Logaritmer til eksamensprofilen. Logaritmiske uttrykk

Som du vet, når du multipliserer uttrykk med potenser, summeres eksponentene deres alltid (a b *a c = a b+c). Denne matematiske loven ble utledet av Arkimedes, og senere, på 800-tallet, laget matematikeren Virasen en tabell med heltallseksponenter. Det var de som tjente for videre oppdagelse av logaritmer. Eksempler på bruk av denne funksjonen finner du nesten overalt hvor du trenger å forenkle tungvint multiplikasjon med enkel addisjon. Hvis du bruker 10 minutter på å lese denne artikkelen, vil vi forklare deg hva logaritmer er og hvordan du kan jobbe med dem. I et enkelt og tilgjengelig språk.

Definisjon i matematikk

En logaritme er et uttrykk for følgende form: log a b=c, det vil si logaritmen til ethvert ikke-negativt tall (det vil si ethvert positivt) "b" til grunntallet "a" anses å være potensen "c" ” som det er nødvendig å heve grunntallet “a” til for til slutt å få verdien “b”. La oss analysere logaritmen ved hjelp av eksempler, la oss si at det er et uttrykk log 2 8. Hvordan finne svaret? Det er veldig enkelt, du må finne en potens slik at fra 2 til den nødvendige effekten får du 8. Etter å ha gjort noen beregninger i hodet ditt, får vi tallet 3! Og det er sant, fordi 2 i potens av 3 gir svaret som 8.

Typer logaritmer

For mange elever og studenter virker dette emnet komplisert og uforståelig, men faktisk er logaritmer ikke så skumle, det viktigste er å forstå deres generelle betydning og huske egenskapene deres og noen regler. Det er tre separate typer logaritmiske uttrykk:

Naturlig logaritme ln a, der grunntall er Euler-tallet (e = 2,7).
Desimal a, der grunntallet er 10.
Logaritme av et hvilket som helst tall b til grunntall a>1.

Hver av dem løses på en standard måte, inkludert forenkling, reduksjon og påfølgende reduksjon til en enkelt logaritme ved hjelp av logaritmiske teoremer. For å få de riktige verdiene til logaritmer, bør du huske egenskapene deres og handlingssekvensen når du løser dem.

Regler og noen restriksjoner

I matematikk er det flere regler-begrensninger som aksepteres som et aksiom, det vil si at de ikke er gjenstand for diskusjon og er sannheten. For eksempel er det umulig å dele tall med null, og det er også umulig å trekke ut en partall rot fra negative tall. Logaritmer har også sine egne regler, som du enkelt kan lære deg å jobbe med selv med lange og romslige logaritmiske uttrykk:

Grunnlaget "a" må alltid være større enn null, og ikke lik 1, ellers vil uttrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i en hvilken som helst grad alltid er lik verdiene deres;
hvis a > 0, så a b >0, viser det seg at "c" også må være større enn null.

Hvordan løse logaritmer?

For eksempel er oppgaven gitt å finne svaret på ligningen 10 x = 100. Dette er veldig enkelt, du må velge en potens ved å heve tallet ti som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 = 100.

La oss nå representere dette uttrykket i logaritmisk form. Vi får log 10 100 = 2. Ved løsning av logaritmer konvergerer praktisk talt alle handlinger for å finne potensen som det er nødvendig å legge inn basisen til logaritmen til for å få et gitt tall.

For nøyaktig å bestemme verdien av en ukjent grad, må du lære å jobbe med en tabell over grader. Det ser slik ut:

Som du kan se, kan noen eksponenter gjettes intuitivt hvis du har et teknisk sinn og kunnskap om multiplikasjonstabellen. Men for store verdier du trenger en tabell over grader. Den kan brukes selv av de som ikke vet noe om kompleks matematiske emner. Den venstre kolonnen inneholder tall (grunntall a), den øverste raden med tall er verdien av potensen c som tallet a er hevet til. I skjæringspunktet inneholder cellene tallverdiene som er svaret (a c =b). La oss for eksempel ta den aller første cellen med tallet 10 og kvadrere det, vi får verdien 100, som er indikert i skjæringspunktet mellom våre to celler. Alt er så enkelt og lett at selv den mest sanne humanist vil forstå!

