Sylindrisk kartprojeksjon. Kartprojeksjoner og forvrengninger

Bruken av resultatene fra topografisk og geodetisk arbeid forenkles betydelig hvis disse resultatene er relatert til det enkleste - et rektangulært koordinatsystem på et plan. I et slikt koordinatsystem løses mange geodetiske problemer på små terrengområder og på kart ved å bruke enkle formler for analytisk geometri på et plan. Loven om bildet av en overflate på en annen kalles projeksjon. Kartografiske projeksjoner er basert på dannelsen av en spesifikk visning av parallellene til breddegrad og lengdemeridianer til ellipsoiden på en utjevnt eller utfoldet overflate. I geometri er, som kjent, de enkleste fremkallbare overflatene et plan, en sylinder og en kjegle. Dette bestemte tre familier av kartprojeksjoner: asimutal, sylindrisk og konisk . Uavhengig av valgt type transformasjon, medfører enhver kartlegging av en buet overflate på et plan feil og forvrengninger. For geodetiske projeksjoner foretrekker de projeksjoner som sikrer en langsom økning i forvrengninger av elementene i geodetiske konstruksjoner med en gradvis økning i området til det projiserte territoriet. Spesielt viktig er kravet om at projeksjonen sikrer høy nøyaktighet og enkel regnskapsføring av disse forvrengningene, ved å bruke de enkleste formlene. Feil i projeksjonstransformasjoner oppstår basert på nøyaktigheten til fire egenskaper:

equiangularity - sannheten om formen til ethvert objekt;

like område – likestilling av områder;

ekvidistanse – sannheten om avstandsmåling;

sannheten om retninger.

Ingen av kartprojeksjonene kan gi nøyaktige visninger på planet for alle de oppførte egenskapene.

Av forvrengningens natur kartografiske projeksjoner er delt inn i equiangular, lik-areal og vilkårlige (i spesielle tilfeller equidistant).

Likekantet (konform) ) projeksjoner er de der det ikke er noen forvrengninger i vinklene og asimutene til lineære elementer. Disse projeksjonene bevarer vinklene uten forvrengning (for eksempel skal vinkelen mellom nord og øst alltid være rett) og formene til små gjenstander, men deres lengder og områder er kraftig deformert. Det skal bemerkes at vedlikehold av hjørner for store områder er vanskelig å oppnå og kun kan oppnås på små områder.

Like i størrelse (likt område) projeksjoner er projeksjoner der arealene til de tilsvarende områdene på overflaten av ellipsoidene og på planet er identisk like (proporsjonale). I disse projeksjonene er vinklene og formene til objekter forvrengt.

gratis projeksjoner har forvrengninger av vinkler, arealer og lengder, men disse forvrengningene er fordelt over kartet på en slik måte at de er minimale i den sentrale delen og øker i periferien. Et spesielt tilfelle av vilkårlige anslag er ekvidistant (ekvidistant), der det ikke er noen lengdeforvrengninger i en av retningene: langs meridianen eller langs parallellen.

Ekvidistant kalles projeksjoner som bevarer lengden langs en av hovedretningene. Som regel er dette projeksjoner med et ortogonalt kartrutenett. I disse tilfellene er hovedretningene langs meridmanene og parallellene. Følgelig bestemmes ekvidistante projeksjoner langs en av retningene. Den andre måten å konstruere slike projeksjoner på er å opprettholde en enhetsskalafaktor langs alle retninger fra ett punkt eller to. Avstander målt fra slike punkter vil nøyaktig samsvare med reelle, men for andre punkter vil ikke denne regelen gjelde. Når du velger denne typen projeksjon, er valget av punkter svært viktig. Vanligvis foretrekkes punkter som det største antallet målinger er tatt fra.

a) konisk
b) sylindrisk
c) asimutal

Figur 11. Klasser av projeksjoner etter konstruksjonsmetode

Lik azimut projeksjoner oftest brukt i navigasjon, dvs. når den største interessen er å opprettholde veibeskrivelser. I likhet med projeksjon av lik område, kan sanne retninger bare bevares for ett eller to spesifikke punkter. Rette linjer tegnet bare fra disse punktene vil tilsvare de sanne retningene.

Etter byggemetode(å bretter ut en overflate på et plan) er det tre store klasser av projeksjoner: konisk (a), sylindrisk (b) og asimut (c).

Koniske fremspring dannes basert på projeksjonen av jordoverflaten på sideoverflaten til en kjegle, orientert på en bestemt måte i forhold til ellipsoiden. I direkte kjegleprojeksjoner faller aksene til kloden og kjeglen sammen, og en sekant- eller tangentkjegle velges. Etter design kuttes sideflaten til kjeglen langs en av generatrisene og brettes ut til et plan. Avhengig av størrelsen på det avbildede området i koniske fremspring, brukes en eller to paralleller, langs hvilke lengdene opprettholdes uten forvrengning. En parallell (tangens) brukes for en kort breddegrad (sekant) for en stor lengde for å redusere avvik fra enhet. Slike paralleller kalles standard. Et spesielt trekk ved koniske fremspring er at deres sentrale linjer faller sammen med de midterste parallellene. Følgelig er kjeglefremspring praktiske for å skildre territorier som ligger i mellombreddegrader og betydelig forlenget i lengdegrad. Det er derfor mange kart over det tidligere Sovjetunionen er tegnet opp i disse anslagene.

Sylindriske fremspring dannes på grunnlag av å projisere jordoverflaten på sideoverflaten til en sylinder, orientert på en bestemt måte i forhold til jordens ellipsoide. I rette sylindriske projeksjoner er paralleller og meridianer avbildet av to familier av rette parallelle linjer vinkelrett på hverandre. Dermed er et rektangulært rutenett av sylindriske fremspring spesifisert. Sylindriske fremspring kan betraktes som et spesielt tilfelle av koniske, når kjeglens toppunkt er på uendelig ( = 0). Det er forskjellige måter å danne sylindriske fremspring på. Sylinderen kan være tangent til eller sekant til ellipsoiden. Ved bruk av en tangentsylinder opprettholdes nøyaktigheten av lengdemåling langs ekvator. Hvis en sekantsylinder brukes - langs to standardparalleller, symmetrisk i forhold til ekvator. Rette, skrå og tverrgående sylindriske fremspring brukes, avhengig av plasseringen av det avbildede området. Sylindriske projeksjoner brukes ved sammenstilling av kart av små og store skalaer.

Azimutale projeksjoner dannes ved å projisere jordoverflaten på et bestemt plan, orientert på en bestemt måte i forhold til ellipsoiden. I dem er paralleller avbildet som konsentriske sirkler, og meridianer som en haug med rette linjer som kommer fra sentrum av sirkelen. Vinklene mellom meridianene til projeksjonene er lik de tilsvarende forskjellene i lengdegrad. Mellomrommene mellom parallellene bestemmes av bildets aksepterte natur (likvinklet eller annet). Det normale projeksjonsnettet er ortogonalt. Azimutale projeksjoner kan betraktes som et spesielt tilfelle av kjeglefremspring, der =1.

Det brukes direkte, skrå og tverrgående asimutprojeksjoner, som bestemmes av breddegraden til projeksjonens sentrale punkt, hvis valg i sin tur avhenger av territoriets plassering. Avhengig av forvrengningen er asimutale projeksjoner delt inn i likevinklet, likt areal og med mellomliggende egenskaper.

