Med denne videoen begynner jeg en serie leksjoner dedikert til ligningssystemer. I dag skal vi snakke om å løse systemer av lineære ligninger addisjonsmetode– dette er en av de mest enkle måter, men samtidig en av de mest effektive.

Addisjonsmetoden består av tre enkle trinn:

1. Se på systemet og velg en variabel som har identiske (eller motsatte) koeffisienter i hver ligning;
2. Utfør algebraisk subtraksjon (for motsatte tall - addisjon) av ligninger fra hverandre, og ta deretter med lignende termer;
3. Løs den nye ligningen oppnådd etter det andre trinnet.

Hvis alt er gjort riktig, vil vi ved utgangen få en enkelt ligning med én variabel– Det vil ikke være vanskelig å løse det. Så gjenstår det bare å erstatte den funnet roten i det opprinnelige systemet og få det endelige svaret.

Men i praksis er ikke alt så enkelt. Det er flere grunner til dette:

• Å løse likninger ved hjelp av addisjonsmetoden innebærer at alle linjer må inneholde variabler med like/motsatte koeffisienter. Hva skal jeg gjøre hvis dette kravet ikke er oppfylt?
• Ikke alltid, etter å ha lagt til/trukket fra ligninger på den angitte måten, får vi en vakker konstruksjon som lett kan løses. Er det mulig på en eller annen måte å forenkle beregningene og fremskynde beregningene?

For å få svar på disse spørsmålene, og samtidig forstå noen ekstra finesser som mange elever mislykkes i, se videoleksjonen min:

Med denne leksjonen starter vi en serie forelesninger viet til ligningssystemer. Og vi skal ta utgangspunkt i den enkleste av dem, nemlig de som inneholder to likninger og to variabler. Hver av dem vil være lineær.

Systemer er 7. klasse materiell, men denne leksjonen vil også være nyttig for videregående elever som ønsker å friske opp kunnskapen om dette temaet.

Generelt er det to metoder for å løse slike systemer:

1. Tilsetningsmetode;
2. En metode for å uttrykke en variabel i form av en annen.

I dag skal vi behandle den første metoden - vi vil bruke metoden for subtraksjon og addisjon. Men for å gjøre dette, må du forstå følgende faktum: når du har to eller flere ligninger, kan du ta hvilke som helst to av dem og legge dem til hverandre. De legges til medlem for medlem, dvs. "X-er" legges til "X-er" og lignende er gitt, "Y-er" med "Y-er" er like igjen, og det som er til høyre for likhetstegnet legges også til hverandre, og lignende er også gitt der .

Resultatene av slike maskineri vil være en ny ligning, som, hvis den har røtter, absolutt vil være blant røttene til den opprinnelige ligningen. Derfor er vår oppgave å gjøre subtraksjonen eller addisjonen på en slik måte at enten $x$ eller $y$ forsvinner.

Hvordan oppnå dette og hvilket verktøy du skal bruke for dette - vi skal snakke om dette nå.

Løse enkle problemer ved hjelp av tillegg

Så vi lærer å bruke addisjonsmetoden ved å bruke eksemplet med to enkle uttrykk.

Oppgave nr. 1

\[\venstre\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Merk at $y$ har en koeffisient på $-4$ i den første ligningen, og $+4$ i den andre. De er innbyrdes motsatte, så det er logisk å anta at hvis vi legger dem sammen, vil "spillene" bli gjensidig ødelagt i den resulterende summen. Legg det sammen og få:

La oss løse den enkleste konstruksjonen:

Flott, vi fant "x". Hva skal vi gjøre med det nå? Vi har rett til å erstatte det i hvilken som helst av ligningene. La oss erstatte i den første:

\[-4y=12\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

Svar: $\left(2;-3 \right)$.

Oppgave nr. 2

\[\venstre\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Situasjonen her er helt lik, bare med "X'er". La oss legge dem sammen:

Vi har den enkleste lineære ligningen, la oss løse den:

La oss nå finne $x$:

Svar: $\left(-3;3 \right)$.

Viktige poeng

Så vi har nettopp løst to enkle systemer med lineære ligninger ved å bruke addisjonsmetoden. Hovedpunkter igjen:

1. Hvis det er motsatte koeffisienter for en av variablene, er det nødvendig å legge til alle variablene i ligningen. I dette tilfellet vil en av dem bli ødelagt.
2. Vi erstatter den funnet variabelen i en av systemligningene for å finne den andre.
3. Den endelige svarposten kan presenteres på forskjellige måter. For eksempel, som dette - $x=...,y=...$, eller i form av koordinater av punkter - $\left(...;... \right)$. Det andre alternativet er å foretrekke. Det viktigste å huske er at den første koordinaten er $x$, og den andre er $y$.
4. Regelen om å skrive svaret i form av punktkoordinater er ikke alltid aktuelt. Den kan for eksempel ikke brukes når variablene ikke er $x$ og $y$, men for eksempel $a$ og $b$.

