Det som kalles logaritmen til et tall. Logaritmiske uttrykk

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Personopplysningene vi samler inn gjør at vi kan kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

log a r b r =log a b eller logg a b= logg a r b r

Verdien av logaritmen vil ikke endres hvis basen til logaritmen og tallet under logaritmetegnet heves til samme potens.

Under logaritmetegnet kan det bare være positive tall, og basen til logaritmen er ikke lik én.

Eksempler.

1) Sammenlign log 3 9 og log 9 81.

log 3 9=2, siden 3 2 =9;

log 9 81=2, siden 9 2 =81.

Så log 3 9 = log 9 81.

Legg merke til at grunnflaten til den andre logaritmen er lik kvadratet til grunnflaten til den første logaritmen: 9=3 2, og tallet under tegnet til den andre logaritmen er lik kvadratet til tallet under tegnet til den første. logaritme: 81=9 2. Det viser seg at både tallet og bunnen av den første logaritmelogg 3 9 ble hevet til andre potens, og verdien av logaritmen endret seg ikke:

Neste, siden trekke ut roten n grad blant EN er heving av et tall EN til en viss grad ( 1/n), så fra log 9 81 kan du få log 3 9 ved å ta kvadratroten av tallet og basen av logaritmen:

2) Sjekk likhet: log 4 25=log 0,5 0,2.

La oss se på den første logaritmen. La oss trekke ut Kvadratrot fra basen 4 og blant 25 ; vi får: log 4 25=log 2 5.

La oss se på den andre logaritmen. Logaritmegrunnlag: 0,5= 1/2. Tallet under tegnet til denne logaritmen: 0,2= 1/5. La oss heve hvert av disse tallene til minus første potens:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Så log 0,5 0,2=log 2 5. Konklusjon: denne likheten er sann.

Løs ligningen:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). La oss redusere logaritmer fra venstre til basen 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Ta kvadratroten av tallet og grunnflaten til den første logaritmen. Trekk ut den fjerde roten av tallet og basen til den andre logaritmen.

log 2 (3x 2) = log 2 (5x+2). Konverter summen av logaritmene til logaritmen til produktet.

3x2 =5x+2. Mottatt etter potensering.

3x 2 -5x-2=0. La oss bestemme kvadratisk ligning Av generell formel for en fullstendig andregradsligning:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=72 >0; 2 ekte røtter.

Undersøkelse.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

logg a n b=(1/ n)∙ logg a b

Logaritme av et tall b basert på en n lik produktet brøker 1/ n til logaritmen til et tall b basert på en.

Finne:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , hvis det er kjent det log 2 3=b,log 5 2=c.

Løsning.

Løs ligninger:

1) logg 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Løsning.

La oss redusere disse logaritmene til base 2. Bruk formelen: logg a n b=(1/ n)∙ logg a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. Her er lignende termer:

(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

log 2 x=3. Per definisjon av logaritme:

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.

Løsning. La oss konvertere logaritmen til base 16 til base 4.

0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. La oss konvertere summen av logaritmene til logaritmen til produktet.

log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Per definisjon av logaritme:

x 2 -5x+4=0. I følge Vietas teorem:

x 1 = 1; x 2 = 4. Den første verdien av x vil ikke fungere, siden ved x = 1 eksisterer ikke logaritmene til denne likheten, fordi Bare positive tall kan stå under logaritmetegnet.

La oss sjekke denne ligningen ved x=4.

Undersøkelse.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logaritme av et tall b basert på EN lik logaritmen tall b på nytt grunnlag Med, delt på logaritmen til den gamle basen EN på nytt grunnlag Med.

Eksempler:

1) log 2 3=lg3/lg2;

2) logg 8 7=ln7/ln8.

Regne ut:

1) logg 5 7, hvis det er kjent det lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / Logg c en.

log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Svar: logg 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) logg 5 7 , hvis det er kjent det ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Løsning. Bruk formelen: log a b =log c b / Logg c en.

log 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

Svar: logg 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Finn x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Vi bruker formelen: log c b / Logg c a = logg a b . Vi får:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192.

2) logg 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Vi bruker formelen: log c b / Logg c a = logg a b. Vi får:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lgll+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Side 1 av 1 1

De grunnleggende egenskapene til den naturlige logaritmen, grafen, definisjonsdomene, verdisett, grunnleggende formler, derivert, integral, potensserieutvidelse og representasjon av funksjonen ln x ved bruk av komplekse tall er gitt.

