Metoder for å studere numeriske uttrykk. Metoder for å studere algebraisk materiale i det innledende kurset i matematikk

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSDEPARTEMENTET I RF

FORBUNDSBYRÅ FOR UTDANNING

ELETS STATE UNIVERSITY OPPEKT ETTER I.A.BUNINA

METODOLOGI FOR STUDIE AV ALGEBRAISK, GEOMETRISK MATERIAL, MENGDER OG FRAKSJONER

I PRIMÆRKLASSER

Yelets – 2006

BBK 65

Satt sammen av Faustova N.P., Dolgosheeva E.V. Metoder for å studere algebraisk, geometrisk materiale, mengder og brøker i grunnskole. - Yelets, 2006. - 46 s.

I denne håndboken avslører metodikken for å studere algebraisk, geometrisk materiale, mengder og brøker i primære karakterer.

Manualen er beregnet på studenter ved Fakultet for pedagogikk og metode Grunnutdanning dagtid og korrespondanseskjema opplæring, kan brukes av lærere primærklasser, lærere ved fakultetet ved PIMNE-universiteter og pedagogiske høyskoler.

Håndboken er utarbeidet i samsvar med Statens standarder og arbeidsprogram I dette tempoet.

Anmeldere:

Kandidat pedagogiske vitenskaper, førsteamanuensis ved Institutt for matematisk analyse og elementær matematikk T.A. Poznyak

Ledende spesialist ved avdelingen for offentlig utdanning av administrasjonen av Yeletsk-distriktet i Lipetsk-regionen Avdeeva M.V.

METODOLOGI FOR STUDIE AV ALGEBRAISK MATERIAL I GRUNNSKOLEKLASSER

1.1. Generelle spørsmål studiemetoder algebraisk materiale.

1.2. Studiemetodikk numeriske uttrykk.

1.3. Lære bokstavuttrykk.

1.4. Studie av numeriske likheter og ulikheter.

1.5. Metoder for å studere ligninger.

1.6. Løse enkle regneoppgaver ved å skrive ligninger.

1.1. Generelle problemstillinger om metodikk for å studere algebraisk materiale

Introduksjon av algebraisk materiale i innledende kurs Matematikk hjelper til med å forberede elevene til å studere de grunnleggende begrepene i moderne matematikk (variabler, likninger, likhet, ulikhet, etc.), bidrar til generalisering av aritmetisk kunnskap og dannelsen av funksjonell tenkning hos barn.

Grunnskoleelever skal få innledende informasjon om matematiske uttrykk, talllikheter og ulikheter, lære å løse ligninger gitt læreplan og enkle regneoppgaver ved å komponere en ligning ( teoretisk grunnlag velge en aritmetisk operasjon der forbindelsen mellom komponentene og resultatet av den tilsvarende aritmetiske operasjonen0.

Studiet av algebraisk materiale utføres i nær sammenheng med aritmetisk materiale.

Metodikk for å studere numeriske uttrykk

I matematikk forstås et uttrykk å være konstruert vha visse regler en sekvens av matematiske symboler som representerer tall og operasjoner på dem.

Uttrykk som: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - numeriske uttrykk; type: 8-a; 30:c; 5+(3+s) - bokstavelige uttrykk(uttrykk med en variabel).

Mål med å studere emnet

2) Gjøre elevene kjent med reglene for utførelsesordren aritmetiske operasjoner.

3) Lær å finne tall uttrykks betydninger.

4) Introduser identiske transformasjoner av uttrykk basert på egenskapene til aritmetiske operasjoner.

Løsningen på de tildelte oppgavene utføres gjennom alle år av grunnskoleopplæringen, fra de første dagene av barnets opphold på skolen.

Metodikken for å arbeide med numeriske uttrykk involverer tre stadier: på det første stadiet - dannelsen av konsepter om de enkleste uttrykkene (sum, forskjell, produkt, kvotient av to tall); på andre trinn - om uttrykk som inneholder to eller flere aritmetiske operasjoner på ett nivå; på tredje trinn - om uttrykk som inneholder to eller flere aritmetiske operasjoner på forskjellige nivåer.

Elevene blir introdusert for de enkleste uttrykkene - sum og forskjell - i første klasse (i henhold til program 1-4) med produkt og kvotient - i andre klasse (med begrepet "produkt" - i 2. klasse, med begrepet " kvotient” - i tredje klasse).

La oss vurdere metodikken for å studere numeriske uttrykk.

Når de utfører operasjoner på sett, lærer barn først og fremst den spesifikke betydningen av addisjon og subtraksjon, derfor, i registreringer av formen 3 + 2, 7-1, blir tegnene på handlinger gjenkjent av dem som en kort betegnelse på ordene "legg til", "trekk fra" (legg til 2 til 3). I fremtiden blir handlingsbegrepene dypere: elevene lærer at ved å legge til (trekke fra) flere enheter, øker (reduserer) vi antallet med samme antall enheter (leses: 3 øker med 2), så lærer barna navnet på handlingstegn "pluss" (lesing: 3 pluss 2), "minus".

I emnet "Addisjon og subtraksjon innen 20" blir barn introdusert for begrepene "sum" og "forskjell" som navn på matematiske uttrykk og som navnet på resultatet av de aritmetiske operasjonene for addisjon og subtraksjon.

La oss se på et fragment av leksjonen (2. klasse).

Fest 4 røde og 3 gule sirkler til brettet med vann:

Hvor mange røde sirkler? (Skriv ned tallet 4.)

Hvor mange gule sirkler? (Skriv ned tallet 3.)

Hvilken handling må utføres på de skrevne tallene 3 og 4 for å finne ut hvor mange røde og hvor mange gule sirkler det er til sammen? (oppføringen vises: 4+3).

Fortell meg, uten å telle, hvor mange sirkler er det?

Et slikt uttrykk i matematikk, når det er et "+"-tegn mellom tallene, kalles en sum (La oss si sammen: sum) og leses slik: summen av fire og tre.

La oss nå finne ut hva summen av tallene 4 og 3 er lik (vi gir hele svaret).

Likeså om forskjellen.

Når du lærer addisjon og subtraksjon innenfor 10, uttrykk som består av 3 eller flere tall forbundet med samme og forskjellige tegn aritmetiske operasjoner: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3, etc. Ved å avsløre betydningen av slike uttrykk viser læreren hvordan de skal leses. Ved å beregne verdiene til disse uttrykkene mestrer barn praktisk talt regelen om rekkefølgen av aritmetiske operasjoner i uttrykk uten parentes, selv om de ikke formulerer det: 10-3+2=7+2=9. Slike oppføringer er det første trinnet i å utføre identitetstransformasjoner.

Metoden for å gjøre deg kjent med uttrykk med parentes kan være forskjellig (Beskriv et fragment av leksjonen i notatboken, forbered deg på praktiske leksjoner).

Evnen til å komponere og finne betydningen av et uttrykk brukes av barn når de løser regneoppgaver samtidig, her oppstår videre beherskelse av uttrykksbegrepet, og den spesifikke betydningen av uttrykk i opptak av problemløsning tilegnes; .

Av interesse er typen arbeid foreslått av den latviske metodologen J.Ya. Mencis.

En tekst er gitt for eksempel slik: "Gutten hadde 24 rubler, kaken koster 6 rubler, godteriet koster 2 rubler," foreslås det:

a) komponer alle typer uttrykk basert på denne teksten og forklar hva de viser;

b) forklar hva uttrykkene viser:

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

I klasse 3, sammen med uttrykkene som er diskutert tidligere, inkluderer de uttrykk som består av to enkle uttrykk (37+6)-(42+1), samt de som består av et tall og produktet eller kvotienten av to tall. For eksempel: 75-50:25+2. Der rekkefølgen handlingene utføres i ikke er sammenfallende med rekkefølgen de ble skrevet i, brukes parentes: 16-6:(8-5). Barn må lære å lese og skrive disse uttrykkene riktig og finne betydningen deres.

Begrepene «uttrykk» og «uttrykksverdi» introduseres uten definisjoner. For å gjøre det lettere for barn å lese og finne betydningen av komplekse uttrykk, anbefaler metodologer å bruke et diagram som er samlet og brukt ved lesing av uttrykk:

1) Jeg avgjør hvilken handling som utføres sist.

2) Jeg skal tenke på hva tallene kalles når jeg utfører denne handlingen.

3) Jeg skal lese hvordan disse tallene kommer til uttrykk.

Reglene for rekkefølgen for å utføre handlinger i komplekse uttrykk studeres i 3. klasse, men barn bruker praktisk talt noen av dem i første og andre klasse.

Det første som skal vurderes er regelen om rekkefølgen av operasjoner i uttrykk uten parentes, når tall enten bare er addisjon og subtraksjon, eller multiplikasjon og divisjon (3. klasse). Målet med arbeidet på dette stadiet er basert på praktiske ferdigheter studenter tilegnet tidligere, ta hensyn til rekkefølgen for å utføre handlinger i slike uttrykk og formulere en regel.

Å lede barn til formuleringen av regelen og deres bevissthet om den kan være annerledes. Den viktigste avhengigheten er på eksisterende erfaring, størst mulig uavhengighet, skape en situasjon med søk og oppdagelse, bevis.

Kan bli brukt metodisk teknikk Sh.A. Amonashvili «lærerens feil».

For eksempel. Læreren rapporterer at når han fant betydningen av følgende uttrykk, fikk han svar som han er sikker på er riktige (svarene er lukket).

36:2 6=6 osv.

Inviterer barna til å finne betydningen av uttrykk selv, og deretter sammenligne svarene med svarene læreren har mottatt (på dette tidspunktet avsløres resultatene av aritmetiske operasjoner). Barn beviser at læreren gjorde feil og, basert på å studere bestemte fakta, formulerer de en regel (se lærebok i matematikk, 3. klasse).

På samme måte kan du introdusere de gjenværende reglene for rekkefølgen av handlinger: når uttrykk uten parentes inneholder handlinger fra 1. og 2. trinn, i uttrykk med parentes. Det er viktig at barn innser at endring av rekkefølgen for å utføre aritmetiske operasjoner fører til en endring i resultatet, og derfor bestemte matematikere seg for å bli enige og formulerte regler som må følges strengt.

Å transformere et uttrykk er å erstatte et gitt uttrykk med et annet med samme numeriske verdi. Elevene utfører slike transformasjoner av uttrykk, basert på egenskapene til aritmetiske operasjoner og konsekvenser fra dem (s. 249-250).

