Aritmetisk progresjon navngi en tallsekvens (betingelser for en progresjon)

Der hver påfølgende term skiller seg fra den forrige med en ny term, som også kalles trinn eller progresjonsforskjell.

Ved å spesifisere progresjonstrinnet og dets første ledd, kan du derfor finne alle elementene ved hjelp av formelen

Egenskaper for en aritmetisk progresjon

1) Hvert medlem av en aritmetisk progresjon, fra det andre tallet, er det aritmetiske gjennomsnittet av forrige og neste medlem av progresjonen

Det motsatte er også sant. Hvis det aritmetiske gjennomsnittet av tilstøtende odde (partall) ledd i en progresjon er lik leddet som står mellom dem, så er denne tallsekvensen en aritmetisk progresjon. Ved å bruke denne setningen er det veldig enkelt å sjekke hvilken som helst sekvens.

Dessuten, ved egenskapen til aritmetisk progresjon, kan formelen ovenfor generaliseres til følgende

Dette er enkelt å verifisere hvis du skriver vilkårene til høyre for likhetstegnet

Det brukes ofte i praksis for å forenkle beregninger i oppgaver.

2) Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon beregnes ved hjelp av formelen

Husk godt formelen for summen av en aritmetisk progresjon den er uunnværlig i beregninger og finnes ganske ofte i enkle livssituasjoner.

3) Hvis du ikke trenger å finne hele summen, men en del av sekvensen fra dens kth ledd, vil følgende sumformel være nyttig for deg

4) Av praktisk interesse er å finne summen av n ledd av en aritmetisk progresjon som starter fra det kth tallet. For å gjøre dette, bruk formelen

Dette avslutter det teoretiske materialet og går videre til å løse vanlige problemer i praksis.

Eksempel 1. Finn det førtiende leddet i den aritmetiske progresjonen 4;7;...

Løsning:

Etter tilstanden vi har

La oss bestemme progresjonstrinnet

Ved å bruke en velkjent formel finner vi det førtiende leddet i progresjonen

Eksempel 2. En aritmetisk progresjon er gitt av dens tredje og syvende ledd. Finn det første leddet i progresjonen og summen av ti.

Løsning:

La oss skrive ned de gitte elementene i progresjonen ved å bruke formlene

Vi trekker den første fra den andre ligningen, som et resultat finner vi progresjonstrinnet

Vi erstatter den funnet verdien i en av ligningene for å finne det første leddet i den aritmetiske progresjonen

Vi beregner summen av de ti første leddene i progresjonen

Uten å bruke komplekse beregninger fant vi alle nødvendige mengder.

Eksempel 3. En aritmetisk progresjon er gitt av nevneren og en av dens ledd. Finn det første leddet i progresjonen, summen av dets 50 ledd fra 50 og summen av de første 100.

Løsning:

La oss skrive ned formelen for det hundrede elementet i progresjonen

og finn den første

Basert på den første finner vi 50. ledd i progresjonen

Finne summen av delen av progresjonen

og summen av de første 100

Progresjonsbeløpet er 250.

Eksempel 4.

Finn antall ledd i en aritmetisk progresjon hvis:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Løsning:

La oss skrive likningene i form av det første leddet og progresjonstrinnet og bestemme dem

Vi erstatter de oppnådde verdiene i sumformelen for å bestemme antall ledd i summen

Vi utfører forenklinger

og løse andregradsligningen

Av de to verdiene som er funnet, er det bare tallet 8 som passer til problemforholdene. Dermed er summen av de første åtte leddene i progresjonen 111.

Eksempel 5.

Løs ligningen

1+3+5+...+x=307.

Løsning: Denne ligningen er summen av en aritmetisk progresjon. La oss skrive ut det første leddet og finne forskjellen i progresjon

Online kalkulator.
Løse en aritmetisk progresjon.
Gitt: a n, d, n
Finn: en 1

Dette matteprogram finner \(a_1\) av en aritmetisk progresjon basert på brukerspesifiserte tall \(a_n, d\) og \(n\).
Tallene \(a_n\) og \(d\) kan angis ikke bare som heltall, men også som brøker. Dessuten kan brøktallet angis i form av en desimalbrøk (\(2,5\)) og i form av en vanlig brøk (\(-5\frac(2)(7)\)).

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men viser også prosessen med å finne en løsning.

Denne nettbaserte kalkulatoren kan være nyttig for elever på videregående skole ungdomsskoler i forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Exam, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? hjemmelekser i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger.

