Hvilket sett er en forening av sett. "Systemteori og systemanalyse

En operasjon på sett er en regel, som et resultat av at et nytt sett er unikt hentet fra gitte sett.

La oss betegne en vilkårlig operasjon med *. Sett hentet fra gitte sett A og B, skrevet i skjemaet A*B. Det resulterende settet og selve operasjonen kalles vanligvis ett begrep.

Kommentar. For grunnleggende numeriske operasjoner brukes to termer: den ene betegner selve operasjonen som en handling, den andre betegner tallet oppnådd etter å ha utført handlingen. For eksempel kalles operasjonen betegnet med + addisjon, og tallet som kommer fra addisjon kalles en sum av tall. Tilsvarende tegnet på multiplikasjonsoperasjonen, og resultatet a b - produkt av tall a og b. Men sjeldnere blir ikke denne forskjellen tatt i betraktning, og de sier "Vurder summen av tall", noe som betyr ikke et spesifikt resultat, men selve operasjonen.

Kryssdrift.Skjæringspunktet mellom sett A og B AglV, som består av alle objekter, som hver tilhører begge settene EN Og I samtidig.

Med andre ord, AsV - er settet av alle.g slik at heA Og heV:

Slå sammen operasjon.Forening av sett A og B kalles et sett betegnet med A" og B, som består av alle objekter, som hver tilhører minst ett sett EN eller I.

Forbundsoperasjonen er noen ganger betegnet med et +-tegn og kalles setttillegg.

Differanseoperasjoner.Forskjellen mellom sett A og B kalles et sett betegnet med AB, bestående av alle objekter, som hver ligger i EN, men lyver ikke I.

Uttrykk ApV lese "EN i skjæringspunktet med I», AkjB- «Og i forening med B", AB - "A uten I".

Eksempel 7.1.1. La EN = {1, 3,4, 5, 8,9}, I = {2,4, 6, 8}.

Deretter AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1,3, 5, 9), YAL = (2,6)."

Basert på disse operasjonene kan ytterligere to viktige operasjoner identifiseres.

Tilleggsoperasjon. La AqS. Så forskjellen S.A. kalt tillegg av sett A til S og er utpekt Som.

La ethvert sett under vurdering være en undergruppe av et sett U. Tillegg til et slikt fast (i sammenheng med å løse et bestemt problem) sett U rett og slett mener EN. Notasjonen brukes også SA, Med A, A."

Eksempel 7.1.2. Komplementet av settet (1, 3,4, 5, 8, 9) til settet med alle desimalsiffer er (0, 2, 6, 7).

Utfyller settet Q til settet R det er et sett med 1.

Komplementet av et sett med kvadrater til et sett med rektangler er settet av alle rektangler som har ulike tilstøtende sider.

Vi ser at operasjonene til forening, skjæring og komplement av sett tilsvarer de logiske operasjonene disjunksjon, konjunksjon og negasjon.

Symmetrisk forskjellsoperasjon.Den symmetriske forskjellen mellom sett A og B kalles et sett betegnet med A®B, bestående av alle objekter, som hver tilhører nøyaktig ett av settene A og B:

Det er lett å se at den symmetriske forskjellen er foreningen av to sett AB Og VA. Det samme settet kan fås hvis vi først kombinerer settene EN Og I, og fjern deretter fra settet felles elementer.

Eksempel 7.1.3. La reelle tall gis a Så for de tilsvarende numeriske intervallene har vi:

Merk at siden segmentet [EN; b] inneholder et tall c> og intervallet (c;d) punkt Med inneholder ikke nummeret Med ligger i forskjellen [EN; b] uten [med; jfr. Men forskjellen, for eksempel (2;5), inneholder ikke tallet 3, siden det ligger i segmentet. Vi har (2;5)=(2;3).

La det gis usammenhengende sett EN Og I. Siden n er tegnet på kryssoperasjonen, så er oppføringen A(bb stemmer ikke. Det er også feil å si at sett ikke har noe kryss. Det er alltid et skjæringspunkt, det er definert for alle sett. Det faktum at settene ikke krysser hverandre betyr at deres skjæringspunkt er tomt (det vil si at ved å utføre den angitte operasjonen får vi et tomt sett). Hvis settene skjærer hverandre, er skjæringspunktet deres ikke tomt. Vi konkluderer:

La oss generalisere operasjonene til kryssunionen til tilfellet når det er mer enn to sett.