Når man studerer hver egenskap, blir studentene overbevist om at i uttrykk av en bestemt type kan handlinger utføres på forskjellige måter, men betydningen av uttrykket endres ikke. I fremtiden bruker elevene kunnskap om egenskapene til handlinger for å transformere gitte uttrykk til identiske uttrykk. For eksempel tilbys oppgaver som dette: fortsett opptak slik at "="-tegnet bevares:

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

Når de fullfører den første oppgaven, resonnerer elevene slik: til venstre fra 76 trekker du fra summen av tallene 20 og 4 , til høyre, trekk 20 fra 76; for å få samme mengde til høyre som til venstre, må du også trekke 4 fra høyre Andre uttrykk transformeres på samme måte, dvs. etter å ha lest uttrykket, husker eleven den tilsvarende regelen. Og ved å utføre handlinger i henhold til regelen, mottar den et transformert uttrykk. For å sikre at transformasjonen er riktig, beregner barn verdiene til de gitte og transformerte uttrykkene og sammenligner dem.

Ved å bruke kunnskap om egenskapene til handlinger for å rettferdiggjøre beregningsmetoder, utfører elever i klasse I-IV transformasjoner av uttrykk av formen:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 18·30= 18·(3·10) = (18·3) 10=540

Her er det også nødvendig at elevene ikke bare forklarer på hvilket grunnlag de utleder hvert påfølgende uttrykk, men også forstår at alle disse uttrykkene er forbundet med "="-tegnet fordi de har samme betydning. For å gjøre dette bør barn av og til bli bedt om å beregne betydningen av uttrykk og sammenligne dem. Dette forhindrer feil av formen: 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24 12= (10 + 2) =24 10+24 2 = 288.

Elever i klasse II-IV transformerer uttrykk ikke bare på grunnlag av egenskapene til handlingen, men også på grunnlag av deres spesifikke betydning. For eksempel erstattes summen av identiske termer med produktet: (6 + 6 + 6 = 6 3, og omvendt: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Også basert på betydningen av multiplikasjonshandlingen, blir mer komplekse uttrykk transformert: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7 = 7 5.

Basert på beregninger og analyse av spesielt utvalgte uttrykk, ledes elever i fjerde klasse til den konklusjon at hvis i uttrykk med parentes ikke parentes påvirker rekkefølgen av handlinger, så kan de utelates. Deretter, ved å bruke de lærte egenskapene til handlinger og regler for rekkefølgen av handlinger, øver elevene på å transformere uttrykk med parentes til identiske uttrykk uten parentes. For eksempel foreslås det å skrive disse uttrykkene uten parentes slik at verdiene deres ikke endres:

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Dermed erstatter barn det første av de gitte uttrykkene med uttrykkene: 65 + 30-20, 65-20 + 30, og forklarer rekkefølgen for å utføre handlinger i dem. På denne måten er elevene overbevist om at betydningen av et uttrykk ikke endres ved endring av handlingsrekkefølgen bare hvis egenskapene til handlingene brukes.

2. Matematisk uttrykk og dets betydning.

3. Løse oppgaver basert på å tegne en ligning.

Algebra erstatter numeriske verdier av kvantitative egenskaper for sett eller mengder med bokstavsymboler. Generelt erstatter algebra også tegn på spesifikke operasjoner (addisjon, multiplikasjon, etc.) med generaliserte symboler for algebraiske operasjoner og vurderer ikke de spesifikke resultatene av disse operasjonene (svarene), men deres egenskaper.

Metodisk antas det at hovedrollen til algebraelementer i et matematikkkurs i grunnskolen er å bidra til dannelsen av barns generaliserte ideer om begrepet "kvantitet" og betydningen av aritmetiske operasjoner.

I dag er det to radikalt motsatte trender når det gjelder å bestemme volumet av innhold av algebraisk materiale i et matematikkkurs grunnskole. En trend er knyttet til tidlig algebraisering av matematikkkurset i grunnskolen, med dets metning med algebraisk materiale allerede fra første klasse; En annen trend er knyttet til innføring av algebraisk materiale i matematikkkurset for grunnskolen på siste trinn, ved slutten av 4. klasse. Representanter for den første trenden kan betraktes som forfattere av alternative lærebøker i L.V. Zankova (I.I. Arginskaya), systemer V.V. Davydov (E.N. Aleksandrova, G.G. Mikulina, etc.), "School 2100"-systemet (L.G. Peterson), "School of the 21st Century"-systemet (V.N. Rudnitskaya). Forfatteren av den alternative læreboken til "Harmony"-systemet, N.B., kan betraktes som en representant for den andre trenden. Istomin.

Læreboken til den tradisjonelle skolen kan betraktes som en representant for de "middelste" synspunktene - den inneholder ganske mye algebraisk materiale, siden den er fokusert på bruken av matematikklæreboken av N.Ya. Vilenkina i klasse 5-6 på ungdomsskolen, men introduserer barn til algebraiske konsepter fra og med klasse 2, distribuerer materialet over tre år, og har i løpet av de siste 20 årene praktisk talt ikke utvidet listen over algebraiske konsepter.

Det obligatoriske minimumsinnholdet i matematikkundervisningen for grunnkarakterer (siste utgave 2001) inneholder ikke algebraisk materiale. De nevner ikke grunnskoleutdannedes evne til å arbeide med algebraiske begreper og kravene til deres forberedelsesnivå ved fullført grunnskoleutdanning.

Matematisk uttrykk og dets betydning

En sekvens av bokstaver og tall forbundet med handlingstegn kalles et matematisk uttrykk.

Det er nødvendig å skille et matematisk uttrykk fra likhet og ulikhet, som bruker likhets- og ulikhetstegn skriftlig.

For eksempel:

3 + 2 - matematisk uttrykk;

7-5; 5 6 - 20; 64: 8 + 2 - matematiske uttrykk;

a + b; 7 - s; 23 - og 4 - matematiske uttrykk.

Notasjon som 3 + 4 = 7 er ikke et matematisk uttrykk, det er en likhet.

Rekordtype 5< 6 или 3 + а >7 - er ikke matematiske uttrykk, de er ulikheter.

Numeriske uttrykk

Matematiske uttrykk som bare inneholder tall og handlingssymboler kalles numeriske uttrykk.

I klasse 1 bruker ikke den aktuelle læreboken disse begrepene. Barn introduseres for eksplisitte talluttrykk (med navn) i 2. klasse.

De enkleste numeriske uttrykkene inneholder bare addisjons- og subtraksjonstegn, for eksempel: 30 - 5 + 7; 45 + 3; 8 - 2 - 1, osv. Etter å ha fullført de angitte handlingene, får vi verdien av uttrykket. For eksempel: 30 - 5 + 7 = 32, hvor 32 er verdien av uttrykket.

Noen uttrykk som barn lærer i grunnskolens matematikkkurs har egne navn: 4 + 5 - sum;

6 - 5 - forskjell;

7 6 - produkt; 63: 7 - kvotient.

Disse uttrykkene har navn for hver komponent: komponenter av summen - addends; komponenter av forskjellen - minuend og subtrahend; komponenter i produktet er faktorer; Komponentene i divisjon er utbytte og divisor. Navnene på verdiene til disse uttrykkene sammenfaller med navnet på uttrykket, for eksempel: verdien av beløpet kalles "sum"; betydningen av en kvotient kalles "kvotient", etc.

Den neste typen numeriske uttrykk er uttrykk som inneholder førstetrinnsoperasjoner (addisjon og subtraksjon) og parenteser. Barn blir kjent med dem i 1. klasse. Knyttet til denne typen uttrykk er regelen for rekkefølgen for utførelse av handlinger i uttrykk med parentes: handlingene i parentes utføres først.

Deretter følger numeriske uttrykk som inneholder to-trinns operasjoner uten parentes (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon). Tilknyttet denne typen uttrykk er regelen for rekkefølgen av operasjoner i uttrykk som inneholder alle aritmetiske operasjoner uten parentes: operasjonene multiplikasjon og divisjon utføres før addisjon og subtraksjon.

Den siste typen numeriske uttrykk er uttrykk som inneholder to-trinns operasjoner med parenteser. Tilknyttet denne typen uttrykk er regelen for rekkefølgen av operasjoner i uttrykk som inneholder alle aritmetiske operasjoner og parenteser: handlingene i parentes utføres først, deretter utføres operasjonene multiplikasjon og divisjon, deretter operasjonene addisjon og subtraksjon.

1.1. Generelle spørsmål om metoder for å studere algebraisk materiale.

1.2. Metoder for å studere numeriske uttrykk.

1.3. Lære bokstavuttrykk.

1.4. Studie av numeriske likheter og ulikheter.

1.5. Metoder for å studere ligninger.

1.6. Løse enkle regneoppgaver ved å skrive ligninger.

1.1. Generelle problemstillinger om metodikk for å studere algebraisk materiale

Introduksjonen av algebraisk materiale i det innledende matematikkkurset gjør det mulig å forberede studentene på å studere de grunnleggende begrepene i moderne matematikk (variabler, ligninger, likhet, ulikhet, etc.), bidrar til generalisering av aritmetisk kunnskap, og dannelsen av funksjonell tenkning hos barn.

Grunnskoleelever skal få innledende informasjon om matematiske uttrykk, numeriske likheter og ulikheter, lære å løse likninger gitt av læreplanen og enkle regneoppgaver ved å sette sammen en ligning (det teoretiske grunnlaget for å velge en regneoperasjon der forholdet mellom komponentene og resultatet av den tilsvarende aritmetiske operasjonen0.

Studiet av algebraisk materiale utføres i nær sammenheng med aritmetisk materiale.

1.2. Metodikk for å studere numeriske uttrykk

I matematikk forstås et uttrykk som en sekvens av matematiske symboler konstruert i henhold til visse regler, som angir tall og operasjoner på dem.

Uttrykk som: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - numeriske uttrykk; type: 8-a; 30:c; 5+(3+c) - bokstavelige uttrykk (uttrykk med en variabel).

Mål med å studere emnet

2) Gjør elevene kjent med reglene for rekkefølgen på utførelse av regneoperasjoner.

3) Lær å finne numeriske verdier uttrykkene.

4) Introduser identiske transformasjoner av uttrykk basert på egenskapene til aritmetiske operasjoner.