Definisjon

Naturlig logaritme er funksjonen y = ln x, den inverse av eksponentialen, x = e y, og er logaritmen til grunntallet for tallet e: ln x = log e x.

Den naturlige logaritmen er mye brukt i matematikk fordi dens deriverte har den enkleste formen: (ln x)′ = 1/ x.

Basert definisjoner, er basisen til den naturlige logaritmen tallet e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf for funksjonen y = ln x.

Graf av naturlig logaritme (funksjoner y = ln x) er hentet fra den eksponentielle grafen ved speilrefleksjon i forhold til den rette linjen y = x.

Den naturlige logaritmen er definert ved positive verdier variabel x.

Den øker monotont i sitt definisjonsdomene. 0 Ved x →

grensen for den naturlige logaritmen er minus uendelig (-∞). Som x → + ∞ er grensen for den naturlige logaritmen pluss uendelig (+ ∞). For stor x øker logaritmen ganske sakte. Noen strømfunksjon

x a med en positiv eksponent a vokser raskere enn logaritmen.

Egenskaper til den naturlige logaritmen

Definisjonsdomene, sett med verdier, ekstrema, økning, reduksjon

Den naturlige logaritmen er en monotont økende funksjon, så den har ingen ekstrema. Hovedegenskapene til den naturlige logaritmen er presentert i tabellen.

ln x verdier

ln 1 = 0

Grunnleggende formler for naturlige logaritmer

Formler som følger av definisjonen av den inverse funksjonen:

Hovedegenskapen til logaritmer og dens konsekvenser

Formel for baseerstatning

Enhver logaritme kan uttrykkes i form av naturlige logaritmer ved å bruke basesubstitusjonsformelen:

Bevis på disse formlene er presentert i delen "Logaritme".

Invers funksjon

Den inverse av den naturlige logaritmen er eksponenten.

Hvis da

Hvis da.

Derivat ln x
.
Derivert av den naturlige logaritmen:
.
Derivert av den naturlige logaritmen til modul x:
.
Derivert av n-te orden:

Utlede formler > > >

Integral
.
Integralet beregnes ved integrasjon av deler:

Så,

Uttrykk som bruker komplekse tall
.
Tenk på funksjonen til den komplekse variabelen z: La oss uttrykke den komplekse variabelen z via modul r φ :
.
og argumentasjon
.
Ved å bruke egenskapene til logaritmen har vi:
.
Eller
Argumentet φ er ikke unikt definert. Hvis du setter
, hvor n er et heltall,

det vil være det samme tallet for forskjellige n.

Derfor er den naturlige logaritmen, som funksjon av en kompleks variabel, ikke en funksjon med én verdi.

Power serie utvidelse

Når utvidelsen finner sted:
Referanser:

Som du vet, når du multipliserer uttrykk med potenser, summeres deres eksponenter alltid (a b *a c = a b+c). Denne matematiske loven ble utledet av Arkimedes, og senere, på 800-tallet, laget matematikeren Virasen en tabell med heltallseksponenter. Det var de som tjente for videre oppdagelse av logaritmer. Eksempler på bruk av denne funksjonen finner du nesten overalt hvor du trenger å forenkle tungvint multiplikasjon med enkel addisjon. Hvis du bruker 10 minutter på å lese denne artikkelen, vil vi forklare deg hva logaritmer er og hvordan du kan jobbe med dem. I et enkelt og tilgjengelig språk.

Definisjon i matematikk

En logaritme er et uttrykk for følgende form: log a b=c, det vil si logaritmen til ethvert ikke-negativt tall (det vil si ethvert positivt) "b" til grunntallet "a" anses å være potensen "c" ” som det er nødvendig å heve grunntallet “a” til for til slutt å få verdien “b”. La oss analysere logaritmen ved å bruke eksempler, la oss si at det er et uttrykk log 2 8. Hvordan finne svaret? Det er veldig enkelt, du må finne en potens slik at fra 2 til den nødvendige effekten får du 8. Etter å ha gjort noen beregninger i hodet ditt, får vi tallet 3! Og det er sant, fordi 2 i potens av 3 gir svaret som 8.

