basen e gi en identitet, slik en riktig løsning burde.

La oss nå skrive ned løsningen til en differensialligning med konstante koeffisienter som beskriver forplantningen av en harmonisk bølge i et medium, og tar hensyn til den uelastiske interaksjonen med den, som fører til energispredning eller anskaffelse av energi fra eksterne kilder:

f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt).

Vi ser at Eulers formel multipliseres med en reell variabel e αt, som er amplituden til bølgen som endrer seg over tid. Ovenfor antok vi for enkelhets skyld at den var konstant og lik 1. Dette kan gjøres ved udempede harmoniske oscillasjoner, med α = 0. I det generelle tilfellet med en hvilken som helst bølge, avhenger oppførselen til amplituden av fortegnet av koeffisienten a med variabelen t (tid): hvis α > 0, øker amplituden til oscillasjonene hvis α< 0, затухает по экспоненте.

Kanskje det siste avsnittet er vanskelig for nyutdannede ved mange vanlige skoler. Det bør imidlertid være forståelig for studenter ved universiteter og høyskoler som grundig studerer differensialligninger med konstante koeffisienter.

La oss nå sette β = 0, det vil si at vi vil ødelegge den oscillerende faktoren med nummer i i løsningen som inneholder Eulers formel. Fra de tidligere oscillasjonene vil bare "amplituden" som avtar (eller vokser) eksponentielt forbli.

For å illustrere begge tilfellene, se for deg en pendel. På tomt rom svinger den uten demping. I rom med et resistivt medium oppstår oscillasjoner med eksponentiell amplitudeforfall. Hvis du avleder en ikke for massiv pendel i et tilstrekkelig tyktflytende medium, vil den jevnt bevege seg mot likevektsposisjonen, og bremse ned mer og mer.

Så fra oppgave 2 kan vi utlede følgende konsekvens:

Konsekvens 1. I fravær av en imaginær, rent vibrasjonsdel av funksjonen f(t), ved β = 0 (det vil si ved null frekvens), den reelle delen eksponentiell funksjon beskriver mange naturlige prosesser som foregår i samsvar med det grunnleggende prinsippet: verdiøkningen er proporsjonal med selve verdien .

Det formulerte prinsippet ser matematisk slik ut: ∆I ~ I∆t, hvor, la oss si, I er et signal, og ∆t er et lite tidsintervall der signalet ∆I øker. Ved å dele begge sider av likheten med I og integrere, får vi lnI ~ kt. Eller: I ~ e kt - loven om eksponentiell økning eller reduksjon av signalet (avhengig av tegnet til k). Dermed fører loven om proporsjonalitet av verdiøkningen til verdien i seg selv til naturlig logaritme og dermed til tallet e (Og her vises dette i en form som er tilgjengelig for videregående skoleelever som kjenner elementene i integrering.)

Mange prosesser innen fysikk, kjemi, biologi, økologi, økonomi, etc., fortsetter eksponentielt med et ekte argument, uten å nøle. Vi legger spesielt merke til den universelle psykofysiske loven til Weber - Fechner (av en eller annen grunn ignorert i utdanningsprogrammer skoler og universiteter). Den lyder: "Sansens styrke er proporsjonal med logaritmen til styrken til stimulering."

Syn, hørsel, lukt, berøring, smak, følelser og hukommelse er underlagt denne loven (naturligvis inntil fysiologiske prosesser brått blir til patologiske, når reseptorene har gjennomgått modifikasjon eller ødeleggelse). I henhold til loven: 1) en liten økning i irritasjonssignalet i ethvert intervall tilsvarer en lineær økning (med pluss eller minus) i følelsesstyrken; 2) i området med svake irritasjonssignaler er økningen i følelsesstyrken mye brattere enn i området med sterke signaler. La oss ta te som et eksempel: et glass te med to sukkerbiter oppfattes som dobbelt så søtt som te med ett sukkerstykke; men te med 20 stykker sukker vil neppe virke merkbart søtere enn med 10 stykker. Det dynamiske spekteret av biologiske reseptorer er kolossalt: signaler mottatt av øyet kan variere i styrke med ~ 10 10 , og av øret - med ~ 10 12 ganger. Lev naturen tilpasset slike områder. Den beskytter seg selv ved å ta en logaritme (ved biologisk begrensning) av innkommende stimuli, ellers ville reseptorene dø. Den mye brukte logaritmiske (desibel) skalaen for lydintensitet er basert på Weber-Fechner-loven, i samsvar med hvilken volumkontrollene til lydutstyr fungerer: deres forskyvning er proporsjonal med det oppfattede volumet, men ikke til lydintensiteten! (Sansen er proporsjonal med lg/ 0. Terskelen for hørbarhet er tatt til å være p 0 = 10 -12 J/m 2 s. Ved terskelen har vi lg1 = 0. En økning i styrken (trykket) til lyd ved 10 ganger tilsvarer omtrent følelsen av en hvisking, som er 1 bel over terskelen på en logaritmisk skala. er en økning på 6 størrelsesordener eller 6 Bel.)

Sannsynligvis er et slikt prinsipp optimalt økonomisk for utviklingen av mange organismer. Dette kan tydelig observeres i dannelsen av logaritmiske spiraler i bløtdyrskjell, rader med frø i en solsikkekurv og skjell i kjegler. Avstanden fra sentrum øker etter loven r = ae kj. I hvert øyeblikk er veksthastigheten lineært proporsjonal med denne avstanden i seg selv (som er lett å se hvis vi tar den deriverte av den skrevne funksjonen). Profilene til roterende kniver og kuttere er laget i en logaritmisk spiral.

Konsekvens 2. Tilstedeværelsen av bare den imaginære delen av funksjonen ved α = 0, β 0 i løsningen av differensialligninger med konstante koeffisienter beskriver en rekke lineære og lineariserte prosesser der udempede harmoniske oscillasjoner finner sted.

Denne konsekvensen bringer oss tilbake til modellen som allerede er diskutert ovenfor.

Konsekvens 3. Når du implementerer Corollary 2, er det en "lukking" i en enkelt formel med tall og e gjennom Eulers historiske formel i sin opprinnelige form e i = -1.

I denne formen publiserte Euler først sin eksponent med en tenkt eksponent. Det er ikke vanskelig å uttrykke det gjennom cosinus og sinus på venstre side. Da vil den geometriske modellen til denne formelen være bevegelse i en sirkel med en hastighetskonstant i absolutt verdi, som er summen av to harmoniske svingninger. I følge den fysiske essensen reflekterer formelen og dens modell alle de tre grunnleggende egenskapene til rom-tid - deres homogenitet og isotropi, og dermed alle tre bevaringslovene.

Konklusjon

Utsagnet om sammenhengen mellom bevaringslover og homogeniteten i tid og rom er utvilsomt riktig for det euklidiske rom i klassisk fysikk og for det pseudo-euklidiske Minkowski-rommet i den generelle relativitetsteorien (GR, hvor tid er den fjerde koordinat). Men innenfor rammen av generell relativitet, oppstår et naturlig spørsmål: hva er situasjonen i områder med enorme gravitasjonsfelt, nær singulariteter, spesielt nær sorte hull? Meningene til fysikere her er forskjellige: flertallet mener at de angitte grunnleggende bestemmelsene er bevart i disse ekstreme forhold. Det er imidlertid andre synspunkter fra autoritative forskere. Begge jobber med å lage en ny teori om kvantetyngdekraft.

For å kort forestille oss hvilke problemer som oppstår her, la oss sitere ordene til den teoretiske fysikeren akademiker A. A. Logunov: "Det (Minkowski-rom. - Auto.) gjenspeiler egenskaper som er felles for alle former for materie. Dette sikrer eksistensen av enhetlig fysiske egenskaper- energi, momentum, vinkelmomentum, lover for bevaring av energi, momentum. Men Einstein hevdet at dette bare er mulig under én betingelse - i fravær av tyngdekraften<...>. Fra denne uttalelsen til Einstein fulgte det at rom-tid ikke blir pseudo-euklidisk, men mye mer kompleks i sin geometri - Riemannsk. Sistnevnte er ikke lenger homogen. Det endrer seg fra punkt til punkt. Egenskapen til romkrumning vises. Den nøyaktige formuleringen av bevaringslover, slik de ble akseptert i klassisk fysikk, forsvinner også i den.<...>Strengt tatt, i generell relativitetsteori, er det i prinsippet umulig å innføre lovene for bevaring av energimomentum, de kan ikke formuleres" (se "Vitenskap og liv" nr. 2, 3, 1987).

De grunnleggende konstantene i vår verden, hvis natur vi snakket om, er kjent ikke bare for fysikere, men også for lyrikere. Dermed inspirerte det irrasjonelle tallet lik 3,14159265358979323846... den fremragende polske poeten fra det tjuende århundre, prisvinner Nobel pris 1996 til Wisław Szymborska for opprettelsen av diktet "Pi", med et sitat som vi vil avslutte disse notatene fra:

En rekke verdig beundring:
Tre komma én fire én.
Hvert tall gir en følelse
start - fem ni to,
fordi du aldri kommer til slutten.
Du kan ikke forstå alle tallene på et øyeblikk -
seks fem tre fem.
Aritmetiske operasjoner -
åtte ni -
er ikke lenger nok, og det er vanskelig å tro -
syv ni -
at du ikke kommer unna med det - tre to tre
åtte -
heller ikke en ligning som ikke eksisterer,
ikke en spøk sammenligning -
du kan ikke telle dem.
La oss gå videre: fire seks...
(Oversettelse fra polsk - B.G.)