Løsningen på de fastsatte oppgavene gjennomføres gjennom alle utdanningsår i grunnskolen, fra de første dagene av barnets skoleopphold.

Elevene blir introdusert for de enkleste uttrykkene – sum og forskjell – i første klasse (iht. program 1-4) med produkt og kvotient på andre trinn (med begrepet «produkt» i 2. klasse, med begrepet «kvotient» i tredje klasse).

La oss vurdere metodikken for å studere numeriske uttrykk.

La oss se på et fragment av leksjonen (2. klasse).

Fest 4 røde og 3 gule sirkler til brettet med vann:

ÅÅ ÅÅÅ

Hvor mange røde sirkler? (Skriv ned tallet 4.)

Hvor mange gule sirkler? (Skriv ned tallet 3.)

Hvilken handling må utføres på de skrevne tallene 3 og 4 for å finne ut hvor mange røde og hvor mange gule sirkler det er til sammen? (oppføringen vises: 4+3).

Fortell meg, uten å telle, hvor mange sirkler er det?

Et slikt uttrykk i matematikk, når det er et "+"-tegn mellom tallene, kalles en sum (La oss si sammen: sum) og leses slik: summen av fire og tre.

La oss nå finne ut hva summen av tallene 4 og 3 er lik (vi gir hele svaret).

Likeså om forskjellen.

Når du studerer addisjon og subtraksjon innenfor 10, inkluderes uttrykk som består av 3 eller flere tall forbundet med samme og forskjellige tegn på aritmetiske operasjoner: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3, etc. Ved å avsløre betydningen av slike uttrykk viser læreren hvordan de skal leses. Ved å beregne verdiene til disse uttrykkene, mestrer barn praktisk talt regelen om rekkefølgen av aritmetiske operasjoner i uttrykk uten parentes, selv om de ikke formulerer det: 10-3+2=7+2=9. Slike oppføringer er det første trinnet i å utføre identitetstransformasjoner.

Metoden for å gjøre deg kjent med uttrykk med parentes kan være forskjellig (Beskriv et fragment av leksjonen i notatboken, forbered deg på praktiske leksjoner).

Evnen til å komponere og finne betydningen av et uttrykk brukes av barn når de løser regneoppgaver, samtidig oppstår videre beherskelse av begrepet «uttrykk», og den spesifikke betydningen av uttrykk i opptakene av problemløsning er; ervervet.

Av interesse er typen arbeid foreslått av den latviske metodologen J.Ya. Mencis.

En tekst er gitt for eksempel slik: "Gutten hadde 24 rubler, kaken koster 6 rubler, godteriet koster 2 rubler," foreslås det:

a) komponer alle typer uttrykk basert på denne teksten og forklar hva de viser;

b) forklar hva uttrykkene viser:

2 klasser 3 karakterer

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

1) Jeg avgjør hvilken handling som utføres sist.

2) Jeg skal tenke på hva tallene kalles når jeg utfører denne handlingen.

3) Jeg skal lese hvordan disse tallene kommer til uttrykk.

Reglene for rekkefølgen for å utføre handlinger i komplekse uttrykk studeres i 3. klasse, men barn bruker praktisk talt noen av dem i første og andre klasse.

Det første som skal vurderes er regelen om rekkefølgen av operasjoner i uttrykk uten parentes, når tall enten bare er addisjon og subtraksjon, eller multiplikasjon og divisjon (3. klasse). Målet med arbeidet på dette stadiet er å stole på de praktiske ferdighetene til studenter som er ervervet tidligere, å ta hensyn til rekkefølgen for å utføre handlinger i slike uttrykk og å formulere en regel.

Du kan bruke den metodiske teknikken til Sh.A. Amonashvili «lærerens feil».

For eksempel. Læreren rapporterer at når han fant betydningen av følgende uttrykk, fikk han svar som han er sikker på er riktige (svarene er lukket).

36:2 6=6 osv.

Når man studerer hver egenskap, blir studentene overbevist om at i uttrykk av en bestemt type kan handlinger utføres på forskjellige måter, men meningen med uttrykket er endres ikke. I fremtiden bruker elevene kunnskap om egenskapene til handlinger for å transformere gitte uttrykk til identiske uttrykk. For eksempel tilbys oppgaver som dette: fortsett opptak slik at "="-tegnet bevares:

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

Ved å bruke kunnskap om egenskapene til handlinger for å rettferdiggjøre beregningsmetoder, utfører elever i klasse I-IV transformasjoner av uttrykk av formen:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 18 30= 18 (3 10) = (18 3) 10=540

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Hovedmålene med å studere algebraisk materiale i grunnskolen er at grunnskolebarn skal få innledende informasjon om likheter og ulikheter, om en variabel, om likheter og ulikheter med en variabel, om matematiske uttrykk (numeriske og alfabetiske), om beregning av verdiene deres, om enkle likninger og ulikheter, opplæring av skoleelever i måter å løse dem på, samt løse problemer algebraisk. Studiet av algebraisk materiale på grunnskolene bidrar til generalisering av begreper om tall, regneoperasjoner og deres egenskaper, og er en forberedelse til studiet av algebra på videregående.

Barn får sine første ideer om likheter og ulikheter når de sammenligner sett og tall. Studien deres er assosiert med studiet av nummerering, aritmetiske operasjoner og mengder. Deretter introduseres ideen om sanne og falske likheter og ulikheter, likheter og ulikheter med en variabel.

Ligningen behandles som en likhet med en variabel. Å løse en ligning betyr å velge en verdi av en variabel slik at når den erstattes med ligningen, blir den til en korrekt numerisk likhet. Dette er grunnlaget for metoden for å løse likninger ved seleksjon. I grunnkarakterene løses likninger også på grunnlag av forholdet mellom komponentene og resultatene av aritmetiske operasjoner, på grunnlag av anvendelsen av de grunnleggende egenskapene til likheter (L.V. Zankovs system), samt ved hjelp av grafer (UMK "Primary School of the 21st Century"). Løsningen på ulikheter begrenses av seleksjonsmetoden. Likninger og ulikheter brukes til å løse problemer, men algebraisk metode problemløsning er begrenset til familiariseringsnivået på grunnskolen.

Begreper om de enkleste uttrykkene dannes i forbindelse med studiet av aritmetiske operasjoner, deretter introduseres komplekse uttrykk og uttrykk med en variabel. Yngre elever lærer å beregne verdiene til komplekse numeriske uttrykk ved hjelp av ordensregler. De lærer også å finne betydningen av uttrykk med en variabel gitt verdiene til bokstavene.

Bokstavsymboler brukes til å generalisere registreringen av lover og egenskaper ved aritmetiske operasjoner, samt formler for å beregne arealer av rektangler, trekanter, polygoner, volumer, hastigheter, etc.

For tiden er det to radikalt motsatte trender når det gjelder å bestemme volumet av algebraisk materiale i et matematikkkurs i grunnskolen. En trend er knyttet til tidlig algebraisering av matematikkkurs i grunnskolen. Representanter for denne trenden er I.I. Arginskaya, L.G. Peterson, V.N. Rudnitskaya og andre. Læreboken til den tradisjonelle skolen (M.I. Moro og andre) er en representant for "midten" synspunkter.

Send ditt gode arbeid i kunnskapsbasen er enkelt. Bruk skjemaet nedenfor

Studenter, hovedfagsstudenter, unge forskere som bruker kunnskapsbasen i studiene og arbeidet vil være veldig takknemlige for deg.

Lagt ut på http://www.allbest.ru/

INTRODUKSJON

KONKLUSJON

BIBLIOGRAFI

Introduksjon

Til enhver moderne system I allmennutdanning opptar matematikk en av de sentrale stedene, noe som utvilsomt snakker om det unike ved dette kunnskapsfeltet.

Hva er moderne matematikk? Hvorfor trengs det? Disse og lignende spørsmål stiller barn ofte til lærere. Og hver gang vil svaret være forskjellig avhengig av utviklingsnivået til barnet og dets utdanningsbehov.

Det sies ofte at matematikk er språket i moderne vitenskap. Det ser imidlertid ut til å være en betydelig feil i denne uttalelsen. Matematikkens språk er så utbredt og så ofte effektivt nettopp fordi matematikk ikke kan reduseres til det.

Fremragende innenlandsk matematiker A.N. Kolmogorov skrev: "Matematikk er ikke bare et språk pluss resonnement, det er som om matematikk er et verktøy for å tenke nøyaktig. Det kan du bruke koble ett resonnement med et annet Naturens åpenbare kompleksitet med dens merkelige lover og regler, som hver tillater en helt annen detaljert forklaring, er faktisk nært beslektet. Men hvis du ikke vil bruke matematikk, vil du i dette enorme utvalget av fakta ikke se at logikk lar deg flytte fra den ene til den andre."

Dermed lar matematikk oss danne visse former for tenkning som er nødvendig for å studere verden rundt oss.

Hvilken innflytelse har matematikk generelt og skolematematikk spesielt på utdanning? kreativ personlighet? Å undervise i kunsten å løse problemer i matematikktimene gir oss en ekstremt gunstig mulighet til å utvikle en viss tankegang hos elevene. Behovet for forskningsaktiviteter utvikler interesse for mønstre og lærer oss å se skjønnheten og harmonien i menneskelig tanke. Alt dette er etter vår mening det viktigste elementet i den generelle kulturen. Matematikkkurset har en viktig innflytelse på dannelsen ulike former tenkning: logisk, romlig-geometrisk, algoritmisk. Noen kreativ prosess begynner med formuleringen av en hypotese. Matematikk, med passende organisering av utdanningen, som er en god skole for å konstruere og teste hypoteser, lærer deg å sammenligne forskjellige hypoteser, finne det beste alternativet, stille nye problemer og se etter måter å løse dem på. Hun utvikler blant annet også vanen til metodisk arbeid, uten noe som ingen kreativ prosess kan tenkes. Ved å maksimere mulighetene for menneskelig tenkning, er matematikk dens høyeste prestasjon. Det hjelper en person til å forstå seg selv og forme sin karakter. Dette er en liten liste over grunner til at matematisk kunnskap bør bli en integrert del av den generelle kulturen og et obligatorisk element i oppdragelsen og utdanningen til et barn. Matematikkkurset (uten geometri) i vår 10-årige skole er egentlig delt inn i tre hoveddeler: aritmetikk (karakterer I - V), algebra (VI - V). III klasse s) og analyseelementer (gradene IX - X). Hva er grunnlaget for en slik inndeling? Selvfølgelig har hver av disse delene sin egen spesielle "teknologi".

