I begynnelsen av leksjonen vil vi gjennomgå de grunnleggende egenskapene kvadratrøtter, og deretter vurdere noen komplekse eksempler for å forenkle uttrykk som inneholder kvadratrøtter.

Emne:Funksjon. Egenskaper kvadratrot

Lekse:Konvertering og forenkling av mer komplekse uttrykk med røtter

1. Gjennomgang av egenskapene til kvadratrøtter

La oss kort gjenta teorien og huske de grunnleggende egenskapene til kvadratrøtter.

Egenskaper til kvadratrøtter:

1. derfor,;

3. ;

4. .

2. Eksempler for å forenkle uttrykk med røtter

La oss gå videre til eksempler på bruk av disse egenskapene.

Eksempel 1: Forenkle et uttrykk .

Løsning. For å forenkle må tallet 120 faktoriseres til primfaktorer:

Vi vil avsløre kvadratet av summen ved å bruke den riktige formelen:

Eksempel 2: Forenkle et uttrykk .

Løsning. La oss ta i betraktning at dette uttrykket ikke gir mening for alle mulige verdier variabel, fordi dette uttrykket inneholder kvadratrøtter og brøker, noe som fører til en "innsnevring" av området akseptable verdier. ODZ: ().

La oss bringe uttrykket i parentes til fellesnevneren og skrive telleren til den siste brøken som forskjellen av kvadrater:

Svar. på.

Eksempel 3: Forenkle et uttrykk .

Løsning. Det kan sees at den andre tellerbraketten har et upraktisk utseende og må forenkles, la oss prøve å faktorisere det ved hjelp av grupperingsmetoden.

For å kunne beregne fellesfaktoren forenklet vi røttene ved å faktorisere dem. La oss erstatte det resulterende uttrykket med den opprinnelige brøken:

Etter å ha redusert brøken, bruker vi formelen for forskjellen på kvadrater.

3. Et eksempel på å bli kvitt irrasjonalitet

Eksempel 4. Fri deg fra irrasjonalitet (røtter) i nevneren: a) ; b) .

Løsning. a) For å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren, brukes standardmetoden for å multiplisere både telleren og nevneren til en brøk med den konjugerte faktoren til nevneren (samme uttrykk, men med motsatt fortegn). Dette gjøres for å komplementere nevneren til brøken til forskjellen av kvadrater, som lar deg kvitte deg med røttene i nevneren. La oss gjøre dette i vårt tilfelle:

b) utføre lignende handlinger:

4. Et eksempel for bevis og for å isolere et komplett kvadrat i en kompleks radikal

Eksempel 5. Bevis likhet .

Bevis. La oss bruke definisjonen av en kvadratrot, hvorfra det følger at kvadratet til høyrehåndsuttrykket må være lik det radikale uttrykket:

. La oss åpne parentesene ved å bruke formelen for kvadratet av summen:

, fikk vi riktig likestilling.

Bevist.

Eksempel 6. Forenkle uttrykket.

Løsning. Dette uttrykket kalles vanligvis en kompleks radikal (rot under rot). I i dette eksemplet du må gjette for å isolere en komplett firkant fra det radikale uttrykket. For å gjøre dette, legg merke til at av de to begrepene er det en kandidat for rollen som dobbel produkt i formelen for kvadratforskjellen (forskjell, siden det er et minus). La oss skrive det i form av følgende produkt: , så hevder 1 å være et av leddene til en komplett firkant, og 1 hevder å være den andre.

La oss erstatte dette uttrykket under roten.

Første nivå

Konvertering av uttrykk. Detaljert teori (2019)

Konvertering av uttrykk

Vi hører ofte denne ubehagelige setningen: "forenkle uttrykket." Vanligvis ser vi et slags monster som dette:

"Det er mye enklere," sier vi, men et slikt svar fungerer vanligvis ikke.

Nå skal jeg lære deg å ikke være redd for slike oppgaver. Dessuten, på slutten av leksjonen, vil du selv forenkle dette eksemplet til (bare!) et vanlig tall (ja, til helvete med disse bokstavene).

Men før du starter denne leksjonen, må du kunne håndtere brøker og faktorpolynomer. Derfor, først, hvis du ikke har gjort dette før, sørg for å mestre emnene "" og "".

Har du lest den? Hvis ja, så er du nå klar.

Grunnleggende forenklingsoperasjoner

La oss nå se på de grunnleggende teknikkene som brukes for å forenkle uttrykk.

Den enkleste er

1. Å bringe lignende

Hva er like? Dette tok du i 7. klasse, da bokstaver i stedet for tall først dukket opp i matematikk. Lignende er termer (monomialer) med samme bokstavdel. For eksempel, i sum er lignende termer og.

Husker du?

Å bringe lignende betyr å legge til flere lignende termer til hverandre og få en term.

Hvordan kan vi sette sammen bokstavene? - du spør.