Det er et bredt utvalg av projeksjoner: pseudocylindriske, polykoniske, pseudoazimutale og andre. Muligheten for optimal løsning av oppgavene avhenger av riktig valg av kartprojeksjon. Valget av anslag bestemmes av mange faktorer, som grovt sett kan grupperes i tre grupper.

Den første gruppen av faktorer karakteriserer kartleggingsobjektet fra synspunktet om den geografiske plasseringen av territoriet som studeres, dets størrelse, konfigurasjon og betydningen av dets individuelle deler.

Den andre gruppen inkluderer faktorer som er preget av at kartet lages. Denne gruppen inkluderer innholdet og formålet med kartet som helhet, metoder og betingelser for bruk for å løse GIS-problemer, og krav til nøyaktigheten av deres løsning.

Den tredje gruppen inkluderer faktorer som kjennetegner den resulterende kartprojeksjonen. Dette er en betingelse for å sikre et minimum av forvrengninger, de tillatte maksimale verdiene for forvrengninger, arten av deres distribusjon, krumningen av bildet av meridianer og paralleller.

Valg av kartprojeksjoner foreslås gjennomført i to trinn.

På det første trinnet etableres et sett med anslag som tar hensyn til faktorene til den første og andre gruppen. I dette tilfellet er det nødvendig at de sentrale linjene eller projeksjonspunktene, i nærheten av hvilke skalaene endres lite, er plassert i sentrum av territoriet som studeres, og de sentrale linjene faller om mulig sammen med retningen til den største fordelingen av disse territoriene. På det andre trinnet bestemmes ønsket projeksjon.

La oss vurdere valget av forskjellige projeksjoner avhengig av plasseringen av studieområdet. Azimutale projeksjoner er som regel valgt for å skildre territoriene til polarområdene. Sylindriske fremspring er å foretrekke for områder som ligger nær og symmetrisk i forhold til ekvator og forlenget i lengdegrad. Koniske projeksjoner bør brukes for de samme områdene, men ikke symmetriske i forhold til ekvator eller plassert på mellombreddegrader.

For alle projeksjoner av den valgte populasjonen beregnes partielle skalaer og forvrengninger ved hjelp av matematiske kartografiformler. Preferanse bør naturligvis gis til den projeksjonen som har minst forvrengning, en enklere form for et kartografisk rutenett og, under like forhold, et enklere matematisk projeksjonsapparat. Når du vurderer å bruke projeksjoner med like areal, bør du vurdere størrelsen på området av interesse og mengden og fordelingen av vinkelforvrengning. Små områder vises med mye mindre vinkelforvrengning når du bruker projeksjoner med like areal, noe som kan være nyttig når området og former på gjenstander er viktige. I tilfellet når problemet med å bestemme de korteste avstandene er løst, er det bedre å bruke anslag som ikke forvrider retninger. Å velge en projeksjon er en av hovedprosessene for å lage et GIS.

Ved løsning av kartleggingsproblemer i undergrunnsbruk i Russland brukes oftest de to fremskrivningene som er beskrevet nedenfor.

Modifisert enkel polykonisk projeksjon brukt som mangefasettert, dvs. Hvert ark er definert i sin egen versjon av projeksjonen.

Figur 12. Nomenklaturtrapeser av ark i målestokk 1:200000 i polykonisk fremspring

Funksjonene til den modifiserte enkle polykoniske projeksjonen og fordelingen av forvrengninger innenfor individuelle millionskalaark er som følger:

alle meridianer er avbildet som rette linjer, det er ingen forvrengninger av lengder på ekstreme paralleller og på meridianer plassert ±2º fra gjennomsnittet,

de ytterste parallellene til hvert ark (nord og sør) er sirkelbuer, sentrene til disse parallellene er på den midterste meridianen, lengden deres er ikke forvrengt, de midterste parallellene bestemmes av proporsjonal deling i breddegrad langs rette meridianer,

Jordens overflate, tatt som overflaten til en ellipsoide, er delt inn i trapeser av linjer med meridianer og paralleller. Trapeser er avbildet på separate ark i samme projeksjon (for et kart i målestokk 1: 1 000 000 i en modifisert enkel polykonisk). Arkene til det internasjonale verdenskartet, målestokk 1: 1 000 000, har visse dimensjoner av trapeser - 4 grader langs meridianene, 6 grader langs parallellene; på en breddegrad fra 60 til 76 grader er arkene doblet, de har parallelle dimensjoner på 12; over 76 grader kombineres fire ark og deres parallelle størrelse er 24 grader.

Bruken av projeksjon som mangefasettert er uunngåelig forbundet med innføringen av nomenklatur, dvs. systemer for å utpeke individuelle ark. For et millionskala kart aksepteres betegnelsen av trapes langs breddegradssoner, der i retning fra ekvator til polene er betegnelsen utført med bokstaver i det latinske alfabetet (A, B, C, etc.) og langs kolonnene i arabiske tall, som telles fra meridianen med lengdegrad 180 (ifølge Greenwich) mot klokken. Arket som byen Jekaterinburg ligger på, har for eksempel nomenklaturen O-41.

Figur 13. Nomenklaturinndeling av Russlands territorium

Fordelen med en modifisert enkel polykonisk projeksjon, brukt som en polyedrisk, er den lille mengden forvrengning. Analyse i kartarket viste at forvrengninger i lengde ikke overstiger 0,10 %, areal 0,15 %, vinkler 5´ og er praktisk talt umerkelige. Ulempen med denne projeksjonen er utseendet av hull når du kobler ark langs meridianer og paralleller.

Konform (konform) pseudocylindrisk Gauss-Kruger-projeksjon. For å bruke en slik projeksjon er overflaten av jordens ellipsoide delt inn i soner innelukket mellom to meridianer med en lengdeforskjell på 6 eller 3 grader. Meridianer og paralleller er avbildet som kurver, symmetriske i forhold til den aksiale meridianen til sonen og ekvator. De aksiale meridianene til seks-graderssonene faller sammen med de sentrale meridianene til kartarkene i en skala på 1: 1 000 000. Serienummeret bestemmes av formelen

hvor N er kolonnenummeret til kartarket i målestokk 1:1 000 000.

D Verdiene til de aksiale meridianene til seks-graderssoner bestemmes av formelen

L 0 = 6n – 3, hvor n er sonenummeret.

Rektangulære x- og y-koordinater innenfor sonen beregnes i forhold til ekvator og sentralmeridian, som er avbildet som rette linjer

Figur 14. Konform pseudocylindrisk Gauss-Kruger-projeksjon

Innenfor det tidligere Sovjetunionens territorium er abscissene til Gauss-Kruger-koordinatene positive; Ordinatene er positive mot øst, negative mot vest for aksialmeridianen. For å unngå negative ordinatverdier gis punktene til den aksiale meridianen konvensjonelt verdien y = 500 000 m med den obligatoriske angivelsen av det tilsvarende sonenummeret foran. For eksempel, hvis et punkt er lokalisert i sone nummer 11, 25 075 m øst for aksialmeridianen, skrives verdien av ordinaten som følger: y = 11 525 075 m: hvis punktet ligger vest for aksialmeridianen til denne sonen på samme avstand, da y = 11 474 925 m.

I en konform projeksjon blir ikke vinklene til trianguleringstrekantene forvrengt, dvs. forbli den samme som på overflaten av jordens ellipsoide. Skalaen til bildet av lineære elementer på planet er konstant på et gitt punkt og avhenger ikke av asimuten til disse elementene: lineære forvrengninger på den aksiale meridianen er null og øker gradvis med avstanden fra den: ved kanten av de seks -gradsonen når de sin maksimale verdi.