Således er det i aritmetikk assosiert med for eksempel beregninger utført på flersifrede tall, i algebra - med identiske transformasjoner, logaritmisering, i analyse - med differensiering, etc. Men hva er de dypere grunnene knyttet til det konseptuelle innholdet i hver del? Det neste spørsmålet gjelder grunnlaget for å skille mellom skoleregning og algebra (dvs. første og andre del av kurset). Aritmetikk inkluderer studiet av naturlige tall (positive heltall) og brøker (primtall og desimal). En spesiell analyse viser imidlertid at det er ulovlig å kombinere denne typen tall i ett skolefag.

Faktum er at disse tallene har forskjellige funksjoner: den første er assosiert med å telle objekter, den andre med å måle mengder. Denne omstendigheten er veldig viktig for å forstå det faktum at brøktall (rasjonelle) bare er et spesialtilfelle av reelle tall.

Fra et synspunkt om måling av mengder, som bemerket av A.N. Kolmogorov, «det er ingen så dyp forskjell mellom rasjonelle og irrasjonelle reelle tall Av pedagogiske årsaker dveler de lenge ved rasjonelle tall, siden de imidlertid er lette å skrive i form av brøker dem fra begynnelsen bør umiddelbart føre til reelle tall i sin helhet."

A.N. Kolmogorov betraktet som berettiget både fra et synspunkt av historien om utviklingen av matematikk og i hovedsak forslaget til A. Lebesgue om å flytte i undervisningen etter naturlige tall direkte til opprinnelsen og den logiske naturen til reelle tall. Samtidig, som bemerket av A.N. Kolmogorov, "tilnærmingen til konstruksjonen av rasjonelle og reelle tall fra synspunktet om å måle mengder er ikke mindre vitenskapelig enn for eksempel introduksjonen av rasjonelle tall i form av "par For skolen har det en utvilsomt". fordel" (.

Dermed er det en reell mulighet, på grunnlag av naturlige (heltall) tall, å umiddelbart danne «det mest generelle tallbegrepet» (i terminologien til A. Lebesgue), konseptet om et reelt tall. Men fra et programkonstruksjonssynspunkt betyr dette verken mer eller mindre enn eliminering av brøkregning i sin skoletolkning. Overgangen fra heltall til reelle tall er en overgang fra aritmetikk til "algebra", til å skape et grunnlag for analyse. Disse ideene, uttrykt for mer enn 20 år siden, er fortsatt aktuelle i dag.

1. Generelle teoretiske aspekter ved å studere algebraisk materiale i grunnskolen

algebraisk skolesammenligning matematikk

1.1 Erfaring med å introdusere algebraelementer i grunnskolen

Innholdet i et akademisk emne avhenger som kjent av mange faktorer - av livets krav til elevenes kunnskap, på nivået av relevante vitenskaper, av barns mentale og fysiske aldersevner, etc. Riktig vurdering av disse faktorene er en vesentlig betingelse for de fleste effektiv læring skolebarn, utvide deres kognitive evner. Men noen ganger er denne betingelsen ikke oppfylt av en eller annen grunn. I dette tilfellet gir ikke undervisning den ønskede effekten både når det gjelder barns tilegnelse av spekteret av nødvendig kunnskap og når det gjelder utviklingen av deres intelligens.

Det ser ut til at undervisningsprogrammene for noen akademiske emner, spesielt matematikk, for tiden ikke oppfyller de nye livskravene og utviklingsnivået. moderne vitenskaper(for eksempel matematikk) og nye data utviklingspsykologi og logikk. Denne omstendigheten tilsier behovet for omfattende teoretisk og eksperimentell testing mulige prosjekter nytt innhold i pedagogiske fag.

Grunnlaget for matematisk kunnskap legges i grunnskolen. Men dessverre legger både matematikere selv, og metodologer og psykologer svært lite oppmerksomhet til innholdet i elementær matematikk. Det er nok å si at matematikkpensumet i grunnskolen (gradene I - IV) i sine hovedtrekk ble dannet for 50 - 60 år siden og naturlig reflekterer datidens matematiske, metodiske og psykologiske ideer.

La oss vurdere kjennetegn statlig standard for matematikk i grunnskolen. Hovedinnholdet er heltall og operasjoner på dem, studert i en viss rekkefølge. Først studeres fire operasjoner i grensen på 10 og 20, deretter - muntlige beregninger i grensen på 100, muntlige og skriftlige beregninger i grensen på 1000 og til slutt i grensen på millioner og milliarder. I klasse IV studeres noen sammenhenger mellom data og resultatene av aritmetiske operasjoner, samt enkle brøker. Sammen med dette involverer programmet studiet av metriske mål og tidsmål, mestring av evnen til å bruke dem til måling, kunnskap om noen elementer av visuell geometri - tegning av et rektangel og kvadrat, måling av segmenter, områder av et rektangel og kvadrat, beregne volumer.

Studentene skal bruke tilegnet kunnskap og ferdigheter til å løse problemer og utføre enkle beregninger. Gjennom hele kurset gjennomføres problemløsning parallelt med studiet av tall og operasjoner - halvparten av passende tid er avsatt til dette. Å løse problemer hjelper studentene å forstå den spesifikke betydningen av handlinger, forstå ulike tilfeller av deres anvendelse, etablere forhold mellom mengder og tilegne seg grunnleggende ferdigheter for analyse og syntese.

Fra klasse I til IV løser barn følgende hovedtyper av problemer (enkle og sammensatte): finne summen og resten, produkt og kvotient, øke og redusere gitte tall, forskjell og multiplum sammenligning, enkel trippelregel, proporsjonal divisjon, finne en ukjent av to forskjeller, beregner det aritmetiske gjennomsnittet og noen andre typer problemer.

MED forskjellige typer barn møter avhengigheter av mengder når de løser problemer. Men det er veldig typisk at studenter begynner med problemer etter og mens de studerer tall; det viktigste som kreves ved løsning er å finne et numerisk svar. Barn har store problemer med å identifisere egenskapene til kvantitative relasjoner i spesifikke, spesielle situasjoner, som vanligvis betraktes som aritmetiske problemer. Praksis viser at manipulasjon av tall ofte erstatter den faktiske analysen av forholdene til problemet fra synspunktet om avhengighetene til reelle mengder. Dessuten representerer ikke problemene som er introdusert i lærebøker et system der mer "komplekse" situasjoner vil være assosiert med "dypere" lag av kvantitative relasjoner. Problemer med samme vanskelighetsgrad finner du både i begynnelsen og på slutten av læreboken. De endres fra seksjon til seksjon og fra klasse til klasse i henhold til kompleksiteten til plottet (antall handlinger øker), i henhold til rangeringen av tallene (fra ti til en milliard), i henhold til kompleksiteten fysiske avhengigheter(fra distribusjonsproblemer til bevegelsesproblemer) og i henhold til andre parametere. Bare én parameter - utdyping i selve systemet med matematiske lover - manifesteres svakt og utydelig i dem. Derfor er det svært vanskelig å etablere et kriterium for den matematiske vanskeligheten til et bestemt problem. Hvorfor er problemer med å finne en ukjent fra to forskjeller og finne ut det aritmetiske gjennomsnittet (III-grad) vanskeligere enn problemer med forskjell og multippel sammenligning (II-grad)? Metodikken gir ikke et overbevisende og logisk svar på dette spørsmålet.

Barneskoleelever får dermed ikke tilstrekkelig, fullstendig kunnskap om avhengigheter av mengder og generelle egenskaper ah mengder verken når du studerer elementene i tallteori, fordi de i skolekurset først og fremst er assosiert med beregningsteknikken, eller når du løser problemer, fordi sistnevnte ikke har den tilsvarende formen og ikke har det nødvendige systemet. Metodologers forsøk på å forbedre undervisningsmetoder, selv om de fører til delvis suksess, endres ikke generell stilling tilfeller, siden de på forhånd er begrenset av rammen for det aksepterte innholdet.

Det ser ut til at grunnlaget kritisk analyse Det vedtatte regneprogrammet skal inneholde følgende bestemmelser:

Begrepet antall er ikke identisk med begrepet om gjenstanders kvantitative egenskaper;

Tall er ikke den opprinnelige formen for kvantitative relasjoner.

La oss gi begrunnelsen for disse bestemmelsene. Det er velkjent at moderne matematikk (spesielt algebra) studerer aspekter ved kvantitative relasjoner som ikke har et numerisk skall. Det er også velkjent at noen kvantitative sammenhenger er ganske uttrykkelige uten tall og før tall, for eksempel i segmenter, volumer osv. (forholdet "mer", "mindre", "likt"). Presentasjonen av de originale generelle matematiske konseptene i moderne håndbøker utføres i en slik symbolikk som ikke nødvendigvis innebærer uttrykk for objekter med tall. Så i boken til E.G. Gonins "Theoretical Arithmetic" de grunnleggende matematiske objektene er betegnet med bokstaver og spesielle tegn helt fra begynnelsen.

Det er karakteristisk at visse typer tall og numeriske avhengigheter kun er gitt som eksempler, illustrasjoner av egenskapene til mengder, og ikke som deres eneste mulige og eneste eksisterende uttrykksform. Videre er det bemerkelsesverdig at mange illustrasjoner av individuelle matematiske definisjoner er gitt i grafisk form, gjennom forholdet mellom segmenter, områder. Alle grunnleggende egenskaper ved mengder og mengder kan utledes og rettferdiggjøres uten å involvere numeriske systemer; Dessuten får sistnevnte selv begrunnelse på grunnlag av generelle matematiske begreper.

I sin tur viser en rekke observasjoner fra psykologer og lærere at kvantitative ideer oppstår hos barn lenge før de tilegner seg kunnskap om tall og hvordan de skal betjene dem. Riktignok er det en tendens til å klassifisere disse ideene som "pre-matematiske formasjoner" (noe som er ganske naturlig for tradisjonelle metoder som identifiserer kvantitative egenskaper objekt med et tall), men dette endrer ikke deres vesentlige funksjon i barnets generelle orientering i tingenes egenskaper. Og noen ganger hender det at dybden av disse angivelig "pre-matematiske formasjonene" er mer betydningsfull for utviklingen av et barns egen matematiske tenkning enn kunnskap om intrikate datateknologi og evnen til å finne rene numeriske avhengigheter. Det er bemerkelsesverdig at akademiker A.N. Kolmogorov, som karakteriserer egenskapene til matematisk kreativitet, bemerker spesielt følgende omstendighet: "Grunnlaget for de fleste matematiske oppdagelser er en enkel idé: en visuell geometrisk konstruksjon, en ny elementær ulikhet, etc. Du trenger bare å bruke dette riktig enkel idéå løse et problem som ved første øyekast virker utilgjengelig."

For tiden er en rekke ideer angående strukturen og konstruksjonsmetoder passende. nytt program. Det er nødvendig å involvere matematikere, psykologer, logikere og metodologer i arbeidet med konstruksjonen. Men i alle dens spesifikke varianter ser det ut til at den må tilfredsstille følgende grunnleggende krav:

Overvinne det eksisterende gapet mellom innholdet i matematikk i grunnskolen og videregående skole;

Å gi et system av kunnskap om de grunnleggende lovene for kvantitative relasjoner i den objektive verden; i dette tilfellet bør egenskapene til tall, som en spesiell form for å uttrykke kvantitet, bli en spesiell, men ikke hoveddelen av programmet;

Gi barn metodene for matematisk tenkning, og ikke bare beregningsferdigheter: dette innebærer å bygge et system med problemer basert på å dykke inn i sfæren av avhengigheter av reelle størrelser (forbindelsen mellom matematikk og fysikk, kjemi, biologi og andre vitenskaper som studerer spesifikke mengder);

Forenkle alle beregningsteknikker avgjørende, og minimer arbeidet som ikke kan gjøres uten passende tabeller, oppslagsverk og andre hjelpemidler (spesielt elektroniske).

Betydningen av disse kravene er klar: i grunnskolen er det fullt mulig å undervise i matematikk som en vitenskap om lovene for kvantitative sammenhenger, om avhengighetene til mengder; datateknikker og elementer av tallteori bør bli en spesiell og privat del av programmet.

Erfaringen med å konstruere et nytt program i matematikk og dets eksperimentelle testing, utført siden slutten av 1960-tallet, lar oss nå snakke om muligheten for å innføre et systematisk matematikkkurs i skolen fra første klasse, som gir kunnskap om kvantitative sammenhenger og avhengigheter av mengder i algebraisk form.

1.2 Problemet med opprinnelsen til algebraiske begreper og dens betydning for konstruksjonen av et pedagogisk emne

Atskillelse skolekurs matematikk for algebra og aritmetikk, selvfølgelig betinget. Overgangen fra den ene til den andre skjer gradvis. I skolepraksis er meningen med denne overgangen maskert av det faktum at studiet av brøker faktisk skjer uten omfattende støtte for å måle mengder - brøker er gitt som forholdstall mellom tallpar (selv om det formelt sett er viktigheten av å måle mengder i metodiske manualer innrømmet). En omfattende introduksjon av brøktall basert på måling av mengder fører uunngåelig til begrepet et reelt tall. Men det siste skjer vanligvis ikke, siden studentene fortsetter å jobbe med rasjonelle tall i lang tid, og dermed blir deres overgang til "algebra" forsinket.

Skolealgebra begynner med andre ord nettopp når betingelsene skapes for overgangen fra heltall til reelle tall, til å uttrykke resultatet av en måling som en brøk (enkel og desimal - endelig, og deretter uendelig). Dessuten kan det første trinnet være kjennskap til måleoperasjonen, å oppnå den endelige desimaler og studere handlinger på dem. Hvis elevene allerede kjenner denne formen for å skrive resultatet av en måling, fungerer dette som en forutsetning for å «forlate» ideen om at et tall også kan uttrykkes som en uendelig brøk. Og det er lurt å skape denne forutsetningen allerede innenfor barneskolen.

Hvis konseptet med et brøktal (rasjonelt) fjernes fra kompetansen til skolearitmetikk, vil grensen mellom det og "algebra" gå langs forskjellslinjen mellom heltall og reelle tall. Det er dette som «skjærer» matematikkkurset i to deler. Dette er ikke en enkel forskjell, men en grunnleggende "dualisme" av kilder - telling og måling.

Etter Lebesgues ideer angående " generelt konsept tall", er det mulig å sikre fullstendig enhet i undervisningen i matematikk, men bare fra øyeblikket og etter å ha gjort barna kjent med telling og heltall (naturlige) tall. Selvfølgelig kan tidspunktet for denne foreløpige kjennskapen være annerledes (i tradisjonelle programmer for grunnskoler er de tydelig forsinket), i kurset I elementær aritmetikk kan du til og med introdusere elementer av praktiske målinger (som er tilfellet i programmet), men alt dette eliminerer ikke forskjellene i grunnlaget for aritmetikk og "algebra". ” som pedagogiske emner “Dualisme” av utgangspunkt hindrer også en i å virkelig forstå aritmetiske seksjoner knyttet til måling av mengder og overgangen til reelle brøker “tok rot.” Forfatterne av programmene og metodologer streber etter å opprettholde stabiliteten og "renhet" av aritmetikk som skolefag Denne forskjellen i kildene er hovedårsaken til å undervise i matematikk i henhold til skjemaet - først aritmetikk (heltall), deretter "algebra" (reelt tall).

Denne ordningen virker ganske naturlig og urokkelig, dessuten er den rettferdiggjort av mange års praksis i å undervise i matematikk. Men det er forhold som fra et logisk og psykologisk synspunkt krever en grundigere analyse av lovligheten av dette rigide undervisningsopplegget.

Faktum er at til tross for alle forskjellene mellom disse typer tall, refererer de spesifikt til tall, dvs. til en spesiell form for å vise kvantitative sammenhenger. Det faktum at heltall og reelle tall tilhører "tall" tjener som grunnlag for antagelsen om de genetiske derivatene av selve forskjellene mellom telling og måling: de har en spesiell og enkelt kilde som tilsvarer selve formen til tallet.

Kunnskap om egenskapene til dette enhetlige grunnlaget for telling og måling vil gjøre det mulig å tydeligere forestille seg betingelsene for deres opprinnelse, på den ene siden, og forholdet, på den andre.

Hva bør vi vende oss til for å finne den felles roten til det forgrenede talltreet? Det ser ut til at det først og fremst er nødvendig å analysere innholdet i begrepet kvantitet. Riktignok er dette begrepet umiddelbart assosiert med en annen dimensjon. Imidlertid utelukker ikke legitimiteten til en slik forbindelse en viss uavhengighet av betydningen av "størrelse". Betraktning av dette aspektet lar oss trekke konklusjoner som samler på den ene siden måling og telling, og på den andre siden driften av tall med visse generelle matematiske sammenhenger og mønstre.

Så, hva er "kvantitet" og hvilken interesse har det for å konstruere de første delene av skolematematikk? I generell bruk er begrepet "størrelse" assosiert med begrepene "lik", "mer", "mindre", som beskriver en rekke kvaliteter (lengde og tetthet, temperatur og hvithet). V.F. Kagan reiser spørsmålet om hvilke felles egenskaper disse konseptene har. Det viser at de er relatert til aggregater - sett med homogene objekter, hvis sammenligning av elementer lar oss bruke begrepene "mer", "lik", "mindre" (for eksempel på aggregater av alle rette linjesegmenter, vekter, hastigheter osv.).

Et sett med objekter transformeres bare til størrelse når det er etablert kriterier som gjør det mulig å fastslå, med hensyn til noen av dets elementer A og B, om A vil være lik B, større enn B eller mindre enn B. Dessuten, for hvilke som helst to elementer A og B, ett og bare ett av forhold: A=B, A>B, A<В. Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере, одно имеет место, но каждое исключает все остальные).

V.F. Kagan identifiserer følgende åtte grunnleggende egenskaper ved begrepene «lik», «større», «mindre»: .

1) Minst en av relasjonene gjelder: A=B, A>B, A<В.

2) Hvis relasjonen A = B holder, så holder ikke relasjonen A<В.

3) Hvis relasjonen A=B holder, så holder ikke relasjonen A>B.

4) Hvis A=B og B=C, så A=C.

5) Hvis A>B og B>C, så A>C.

6) Hvis A<В и В<С, то А<С.

7) Likhet er en reversibel relasjon: fra relasjonen A=B følger alltid relasjonen B=A.

8) Likhet er en gjensidig relasjon: uansett element A i settet som vurderes, A = A.

De tre første setningene karakteriserer disjunksjonen av de grunnleggende relasjonene "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых

tre elementer A, B og C. De følgende setningene 7 - 8 karakteriserer bare likhet - dens reversibilitet og gjentakelse (eller refleksivitet). V.F Kagan kaller disse åtte grunnleggende bestemmelsene for sammenligningspostulater, på grunnlag av hvilke en rekke andre egenskaper ved mengde kan utledes.

Disse inferensielle egenskapene til V.F. Kagan beskriver i form av åtte teoremer:

I. Forholdet A>B ekskluderer forholdet B>A (A<В исключает В<А).

II. Hvis A>B, så B<А (если А<В, то В>EN).

III. Hvis A>B holder, så holder ikke A.

IV. Hvis A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, så er A1=An.

V. Hvis A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, så A1>An.

VI. Hvis A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Hvis A=C og B=C, så A=B.

VIII. Hvis det er likhet eller ulikhet A=B, eller A>B, eller A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа: если А=В и А=С, то С=В; если А>B og A=C, deretter C>B osv.).

Sammenligningspostulater og teoremer, påpeker V.F. Kagan, "alle egenskapene til begrepene "lik", "mer" og "mindre" er oppbrukt, som i matematikk er assosiert med dem og finner anvendelse uavhengig av de individuelle egenskapene til settet til elementene vi bruker dem i. ulike spesielle tilfeller.»

Egenskapene spesifisert i postulater og teoremer kan karakterisere ikke bare de umiddelbare egenskapene til objekter som vi er vant til å assosiere med "lik", "mer", "mindre", men også med mange andre egenskaper (for eksempel kan de karakterisere relasjonen "stamfar - etterkommer"). Dette lar oss ta et generelt synspunkt når vi beskriver dem og vurdere, for eksempel fra synspunktet til disse postulatene og teoremene, alle tre typer relasjoner "alfa", "beta", "gamma" (i dette tilfellet er det er mulig å fastslå om disse relasjonene tilfredsstiller postulatene og teoremene og under hvilke betingelser).