Dette er veldig lett å forstå hvis du ser for deg at bokstavene er en slags gjenstander. For eksempel er et brev en stol. Hva er så uttrykket lik? To stoler pluss tre stoler, hvor mange blir det? Det stemmer, stoler: .

Prøv nå dette uttrykket: .

For å unngå forvirring, la forskjellige bokstaver representere ulike objekter. For eksempel, - er (som vanlig) en stol, og - er et bord. Deretter:

stoler bord stoler bord stoler stoler bord

Tallene som bokstavene i slike termer multipliseres med kalles koeffisienter. For eksempel, i en monomial er koeffisienten lik. Og i den er lik.

Så, regelen for å bringe lignende er:

Eksempler:

Gi lignende:

Svar:

2. (og lignende, siden disse vilkårene derfor har samme bokstavdel).

2. Faktorisering

Dette er vanligvis den viktigste delen i å forenkle uttrykk. Etter at du har gitt lignende, må som oftest det resulterende uttrykket faktoriseres, det vil si presenteres som et produkt. Dette er spesielt viktig i brøk: For å kunne redusere en brøk må telleren og nevneren representeres som et produkt.

Du gikk gjennom metodene for å faktorisere uttrykk i detalj i emnet "", så her må du bare huske hva du har lært. For å gjøre dette, avgjør noen eksempler(må faktoriseres):

Løsninger:

3. Redusere en brøkdel.

Vel, hva kan være mer behagelig enn å krysse ut deler av telleren og nevneren og kaste dem ut av livet ditt?

Det er det fine med nedbemanning.

Det er enkelt:

Dersom teller og nevner inneholder de samme faktorene, kan de reduseres, det vil si fjernes fra brøken.

Denne regelen følger av den grunnleggende egenskapen til en brøk:

Det vil si at essensen av reduksjonsoperasjonen er det Vi deler telleren og nevneren til brøken med samme tall (eller med samme uttrykk).

For å redusere en brøkdel trenger du:

1) teller og nevner faktorisere

2) hvis telleren og nevneren inneholder felles faktorer, kan de krysses over.

Prinsippet tror jeg er klart?

Jeg vil gjerne gjøre deg oppmerksom på én ting typisk feil ved inngåelse. Selv om dette emnet er enkelt, gjør mange mennesker alt feil, uten å forstå det redusere- Dette betyr dele opp teller og nevner er samme tall.

Ingen forkortelser hvis telleren eller nevneren er en sum.

For eksempel: vi må forenkle.

Noen mennesker gjør dette: noe som er helt feil.

Et annet eksempel: redusere.

De "smarteste" vil gjøre dette: .

Fortell meg hva som er galt her? Det ser ut til: - dette er en multiplikator, som betyr at den kan reduseres.

Men nei: - dette er en faktor på bare ett ledd i telleren, men selve telleren som helhet er ikke faktorisert.

Her er et annet eksempel: .

Dette uttrykket er faktorisert, noe som betyr at du kan redusere det, det vil si å dele telleren og nevneren med, og deretter med:

Du kan umiddelbart dele den inn i:

For å unngå slike feil, husk enkel måte hvordan bestemme om et uttrykk er faktorisert:

Den aritmetiske operasjonen som utføres sist når verdien av et uttrykk beregnes, er "master"-operasjonen. Det vil si, hvis du erstatter noen (hvilken som helst) tall i stedet for bokstaver og prøver å beregne verdien av uttrykket, så hvis den siste handlingen er multiplikasjon, så har vi et produkt (uttrykket er faktorisert). Hvis den siste handlingen er addisjon eller subtraksjon, betyr dette at uttrykket ikke er faktorisert (og derfor ikke kan reduseres).

For å konsolidere, løs noen selv eksempler:

Svar:

1. Jeg håper du ikke hastet med å kutte og? Det var fortsatt ikke nok å "redusere" enheter som dette:

Det første trinnet bør være faktorisering:

4. Legge til og trekke fra brøker. Redusere brøker til en fellesnevner.

Addisjon og subtraksjon vanlige brøker- operasjonen er velkjent: vi ser etter en fellesnevner, multipliserer hver brøk med den manglende faktoren og adderer/subtraherer tellerne. La oss huske:

Svar:

1. Nevnerne og er relativt prime, det vil si at de ikke har felles faktorer. Derfor er LCM for disse tallene lik produktet deres. Dette vil være fellesnevneren:

2. Her er fellesnevneren:

3. Det første her blandede fraksjoner vi gjør dem til feil, og følger deretter det vanlige mønsteret:

Det er en helt annen sak hvis brøkene inneholder bokstaver, for eksempel:

La oss starte med noe enkelt:

a) Nevnere inneholder ikke bokstaver

Her er alt det samme som med vanlige numeriske brøker: vi finner fellesnevneren, multipliserer hver brøk med den manglende faktoren og adderer/subtraherer tellerne:

Nå i telleren kan du gi lignende, hvis noen, og faktor dem:

Prøv selv:

b) Nevnere inneholder bokstaver

La oss huske prinsippet om å finne en fellesnevner uten bokstaver:

· først og fremst bestemmer vi de felles faktorene;

· så skriver vi ut alle fellesfaktorene en om gangen;

· og multipliser dem med alle andre ikke-vanlige faktorer.

For å bestemme fellesfaktorene til nevnerne, deler vi dem først inn i primfaktorer:

La oss understreke de vanlige faktorene:

La oss nå skrive ut de vanlige faktorene én om gangen og legge til alle de ikke-vanlige (ikke understreket) faktorene:

Dette er fellesnevneren.

La oss gå tilbake til bokstavene. Nevnerne er gitt på nøyaktig samme måte:

· faktor nevnerne;

· bestemme vanlige (identiske) faktorer;

· skrive ut alle vanlige faktorer én gang;

· multiplisere dem med alle andre ikke-vanlige faktorer.

Så, i rekkefølge:

1) faktor nevnerne:

2) bestemme vanlige (identiske) faktorer:

3) skriv ut alle vanlige faktorer én gang og multipliser dem med alle andre (uuthevede) faktorer:

Så det er en fellesnevner her. Den første brøken må multipliseres med, den andre - med:

Forresten, det er ett triks:

For eksempel: .

Vi ser de samme faktorene i nevnerne, bare alle med ulike indikatorer. Fellesnevneren vil være:

til en grad

til en grad

til en grad

til en grad.

La oss komplisere oppgaven:

Hvordan få brøker til å ha samme nevner?

La oss huske den grunnleggende egenskapen til en brøk:

Ingen steder står det at det samme tallet kan trekkes fra (eller legges til) fra telleren og nevneren til en brøk. For det er ikke sant!

Se selv: ta en hvilken som helst brøk, for eksempel, og legg til et tall til telleren og nevneren, for eksempel . Hva lærte du?

Så, en annen urokkelig regel:

Når du reduserer brøker til en fellesnevner, bruk kun multiplikasjonsoperasjonen!

Men hva må du multiplisere med for å få?

Så multipliser med. Og multipliser med:

Vi vil kalle uttrykk som ikke kan faktoriseres "elementære faktorer." For eksempel - dette er en elementær faktor. - Samme. Men nei: det kan faktoriseres.

Hva med uttrykket? Er det elementært?

Nei, fordi det kan faktoriseres:

(du har allerede lest om faktorisering i emnet "").

Så de elementære faktorene du dekomponerer et uttrykk i med bokstaver er en analog av de enkle faktorene du dekomponerer tall i. Og vi vil håndtere dem på samme måte.

Vi ser at begge nevnerne har en multiplikator. Det vil gå til fellesnevneren til den grad (husker du hvorfor?).

Faktoren er elementær, og de har ikke en felles faktor, noe som betyr at den første brøken ganske enkelt må multipliseres med den:

Et annet eksempel:

Løsning:

Før du multipliserer disse nevnerne i panikk, må du tenke på hvordan du kan faktorisere dem? De representerer begge:

Flott! Deretter:

Et annet eksempel:

Løsning:

La oss som vanlig faktorisere nevnerne. I den første nevneren setter vi det ganske enkelt utenfor parentes; i den andre - forskjellen mellom kvadrater:

Det ser ut til at det ikke er noen felles faktorer. Men hvis du ser nøye etter, er de like... Og det er sant:

Så la oss skrive:

Det vil si at det ble slik: innenfor parentesen byttet vi begrepene, og samtidig endret tegnet foran brøken til det motsatte. Vær oppmerksom på at du må gjøre dette ofte.

La oss nå bringe det til en fellesnevner:

Har det? La oss sjekke det nå.

Oppgaver for selvstendig løsning:

Svar:

Her må vi huske en ting til - forskjellen på kuber:

Vær oppmerksom på at nevneren til den andre brøken ikke inneholder formelen "kvadrat av summen"! Kvadraten av summen vil se slik ut: .

A er det såkalte ufullstendige kvadratet av summen: det andre leddet i det er produktet av det første og siste, og ikke deres dobbeltprodukt. Det partielle kvadratet av summen er en av faktorene i utvidelsen av forskjellen av terninger:

Hva skal jeg gjøre hvis det allerede er tre brøker?

Ja, det samme! Først av alt, la oss sørge for det maksimalt beløp faktorene i nevnerne var de samme:

Merk: Hvis du endrer tegnene innenfor en parentes, endres tegnet foran brøken til det motsatte. Når vi endrer tegnene i andre parentes, endres tegnet foran brøken igjen til motsatt. Som et resultat har det (tegnet foran brøken) ikke endret seg.

Vi skriver ut hele den første nevneren i fellesnevneren, og legger så til alle faktorene som ennå ikke er skrevet, fra den andre, og deretter fra den tredje (og så videre, hvis det er flere brøker). Det vil si at det blir slik:

Hmm... Det er klart hva man skal gjøre med brøker. Men hva med de to?

Det er enkelt: du vet hvordan du legger til brøker, ikke sant? Så vi må få to til å bli en brøkdel! La oss huske: en brøk er en divisjonsoperasjon (telleren deles på nevneren, i tilfelle du har glemt det). Og det er ikke noe enklere enn å dele et tall på. I dette tilfellet vil ikke selve tallet endre seg, men blir til en brøkdel:

Akkurat det som trengs!

5. Multiplikasjon og deling av brøker.

Vel, den vanskeligste delen er over nå. Og foran oss er det enkleste, men samtidig det viktigste:

Fremgangsmåte

Hva er fremgangsmåten for å beregne et numerisk uttrykk? Husk ved å beregne betydningen av dette uttrykket:

Har du telt?

Det burde fungere.

Så la meg minne deg på det.

Det første trinnet er å beregne graden.

Den andre er multiplikasjon og divisjon. Hvis det er flere multiplikasjoner og divisjoner samtidig, kan de gjøres i hvilken som helst rekkefølge.

Og til slutt utfører vi addisjon og subtraksjon. Igjen, i hvilken som helst rekkefølge.

Men: uttrykket i parentes vurderes utenfor tur!

Hvis flere parenteser multipliseres eller divideres med hverandre, regner vi først ut uttrykket i hver av parentesene, og deretter multipliserer eller dividerer vi dem.

Hva om det er flere braketter inne i brakettene? Vel, la oss tenke: et eller annet uttrykk er skrevet innenfor parentes. Når du beregner et uttrykk, hva bør du gjøre først? Det stemmer, beregn parentesene. Vel, vi fant det ut: først beregner vi de indre parentesene, så alt annet.

Så prosedyren for uttrykket ovenfor er som følger (den gjeldende handlingen er uthevet i rødt, det vil si handlingen jeg utfører akkurat nå):

Ok, det hele er enkelt.

Men dette er ikke det samme som et uttrykk med bokstaver?

Nei, det er det samme! Bare i stedet for aritmetiske operasjoner du må gjøre algebraisk, det vil si handlingene beskrevet i forrige avsnitt: bringe lignende, legge til fraksjoner, redusere fraksjoner og så videre. Den eneste forskjellen vil være handlingen med å faktorisere polynomer (vi bruker ofte dette når vi jobber med brøker). Oftest, for å faktorisere, må du bruke I eller ganske enkelt sette fellesfaktoren ut av parentes.

Vanligvis er målet vårt å representere uttrykket som et produkt eller kvotient.

For eksempel:

La oss forenkle uttrykket.

1) Først forenkler vi uttrykket i parentes. Der har vi en forskjell på brøker, og målet vårt er å presentere det som et produkt eller kvotient. Så vi bringer brøkene til en fellesnevner og legger til:

Det er umulig å forenkle dette uttrykket ytterligere alle faktorene her er elementære (husker du fortsatt hva dette betyr?).

2) Vi får:

Multiplisere brøker: hva kan være enklere.

3) Nå kan du forkorte:

OK, det er over nå. Ikke noe komplisert, ikke sant?

Et annet eksempel:

Forenkle uttrykket.

Prøv først å løse det selv, og først deretter se på løsningen.

Først av alt, la oss bestemme rekkefølgen av handlinger. La oss først legge til brøkene i parentes, så i stedet for to brøker får vi en. Deretter skal vi gjøre deling av brøker. Vel, la oss legge til resultatet med den siste brøken. Jeg vil nummerere trinnene skjematisk:

Nå skal jeg vise deg prosessen, og farge den gjeldende handlingen i rødt:

Til slutt vil jeg gi deg to nyttige tips:

1. Hvis det er lignende, må de bringes umiddelbart. Uansett når lignende oppstår i landet vårt, er det tilrådelig å ta dem opp umiddelbart.

2. Det samme gjelder for å redusere brøker: så snart muligheten til å redusere dukker opp, må den utnyttes. Unntaket er for brøker som du legger til eller trekker fra: hvis de nå har samme nevnere, så bør reduksjonen stå til senere.

Her er noen oppgaver du kan løse på egen hånd:

Og det som ble lovet helt i begynnelsen:

Løsninger (kortfattet):

Hvis du har taklet minst de tre første eksemplene, så har du mestret temaet.

Nå til læring!

KONVERTERE UTTRYKK. SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Grunnleggende forenklingsoperasjoner:

• Tar med lignende: for å legge til (redusere) lignende termer, må du legge til koeffisientene deres og tilordne bokstavdelen.
• Faktorisering: sette den felles faktoren ut av parentes, bruke den osv.
• Reduserer en brøkdel: Telleren og nevneren til en brøk kan multipliseres eller divideres med det samme tallet som ikke er null, noe som ikke endrer verdien av brøken.
  1) teller og nevner faktorisere
  2) hvis teller og nevner har felles faktorer, kan de krysses ut.

  VIKTIG: kun multiplikatorer kan reduseres!

• Legge til og trekke fra brøker:
  ;
• Multiplisere og dele brøker:
  ;

Ethvert språk kan uttrykke den samme informasjonen med forskjellige ord og revolusjoner. Matematisk språk er intet unntak. Men det samme uttrykket kan skrives likeverdig på forskjellige måter. Og i noen situasjoner er en av oppføringene enklere. Vi skal snakke om å forenkle uttrykk i denne leksjonen.

Folk kommuniserer videre forskjellige språk. For oss viktig sammenligning er paret "Russisk språk - matematisk språk". Den samme informasjonen kan formidles på forskjellige språk. Men i tillegg til dette kan det uttales på forskjellige måter på ett språk.

For eksempel: "Petya er venner med Vasya", "Vasya er venner med Petya", "Petya og Vasya er venner". Sagt annerledes, men det samme. Fra hvilken som helst av disse setningene ville vi forstå hva vi snakker om.

La oss se på denne setningen: "Gutten Petya og gutten Vasya er venner." Vi forstår hva vi mener vi snakker om. Vi liker imidlertid ikke lyden av denne frasen. Kan vi ikke forenkle det, si det samme, men enklere? "Gutt og gutt" - du kan si en gang: "Guttene Petya og Vasya er venner."

«Gutter»... Er det ikke tydelig av navnene deres at de ikke er jenter? Vi fjerner "guttene": "Petya og Vasya er venner." Og ordet "venner" kan erstattes med "venner": "Petya og Vasya er venner." Som et resultat ble den første, lange, stygge frasen erstattet med et tilsvarende utsagn som er lettere å si og lettere å forstå. Vi har forenklet denne setningen. Å forenkle betyr å si det enklere, men ikke å miste eller forvrenge betydningen.

I matematisk språk omtrent det samme skjer. En og samme ting kan sies, skrevet annerledes. Hva vil det si å forenkle et uttrykk? Dette betyr at for det opprinnelige uttrykket er det mange ekvivalente uttrykk, det vil si de som betyr det samme. Og fra all denne variasjonen må vi velge den enkleste, etter vår mening, eller den mest egnede for våre videre formål.

Tenk for eksempel på det numeriske uttrykket . Det vil tilsvare .

Det vil også tilsvare de to første: .

Det viser seg at vi har forenklet uttrykkene våre og funnet det korteste ekvivalente uttrykket.

Til numeriske uttrykk du må alltid utføre alle handlingene og få det ekvivalente uttrykket i form av et enkelt tall.

La oss se på et eksempel på et bokstavelig uttrykk . Det er klart at det blir enklere.

Ved forenkling bokstavelige uttrykk det er nødvendig å utføre alle mulige handlinger.

Er det alltid nødvendig å forenkle et uttrykk? Nei, noen ganger vil det være mer praktisk for oss å ha en tilsvarende, men lengre oppføring.

Eksempel: du må trekke et tall fra et tall.

Det er mulig å beregne, men hvis det første tallet ble representert med dens ekvivalente notasjon: , ville beregningene vært øyeblikkelige: .

Det vil si at et forenklet uttrykk ikke alltid er gunstig for oss for videre beregninger.

Likevel, veldig ofte står vi overfor en oppgave som bare høres ut som «forenkle uttrykket».

Forenkle uttrykket: .

Løsning

1) Utfør handlingene i første og andre parentes: .

2) La oss beregne produktene: .

Det siste uttrykket har åpenbart en enklere form enn det opprinnelige. Vi har forenklet det.

For å forenkle uttrykket må det erstattes med en ekvivalent (lik).

For å bestemme det ekvivalente uttrykket trenger du:

1) utføre alle mulige handlinger,

2) bruk egenskapene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon for å forenkle beregninger.

Egenskaper for addisjon og subtraksjon:

1. Kommutativ egenskap ved addisjon: omorganisering av vilkårene endrer ikke summen.

2. Kombinasjonsegenskap for addisjon: For å legge til et tredje tall til summen av to tall, kan du legge til summen av det andre og tredje tallet til det første tallet.

3. Egenskapen ved å trekke en sum fra et tall: for å trekke en sum fra et tall, kan du trekke fra hvert ledd separat.

Egenskaper for multiplikasjon og divisjon

1. Kommutativ egenskap ved multiplikasjon: omorganisering av faktorene endrer ikke produktet.

2. Kombinativ egenskap: for å multiplisere et tall med produktet av to tall, kan du først multiplisere det med den første faktoren, og deretter multiplisere det resulterende produktet med den andre faktoren.

3. Distributiv egenskap ved multiplikasjon: for å multiplisere et tall med en sum, må du multiplisere det med hvert ledd separat.