Ligninger og ulikheter

Det viser seg at under visse forhold er eksponenten logaritmen. Derfor kan alle matematiske numeriske uttrykk skrives som en logaritmisk likhet. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som base 3-logaritmen av 81 lik fire (log 3 81 = 4). Til negative krefter reglene er de samme: 2 -5 = 1/32 vi skriver det som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. En av de mest fascinerende delene av matematikk er temaet "logaritmer". Vi skal se på eksempler og løsninger på ligninger nedenfor, umiddelbart etter å ha studert egenskapene deres. La oss nå se på hvordan ulikheter ser ut og hvordan vi kan skille dem fra ligninger.

Følgende uttrykk er gitt: log 2 (x-1) > 3 - det er en logaritmisk ulikhet, siden den ukjente verdien "x" er under det logaritmiske tegnet. Og også i uttrykket sammenlignes to mengder: logaritmen til ønsket tall til base to er større enn tallet tre.

Den viktigste forskjellen mellom logaritmiske ligninger og ulikheter er at ligninger med logaritmer (eksempel - logaritme 2 x = √9) innebærer ett eller flere spesifikke svar numeriske verdier, mens ved løsning av ulikhetene er definert som regionen akseptable verdier, og bruddpunktene for denne funksjonen. Som en konsekvens er svaret ikke et enkelt sett med individuelle tall, som i svaret på en ligning, men en kontinuerlig serie eller sett med tall.

Grunnleggende teoremer om logaritmer

Når du løser primitive oppgaver for å finne verdiene til logaritmen, er det ikke sikkert dens egenskaper er kjent. Men når det gjelder logaritmiske ligninger eller ulikheter, er det først og fremst nødvendig å forstå og anvende i praksis alle de grunnleggende egenskapene til logaritmer. Vi skal se på eksempler på ligninger senere, la oss først se nærmere på hver egenskap.

Hovedidentiteten ser slik ut: a logaB =B. Det gjelder bare når a er større enn 0, ikke lik én, og B er større enn null.
Logaritmen til produktet kan representeres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfellet er den obligatoriske betingelsen: d, s 1 og s 2 > 0; a≠1. Du kan gi et bevis for denne logaritmiske formelen, med eksempler og løsning. La log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2, så a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi får at s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (egenskapene til grader ), og da per definisjon: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, som er det som måtte bevises.
Logaritmen til kvotienten ser slik ut: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teoremet i form av en formel tar på neste visning: log a q b n = n/q log a b.

Denne formelen kalles "egenskapen til graden av logaritme." Det ligner egenskapene til vanlige grader, og det er ikke overraskende, fordi all matematikk er basert på naturlige postulater. La oss se på beviset.

La log a b = t, viser det seg a t =b. Hvis vi hever begge deler til potensen m: a tn = b n ;

men siden a tn = (a q) nt/q = b n, log derfor a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Teoremet er bevist.

Eksempler på problemer og ulikheter

De vanligste typene problemer på logaritmer er eksempler på likninger og ulikheter. De finnes i nesten alle oppgavebøker, og er også en obligatorisk del av matematikkprøver. For å gå inn på et universitet eller bestå opptaksprøver i matematikk, må du vite hvordan du løser slike oppgaver riktig.

Dessverre er det ingen enkelt plan eller opplegg for å løse og bestemme ukjent verdi Det er ikke noe slikt som en logaritme, men du kan bruke den på enhver matematisk ulikhet eller logaritmisk ligning. visse regler. Først og fremst bør du finne ut om uttrykket kan forenkles eller føre til generelt utseende. Du kan forenkle lange logaritmiske uttrykk hvis du bruker egenskapene deres riktig. La oss bli kjent med dem raskt.

Når vi løser logaritmiske ligninger, må vi bestemme hvilken type logaritme vi har: et eksempeluttrykk kan inneholde en naturlig logaritme eller en desimal.