I land på den vestlige halvkule brukes Universal Transverse Mercator (UTM)-projeksjonen til å kompilere topografiske kart i seks-graderssoner. Denne projeksjonen er i sine egenskaper og distribusjon av forvrengninger nær Gauss-Kruger-projeksjonen, men på den aksiale meridianen til hver sone er skalaen m=0,9996, ikke enhet. UTM-projeksjonen oppnås ved dobbel projeksjon - en ellipsoide på en ball, og deretter en ball på et plan i Mercator-projeksjonen.

Figur 15. Koordinatkonvertering i geografiske informasjonssystemer

Tilstedeværelsen av programvare i GIS som utfører projeksjonstransformasjoner gjør det enkelt å overføre data fra en projeksjon til en annen. Dette kan være nødvendig hvis de mottatte kildedataene finnes i en projeksjon som ikke sammenfaller med den som er valgt i prosjektet ditt, eller hvis du trenger å endre projeksjonen av prosjektdataene for å løse et spesifikt problem. Overgangen fra en projeksjon til en annen kalles projeksjonstransformasjoner. Det er mulig å oversette koordinatene til digitale data som opprinnelig ble lagt inn i de konvensjonelle koordinatene til digitaliserings- eller rastersubstratet ved bruk av plantransformasjoner.

Hvert romlig objekt, i tillegg til den romlige referansen, har en eller annen meningsfull essens, og i neste kapittel vil vi vurdere mulighetene for å beskrive det.

Dato: 24.10.2015

Kartprojeksjon- en matematisk metode for å avbilde kloden (ellipsoide) på et fly.

Til projiserer en sfærisk overflate på et plan bruk hjelpeflater.

Av utseende hjelpekartografiske overflateprojeksjoner er delt inn i:

Sylindrisk 1(hjelpeflaten er sideflaten til sylinderen), konisk 2(lateral overflate av kjeglen), azimut 3(flyet kalt bildeplanet).

Også utmerkede polykonisk

pseudocylindrisk betinget

og andre anslag.

Etter orientering hjelpefigurprojeksjoner er delt inn i:

• normal(hvor aksen til sylinderen eller kjeglen faller sammen med aksen til jordmodellen, og bildeplanet er vinkelrett på det);
• tverrgående(hvor aksen til sylinderen eller kjeglen er vinkelrett på aksen til jordmodellen, og bildeplanet er eller parallelt med det);
• skrå, hvor aksen til hjelpefiguren er i en mellomposisjon mellom pol og ekvator.

Kartografiske forvrengninger- dette er et brudd på de geometriske egenskapene til objekter på jordens overflate (lengder på linjer, vinkler, former og områder) når de er avbildet på et kart.

Jo mindre kartskalaen er, desto mer betydelig er forvrengningen. På kart i stor skala er forvrengningen ubetydelig.

Det er fire typer forvrengninger på kart: lengder, områder, hjørner Og skjemaer gjenstander. Hver projeksjon har sine egne forvrengninger.

Basert på arten av forvrengning er kartografiske projeksjoner delt inn i:

• likekantet, som lagrer vinklene og formene til objekter, men forvrenger lengder og områder;

• lik størrelse, hvor områder er lagret, men vinklene og formene til objekter er betydelig endret;

• vilkårlig, der lengder, områder og vinkler er forvrengt, men de er jevnt fordelt på kartet. Blant dem er det spesielt utmerkede justeringsprojeksjoner, der det ikke er noen forvrengninger av lengder verken langs paralleller eller langs meridianer.

Null forvrengningslinjer og punkter- linjer langs hvilke og punkter der det ikke er noen forvrengninger, siden her, når en sfærisk overflate projiseres på et plan, var hjelpeflaten (sylinder, kjegle eller bildeplan) tangenter til ballen.

Skala angitt på kartene, bevart kun på linjer og på punkter med null forvrengning. Den kalles den viktigste.

I alle andre deler av kartet er målestokken forskjellig fra den viktigste og kalles delvis. For å bestemme det, kreves det spesielle beregninger.

For å bestemme arten og størrelsen på forvrengninger på kartet, må du sammenligne gradenenettet på kartet og jordkloden.

På kloden alle paralleller er i samme avstand fra hverandre, Alle meridianer er lik hverandre og krysser paralleller i rette vinkler. Derfor har alle cellene i gradgitteret mellom tilstøtende paralleller samme størrelse og form, og cellene mellom meridianene utvides og øker fra polene til ekvator.

For å bestemme størrelsen på forvrengningen analyseres også forvrengningsellipser - ellipsoide figurer dannet som et resultat av forvrengning i en viss projeksjon av sirkler tegnet på en globus i samme skala som kartet.

I konform projeksjon Forvrengningsellipser har form av en sirkel, hvis størrelse øker avhengig av avstanden fra punktene og linjene med null forvrengning.

I lik arealprojeksjon Forvrengningsellipser har form av ellipser hvis arealer er de samme (lengden på den ene aksen øker og den andre reduseres).

I ekvidistant projeksjon Forvrengningsellipser har form som ellipser med samme lengde av en av aksene.

De viktigste tegnene på forvrengning på kartet

1. Hvis avstandene mellom parallellene er de samme, indikerer dette at avstandene langs meridianene (ekvidistant langs meridianene) ikke er forvrengt.
2. Avstander blir ikke forvrengt av paralleller hvis radiene til parallellene på kartet tilsvarer radiene til parallellene på jordkloden.
3. Områder blir ikke forvrengt hvis cellene skapt av meridianene og parallellene ved ekvator er firkanter og diagonalene deres skjærer hverandre i rette vinkler.
4. Lengder langs paralleller er forvrengt, hvis lengder langs meridianer ikke er forvrengt.
   
5. Lengder langs meridianer forvrenges hvis lengder langs paralleller ikke er forvrengt.

Arten av forvrengninger i hovedgruppene av kartprojeksjoner

Kartprojeksjoner	Forvrengninger
Konform	De bevarer vinkler og forvrenger områder og lengder på linjer.
Like størrelse	De bevarer områder og forvrenger vinkler og former.
Ekvidistant	I én retning har de en konstant lengdeskala, forvrengningene av vinkler og områder er i likevekt.
gratis	De forvrenger hjørner og områder.
Sylindrisk	Det er ingen forvrengninger langs ekvatorlinjen, men de øker når du nærmer deg polene.
Konisk	Det er ingen forvrengninger langs kontaktparallellen mellom kjeglen og kloden.
Azimuthal	Det er ingen forvrengninger i den sentrale delen av kartet.

Kartprojeksjoner

kartlegge hele overflaten av jordens ellipsoide (se jordens ellipsoide) eller hvilken som helst del av den på et plan, oppnådd hovedsakelig med det formål å konstruere et kart.

Skala. Kontrollstasjoner er bygget i en viss skala. Mentalt reduserer jordens ellipsoide til M ganger, for eksempel 10 000 000 ganger, får vi dens geometriske modell - Globe, hvis bilde i naturlig størrelse på et fly gir et kart over overflaten til denne ellipsoiden. Verdi 1: M(i eksempel 1: 10 000 000) bestemmer hovedskalaen eller den generelle skalaen til kartet. Siden overflatene til en ellipsoide og en ball ikke kan utvikles på et plan uten brudd og folder (de tilhører ikke klassen av fremkallbare overflater (se fremkallbare overflater)), er enhver sammensatt overflate iboende i forvrengninger i linjelengdene, vinkler, etc. , karakteristisk for ethvert kart. Hovedkarakteristikken til et romsystem på ethvert punkt er den partielle skalaen μ. Dette er den gjensidige av forholdet mellom det uendelige segmentet ds på jordens ellipsoide til bildet dσ på planet: μ min ≤ μ ≤ μ maks, og likhet her er kun mulig på individuelle punkter eller langs noen linjer på kartet. Dermed karakteriserer kartets hovedskala det bare i generelle termer, i en eller annen gjennomsnittsform. Holdning μ/M kalt relativ skala, eller økning i lengde, forskjellen M = 1.