La oss se hvordan vi faktisk gjør mentale beregninger.

Regne ut:

Løsning

1) La oss forestille oss hvordan

2) La oss forestille oss den første faktoren som summen av bitledd og utføre multiplikasjonen:

3) du kan forestille deg hvordan og utføre multiplikasjon:

4) Erstatt den første faktoren med en tilsvarende sum:

Fordelingsloven kan også brukes i motsatt side: .

Følg disse instruksjonene:

1) 2)

Løsning

1) For enkelhets skyld kan du bruke fordelingsloven, men bruk den i motsatt retning - ta fellesfaktoren ut av parentes.

2) La oss ta den felles faktoren ut av parentes

Det er nødvendig å kjøpe linoleum til kjøkkenet og gangen. Kjøkkenkrok - , gang - . Det er tre typer linoleum: for og rubler for. Hvor mye vil hver koste? tre typer linoleum? (Figur 1)

Ris. 1. Illustrasjon for problemstilling

Løsning

Metode 1. Du kan separat finne ut hvor mye penger det vil ta å kjøpe linoleum til kjøkkenet, og deretter i gangen og legge sammen de resulterende produktene.

Seksjon 5 UTTRYKK OG LIGNINGER

I denne delen lærer du:

ü o uttrykk og deres forenklinger;

ü hva er egenskapene til likheter;

ü hvordan løse likninger basert på egenskapene til likheter;

ü hvilke typer problemer løses ved hjelp av ligninger; hva er vinkelrette linjer og hvordan bygge dem;

ü hvilke linjer kalles parallelle og hvordan bygge dem;

ü hva er et koordinatplan?

ü hvordan bestemme koordinatene til et punkt på et plan;

ü hva er en graf over forholdet mellom mengder og hvordan man konstruerer det;

ü hvordan bruke det studerte materialet i praksis

§ 30. UTTRYKK OG DERES FORENKLING

Du vet allerede hva bokstavuttrykk er og vet hvordan du forenkler dem ved å bruke lovene for addisjon og multiplikasjon. For eksempel, 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . I det resulterende uttrykket kalles tallet -8 koeffisienten til uttrykket.

Gjør uttrykket CD koeffisient? Så. Det er lik 1 fordi cd - 1 ∙ cd .

Husk at å konvertere et uttrykk med parentes til et uttrykk uten parentes kalles utvidelse av parenteser. For eksempel: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

Den omvendte handlingen i dette eksemplet er å ta den felles faktoren ut av parentes.

Termer som inneholder de samme bokstavfaktorene kalles lignende termer. Ved å ta den felles faktoren ut av parentes, heves lignende termer:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B x+ 7y - 5.

Regler for åpning av parenteser

1. Hvis det er et "+"-tegn foran parentesene, blir tegnene til begrepene i parentesene bevart når du åpner parentesene;

2. Hvis det er et "-"-tegn foran parentesene, endres tegnene til begrepene i parentesene til det motsatte når parentesene åpnes.

Oppgave 1. Forenkle uttrykket:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 år -(-8 + 7 år).

Løsninger. 1. Før parentesene er det et "+"-tegn, så når du åpner parentesene beholdes tegnene til alle ledd:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. Før parentesene er det et "-"-tegn, så når du åpner parentesene: tegnene til alle ledd er omvendt:

15 - (- 8 + 7y) = 15y + 8 - 7y = 8y +8.

For å åpne parentesene, bruk fordelingsegenskapen til multiplikasjon: a( b + c ) = ab + ac. Hvis a > 0, så er tegnene til begrepene b og med ikke endre. Hvis en< 0, то знаки слагаемых b og endre til det motsatte.

Oppgave 2. Forenkle uttrykket:

1) 2(6y-8) + 7y;

2)-5(2-5x) + 12.

Løsninger. 1. Faktoren 2 foran parentesene er positiv, derfor, når vi åpner parentesene, beholder vi tegnene til alle ledd: 2(6) y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.

2. Faktoren -5 foran parentesene er negativ, så når vi åpner parentesene, endrer vi tegnene til alle ledd til det motsatte:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Finne ut mer

1. Ordet "sum" kommer fra latin oppsummering , som betyr "totalt", "totalt beløp".

2. Ordet "pluss" kommer fra latin Plus som betyr "mer" og ordet "minus" er fra latin minus Hva betyr "mindre"? Tegnene "+" og "-" brukes for å indikere operasjonene for addisjon og subtraksjon. Disse tegnene ble introdusert av den tsjekkiske vitenskapsmannen J. Widman i 1489 i boken "En rask og hyggelig beretning for alle kjøpmenn"(Fig. 138).