Fra dette synspunktet kan man for eksempel vurdere en slik egenskap ved ting som hardhet (hardere, mykere, lik hardhet), hendelsesforløpet i tid (etterfølgende, foregående, samtidige), etc. I alle disse tilfellene får forholdene "alfa", "beta", "gamma" sin egen spesifikke tolkning. Oppgaven knyttet til valg av et slikt sett med kropper som vil ha disse relasjonene, samt identifisering av tegn som man kan karakterisere "alfa", "beta", "gamma" - dette er oppgaven med å bestemme sammenligningskriterier i et gitt sett med organer (i praksis er det i noen tilfeller ikke lett å løse). "Ved å etablere sammenligningskriterier forvandler vi mangfold til størrelse," skrev V.F. Kagan. Virkelige objekter kan sees fra ulike kriteriers perspektiv. Dermed kan en gruppe mennesker betraktes i henhold til et slikt kriterium som rekkefølgen av fødselsmomenter til hvert av medlemmene. Et annet kriterium er den relative posisjonen hodene til disse personene vil innta hvis de plasseres side om side på samme horisontale plan. I hvert tilfelle vil gruppen bli forvandlet til en mengde som har et tilsvarende navn - alder, høyde. I praksis betegner en mengde vanligvis ikke selve settet med elementer, men et nytt konsept introdusert for å skille sammenligningskriterier (navnet på mengden). Slik oppstår begrepene "volum", "vekt", "elektrisk spenning" osv. "Samtidig, for en matematiker, er verdien fullstendig definert når mange elementer og sammenligningskriterier er indikert," bemerket V.F. Kagan.

Denne forfatteren anser den naturlige tallserien som det viktigste eksemplet på en matematisk størrelse. Fra synspunktet til et slikt sammenligningskriterium som posisjonen opptatt av tall i en serie (de opptar samme plass, følger ..., går foran), tilfredsstiller denne serien postulatene og representerer derfor en mengde. I henhold til tilsvarende sammenligningskriterier omregnes også et sett med brøker til en mengde. Dette er ifølge V.F. Kagan, innholdet i kvantitetsteorien, som spiller en viktig rolle i grunnlaget for all matematikk.

Ved å jobbe med mengder (det anbefales å registrere deres individuelle verdier med bokstaver), kan du utføre et komplekst system med transformasjoner, etablere avhengighetene til egenskapene deres, gå fra likhet til ulikhet, utføre addisjon (og subtraksjon), og når du legger til du kan bli veiledet av kommutative og assosiative egenskaper. Så, hvis relasjonen A=B er gitt, så når du "løser" problemer kan du bli veiledet av relasjonen B=A. I et annet tilfelle, hvis det er relasjoner A>B, B=C, kan vi konkludere med at A>C. Siden for a>b er det en c slik at a=b+c, så kan vi finne forskjellen mellom a og b (a-b=c), osv.

Alle disse transformasjonene kan gjøres på fysiske kropper og andre objekter, å etablere sammenligningskriterier og samsvar med de valgte relasjonene med sammenligningspostulatene.

Materialene ovenfor lar oss konkludere med at både naturlige og reelle tall er like sterkt assosiert med mengder og noen av deres essensielle egenskaper. Er det mulig å gjøre disse og andre egenskaper til gjenstand for spesielle studier for barnet allerede før den numeriske formen for å beskrive mengdeforholdet er introdusert? De kan tjene som forutsetninger for den påfølgende detaljerte introduksjonen av nummeret og dets forskjellige typer, spesielt for propedeutikk av brøker, koordinatbegreper, funksjoner og andre begreper allerede i ungdomstrinnene.

Hva kan innholdet i denne innledende delen være? Dette er et bekjentskap med fysiske objekter, kriterier for sammenligning, fremheving av en mengde som et emne for matematisk betraktning, kjennskap til sammenligningsmetoder og symbolske midler for å registrere resultatene, med teknikker for å analysere de generelle egenskapene til mengder. Dette innholdet må utvikles til et relativt detaljert undervisningsprogram og, viktigst av alt, knyttes til handlingene til barnet som det kan mestre dette innholdet gjennom (selvfølgelig i riktig form). Samtidig er det nødvendig å eksperimentelt fastslå om 7 år gamle barn kan mestre dette programmet, og hva er gjennomførbarheten av dets introduksjon for etterfølgende matematikkundervisning i grunnskolen i retning av å bringe aritmetikk og primær algebra nærmere. sammen.

Inntil nå har resonnementet vårt vært av teoretisk karakter og rettet mot å klargjøre de matematiske forutsetningene for å konstruere en slik innledende del av kurset som skulle introdusere barn til grunnleggende algebraiske begreper (før den spesielle introduksjonen av tall). De viktigste egenskapene som karakteriserer mengder ble beskrevet ovenfor. Naturligvis gir det ingen mening for 7 år gamle barn å holde "forelesninger" om disse egenskapene.

Det var nødvendig å finne en slik arbeidsform for barn med didaktisk stoff, der de på den ene siden kunne identifisere disse egenskapene i tingene rundt dem, på den annen side ville de lære å fikse dem med en viss symbolikk og utføre elementære matematisk analyse tildelte relasjoner.

I denne forbindelse bør programmet for det første inneholde en indikasjon på egenskapene til faget som skal mestres, for det andre en beskrivelse av didaktisk materiale, for det tredje - og dette er det viktigste fra et psykologisk synspunkt - egenskapene av handlingene der barnet identifiserer visse egenskaper ved et objekt og mestrer dem. Disse «komponentene» utgjør undervisningsopplegget i ordets rette betydning. Det er fornuftig å presentere de spesifikke egenskapene til dette hypotetiske programmet og dets "komponenter" når man beskriver selve læringsprosessen og dens resultater.

Her er oversikten over dette programmet og dets hovedemner.

Emne I. Utjevning og komplettering av objekter (etter lengde, volum, vekt, sammensetning av deler og andre parametere).

Praktiske oppgaver på utjevning og oppkjøp. Identifikasjon av egenskaper (kriterier) som de samme objektene kan utjevnes eller fullføres etter. Verbal betegnelse av disse egenskapene ("etter lengde", etter vekt, etc.).

Disse oppgavene løses i prosessen med å arbeide med didaktisk materiale (staver, vekter osv.) av:

Velge det "samme" elementet,

Reproduksjon (konstruksjon) av det "samme" objektet i henhold til en valgt (spesifisert) parameter.

Tema II. Sammenligne objekter og fikse resultatene ved hjelp av likhet-ulikhetsformelen.

1. Oppgaver om å sammenligne objekter og symbolsk utpeke resultatene av denne handlingen.

2. Verbal registrering av sammenligningsresultater (begrepene "mer", "mindre", "lik"). Skrevne tegn ">", "<", "=".

3. Angivelse av sammenligningsresultatet med en tegning ("kopiering" og deretter "abstrakt" - linjer).

4. Betegnelse av sammenlignede objekter med bokstaver. Registrere sammenligningsresultatet ved å bruke formlene: A=B; EN<Б, А>B. En bokstav som et tegn som fikserer en direkte gitt, spesiell verdi av et objekt i henhold til en valgt parameter (ved vekt, volum osv.).

5. Umulig å fikse sammenligningsresultatet ved å bruke forskjellige formler. Velge en spesifikk formel for et gitt resultat (fullstendig disjunksjon av relasjonene større - mindre - like).

Tema III. Egenskaper ved likhet og ulikhet.

1. Reversibilitet og refleksivitet av likhet (hvis A=B, så B=A; A=A).

2. Sammenhengen mellom relasjonene "mer" og "mindre" i ulikheter under "permutasjoner" av de sammenlignede partene (hvis A>B, så B<А и т.п.).

3. Transitivitet som en egenskap ved likhet og ulikhet:

hvis A=B, hvis A>B, hvis A<Б,

en B=B, en B>B, en B<В,

så A=B; deretter A>B; Så en<В.

4. Overgang fra å arbeide med fagdidaktisk stoff til å vurdere egenskapene til likhet og ulikhet i nærvær av kun bokstavelige formler. Løse ulike problemer som krever kunnskap om disse egenskapene (for eksempel å løse problemer knyttet til sammenhengen av relasjoner av typen: gitt at A>B, og B=C; finn ut sammenhengen mellom A og C).

Tema IV. Addisjon (subtraksjon) operasjon.

1. Observasjoner av endringer i objekter i henhold til en eller annen parameter (volum, vekt, varighet osv.). Illustrasjon av økende og avtagende med "+" og "-" (pluss og minus) tegn.

2. Krenkelse av tidligere etablert likestilling med tilsvarende endring i en eller annen av dens sider. Overgangen fra likhet til ulikhet. Skrive formler som:

hvis A=B, hvis A=B,

deretter A+K>B; deretter A-K<Б.

3. Metoder for overgang til ny likestilling (dets "gjenoppretting" i henhold til prinsippet:

å legge til "lik" til "lik" gir "lik").

Arbeid med formler som:

deretter A+K>B, men A+K=B+K.

4. Løse ulike problemer som krever bruk av addisjon (subtraksjon) når man går fra likhet til ulikhet og tilbake.

Tema V. Overgang fra type A ulikhet<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Oppgaver som krever en slik overgang. Behovet for å bestemme verdien av mengden som de sammenlignede objektene avviker med. Evnen til å skrive likhet når den spesifikke verdien av denne mengden er ukjent. Metode for å bruke x (x).

Skrive formler som:

hvis en<Б, если А>B,

så A+x=B; så A-x=B.

2. Bestemme verdien av x. Sette denne verdien inn i formelen (introduksjon til parenteser). Skriv inn formler

3. Løse problemer (inkludert "plott-tekstlig") som krever utførelse av de spesifiserte operasjonene.

Tema Vl. Addisjon-subtraksjon av likheter-ulikheter. Substitusjon.

1. Addisjon-subtraksjon av likheter-ulikheter:

hvis A=B hvis A>B hvis A>B

og M=D, og K>E, og B=G, så A+M=B+D; deretter A+K>B+E; deretter A+-B>C+-G.

2. Evnen til å representere verdien av en mengde som summen av flere verdier. Type erstatning:

3. Løse ulike problemer som krever å ta hensyn til egenskapene til relasjoner som barn ble kjent med i arbeidet (mange oppgaver krever samtidig vurdering av flere egenskaper, intelligens i å vurdere betydningen av formler; beskrivelser av problemer og løsninger er gitt nedenfor ).

Dette er et program designet for 3,5 - 4 måneder. første halvår. Som erfaringen med eksperimentell undervisning viser, med riktig planlegging av leksjoner, forbedring av undervisningsmetoder og et vellykket valg av didaktiske hjelpemidler, kan alt materialet som presenteres i programmet bli fullt absorbert av barn på kortere tid (på 3 måneder) . Hvordan går programmet vårt videre? Først av alt blir barn kjent med metoden for å oppnå et tall som uttrykker forholdet til et objekt som helhet (samme mengde representert av et kontinuerlig eller diskret objekt) til sin del. Dette forholdet i seg selv og dets spesifikke verdi er avbildet av formelen A/K = n, hvor n er et hvilket som helst heltall, som oftest uttrykker forholdet til nærmeste "enhet" (bare med et spesielt utvalg av materiale eller ved å telle bare "kvalitativt" individuelle ting kan man få helt eksakte heltall). Helt fra begynnelsen blir barn "tvunget" til å huske på at når de måler eller teller, kan det oppstå en rest, hvis tilstedeværelse må spesifiseres. Dette er det første trinnet til påfølgende arbeid med brøker. Med denne formen for å få et tall er det ikke vanskelig å få barn til å beskrive et objekt med en formel som A = 5k (hvis forholdet var lik "5"). Sammen med den første formelen åpner den muligheter for en spesiell studie av avhengighetene mellom objektet, basen (mål) og resultatet av telling (måling), som også fungerer som en propedeutisk for overgangen til brøktall (spesielt , for å forstå den grunnleggende egenskapen til en brøk). En annen linje med programutvikling, implementert allerede i første klasse, er overføringen til tall (heltall) av de grunnleggende egenskapene til kvantitet (disjunksjon av likhet-ulikhet, transitivitet, inverterbarhet) og driften av addisjon (kommutativitet, assosiativitet, monotonitet, muligheten for subtraksjon). Spesielt, ved å jobbe på talllinjen, kan barn raskt konvertere tallsekvenser til størrelser (for eksempel vurdere deres transitivitet tydelig ved å gjøre type 3-notasjoner<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.) .

Kjennskap til noen av de såkalte «strukturelle» egenskapene ved likestilling gjør at barn kan nærme seg sammenhengen mellom addisjon og subtraksjon annerledes. Når man går fra ulikhet til likhet, utføres følgende transformasjoner: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; finn forholdet mellom venstre og høyre side av formelen for 8+1-4...6+3-2; i tilfelle ulikhet, bring dette uttrykket til likhet (først må du sette et "mindre enn"-tegn og deretter legge til en "to" på venstre side).

Ved å behandle en tallserie som en mengde kan du dermed utvikle ferdighetene til addisjon og subtraksjon (og deretter multiplikasjon og divisjon) på en ny måte.

2.1 Undervisning i grunnskolen i forhold til ungdomsskolens behov

Når du studerer matematikk i 5. klasse, går som kjent en betydelig del av tiden til å gjenta det barn burde ha lært på barneskolen. Denne repetisjonen i nesten alle eksisterende lærebøker tar 1,5 akademiske kvartaler. Denne situasjonen oppsto ikke ved en tilfeldighet. Årsaken er misnøyen til matematikklærere på videregående skole med forberedelsen av grunnskolekandidater. Hva er årsaken til denne situasjonen? Til dette formålet ble de fem mest kjente lærebøkene i matematikk i grunnskolen i dag analysert. Dette er M.I.s lærebøker. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Peterson, , , .

En analyse av disse lærebøkene avdekket flere negative aspekter, tilstede i større eller mindre grad i hver av dem og som påvirker videre læring negativt. Først av alt er assimileringen av materiale i dem i stor grad basert på memorering. Et tydelig eksempel på dette er å huske multiplikasjonstabellen. På barneskolen brukes mye krefter og tid på å lære det utenat. Men i sommerferien glemmer barna henne. Årsaken til så rask glemsel er utenatlæring. Forskning av L.S. Vygotsky viste at meningsfylt memorering er mye mer effektivt enn mekanisk memorering, og påfølgende eksperimenter beviser overbevisende at materiale kommer inn i langtidshukommelsen bare hvis det huskes som et resultat av arbeid som tilsvarer dette materialet.

En metode for å effektivt mestre multiplikasjonstabellen ble funnet tilbake på 50-tallet. Det består i å organisere et visst system med øvelser, ved å utføre hvilke barn selv konstruerer en multiplikasjonstabell. Denne metoden er imidlertid ikke implementert i noen av de gjennomgåtte lærebøkene.

Et annet negativt poeng som påvirker videreutdanningen er at presentasjonen av stoff i grunnskolens lærebøker i matematikk i mange tilfeller er strukturert på en slik måte at barn i fremtiden må omskoleres, og dette er som kjent mye vanskeligere. enn undervisning. I forhold til studiet av algebraisk materiale, vil et eksempel være å løse likninger i barneskolen. I alle lærebøker er løsning av ligninger basert på reglene for å finne ukjente komponenter av handlinger.

Dette gjøres noe annerledes bare i læreboken til L.G. Peterson, hvor for eksempel løsning av multiplikasjons- og divisjonslikninger er basert på å korrelere komponentene i ligningen med sidene og arealet til et rektangel og til slutt også kommer ned til regler, men dette er regler for å finne siden eller arealet til et rektangel. I mellomtiden, fra og med 6. klasse, blir barn undervist i et helt annet prinsipp for å løse likninger, basert på bruk av identiske transformasjoner. Dette behovet for ny læring fører til det faktum at å løse ligninger er en ganske vanskelig oppgave for de fleste barn.

Ved å analysere lærebøker, møtte vi også det faktum at når man presenterer materiale i dem, er det ofte en forvrengning av begreper. For eksempel er formuleringen av mange definisjoner gitt i form av implikasjoner, mens det er kjent fra matematisk logikk at enhver definisjon er en ekvivalens. Som en illustrasjon kan vi sitere definisjonen av multiplikasjon fra I.I.s lærebok. Arginskaya: "Hvis alle leddene i summen er like med hverandre, kan addisjon erstattes av en annen handling - multiplikasjon." (Alle ledd i summen er lik hverandre. Derfor kan addisjon erstattes med multiplikasjon.) Som du ser er dette en implikasjon i sin rene form. Denne formuleringen er ikke bare analfabet fra et matematikksynspunkt, den danner ikke bare feilaktig i barn en idé om hva en definisjon er, men den er også svært skadelig fordi i fremtiden, for eksempel, når man konstruerer en multiplikasjonstabell, bruker lærebokforfattere erstatning av produktet med summen av identiske termer , som den presenterte formuleringen ikke tillater. Slikt ukorrekt arbeid med utsagn skrevet i form av implikasjoner danner en feil stereotypi hos barn, som vil bli overvunnet med store vanskeligheter i geometritimer, når barn ikke vil føle forskjellen mellom en direkte og omvendt utsagn, mellom et tegn på en figur og sin eiendom. Feilen med å bruke det inverse teoremet når man løser problemer, mens bare det direkte teoremet er bevist, er svært vanlig.

Et annet eksempel på feil begrepsdannelse er å jobbe med den bokstavelige likhetsrelasjonen. For eksempel er reglene for å multiplisere et tall med én og et tall med null i alle lærebøker gitt i bokstavform: a x 1 = a, a x 0 = 0. Likhetsrelasjonen er som kjent symmetrisk, og derfor er f.eks. en notasjon gir ikke bare at når multiplisert med 1, oppnås det samme tallet, men også at et hvilket som helst tall kan representeres som produktet av dette tallet og ett. Den verbale formuleringen som er foreslått i lærebøker etter bokstavoppføringen taler imidlertid bare om den første muligheten.

Øvelser om dette emnet er også kun rettet mot å øve på å erstatte produktet av et tall og en med dette tallet. Alt dette fører ikke bare til det faktum at et veldig viktig poeng ikke blir gjenstand for barns bevissthet: et hvilket som helst tall kan skrives i form av et produkt, som i algebra vil forårsake tilsvarende vanskeligheter når du arbeider med polynomer, men også til faktum at barn i prinsippet ikke vet hvordan de skal jobbe riktig med forholdet likestilling. For eksempel, når du arbeider med formelen for forskjellen på kvadrater, takler barn som regel oppgaven med å faktorisere kvadratforskjellen. De oppgavene der det er nødvendig med motsatt handling, forårsaker imidlertid vanskeligheter i mange tilfeller. En annen slående illustrasjon av denne ideen er arbeidet med den distributive loven om multiplikasjon i forhold til addisjon. Også her, til tross for lovens bokstavskriving, trener både dens verbale formulering og øvelsessystemet kun evnen til å åpne parentes. Som et resultat vil det å sette fellesfaktoren utenfor parentes forårsake betydelige vanskeligheter i fremtiden.

Ganske ofte i grunnskolen, selv når en definisjon eller regel er riktig formulert, stimuleres læring ved å ikke stole på dem, men på noe helt annet. For eksempel, når du studerer multiplikasjonstabellen med 2, viser alle lærebøkene som er gjennomgått hvordan den skal konstrueres. I læreboken M.I. Moro gjorde det slik:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Med denne arbeidsmetoden vil barn veldig raskt legge merke til mønsteret til den resulterende tallserien.

Etter 3-4 likheter vil de slutte å legge til toere og begynne å skrive ned resultatet basert på det observerte mønsteret. Dermed vil metoden for å konstruere multiplikasjonstabellen ikke bli gjenstand for deres bevissthet, noe som vil resultere i dens skjøre assimilering.

Når man studerer stoff i grunnskolen, stoler man på objektive handlinger og illustrerende klarhet, noe som fører til dannelsen av empirisk tenkning. Det er selvsagt knapt mulig å klare seg uten en slik synlighet i barneskolen. Men det skal bare tjene som en illustrasjon av dette eller det faktum, og ikke som grunnlag for dannelsen av et konsept.

Bruken av illustrerende klarhet og innholdsmessige handlinger i lærebøker fører ofte til at selve konseptet blir «uskarpt». For eksempel i matematikkmetoder for klasse 1-3 M.I. Moreau sier at barn må gjøre deling ved å sette gjenstander i hauger eller lage en tegning for 30 leksjoner. Slike handlinger mister essensen av divisjonsoperasjonen som den inverse handlingen av multiplikasjon. Som et resultat læres divisjon med de største vanskelighetene og er mye dårligere enn andre regneoperasjoner.