Generell informasjon. Teori om K. s. - Matematisk kartografi - Målet er å studere alle typer forvrengninger ved kartlegging av overflaten av jordens ellipsoide på et plan og å utvikle metoder for å konstruere projeksjoner der forvrengningene vil ha enten de minste (i noen forstand) verdier eller en forhåndsbestemt fordeling.

Basert på kartografiens behov (Se kartografi) vurderes i kartografiteorien kartlegginger av overflaten til jordens ellipsoide på et plan. Fordi jordens ellipsoide har lav kompresjon, og overflaten avviker litt fra sfæren, og også på grunn av det faktum at elliptiske elementer er nødvendige for å tegne kart i middels og liten skala ( M> 1 000 000), så er de ofte begrenset til å vurdere kartlegginger på planet til en kule med en viss radius R, hvorav avvik fra ellipsoiden kan neglisjeres eller tas i betraktning på en eller annen måte. Nedenfor mener vi derfor kartlegginger på flyet xOy sfære, referert til geografiske koordinater φ (breddegrad) og λ (lengdegrad).

Ligningene til enhver QP har formen

x = f 1 (φ, λ), y = f 2 (φ, λ), (1)

Hvor f 1 og f 2 - funksjoner som tilfredsstiller noen generelle betingelser. Meridianbilder λ = konst og paralleller φ = konst i et gitt kart danner de et kartografisk rutenett. K.p. kan også bestemmes av to ligninger der ikke-rektangulære koordinater vises X,på fly, men alle andre. Noen projeksjoner [for eksempel perspektivprojeksjoner (spesielt ortografiske, ris. 2 ) perspektiv-sylindrisk ( ris. 7 ) etc.] kan bestemmes ved geometriske konstruksjoner. En projeksjon bestemmes også av regelen for å konstruere det tilsvarende kartografiske rutenettet eller av dets karakteristiske egenskaper, fra hvilke ligninger av formen (1) kan oppnås, som fullstendig bestemmer projeksjonen.

Kort historisk informasjon. Utviklingen av teorien om kartografi, så vel som all kartografi, er nært knyttet til utviklingen av geodesi, astronomi, geografi og matematikk. Det vitenskapelige grunnlaget for kartografi ble lagt i antikkens Hellas (6.-1. århundre f.Kr.). Den gnomoniske projeksjonen, brukt av Thales of Miletus for å konstruere kart over stjernehimmelen, regnes for å være den eldste CG. Etter etableringen på 300-tallet. f.Kr e. jordens sfæriske form C. begynte å bli oppfunnet og brukt i sammenstillingen av geografiske kart (Hipparchus, Ptolemaios, etc.). Den betydelige økningen i kartografi på 1500-tallet, forårsaket av de store geografiske oppdagelsene, førte til opprettelsen av en rekke nye projeksjoner; en av dem, foreslått av G. Mercator, Den brukes fortsatt i dag (se Mercator-projeksjon). På 1600- og 1700-tallet, da den brede organiseringen av topografiske undersøkelser begynte å levere pålitelig materiale for å sette sammen kart over et stort territorium, ble kart utviklet som grunnlag for topografiske kart (den franske kartografen R. Bonn, J. D. Cassini). og også studier ble utført på individuelle viktigste grupper av kvantefelt (I. Lambert, L. Euler, J. Lagrange og så videre.). Utviklingen av militær kartografi og den videre økningen i volumet av topografisk arbeid på 1800-tallet. krevde fremskaffelse av et matematisk grunnlag for kart i stor skala og innføring av et system med rektangulære koordinater på et grunnlag som var mer egnet for geodetiske beregninger. Dette førte K. Gauss til utviklingen av en fundamental geodetisk projeksjon (Se Geodetiske projeksjoner). Endelig, på midten av 1800-tallet. A. Tissot (Frankrike) ga en generell teori om forvrengninger av CP Utviklingen av teorien om CP i Russland var nært knyttet til behovene til praksis og ga mange originale resultater (L. Euler, F. I. Schubert, P. L. Chebyshev, D. A. Grave, etc.). I verkene til sovjetiske kartografer V. V. Kavraisky (Se Kavraisky), N. A. Urmaev og andre, ble nye grupper av kart, deres individuelle varianter (opp til praktisk bruk) og viktige spørsmål om den generelle kartteorien utviklet. deres klassifiseringer osv.

Forvrengningsteori. Forvrengninger i et uendelig lite område rundt et hvilket som helst projeksjonspunkt overholder visse generelle lover. På et hvilket som helst punkt på kartet i en projeksjon som ikke er konform (se nedenfor), er det to slike innbyrdes vinkelrette retninger, som også tilsvarer gjensidig vinkelrette retninger på den viste overflaten, dette er de såkalte hovedvisningsretningene. Skalaene i disse retningene (hovedskalaene) har ekstreme verdier: μ maks = a Og μ min = b. Hvis meridianene og parallellene på kartet i en projeksjon krysser hverandre i rette vinkler, er retningene deres de viktigste for denne projeksjonen. Lengdeforvrengningen ved et gitt projeksjonspunkt representerer visuelt en ellipse av forvrengning, lik og på lignende måte plassert som bildet av en uendelig liten sirkel omskrevet rundt det tilsvarende punktet på den viste overflaten. Halvdiametrene til denne ellipsen er numerisk lik partielle skalaer på et gitt punkt i de tilsvarende retningene, halvaksene til ellipsen er lik de ekstreme skalaene, og retningene deres er de viktigste.

Forbindelsen mellom elementene i forvrengningsellipsen, forvrengningene til QP og de partielle deriverte av funksjoner (1) er etablert av de grunnleggende formlene til teorien om forvrengninger.

Klassifisering av kartprojeksjoner i henhold til posisjonen til polen til de sfæriske koordinatene som brukes. Polene til sfæren er spesielle punkter for geografisk koordinering, selv om sfæren på disse punktene ikke har noen funksjoner. Dette betyr at ved kartlegging av områder som inneholder geografiske poler, er det noen ganger ønskelig å ikke bruke geografiske koordinater, men andre hvor polene viser seg å være vanlige koordinasjonspunkter. Derfor brukes sfæriske koordinater på sfæren, hvis koordinatlinjer, de såkalte vertikalene (betinget lengdegrad på dem) a = konst) og almucantarater (hvor polare avstander z = konst), lik geografiske meridianer og paralleller, men deres pol Z 0 faller ikke sammen med den geografiske polen P0 (ris. 1 ). Overgang fra geografiske koordinater φ , λ ethvert punkt på sfæren til dens sfæriske koordinater z, en ved en gitt polposisjon Z 0 (φ 0 , λ 0) utført ved å bruke formlene for sfærisk trigonometri. Enhver QP gitt av ligninger (1) kalles normal, eller direkte ( φ 0 = π/2). Hvis den samme projeksjonen av en kule beregnes ved å bruke de samme formlene (1), hvor i stedet for φ , λ vises z, en, så kalles denne projeksjonen tverrgående når φ 0 = 0, λ 0 og skrå hvis 0 . Bruken av skrå og tverrgående projeksjoner fører til en reduksjon i forvrengning. På ris. 2 viser normale (a), tverrgående (b) og skrå (c) ortografiske projeksjoner (Se Ortografisk projeksjon) av en kule (overflaten til en ball).