På denne måten kan du gjennomføre din egen trening og/eller trening. yngre brødre eller søstre, mens utdanningsnivået i feltet problemer som løses øker.

Hvis du ikke er kjent med reglene for inntasting av tall, anbefaler vi at du gjør deg kjent med dem.

Regler for inntasting av tall

Tallene \(a_n\) og \(d\) kan angis ikke bare som heltall, men også som brøker.
Tallet \(n\) kan bare være et positivt heltall.

Regler for inntasting av desimalbrøker.
Heltalls- og brøkdelene i desimalbrøker kan skilles med enten punktum eller komma.
For eksempel kan du gå inn desimaler så 2,5 eller så 2,5

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.

Nevneren kan ikke være negativ.

Når du legger inn en numerisk brøk, skilles telleren fra nevneren med et divisjonstegn: /
Inndata:
Resultat: \(-\frac(2)(3)\)

Hele delen atskilt fra brøken med et og-tegnet: &
Inndata:
Resultat: \(-1\frac(2)(3)\)

Skriv inn tallene a n, d, n

Finn en 1

Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Nummerrekkefølge

I daglig praksis brukes ofte nummerering av ulike objekter for å angi rekkefølgen de er arrangert i. For eksempel er husene i hver gate nummerert. I biblioteket blir leserabonnementene nummerert og deretter ordnet i rekkefølgen av tildelte numre i spesielle kortfiler.

I en sparebank kan du ved hjelp av innskyters personlige kontonummer enkelt finne denne kontoen og se hvilket innskudd som er på den. La konto nr. 1 inneholde et innskudd på a1 rubler, konto nr. 2 inneholde et innskudd på a2 rubler osv. Det viser seg nummerrekkefølge
a 1 , a 2 , a 3 , ..., en N
hvor N er antallet av alle kontoer. Her er hvert naturlig tall n fra 1 til N assosiert med et tall a n.

Studerte også i matematikk uendelige tallsekvenser:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Tallet a 1 kalles første ledd i sekvensen, nummer a 2 - andre ledd i sekvensen, nummer a 3 - tredje ledd i sekvensen etc.
Tallet a n kalles n'te (n'te) medlem av sekvensen, og det naturlige tallet n er dets Antall.

For eksempel i en sekvens av firkanter naturlige tall 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... og 1 = 1 er det første leddet i sekvensen; og n = n 2 er nte termin sekvenser; a n+1 = (n + 1) 2 er (n + 1) (n pluss første) ledd i sekvensen. Ofte kan en sekvens spesifiseres med formelen til dens n-te ledd. For eksempel, formelen \(a_n=\frac(1)(n), \; n \i \mathbb(N) \) definerer sekvensen \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Aritmetisk progresjon

Lengden på året er omtrent 365 dager. Mer eksakt verdi er lik \(365\frac(1)(4)\) dager, så hvert fjerde år akkumuleres det en feil på én dag.

For å gjøre rede for denne feilen legges en dag til hvert fjerde år, og det utvidede året kalles et skuddår.

For eksempel i det tredje årtusen skuddår er årene 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

I denne sekvensen er hvert medlem, fra det andre, lik det forrige, lagt til samme nummer 4. Slike sekvenser kalles aritmetiske progresjoner.

Definisjon.
Tallsekvensen a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... kalles aritmetisk progresjon, hvis for all naturlig n likheten
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
hvor d er et tall.

Fra denne formelen følger det at a n+1 - a n = d. Tallet d kalles differansen aritmetisk progresjon.

Per definisjon av en aritmetisk progresjon har vi:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
hvor
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), hvor \(n>1 \)

Dermed er hvert ledd i en aritmetisk progresjon, fra den andre, lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to tilstøtende leddene. Dette forklarer navnet "aritmetisk" progresjon.

Legg merke til at hvis a 1 og d er gitt, kan de gjenværende leddene i den aritmetiske progresjonen beregnes ved å bruke den tilbakevendende formelen a n+1 = a n + d. På denne måten er det ikke vanskelig å beregne de første leddene i progresjonen, men for eksempel vil en 100 allerede kreve mange beregninger. Vanligvis brukes den n-te termformelen for dette. Per definisjon av aritmetisk progresjon
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
etc.
I det hele tatt,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
fordi nte termin av en aritmetisk progresjon oppnås fra første ledd ved å legge til (n-1) ganger tallet d.
Denne formelen kalles formel for n-te ledd i en aritmetisk progresjon.

Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon

Finn summen av alle naturlige tall fra 1 til 100.
La oss skrive dette beløpet på to måter:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
La oss legge til disse likhetene termin for termin:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Denne summen har 100 vilkår
Derfor er 2S = 101 * 100, derav S = 101 * 50 = 5050.