I de følgende oppgavene vil vi vurdere subtraksjonsteknikken når koeffisientene ikke er motsatte.

Løse enkle problemer ved hjelp av subtraksjonsmetoden

Oppgave nr. 1

\[\venstre\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Merk at det ikke er noen motsatte koeffisienter her, men det er identiske. Derfor trekker vi den andre fra den første ligningen:

Nå erstatter vi verdien $x$ i hvilken som helst av systemligningene. La oss gå først:

Svar: $\left(2;5\right)$.

Oppgave nr. 2

\[\venstre\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Vi ser igjen den samme koeffisienten på $5$ for $x$ i den første og andre ligningen. Derfor er det logisk å anta at du må trekke den andre fra den første ligningen:

Vi har beregnet én variabel. La oss nå finne den andre, for eksempel ved å erstatte verdien $y$ i den andre konstruksjonen:

Svar: $\left(-3;-2 \right)$.

Nyanser av løsningen

Så hva ser vi? I hovedsak er ordningen ikke forskjellig fra løsningen til tidligere systemer. Den eneste forskjellen er at vi ikke legger til ligninger, men trekker dem fra. Vi gjør algebraisk subtraksjon.

Med andre ord, så snart du ser et system som består av to ligninger i to ukjente, er det første du må se på koeffisientene. Hvis de er like hvor som helst, trekkes likningene fra, og hvis de er motsatte, brukes addisjonsmetoden. Dette gjøres alltid slik at en av dem forsvinner, og i den endelige ligningen, som gjenstår etter subtraksjon, gjenstår bare én variabel.

Det er selvfølgelig ikke alt. Nå skal vi vurdere systemer der likningene generelt er inkonsistente. De. Det er ingen variabler i dem som enten er like eller motsatte. I dette tilfellet, for å løse slike systemer, brukes en ekstra teknikk, nemlig å multiplisere hver av ligningene med en spesiell koeffisient. Hvordan finne det og hvordan løse slike systemer generelt, vi snakker om dette nå.

Løse problemer ved å multiplisere med en koeffisient

Eksempel #1

\[\venstre\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vi ser at verken for $x$ eller for $y$ er koeffisientene ikke bare innbyrdes motsatte, men heller ikke på noen måte korrelert med den andre ligningen. Disse koeffisientene vil ikke forsvinne på noen måte, selv om vi legger til eller trekker fra likningene fra hverandre. Derfor er det nødvendig å bruke multiplikasjon. La oss prøve å bli kvitt $y$-variabelen. For å gjøre dette multipliserer vi den første likningen med koeffisienten $y$ fra den andre likningen, og den andre likningen med koeffisienten $y$ fra den første likningen, uten å berøre tegnet. Vi multipliserer og får et nytt system:

\[\venstre\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

La oss se på det: ved $y$ er koeffisientene motsatte. I en slik situasjon er det nødvendig å bruke addisjonsmetoden. La oss legge til:

Nå må vi finne $y$. For å gjøre dette, sett inn $x$ i det første uttrykket:

\[-9y=18\venstre| :\left(-9 \right) \right.\]

Svar: $\left(4;-2 \right)$.

Eksempel nr. 2

\[\venstre\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Igjen er koeffisientene for ingen av variablene konsistente. La oss multiplisere med koeffisientene til $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\venstre\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Vår nytt system er ekvivalent med den forrige, men koeffisientene til $y$ er innbyrdes motsatte, og derfor er det enkelt å bruke addisjonsmetoden her:

La oss nå finne $y$ ved å erstatte $x$ i den første ligningen:

Svar: $\left(-2;1 \right)$.