Klassifisering av kartprojeksjoner etter arten av forvrengninger. I likekantede (konforme) punkter avhenger skalaen kun av punktets posisjon og ikke avhengig av retningen. Forvrengningsellipser degenererer til sirkler. Eksempler - Mercator-projeksjon, Stereografisk projeksjon.

I like store (tilsvarende) rom er arealene bevart; mer presist er arealene av figurer på kart satt sammen i slike projeksjoner proporsjonale med arealene til de tilsvarende figurene i naturen, og proporsjonalitetskoeffisienten er den gjensidige av kvadratet av hovedskalaen til kartet. Forvrengningsellipser har alltid samme område, med forskjellig form og orientering.

Vilkårlige kompositter er verken likekantede eller like i areal. Av disse skilles det ut ekvidistante, der en av hovedskalaene er lik enhet, og ortodromer, der kulens store sirkler (ortodromene) er avbildet som rette.

Når du skildrer en kule på et plan, er egenskapene til ekvikantethet, ekvilateralitet, ekvidistanse og ortodromisitet inkompatible. For å vise forvrengninger på forskjellige steder i det avbildede området, bruk: a) forvrengningsellipser konstruert på forskjellige steder i rutenettet eller kartskissen ( ris. 3 ); b) isocolaer, dvs. linjer med lik forvrengningsverdi (på ris. 8v se isokoler av den største forvrengningen av vinkler с og isokoler av områdeskalaen R); c) bilder noen steder av kartet av noen sfæriske linjer, vanligvis ortodromer (O) og loxodromer (L), se. ris. 3a ,3b og så videre.

Klassifisering av normale kartprojeksjoner etter typen bilder av meridianer og paralleller, som er resultatet av den historiske utviklingen av teorien om CP, omfavner de fleste kjente projeksjoner. Den beholder navnene knyttet til den geometriske metoden for å oppnå projeksjoner, men gruppene som vurderes er nå definert analytisk.

Sylindriske fremspring ( ris. 3 ) - projeksjoner der meridianene er avbildet som parallelle linjer med like avstand, og parallellene er avbildet som rette linjer vinkelrett på bildene av meridianene. Fordelaktig for å skildre territorier strukket langs ekvator eller eventuelle paralleller. Navigasjon bruker Mercator-projeksjonen - en konform sylindrisk projeksjon. Gauss-Kruger-projeksjonen er en konform tverrgående sylindrisk projeksjon - brukt i kompilering av topografiske kart og behandling av trianguleringer.

Azimutale projeksjoner ( ris. 5 ) - projeksjoner der parallellene er konsentriske sirkler, meridianene er deres radier, og vinklene mellom sistnevnte er lik de tilsvarende lengdeforskjellene. Et spesielt tilfelle av asimutale projeksjoner er perspektivprojeksjoner.

Pseudokoniske projeksjoner ( ris. 6 ) - projeksjoner der paralleller er avbildet som konsentriske sirkler, den midterste meridianen som en rett linje, og de resterende meridianene som kurver. Bonns pseudokoniske projeksjon med like areal brukes ofte; Siden 1847 har den satt sammen et trevers (1: 126 000) kart over den europeiske delen av Russland.

Pseudocylindriske fremspring ( ris. 8 ) - projeksjoner der paralleller er avbildet som parallelle rette linjer, den midterste meridianen som en rett linje vinkelrett på disse rette linjene og er symmetriaksen til projeksjonene, de resterende meridianene som kurver.

Polykoniske fremspring ( ris. 9 ) - projeksjoner der paralleller er avbildet som sirkler med sentre plassert på samme rette linje som representerer den midterste meridianen. Ved konstruksjon av spesifikke polykoniske fremspring pålegges ytterligere betingelser. En av de polykoniske projeksjonene anbefales for det internasjonale (1:1 000 000) kartet.

Det er mange anslag som ikke tilhører disse typene. Sylindriske, koniske og asimutale projeksjoner, kalt de enkleste, klassifiseres ofte som sirkulære projeksjoner i vid forstand, og skiller fra dem sirkulære projeksjoner i smal forstand - projeksjoner der alle meridianer og paralleller er avbildet som sirkler, for eksempel Lagrange konforme projeksjoner, Grinten-projeksjon, etc.

Bruke og velge kartprojeksjoner avhenger hovedsakelig av formålet med kartet og dets målestokk, som ofte bestemmer arten av de tillatte forvrengningene i den valgte metrikken. Kart over store og mellomstore skalaer beregnet for å løse metriske problemer er vanligvis tegnet i likekantede projeksjoner, og kart med små skalaer. brukes til generelle undersøkelser og bestemme forholdet mellom arealene til ethvert territorium - i like områder. I dette tilfellet er noen brudd på de definerende betingelsene for disse anslagene mulig ( ω ≡ 0 eller p ≡ 1), som ikke fører til merkbare feil, det vil si at vi tillater valg av vilkårlige projeksjoner, hvorav projeksjoner som er like langt langs meridianene oftere brukes. Sistnevnte brukes også når formålet med kartet ikke sørger for bevaring av vinkler eller områder i det hele tatt. Når du velger projeksjoner, starter de med de enkleste, for så å gå videre til mer komplekse projeksjoner, til og med muligens modifisere dem. Hvis ingen av de kjente CP-ene oppfyller kravene til kartet som kompileres med tanke på dets formål, søkes det etter en ny, mest passende CP, som prøver (så langt det er mulig) å redusere forvrengninger i det. Problemet med å konstruere de mest fordelaktige CP-ene, der forvrengninger på noen måte er redusert til et minimum, er ennå ikke fullstendig løst.

C.-punkter brukes også i navigasjon, astronomi, krystallografi, etc.; de er søkt med det formål å kartlegge Månen, planeter og andre himmellegemer.

Transformasjon av anslag. Vurderer to QP-er definert av de tilsvarende ligningssystemene: x = f 1 (φ, λ), y = f 2 (φ, λ) Og X = g 1 (φ, λ), Y = g 2 (φ, λ), er det mulig, unntatt φ og λ fra disse ligningene, å etablere overgangen fra en av dem til den andre:

X = F 1 (x, y), Y = F 2 (x, y).

Disse formlene når du spesifiserer typen funksjoner F 1 ,F 2, gi for det første en generell metode for å oppnå såkalte derivatfremskrivninger; for det andre danner de det teoretiske grunnlaget for alle mulige metoder for tekniske metoder for å tegne kart (se Geografiske kart). For eksempel utføres affine og fraksjonerte lineære transformasjoner ved hjelp av kartografiske transformatorer (se kartografiske transformatorer). Men mer generelle transformasjoner krever bruk av ny, spesielt elektronisk, teknologi. Oppgaven med å lage perfekte CP-transformatorer er et presserende problem med moderne kartografi.

Litt.: Vitkovsky V., Kartografi. (Teori om kartprojeksjoner), St. Petersburg. 1907; Kavraisky V.V., Matematisk kartografi, M. - L., 1934; hans, Izbr. verk, vol. 2, århundre. 1-3, [M.], 1958-60; Urmaev N. A., Matematisk kartografi, M., 1941; ham, Metoder for å finne nye kartografiske projeksjoner, M., 1947; Graur A.V., Matematisk kartografi, 2. utgave, Leningrad, 1956; Ginzburg G. A., Kartografiske projeksjoner, M., 1951; Meshcheryakov G. A., Teoretisk grunnlag for matematisk kartografi, M., 1968.

G. A. Meshcheryakov.

2. Kulen og dens ortografiske fremspring.

3a. Sylindriske fremspring. Mercator likekantet.

3b. Sylindriske fremspring. Ekvidistant (rektangulær).

3c. Sylindriske fremspring. Like areal (isosylindrisk).

4a. Koniske fremspring. Likekantet.

4b. Koniske fremspring. Ekvidistant.

4c. Koniske fremspring. Like størrelse.

Ris. 5a. Azimutale projeksjoner. Konform (stereografisk) til venstre - tverrgående, til høyre - skrå.

Ris. 5 B. Azimutale projeksjoner. Like mellomliggende (til venstre - tverrgående, til høyre - skrå).

Ris. 5. århundre Azimutale projeksjoner. Like stor (til venstre - tverrgående, til høyre - skrå).

Ris. 8a. Pseudocylindriske fremspring. Mollweide lik arealprojeksjon.

Ris. 8b. Pseudocylindriske fremspring. Sinusformet projeksjon med lik areal av V. V. Kavraisky.

Ris. 8. århundre Pseudocylindriske fremspring. Vilkårlig projeksjon av TsNIIGAiK.

Ris. 8g. Pseudocylindriske fremspring. BSAM-projeksjon.

Ris. 9a. Polykoniske fremspring. Enkel.

Ris. 9b. Polykoniske fremspring. Vilkårlig projeksjon av G. A. Ginzburg.

Stor sovjetisk leksikon. - M.: Sovjetisk leksikon. 1969-1978 .

Se hva "Kartprojeksjoner" er i andre ordbøker:

Matematiske metoder for å skildre overflaten av jordens ellipsoide eller kule på et plan. Kartprojeksjoner bestemmer forholdet mellom koordinatene til punktene på overflaten av jordens ellipsoide og på planet. På grunn av manglende evne til å utvide... ... Stor encyklopedisk ordbok

KARTPROSJEKSJONER, systematiske metoder for å tegne meridianer og paralleller av jorden på en flat overflate. Bare på en jordklode kan territorier og former representeres pålitelig. På flate kart over store områder er forvrengning uunngåelig. Anslag er... Vitenskapelig og teknisk encyklopedisk ordbok

Verden og skjermkoordinater

Anslag

Når du bruker grafikkenheter, brukes vanligvis projeksjoner. Projeksjon spesifiserer måten objekter vises på en grafikkenhet. Vi vil kun vurdere projeksjoner på flyet.

Projeksjon er kartlegging av punkter spesifisert i et koordinatsystem med dimensjon N til punkter i et system med lavere dimensjon.

Projektorer (projeksjonsstråler) er rette segmenter som går fra midten av projeksjonen gjennom hvert punkt på objektet til de krysser projeksjonsplanet (bildeplanet).

Når du viser romlige objekter på en skjerm eller på et papirark ved hjelp av en skriver, må du kjenne koordinatene til objektene. Vi vil vurdere to koordinatsystemer. Først - verdenskoordinater, som beskriver den sanne posisjonen til objekter i rommet med en gitt nøyaktighet. Det andre er koordinatsystemet til skjermenheten, der bilder av objekter vises i en gitt projeksjon. La oss kalle koordinatsystemet til grafikkenheten skjermkoordinater(selv om denne enheten ikke trenger å være som en dataskjerm).

La verdenskoordinatene være rektangulære 3D-koordinater. Hvor koordinatsenteret skal ligge, og hva måleenhetene langs hver akse blir, er ikke så veldig viktig for oss nå. Det viktige er at for visning vil vi kjenne alle numeriske verdier av koordinatene til de viste objektene.

For å få et bilde i en bestemt projeksjon, er det nødvendig å beregne projeksjonskoordinatene. For å syntetisere et bilde på et skjermplan eller papir bruker vi et todimensjonalt koordinatsystem. Hovedoppgaven er å spesifisere transformasjoner av koordinater fra verdenskoordinater til skjermkoordinater.

Bildet av objekter på et plan (skjermbilde) er assosiert med den geometriske operasjonen til design. Det finnes flere typer design som brukes i datagrafikk, men det er to hovedtyper: parallell og sentral.

Den projiserte strålen av stråler rettes gjennom objektet til bildeplanet, hvorpå koordinatene til skjæringspunktet mellom strålene (eller rette linjer) med dette planet blir funnet.

Ris. 2.14. Hovedtyper av projeksjoner

Med sentral design alle linjer starter fra ett punkt.

Med parallell- det anses at sentrum av strålene (rette linjer) er uendelig fjernt, og de rette linjene er parallelle.

Hver av disse hovedklassene er delt inn i flere underklasser avhengig av den relative posisjonen til bildeplanet og koordinataksene.

Enkeltpunktprojeksjon

Ris. 2.15. Klassifisering av planprojeksjoner

For parallelle projeksjoner er senteret av projeksjonen plassert i uendelighet fra projeksjonsplanet:

• ortografisk (ortogonal),
• aksonometrisk (rektangulær aksonometrisk) - projektorer er vinkelrett på projeksjonsplanet plassert i en vinkel til hovedaksen,
• skrå (skrå aksonometrisk) - projeksjonsplanet er vinkelrett på hovedaksen, projektorene er plassert i en vinkel til projeksjonsplanet.

For sentrale projeksjoner er sentrum av projeksjonen i en begrenset avstand fra projeksjonsplanet. Det er såkalte perspektivforvrengninger.

Ortogonale projeksjoner (hovedvisninger)

Ris. 2.16. Ortogonale projeksjoner

1. Forfra, hovedvisning, frontal projeksjon, (på baksiden av V),
2. Sett ovenfra, plan, horisontal projeksjon, (på den nedre kanten av H),
3. Venstre visning, profilprojeksjon, (på høyre side av W),
4. Utsikt fra høyre (på venstre side),
5. Sett nedenfra (øverste kant),
6. Sett bakfra (forside).

Den ortogonale projeksjonsmatrisen på YZ-planet langs X-aksen har formen:

Hvis planet er parallelt, må denne matrisen multipliseres med skiftmatrisen, da:

hvor p er skiftet langs X-aksen;

For ZX-planet langs Y-aksen

hvor q er skiftet langs Y-aksen;

For XY-planet langs Z-aksen:

der R er skiftet langs Z-aksen.

I aksonometrisk projeksjon er de projiserte linjene vinkelrett på bildeplanet.

Isometrisk- alle tre vinklene mellom bildenormalen og koordinataksene er like.

Dimetria - to vinkler mellom bildenormalen og koordinataksene er like.

Trimetri - normalvektoren til bildeplanet danner forskjellige vinkler med koordinataksene.

Hver av de tre typene av disse projeksjonene oppnås ved en kombinasjon av rotasjoner etterfulgt av en parallell projeksjon.