La systemet være gitt TIL settene. Skjæringspunktet mellom sett av et gitt system er settet av alle elementer, som hver ligger i alle sett av deres TIL.

Unionen av sett av et gitt system er settet av alle elementer, som hver ligger i minst ett sett av dem TIL.

La settene av systemet TIL nummerert etter elementer i en eller annen indeksfamilie /. Deretter ethvert sett med TIL kan utpekes EN,-, Hvor iel. Hvis settet er begrenset, brukes settet med de første som / naturlige tall(1,2,...,og). Generelt kan / være uendelig.

Så i det generelle tilfellet foreningen av sett EN for alle iel betegne (J EN( , og krysset - f]A i.

La helheten TIL endelig altså K= I dette tilfellet

skrive AyjA 2 v...KjA„ Og AG4 2 (^---G4p-

Eksempel 7.1.4. La oss vurdere intervallene til tallinjen А| = [-oo;2], L2=H°; 3], L3 = ?

Løsning.

La oss konstruere geometriske bilder av tallsett A og B:

Grensepunktene til de gitte mengdene deler talllinjen i følgende sett: (−∞, −4) , (−4) , (−4, −2) , (−2) , (−2, 1) , ( 1), (1, 3), (3), (3, 5), (5), (5, +∞).

Det er lett å se at det numeriske settet A kan "settes sammen" fra settene som nettopp er skrevet ved å kombinere (−2), (1, 3), (3) og (3, 5) . For å finne skjæringspunktet mellom sett A og B, er det nok å sjekke om sistnevnte sett er inkludert i sett B. De av dem som inngår i B vil utgjøre ønsket kryss. La oss utføre den aktuelle kontrollen.

Åpenbart er (−2) inkludert i mengden B (siden punktet med koordinat −2 er et indre punkt i segmentet [−4, 3]). Intervallet (1, 3) er også inkludert i B (det er en luke over det). Sett (3) er også inkludert i B (punktet med koordinat 3 er et grensepunkt og ikke-punktert punkt for settet B). Og intervallet (3, 5) er ikke inkludert i det numeriske settet B (det er ingen skyggelegging over det). Etter å ha markert konklusjonene på tegningen, vil den ha denne formen

Dermed er det ønskede skjæringspunktet mellom to opprinnelige numeriske sett A og B foreningen av følgende sett (−2), (1, 3) , (3) , som kan skrives som (−2)∪(1, 3] .

Svar:

{−2}∪(1, 3] .

Det gjenstår bare å diskutere hvordan man finner skjæringspunktet og foreningen av tre og mer tallsett. Dette problemet kan reduseres til sekvensielt å finne skjæringspunktet og foreningen av to sett: først det første med det andre, deretter det oppnådde resultatet med det tredje, deretter det oppnådde resultatet med det fjerde, og så videre. Eller du kan bruke en algoritme som ligner den som allerede er annonsert. Den eneste forskjellen er at kontroll av forekomsten av intervaller og sett bestående av individuelle tall ikke må utføres av to, men av alle innledende sett. La oss vurdere et eksempel på å finne skjæringspunktet og foreningen av tre sett.

Eksempel.

Finn skjæringspunktet og foreningen av tre tallsett A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪(40) .

Løsning.

Først, som vanlig, skildrer vi tallsett på koordinatlinjer, og til venstre for dem plasserer vi en krøllete parentes som indikerer kryss og en firkantet parentes for forening, og nedenfor viser vi koordinatlinjer med grensepunktene til numeriske sett merket med streker:

Så koordinatlinjen viser seg å være representert av numeriske sett (−∞, −3) , (−3) , (−3, 12) , (12) , (12, 25) , (25) , (25, 40) ), (40), (40, ∞).

Vi begynner å søke etter kryss for å gjøre dette, ser vi etter tur for å se om de skrevne settene er inkludert i hvert av settene A, B og D. Alle de tre innledende numeriske settene inkluderer intervallet (−3, 12) og settet (12) . De utgjør det ønskede skjæringspunktet mellom settene A, B og D. Vi har A∩B∩D=(−3, 12] .