Nyanser av løsningen

Nøkkelregelen her er følgende: vi multipliserer alltid bare med positive tall- dette vil spare deg for dumme og støtende feil knyttet til å skifte skilt. Generelt er løsningsskjemaet ganske enkelt:

1. Vi ser på systemet og analyserer hver ligning.
2. Hvis vi ser at verken $y$ eller $x$ er koeffisientene konsistente, dvs. de er verken like eller motsatte, så gjør vi følgende: vi velger variabelen som vi trenger for å bli kvitt, og så ser vi på koeffisientene til disse ligningene. Hvis vi multipliserer den første ligningen med koeffisienten fra den andre, og den andre, tilsvarende, multipliserer med koeffisienten fra den første, vil vi til slutt få et system som er helt ekvivalent med den forrige, og koeffisientene til $ y$ vil være konsekvent. Alle våre handlinger eller transformasjoner er kun rettet mot å få én variabel i én ligning.
3. Vi finner én variabel.
4. Vi erstatter den funnet variabelen i en av de to likningene i systemet og finner den andre.
5. Vi skriver svaret i form av koordinater av poeng hvis vi har variabler $x$ og $y$.

Men selv en så enkel algoritme har sine egne finesser, for eksempel kan koeffisientene til $x$ eller $y$ være brøker og andre "stygge" tall. Vi vil nå vurdere disse tilfellene separat, fordi du i dem kan handle noe annerledes enn i henhold til standardalgoritmen.

Løse problemer med brøker

Eksempel #1

\[\venstre\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Legg først merke til at den andre ligningen inneholder brøker. Men merk at du kan dele $4$ med $0,8$. Vi vil motta $5$. La oss multiplisere den andre ligningen med $5$:

\[\venstre\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Vi trekker likningene fra hverandre:

Vi fant $n$, la oss telle $m$:

Svar: $n=-4;m=5$

Eksempel nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ Ikke sant.\]

Her, som i forrige system, er det brøkkoeffisienter, men for ingen av variablene passer koeffisientene inn i hverandre et helt antall ganger. Derfor bruker vi standardalgoritmen. Bli kvitt $p$:

\[\venstre\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Vi bruker subtraksjonsmetoden:

La oss finne $p$ ved å erstatte $k$ i den andre konstruksjonen:

Svar: $p=-4;k=-2$.

Nyanser av løsningen

Det er alt optimalisering. I den første ligningen multipliserte vi ikke med noe i det hele tatt, men multipliserte den andre ligningen med $5$. Som et resultat fikk vi en konsistent og til og med identisk ligning for den første variabelen. I det andre systemet fulgte vi en standardalgoritme.

Men hvordan finner man tallene man multipliserer ligningene med? Tross alt, hvis vi multipliserer med brøker, får vi nye brøker. Derfor må brøkene multipliseres med et tall som vil gi et nytt heltall, og deretter må variablene multipliseres med koeffisienter, etter standardalgoritmen.

Avslutningsvis vil jeg gjøre deg oppmerksom på formatet for registrering av svaret. Som jeg allerede har sagt, siden vi her ikke har $x$ og $y$, men andre verdier, bruker vi en ikke-standard notasjon av formen:

Løse komplekse ligningssystemer

Som en siste merknad til dagens videoopplæring, la oss se på et par virkelig komplekse systemer. Deres kompleksitet vil bestå i at de vil ha variabler både til venstre og høyre. Derfor, for å løse dem, må vi bruke forbehandling.

System nr. 1

\[\venstre\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Hver ligning har en viss kompleksitet. La oss derfor behandle hvert uttrykk som med en vanlig lineær konstruksjon.

Totalt får vi det endelige systemet, som tilsvarer det originale:

\[\venstre\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

La oss se på koeffisientene til $y$: $3$ passer inn i $6$ to ganger, så la oss multiplisere den første ligningen med $2$:

\[\venstre\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Koeffisientene til $y$ er nå like, så vi trekker den andre fra den første ligningen: $$

La oss nå finne $y$:

Svar: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

System nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\venstre(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

La oss transformere det første uttrykket:

La oss ta for oss den andre:

\[-3\venstre(b-2a \høyre)-12=2\venstre(a-5 \høyre)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Totalt sett vil vårt første system ha følgende form:

\[\venstre\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Når vi ser på koeffisientene til $a$, ser vi at den første ligningen må multipliseres med $2$:

\[\venstre\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Trekk den andre fra den første konstruksjonen:

La oss nå finne $a$:

Svar: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Det er alt. Jeg håper denne videoopplæringen vil hjelpe deg å forstå dette vanskelige emnet, nemlig å løse systemer med enkle lineære ligninger. Det vil være mange flere leksjoner om dette emnet: vi vil se på flere komplekse eksempler, hvor det vil være flere variabler, og selve ligningene vil allerede være ikke-lineære. Ser deg igjen!