Her er eksempler ln100, ln1026. Løsningen deres koker ned til det faktum at de må bestemme kraften som basen 10 vil være lik henholdsvis 100 og 1026. For løsninger naturlige logaritmer du må bruke logaritmiske identiteter eller deres egenskaper. La oss se på eksempler på løsning av logaritmiske problemer av ulike typer.

Hvordan bruke logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så, la oss se på eksempler på bruk av grunnleggende teoremer om logaritmer.

Egenskapen til logaritmen til et produkt kan brukes i oppgaver der det er nødvendig å utvide veldig viktig tall b inn i enklere faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, ved å bruke den fjerde egenskapen til logaritmepotensen, klarte vi å løse et tilsynelatende komplekst og uløselig uttrykk. Du trenger bare å faktorisere basen og deretter ta eksponentverdiene ut av fortegnet til logaritmen.

Oppgaver fra Unified State-eksamenen

Logaritmer finnes ofte i Opptaksprøve, spesielt mange logaritmiske problemer i Unified State Exam ( Statlig eksamen for alle som går ut av skolen). Vanligvis er disse oppgavene til stede ikke bare i del A (den enkleste test del eksamen), men også i del C (de mest komplekse og omfangsrike oppgavene). Eksamenen krever nøyaktig og perfekt kunnskap om emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og løsninger på problemer er hentet fra offisielle Unified State Exam-alternativer. La oss se hvordan slike oppgaver løses.

Gitt logg 2 (2x-1) = 4. Løsning:
la oss omskrive uttrykket, forenkle det litt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definisjonen av logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.

Det er best å redusere alle logaritmer til samme base slik at løsningen ikke blir tungvint og forvirrende.
Alle uttrykk under logaritmetegnet er indikert som positive, og derfor, når eksponenten til et uttrykk som er under logaritmetegnet og som basen er tatt ut som en multiplikator, må uttrykket som blir igjen under logaritmen være positivt.

I denne videoopplæringen vil vi se på å løse en ganske seriøs logaritmisk ligning, der du ikke bare trenger å finne røttene, men også velge de som ligger på et gitt segment.

Oppgave C1. Løs ligningen. Finn alle røttene til denne ligningen som tilhører intervallet.

En merknad om logaritmiske ligninger

Men fra år til år kommer det studenter til meg som prøver å løse problemer som dette, ærlig talt, vanskelige ligninger, men samtidig kan de ikke forstå: hvor skal de i det hele tatt begynne og hvordan de skal nærme seg logaritmer? Dette problemet kan oppstå selv blant sterke, godt forberedte elever.

Som et resultat begynner mange å frykte dette emnet, eller til og med anser seg som dumme. Så husk: hvis du ikke kan løse en slik ligning, betyr ikke dette i det hele tatt at du er dum. Fordi du for eksempel kan håndtere denne ligningen nesten verbalt:

log 2 x = 4

Og hvis det ikke er slik, ville du ikke lest denne teksten nå, fordi du var opptatt med enklere og mer dagligdagse oppgaver. Selvfølgelig vil noen nå innvende: "Hva har denne enkleste ligningen å gjøre med vår sunne struktur?" Jeg svarer: enhver logaritmisk ligning, uansett hvor kompleks den måtte være, kommer til syvende og sist ned på disse enkleste strukturene som kan løses muntlig.

Selvfølgelig må man gå fra komplekse logaritmiske ligninger til enklere, ikke gjennom seleksjon eller dans med en tamburin, men etter klare, lenge definerte regler, som kalles - regler for konvertering av logaritmiske uttrykk. Når du kjenner dem, kan du enkelt håndtere selv de mest sofistikerte ligningene i Unified State Examination i matematikk.

Og det er disse reglene vi skal snakke om i dagens leksjon. Gå!