Når man underviser i matematikk i grunnskolen, er det ikke snakk om å bevise noen utsagn. Mens du husker hvor vanskelig det vil være å undervise i bevis på videregående, må du begynne å forberede deg på dette allerede i grunnskolen. Dessuten kan dette gjøres på materiale som er ganske tilgjengelig for yngre skolebarn. Slikt materiale kan for eksempel være reglene for å dele et tall med 1, null med et tall og et tall for seg selv. Barn er ganske i stand til å bevise dem ved å bruke definisjonen av divisjon og de tilsvarende multiplikasjonsreglene.

Grunnskolemateriellet åpner også for algebrapropedeutikk – arbeid med bokstaver og bokstavuttrykk. De fleste lærebøker unngår å bruke bokstaver. Som et resultat jobber barn nesten utelukkende med tall i fire år, hvoretter det selvfølgelig er veldig vanskelig å venne dem til å jobbe med bokstaver.

Det er imidlertid mulig å gi propedeutikk til slikt arbeid, for å lære barn å erstatte et tall i stedet for en bokstav i et bokstavuttrykk allerede i barneskolen. Dette ble for eksempel gjort i læreboken til L.G. Peterson.

Når vi snakker om manglene ved å undervise i matematikk i grunnskolen, som forstyrrer videre læring, er det nødvendig å spesielt understreke det faktum at ofte blir materialet i lærebøker presentert uten å se på hvordan det vil fungere i fremtiden. Et veldig slående eksempel på dette er organiseringen av å lære multiplikasjon med 10, 100, 1000, etc. I alle de gjennomgåtte lærebøkene er presentasjonen av dette materialet strukturert på en slik måte at det uunngåelig fører til dannelsen i hodet til barn av regelen: "For å multiplisere et tall med 10, 100, 1000, etc., trenger du å legge til så mange nuller på høyre side som det er i 10, 100, 1000, osv." Denne regelen er en av de som læres veldig godt på barneskolen. Og dette fører til et stort antall feil når desimalbrøker multipliseres med hele sifferenheter. Selv etter å ha husket en ny regel, legger barn ofte automatisk til null på høyre side av desimalen når de multipliserer med 10.

I tillegg bør det bemerkes at når du multipliserer et naturlig tall og når du multipliserer en desimalbrøk med hele sifferenheter, skjer i hovedsak det samme: hvert siffer i tallet forskyves til høyre med det tilsvarende antall sifre. Derfor er det ingen vits i å lære barn to separate og helt formelle regler. Det er mye mer nyttig å lære dem en generell måte å gå frem på når de løser lignende problemer.

2.2 Sammenligning (kontrast) av begreper i matematikktimer

Det nåværende programmet sørger for studiet i første klasse av bare to operasjoner på første nivå - addisjon og subtraksjon. Å begrense det første studieåret til bare to operasjoner er i hovedsak en avvik fra det som allerede ble oppnådd i lærebøkene som gikk forut for de nåværende: ikke en eneste lærer har da noen gang klaget over at multiplikasjon og divisjon, for eksempel innen 20, var forbi. evnene til førsteklassinger. Det er også verdt å merke seg at i skoler i andre land, der utdanningen begynner ved 6-års alder, inkluderer det første skoleåret første gangs bekjentskap med alle fire aritmetiske operasjoner.

Matematikk er først og fremst avhengig av fire handlinger, og jo før de blir inkludert i studentens tenkepraksis, jo mer stabil og pålitelig vil den påfølgende utviklingen av matematikkkurset være.

For å være rettferdig bør det bemerkes at i de første versjonene av M.I.Moros lærebøker for klasse I, ble multiplikasjon og divisjon gitt. En ulykke forhindret imidlertid saken: Forfatterne av de nye programmene klamret seg konstant til en "nyhet" - dekning i første klasse av alle tilfeller av addisjon og subtraksjon innen 100 (37+58 og 95-58, etc.). Men siden det ikke var nok tid til å studere et slikt utvidet informasjonsvolum, ble det besluttet å flytte multiplikasjon og divisjon fullstendig til neste studieår.

Så fascinasjonen med programmets linearitet, det vil si en rent kvantitativ utvidelse av kunnskap (de samme handlingene, men med større antall), tok opp tiden som tidligere ble allokert til kvalitativ utdyping av kunnskap (studerer alle fire handlinger innenfor to dusin). Å studere multiplikasjon og divisjon allerede i første klasse betyr et kvalitativt sprang i tenkning, siden det lar deg mestre fortettede tankeprosesser.

I følge tradisjonen var studiet av addisjon og subtraksjon innen 20 et spesielt tema. Behovet for denne tilnærmingen til å systematisere kunnskap er synlig selv fra den logiske analysen av spørsmålet: faktum er at den komplette tabellen for å legge til ensifret. tall utvikles innen to tiere (0+1= 1, ...,9+9=18). Dermed danner tall innenfor 20 et komplett system av relasjoner i sine interne forbindelser; derfor er hensiktsmessigheten av å bevare "Tjue" som et andre integrert tema klart (det første slike tema er handlinger innenfor de første ti).

Saken som diskuteres er nettopp en der konsentrisitet (bevaring av de andre ti som et spesielt tema) viser seg å være mer fordelaktig enn linearitet ("oppløse" de andre ti i "Hundre"-temaet).

I læreboken til M.I. Moro er studiet av de ti første delt inn i to isolerte deler: først studeres sammensetningen av tallene til de ti første, og i det neste emnet vurderes handlinger innen 10. I den eksperimentelle læreboken til P.M. Erdnieva, i motsetning til dette, utførte en felles studie av nummerering, sammensetningen av tall og operasjoner (addisjon og subtraksjon) innen 10 på en gang i en seksjon. Med denne tilnærmingen brukes en monografisk studie av tall, nemlig: innenfor tallet som vurderes (for eksempel 3), blir all "kontantmatematikk" umiddelbart forstått: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 - 1 = 2; 3 - 2 = 1.

Hvis det i henhold til gjeldende programmer ble tildelt 70 timer for å studere de ti første, ble alt dette materialet studert på 50 timer i tilfelle av eksperimentell trening (og i tillegg til programmet ble det vurdert noen tilleggskonsepter som ikke var i stalllæreboka, men var strukturelt relatert til hovedmaterialet).

Spørsmålet om å klassifisere oppgaver og navnene på deres typer krever spesiell oppmerksomhet i metodikken for innledende opplæring. Generasjoner av metodologer jobbet for å effektivisere systemet med skoleoppgaver, for å lage deres effektive typer og varianter, helt ned til valg av vellykkede termer for navnene på oppgaver beregnet på studier i skolen. Det er kjent at minst halvparten av undervisningstiden i matematikktimene går med til å løse dem. Skoleoppgaver trenger absolutt systematisering og klassifisering. Hvilken type (type) oppgaver å studere, når å studere, hvilken type problemer å studere i forbindelse med passering av en bestemt seksjon er et legitimt studieobjekt av metodikken og det sentrale innholdet i programmene. Betydningen av denne omstendigheten er tydelig fra matematikkmetodikkens historie.

Konklusjon

For tiden har det oppstått ganske gunstige forhold for en radikal forbedring i organiseringen av matematikkundervisningen i grunnskolen:

1) barneskolen ble omgjort fra en treårig til en fireårig skole;

Lignende dokumenter

Funksjoner ved dannelsen av midlertidige representasjoner i matematikktimer i grunnskolen. Kjennetegn på mengder studert i grunnskolen. Bekjentskap med metodikken for dannelse av midlertidige representasjoner i det innledende matematikkurset til utdanningskomplekset "School of Russia".

avhandling, lagt til 16.12.2011

Integrasjon av informatikk og matematikk som hovedretning for å øke effektiviteten av læring. Metodikk for å bruke programvare til interaktive leksjoner. Utvalg av undervisningsmateriell for e-læring matematikk og informatikk i videregående skole.

avhandling, lagt til 04.08.2013

En ide om aktive læringsmetoder, funksjoner i deres anvendelse på barneskolen. Klassifisering av aktive metoder for undervisning i matematikk i grunnskolen på ulike grunnlag. Interaktive metoder for undervisning i matematikk og deres fordeler.

kursarbeid, lagt til 02.12.2015

Metodikk for å studere probabilistisk-statistisk (stokastisk) linje i et matematikkkurs ved en grunnskole. Analyse av elevenes oppfatning av materialet: grad av interesse; tilgjengelighetsnivå; vanskeligheter med å studere dette materialet; kvaliteten på assimilering.

avhandling, lagt til 28.05.2008

Essensen og målene for interaktiv læring i grunnskolen. Implementering av et sett med metoder og teknikker for interaktiv undervisning av yngre skoleelever i matematikktimer. Identifikasjon av dynamikken i dannelsesnivået av universelle pedagogiske handlinger til skolebarn.

avhandling, lagt til 17.02.2015

Prosessen med å jobbe med en oppgave. Typer problemer, ferdigheter og evner til å løse dem. Metodikk for å undervise i problemtransformasjon Stadier av arbeid med en oppgave. Konseptet med oppgavetransformasjon. Metoder for å undervise og transformere problemer i matematikktimer i grunnskolen.

avhandling, lagt til 06/11/2008

Metoder for å bruke forskningsoppgaver i matematikktimer som et middel til å utvikle den mentale aktiviteten til yngre skolebarn; systematisering og testing av utviklingsøvelser, anbefalinger for bruk i grunnskolen.

kursarbeid, lagt til 15.02.2013

Funksjoner ved å studere matematikk i grunnskolen i henhold til Federal State Education Standard for Primary General Education. Kursinnhold. Analyse av grunnleggende matematiske begreper. Essensen av en individuell tilnærming i didaktikk.

kursarbeid, lagt til 29.09.2016

Matematikk er en av de mest abstrakte vitenskapene som er studert i grunnskolen. Bekjentskap med særegenhetene ved bruk av historisk materiale i matematikktimene i 4. klasse. Analyse av hovedproblemene i utviklingen av kognitiv aktivitet til skolebarn.

avhandling, lagt til 07.10.2015

Betraktning av det psykologiske og pedagogiske grunnlaget for å studere logiske problemer i grunnskolen. Funksjoner ved utviklingen av logisk tenkning i matematikktimer i barneskolen fra perspektivet til kravene til Federal State Education Standard.