Et system av lineære ligninger med to ukjente er to eller flere lineære ligninger som det er nødvendig å finne alle for generelle løsninger. Vi vil vurdere systemer med to lineære ligninger i to ukjente. Generell form et system med to lineære ligninger med to ukjente er presentert i figuren nedenfor:

( a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Her er x og y ukjente variabler, a1, a2, b1, b2, c1, c2 er noen reelle tall. En løsning på et system med to lineære ligninger i to ukjente er et tallpar (x,y) slik at hvis vi erstatter disse tallene i systemets ligninger, blir hver av systemets ligninger til en sann likhet. Det er flere måter å løse et system med lineære ligninger på. La oss vurdere en av måtene å løse et system med lineære ligninger på, nemlig addisjonsmetoden.

Algoritme for løsning ved addisjonsmetode

En algoritme for å løse et system av lineære ligninger med to ukjente ved hjelp av addisjonsmetoden.

1. Om nødvendig, bruk ekvivalente transformasjoner for å utjevne koeffisientene til en av de ukjente variablene i begge ligningene.

2. Ved å addere eller subtrahere de resulterende ligningene, få en lineær ligning med en ukjent

3. Løs den resulterende ligningen med en ukjent og finn en av variablene.

4. Bytt inn det resulterende uttrykket i en av de to likningene i systemet og løs denne likningen, og oppnå den andre variabelen.

5. Sjekk løsningen.

Et eksempel på en løsning som bruker addisjonsmetoden

For større klarhet, la oss løse følgende system av lineære ligninger med to ukjente ved hjelp av addisjonsmetoden:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Siden ingen av variablene har identiske koeffisienter, utjevner vi koeffisientene til variabelen y. For å gjøre dette, multipliser den første ligningen med tre, og den andre ligningen med to.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Vi får følgende ligningssystem:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Nå trekker vi den første fra den andre ligningen. Vi presenterer lignende termer og løser den resulterende lineære ligningen.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Vi erstatter den resulterende verdien i den første ligningen fra vårt opprinnelige system og løser den resulterende ligningen.

(3*(-6) + 2*y=10;
(2*y=28; y=14;

Resultatet er et tallpar x=6 og y=14. Vi sjekker. La oss gjøre en erstatning.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Som du kan se, fikk vi to riktige likheter, derfor fant vi den riktige løsningen.

Bruken av ligninger er utbredt i våre liv. De brukes i mange beregninger, konstruksjon av strukturer og til og med sport. Mennesket brukte ligninger i oldtiden, og siden har bruken bare økt. Bare ved å bestemme selv av varierende kompleksitet ligningssystemer, vil du lære å raskt bestemme metoder for å løse ethvert system. Noen ganger kan det være ganske vanskelig å løse systemet andregradsligninger.

Imidlertid er den mest brukte metoden for å løse disse ligningene substitusjons-/addisjonsmetoden.

Anta at vi får følgende ligningssystem:

\[\venstre\(\begin(matrise) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end(matrise)\høyre.\]

La oss legge til likningene til systemet:

\[\venstre\(\begin(matrise) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \end(matrise)\høyre.\]

La oss løse det resulterende systemet:

\[\venstre\(\begin(matrise) x(x -y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end(matrise)\høyre.\]

\[(x - y) = -1 \] eller \[(x - y) = 1\] - vi får fra 2 ligninger

La oss erstatte 1 eller -1 med 1:

\ eller \

\[-3 - y= -1\] eller \

La oss erstatte 1 eller -1 med 1:

Svar: \[(-3; -2); (3; 4)\]

Hvis du trenger å løse et system med 2 grader og 1 lineær, kan du uttrykke 1 av variablene fra den lineære og erstatte denne ligningen med den kvadratiske.

Hvor kan jeg løse et system med kvadratiske ligninger online med en kalkulator?

Du kan løse ligningssystemet online på nettstedet vårt https://site. Den gratis online løseren lar deg løse online ligninger av enhver kompleksitet i løpet av sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i løseren. Du kan også se videoinstruksjoner og lære hvordan du løser ligningen på nettsiden vår. Og hvis du fortsatt har spørsmål, kan du stille dem i vår VKontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher. Bli med i gruppen vår, vi hjelper deg alltid.

La oss analysere to typer løsninger på ligningssystemer:

1. Løse systemet ved hjelp av substitusjonsmetoden.
2. Løse systemet ved ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon) av systemlikningene.

For å løse ligningssystemet etter substitusjonsmetode du må følge en enkel algoritme:
1. Express. Fra enhver ligning uttrykker vi én variabel.
2. Vikar. Vi erstatter den resulterende verdien i en annen ligning i stedet for den uttrykte variabelen.
3. Løs den resulterende ligningen med én variabel. Vi finner en løsning på systemet.