I sin tur vil den ønskede foreningen bestå av settene (−∞, −3) (inkludert i A), (−3) (inkludert i A), (−3, 12) (inkludert i A), (12) ( inkludert i A ), (12, 25) (inkludert i B ), (25) (inkludert i B ) og (40) (inkludert i D ). Dermed A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Svar:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Avslutningsvis, merk at skjæringspunktet mellom tallsett ofte er det tomme settet. Dette tilsvarer tilfeller der originalsettene ikke har elementer som samtidig tilhører dem alle.

(10, 27), (27), (27, +∞). Ingen av de skrevne settene er samtidig inkludert i de fire originalsettene, noe som betyr at skjæringspunktet mellom settene A, B, D og E er det tomme settet.

Svar:

A∩B∩D∩E=∅.

Bibliografi.

Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 9. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

I matematikk er begrepet sett en av de viktigste, grunnleggende, men det er ingen enkelt definisjon av mengden. En av de mest veletablerte definisjonene av et sett er følgende: et sett er enhver samling av bestemte og distinkte objekter som kan tenkes på som en enkelt helhet. Skaperen av settteori, den tyske matematikeren Georg Cantor (1845-1918), sa dette: "En mengde er mange ting vi tenker på som en helhet."

Sett som datatype har vist seg å være veldig praktisk for programmering av komplekse livssituasjoner, siden de kan brukes til å modellere virkelige objekter nøyaktig og kompakt vise komplekse logiske relasjoner. Sett brukes i programmeringsspråket Pascal, og vi skal se på ett eksempel på en løsning nedenfor. I tillegg, basert på settteori, ble konseptet relasjonsdatabaser opprettet, og basert på operasjoner på sett - relasjonsalgebra og dens operasjoner- brukes i databasespørringsspråk, spesielt SQL.

Eksempel 0 (Pascal). Det er et utvalg produkter som selges i flere butikker i byen. Bestem: hvilke produkter som er tilgjengelige i alle butikker i byen; hele spekteret av produkter i byen.

Løsning. Vi definerer en grunnleggende datatype Mat (produkter), den kan ta verdier som tilsvarer navnene på produkter (for eksempel hleb). Vi erklærer en setttype; den definerer alle delmengder som består av kombinasjoner av verdier av basistypen, det vil si mat. Og vi danner undergrupper: butikker "Solnyshko", "Veterok", "Ogonyok", samt avledede undergrupper: MinFood (produkter som er tilgjengelige i alle butikker), MaxFood (et komplett utvalg av produkter i byen). Deretter foreskriver vi operasjoner for å oppnå avledede delsett. MinFood-delsettet er oppnådd som et resultat av skjæringspunktet mellom Solnyshko, Veterok og Ogonyok-delsettene og inkluderer de og bare de elementene i disse undersettene som er inkludert i hvert av disse undersettene (i Pascal er operasjonen til skjæringspunktet mellom sett betegnet med en stjerne: A * B * C, den matematiske betegnelsen for skjæringspunktet mellom sett er gitt nedenfor ). MaxFood-delmengden oppnås ved å kombinere de samme delmengdene og inkluderer elementer som er inkludert i alle delmengder (i Pascal er operasjonen for å kombinere sett betegnet med plusstegnet: A + B + C, den matematiske betegnelsen for å kombinere sett er gitt nedenfor ).

Kode PASCAL

Program Butikker;

type Mat=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sukker, maslo, ryba);

Butikk = sett med mat;

var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Butikk;

Begynn Solnyshko:=;

Veterok:=;

Ogonyok:=;

... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok;

MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; Slutt. Et sett som ikke er endelig kalles uendelig. For eksempel er settet med alle naturlige tall en uendelig mengde.

Hvis M- mye, og en- elementet, så skriver de: en∈M, som betyr " en tilhører settet M".

Fra det første (null) eksempelet i Pascal med produkter som er tilgjengelige i visse butikker:

hleb∈VETEROK ,

som betyr: elementet "hleb" tilhører mange produkter som er tilgjengelig i "VETEROK"-butikken.

Det er to hovedmåter å definere sett: opplisting og beskrivelse.

Et sett kan defineres ved å liste opp alle dets elementer, for eksempel:

VETEROK = {hleb, syr, smør} ,

EN = {7 , 14 , 28 } .

En oppregning kan bare definere et begrenset sett. Selv om du kan gjøre dette med en beskrivelse. Men uendelige sett kan bare defineres ved beskrivelse.

Følgende metode brukes til å beskrive sett. La s(x) - et utsagn som beskriver egenskapene til en variabel x, hvis rekkevidde er settet M. Så gjennom M = {x | s(x)} betegner settet som består av alle disse og bare de elementene som utsagnet for s(x) er sant. Dette uttrykket lyder slik: "Mange M, bestående av alle slike x, Hva s(x) ".

For eksempel, ta opp

M = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

Eksempel 6. I følge en undersøkelse blant 100 markedskjøpere som kjøpte sitrusfrukter, ble appelsiner kjøpt av 29 kjøpere, sitroner - 30 kjøpere, mandariner - 9, kun mandariner - 1, appelsiner og sitroner - 10, sitroner og mandariner - 4, alle tre typer frukt - 3 kjøpere. Hvor mange kunder har ikke kjøpt noen av sitrusfruktene som er oppført her? Hvor mange kunder kjøpte kun sitroner?

Drift av kartesiske produkt av sett

For å definere en annen viktig operasjon på sett - Kartesisk produkt av sett La oss introdusere konseptet med et ordnet sett med lengder n.

Lengden på settet er tallet n dens komponent. Et sett sammensatt av elementer tatt i nøyaktig denne rekkefølgen er angitt . Hvori Jeg i () sett-komponenten er .

Nå vil en streng definisjon følge, som kanskje ikke er umiddelbart klar, men etter denne definisjonen vil det være et bilde hvorfra det vil bli klart hvordan man oppnår det kartesiske produktet av sett.

Kartesisk (direkte) produkt av sett kalles et sett betegnet med og består av alle disse og bare de settene med lengde n, Jeg-th komponenten som tilhører .

For eksempel, hvis , , ,

- (sum av mengder) begrepet settteori; union av sett er et sett som består av alle de elementene som hver tilhører minst ett av de gitte settene. Foreningen av sett A og B er betegnet med AUB eller A+B...

- (sum av mengder), begrep om settlære; union av sett er et sett som består av de elementene som hver tilhører minst ett av de gitte settene. Foreningen av sett A og B er angitt med A + B. * * * FORBINDELSE AV SET... ... encyklopedisk ordbok

- (sum av mengder), begrep om settlære; O. m. et sett som består av disse elementene, som hver tilhører minst ett av de gitte settene. O. m. A og B står for A UB eller A + B ... Naturvitenskap. encyklopedisk ordbok

Union av A og B Unionen av mengder (også sum eller sammenheng) i mengdlære er en mengde som inneholder alle elementene i de opprinnelige mengdene. Foreningen av to sett A og B er vanligvis betegnet, men noen ganger kan du finne den skrevet i formen... ... Wikipedia

Matematikkgren der de studerer generelle egenskaper sett, for det meste uendelige. begrepet et sett er det enkleste matematiske konseptet, det er ikke definert, men bare forklart ved hjelp av eksempler: mange bøker på en hylle, mange poeng... Stor encyklopedisk ordbok

En gren av matematikken som studerer de generelle egenskapene til mengder, spesielt uendelige. Konseptet med et sett er det enkleste matematiske konseptet det er ikke definert, men bare forklart ved hjelp av eksempler: mange bøker på en hylle, mange... ... encyklopedisk ordbok

En matematisk teori som studerer problemet med uendelighet med presise midler. Emne M. l. egenskaper ved sett (samlinger, klasser, ensembler), kap. arr. endeløs. Et sett A er en hvilken som helst samling av definerte og gjenkjennelige objekter... Dictionary of Logic Terms

Association: Wiktionary har en artikkel "forening" Association er en type organisasjon ... Wikipedia

Mengdeori er en gren av matematikken som studerer de generelle egenskapene til mengder. Settteori ligger til grunn for de fleste matematiske disipliner; det hadde en dyp innflytelse på forståelsen av selve matematikkfaget. Innhold 1 Teori ... ... Wikipedia

Assosiasjon er et polysemantisk begrep som er en del av komplekse begreper. Wiktionary har en oppføring for "forening." En forening vanlig navn store militære formasjoner ... Wikipedia

Bøker

Teller til 20. Arbeidsbok for barn 6 - 7 år. Federal State Education Standard of Education, Shevelev Konstantin Valerievich. Arbeidsbok Designet for å jobbe med barn 6-7 år. Bidrar til å oppnå målene for kognisjonsblokken ved å danne elementært matematiske representasjoner. Metodisk...

Leksjonens mål:

pedagogisk: utvikle evnen til å identifisere sett og undergrupper; utvikle ferdigheter i å finne skjæringsområdet og forening av sett i bilder og navngi elementer fra dette området, løse problemer;
utvikle: utvikling kognitiv interesse studenter; utvikling av den intellektuelle sfæren til individet, utvikling av ferdigheter til å sammenligne og generalisere.
pedagogisk: å dyrke nøyaktighet og oppmerksomhet når du tar beslutninger.

I løpet av timene.

1. Organisatorisk øyeblikk.

2. Læreren annonserer tema for timen og formulerer sammen med elevene mål og mål.

3. Læreren, sammen med elevene, husker materialet som ble studert om emnet "Sett" i 7. klasse, introduserer nye begreper og definisjoner, formler for å løse problemer.

"Flere er mange ting vi tenker på som én" (grunnlegger av mengdlære - Georg Cantor). Georg CANTOR (1845-1918) - tysk matematiker, logiker, teolog, skaperen av teorien om transfinite (uendelige) sett, som hadde en avgjørende innflytelse på utviklingen av matematiske vitenskaper på begynnelsen av 1800- og 1900-tallet.

Sett er et av de grunnleggende konseptene i moderne matematikk, brukt i nesten alle grenene.

Dessverre kan ikke teoriens grunnleggende konsept – begrepet sett – gis en streng definisjon. Selvfølgelig kan vi si at et sett er et "sett", "samling", "ensemble", "samling", "familie", "system", "klasse", etc. men alt dette ville ikke være en matematisk definisjon, men snarere misbruk av vokabularrikdommen til det russiske språket.

For å definere et hvilket som helst konsept, er det først og fremst nødvendig å indikere hvilken sak som er mest generelt konsept, det er det, for begrepet en mengde er dette umulig, fordi det ikke finnes noe mer generelt begrep enn en mengde i matematikk.

Ofte må vi snakke om flere ting forent av en eller annen egenskap. Så vi kan snakke om settet med alle stoler i rommet, settet med alle celler Menneskekroppen, om settet med alle poteter i en gitt pose, om settet med all fisk i havet, om settet med alle firkanter på et fly, om settet med alle punkter på en gitt sirkel, etc.

Objektene som utgjør et gitt sett kalles dets elementer.

For eksempel består mange dager i uken av elementene: mandag, tirsdag, onsdag, torsdag, fredag, lørdag, søndag.

Mange måneder - fra elementene: januar, februar, mars, april, mai, juni, juli, august, september, oktober, november, desember.

En haug med aritmetiske operasjoner- fra elementene: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon.

For eksempel, hvis A betyr settet med alle naturlige tall, så hører 6 til A, men 3 tilhører ikke A.

Hvis A er settet av alle årets måneder, tilhører mai A, men onsdag tilhører ikke A.

Hvis et sett inneholder et begrenset antall elementer, kalles det endelig, og hvis det har uendelig mange elementer, kalles det uendelig. Så settet med trær i en skog er begrenset, men settet med punkter på en sirkel er uendelig.

Paradoks i logikk- dette er en selvmotsigelse som har status som en logisk riktig konklusjon og som samtidig representerer resonnementer som fører til gjensidig utelukkende konklusjoner.

Som allerede nevnt er begrepet sett i kjernen av matematikk. Ved å bruke de enkleste settene og ulike matematiske konstruksjoner kan du konstruere nesten hvilket som helst matematisk objekt. Ideen om å konstruere all matematikk på grunnlag av settteori ble aktivt fremmet av G. Cantor. Men i all sin enkelhet er begrepet sett full av faren for motsetninger eller, som de også sier, paradokser. Fremveksten av paradokser skyldes det faktum at ikke alle konstruksjoner og ikke alle sett kan vurderes.

Det enkleste av paradoksene er " barberparadoks".

En soldat ble beordret til å barbere dem og bare de soldatene i peletonen hans som ikke barberte seg. Unnlatelse av å adlyde ordre i hæren, som kjent, grufull kriminalitet. Spørsmålet dukket imidlertid opp om denne soldaten skulle barbere seg. Hvis han barberer seg, bør han klassifiseres blant de mange soldatene som barberer seg, og han har ingen rett til å barbere slike mennesker. Hvis han ikke barberer seg, vil han havne blant mange soldater som ikke barberer seg, og i henhold til ordren plikter han å barbere slike soldater. Paradoks.

På sett, som på mange andre matematiske objekter, kan du utføre ulike operasjoner, som noen ganger kalles settteoretiske operasjoner eller settoperasjoner. Som et resultat av operasjoner hentes nye sett fra de originale settene. Sett er betegnet med store bokstaver med latinske bokstaver, og elementene deres er små. Ta opp en R betyr at elementet EN tilhører settet R, det er EN R. Ellers, når EN tilhører ikke settet R, de skriver en R .

To sett EN Og I er kalt lik (EN =I), hvis de består av de samme elementene, det vil si hvert element i settet EN er en del av settet I og omvendt, hvert element i settet I er en del av settet EN .

Sammenligning av sett.

Et sett A er inneholdt i et sett B (et sett B inkluderer et sett A) hvis hvert element av A er et element av B:

De sier at det er mange EN inneholdt i mange I eller mange EN er delmengde settene I(i dette tilfellet skriver de EN I), hvis hvert element i settet EN er samtidig en del av settet I. Denne avhengigheten mellom sett kalles slå på . For ethvert sett EN inneslutninger forekommer: Ø EN Og EN EN

I dette tilfellet EN kalt delmengde B, B - supersett A. Hvis , da EN kalt eget undersett I. Legg merke til det ,

A-priory,

De to settene kalles lik, hvis de er undergrupper av hverandre

Angi operasjoner

Kryss.

En forening.

Egenskaper.

1. Operasjonen med å kombinere sett er kommutativ

2. Driften av å kombinere sett er transitiv

3. Det tomme settet X er et nøytralt element i settunionsoperasjonen

1. La A = (1,2,3,4),B = (3,4,5,6,7). Deretter

2. A = (2,4,6,8,10), B = (3,6,9,12). La oss finne foreningen og skjæringspunktet mellom disse settene:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Settet med barn er en undergruppe av hele befolkningen

4. Skjæringspunktet mellom et sett med heltall og et sett positive tall er settet av naturlige tall.

5. Ved å kombinere settet rasjonelle tall med settet med irrasjonelle tall er settet med positive tall.

6. Null er komplementet til settet av naturlige tall i forhold til settet med ikke-negative heltall.

Venn diagrammer(Venn diagrammer) - det generelle navnet på en rekke visualiseringsmetoder og grafiske illustrasjonsmetoder, mye brukt i ulike felt innen vitenskap og matematikk: mengdlære, faktisk "Venn diagram" viser alle mulige forhold mellom sett eller hendelser fra en bestemt familie; varianter venn diagram tjene: Euler-diagrammer,

Venn diagram av fire sett.

Faktisk "Venn diagram" viser alle mulige forhold mellom sett eller hendelser fra en bestemt familie. Et typisk Venn-diagram har tre sett. Venn selv prøvde å finne elegant måte med symmetriske former, som representerer i diagrammet større antall sett, men han var bare i stand til å gjøre dette i fire sett (se figuren til høyre) ved hjelp av ellipser.

Euler-diagrammer

Euler-diagrammer ligner på Venn-diagrammer kan brukes til å evaluere plausibiliteten til settteoretiske identiteter.

Oppgave 1. Det er 30 personer i klassen, som hver synger eller danser. Det er kjent at 17 personer synger, og 19 personer kan danse. Hvor mange synger og danser samtidig?

Løsning: La oss først merke oss at av 30 personer, kan 30 - 17 = 13 personer ikke synge.

De vet alle hvordan de skal danse, fordi... I henhold til tilstanden synger eller danser hver elev i klassen. Totalt kan 19 personer danse, 13 av dem kan ikke synge, noe som betyr at 19-13 = 6 personer kan danse og synge samtidig.

Problemer som involverer skjæring og forening av sett.

Gitt sett A = (3,5, 0, 11, 12, 19), B = (2,4, 8, 12, 18,0).
Finn settene AU B,
Lag opp minst syv ord hvis bokstaver utgjør undergrupper av settet
A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
La A være settet av naturlige tall som er delelig med 2, og B settet av naturlige tall som er delelig med 4. Hvilken konklusjon kan man trekke angående disse mengdene?
Selskapet sysselsetter 67 personer. Av disse vet 47 engelske språk, 35 er tysk, og 23 er begge språk. Hvor mange personer i bedriften kan ikke verken engelsk eller tyske språk?
Av de 40 elevene i klassen vår liker 32 melk, 21 liker limonade og 15 liker både melk og limonade. Hvor mange barn i klassen vår liker ikke melk eller limonade?
12 av klassekameratene mine liker å lese detektivhistorier, 18 elsker science fiction, tre liker å lese begge deler, og en leser ingenting i det hele tatt. Hvor mange elever er det i klassen vår?
Av de 18 av klassekameratene mine som liker å se thrillere, er det bare 12 som ikke er uvillige til å se tegneserier. Hvor mange av klassekameratene mine ser kun "tegneserier", hvis det totalt er 25 elever i klassen vår, som hver liker å se enten thrillere eller tegneserier, eller begge deler?
Av de 29 guttene i hagen vår er det bare to som ikke driver med sport, og resten går på fotball- eller tennisavdelinger, eller til og med begge deler. 17 gutter spiller fotball, og 19 gutter spiller tennis. Hvor mange fotballspillere spiller tennis? Hvor mange tennisspillere spiller fotball?
65 % av bestemors kaniner elsker gulrøtter, 10 % elsker både gulrøtter og kål. Hvor mange prosent av kaniner vil gjerne spise kål?
Det er 25 elever i en klasse. Av disse elsker 7 pærer, 11 elsker kirsebær. To elsker pærer og kirsebær; 6 - pærer og epler; 5 - epler og kirsebær. Men det er to elever i klassen som elsker alt og fire som ikke liker frukt i det hele tatt. Hvor mange elever i denne klassen liker epler?
22 jenter deltok i skjønnhetskonkurransen. Av disse var 10 vakre, 12 var smarte og 9 var snille. Bare 2 jenter var både vakre og smarte; De 6 jentene var smarte og snille på samme tid. Bestem hvor mange vakre og samtidig snille jenter det var hvis jeg forteller deg at blant deltakerne var det ikke en eneste smart, snill og på samme tid vakker jente?
Det er 35 elever i klassen vår. I løpet av første kvartal hadde 14 elever A-karakterer i russisk; i matematikk - 12; i historie - 23. I russisk og matematikk - 4; i matematikk og historie - 9; i russisk språk og historie - 5. Hvor mange elever har A i alle tre fagene hvis det ikke er en eneste elev i klassen som ikke har A i minst ett av disse fagene?
Av 100 personer kan 85 engelsk, 80 snakker spansk, 75 snakker tysk. Alle snakker minst ett fremmedspråk. Blant dem er det ingen som kan to fremmedspråk, men det er de som snakker tre språk. Hvor mange av disse 100 personene snakker tre språk?
Av selskapets ansatte besøkte 16 Frankrike, 10 - Italia, 6 - England; i England og Italia - 5; i England og Frankrike - 6; i alle tre land - 5 ansatte. Hvor mange personer besøkte både Italia og Frankrike, hvis totalt 19 personer jobber i selskapet, og hver av dem besøkte minst ett av de navngitte landene?