Når du roterer med en vinkel β i forhold til Y-aksen (ordinater), med en vinkel α rundt X-aksen (abscisse) og etterfølgende projeksjon av Z-aksen (applikat), vises en matrise

Isometrisk projeksjon

Ris. 2.17. Isometriske projeksjoner

Dimetrisk projeksjon

Ris. 2.18. Dimetriske anslag

Skrå anslag

Et klassisk eksempel på en parallell skråprojeksjon er skapprojeksjon(Fig. 2. 26). Denne projeksjonen brukes ofte i matematisk litteratur for å tegne solide former. Akser på avbildet vippet i en vinkel på 45 grader. Langs aksen på skala 0,5, langs andre akser - skala 1. La oss skrive ned formlene for å beregne koordinatene til projeksjonsplanet

Her, som før, aksen Υ pr rettet nedover.

For skrå parallelle projeksjoner er projeksjonsstrålene ikke vinkelrett på projeksjonsplanet.

Ris. 2.19. Skrå anslag

Nå angående den sentrale projeksjonen. Siden projeksjonsstrålene for den ikke er parallelle, vil vi anta normal slik sentral projeksjon, hvis hovedakse er vinkelrett på planet projeksjon. Til sentral skråprojeksjon hovedaksen er ikke vinkelrett på projeksjonsplanet.

La oss vurdere et eksempel på en sentral skråprojeksjon, som viser alle de vertikale linjene til de avbildede objektene som parallelle linjer. La oss plassere projeksjonsplanet vertikalt, stille inn visningsvinkelen med vinklene a, β og posisjonen til forsvinningspunktet (fig. 2. 21).

Fig.2.20. Skapprojeksjon

Ris. 2.21. Vertikal sentral skråprojeksjon: a – plassering av projeksjonsplanet, b – sett fra venstre ende av projeksjonsplanet

Vi vil anta at aksen Ζ visningskoordinatene er plassert vinkelrett på projeksjonsplanet. Sentrum av visningskoordinatene er ved punktet ( xs, oss, zc). La oss skrive den tilsvarende aspekttransformasjonen:

Når det gjelder den normale sentrale projeksjonen, er forsvinningspunktet til projeksjonsstrålene plassert på Z-aksen i avstand Ζk fra midten av visningskoordinatene. Det er nødvendig å ta hensyn til helningen til hovedaksen til den skrå projeksjonen. For å gjøre dette er det nok å trekke fra Υ pr lengden på segmentet er 0-0" (fig. 2.21). Denne lengden er lik ( Ζ k - Ζ pl) ctgβ. La oss nå skrive ned resultatet - formler for å beregne koordinatene til en skrå vertikal projeksjon

Hvor Puh Og Pu er projeksjonsfunksjonene for normal projeksjon.

Det skal bemerkes at for en slik projeksjon er det umulig å lage en toppvisning (β = 0), siden her сtgP = ∞.

Egenskapen til den betraktede vertikale skråprojeksjonen, som består i å opprettholde parallelliteten til vertikale linjer, er noen ganger nyttig, for eksempel når man skildrer hus i arkitektoniske datasystemer. Sammenlign fig. 2. 22 (øverst) og fig. 2,22 (nederst). På det nederste bildet er vertikaler avbildet som vertikaler - hus "faller ikke fra hverandre".

Ris. 2.21. Sammenligning av anslag

Skapprojeksjon (aksonometrisk skrå frontal dimetrisk projeksjon)

Ris. 2.23. Skapprojeksjon

Fri projeksjon (aksonometrisk skrå horisontal isometrisk projeksjon)

Ris. 2.24.Fri projeksjon

Sentral projeksjon

Sentrale projeksjoner av parallelle linjer som ikke er parallelle med projeksjonsplanet konvergerer kl forsvinningspunkt.

Avhengig av antall koordinatakser som projeksjonsplanet skjærer, skilles en, to og trepunkts sentrale projeksjoner.

Ris. 2,25. Sentral projeksjon

La oss se på et eksempel på en perspektivisk (sentral) projeksjon for en vertikal kameraposisjon, når α = β = 0. En slik projeksjon kan tenkes som et bilde på glass der en observatør befinner seg over et punkt ( x, y, z) = (0, 0, z k). Her er projeksjonsplanet parallelt med planet (x 0 y), som vist i fig. 2.26.

For et vilkårlig punkt i rommet (P), basert på likheten til trekanter, skriver vi følgende proporsjoner:

X pr /(z k – z pl) = x/(z k – z)

Y pr /(z k – z pl) = y/(z k – z)

La oss finne koordinatene til projeksjonen, også ta hensyn til koordinaten Ζpr:

La oss skrive slike koordinattransformasjoner i funksjonell form

Hvor Π - funksjon av perspektivtransformasjon av koordinater.

Ris. 2.26 Perspektivprojeksjon

I matriseform kan koordinattransformasjonen skrives som følger:

Vær oppmerksom på at her avhenger matrisekoeffisientene av z-koordinaten (i nevneren til brøken). Dette betyr at koordinattransformasjonen er ikke-lineær (mer presist, brøk-lineær), den tilhører klassen projektiv transformasjoner.

Vi har fått formler for å beregne projeksjonskoordinater for tilfellet når forsvinningspunktet til strålene er på aksen z. La oss nå vurdere den generelle saken. La oss introdusere et visningskoordinatsystem (X, Υ,Ζ), vilkårlig plassert i tredimensjonalt rom (x, y, z). La forsvinningspunktet være på aksen Ζ visningskoordinatsystem, og visningsretningen er langs aksen Ζ motsatt av dens retning. Vi vil anta at transformasjonen til å vise koordinater er beskrevet av en tredimensjonal affin transformasjon

Etter å ha beregnet koordinatene ( X, Y, Z) du kan beregne koordinatene i projeksjonsplanet i samsvar med formlene vi allerede har diskutert tidligere. Siden forsvinningspunktet er på Z-aksen til visningskoordinatene, da

Sekvensen for koordinattransformasjon kan beskrives som følger:

Denne koordinattransformasjonen lar deg simulere kameraplasseringer når som helst i rommet og vise alle visningsobjekter i midten av projeksjonsplanet.

Ris. 2.27. Sentralprojeksjon av punktet P 0 inn i planet Z = d

Kapittel 3. Rastergrafikk. Grunnleggende rasteralgoritmer

Av forvrengningens natur projeksjoner er delt inn i konforme, like-areal og vilkårlige.

Konform(eller konform) projeksjoner bevare størrelsen på vinkler og former til uendelige små figurer. Lengdeskalaen i hvert punkt er konstant i alle retninger (som sikres ved en naturlig økning i avstandene mellom tilstøtende paralleller langs meridianen) og avhenger kun av punktets posisjon. Forvrengningsellipser uttrykkes som sirkler med forskjellige radier.

For hvert punkt i konforme projeksjoner er følgende avhengigheter gyldige:

/ L i= a = b = m = n; a>= 0°; 0 = 90°; k = 1 Og a 0 =0°(eller ±90°).

Slike anslag spesielt nyttig for å bestemme retninger og legge ruter langs en gitt asimut (for eksempel ved løsning av navigasjonsproblemer).

Like størrelse(eller tilsvarende) projeksjoner ikke forvreng området. I disse anslagene arealene til forvrengningsellipsene er like. En økning i lengdeskalaen langs en akse av forvrengningsellipsen kompenseres av en reduksjon i lengdeskalaen langs den andre aksen, noe som forårsaker en naturlig reduksjon i avstandene mellom tilstøtende paralleller langs meridianen og som en konsekvens en sterk forvrengning av former.

Slik fremspring er praktiske for å måle områder objekter (som for eksempel er avgjørende for noen økonomiske eller morfometriske kart).

I teorien om matematisk kartografi er det bevist at nei, og det kan ikke være en projeksjon som vil være både likekantet og lik i areal. Generelt, jo større forvrengning av hjørner, jo mindre forvrengning av områder og omvendt

gratis projeksjoner forvrenge både vinkler og områder. Når de konstruerer dem, streber de etter å finne den mest fordelaktige fordelingen av forvrengninger for hvert enkelt tilfelle, og når så å si et kompromiss. Denne gruppen av anslag brukes i tilfeller der overdreven forvrengning av hjørner og områder er like uønsket. I henhold til deres egenskaper, vilkårlige anslag ligge mellom likekantet og likt areal. Blant dem kan vi trekke frem like langt(eller like langt) projeksjoner, på alle punkter hvor skalaen langs en av hovedretningene er konstant og lik hovedretningen.

Klassifisering av kartprojeksjoner etter type geometrisk hjelpeflate .

Basert på typen hjelpegeometrisk overflate, skilles projeksjoner ut: sylindriske, asimutale og koniske.

Sylindrisk kalles projeksjoner der et nettverk av meridianer og paralleller fra overflaten av ellipsoiden overføres til sideoverflaten til en tangent (eller sekant) sylinder, og deretter kuttes sylinderen langs generatrisen og brettes ut til et plan (fig. 6) ).

Fig.6. Normal sylindrisk fremspring

Forvrengning er fraværende på tangenslinjen og er minimal nær den. Hvis sylinderen er sekant, er det to tangenslinjer, som betyr 2 LNI. Forvrengning mellom LNI-er er minimal.

Avhengig av orienteringen til sylinderen i forhold til aksen til jordens ellipsoide, skilles projeksjoner:

- normal, når sylinderens akse faller sammen med den mindre aksen til jordens ellipsoide; meridianer i dette tilfellet er ekvidistante parallelle linjer, og paralleller er rette linjer vinkelrett på dem;

– tverrgående, når sylinderaksen ligger i ekvatorialplanet; rutenetttype: den midterste meridianen og ekvator er gjensidig vinkelrette rette linjer, de resterende meridianene og parallellene er buede linjer (fig. c).

– skrå, når sylinderens akse danner en spiss vinkel med ellipsoidens akse; i skrå sylindriske projeksjoner er meridianer og paralleller buede linjer.

Azimuthal kalles projeksjoner der nettverket av meridianer og paralleller overføres fra overflaten av ellipsoiden til tangent- (eller sekant)planet (fig. 7).

Ris. 7. Normal asimutal projeksjon

Bildet nær tangenspunktet (eller snittlinjen) til planet til jordens ellipsoide er nesten ikke forvrengt i det hele tatt. Tangentpunktet er punktet med null forvrengning.

Avhengig av plasseringen av tangenspunktet til planet på overflaten av jordens ellipsoide, skilles asimutale projeksjoner ut:

– normal, eller polar, når flyet berører jorden ved en av polene; type rutenett: meridianer - rette linjer som divergerer radielt fra polen, paralleller - konsentriske sirkler med sentre ved polen (fig. 7);

– tverrgående, eller ekvatorisk, når flyet berører ellipsoiden ved et av punktene på ekvator; rutenetttype: den midterste meridianen og ekvator er gjensidig vinkelrette rette linjer, de resterende meridianene og parallellene er buede linjer (i noen tilfeller er paralleller avbildet som rette linjer;

– skrå, eller horisontal, når flyet berører ellipsoiden på et tidspunkt som ligger mellom polen og ekvator. I skråprojeksjoner er bare den midterste meridianen som tangentpunktet ligger på en rett linje, de resterende meridianene og parallellene er buede linjer.

Konisk kalles projeksjoner der nettverket av meridianer og paralleller fra overflaten av ellipsoiden overføres til sideoverflaten til tangent- (eller sekant)kjeglen (fig. 8).

Ris. 8. Normal konisk projeksjon

Forvrengninger er lite merkbare langs tangenslinjen eller to tverrsnittslinjer av kjeglen til jordens ellipsoide, som er linjen(e) med null forvrengning av LNI. Som sylindriske koniske fremspring er de delt inn i:

- normal, når kjeglens akse faller sammen med den mindre aksen til jordens ellipsoide; Meridianene i disse projeksjonene er representert av rette linjer som divergerer fra toppen av kjeglen, og parallellene er representert av buer av konsentriske sirkler.

– tverrgående, når kjeglens akse ligger i ekvatorplanet; rutenetttype: den midterste meridianen og parallellen av tangens er gjensidig vinkelrette rette linjer, de resterende meridianene og parallellene er buede linjer;

– skrå, når kjeglens akse danner en spiss vinkel med ellipsoidens akse; i skrå koniske projeksjoner er meridianer og paralleller buede linjer.

I normale sylindriske, asimutale og koniske projeksjoner er kartgitteret ortogonalt - meridianer og paralleller krysser hverandre i rette vinkler, noe som er en av de viktige diagnostiske egenskapene til disse projeksjonene.

Hvis det ved oppnåelse av sylindriske, asimutale og koniske projeksjoner brukes en geometrisk metode (lineær projeksjon av en hjelpeflate på et plan), kalles slike projeksjoner henholdsvis perspektiv-sylindrisk, perspektiv-asimutalt (vanlig perspektiv) og perspektiv-konisk. .

Polykonisk kalles projeksjoner der et nettverk av meridianer og paralleller fra overflaten til en ellipsoid overføres til sideflatene til flere kjegler, som hver er kuttet langs en generatrise og foldet ut til et plan. I polykoniske projeksjoner er paralleller avbildet som buer av eksentriske sirkler, den sentrale meridianen er en rett linje, alle andre meridianer er buede linjer symmetriske i forhold til den sentrale.

Betinget kalles projeksjoner, hvis konstruksjon ikke tyr til bruken av hjelpegeometriske overflater. Et nettverk av meridianer og paralleller bygges i henhold til en forhåndsbestemt tilstand. Blant de betingede anslagene kan vi skille pseudocylindrisk, pseudo-azimut Og pseudokonisk fremspring som beholder utseendet til paralleller fra de opprinnelige sylindriske, asimutale og koniske fremspringene. I disse anslagene den midterste meridianen er en rett linje, de resterende meridianene er buede linjer.

Til betinget anslag inkluderer også polyedriske projeksjoner , som oppnås ved å projisere på overflaten et polyeder som berører eller skjærer jordens ellipsoide. Hvert ansikt er en likesidet trapes (mindre vanlig, sekskanter, firkanter, romber). En rekke polyedriske projeksjoner er flerfelts projeksjoner , og strimlene kan kuttes langs både meridianer og paralleller. Slike projeksjoner er fordelaktige ved at forvrengningen innenfor hver side eller stripe er veldig liten, så de brukes alltid for kart med flere ark. Den største ulempen med polyedriske projeksjoner er umuligheten av å kombinere en blokk med kartark til felles rammer uten brudd.

I praksis er inndelingen etter territoriell dekning verdifull. Av territoriell dekning kartprojeksjoner er bevilget til kart over verden, halvkuler, kontinenter og hav, kart over individuelle stater og deres deler. Etter dette prinsippet Tabell-determinanter for kartografiske projeksjoner ble bygget. I tillegg, sist Det gjøres forsøk på å utvikle genetiske klassifikasjoner av kartprojeksjoner basert på formen av differensialligninger som beskriver dem. Disse klassifiseringene dekker hele det mulige settet med anslag, men er ekstremt uklare, fordi er ikke relatert til typen rutenett av meridianer og paralleller.