Den naturlige logaritmen til 0 er. Hva er en logaritme

Leksjon og presentasjon om temaene: "Naturlige logaritmer. Grunnlaget for den naturlige logaritmen. Logaritmen til et naturlig tall"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral nettbutikk for 11. klasse
Interaktiv manual for klasse 9–11 "Trigonometri"
Interaktiv manual for klasse 10–11 "Logarithms"

Hva er naturlig logaritme

Gutter, i den siste leksjonen lærte vi et nytt, spesielt nummer - i dag skal vi fortsette å jobbe med dette nummeret.
Vi har studert logaritmer og vi vet at basisen til en logaritme kan være mange tall som er større enn 0. I dag skal vi også se på en logaritme hvis grunntall er tallet e. En slik logaritme kalles vanligvis den naturlige logaritmen. Den har sin egen notasjon: $\ln(n)$ er den naturlige logaritmen. Denne oppføringen tilsvarer oppføringen: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponentielle og logaritmiske funksjoner er invers, så er den naturlige logaritmen inversen av funksjonen: $y=e^x$.
Inverse funksjoner er symmetriske med hensyn til den rette linjen $y=x$.
La oss plotte den naturlige logaritmen ved å plotte eksponentialfunksjonen med hensyn til den rette linjen $y=x$.

Det er verdt å merke seg at helningsvinkelen til tangenten til grafen til funksjonen $y=e^x$ i punktet (0;1) er 45&grader. Da vil helningsvinkelen til tangenten til grafen til den naturlige logaritmen i punktet (1;0) også være lik 45&grader. Begge disse tangentene vil være parallelle med linjen $y=x$. La oss diagramme tangentene:

Egenskaper for funksjonen $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Er verken partall eller oddetall.
3. Øker gjennom hele definisjonsdomenet.
4. Ikke begrenset ovenfra, ikke begrenset nedenfra.
5. Største verdi Ingen, laveste verdi Ingen.
6. Kontinuerlig.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konveks oppover.
9. Differensierbar overalt.

I løpet av høyere matematikk er det bevist at den deriverte av en invers funksjon er den inverse av den deriverte av en gitt funksjon.
Det er ikke nødvendig å fordype seg i bevisene gir mye mening, la oss bare skrive formelen: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Eksempel.
Beregn verdien av den deriverte av funksjonen: $y=\ln(2x-7)$ i punktet $x=4$.
Løsning.
Generelt er funksjonen vår representert av funksjonen $y=f(kx+m)$ vi kan beregne deriverte av slike funksjoner.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
La oss beregne verdien av den deriverte ved det nødvendige punktet: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Svar: 2.

Eksempel.
Tegn en tangent til grafen til funksjonen $y=ln(x)$ i punktet $х=е$.
Løsning.
Vi husker godt likningen av tangenten til grafen til en funksjon i punktet $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Vi beregner de nødvendige verdiene sekvensielt.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Tangentligningen i punktet $x=e$ er funksjonen $y=\frac(x)(e)$.
La oss plotte den naturlige logaritmen og tangentlinjen.

Eksempel.
Undersøk funksjonen for monotonisitet og ekstrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Løsning.
Definisjonsdomenet til funksjonen $D(y)=(0;+∞)$.
La oss finne den deriverte av den gitte funksjonen:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Den deriverte eksisterer for alle x fra definisjonsdomenet, da er det ingen kritiske punkter. La oss finne stasjonære punkter:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punktet $х=-1$ tilhører ikke definisjonsdomenet. Da har vi ett stasjonært punkt $x=1$. La oss finne intervallene for økning og reduksjon:

Punkt $x=1$ er minimumspunktet, deretter $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Svar: Funksjonen avtar på segmentet (0;1), funksjonen øker på strålen $)