Ris. 138

HUSK DET VIKTIGE

1. Hvilke begreper kalles lignende? Hvordan er slike begreper konstruert?

2. Hvordan åpner du parenteser med et "+"-tegn foran?

3. Hvordan åpner du parenteser med et "-"-tegn foran?

4. Hvordan åpner du parenteser innledet med en positiv faktor?

5. Hvordan åpner du parenteser som innledes med en negativ faktor?

1374". Nevn koeffisienten til uttrykket:

1)12a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Nevn begrepene som bare er forskjellige etter koeffisient:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5 n + 5 m-4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d; 4)5x + 4y-x + y.

Hva kalles disse begrepene?

1376". Er det noen lignende termer i uttrykket:

1) Ila+10a; 3)6 n + 15 n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4) 12 m + m; 6)8 k +10 k - n ?

1377". Er det nødvendig å endre tegnene til begrepene i parentes, åpne parentesene i uttrykket:

1)4+ (a+ 3b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378°. Forenkle uttrykket og understrek koeffisienten:

1379°. Forenkle uttrykket og understrek koeffisienten:

1380°. Kombiner lignende termer:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b; 5) 5a - 12 b - 7a + 5 b;

3)-7 ang="NO-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Kombiner lignende termer:

1) 6a-5a + 8a-7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Ta den felles faktoren ut av parentes:

1)1,2a +1,2b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t;

2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Ta den felles faktoren ut av parentes:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 14 d; A) 3p - 0,9 k + 2,7 t.

1384°. Åpne parentesene og kombiner lignende termer;

1) 5+ (4a-4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Åpne parentesene og kombiner lignende termer:

1) 10a + (4-4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5c);

2) -(46-10) + (4-56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m-5 n).

1386°. Åpne parentesene og finn betydningen av uttrykket:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Åpne parentesene og finn betydningen av uttrykket:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Åpen parentes:

1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Åpen parentes:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4c-d)∙(-0,5 y);

2) -2 ∙ (1,2 n-m); 4)6- (-r + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Forenkle uttrykket:

1391. Forenkle uttrykket:

1392. Kombiner lignende termer:

1393. Kombiner lignende termer:

1394. Forenkle uttrykket:

1)2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, av ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Forenkle uttrykket:

1396. Finn betydningen av uttrykket;

1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), hvis a = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), hvis = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Finn betydningen av uttrykket:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), hvis x = -0,25;

1398*. Finn feilen i løsningen:

1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.

1399*. Åpne parentesene og forenkle uttrykket:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Ordne parentesene for å få riktig likhet:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b.

1401*. Bevis at for alle tall a og b hvis a > b , så gjelder likheten:

1) (a + b) + (a-b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

Vil denne likheten være riktig hvis: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Bevis det for noen naturlig tall og det aritmetiske gjennomsnittet av de foregående og følgende tall er lik tallet a.

SET DET I PRAKSIS

1403. Til matlaging frukt dessert for tre personer trenger du: 2 epler, 1 appelsin, 2 bananer og 1 kiwi. Hvordan lage et bokstavuttrykk for å bestemme mengden frukt som trengs for å tilberede dessert til gjestene? Hjelp Marin med å beregne hvor mange frukter hun trenger å kjøpe hvis: 1) 5 venner kommer på besøk til henne; 2) 8 venner.

1404. Lag et bokstavuttrykk for å bestemme tiden det tar å fullføre matteleksene hvis:

1) et minutt ble brukt på å løse problemer; 2) forenkling av uttrykk er 2 ganger større enn for å løse problemer. Hvor lang tid tok det å fullføre hjemmelekser Vasilko, om han brukte 15 minutter på å løse problemer?

1405. Lunsj i skolens kafeteria består av salat, borsjtsj, kålruller og kompott. Kostnaden for salat er 20%, borscht - 30%, kålruller - 45%, kompott - 5% av den totale kostnaden for hele lunsjen. Skriv et uttrykk for å finne kostnaden for lunsj i skolens kantine. Hvor mye koster lunsj hvis prisen på salat er 2 UAH?

GJENNOMGÅ PROBLEMER

1406. Løs ligningen:

1407. Tanya brukte på isalle tilgjengelige penger, og for godteri -resten. Hvor mye penger har Tanya igjen?

hvis godteri koster 12 UAH?

Ved å bruke et hvilket som helst språk kan du uttrykke den samme informasjonen i forskjellige ord og uttrykk. Matematisk språk er intet unntak. Men det samme uttrykket kan skrives likeverdig på forskjellige måter. Og i noen situasjoner er en av oppføringene enklere. Vi skal snakke om å forenkle uttrykk i denne leksjonen.

Folk kommuniserer på forskjellige språk. For oss er en viktig sammenligning paret "Russisk språk - matematisk språk". Den samme informasjonen kan formidles på forskjellige språk. Men i tillegg til dette kan det uttales på forskjellige måter på ett språk.

For eksempel: "Petya er venner med Vasya", "Vasya er venner med Petya", "Petya og Vasya er venner". Sagt annerledes, men det samme. Fra hvilken som helst av disse setningene ville vi forstå hva vi snakker om.

La oss se på denne setningen: "Gutten Petya og gutten Vasya er venner." Vi forstår hva vi snakker om. Vi liker imidlertid ikke lyden av denne frasen. Kan vi ikke forenkle det, si det samme, men enklere? "Gutt og gutt" - du kan si en gang: "Guttene Petya og Vasya er venner."

«Gutter»... Er det ikke tydelig av navnene deres at de ikke er jenter? Vi fjerner "guttene": "Petya og Vasya er venner." Og ordet "venner" kan erstattes med "venner": "Petya og Vasya er venner." Som et resultat ble den første, lange, stygge frasen erstattet med et tilsvarende utsagn som er lettere å si og lettere å forstå. Vi har forenklet denne setningen. Å forenkle betyr å si det enklere, men ikke å miste eller forvrenge betydningen.

I matematisk språk skjer omtrent det samme. En og samme ting kan sies, skrevet annerledes. Hva vil det si å forenkle et uttrykk? Dette betyr at for det opprinnelige uttrykket er det mange ekvivalente uttrykk, det vil si de som betyr det samme. Og fra all denne variasjonen må vi velge den enkleste, etter vår mening, eller den mest egnede for våre videre formål.

Tenk for eksempel på det numeriske uttrykket . Det vil tilsvare .

Det vil også tilsvare de to første: .

Det viser seg at vi har forenklet uttrykkene våre og funnet det korteste ekvivalente uttrykket.

For numeriske uttrykk må du alltid utføre alle trinnene og få det ekvivalente uttrykket som et enkelt tall.

La oss se på et eksempel på et bokstavelig uttrykk . Det er klart at det blir enklere.

Når du forenkler bokstavelige uttrykk, er det nødvendig å utføre alle mulige handlinger.

Er det alltid nødvendig å forenkle et uttrykk? Nei, noen ganger vil det være mer praktisk for oss å ha en tilsvarende, men lengre oppføring.

Eksempel: du må trekke et tall fra et tall.

Det er mulig å beregne, men hvis det første tallet ble representert med dens ekvivalente notasjon: , ville beregningene vært øyeblikkelige: .

Det vil si at et forenklet uttrykk ikke alltid er gunstig for oss for videre beregninger.

Likevel, veldig ofte står vi overfor en oppgave som bare høres ut som «forenkle uttrykket».

Forenkle uttrykket: .

Løsning

1) Utfør handlingene i første og andre parentes: .

2) La oss beregne produktene: .

Det siste uttrykket har åpenbart en enklere form enn det opprinnelige. Vi har forenklet det.

For å forenkle uttrykket må det erstattes med en ekvivalent (lik).

For å bestemme det ekvivalente uttrykket trenger du:

1) utføre alle mulige handlinger,

2) bruk egenskapene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon for å forenkle beregninger.

Egenskaper for addisjon og subtraksjon:

1. Kommutativ egenskap ved addisjon: omorganisering av vilkårene endrer ikke summen.

2. Kombinasjonsegenskap for addisjon: For å legge til et tredje tall til summen av to tall, kan du legge til summen av det andre og tredje tallet til det første tallet.

3. Egenskapen ved å trekke en sum fra et tall: for å trekke en sum fra et tall, kan du trekke fra hvert ledd separat.

Egenskaper for multiplikasjon og divisjon

1. Kommutativ egenskap ved multiplikasjon: omorganisering av faktorene endrer ikke produktet.

2. Kombinativ egenskap: for å multiplisere et tall med produktet av to tall, kan du først multiplisere det med den første faktoren, og deretter multiplisere det resulterende produktet med den andre faktoren.

3. Distributiv egenskap ved multiplikasjon: for å multiplisere et tall med en sum, må du multiplisere det med hvert ledd separat.

La oss se hvordan vi faktisk gjør mentale beregninger.

Regne ut:

Løsning

1) La oss forestille oss hvordan

2) La oss forestille oss den første faktoren som summen av bitledd og utføre multiplikasjonen:

3) du kan forestille deg hvordan og utføre multiplikasjon:

4) Erstatt den første faktoren med en tilsvarende sum:

Fordelingsloven kan også brukes i motsatt retning: .

Følg disse instruksjonene:

1) 2)

Løsning

1) For enkelhets skyld kan du bruke fordelingsloven, men bruk den i motsatt retning - ta fellesfaktoren ut av parentes.

2) La oss ta den felles faktoren ut av parentes

Det er nødvendig å kjøpe linoleum til kjøkkenet og gangen. Kjøkkenkrok - , gang - . Det er tre typer linoleum: for og rubler for. Hvor mye vil hver av de tre typene linoleum koste? (Figur 1)

Ris. 1. Illustrasjon for problemstilling

Løsning

Metode 1. Du kan separat finne ut hvor mye penger det vil ta å kjøpe linoleum til kjøkkenet, og deretter i gangen og legge sammen de resulterende produktene.