La oss nå vurdere en vilkårlig aritmetisk progresjon
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
La S n være summen av de første n leddene i denne progresjonen:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Deretter summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon er lik
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Siden \(a_n=a_1+(n-1)d\), og erstatter en n i denne formelen får vi en annen formel for å finne summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Bøker (lærebøker) Sammendrag av Unified State Examination og Unified State Examination tester online Spill, puslespill Plotte grafer av funksjoner Staveordbok for det russiske språket Ordbok for ungdomsslang Katalog over russiske skoler Katalog over videregående utdanningsinstitusjoner i Russland Katalog over russiske universiteter Liste av oppgaver

Mange har hørt om aritmetisk progresjon, men ikke alle har en god ide om hva det er. I denne artikkelen vil vi gi den tilsvarende definisjonen, og også vurdere spørsmålet om hvordan man finner forskjellen på en aritmetisk progresjon, og gi en rekke eksempler.

Matematisk definisjon

Så hvis vi snakker om om aritmetisk eller algebraisk progresjon (disse begrepene definerer det samme), betyr dette at det er en viss tallserie som tilfredsstiller følgende lov: hvert to tilstøtende tall i rekken avviker med samme verdi. Matematisk er det skrevet slik:

Her betyr n antallet element a n i sekvensen, og tallet d er forskjellen på progresjonen (navnet følger av den presenterte formelen).

Hva betyr det å vite forskjellen d? Om hvor "langt" nabonummer er fra hverandre. Kunnskap om d er imidlertid en nødvendig, men ikke tilstrekkelig betingelse for å bestemme (gjenopprette) hele progresjonen. Du må vite ett tall til, som kan være absolutt et hvilket som helst element i serien som vurderes, for eksempel en 4, a10, men som regel brukes det første tallet, det vil si en 1.

Formler for å bestemme progresjonselementer

Generelt er informasjonen ovenfor allerede nok til å gå videre til å løse spesifikke problemer. Likevel, før den aritmetiske progresjonen er gitt, og det vil være nødvendig å finne forskjellen, vil vi presentere et par nyttige formler, og dermed lette den påfølgende prosessen med å løse problemer.

Det er lett å vise at ethvert element i sekvensen med nummer n kan finnes som følger:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Faktisk kan hvem som helst sjekke denne formelen ved enkelt søk: hvis du erstatter n = 1, får du det første elementet, hvis du erstatter n = 2, så gir uttrykket summen av det første tallet og forskjellen, og så videre.

Betingelsene for mange problemer er sammensatt på en slik måte at gitt et kjent tallpar, hvis tall også er gitt i sekvensen, er det nødvendig å rekonstruere hele tallserien (finn forskjellen og det første elementet). Nå skal vi løse dette problemet i generell form.

Så la to elementer med tallene n og m gis. Ved å bruke formelen ovenfor, kan du lage et system med to ligninger:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

For å finne ukjente mengder bruker vi det kjente enkelt triks løsninger på et slikt system: trekk fra venstre og høyre side i par, vil likheten forbli gyldig. Vi har:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Dermed har vi ekskludert en ukjent (a 1). Nå kan vi skrive det endelige uttrykket for å bestemme d:

d = (a n - a m) / (n - m), hvor n > m

Vi fikk veldig enkel formel: for å beregne forskjellen d i samsvar med betingelsene for problemet, trenger du bare å ta forholdet mellom forskjellene mellom selve elementene og deres serienumre. Bør ta hensyn til en viktig poeng oppmerksomhet: forskjellene tas mellom de "høyeste" og "yngre" medlemmene, det vil si n > m (den "høyeste" betyr den som ligger lenger fra begynnelsen av sekvensen, dens absolutte verdi kan være enten større eller mindre enn "junior"-elementet).

Uttrykket for forskjellen d-progresjon bør erstattes med en av ligningene i begynnelsen av å løse problemet for å få verdien av det første leddet.

I vår utviklingstid datateknologi Mange skoleelever prøver å finne løsninger for oppgavene sine på Internett, så spørsmål av denne typen dukker ofte opp: Finn forskjellen på en aritmetisk progresjon på nettet. For en slik forespørsel vil søkemotoren returnere et antall nettsider, ved å gå til som du må angi data kjent fra tilstanden (dette kan enten være to termer av progresjonen eller summen av et visst antall av dem ) og motta et svar umiddelbart. Imidlertid er denne tilnærmingen til å løse problemet uproduktiv når det gjelder studentens utvikling og forståelse av essensen av oppgaven som er tildelt ham.

Løsning uten å bruke formler

La oss løse det første problemet uten å bruke noen av de gitte formlene. La elementene i rekken gis: a6 = 3, a9 = 18. Finn forskjellen på den aritmetiske progresjonen.

Kjente elementer er nær hverandre på rad. Hvor mange ganger må forskjellen d legges til den minste for å få den største? Tre ganger (første gang vi legger til d, får vi det 7. elementet, andre gang - den åttende, og til slutt, tredje gang - den niende). Hvilket tall må legges til tre tre ganger for å få 18? Dette er nummer fem. Egentlig:

Dermed er den ukjente forskjellen d = 5.

Selvfølgelig kunne løsningen ha blitt utført ved hjelp av passende formel, men dette ble ikke gjort med vilje. Detaljert forklaring løsningen på problemet bør bli klar og et lysende eksempel Hva er en aritmetisk progresjon?

En oppgave som ligner den forrige

La oss nå løse et lignende problem, men endre inngangsdataene. Så du bør finne om a3 = 2, a9 = 19.

Selvfølgelig kan du igjen ty til "head-on" løsningsmetoden. Men siden elementene i serien er gitt, som er relativt langt fra hverandre, vil denne metoden ikke være helt praktisk. Men å bruke den resulterende formelen vil raskt føre oss til svaret:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Her har vi rundet slutttallet. I hvilken grad denne avrundingen førte til en feil kan bedømmes ved å sjekke resultatet:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Dette resultatet avviker kun med 0,1 % fra verdien gitt i betingelsen. Derfor kan avrundingen som brukes til nærmeste hundredeler betraktes som et vellykket valg.

Problemer med å bruke formelen for et begrep

La oss vurdere et klassisk eksempel på et problem for å bestemme den ukjente d: finn forskjellen på en aritmetisk progresjon hvis a1 = 12, a5 = 40.

Når gitt to tall av en ukjent algebraisk sekvens, og en av dem er elementet a 1, så trenger du ikke tenke lenge, men bør umiddelbart bruke formelen for a n-medlemmet. I dette tilfellet har vi:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Vi fikk nøyaktig antall ved deling, så det er ingen vits i å kontrollere nøyaktigheten til det beregnede resultatet, slik det ble gjort i forrige avsnitt.

La oss løse et annet lignende problem: vi må finne forskjellen til en aritmetisk progresjon hvis a1 = 16, a8 = 37.

Vi bruker en tilnærming som ligner den forrige og får:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Hva annet bør du vite om aritmetisk progresjon?

I tillegg til problemer med å finne en ukjent forskjell eller individuelle elementer, er det ofte nødvendig å løse problemer med summen av de første leddene i en sekvens. Vurdering av disse oppgavene er utenfor rammen av artikkelen, men for fullstendigheten av informasjonen vi presenterer generell formel for summen av n tall i en serie:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Før vi begynner å bestemme oss aritmetiske progresjonsproblemer, la oss vurdere hva en tallsekvens er, siden en aritmetisk progresjon er spesielt tilfelle nummerrekkefølge.

Tallrekkefølgen er nummer satt, som hvert element har sitt eget serienummer . Elementene i dette settet kalles medlemmer av sekvensen. Serienummeret til et sekvenselement er angitt med en indeks:

Det første elementet i sekvensen;

Femte element i sekvensen;

- det "nte" elementet i sekvensen, dvs. element "står i kø" ved nummer n.

Det er en sammenheng mellom verdien av et sekvenselement og dets sekvensnummer. Derfor kan vi betrakte en sekvens som en funksjon hvis argument er ordenstallet til elementet i sekvensen. Det kan vi med andre ord si sekvensen er en funksjon av det naturlige argumentet:

Rekkefølgen kan stilles inn på tre måter:

1 . Rekkefølgen kan spesifiseres ved hjelp av en tabell. I dette tilfellet setter vi ganske enkelt verdien til hvert medlem av sekvensen.

For eksempel bestemte noen seg for å ta opp personlig tidsstyring, og til å begynne med telle hvor mye tid han bruker på VKontakte i løpet av uken. Ved å registrere tiden i tabellen vil han motta en sekvens som består av syv elementer:

Den første linjen i tabellen indikerer nummeret på ukedagen, den andre - tiden i minutter. Vi ser det, det vil si på mandag Noen brukte 125 minutter på VKontakte, det vil si på torsdag - 248 minutter, og det vil si på fredag ​​bare 15.