Typer logaritmer

For mange elever og studenter virker dette emnet komplisert og uforståelig, men faktisk er logaritmer ikke så skumle, det viktigste er å forstå deres generelle betydning og huske egenskapene deres og noen regler. Det er tre separate typer logaritmiske uttrykk:

Naturlig logaritme ln a, hvor grunntall er Euler-tallet (e = 2,7).
Desimal a, der grunntall er 10.
Logaritme av et hvilket som helst tall b til grunntall a>1.

Hver av dem løses på en standard måte, inkludert forenkling, reduksjon og påfølgende reduksjon til en enkelt logaritme ved hjelp av logaritmiske teoremer. For å få de riktige verdiene til logaritmer, bør du huske egenskapene deres og handlingssekvensen når du løser dem.

Regler og noen restriksjoner

I matematikk er det flere regler-begrensninger som aksepteres som et aksiom, det vil si at de ikke er gjenstand for diskusjon og er sannheten. For eksempel er det umulig å dele tall med null, og det er også umulig å trekke ut en partall rot fra negative tall. Logaritmer har også sine egne regler, og etter disse kan du enkelt lære å jobbe selv med lange og romslige logaritmiske uttrykk:

Grunnlaget "a" må alltid være større enn null, og ikke lik 1, ellers vil uttrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i en hvilken som helst grad alltid er lik verdiene deres;
hvis a > 0, så a b >0, viser det seg at "c" også må være større enn null.

Hvordan løse logaritmer?

For eksempel er oppgaven gitt å finne svaret på ligningen 10 x = 100. Dette er veldig enkelt, du må velge en potens ved å heve tallet ti som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 = 100.

La oss nå representere dette uttrykket i logaritmisk form. Vi får log 10 100 = 2. Ved løsning av logaritmer konvergerer praktisk talt alle handlinger for å finne potensen som det er nødvendig å legge inn basisen til logaritmen til for å få et gitt tall.

For nøyaktig å bestemme verdien av en ukjent grad, må du lære å jobbe med en tabell over grader. Det ser slik ut:

Som du kan se, kan noen eksponenter gjettes intuitivt hvis du har et teknisk sinn og kunnskap om multiplikasjonstabellen. Men for store verdier du trenger en tabell over grader. Den kan brukes selv av de som ikke vet noe om kompleks matematiske emner. Den venstre kolonnen inneholder tall (grunntall a), den øverste raden med tall er verdien av potensen c som tallet a er hevet til. I skjæringspunktet inneholder cellene tallverdiene som er svaret (a c =b). La oss for eksempel ta den aller første cellen med tallet 10 og kvadrere den, vi får verdien 100, som er indikert i skjæringspunktet mellom våre to celler. Alt er så enkelt og lett at selv den mest sanne humanist vil forstå!

Ligninger og ulikheter

Det viser seg at under visse forhold er eksponenten logaritmen. Derfor kan alle matematiske numeriske uttrykk skrives som en logaritmisk likhet. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som base 3-logaritmen av 81 lik fire (log 3 81 = 4). Til negative krefter reglene er de samme: 2 -5 = 1/32 vi skriver det som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. En av de mest fascinerende delene av matematikken er temaet "logaritmer". Vi skal se på eksempler og løsninger på ligninger nedenfor, umiddelbart etter å ha studert egenskapene deres. La oss nå se på hvordan ulikheter ser ut og hvordan vi kan skille dem fra ligninger.

Følgende uttrykk er gitt: log 2 (x-1) > 3 - det er en logaritmisk ulikhet, siden den ukjente verdien "x" er under det logaritmiske tegnet. Og også i uttrykket sammenlignes to mengder: logaritmen til ønsket tall til base to er større enn tallet tre.

Den viktigste forskjellen mellom logaritmiske ligninger og ulikheter er at ligninger med logaritmer (eksempel - logaritme 2 x = √9) innebærer ett eller flere spesifikke svar numeriske verdier, mens ved løsning av ulikhetene er definert som regionen akseptable verdier, og bruddpunktene for denne funksjonen. Som en konsekvens er svaret ikke et enkelt sett med individuelle tall, som i svaret på en ligning, men en kontinuerlig serie eller sett med tall.

Grunnleggende teoremer om logaritmer

Når du løser primitive oppgaver for å finne verdiene til logaritmen, er det ikke sikkert dens egenskaper er kjent. Men når det gjelder logaritmiske ligninger eller ulikheter, er det først og fremst nødvendig å forstå og anvende i praksis alle de grunnleggende egenskapene til logaritmer. Vi skal se på eksempler på ligninger senere, la oss først se nærmere på hver egenskap.