Løse den logaritmiske ligningen i oppgave C1

Så vi løser ligningen:

Først og fremst, når det gjelder logaritmiske ligninger, husker vi den grunnleggende taktikken – så å si den grunnleggende regelen for å løse logaritmiske ligninger. Den består av følgende:

Den kanoniske formsetningen. Enhver logaritmisk ligning, uansett hva den inkluderer, uansett hvilke logaritmer, uansett hvilken base, og uansett hva den inneholder, må nødvendigvis reduseres til en ligning av formen:

log a f (x) = log a g (x)

Hvis vi ser på ligningen vår, legger vi umiddelbart merke til to problemer:

Til venstre har vi summen av to tall, hvorav en ikke er en logaritme i det hele tatt.
Til høyre er det litt av en logaritme, men ved basen er det en rot. Og logaritmen til venstre er rett og slett 2, dvs. Basene til logaritmene til venstre og høyre er forskjellige.

Så vi har kommet opp med denne listen over problemer som skiller ligningen vår fra den. kanonisk ligning , som enhver logaritmisk ligning må reduseres til under løsningsprosessen. Dermed kommer det å løse ligningen vår på dette stadiet ned til å eliminere de to problemene beskrevet ovenfor.

Enhver logaritmisk ligning kan løses raskt og enkelt hvis du reduserer den til sin kanoniske form.

Sum av logaritmer og logaritme av produkt

La oss fortsette i rekkefølge. La oss først se på strukturen til venstre. Hva kan vi si om summen av to logaritmer? La oss huske den fantastiske formelen:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Men det er verdt å tenke på at i vårt tilfelle er det første leddet ikke en logaritme i det hele tatt. Dette betyr at vi må representere enheten som en logaritme til base 2 (nøyaktig 2, fordi logaritmen til base 2 er til venstre). Hvordan gjøre det? La oss igjen huske den fantastiske formelen:

a = log b b a

Her må du forstå: når vi sier "Hvilken som helst base b", mener vi at b fortsatt ikke kan være et vilkårlig tall. Hvis vi setter inn et tall i en logaritme, sikkert begrensninger, nemlig: basen til logaritmen må være større enn 0 og må ikke være lik 1. Ellers gir logaritmen rett og slett ikke mening. La oss skrive dette ned:

0 < b ≠ 1

La oss se hva som skjer i vårt tilfelle:

1 = logg 2 2 1 = logg 2 2

La oss nå omskrive hele ligningen vår og ta hensyn til dette faktum. Og vi bruker umiddelbart en annen regel: summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet av argumentene. Som et resultat får vi:

Vi har en ny ligning. Som vi ser, er det allerede mye nærmere den kanoniske ligningen som vi streber etter. Men det er ett problem, vi skrev det ned som det andre punktet: logaritmene våre, som er til venstre og høyre, ulike årsaker . La oss gå videre til neste trinn.

Regler for å trekke potenser fra logaritmen

Så logaritmen til venstre har en base på bare 2, og logaritmen til høyre har en rot ved basen. Men dette er ikke et problem hvis vi husker at grunnlaget for logaritmenes argumenter kan heves til potenser. La oss skrive ned en av disse reglene:

log a b n = n log a b

Oversatt til menneskelig språk: du kan ta kraften ut av basen til logaritmen og sette den foran som en multiplikator. Tallet n "migrerte" fra logaritmen utover og ble en koeffisient foran.

Vi kan like gjerne utlede potensen fra basen til logaritmen. Det vil se slik ut:

Med andre ord, hvis du fjerner graden fra argumentet til logaritmen, skrives denne graden også som en faktor før logaritmen, men ikke som et tall, men som gjensidig nummer 1/k.

Det er imidlertid ikke alt! Vi kan kombinere disse to formlene og komme opp med følgende formel:

Når en potens vises i både grunntall og argument for en logaritme, kan vi spare tid og forenkle beregninger ved umiddelbart å ta potensene ut av både grunntallet og argumentet. I dette tilfellet vil det som var i argumentet (i vårt tilfelle er dette koeffisienten n) vises i telleren. Og hva som var graden ved basen, en k, vil gå til nevneren.

Og det er disse formlene vi nå skal bruke for å redusere logaritmene våre til samme base.

Først av alt, la oss velge en mer eller mindre vakker base. Det er åpenbart mye mer behagelig å jobbe med en toer i bunnen enn med en rot. Så la oss prøve å redusere den andre logaritmen til base 2. La oss skrive denne logaritmen separat:

Hva kan vi gjøre her? La oss huske potensformelen med en rasjonell eksponent. Vi kan med andre ord skrive røttene som en potens med en rasjonell eksponent. Og så tar vi potensen 1/2 ut av både argumentet og basen til logaritmen. Vi reduserer toerne i koeffisientene i telleren og nevneren som vender mot logaritmen:

Til slutt, la oss omskrive den opprinnelige ligningen under hensyntagen til de nye koeffisientene:

log 2 2(9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

Vi har fått den kanoniske logaritmiske ligningen. Både til venstre og til høyre har vi en logaritme til samme grunntall 2. Utenom disse logaritmene er det ingen koeffisienter, ingen ledd verken til venstre eller høyre.

Følgelig kan vi kvitte oss med tegnet til logaritmen. Selvfølgelig, med tanke på definisjonsdomenet. Men før vi gjør det, la oss gå tilbake og gjøre en liten avklaring om brøker.

Å dele en brøk med en brøk: Ytterligere hensyn

Ikke alle elever forstår hvor faktorene foran høyre logaritme kommer fra og hvor de går. La oss skrive det ned igjen:

La oss finne ut hva en brøk er. La oss skrive ned:

La oss nå huske regelen for å dele brøker: for å dele med 1/2 må du multiplisere med den inverterte brøken:

For enkelhets skyld for videre beregninger kan vi selvfølgelig skrive to som 2/1 - og dette er det vi observerer som den andre koeffisienten i løsningsprosessen.

Jeg håper nå alle forstår hvor den andre koeffisienten kommer fra, så la oss gå direkte til å løse vår kanoniske logaritmiske ligning.

Bli kvitt logaritmetegnet

La meg minne deg på at nå kan vi bli kvitt logaritmene og la følgende uttrykk ligge:

2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

La oss åpne parentesene til venstre. Vi får:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

La oss flytte alt fra venstre side til høyre:

8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0

La oss ta med lignende og få:

8x 4 − 18x 2 + 4 = 0

Vi kan dele begge sider av denne ligningen med 2 for å forenkle koeffisientene, og vi får:

4x 4 − 9x 2 + 2 = 0

Foran oss er det vanlige biquadratisk ligning, og dens røtter beregnes lett gjennom diskriminanten. Så la oss skrive ned diskriminanten:

D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49

Flott, diskriminanten er "vakker", roten til det er 7. Det er det, la oss telle X-ene selv. Men i dette tilfellet vil røttene ikke være x, men x 2, fordi vi har en biquadratisk ligning. Så våre alternativer:

Vær oppmerksom på at vi hentet ut røttene, så det vil være to svar, fordi... torget - jevn funksjon. Og hvis vi bare skriver roten av to, mister vi rett og slett den andre roten.

Nå skriver vi den andre roten til vår biquadratiske ligning:

Igjen trekker vi ut aritmetikken Kvadratrot fra begge sider av ligningen vår får vi to røtter. Husk imidlertid:

Det er ikke nok å bare sette likhetstegn mellom logaritmenes argumenter i kanonisk form. Husk definisjonsdomenet!

Totalt fikk vi fire røtter. Alle av dem er faktisk løsninger på vår opprinnelige ligning. Ta en titt: i vår opprinnelige logaritmiske ligning er logaritmene enten 9x 2 + 5 (denne funksjonen er alltid positiv) eller 8x 4 + 14 - som også alltid er positiv. Derfor er definisjonsdomenet til logaritmer oppfylt uansett, uansett hvilken rot vi får, noe som betyr at alle fire røttene er løsninger på ligningen vår.

Flott, la oss nå gå videre til den andre delen av problemet.

Valg av røtter til en logaritmisk ligning på et segment

Fra våre fire røtter velger vi de som ligger på segmentet [−1; 8/9]. Vi går tilbake til røttene våre, og nå skal vi utføre utvalget deres. Til å begynne med foreslår jeg å tegne en koordinatakse og markere endene av segmentet på den:

Begge punktene vil være skyggelagt. De. I henhold til betingelsene for problemet er vi interessert i det skyggelagte segmentet. La oss nå se på røttene.

Irrasjonelle røtter

La oss starte med irrasjonelle røtter. Merk at 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Det følger av dette at roten av to ikke faller inn i segmentet som er av interesse for oss. På samme måte vil vi oppnå med en negativ rot: den er mindre enn −1, det vil si at den ligger til venstre for segmentet som er av interesse for oss.

Rasjonelle røtter

Det er to røtter igjen: x = 1/2 og x = −1/2. La oss legge merke til at den venstre enden av segmentet (−1) er negativ, og den høyre enden (8/9) er positiv. Et sted mellom disse endene ligger derfor tallet 0. Roten x = −1/2 vil være mellom −1 og 0, dvs. vil ende opp i det endelige svaret. Vi gjør det samme med roten x = 1/2. Denne roten ligger også på segmentet som vurderes.

Du kan sørge for at 8/9 er større enn 1/2. La oss trekke disse tallene fra hverandre:

Vi fikk brøken 7/18 > 0, som per definisjon betyr at 8/9 > 1/2.

La oss markere de riktige røttene på koordinataksen:

Det endelige svaret vil være to røtter: 1/2 og −1/2.

Sammenligning av irrasjonelle tall: en universell algoritme

Avslutningsvis vil jeg nok en gang komme tilbake til irrasjonelle tall. Ved å bruke deres eksempel skal vi nå se på hvordan man sammenligner rasjonelle og irrasjonelle størrelser i matematikk. Til å begynne med er det en slik hake mellom dem V - et "mer" eller "mindre" tegn, men vi vet ennå ikke i hvilken retning det er rettet. La oss skrive ned:

Hvorfor trenger vi noen sammenligningsalgoritmer i det hele tatt? Faktum er at i dette problemet var vi veldig heldige: i ferd med å løse oppsto deling nummer 1, som vi definitivt kan si om:

Du vil imidlertid ikke alltid se et slikt tall med en gang. Så la oss prøve å sammenligne tallene våre direkte.

Hvordan gjøres det? Vi gjør det samme som med vanlige ulikheter:

Først, hvis vi hadde et sted negative koeffisienter, så ville vi multiplisert begge sider av ulikheten med −1. Selvfølgelig endre skiltet. Dette hakemerket V ville endret til dette - Λ.
Men i vårt tilfelle er begge sider allerede positive, så det er ikke nødvendig å endre noe. Det som virkelig trengs er kvadrat begge sider for å bli kvitt det radikale.

Hvis det, når du sammenligner irrasjonelle tall, ikke umiddelbart er mulig å velge delingselementet, anbefaler jeg å utføre en slik sammenligning "head-on" - og beskrive den som en vanlig ulikhet.

Når du løser det, er det formalisert slik:

Nå er alt enkelt å sammenligne. Poenget er at 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

Det er det, vi har fått strenge bevis på at alle tall er merket på talllinjen x riktig og nøyaktig i den rekkefølgen de egentlig skal være. Ingen vil finne feil med denne løsningen, så husk: hvis du ikke umiddelbart ser deletallet (i vårt tilfelle er det 1), så skriv gjerne ut konstruksjonen ovenfor, multipliser, kvadrere den - og til slutt vil du få en vakker ulikhet. Fra denne ulikheten vil det være klart hvilket tall som er større og hvilket som er mindre.

For å komme tilbake til problemet vårt, vil jeg igjen gjøre oppmerksom på hva vi gjorde helt i begynnelsen da vi løste ligningen vår. Nemlig: vi tok en nærmere titt på vår opprinnelige logaritmiske ligning og prøvde å redusere den til kanonisk logaritmisk ligning. Der det kun er logaritmer til venstre og høyre - uten tilleggsledd, koeffisienter foran osv. Vi trenger ikke to logaritmer basert på a eller b, men en logaritme lik en annen logaritme.

I tillegg må basene til logaritmene også være like. Dessuten, hvis ligningen er kompilert riktig, vil vi ved hjelp av elementære logaritmiske transformasjoner (summen av logaritmer, konvertering av et tall til en logaritme, etc.) redusere denne ligningen til den kanoniske.

Derfor, fra nå av, når du ser en logaritmisk ligning som ikke kan løses med en gang, bør du ikke gå deg vill eller prøve å finne ut svaret. Alt du trenger å gjøre er å følge disse trinnene:

Konverter alle frie elementer til en logaritme;
Legg deretter til disse logaritmene;
Reduser alle logaritmene til samme base i den resulterende konstruksjonen.

Som et resultat får du en enkel ligning som kan løses grunnleggende virkemidler algebra fra 8.-9. klasse materialer. Generelt, gå til nettstedet mitt, øv på å løse logaritmer, løs logaritmiske ligninger som meg, løs dem bedre enn meg. Og det er alt for meg. Pavel Berdov var med deg. Ser deg igjen!

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Personopplysningene vi samler inn gjør at vi kan kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettssaker, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Logaritmiske uttrykk, løse eksempler. I denne artikkelen skal vi se på problemer knyttet til å løse logaritmer. Oppgavene stiller spørsmålet om å finne meningen med et uttrykk. Det skal bemerkes at begrepet logaritme brukes i mange oppgaver, og å forstå betydningen er ekstremt viktig. Når det gjelder Unified State Exam, brukes logaritmen ved løsning av ligninger, i anvendte problemer, og også i oppgaver knyttet til studiet av funksjoner.

La oss gi eksempler for å forstå selve betydningen av logaritmen:

Grunnleggende logaritmisk identitet:

Egenskaper til logaritmer som alltid må huskes:

*Logaritme av produktet lik summen logaritmer av faktorer.

* * *

*Logaritmen til en kvotient (brøk) er lik forskjellen mellom logaritmene til faktorene.

* * *

*Logaritme av grad lik produktet eksponent ved logaritmen til basen.

* * *

*Overgang til ny stiftelse

* * *

Flere eiendommer:

* * *

Beregningen av logaritmer er nært knyttet til bruken av egenskaper til eksponenter.

La oss liste noen av dem:

Essensen av denne eiendommen ligger i det faktum at når man overfører telleren til nevneren og omvendt, endres fortegnet til eksponenten til det motsatte. For eksempel:

En konsekvens fra denne egenskapen:

* * *

Når du hever en potens til en potens, forblir basen den samme, men eksponentene multipliseres.

* * *

Som du har sett, er selve konseptet med en logaritme enkelt. Hovedsaken er at du trenger god øvelse, som gir deg en viss ferdighet. Det kreves selvfølgelig kunnskap om formler. Hvis ferdighetene i å konvertere elementære logaritmer ikke er utviklet, kan du lett gjøre en feil når du løser enkle oppgaver.

Øv, løs de enkleste eksemplene fra matematikkkurset først, fortsett så til mer komplekse. I fremtiden vil jeg definitivt vise hvordan "stygge" logaritmer er løst disse vil ikke vises på Unified State Examination, men de er av interesse, ikke gå glipp av dem!

Det er alt! Lykke til!

Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller meg om nettstedet på sosiale nettverk.

Hva er en logaritme?

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Hva er en logaritme? Hvordan løse logaritmer? Disse spørsmålene forvirrer mange nyutdannede. Tradisjonelt anses temaet logaritmer som komplekst, uforståelig og skummelt. Spesielt ligninger med logaritmer.

Dette er absolutt ikke sant. Absolutt! Tro meg ikke? Fint. Nå, på bare 10 - 20 minutter:

1. Forstå hva er en logaritme.

2. Lær å løse en hel klasse eksponentielle ligninger. Selv om du ikke har hørt noe om dem.

3. Lær å regne ut enkle logaritmer.

Dessuten, for dette trenger du bare å vite multiplikasjonstabellen og hvordan du hever et tall til en potens ...

Jeg føler at du er i tvil... Vel, ok, merk tiden! Gå!

Først, løs denne ligningen i hodet ditt: