Forkortelse av bokstavuttrykk. Bokstavelige uttrykk

Et algebraisk uttrykk der, sammen med operasjonene addisjon, subtraksjon og multiplikasjon, også bruker divisjon i bokstavuttrykk, kalles et brøkalgebraisk uttrykk. Dette er for eksempel uttrykkene

Vi kaller en algebraisk brøk algebraisk uttrykk, som har formen av kvotienten til delingen av to heltalls algebraiske uttrykk (for eksempel monomer eller polynomer). Dette er for eksempel uttrykkene

Det tredje av uttrykkene).

Identiske transformasjoner av brøkalgebraiske uttrykk er for det meste ment å representere dem i formen algebraisk brøk. For å finne fellesnevneren brukes faktorisering av nevnerne til brøker - termer for å finne deres minste felles multiplum. Når du reduserer algebraiske brøker, kan den strenge identiteten til uttrykk bli krenket: det er nødvendig å ekskludere verdier av mengder der faktoren som reduksjonen gjøres med blir null.

La oss gi eksempler på identiske transformasjoner av brøkalgebraiske uttrykk.

Eksempel 1: Forenkle et uttrykk

Alle termer kan reduseres til en fellesnevner (det er praktisk å endre tegnet i nevneren til siste ledd og tegnet foran):

Vårt uttrykk er lik én for alle verdier unntatt disse verdiene, det er udefinert og å redusere brøken er ulovlig).

Eksempel 2. Representer uttrykket som en algebraisk brøk

Løsning. Uttrykket kan tas som en fellesnevner. Vi finner sekvensielt:

Øvelser

1. Finn verdiene til algebraiske uttrykk for de angitte parameterverdiene:

2. Faktoriser.

Å forenkle algebraiske uttrykk er en av de nøkkelpunkter lære algebra og en ekstremt nyttig ferdighet for alle matematikere. Forenkling lar deg redusere et komplekst eller langt uttrykk til et enkelt uttrykk som er lett å jobbe med. Grunnleggende ferdigheter i forenkling er gode selv for de som ikke er begeistret for matematikk. Ved å observere flere enkle regler, kan du forenkle mange av de vanligste typene algebraiske uttrykk uten noen spesiell matematisk kunnskap.

Trinn

Viktige definisjoner

Lignende medlemmer. Dette er medlemmer med en variabel av samme rekkefølge, medlemmer med samme variabler, eller gratis medlemmer (medlemmer som ikke inneholder en variabel). Med andre ord, lignende termer inkluderer samme variabel i samme grad, inkluderer flere av de samme variablene, eller inkluderer ikke en variabel i det hele tatt. Rekkefølgen på begrepene i uttrykket spiller ingen rolle.
- For eksempel er 3x 2 og 4x 2 lignende termer fordi de inneholder en annenordens (til andre potens) variabel "x". Imidlertid er ikke x og x2 like termer, siden de inneholder variabelen "x" av forskjellige rekkefølger (første og andre). På samme måte er ikke -3yx og 5xz like termer fordi de inneholder forskjellige variabler.
Faktorisering. Dette er å finne tall hvis produkt fører til det opprinnelige nummeret. Ethvert originalnummer kan ha flere faktorer. For eksempel kan tallet 12 faktoriseres inn i følgende serie med faktorer: 1 × 12, 2 × 6 og 3 × 4, så vi kan si at tallene 1, 2, 3, 4, 6 og 12 er faktorer for tall 12. Faktorene er de samme som faktorene , det vil si tallene som det opprinnelige tallet er delt med.
- For eksempel, hvis du vil faktorisere tallet 20, skriv det slik: 4×5.
- Merk at ved faktorisering tas variabelen i betraktning. For eksempel, 20x = 4 (5x).
- Primtall kan ikke faktoriseres fordi de bare er delbare med seg selv og 1.
Husk og følg rekkefølgen på operasjonene for å unngå feil.
- Parenteser
- Grad
- Multiplikasjon
- Inndeling
- Addisjon
- Subtraksjon
Ta med lignende medlemmer
1. Skriv ned uttrykket. Enkle algebraiske uttrykk (de som ikke inneholder brøker, røtter osv.) kan løses (forenkles) på bare noen få trinn.
  - Forenkle for eksempel uttrykket 1 + 2x - 3 + 4x.
2. Definer lignende termer (termer med en variabel av samme rekkefølge, termer med de samme variablene eller frie termer).
  - Finn lignende termer i dette uttrykket. Begrepene 2x og 4x inneholder en variabel av samme rekkefølge (først). Dessuten er 1 og -3 frie termer (inneholder ikke en variabel). Således, i dette uttrykket vilkårene 2x og 4x er like, og medlemmene 1 og -3 er også like.
3. Gi lignende vilkår. Dette betyr å legge til eller trekke dem fra og forenkle uttrykket.
  - 2x + 4x = 6x
  - 1 - 3 = -2
4. Omskriv uttrykket under hensyntagen til de gitte vilkårene. Du vil få et enkelt uttrykk med færre termer. Det nye uttrykket er likt det opprinnelige.
  - I vårt eksempel: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, det vil si at det opprinnelige uttrykket er forenklet og lettere å jobbe med.
5. Følg rekkefølgen på operasjoner når du tar med lignende medlemmer. I vårt eksempel var det enkelt å gi lignende termer. Men når det gjelder komplekse uttrykk hvor termer er innesluttet i parentes og brøker og røtter er tilstede, er det ikke så lett å bringe slike termer. I disse tilfellene, følg rekkefølgen for operasjoner.
  - Tenk for eksempel på uttrykket 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Her vil det være en feil å umiddelbart definere 3x og 2x som lignende termer og gi dem, fordi det er nødvendig å åpne parentesene først. Utfør derfor operasjonene i henhold til deres rekkefølge.
    - 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Nå, når uttrykket bare inneholder addisjons- og subtraksjonsoperasjoner, kan du ta med lignende termer.
    - x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
    - x 2 + 12x + 3
Å ta multiplikatoren ut av parentes
1. Finn den største felles divisor (GCD) av alle koeffisientene til uttrykket. GCD er største antall, som alle koeffisientene til uttrykket er delt med.
  - Tenk for eksempel på ligningen 9x 2 + 27x - 3. I dette tilfellet er GCD = 3, siden enhver koeffisient til dette uttrykket er delelig med 3.
2. Del hvert ledd i uttrykket med gcd. De resulterende leddene vil inneholde mindre koeffisienter enn i det opprinnelige uttrykket.
  - I vårt eksempel deler du hvert ledd i uttrykket med 3.
    - 9x 2 /3 = 3x 2
    - 27x/3 = 9x
    - -3/3 = -1
    - Resultatet ble et uttrykk 3x 2 + 9x - 1. Det er ikke lik det opprinnelige uttrykket.
3. Skriv det opprinnelige uttrykket som lik produktet GCD for det resulterende uttrykket. Det vil si, omslutt det resulterende uttrykket i parentes, og ta gcd ut av parentes.
  - I vårt eksempel: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)
4. Forenkling av brøkuttrykk ved å sette faktoren utenfor parentes. Hvorfor bare sette multiplikatoren ut av parentes, slik det ble gjort tidligere? Deretter for å lære å forenkle komplekse uttrykk, for eksempel brøkuttrykk. I dette tilfellet kan det å sette faktoren utenfor parentes bidra til å bli kvitt brøken (fra nevneren).
  - Tenk for eksempel på brøkuttrykket (9x 2 + 27x - 3)/3. Bruk utfaktor for å forenkle dette uttrykket.
    - Sett faktoren 3 i parentes (som du gjorde tidligere): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
    - Legg merke til at det nå er en 3 i både telleren og nevneren. Dette kan reduseres for å gi uttrykket: (3x 2 + 9x – 1)/1
    - Siden enhver brøk som har tallet 1 i nevneren ganske enkelt er lik telleren, forenkles det opprinnelige brøkuttrykket til: 3x 2 + 9x - 1.
Ytterligere forenklingsmetoder
La oss se på et enkelt eksempel: √(90). Tallet 90 kan faktoriseres inn i følgende faktorer: 9 og 10, og trekkes ut fra 9 kvadratrot(3) og fjern 3 fra under roten.
- √(90)
- √(9×10)
- √(9)×√(10)
- 3×√(10)
- 3√(10)
Forenkle uttrykk med krefter. Noen uttrykk inneholder operasjoner med multiplikasjon eller deling av ledd med potenser. Ved multiplisering av ledd med samme grunntall legges potensene deres til; i tilfelle av å dele ledd med samme base, trekkes potensene deres fra.
- Tenk for eksempel på uttrykket 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). I tilfelle av multiplikasjon, legg til potensene, og i tilfelle av divisjon, trekk dem fra.
  - 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
  - (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
  - 48 x 7 + x 2
- Følgende er en forklaring av reglene for multiplisering og deling av ledd med potenser.
  - Å multiplisere ledd med potenser tilsvarer å multiplisere ledd med seg selv. For eksempel, siden x 3 = x × x × x og x 5 = x × x × x × x × x, så x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), eller x 8 .
  - På samme måte tilsvarer å dele termer med grader å dele termer av seg selv. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Siden lignende termer som finnes i både telleren og nevneren kan reduseres, forblir produktet av to «x» eller x 2 i telleren.

Husk alltid tegnene (pluss eller minus) foran uttrykket, siden mange har problemer med å velge riktig tegn.
Be om hjelp ved behov!
Å forenkle algebraiske uttrykk er ikke lett, men når du først får taket på det, er det en ferdighet du kan bruke resten av livet.

Merknad 1

En boolsk funksjon kan skrives ved hjelp av et boolsk uttrykk og kan deretter flyttes til en logisk krets. Det er nødvendig å forenkle logiske uttrykk for å få en enklest mulig (og derfor billigere) logisk krets. I hovedsak er en logisk funksjon, et logisk uttrykk og en logisk krets tre forskjellige språk, forteller om én enhet.

For å forenkle logiske uttrykk bruk algebralogikkens lover.

Noen transformasjoner ligner transformasjoner av formler i klassisk algebra (tar fellesfaktoren ut av parentes, bruker kommutative og kombinasjonslover, etc.), mens andre transformasjoner er basert på egenskaper som operasjonene til klassisk algebra ikke har (ved bruk av den distributive lov for konjunksjon, lover om absorpsjon, liming, de Morgans regler, etc.).

Lovene til logisk algebra er formulert for grunnleggende logiske operasjoner - "IKKE" - inversjon (negasjon), "AND" - konjunksjon (logisk multiplikasjon) og "ELLER" - disjunksjon (logisk addisjon).

Loven om dobbel negasjon betyr at "NOT" -operasjonen er reversibel: hvis du bruker den to ganger, vil den logiske verdien til slutt ikke endres.

Loven om ekskludert midt sier at ethvert logisk uttrykk er enten sant eller usant ("det er ingen tredje"). Derfor, hvis $A=1$, så $\bar(A)=0$ (og omvendt), som betyr at konjunksjonen av disse størrelsene alltid er lik null, og disjunksjonen alltid er lik en.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

La oss forenkle denne formelen:

Figur 3.

Det følger at $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Svare: Studenter $B$, $C$ og $D$ spiller sjakk, men student $A$ spiller ikke.

Når du forenkler logiske uttrykk, kan du utføre følgende handlingssekvens:

Erstatt alle "ikke-grunnleggende" operasjoner (ekvivalens, implikasjon, eksklusiv ELLER, etc.) med deres uttrykk gjennom de grunnleggende operasjonene inversjon, konjunksjon og disjunksjon.
Utvid inversjoner av komplekse uttrykk i henhold til De Morgans regler på en slik måte at negasjonsoperasjoner bare forblir for individuelle variabler.
Forenkle så uttrykket ved å bruke åpningsparenteser, plassere vanlige faktorer utenfor parentes og andre lover i logisk algebra.

Eksempel 2

Her brukes suksessivt De Morgans regel, distribusjonsloven, loven om det ekskluderte midten, kommutasjonsloven, repetisjonsloven, igjen den kommutative loven og absorpsjonsloven.

Ofte krever oppgaver et forenklet svar. Selv om både forenklede og uforenklede svar er riktige, kan instruktøren din senke karakteren din hvis du ikke forenkler svaret. Dessuten er det forenklede matematiske uttrykket mye lettere å jobbe med. Derfor er det veldig viktig å lære å forenkle uttrykk.

Trinn

Riktig rekkefølge av matematiske operasjoner

Husk riktig rekkefølge for å utføre matematiske operasjoner. Når du forenkler et matematisk uttrykk, er det nødvendig å observere en viss rekkefølge handlinger, siden noen matematiske operasjoner har forrang over andre og må gjøres først (faktisk vil ikke å følge riktig rekkefølge for å utføre operasjonene føre deg til feil resultat). Husk følgende rekkefølge av matematiske operasjoner: uttrykk i parentes, eksponentiering, multiplikasjon, divisjon, addisjon, subtraksjon.
- Merk at å kjenne til riktig rekkefølge av operasjoner vil tillate deg å forenkle de fleste enkle uttrykk, men for å forenkle et polynom (et uttrykk med en variabel) må du kunne spesielle triks (se neste avsnitt).
Start med å løse uttrykket i parentes. I matematikk indikerer parenteser at uttrykket i dem må evalueres først. Derfor, når du forenkler et matematisk uttrykk, start med å løse uttrykket i parentes (det spiller ingen rolle hvilke operasjoner du må utføre innenfor parentesen). Men husk at når du arbeider med et uttrykk i parentes, må du følge operasjonsrekkefølgen, det vil si at leddene i parentes først multipliseres, divideres, adderes, trekkes fra, og så videre.
- La oss for eksempel forenkle uttrykket 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Her starter vi med uttrykkene i parentes: 5 + 2 = 7 og 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
  - Uttrykket i det andre paret med parenteser forenkles til 5 fordi 4/2 må deles først (i henhold til riktig rekkefølge av operasjoner). Hvis du ikke følger denne rekkefølgen, får du feil svar: 3 + 4 = 7 og 7 ÷ 2 = 7/2.
- Hvis det er et annet par parenteser i parentesen, begynn å forenkle ved å løse uttrykket i de indre parentesene og gå deretter videre til å løse uttrykket i ytre parentes.
Eksponentiere. Etter å ha løst uttrykkene i parentes, gå videre til eksponentiering (husk at en potens har en eksponent og en base). Hev det tilsvarende uttrykket (eller tallet) til en potens og bytt ut resultatet med uttrykket du har fått.
- I vårt eksempel er det eneste uttrykket (tall) i potensen 3 2: 3 2 = 9. I uttrykket du har fått, erstatter du 3 2 med 9 og du får: 2x + 4(7) + 9 - 5.
Multiplisere. Husk at multiplikasjonsoperasjonen kan representeres av følgende symboler: "x", "∙" eller "*". Men hvis det ikke er noen symboler mellom tallet og variabelen (for eksempel 2x) eller mellom tallet og tallet i parentes (for eksempel 4(7)), så er dette også en multiplikasjonsoperasjon.
- I vårt eksempel er det to multiplikasjonsoperasjoner: 2x (to multiplisert med variabelen "x") og 4(7) (fire multiplisert med syv). Vi vet ikke verdien av x, så vi lar uttrykket 2x være som det er. 4(7) = 4 x 7 = 28. Nå kan du omskrive uttrykket gitt til deg som følger: 2x + 28 + 9 - 5.
Dele. Husk at divisjonsoperasjonen kan representeres av følgende symboler: "/", "÷" eller "–" (du kan se det siste tegnet i brøk). For eksempel er 3/4 tre delt på fire.
- I vårt eksempel er det ikke lenger en divisjonsoperasjon, siden du allerede delte 4 med 2 (4/2) når du løste uttrykket i parentes. Så du kan gå til neste trinn. Husk at de fleste uttrykk ikke inneholder alle de matematiske operasjonene (bare noen av dem).
Brette. Når du legger til termer i et uttrykk, kan du starte med termen lengst (til venstre), eller du kan legge til termene som enkelt legger til først. For eksempel, i uttrykket 49 + 29 + 51 +71 er det først lettere å legge til 49 + 51 = 100, deretter 29 + 71 = 100 og til slutt 100 + 100 = 200. Det er mye vanskeligere å legge til slik: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.
- I vårt eksempel 2x + 28 + 9 + 5 er det to addisjonsoperasjoner. La oss starte med det ytterste (venstre) leddet: 2x + 28; du kan ikke legge til 2x og 28 fordi du ikke vet verdien av variabelen "x". Legg derfor til 28 + 9 = 37. Nå kan uttrykket skrives om på følgende måte: 2x + 37 - 5.
Subtrahere. Dette er den siste operasjonen i i riktig rekkefølge utføre matematiske operasjoner. På dette stadiet kan du også legge til negative tall eller gjør det på stadiet med å legge til medlemmer - dette vil ikke påvirke det endelige resultatet på noen måte.
- I vårt eksempel 2x + 37 - 5 er det bare én subtraksjonsoperasjon: 37 - 5 = 32.
På dette stadiet, etter å ha gjort alle de matematiske operasjonene, bør du få et forenklet uttrykk. Men hvis uttrykket gitt til deg inneholder en eller flere variabler, så husk at variabelleddet vil forbli som det er. Å løse (ikke forenkle) et uttrykk med en variabel innebærer å finne verdien av den variabelen. Noen ganger kan variable uttrykk forenkles ved hjelp av spesielle metoder (se neste avsnitt).
- I vårt eksempel er det endelige svaret 2x + 32. Du kan ikke legge til de to leddene før du vet verdien av variabelen "x". Når du vet verdien av variabelen, kan du enkelt forenkle denne binomialen.
Forenkling av komplekse uttrykk
1. Tilføyelse av lignende vilkår. Husk at du bare kan trekke fra og legge til lignende ledd, det vil si ledd med samme variabel og samme eksponent. For eksempel kan du legge til 7x og 5x, men du kan ikke legge til 7x og 5x 2 (siden eksponentene er forskjellige).
  - Denne regelen gjelder også for medlemmer med flere variabler. For eksempel kan du legge til 2xy 2 og -3xy 2 , men du kan ikke legge til 2xy 2 og -3x 2 y eller 2xy 2 og -3y 2 .
  - La oss se på et eksempel: x 2 + 3x + 6 - 8x. Her er de lignende termene 3x og 8x, så de kan legges sammen. Et forenklet uttrykk ser slik ut: x 2 - 5x + 6.
2. Forenkle tallbrøken. I en slik brøk inneholder både telleren og nevneren tall (uten variabel). En tallbrøk kan forenkles på flere måter. Først deler du bare nevneren med telleren. For det andre, faktor telleren og nevneren og avbryt de samme faktorene (siden å dele et tall på seg selv vil gi deg 1). Med andre ord, hvis både telleren og nevneren har samme faktor, kan du droppe den og få en forenklet brøk.
  - Tenk for eksempel på brøken 36/60. Bruk en kalkulator, del 36 på 60 for å få 0,6. Men du kan forenkle denne brøken på en annen måte ved å faktorisere telleren og nevneren: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Siden 6/6 = 1, er den forenklede brøken: 1 x 6/10 = 6/10. Men denne brøken kan også forenkles: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.
3. Hvis en brøk inneholder en variabel, kan du avbryte like faktorer med variabelen. Faktorer både telleren og nevneren og kanseller like faktorene, selv om de inneholder variabelen (husk at like faktorene her kan inneholde variabelen eller ikke).
  - La oss se på et eksempel: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Dette uttrykket kan omskrives (faktoreres) i formen: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Siden 3x-leddet er i både teller og nevner, kan du annullere det for å gi et forenklet uttrykk: (x + 1)/(5 - x). La oss se på et annet eksempel: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
  - Vær oppmerksom på at du ikke kan kansellere noen vilkår - kun identiske faktorer som er tilstede i både teller og nevner kanselleres. For eksempel, i uttrykket (x(x + 2))/x, er variabelen (faktoren) "x" både i telleren og nevneren, så "x" kan reduseres for å få et forenklet uttrykk: (x + 2)/1 = x + 2. I uttrykket (x + 2)/x kan imidlertid ikke variabelen "x" reduseres (siden "x" ikke er en faktor i telleren).
4. Åpne parentesene. For å gjøre dette, multipliser begrepet utenfor parentes med hvert ledd i parentes. Noen ganger er dette med på å forenkle et komplekst uttrykk. Dette gjelder begge medlemmer som er primtall, og til medlemmer som inneholder variabelen.
  - For eksempel, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, og 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
  - Vær oppmerksom på at i brøkuttrykk Det er ikke nødvendig å åpne parenteser hvis samme faktor er tilstede i både telleren og nevneren. For eksempel, i uttrykket (3(x 2 + 8))/3x er det ikke nødvendig å utvide parentesene, siden du her kan avbryte faktoren 3 og få det forenklede uttrykket (x 2 + 8)/x. Dette uttrykket er lettere å jobbe med; hvis du skulle utvide parentesene, ville du få følgende komplekse uttrykk: (3x 3 + 24x)/3x.
5. Faktorpolynomer. Ved å bruke denne metoden kan du forenkle noen uttrykk og polynomer. Factoring er den motsatte operasjonen av å åpne parenteser, det vil si at et uttrykk skrives som et produkt av to uttrykk, hver omsluttet i parentes. I noen tilfeller kan faktorisering reduseres samme uttrykk. I spesielle tilfeller(vanligvis med andregradsligninger) factoring lar deg løse ligningen.
  - Tenk på uttrykket x 2 - 5x + 6. Det er faktorisert: (x - 3)(x - 2). Således, hvis uttrykket for eksempel er gitt (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), så kan du skrive det om som (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), reduser uttrykket (x - 2) og oppnå et forenklet uttrykk (x - 3)/2.
  - Faktoreringspolynomer brukes til å løse (finne røtter) ligninger (en ligning er et polynom lik 0). Tenk for eksempel på ligningen x 2 - 5x + 6 = 0. Ved å faktorisere den får du (x - 3)(x - 2) = 0. Siden ethvert uttrykk multiplisert med 0 er lik 0, kan vi skrive det som dette : x - 3 = 0 og x - 2 = 0. Dermed er x = 3 og x = 2, det vil si at du har funnet to røtter av ligningen gitt til deg.

Et bokstavelig uttrykk (eller variabelt uttrykk) er et matematisk uttrykk som består av tall, bokstaver og matematiske symboler. For eksempel er følgende uttrykk bokstavelig:

a+b+4

Ved hjelp av alfabetiske uttrykk kan du skrive lover, formler, likninger og funksjoner. Evnen til å manipulere bokstavuttrykk er nøkkelen til god kunnskap om algebra og høyere matematikk.

Ethvert alvorlig problem i matematikk kommer ned til å løse ligninger. Og for å kunne løse ligninger, må du kunne jobbe med bokstavelige uttrykk.

For å jobbe med bokstavelige uttrykk, må du være godt kjent med grunnleggende aritmetikk: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, grunnleggende matematikklover, brøker, operasjoner med brøker, proporsjoner. Og ikke bare studere, men forstå grundig.

Leksjonens innhold

Variabler

Bokstaver som er inneholdt i bokstavelige uttrykk kalles variabler. For eksempel i uttrykket a+b+4 variablene er bokstavene en Og b. Hvis vi erstatter noen tall i stedet for disse variablene, blir det bokstavelige uttrykket a+b+4 kontakt numerisk uttrykk, hvis verdi kan finnes.

Tall som erstattes med variabler kalles verdier av variabler. La oss for eksempel endre verdiene til variablene en Og b. Likhetstegnet brukes til å endre verdier

a = 2, b = 3

Vi har endret verdiene til variablene en Og b. Variabel en tildelt en verdi 2 , variabel b tildelt en verdi 3 . Som et resultat, det bokstavelige uttrykket a+b+4 blir til et regulært numerisk uttrykk 2+3+4 hvis verdi kan finnes:

2 + 3 + 4 = 9

Når variabler multipliseres, skrives de sammen. For eksempel, ta opp ab betyr det samme som oppføringen a×b. Hvis vi erstatter variablene en Og b tall 2 Og 3 , da får vi 6

2 × 3 = 6

Du kan også skrive sammen multiplikasjonen av et tall med et uttrykk i parentes. For eksempel i stedet for a×(b + c) kan skrives ned a(b + c). Ved å anvende fordelingsloven for multiplikasjon får vi a(b + c)=ab+ac.

Odds

I bokstavelige uttrykk kan du ofte finne en notasjon der et tall og en variabel er skrevet sammen, for eksempel 3a. Dette er faktisk en forkortelse for å multiplisere tallet 3 med en variabel. en og denne oppføringen ser ut som 3×a .

Med andre ord uttrykket 3a er produktet av tallet 3 og variabelen en. Tall 3 i dette arbeidet kaller de koeffisient. Denne koeffisienten viser hvor mange ganger variabelen vil økes en. Dette uttrykket kan leses som " en tre ganger" eller "tre ganger EN", eller "øk verdien av en variabel en tre ganger", men leses oftest som "tre en«

For eksempel hvis variabelen en lik 5 , deretter verdien av uttrykket 3a vil være lik 15.

3 × 5 = 15

Snakker på enkelt språk, er koeffisienten tallet som kommer før bokstaven (før variabelen).

Det kan for eksempel være flere bokstaver 5abc. Her er koeffisienten tallet 5 . Denne koeffisienten viser at produktet av variabler abc femdobles. Dette uttrykket kan leses som " abc fem ganger" eller "øke verdien av uttrykket abc fem ganger" eller "fem abc«.

Hvis i stedet for variabler abc erstatte tallene 2, 3 og 4, deretter verdien av uttrykket 5abc vil være lik 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Du kan mentalt forestille deg hvordan tallene 2, 3 og 4 først ble multiplisert, og den resulterende verdien ble femdoblet:

Tegnet til koeffisienten refererer kun til koeffisienten og gjelder ikke for variablene.

Tenk på uttrykket −6b. Minus før koeffisienten 6 , gjelder kun for koeffisienten 6 , og tilhører ikke variabelen b. Å forstå dette faktum vil tillate deg å ikke gjøre feil i fremtiden med tegn.

La oss finne verdien av uttrykket −6b på b = 3.

−6b −6×b. For klarhets skyld, la oss skrive uttrykket −6b i utvidet form og erstatte verdien av variabelen b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk −6b på b = −5

La oss skrive ned uttrykket −6b i utvidet form

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Eksempel 3. Finn verdien av et uttrykk −5a+b på a = 3 Og b = 2

−5a+b dette er en kort form for −5 × a + b, så for klarhetens skyld skriver vi uttrykket −5×a+b i utvidet form og erstatte verdiene til variablene en Og b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Noen ganger skrives bokstaver uten koeffisient, for eksempel en eller ab. I dette tilfellet er koeffisienten enhet:

men tradisjonelt er ikke enheten skrevet ned, så de skriver rett og slett en eller ab

Hvis det er et minus foran bokstaven, er koeffisienten et tall −1 . For eksempel uttrykket −a ser faktisk ut som −1a. Dette er produktet av minus én og variabelen en. Det ble slik:

−1 × a = −1a

Det er en liten hake her. I uttrykk −a minustegn foran variabelen en refererer faktisk til en "usynlig enhet" i stedet for en variabel en. Derfor bør du være forsiktig når du løser problemer.

For eksempel hvis gitt uttrykket −a og vi blir bedt om å finne dens verdi på a = 2, så på skolen erstattet vi en to i stedet for en variabel en og fikk svar −2 , uten å fokusere for mye på hvordan det ble. Faktisk ble minus én multiplisert med positivt tall 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Hvis gitt uttrykket −a og du må finne verdien på a = −2, så erstatter vi −2 i stedet for en variabel en

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

For å unngå feil kan usynlige enheter først skrives ned eksplisitt.

Eksempel 4. Finn verdien av et uttrykk abc på a=2 , b=3 Og c=4

Uttrykk abc 1×a×b×c. For klarhets skyld, la oss skrive uttrykket abc a, b Og c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Eksempel 5. Finn verdien av et uttrykk abc på a=−2, b=−3 Og c=−4

La oss skrive ned uttrykket abc i utvidet form og erstatte verdiene til variablene a, b Og c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Eksempel 6. Finn verdien av et uttrykk − abc på a=3, b=5 og c=7

Uttrykk − abc dette er et kort skjema for −1×a×b×c. For klarhets skyld, la oss skrive uttrykket − abc i utvidet form og erstatte verdiene til variablene a, b Og c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Eksempel 7. Finn verdien av et uttrykk − abc på a=−2, b=−4 og c=−3

La oss skrive ned uttrykket − abc i utvidet form:

−abc = −1 × a × b × c

La oss erstatte verdiene til variablene en , b Og c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Hvordan bestemme koeffisienten

Noen ganger må du løse et problem der du må bestemme koeffisienten til et uttrykk. I prinsippet er denne oppgaven veldig enkel. Det er nok å kunne multiplisere tall riktig.

For å bestemme koeffisienten i et uttrykk, må du multiplisere tallene som er inkludert i dette uttrykket separat og multiplisere bokstavene separat. Den resulterende numeriske faktoren vil være koeffisienten.

Eksempel 1. 7m×5a×(−3)×n

Uttrykket består av flere faktorer. Dette kan man tydelig se hvis man skriver uttrykket i utvidet form. Det vil si verkene 7m Og 5a skriv det i skjemaet 7×m Og 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

La oss bruke den assosiative loven om multiplikasjon, som lar deg multiplisere faktorer i hvilken som helst rekkefølge. Vi vil nemlig multiplisere tallene hver for seg og multiplisere bokstavene (variablene) separat:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105mann

Koeffisienten er −105 . Etter fullføring er det tilrådelig å ordne bokstavdelen i alfabetisk rekkefølge:

−105 om morgenen

Eksempel 2. Bestem koeffisienten i uttrykket: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeffisienten er 6.

Eksempel 3. Bestem koeffisienten i uttrykket:

La oss multiplisere tall og bokstaver hver for seg:

Koeffisienten er −1. Vær oppmerksom på at enheten ikke skrives ned, siden det er vanlig å ikke skrive koeffisienten 1.

Disse tilsynelatende enkle oppgavene kan spille en veldig grusom spøk på oss. Det viser seg ofte at tegnet på koeffisienten er satt feil: enten mangler minus eller tvert imot, det ble satt forgjeves. For å unngå disse irriterende feilene må det studeres på et godt nivå.

Legger til i bokstavelige uttrykk

Ved å legge til flere tall får man summen av disse tallene. Tall som legger til kalles addends. Det kan være flere begreper, for eksempel:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Når et uttrykk består av termer, er det mye lettere å vurdere fordi det er lettere å legge til enn å trekke fra. Men uttrykket kan inneholde ikke bare addisjon, men også subtraksjon, for eksempel:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

I dette uttrykket er tallene 3 og 5 subtrahends, ikke addends. Men ingenting hindrer oss i å erstatte subtraksjon med addisjon. Da får vi igjen et uttrykk som består av termer:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Det spiller ingen rolle at tallene −3 og −5 nå har et minustegn. Hovedsaken er at alle tallene i dette uttrykket er forbundet med et addisjonstegn, det vil si at uttrykket er en sum.

Begge uttrykk 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Og 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) lik samme verdi - minus én

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Dermed vil ikke betydningen av uttrykket lide hvis vi erstatter subtraksjon med addisjon et sted.

Du kan også erstatte subtraksjon med addisjon i bokstavelige uttrykk. Tenk for eksempel på følgende uttrykk:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

For alle verdier av variabler a, b, c, d Og s uttrykk 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Og 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) vil være lik samme verdi.

Du må være forberedt på at en lærer på skolen eller en lærer ved et institutt kan kalle partall (eller variabler) som ikke er tillegg.

For eksempel hvis forskjellen er skrevet på tavlen a−b, da vil ikke læreren si det en er en minuend, og b- fratrekkbar. Han vil kalle begge variablene med ett vanlig ord - vilkår. Og alt på grunn av uttrykket til formen a−b matematikeren ser hvordan summen a+(−b). I dette tilfellet blir uttrykket en sum, og variablene en Og (−b) bli vilkår.

Lignende termer

Lignende termer- dette er termer som har samme bokstavdel. Tenk for eksempel på uttrykket 7a + 6b + 2a. Komponenter 7a Og 2a ha samme bokstavdel - variabel en. Så vilkårene 7a Og 2a er like.

Vanligvis legges lignende termer til for å forenkle et uttrykk eller løse en ligning. Denne operasjonen kalles med lignende vilkår.

For å få lignende termer, må du legge til koeffisientene til disse termene, og multiplisere resultatet med den vanlige bokstavdelen.

La oss for eksempel presentere lignende termer i uttrykket 3a + 4a + 5a. I dette tilfellet er alle begreper like. La oss legge sammen koeffisientene deres og gange resultatet med den vanlige bokstavdelen - med variabelen en

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Lignende termer blir vanligvis tatt opp i tankene, og resultatet skrives ned umiddelbart:

3a + 4a + 5a = 12a

Dessuten kan man resonnere som følger:

Det var 3 variabler a , 4 flere variabler a og 5 flere variabler a ble lagt til dem. Som et resultat fikk vi 12 variabler a

La oss se på flere eksempler på å bringe lignende termer. Med tanke på det dette emnet er veldig viktig, først vil vi skrive ned hver minste detalj i detalj. Selv om alt er veldig enkelt her, gjør de fleste mange feil. Mest på grunn av uoppmerksomhet, ikke uvitenhet.

Eksempel 1. 3a + 2a + 6a + 8 en

La oss legge sammen koeffisientene i dette uttrykket og multiplisere det resulterende resultatet med den vanlige bokstavdelen:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

design (3 + 2 + 6 + 8)×a Du trenger ikke å skrive det ned, så vi skriver ned svaret med en gang

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Eksempel 2. Gi lignende termer i uttrykket 2a+a

Andre termin en skrevet uten en koeffisient, men faktisk er det en koeffisient foran den 1 , som vi ikke ser fordi den ikke er registrert. Så uttrykket ser slik ut:

2a + 1a

La oss nå presentere lignende termer. Det vil si at vi legger sammen koeffisientene og multipliserer resultatet med den vanlige bokstavdelen:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

La oss kort skrive ned løsningen:

2a + a = 3a

2a+a, du kan tenke annerledes:

Eksempel 3. Gi lignende termer i uttrykket 2a−a

La oss erstatte subtraksjon med addisjon:

2a + (-a)

Andre termin (−a) skrevet uten koeffisient, men i virkeligheten ser det ut som (−1a). Koeffisient −1 igjen usynlig på grunn av at den ikke er registrert. Så uttrykket ser slik ut:

2a + (−1a)

La oss nå presentere lignende termer. La oss legge til koeffisientene og multiplisere resultatet med den vanlige bokstavdelen:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Vanligvis skrevet kortere:

2a − a = a

Gir lignende termer i uttrykket 2a−a Du kan tenke annerledes:

Det var 2 variabler a, trekk fra en variabel a, og som et resultat var det bare en variabel a igjen

Eksempel 4. Gi lignende termer i uttrykket 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

La oss nå presentere lignende termer. La oss legge til koeffisientene og gange resultatet med den totale bokstavdelen

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

La oss kort skrive ned løsningen:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Det finnes uttrykk som inneholder flere forskjellige grupper av lignende termer. For eksempel 3a + 3b + 7a + 2b. For slike uttrykk gjelder de samme reglene som for de andre, nemlig å legge til koeffisientene og multiplisere resultatet med den vanlige bokstavdelen. Men for å unngå feil er det praktisk å fremheve ulike grupper av termer med ulike linjer.

For eksempel i uttrykket 3a + 3b + 7a + 2b de begrepene som inneholder en variabel en, kan understrekes med én linje, og de termene som inneholder en variabel b, kan understrekes med to linjer:

Nå kan vi presentere lignende termer. Det vil si, legg til koeffisientene og multipliser det resulterende resultatet med den totale bokstavdelen. Dette må gjøres for begge grupper av termer: for termer som inneholder en variabel en og for termer som inneholder en variabel b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Igjen, vi gjentar, uttrykket er enkelt, og lignende termer kan gis i tankene:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Eksempel 5. Gi lignende termer i uttrykket 5a − 6a −7b + b

La oss erstatte subtraksjon med addisjon der det er mulig:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

La oss understreke lignende termer med forskjellige linjer. Termer som inneholder variabler en vi understreker med én linje, og begrepene er innholdet i variablene b, understrek med to linjer:

Nå kan vi presentere lignende termer. Det vil si, legg til koeffisientene og multipliser det resulterende resultatet med den vanlige bokstavdelen:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Hvis uttrykket inneholder vanlige tall uten bokstavfaktorer, legges de til separat.

Eksempel 6. Gi lignende termer i uttrykket 4a + 3a − 5 + 2b + 7

La oss erstatte subtraksjon med addisjon der det er mulig:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

La oss presentere lignende termer. Tall −5 Og 7 har ikke bokstavfaktorer, men de er lignende termer - de må bare legges til. Og begrepet 2b vil forbli uendret, siden det er den eneste i dette uttrykket som har en bokstavfaktor b, og det er ingenting å legge det til:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

La oss kort skrive ned løsningen:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Begrepene kan ordnes slik at de begrepene som har samme bokstavdel ligger i samme del av uttrykket.

Eksempel 7. Gi lignende termer i uttrykket 5t+2x+3x+5t+x

Siden uttrykket er en sum av flere ledd, lar dette oss vurdere det i hvilken som helst rekkefølge. Derfor er begrepene som inneholder variabelen t, kan skrives i begynnelsen av uttrykket, og termene som inneholder variabelen x på slutten av uttrykket:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Nå kan vi presentere lignende termer:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

La oss kort skrive ned løsningen:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Summen av motsatte tall er null. Denne regelen fungerer også for bokstavelige uttrykk. Hvis uttrykket inneholder identiske termer, men med motsatte tegn, så kan du bli kvitt dem på stadiet med å redusere lignende vilkår. Med andre ord, bare eliminer dem fra uttrykket, siden summen deres er null.