Hovedidentiteten ser slik ut: a logaB =B. Det gjelder bare når a er større enn 0, ikke lik én, og B er større enn null.
Logaritmen til produktet kan representeres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfellet er den obligatoriske betingelsen: d, s 1 og s 2 > 0; a≠1. Du kan gi et bevis for denne logaritmiske formelen, med eksempler og løsning. La log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2, så a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi får at s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (egenskapene til grader ), og da per definisjon: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, som er det som måtte bevises.
Logaritmen til kvotienten ser slik ut: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teoremet i form av en formel tar på neste visning: log a q b n = n/q log a b.

Denne formelen kalles "egenskapen til graden av logaritme." Det ligner egenskapene til vanlige grader, og det er ikke overraskende, fordi all matematikk er basert på naturlige postulater. La oss se på beviset.

La log a b = t, viser det seg a t =b. Hvis vi hever begge deler til potensen m: a tn = b n ;

men siden a tn = (a q) nt/q = b n, log derfor a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Teoremet er bevist.

Eksempler på problemer og ulikheter

De vanligste typene problemer på logaritmer er eksempler på likninger og ulikheter. De finnes i nesten alle oppgavebøker, og er også en obligatorisk del av matematikkprøver. For å gå inn på et universitet eller bestå opptaksprøver i matematikk, må du vite hvordan du løser slike oppgaver riktig.

Dessverre er det ingen enkelt plan eller opplegg for å løse og bestemme ukjent verdi Det er ikke noe slikt som en logaritme, men du kan bruke den på enhver matematisk ulikhet eller logaritmisk ligning. visse regler. Først og fremst bør du finne ut om uttrykket kan forenkles eller føre til generelt utseende. Du kan forenkle lange logaritmiske uttrykk hvis du bruker egenskapene deres riktig. La oss bli kjent med dem raskt.

Når vi løser logaritmiske ligninger, må vi bestemme hvilken type logaritme vi har: et eksempeluttrykk kan inneholde en naturlig logaritme eller en desimal.

Her er eksempler ln100, ln1026. Løsningen deres koker ned til det faktum at de må bestemme kraften som basen 10 vil være lik henholdsvis 100 og 1026. For løsninger naturlige logaritmer du må bruke logaritmiske identiteter eller deres egenskaper. La oss se på eksempler på løsning av logaritmiske problemer av ulike typer.

Hvordan bruke logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så, la oss se på eksempler på bruk av grunnleggende teoremer om logaritmer.

Egenskapen til logaritmen til et produkt kan brukes i oppgaver der det er nødvendig å utvide veldig viktig tall b inn i enklere faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, ved å bruke den fjerde egenskapen til logaritmepotensen, klarte vi å løse et tilsynelatende komplekst og uløselig uttrykk. Du trenger bare å faktorisere basen og deretter ta eksponentverdiene ut av fortegnet til logaritmen.

Oppgaver fra Unified State-eksamenen

Logaritmer finnes ofte i Opptaksprøve, spesielt mange logaritmiske problemer i Unified State Exam (statlig eksamen for alle skolekandidater). Vanligvis er disse oppgavene til stede ikke bare i del A (den enkleste test del eksamen), men også i del C (de mest komplekse og omfangsrike oppgavene). Eksamenen krever nøyaktig og perfekt kunnskap om emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og løsninger på problemer er hentet fra offisielle Unified State Exam-alternativer. La oss se hvordan slike oppgaver løses.

Gitt logg 2 (2x-1) = 4. Løsning:
la oss omskrive uttrykket, forenkle det litt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definisjonen av logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.

Det er best å redusere alle logaritmer til samme base slik at løsningen ikke blir tungvint og forvirrende.
Alle uttrykk under logaritmetegnet er indikert som positive, og derfor, når eksponenten til et uttrykk som er under logaritmetegnet og som basen er tatt ut som en multiplikator, må uttrykket som blir igjen under logaritmen være positivt.

Etter hvert som samfunnet utviklet seg og produksjonen ble mer kompleks, utviklet også matematikken seg. Bevegelse fra enkelt til komplekst. Fra vanlig regnskap ved bruk av addisjons- og subtraksjonsmetoden, med deres gjentatte repetisjon, kom vi til begrepet multiplikasjon og divisjon. Å redusere den gjentatte operasjonen av multiplikasjon ble begrepet eksponentiering. De første tabellene over talls avhengighet av basen og antall eksponentiering ble kompilert tilbake på 800-tallet av den indiske matematikeren Varasena. Fra dem kan du telle tidspunktet for forekomsten av logaritmer.

Historisk skisse

Gjenopplivingen av Europa på 1500-tallet stimulerte også utviklingen av mekanikk. T krevde mye beregning knyttet til multiplikasjon og divisjon av flersifrede tall. De gamle bordene var til god service. De tillot utskifting komplekse operasjoner til enklere - addisjon og subtraksjon. Et stort skritt fremover var arbeidet til matematikeren Michael Stiefel, publisert i 1544, der han realiserte ideen til mange matematikere. Dette gjorde det mulig å bruke tabeller ikke bare for grader i skjemaet primtall, men også for vilkårlige rasjonelle.

I 1614 introduserte skotten John Napier, som utviklet disse ideene, det nye begrepet «logaritme av et tall». Ny komplekse tabeller for beregning av logaritmer av sinus og cosinus, samt tangenter. Dette reduserte astronomenes arbeid kraftig.

Nye tabeller begynte å dukke opp, som ble brukt av forskere i tre århundrer. Det gikk mye tid før den nye operasjonen i algebra fikk sin ferdige form. Definisjonen av logaritmen ble gitt og dens egenskaper ble studert.

Først på 1900-tallet, med fremkomsten av kalkulatoren og datamaskinen, forlot menneskeheten de eldgamle tabellene som hadde fungert vellykket gjennom det 13. århundre.

I dag kaller vi logaritmen til b for å basere a tallet x som er potensen til a for å lage b. Dette skrives som en formel: x = log a(b).

For eksempel vil log 3(9) være lik 2. Dette er åpenbart hvis du følger definisjonen. Hvis vi hever 3 i potensen 2, får vi 9.

Dermed setter den formulerte definisjonen kun én begrensning: tallene a og b må være reelle.

Typer logaritmer

Den klassiske definisjonen kalles den reelle logaritmen og er egentlig løsningen på ligningen a x = b. Alternativ a = 1 er borderline og er ikke av interesse. Oppmerksomhet: 1 til enhver potens er lik 1.

Virkelig verdi av logaritmen definert bare når grunntallet og argumentet er større enn 0, og grunntallet ikke må være lik 1.

Spesiell plass innen matematikk spill logaritmer, som vil bli navngitt avhengig av størrelsen på basen deres:

Regler og begrensninger

Den grunnleggende egenskapen til logaritmer er regelen: logaritmen til et produkt er lik den logaritmiske summen. log abp = log a(b) + log a(p).

Som en variant av dette utsagnet vil det være: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvotientfunksjonen er lik forskjellen mellom funksjonene.

Fra de to foregående reglene er det lett å se at: log a(b p) = p * log a(b).

Andre eiendommer inkluderer:

Kommentar. Ikke gjør en vanlig feil - logaritmen til summen er det ikke lik summen logaritmer.

I mange århundrer var operasjonen med å finne en logaritme en ganske tidkrevende oppgave. Matematikere brukte den velkjente formelen til den logaritmiske teorien om polynomutvidelse:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), hvor n - naturlig tall større enn 1, som bestemmer nøyaktigheten av beregningen.

Logaritmer med andre baser ble beregnet ved å bruke teoremet om overgangen fra en base til en annen og egenskapen til logaritmen til produktet.

Siden denne metoden er svært arbeidskrevende og når man løser praktiske problemer vanskelig å implementere brukte vi forhåndskompilerte tabeller med logaritmer, noe som gjorde alt arbeidet betydelig raskere.

I noen tilfeller ble det brukt spesialdesignede grafer av logaritmer, som ga mindre nøyaktighet, men satte betydelig fart på søket etter ønsket verdi. Kurven til funksjonen y = log a(x), konstruert over flere punkter, lar deg bruke en vanlig linjal for å finne verdien av funksjonen på et hvilket som helst annet punkt. Ingeniører lang tid Til disse formålene ble det brukt såkalt millimeterpapir.

På 1600-tallet dukket de første ekstra analoge databehandlingsforholdene opp, som 1800-tallet fått et ferdig utseende. Den mest vellykkede enheten ble kalt lysbilderegelen. Til tross for enkelheten til enheten, akselererte utseendet betydelig prosessen med alle tekniske beregninger, og dette er vanskelig å overvurdere. For øyeblikket er det få som er kjent med denne enheten.