2 . Sekvensen kan spesifiseres ved å bruke den n-te leddformelen.

I dette tilfellet uttrykkes avhengigheten av verdien til et sekvenselement på nummeret direkte i form av en formel.

For eksempel hvis , da

For å finne verdien av et sekvenselement med et gitt tall, erstatter vi elementnummeret i formelen til det n-te leddet.

Vi gjør det samme hvis vi trenger å finne verdien av en funksjon hvis verdien av argumentet er kjent. Vi erstatter verdien av argumentet i funksjonslikningen:

Hvis f.eks. , Det

La meg merke igjen at i en sekvens, i motsetning til en vilkårlig numerisk funksjon, kan argumentet bare være et naturlig tall.

3 . Sekvensen kan spesifiseres ved hjelp av en formel som uttrykker avhengigheten av verdien til sekvensmedlemsnummeret n av verdiene til de tidligere medlemmene. I dette tilfellet er det ikke nok for oss å bare vite nummeret til sekvensmedlemmet for å finne verdien. Vi må spesifisere det første medlemmet eller de første medlemmene av sekvensen.

Tenk for eksempel på sekvensen ,

Vi kan finne verdiene til sekvensmedlemmer i rekkefølge, fra og med den tredje:

Det vil si at hver gang, for å finne verdien av det n'te leddet i sekvensen, går vi tilbake til de to foregående. Denne metoden for å spesifisere en sekvens kalles tilbakevendende, fra latinsk ord gjentakelse- kom tilbake.

Nå kan vi definere en aritmetisk progresjon. En aritmetisk progresjon er et enkelt spesialtilfelle av en tallsekvens.

Aritmetisk progresjon er en numerisk sekvens, hvor hvert medlem, fra det andre, er lik den forrige lagt til det samme tallet.

Nummeret ringes opp forskjell i aritmetisk progresjon. Forskjellen til en aritmetisk progresjon kan være positiv, negativ eller lik null.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} økende.

For eksempel, 2; 5; 8; elleve;...

Hvis , så er hvert ledd i en aritmetisk progresjon mindre enn den forrige, og progresjonen er minkende.

For eksempel, 2; -1; -4; -7;...

Hvis , så er alle ledd i progresjonen like med samme tall, og progresjonen er stasjonær.

For eksempel, 2;2;2;2;...

Hovedegenskapen til en aritmetisk progresjon:

La oss se på bildet.

Det ser vi

, og samtidig

Ved å legge til disse to likhetene får vi:

.

La oss dele begge sider av likheten med 2:

Så hvert medlem av den aritmetiske progresjonen, fra den andre, er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to naboene:

Dessuten siden

, og samtidig

, Det

, og derfor

Hvert ledd i en aritmetisk progresjon, starter med title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formel for begrepet.

Vi ser at vilkårene for den aritmetiske progresjonen tilfredsstiller følgende relasjoner:

og endelig

Vi fikk formel for det n-te leddet.

VIKTIG! Ethvert medlem av en aritmetisk progresjon kan uttrykkes gjennom og. Når du kjenner det første leddet og forskjellen på en aritmetisk progresjon, kan du finne hvilken som helst av termene.

Summen av n ledd av en aritmetisk progresjon.

I en vilkårlig aritmetisk progresjon er summene av termer like langt fra de ekstreme lik hverandre:

Tenk på en aritmetisk progresjon med n ledd. La summen av n ledd av denne progresjonen være lik .

La oss ordne vilkårene for progresjonen først i stigende rekkefølge av tall, og deretter i synkende rekkefølge:

La oss legge til i par:

Summen i hver parentes er , antall par er n.

Vi får:

Så, summen av n ledd av en aritmetisk progresjon kan bli funnet ved å bruke formlene:

La oss vurdere løse aritmetiske progresjonsproblemer.

1 . Sekvensen er gitt av formelen til det n-te leddet: . Bevis at denne sekvensen er en aritmetisk progresjon.

La oss bevise at forskjellen mellom to tilstøtende ledd i sekvensen er lik samme tall.

Vi fant at forskjellen mellom to tilstøtende medlemmer av sekvensen ikke avhenger av antallet og er en konstant. Derfor er denne sekvensen per definisjon en aritmetisk progresjon.

2 . Gitt en aritmetisk progresjon -31; -27;...

a) Finn 31 ledd i progresjonen.

b) Bestem om tallet 41 er inkludert i denne progresjonen.

EN) Vi ser det;

La oss skrive ned formelen for det n-te leddet for progresjonen vår.

Generelt

I vårt tilfelle , Derfor