Eksempel 8. Gi lignende termer i uttrykket 3t − 4t − 3t + 2t

La oss erstatte subtraksjon med addisjon der det er mulig:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponenter 3t Og (−3t) er motsatte. Summen av motsatte ledd er null. Hvis vi fjerner denne nullen fra uttrykket, vil ikke verdien til uttrykket endres, så vi fjerner den. Og vi fjerner det ved å bare krysse av vilkårene 3t Og (−3t)

Som et resultat vil vi sitte igjen med uttrykket (−4t) + 2t. I dette uttrykket kan du legge til lignende termer og få det endelige svaret:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

La oss kort skrive ned løsningen:

Forenkle uttrykk

"forenkle uttrykket" og nedenfor er uttrykket som må forenkles. Forenkle et uttrykk betyr å gjøre det enklere og kortere.

Faktisk har vi allerede forenklet uttrykk når vi har redusert brøker. Etter reduksjon ble brøken kortere og lettere å forstå.

Tenk på følgende eksempel. Forenkle uttrykket.

Denne oppgaven kan bokstavelig talt forstås som følger: "Bruk alle gyldige handlinger på dette uttrykket, men gjør det enklere." .

I dette tilfellet kan du redusere brøken, nemlig dele telleren og nevneren til brøken med 2:

Hva annet kan du gjøre? Du kan beregne den resulterende brøken. Da får vi desimalbrøken 0,5

Som et resultat ble fraksjonen forenklet til 0,5.

Det første spørsmålet du må stille deg selv når du løser slike problemer bør være "Hva kan gjøres?" . For det er handlinger du kan gjøre, og det er handlinger du ikke kan gjøre.

En annen viktig poeng Det du må huske er at verdien av uttrykket ikke skal endres etter forenkling av uttrykket. La oss gå tilbake til uttrykket. Dette uttrykket representerer en deling som kan utføres. Etter å ha utført denne delingen får vi verdien av dette uttrykket, som er lik 0,5

Men vi forenklet uttrykket og fikk et nytt forenklet uttrykk. Verdien av det nye forenklede uttrykket er fortsatt 0,5

Men vi prøvde også å forenkle uttrykket ved å beregne det. Som et resultat fikk vi et endelig svar på 0,5.

Dermed, uansett hvordan vi forenkler uttrykket, er verdien av de resulterende uttrykkene fortsatt lik 0,5. Dette betyr at forenklingen ble utført korrekt i alle ledd. Det er nettopp dette vi bør strebe etter når vi forenkler uttrykk – meningen med uttrykket skal ikke lide under våre handlinger.

Det er ofte nødvendig å forenkle bokstavelige uttrykk. De samme forenklingsreglene gjelder for dem som for numeriske uttrykk. Du kan utføre alle gyldige handlinger, så lenge verdien av uttrykket ikke endres.

La oss se på noen få eksempler.

Eksempel 1. Forenkle et uttrykk 5,21s × t × 2,5

For å forenkle dette uttrykket kan du multiplisere tallene hver for seg og multiplisere bokstavene hver for seg. Denne oppgaven er veldig lik den vi så på da vi lærte å bestemme koeffisienten:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Så uttrykket 5,21s × t × 2,5 forenklet til 13 025st.

Eksempel 2. Forenkle et uttrykk −0,4 × (−6,3b) × 2

Andre stykke (−6.3b) kan oversettes til et skjema som er forståelig for oss, nemlig skrevet i skjemaet ( −6,3)×b , multipliser deretter tallene hver for seg og multipliser bokstavene hver for seg:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Så uttrykket −0,4 × (−6,3b) × 2 forenklet til 5.04b

Eksempel 3. Forenkle et uttrykk

La oss skrive dette uttrykket mer detaljert for å tydelig se hvor tallene er og hvor bokstavene er:

La oss nå multiplisere tallene hver for seg og multiplisere bokstavene hver for seg:

Så uttrykket forenklet til −abc. Denne løsningen kan skrives kort:

Ved forenkling av uttrykk kan brøker reduseres i løpet av løsningsprosessen, og ikke helt på slutten, slik vi gjorde med vanlige brøker. For eksempel, hvis vi i løpet av løsningen kommer over et uttrykk for formen, er det slett ikke nødvendig å beregne telleren og nevneren og gjøre noe som dette:

En brøk kan reduseres ved å velge en faktor i telleren og nevneren og redusere disse faktorene med deres største felles deler. Med andre ord, bruk der vi ikke beskriver i detalj hva telleren og nevneren ble delt inn i.

For eksempel, i telleren er faktoren 12 og i nevneren kan faktoren 4 reduseres med 4. Vi beholder de fire i tankene, og deler 12 og 4 på disse fire, skriver vi ned svarene ved siden av disse tallene, etter først å ha strøket dem ut

Nå kan du multiplisere de resulterende små faktorene. I dette tilfellet er det få av dem, og du kan multiplisere dem i tankene dine:

Over tid kan du oppdage at når du løser et bestemt problem, begynner uttrykk å "bli fete", så det er tilrådelig å venne seg til raske beregninger. Det som kan beregnes i sinnet, må beregnes i sinnet. Det som raskt kan reduseres, må raskt reduseres.

Eksempel 4. Forenkle et uttrykk

Så uttrykket forenklet til

Eksempel 5. Forenkle et uttrykk

La oss multiplisere tallene hver for seg og bokstavene hver for seg:

Så uttrykket forenklet til mn.

Eksempel 6. Forenkle et uttrykk

La oss skrive dette uttrykket mer detaljert for å tydelig se hvor tallene er og hvor bokstavene er:

La oss nå multiplisere tallene hver for seg og bokstavene hver for seg. For å lette utregningen, desimalbrøken −6,4 og blandet antall kan konverteres til vanlige brøker:

Så uttrykket forenklet til

Løsningen for dette eksemplet kan skrives mye kortere. Det vil se slik ut:

Eksempel 7. Forenkle et uttrykk

La oss multiplisere tall hver for seg og bokstaver hver for seg. For enkel beregning, et blandet antall og desimaler 0,1 og 0,6 kan konverteres til vanlige brøker:

Så uttrykket forenklet til abcd. Hvis du hopper over detaljene, da denne avgjørelsen kan skrives mye kortere:

Legg merke til hvordan brøken er redusert. Nye faktorer som oppnås som følge av reduksjon av tidligere faktorer tillates også redusert.

La oss nå snakke om hva vi ikke skal gjøre. Ved forenkling av uttrykk er det strengt forbudt å multiplisere tall og bokstaver dersom uttrykket er en sum og ikke et produkt.

For eksempel hvis du ønsker å forenkle uttrykket 5a+4b, da kan du ikke skrive det slik:

Dette er det samme som om vi ble bedt om å legge til to tall og vi multipliserte dem i stedet for å legge dem til.