Fremkomsten av kalkulatorer og datamaskiner gjorde bruken av andre enheter meningsløs.

Ligninger og ulikheter

For å løse ulike ligninger og ulikheter ved hjelp av logaritmer, brukes følgende formler:

Overgang fra en base til en annen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Som en konsekvens av det forrige alternativet: log a(b) = 1 / log b(a).

For å løse ulikheter er det nyttig å vite:

Verdien av logaritmen vil bare være positiv hvis basen og argumentet begge er større eller mindre enn én; hvis minst én betingelse brytes, vil logaritmeverdien være negativ.
Hvis logaritmefunksjonen brukes på høyre og venstre side av en ulikhet, og basen til logaritmen er større enn én, så beholdes tegnet på ulikheten; ellers endres det.

Prøveproblemer

La oss vurdere flere alternativer for bruk av logaritmer og deres egenskaper. Eksempler på å løse ligninger:

Vurder muligheten for å plassere logaritmen i en potens:

Oppgave 3. Regn ut 25^log 5(3). Løsning: under betingelsene for problemet ligner oppføringen på følgende (5^2)^log5(3) eller 5^(2 * log 5(3)). La oss skrive det annerledes: 5^log 5(3*2), eller kvadratet av et tall som funksjonsargument kan skrives som kvadratet til selve funksjonen (5^log 5(3))^2. Ved å bruke egenskapene til logaritmer er dette uttrykket lik 3^2. Svar: Som et resultat av beregningen får vi 9.

Praktisk bruk

Å være et rent matematisk verktøy, virker det langt fra det virkelige liv at logaritmen plutselig fikk stor betydning for å beskrive objekter virkelige verden. Det er vanskelig å finne en vitenskap der den ikke brukes. Dette gjelder fullt ut ikke bare for naturlige, men også for humanitære kunnskapsfelt.

Logaritmiske avhengigheter

Her er noen eksempler på numeriske avhengigheter:

Mekanikk og fysikk

Historisk har mekanikk og fysikk alltid utviklet seg ved hjelp av matematiske metoder forskning og fungerte samtidig som et insentiv for utvikling av matematikk, inkludert logaritmer. Teorien om de fleste fysikkens lover er skrevet på matematikkens språk. La oss bare gi to eksempler på å beskrive fysiske lover ved hjelp av logaritmen.

Problemet med å beregne en så kompleks mengde som hastigheten til en rakett kan løses ved å bruke Tsiolkovsky-formelen, som la grunnlaget for teorien om romutforskning:

V = I * ln (M1/M2), hvor

V er den endelige hastigheten til flyet.
I – spesifikk impuls av motoren.
M 1 – startmassen til raketten.
M 2 – sluttmasse.

Et annet viktig eksempel- dette brukes i formelen til en annen stor vitenskapsmann Max Planck, som tjener til å evaluere likevektstilstanden i termodynamikk.

S = k * ln (Ω), hvor

S – termodynamisk egenskap.
k – Boltzmann konstant.
Ω er den statistiske vekten av forskjellige tilstander.

Kjemi

Mindre åpenbart er bruken av formler i kjemi som inneholder forholdet mellom logaritmer. La oss bare gi to eksempler:

Nernst-ligning, tilstanden til redokspotensialet til mediet i forhold til aktiviteten til stoffer og likevektskonstanten.
Beregningen av slike konstanter som autolyseindeksen og surheten til løsningen kan heller ikke gjøres uten vår funksjon.

Psykologi og biologi

Og det er slett ikke klart hva psykologi har med det å gjøre. Det viser seg at sansestyrken er godt beskrevet av denne funksjonen som det omvendte forholdet mellom stimulusintensitetsverdien og den lavere intensitetsverdien.

Etter eksemplene ovenfor er det ikke lenger overraskende at temaet logaritmer er mye brukt i biologi. Om biologiske former, tilsvarende logaritmiske spiraler, kan man skrive hele volumer.

Andre områder

Det ser ut til at verdens eksistens er umulig uten forbindelse med denne funksjonen, og den styrer alle lover. Spesielt når naturlovene er forbundet med geometrisk progresjon. Det er verdt å gå til MatProfi-nettstedet, og det er mange slike eksempler på følgende aktivitetsområder: