For eksempel sekvensen \(2\); \(5\); \(8\); \(elleve\); \(14\)... er en aritmetisk progresjon, fordi hvert påfølgende element er forskjellig fra det forrige og tre (kan fås fra det forrige ved å legge til tre):

I denne progresjonen er forskjellen \(d\) positiv (lik \(3\)), og derfor er hvert neste ledd større enn det forrige. Slike progresjoner kalles økende.

Imidlertid kan \(d\) også være det negativt tall. For eksempel, V aritmetisk progresjon\(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresjonsforskjellen \(d\) er lik minus seks.

Og i dette tilfellet vil hvert neste element være mindre enn det forrige. Disse progresjonene kalles minkende.

Aritmetisk progresjonsnotasjon

Progresjon er indikert med en liten latinsk bokstav.

Tall som danner en progresjon kalles medlemmer(eller elementer).

De er merket med samme bokstav som en aritmetisk progresjon, men med en numerisk indeks lik tallet på elementet i rekkefølge.

For eksempel består den aritmetiske progresjonen \(a_n = \venstre\( 2; 5; 8; 11; 14...\høyre\)\) av elementene \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) og så videre.

Med andre ord, for progresjonen \(a_n = \venstre\(2; 5; 8; 11; 14...\høyre\)\)

Løse aritmetiske progresjonsproblemer

I prinsippet er informasjonen presentert ovenfor allerede nok til å løse nesten alle aritmetiske progresjonsproblemer (inkludert de som tilbys ved OGE).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene \(b_1=7; d=4\). Finn \(b_5\).
Løsning:

Svar: \(b_5=23\)

Eksempel (OGE). De tre første leddene i en aritmetisk progresjon er gitt: \(62; 49; 36…\) Finn verdien av det første negative leddet i denne progresjonen..
Løsning:

	Vi får de første elementene i sekvensen og vet at det er en aritmetisk progresjon. Det vil si at hvert element skiller seg fra naboen med samme tall. La oss finne ut hvilken ved å trekke den forrige fra det neste elementet: \(d=49-62=-13\).
	Nå kan vi gjenopprette progresjonen til det (første negative) elementet vi trenger.
	Klar. Du kan skrive et svar.

Svar: \(-3\)

Eksempel (OGE). Gitt flere påfølgende elementer i en aritmetisk progresjon: \(…5; x; 10; 12,5...\) Finn verdien til elementet angitt med bokstaven \(x\).
Løsning:

	For å finne \(x\), må vi vite hvor mye det neste elementet skiller seg fra det forrige, med andre ord progresjonsforskjellen. La oss finne det fra to kjente naboelementer: \(d=12,5-10=2,5\).
	Og nå kan vi enkelt finne det vi leter etter: \(x=5+2,5=7,5\).
	Klar. Du kan skrive et svar.

Svar: \(7,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er definert av følgende betingelser: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Finn summen av de første seks leddene i denne progresjonen.
Løsning:

	Vi må finne summen av de seks første leddene i progresjonen. Men vi vet ikke hva de betyr, vi får bare det første elementet. Derfor beregner vi først verdiene en etter en, ved å bruke det som er gitt til oss: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Og etter å ha beregnet de seks elementene vi trenger, finner vi summen deres.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Det nødvendige beløpet er funnet.

Svar: \(S_6=9\).

Eksempel (OGE). I aritmetisk progresjon \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Finn forskjellen på denne progresjonen.
Løsning:

Svar: \(d=7\).

Viktige formler for aritmetisk progresjon

Som du kan se, kan mange problemer med aritmetisk progresjon løses ganske enkelt ved å forstå det viktigste - at en aritmetisk progresjon er en kjede av tall, og hvert påfølgende element i denne kjeden oppnås ved å legge det samme tallet til det forrige (den forskjell i progresjon).

Noen ganger er det imidlertid situasjoner når det er veldig upraktisk å bestemme seg for "head-on". Tenk deg for eksempel at i det aller første eksemplet må vi ikke finne det femte elementet \(b_5\), men det tre hundre og åttiseksende \(b_(386)\). Skal vi legge til fire \(385\) ganger? Eller forestill deg at du i det nest siste eksemplet må finne summen av de første syttitre elementene. Du blir lei av å telle...

Derfor løser de i slike tilfeller ikke ting "head-on", men bruker spesielle formler utledet for aritmetisk progresjon. Og de viktigste er formelen for det n'te leddet i progresjonen og formelen for summen av \(n\) første ledd.

Formel for \(n\)te ledd: \(a_n=a_1+(n-1)d\), der \(a_1\) er det første leddet i progresjonen;
\(n\) – nummeret på det nødvendige elementet;
\(a_n\) – ledd for progresjonen med nummer \(n\).

Denne formelen lar oss raskt finne selv det trehundrede eller millionte elementet, og bare vite det første og forskjellen i progresjonen.

Eksempel. Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Finn \(b_(246)\).
Løsning:

Svar: \(b_(246)=1850\).

Formel for summen av de første n leddene: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), hvor

\(a_n\) – det siste summerte leddet;

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene \(a_n=3.4n-0.6\). Finn summen av de første \(25\) leddene i denne progresjonen.
Løsning:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		For å beregne summen av de første tjuefem leddene, må vi vite verdien av de første og tjuefemte leddene. Progresjonen vår er gitt av formelen til det n-te leddet avhengig av antallet (for mer detaljer, se). La oss beregne det første elementet ved å erstatte ett med \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		La oss nå finne det tjuefemte leddet ved å erstatte tjuefem i stedet for \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Vel, nå kan vi enkelt beregne det nødvendige beløpet.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Svaret er klart.

Svar: \(S_(25)=1090\).

For summen \(n\) av de første leddene, kan du få en annen formel: du trenger bare \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \) (\cdot 25\ ) i stedet for \(a_n\) erstatte formelen for det \(a_n=a_1+(n-1)d\). Vi får:

Formel for summen av de første n leddene: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), hvor

\(S_n\) – den nødvendige summen av \(n\) første elementer;
\(a_1\) – det første summerte leddet;
\(d\) – progresjonsforskjell;
\(n\) – antall elementer totalt.

Eksempel. Finn summen av de første \(33\)-ex leddene i den aritmetiske progresjonen: \(17\); \(15,5\); \(14\)...
Løsning:

Svar: \(S_(33)=-231\).

Mer komplekse aritmetiske progresjonsproblemer

Nå har du alt nødvendig informasjon for å løse nesten alle aritmetiske progresjonsproblemer. La oss avslutte emnet med å vurdere problemer der du ikke bare trenger å bruke formler, men også tenke litt (i matematikk kan dette være nyttig ☺)

Eksempel (OGE). Finn summen av alle negative ledd i progresjonen: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)...
Løsning:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Oppgaven er veldig lik den forrige. Vi begynner å løse det samme: først finner vi \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Nå vil vi gjerne erstatte \(d\) i formelen for summen... og her kommer en liten nyanse frem - vi vet ikke \(n\). Med andre ord, vi vet ikke hvor mange termer som må legges til. Hvordan finne ut av det? La oss tenke. Vi slutter å legge til elementer når vi når det første positive elementet. Det vil si at du må finne ut nummeret på dette elementet. Hvordan? La oss skrive ned formelen for å beregne et hvilket som helst element i en aritmetisk progresjon: \(a_n=a_1+(n-1)d\) for vårt tilfelle.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Vi trenger \(a_n\) for å bli større enn null. La oss finne ut hva \(n\) dette vil skje.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Vi deler begge sider av ulikheten med \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Vi overfører minus én, ikke glemme å endre skiltene
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		La oss beregne...
\(n>65 333...\)		...og det viser seg at det første positive elementet vil ha tallet \(66\). Følgelig har den siste negative \(n=65\). Bare i tilfelle, la oss sjekke dette.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Så vi må legge til de første \(65\) elementene.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Svaret er klart.

Svar: \(S_(65)=-630,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Finn summen fra \(26\)-elementet til \(42\)-elementet.
Løsning:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	I denne oppgaven må du også finne summen av elementene, men starter ikke fra den første, men fra den \(26\)th. For et slikt tilfelle har vi ingen formel. Hvordan bestemme? Det er enkelt - for å få summen fra \(26\)te til \(42\)te, må du først finne summen fra \(1\)te til \(42\)te, og deretter trekke fra fra den summen fra første til \(25\)th (se bilde).
	For vår progresjon \(a_1=-33\), og forskjellen \(d=4\) (tross alt legger vi de fire til det forrige elementet for å finne det neste). Når vi vet dette, finner vi summen av de første \(42\)-y elementene.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nå summen av de første \(25\) elementene.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Og til slutt beregner vi svaret.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Svar: \(S=1683\).

For aritmetisk progresjon er det flere formler som vi ikke vurderte i denne artikkelen på grunn av deres lave praktiske nytte. Du kan imidlertid enkelt finne dem.

Eller aritmetikk er en type ordnet numerisk rekkefølge, hvis egenskaper er studert i skolekurs algebra. Denne artikkelen diskuterer i detalj spørsmålet om hvordan man finner summen av en aritmetisk progresjon.

Hva slags progresjon er dette?

Før du går videre til spørsmålet (hvordan finne summen av en aritmetisk progresjon), er det verdt å forstå hva vi snakker om.

Enhver sekvens av reelle tall som oppnås ved å legge til (subtrahere) en verdi fra hvert forrige tall kalles en algebraisk (aritmetisk) progresjon. Denne definisjonen, når den oversettes til matematisk språk, har formen:

Her jeg - serienummer element i serien a i . Dermed kan du enkelt gjenopprette hele serien hvis du bare kjenner ett startnummer. Parameteren d i formelen kalles progresjonsforskjellen.

Det kan enkelt vises at for tallseriene som vurderes gjelder følgende likhet:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Det vil si at for å finne verdien av det n-te elementet i rekkefølge, bør du legge til differansen d til det første elementet a 1 n-1 ganger.

Hva er summen av en aritmetisk progresjon: formel

Før du gir formelen for den angitte mengden, er det verdt å vurdere en enkel spesielt tilfelle. Progresjonen er gitt naturlige tall fra 1 til 10, må du finne summen deres. Siden det er få ledd i progresjonen (10), er det mulig å løse oppgaven front-on, det vil si summere alle elementene i rekkefølge.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

En ting verdt å vurdere interessant ting: siden hvert ledd er forskjellig fra det neste med samme verdi d = 1, vil parvise summering av den første med den tiende, den andre med den niende, og så videre gi samme resultat. Egentlig:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Som du kan se, er det bare 5 av disse summene, det vil si nøyaktig to ganger mindre enn antall elementer i serien. Hvis du deretter multipliserer antall summer (5) med resultatet av hver sum (11), vil du komme frem til resultatet oppnådd i det første eksemplet.

Hvis vi generaliserer disse argumentene, kan vi skrive følgende uttrykk:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Dette uttrykket viser at det slett ikke er nødvendig å summere alle elementene på rad, det er nok å vite verdien av den første a 1 og den siste a n , samt totalt antall n vilkår.

Det antas at Gauss var den første som tenkte på denne likheten da han lette etter en løsning på et gitt problem. skole lærer oppgave: summer de første 100 heltallene.

Sum av elementer fra m til n: formel

Formelen gitt i forrige avsnitt svarer på spørsmålet om hvordan man finner summen av en aritmetisk progresjon (de første elementene), men ofte i oppgaver er det nødvendig å summere en serie tall i midten av progresjonen. Hvordan gjøre det?

Den enkleste måten å svare på dette spørsmålet på er ved å vurdere følgende eksempel: la det være nødvendig å finne summen av ledd fra mnd til nth. For å løse oppgaven bør du presentere det gitte segmentet fra m til n av progresjonen i form av en ny tallserie. I slike m-te representasjon begrepet a m vil være det første, og a n vil være nummerert n-(m-1). I dette tilfellet, ved å bruke standardformelen for summen, vil følgende uttrykk bli oppnådd:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Eksempel på bruk av formler

Når du vet hvordan du finner summen av en aritmetisk progresjon, er det verdt å vurdere et enkelt eksempel på bruk av formlene ovenfor.

Nedenfor er en numerisk sekvens, du bør finne summen av leddene, som starter fra den 5. og slutter med den 12.:

De oppgitte tallene indikerer at differansen d er lik 3. Ved å bruke uttrykket for det n'te elementet kan du finne verdiene til 5. og 12. ledd i progresjonen. Det viser seg:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Å kjenne verdiene til tallene på slutten av det gitte algebraisk progresjon, og også vite hvilke tall i raden de opptar, kan du bruke formelen for beløpet oppnådd i forrige avsnitt. Det vil vise seg:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Det er verdt å merke seg at denne verdien kan oppnås annerledes: finn først summen av de første 12 elementene ved å bruke standardformelen, beregn deretter summen av de første 4 elementene med samme formel, og trekk deretter den andre fra den første summen.

Første nivå

Aritmetisk progresjon. Detaljert teori med eksempler (2019)

Nummerrekkefølge

Så la oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:
Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil (i vårt tilfelle er det dem). Uansett hvor mange tall vi skriver, kan vi alltid si hvilket som er først, hvilket som er nummer to, og så videre til det siste, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallsekvens:

Nummerrekkefølge
For eksempel for vår sekvens:

Det tildelte nummeret er spesifikt for bare ett nummer i sekvensen. Det er med andre ord ingen tre sekunders tall i sekvensen. Det andre tallet (som det th tallet) er alltid det samme.
Tallet med tall kalles det te leddet i sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

I vårt tilfelle:

La oss si at vi har en tallrekke der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.
For eksempel:

etc.
Denne tallsekvensen kalles en aritmetisk progresjon.
Begrepet «progresjon» ble introdusert av den romerske forfatteren Boethius tilbake på 600-tallet og ble forstått i bredere forstand som en uendelig numerisk rekkefølge. Navnet "aritmetikk" ble overført fra teorien om kontinuerlige proporsjoner, som ble studert av de gamle grekerne.

Dette er en tallsekvens, hvor hvert medlem er lik den forrige lagt til samme nummer. Dette tallet kalles forskjellen til en aritmetisk progresjon og er betegnet.

Prøv å finne ut hvilke tallsekvenser som er en aritmetisk progresjon og hvilke som ikke er det:

en)
b)
c)
d)

Har det? La oss sammenligne svarene våre:
Er aritmetisk progresjon - b, c.
Er ikke aritmetisk progresjon - a, d.

La oss gå tilbake til den gitte progresjonen () og prøve å finne verdien av dets tredje ledd. Finnes to måte å finne det på.

1. Metode

Vi kan legge til progresjonstallet til den forrige verdien til vi når den tredje ledd av progresjonen. Det er bra at vi ikke har så mye å oppsummere - bare tre verdier:

Så, det tredje leddet i den beskrevne aritmetiske progresjonen er lik.

2. Metode

Hva om vi trengte å finne verdien av det tredje leddet i progresjonen? Summeringen ville tatt oss mer enn én time, og det er ikke et faktum at vi ikke ville gjort feil når vi legger til tall.
Selvfølgelig har matematikere kommet opp med en måte der det ikke er nødvendig å legge forskjellen til en aritmetisk progresjon til den forrige verdien. Ta en nærmere titt på det tegnede bildet... Du har sikkert allerede lagt merke til et bestemt mønster, nemlig:

La oss for eksempel se hva verdien av det tredje leddet i denne aritmetiske progresjonen består av:


Med andre ord:

Prøv å finne verdien av et medlem av en gitt aritmetisk progresjon selv på denne måten.

Har du regnet ut? Sammenlign notatene dine med svaret:

Vær oppmerksom på at du fikk nøyaktig samme tall som i den forrige metoden, da vi sekvensielt la til vilkårene for den aritmetiske progresjonen til den forrige verdien.
La oss prøve å "depersonalisere" denne formelen - la oss ta den inn generell form og vi får:

Aritmetisk progresjonsligning.

Aritmetiske progresjoner kan være økende eller avtagende.

Økende- progresjoner der hver påfølgende verdi av begrepene er større enn den forrige.
For eksempel:

Synkende- progresjoner der hver påfølgende verdi av vilkårene er mindre enn den forrige.
For eksempel:

Den utledede formelen brukes i beregningen av ledd i både økende og avtagende termer av en aritmetisk progresjon.
La oss sjekke dette i praksis.
Vi får en aritmetisk progresjon som består av følgende tall: La oss sjekke hva tallet i denne aritmetiske progresjonen vil være hvis vi bruker formelen vår til å beregne den:

Siden da:

Dermed er vi overbevist om at formelen fungerer i både avtagende og økende aritmetisk progresjon.
Prøv å finne de th og th leddene i denne aritmetiske progresjonen selv.

La oss sammenligne resultatene:

Aritmetisk progresjonsegenskap

La oss komplisere problemet - vi vil utlede egenskapen til aritmetisk progresjon.
La oss si at vi får følgende betingelse:
- aritmetisk progresjon, finn verdien.
Lett, sier du og begynner å telle etter formelen du allerede kjenner:

La, ah, da:

Helt rett. Det viser seg at vi først finner, så legger vi det til det første tallet og får det vi leter etter. Hvis progresjonen er representert av små verdier, så er det ikke noe komplisert med det, men hva om vi får tall i tilstanden? Enig, det er en mulighet for å gjøre feil i beregningene.
Tenk nå på om det er mulig å løse dette problemet i ett trinn ved å bruke en formel? Selvfølgelig ja, og det er det vi skal prøve å få frem nå.

La oss betegne det nødvendige leddet for den aritmetiske progresjonen som formelen for å finne den er kjent for oss - dette er den samme formelen vi avledet i begynnelsen:
, Deretter:

• forrige termin av progresjonen er:
• neste termin i progresjonen er:

La oss oppsummere de forrige og påfølgende betingelsene for progresjonen:

Det viser seg at summen av de forrige og påfølgende leddene i progresjonen er den doble verdien av progresjonsleddet som ligger mellom dem. Med andre ord, for å finne verdien av et progresjonsledd med kjente tidligere og påfølgende verdier, må du legge dem til og dele med.

Det stemmer, vi har samme nummer. La oss sikre materialet. Beregn verdien for progresjonen selv, det er slett ikke vanskelig.

Bra gjort! Du vet nesten alt om progresjon! Det gjenstår å finne ut bare en formel, som ifølge legenden lett ble utledet for seg selv av en av tidenes største matematikere, "matematikernes konge" - Carl Gauss ...

Da Carl Gauss var 9 år gammel, spurte en lærer, opptatt med å sjekke arbeidet til elevene i andre klasser, følgende oppgave i klassen: "Regn ut summen av alle naturlige tall fra til (ifølge andre kilder til) inklusive." Se for deg lærerens overraskelse da en av elevene hans (dette var Karl Gauss) et minutt senere ga riktig svar på oppgaven, mens de fleste av våghalsens klassekamerater, etter lange utregninger, fikk feil resultat...

Unge Carl Gauss la merke til et bestemt mønster som du også lett kan legge merke til.
La oss si at vi har en aritmetisk progresjon som består av -th ledd: Vi må finne summen av disse leddene av den aritmetiske progresjonen. Selvfølgelig kan vi manuelt summere alle verdiene, men hva om oppgaven krever å finne summen av termene, slik Gauss lette etter?

La oss skildre progresjonen gitt til oss. Ta en nærmere titt på de uthevede tallene og prøv å utføre ulike matematiske operasjoner med dem.


Har du prøvd det? Hva la du merke til? Ikke sant! Summene deres er like

Si meg nå, hvor mange slike par er det totalt i progresjonen gitt til oss? Selvfølgelig, nøyaktig halvparten av alle tall, altså.
Basert på det faktum at summen av to ledd i en aritmetisk progresjon er lik, og like par er like, får vi at den totale summen er lik:
.
Dermed vil formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon være:

I noen problemer kjenner vi ikke begrepet, men vi vet forskjellen på progresjonen. Prøv å erstatte formelen til det te leddet med sumformelen.
Hva fikk du?

Bra gjort! La oss nå gå tilbake til oppgaven som ble stilt til Carl Gauss: beregn selv hva summen av tallene som starter fra th er lik og summen av tallene som starter fra th.

Hvor mye fikk du?
Gauss fant at summen av leddene er lik, og summen av leddene. Var det det du bestemte deg for?

Faktisk ble formelen for summen av vilkårene for en aritmetisk progresjon bevist av den antikke greske vitenskapsmannen Diophantus tilbake på 300-tallet, og gjennom denne tiden benyttet vittige mennesker egenskapene til den aritmetiske progresjonen til fulle.
Tenk deg for eksempel Det gamle Egypt og datidens største byggeprosjekt - byggingen av en pyramide... Bildet viser den ene siden av den.

Hvor er progresjonen her, sier du? Se nøye og finn et mønster i antall sandblokker i hver rad av pyramideveggen.


Hvorfor ikke en aritmetisk progresjon? Regn ut hvor mange blokker som trengs for å bygge én vegg hvis blokkklosser er plassert ved basen. Jeg håper du ikke vil telle mens du beveger fingeren over skjermen, husker du den siste formelen og alt vi sa om aritmetisk progresjon?

I dette tilfellet ser progresjonen slik ut: .
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall ledd i en aritmetisk progresjon.
La oss erstatte dataene våre i de siste formlene (beregn antall blokker på 2 måter).

Metode 1.

Metode 2.

Og nå kan du beregne på skjermen: sammenlign de oppnådde verdiene med antall blokker som er i pyramiden vår. Har det? Godt gjort, du har mestret summen av de n-te leddene i en aritmetisk progresjon.
Selvfølgelig kan du ikke bygge en pyramide fra blokker ved basen, men fra? Prøv å beregne hvor mange sandklosser som trengs for å bygge en vegg med denne tilstanden.
Klarte du deg?
Riktig svar er blokker:

Opplæring

Oppgaver:

1. Masha kommer i form til sommeren. Hver dag øker hun antall knebøy med. Hvor mange ganger vil Masha trene knebøy i løpet av en uke hvis hun gjorde knebøy på den første treningsøkten?
2. Hva er summen av alle oddetall som finnes i.
3. Ved lagring av tømmerstokker stabler loggere dem på en slik måte at hver øverste laget inneholder én logg mindre enn den forrige. Hvor mange stokker er det i ett murverk, hvis fundamentet til murverket er stokker?

Svar:

1. La oss definere parametrene for den aritmetiske progresjonen. I dette tilfellet
   (uker = dager).

   Svar: Om to uker bør Masha gjøre knebøy en gang om dagen.

2. Først oddetall, siste nummer.
   Aritmetisk progresjonsforskjell.
   Antall oddetall i er halvparten, men la oss sjekke dette faktum ved å bruke formelen for å finne det tredje leddet i en aritmetisk progresjon:

   Tall inneholder oddetall.
   La oss erstatte de tilgjengelige dataene i formelen:

   Svar: Summen av alle oddetall i er lik.

3. La oss huske problemet med pyramider. For vårt tilfelle, en , siden hvert topplag er redusert med en stokk, så er det totalt en haug med lag, altså.
   La oss erstatte dataene i formelen:

   Svar: Det er stokker i murverket.

La oss oppsummere det

1. - en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er lik og lik. Det kan være økende eller avtagende.
2. Finne formel Det tredje leddet i en aritmetisk progresjon er skrevet med formelen - , hvor er antall tall i progresjonen.
3. Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon- - hvor er antall tall i progresjon.
4. Summen av leddene til en aritmetisk progresjon kan finnes på to måter:
   
   , hvor er antall verdier.

ARITMETISK PROGRESJON. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Nummerrekkefølge

La oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:

Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil. Men vi kan alltid si hvilken som er først, hvilken som er nummer to, og så videre, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallrekke.

Nummerrekkefølge er et sett med tall, som hver kan tildeles et unikt nummer.

Med andre ord kan hvert tall assosieres med et visst naturlig tall, og et unikt. Og vi vil ikke tildele dette nummeret til noe annet nummer fra dette settet.

Tallet med nummer kalles det th medlem av sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

Det er veldig praktisk hvis det tredje leddet i sekvensen kan spesifiseres med en formel. For eksempel formelen

setter sekvensen:

Og formelen er følgende sekvens:

For eksempel er en aritmetisk progresjon en sekvens (det første leddet her er likt, og forskjellen er det). Eller (, forskjell).

formel for n. ledd

Vi kaller en formel tilbakevendende der du, for å finne ut begrepet, må kjenne til de forrige eller flere tidligere:

For å finne for eksempel det tredje leddet i progresjonen ved å bruke denne formelen, må vi beregne de ni foregående. For eksempel, la det. Deretter:

Vel, er det klart nå hva formelen er?

I hver linje legger vi til, multiplisert med et eller annet tall. Hvilken? Veldig enkelt: dette er nummeret på gjeldende medlem minus:

Mye mer praktisk nå, ikke sant? Vi sjekker:

Bestem selv:

I en aritmetisk progresjon, finn formelen for det n'te leddet og finn det hundrede leddet.

Løsning:

Det første leddet er likt. Hva er forskjellen? Her er hva:

(Dette er grunnen til at det kalles forskjell fordi det er lik forskjellen mellom påfølgende ledd i progresjonen).

Så formelen:

Da er det hundrede leddet lik:

Hva er summen av alle naturlige tall fra til?

Ifølge legenden beregnet den store matematikeren Carl Gauss, som en 9 år gammel gutt, dette beløpet på noen få minutter. Han la merke til at summen av de første og siste stevnemøte er lik, summen av den andre og den nest siste er den samme, summen av den tredje og den tredje fra slutten er den samme, og så videre. Hvor mange slike par er det totalt? Det stemmer, nøyaktig halvparten av alle tall, altså. Så,

Den generelle formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon vil være:

Eksempel:
Finn summen av alle tosifrede tall, multipler.

Løsning:

Det første slike nummer er dette. Hvert etterfølgende nummer oppnås ved å legge til det forrige nummeret. Dermed danner tallene vi er interessert i en aritmetisk progresjon med det første leddet og differansen.

Formel for begrepet for denne progresjonen:

Hvor mange ledd er det i progresjonen hvis de alle må være tosifrede?

Meget lett: .

Den siste perioden av progresjonen vil være lik. Så summen:

Svar: .

Bestem nå selv:

1. Hver dag løper utøveren flere meter enn dagen før. Hvor mange kilometer totalt vil han løpe i løpet av en uke hvis han løper km m den første dagen?
2. En syklist kjører flere kilometer hver dag enn dagen før. Den første dagen reiste han km. Hvor mange dager trenger han å reise for å tilbakelegge en kilometer? Hvor mange kilometer vil han reise i løpet av den siste dagen av reisen?
3. Prisen på kjøleskap i butikk synker like mye hvert år. Bestem hvor mye prisen på et kjøleskap falt hvert år hvis det ble lagt ut for salg for rubler seks år senere ble solgt for rubler.

Svar:

1. Det viktigste her er å gjenkjenne den aritmetiske progresjonen og bestemme dens parametere. I dette tilfellet (uker = dager). Du må bestemme summen av de første leddene i denne progresjonen:
   .
   Svar:
2. Her er det gitt: , må finnes.
   Selvfølgelig må du bruke samme sumformel som i forrige oppgave:
   .
   Bytt ut verdiene:

   Roten passer tydeligvis ikke, så svaret er.
   La oss beregne banen som ble reist i løpet av den siste dagen ved å bruke formelen for det te leddet:
   (km).
   Svar:

3. Gitt:. Finn: .
   Det kunne ikke vært enklere:
   (gni).
   Svar:

ARITMETISK PROGRESJON. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Dette er en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.

Aritmetisk progresjon kan være økende () og avtagende ().

For eksempel:

Formel for å finne det n-te leddet i en aritmetisk progresjon

er skrevet av formelen, hvor er antall tall i progresjon.

Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon

Den lar deg enkelt finne et ledd i en progresjon hvis naboleddet er kjent - hvor er antallet tall i progresjonen.

Summen av ledd i en aritmetisk progresjon

Det er to måter å finne beløpet på:

Hvor er antall verdier.

Hvor er antall verdier.

Når du studerer algebra i ungdomsskolen(9. klasse) et av de viktige temaene er studiet av tallsekvenser, som inkluderer progresjoner - geometriske og aritmetiske. I denne artikkelen skal vi se på en aritmetisk progresjon og eksempler med løsninger.

Hva er en aritmetisk progresjon?

For å forstå dette er det nødvendig å definere den aktuelle progresjonen, samt gi de grunnleggende formlene som vil bli brukt senere for å løse problemer.

Aritmetisk eller er et sett med ordnede rasjonelle tall, hvor hvert medlem skiller seg fra det forrige med en konstant verdi. Denne mengden kalles differansen. Det vil si at du kan gjenopprette hele den aritmetiske progresjonen når du kjenner til et hvilket som helst medlem av en ordnet serie med tall og forskjellen.

La oss gi et eksempel. Følgende tallrekke vil være en aritmetisk progresjon: 4, 8, 12, 16, ..., siden forskjellen i dette tilfellet er 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Men settet med tall 3, 5, 8, 12, 17 kan ikke lenger tilskrives typen progresjon som vurderes, siden forskjellen for det ikke er en konstant verdi (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Viktige formler

La oss nå presentere de grunnleggende formlene som vil være nødvendig for å løse problemer ved å bruke aritmetisk progresjon. La oss betegne med symbolet a n nte termin sekvenser der n er et heltall. Vi angir forskjellen latinsk bokstav d. Da er følgende uttrykk gyldige:

1. For å bestemme verdien av det n-te leddet er følgende formel egnet: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. For å bestemme summen av de første n leddene: S n = (a n +a 1)*n/2.

For å forstå noen eksempler på aritmetisk progresjon med løsninger i 9. klasse, er det nok å huske disse to formlene, siden eventuelle problemer av typen som vurderes er basert på bruken. Du bør også huske at progresjonsforskjellen bestemmes av formelen: d = a n - a n-1.

Eksempel #1: finne et ukjent begrep

La oss gi et enkelt eksempel på en aritmetisk progresjon og formlene som må brukes for å løse den.

La sekvensen 10, 8, 6, 4, ... gis, du må finne fem ledd i den.

Fra betingelsene for problemet følger det allerede at de første 4 leddene er kjent. Den femte kan defineres på to måter:

1. La oss først beregne forskjellen. Vi har: d = 8 - 10 = -2. På samme måte kan du ta to andre medlemmer som står ved siden av hverandre. For eksempel, d = 4 - 6 = -2. Siden det er kjent at d = a n - a n-1, så er d = a 5 - a 4, hvorfra vi får: a 5 = a 4 + d. La oss erstatte kjente verdier: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Den andre metoden krever også kunnskap om forskjellen på den aktuelle progresjonen, så du må først bestemme den som vist ovenfor (d = -2). Når vi vet at det første leddet a 1 = 10, bruker vi formelen for n-tallet i sekvensen. Vi har: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Ved å erstatte n = 5 i det siste uttrykket får vi: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Som du ser førte begge løsningene til samme resultat. Merk at i dette eksemplet er progresjonsforskjellen d en negativ verdi. Slike sekvenser kalles avtagende, siden hvert neste ledd er mindre enn det forrige.

Eksempel #2: progresjonsforskjell

La oss nå komplisere oppgaven litt, gi et eksempel på hvordan du finner forskjellen på en aritmetisk progresjon.

Det er kjent at i noen algebraisk progresjon er 1. ledd lik 6, og 7. ledd er lik 18. Det er nødvendig å finne forskjellen og gjenopprette denne sekvensen til 7. ledd.

La oss bruke formelen for å bestemme det ukjente leddet: a n = (n - 1) * d + a 1 . La oss erstatte de kjente dataene fra tilstanden i den, det vil si tallene a 1 og en 7, vi har: 18 = 6 + 6 * d. Fra dette uttrykket kan du enkelt regne ut differansen: d = (18 - 6) /6 = 2. Dermed har vi besvart første del av oppgaven.

For å gjenopprette sekvensen til det 7. leddet, bør du bruke definisjonen av en algebraisk progresjon, det vil si a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, og så videre. Som et resultat gjenoppretter vi hele sekvensen: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Eksempel nr. 3: utarbeide en progresjon

La oss komplisere problemet enda mer. Nå må vi svare på spørsmålet om hvordan finne en aritmetisk progresjon. Følgende eksempel kan gis: to tall er gitt, for eksempel - 4 og 5. Det er nødvendig å lage en algebraisk progresjon slik at ytterligere tre ledd plasseres mellom disse.

Før du begynner å løse dette problemet, må du forstå hvilken plass de gitte tallene vil oppta i den fremtidige progresjonen. Siden det vil være tre ledd til mellom dem, så er en 1 = -4 og en 5 = 5. Etter å ha etablert dette, går vi videre til problemet, som ligner det forrige. Igjen, for det n-te leddet vi bruker formelen, får vi: a 5 = a 1 + 4 * d. Fra: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Det vi har her er ikke en heltallsverdi av forskjellen, men det er det rasjonalt tall, så formlene for den algebraiske progresjonen forblir de samme.

La oss nå legge den funnet forskjellen til en 1 og gjenopprette de manglende vilkårene i progresjonen. Vi får: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, som falt sammen med betingelsene for problemet.

Eksempel nr. 4: første termin av progresjon

La oss fortsette å gi eksempler på aritmetisk progresjon med løsninger. I alle tidligere problemer var det første tallet i den algebraiske progresjonen kjent. La oss nå vurdere et problem av en annen type: la to tall gis, der en 15 = 50 og en 43 = 37. Det er nødvendig å finne hvilket tall denne sekvensen begynner med.

Formlene som er brukt så langt forutsetter kunnskap om a 1 og d. I problemstillingen er ingenting kjent om disse tallene. Vi vil likevel skrive ned uttrykk for hvert begrep som det finnes informasjon om: a 15 = a 1 + 14 * d og a 43 = a 1 + 42 * d. Vi fikk to likninger der det er 2 ukjente størrelser (a 1 og d). Dette betyr at problemet reduseres til å løse et system med lineære ligninger.

Den enkleste måten å løse dette systemet på er å uttrykke en 1 i hver ligning og deretter sammenligne de resulterende uttrykkene. Første ligning: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; andre ligning: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ved å likestille disse uttrykkene får vi: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, hvorav differansen d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (bare 3 desimaler er gitt).

Når du kjenner d, kan du bruke hvilket som helst av de 2 uttrykkene ovenfor for en 1. For eksempel, først: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Hvis du er i tvil om det oppnådde resultatet, kan du sjekke det, for eksempel bestemme den 43. terminen av progresjonen, som er spesifisert i tilstanden. Vi får: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Den lille feilen skyldes at det ble brukt avrunding til tusendeler i beregningene.

Eksempel nr. 5: beløp

La oss nå se på flere eksempler med løsninger for summen av en aritmetisk progresjon.

La en numerisk progresjon gis følgende type: 1, 2, 3, 4, ...,. Hvordan beregne summen av 100 av disse tallene?

Takket være utvikling datateknologi du kan løse dette problemet, det vil si å legge til alle tallene sekvensielt, noe datamaskinen vil gjøre så snart en person trykker på Enter-tasten. Problemet kan imidlertid løses mentalt hvis du legger merke til at den presenterte tallserien er en algebraisk progresjon, og dens forskjell er lik 1. Ved å bruke formelen for summen får vi: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Det er interessant å merke seg at dette problemet kalles "Gaussian" fordi på begynnelsen av 1700-tallet var den berømte tyskeren, fortsatt bare 10 år gammel, i stand til å løse det i hodet på noen få sekunder. Gutten visste ikke formelen for summen av en algebraisk progresjon, men han la merke til at hvis du legger sammen tallene i enden av sekvensen i par, får du alltid det samme resultatet, det vil si 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., og siden disse summene vil være nøyaktig 50 (100 / 2), er det nok å multiplisere 50 med 101 for å få riktig svar.

Eksempel nr. 6: summen av ledd fra n til m

Et annet typisk eksempel på summen av en aritmetisk progresjon er følgende: gitt en serie med tall: 3, 7, 11, 15, ..., må du finne hva summen av leddene fra 8 til 14 vil være lik .

Problemet løses på to måter. Den første av dem innebærer å finne ukjente termer fra 8 til 14, og deretter summere dem sekvensielt. Siden det er få termer, er ikke denne metoden ganske arbeidskrevende. Ikke desto mindre er det foreslått å løse dette problemet ved å bruke en andre metode, som er mer universell.

Tanken er å få en formel for summen av den algebraiske progresjonen mellom leddene m og n, der n > m er heltall. For begge tilfeller skriver vi to uttrykk for summen:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Siden n > m er det åpenbart at 2. sum inkluderer den første. Den siste konklusjonen betyr at hvis vi tar differansen mellom disse summene og legger til begrepet a m (i tilfellet vi tar differansen trekkes den fra summen S n), vil vi få det nødvendige svaret på oppgaven. Vi har: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Det er nødvendig å erstatte formler for en n og en m i dette uttrykket. Da får vi: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Den resulterende formelen er noe tungvint, men summen S mn avhenger bare av n, m, a 1 og d. I vårt tilfelle er a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ved å erstatte disse tallene får vi: S mn = 301.

Som det fremgår av løsningene ovenfor, er alle problemer basert på kunnskap om uttrykket for det n. leddet og formelen for summen av settet av første ledd. Før du begynner å løse noen av disse problemene, anbefales det at du leser tilstanden nøye, forstår tydelig hva du trenger å finne, og først deretter fortsetter med løsningen.

Et annet tips er å strebe etter enkelhet, det vil si at hvis du kan svare på et spørsmål uten å bruke komplekse matematiske beregninger, må du gjøre nettopp det, siden sannsynligheten for å gjøre en feil i dette tilfellet er mindre. For eksempel, i eksemplet med en aritmetisk progresjon med løsning nr. 6, kan man stoppe ved formelen S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, og del opp det overordnede problemet i separate deloppgaver (i dette tilfellet, finn først begrepene a n og a m).

Hvis du er i tvil om det oppnådde resultatet, anbefales det å sjekke det, slik det ble gjort i noen av eksemplene gitt. Vi fant ut hvordan man finner en aritmetisk progresjon. Hvis du finner ut av det, er det ikke så vanskelig.