Når du erstatter eventuelle variabelverdier en Og b uttrykk 5a +4b blir til et vanlig numerisk uttrykk. La oss anta at variablene en Og b har følgende betydninger:

a = 2, b = 3

Da vil verdien av uttrykket være lik 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Først utføres multiplikasjon, og deretter legges resultatene til. Og hvis vi prøvde å forenkle dette uttrykket ved å multiplisere tall og bokstaver, ville vi få følgende:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Det viser seg en helt annen betydning av uttrykket. I det første tilfellet fungerte det 22 , i det andre tilfellet 120 . Dette betyr at å forenkle uttrykket 5a+4b ble utført feil.

Etter å ha forenklet uttrykket, bør verdien ikke endres med de samme verdiene til variablene. Hvis det oppnås én verdi når du erstatter noen variabelverdier i det opprinnelige uttrykket, bør samme verdi oppnås etter forenkling av uttrykket som før forenklingen.

Med uttrykk 5a+4b det er egentlig ingenting du kan gjøre. Det forenkler det ikke.

Hvis et uttrykk inneholder lignende termer, kan de legges til hvis målet vårt er å forenkle uttrykket.

Eksempel 8. Forenkle et uttrykk 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

eller kortere: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Så uttrykket 0,3a−0,4a+a forenklet til 0,9a

Eksempel 9. Forenkle et uttrykk −7,5a − 2,5b + 4a

For å forenkle dette uttrykket kan vi legge til lignende termer:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

eller kortere −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Periode (−2,5b) forble uendret fordi det ikke var noe å sette det med.

Eksempel 10. Forenkle et uttrykk

For å forenkle dette uttrykket kan vi legge til lignende termer:

Koeffisienten var for å lette beregningen.

Så uttrykket forenklet til

Eksempel 11. Forenkle et uttrykk

For å forenkle dette uttrykket kan vi legge til lignende termer:

Så uttrykket forenklet til.

I i dette eksemplet Det ville være mer hensiktsmessig å legge til den første og siste koeffisienten først. I dette tilfellet ville vi ha en kort løsning. Det ville sett slik ut:

Eksempel 12. Forenkle et uttrykk

For å forenkle dette uttrykket kan vi legge til lignende termer:

Så uttrykket forenklet til .

Begrepet forble uendret, siden det ikke var noe å legge det til.

Denne løsningen kan skrives mye kortere. Det vil se slik ut:

Den korte løsningen hoppet over trinnene med å erstatte subtraksjon med addisjon og detaljering av hvordan brøker ble redusert til en fellesnevner.

En annen forskjell er at i detaljert løsning svaret ser ut som , men kort sagt . Faktisk er de det samme uttrykket. Forskjellen er at i det første tilfellet erstattes subtraksjon med addisjon, siden i begynnelsen da vi skrev løsningen i i detalj, erstattet vi subtraksjon med addisjon der det var mulig, og denne erstatningen ble bevart for svaret.

Identiteter. Identisk like uttrykk

Når vi har forenklet ethvert uttrykk, blir det enklere og kortere. For å sjekke om det forenklede uttrykket er riktig, er det nok å erstatte eventuelle variabelverdier først i det forrige uttrykket som måtte forenkles, og deretter i det nye som ble forenklet. Hvis verdien i begge uttrykkene er den samme, er det forenklede uttrykket sant.

La oss vurdere enkleste eksempelet. La det være nødvendig å forenkle uttrykket 2a×7b. For å forenkle dette uttrykket kan du multiplisere tall og bokstaver hver for seg:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

La oss sjekke om vi forenklet uttrykket riktig. For å gjøre dette, la oss erstatte eventuelle verdier av variablene en Og b først inn i det første uttrykket som måtte forenkles, og deretter inn i det andre, som ble forenklet.

La verdiene til variablene en , b vil være som følger:

a = 4, b = 5

La oss erstatte dem med det første uttrykket 2a×7b

La oss nå erstatte de samme variabelverdiene i uttrykket som ble resultatet av forenkling 2a×7b, nemlig i uttrykket 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Vi ser at når a=4 Og b=5 verdien av det første uttrykket 2a×7b og betydningen av det andre uttrykket 14ab lik

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Det samme vil skje for andre verdier. La for eksempel a=1 Og b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Dermed for alle verdier av uttrykksvariablene 2a×7b Og 14ab er lik samme verdi. Slike uttrykk kalles identisk like.

Vi konkluderer med det mellom uttrykkene 2a×7b Og 14ab du kan sette et likhetstegn fordi de er like med samme verdi.

2a × 7b = 14ab

En likhet er ethvert uttrykk som er forbundet med et likhetstegn (=).

Og likhet i formen 2a×7b = 14ab ringte identitet.

En identitet er en likhet som er sann for alle verdier av variablene.

Andre eksempler på identiteter:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Ja, matematikkens lover som vi studerte er identiteter.

Ekte numeriske likheter er også identiteter. For eksempel:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Ved løsning av et komplekst problem, for å gjøre utregningen enklere, erstattes det komplekse uttrykket med et enklere uttrykk som er identisk likt det forrige. Denne erstatningen kalles identisk transformasjon av uttrykket eller bare transformere uttrykket.

For eksempel har vi forenklet uttrykket 2a×7b, og fikk et enklere uttrykk 14ab. Denne forenklingen kan kalles identitetstransformasjonen.

Du kan ofte finne en oppgave som sier "bevis at likhet er en identitet" og så gis likestillingen som må bevises. Vanligvis består denne likheten av to deler: venstre og høyre del av likheten. Vår oppgave er å utføre identitetstransformasjoner med en av delene av likestillingen og oppnå den andre delen. Eller utfør identiske transformasjoner med begge sider av likheten og sørg for at begge sider av likheten inneholder de samme uttrykkene.

For eksempel, la oss bevise at likheten 0,5a × 5b = 2,5ab er en identitet.

La oss forenkle venstre side av denne likestillingen. For å gjøre dette, multipliser tallene og bokstavene hver for seg:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Som et resultat av en liten identitetstransformasjon ble venstre side av likheten lik høyre side av likheten. Så vi har bevist at likestillingen 0,5a × 5b = 2,5ab er en identitet.

Fra identiske transformasjoner lærte vi å addere, subtrahere, multiplisere og dividere tall, redusere brøker, legge til lignende termer og også forenkle noen uttrykk.

Men dette er ikke alle identiske transformasjoner som finnes i matematikk. Det er mange flere identiske transformasjoner. Dette vil vi se mer enn en gang i fremtiden.