Å løse system etter term-for-term addisjon (subtraksjon) metode trenger å:
1. Velg en variabel som vi skal lage identiske koeffisienter for.
2. Vi legger til eller subtraherer ligninger, noe som resulterer i en ligning med én variabel.
3. Løs den resulterende lineære ligningen. Vi finner en løsning på systemet.

Løsningen på systemet er skjæringspunktene til funksjonsgrafene.

La oss vurdere i detalj løsningen av systemer ved å bruke eksempler.

Eksempel #1:

La oss løse med substitusjonsmetode

Løse et ligningssystem ved hjelp av substitusjonsmetoden

2x+5y=1 (1 ligning)
x-10y=3 (andre ligning)

1. Express
Man kan se at i den andre ligningen er det en variabel x med koeffisient 1, som betyr at det er lettest å uttrykke variabelen x fra den andre ligningen.
x=3+10y

2.Etter at vi har uttrykt det, erstatter vi 3+10y i den første ligningen i stedet for variabelen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Løs den resulterende ligningen med én variabel.
2(3+10y)+5y=1 (åpne parentesene)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Løsningen til ligningssystemet er skjæringspunktene til grafene, derfor må vi finne x og y, fordi skjæringspunktet består av x og y La oss finne x, i det første punktet der vi uttrykte det, erstatter vi y der .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Det er vanlig å skrive poeng i første omgang skriver vi variabelen x, og for det andre variabelen y.
Svar: (1; -0,2)

Eksempel #2:

La oss løse ved å bruke term-for-term addisjon (subtraksjon) metoden.

Løse et ligningssystem ved hjelp av addisjonsmetoden

3x-2y=1 (1 ligning)
2x-3y=-10 (andre ligning)

1. Vi velger en variabel, la oss si at vi velger x. I den første likningen har variabelen x en koeffisient på 3, i den andre - 2. Vi må gjøre koeffisientene like, for dette har vi rett til å multiplisere likningene eller dele med et hvilket som helst tall. Vi multipliserer den første ligningen med 2, og den andre med 3 og får en total koeffisient på 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Trekk den andre fra den første ligningen for å bli kvitt variabelen x Løs den lineære ligningen.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finn x. Vi erstatter funnet y i hvilken som helst av ligningene, la oss si inn i den første ligningen.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Skjæringspunktet vil være x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)

Vil du forberede deg til eksamen gratis? Lærer online gratis. Tuller ikke.

Bruker denne matteprogram Du kan løse et system med to lineære ligninger i to variabler ved å bruke substitusjonsmetoden og addisjonsmetoden.

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men gir også detaljert løsning med forklaringer av løsningstrinnene på to måter: substitusjonsmetoden og addisjonsmetoden.

Dette programmet kan være nyttig for videregående skoleelever ungdomsskoler i forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Exam, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? hjemmelekser

i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger. På denne måten kan du gjennomføre din egen trening og/eller trening. yngre brødre

eller søstre, mens utdanningsnivået i feltet problemer som løses øker.

Regler for å legge inn ligninger
Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.

For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc. Når du legger inn ligninger du kan bruke parenteser
. I dette tilfellet blir likningene først forenklet.

Ligningene etter forenklinger skal være lineære, dvs. av formen ax+by+c=0 med nøyaktigheten av rekkefølgen av elementer.

For eksempel: 6x+1 = 5(x+y)+2
I ligninger kan du ikke bare bruke hele tall, men også brøker i form av desimaler og vanlige brøker. Regler for inntasting av desimalbrøker. Heltall og brøkdeler i
For eksempel: 2,1n + 3,5m = 55

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.
Nevneren kan ikke være negativ.
Når du legger inn en numerisk brøk, skilles telleren fra nevneren med et divisjonstegn: /
Hele delen er atskilt fra brøken med et og-tegnet: &

Eksempler.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Løs ligningssystem

Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Løse systemer av lineære ligninger. Substitusjonsmetode

Rekkefølgen av handlinger når du løser et system med lineære ligninger ved bruk av substitusjonsmetoden:
1) uttrykke en variabel fra en eller annen ligning i systemet i form av en annen;
2) erstatte det resulterende uttrykket med en annen likning av systemet i stedet for denne variabelen;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

La oss uttrykke y i form av x fra den første ligningen: y = 7-3x. Ved å erstatte uttrykket 7-3x i den andre ligningen i stedet for y, får vi systemet:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Det er lett å vise at det første og andre systemet har de samme løsningene. I det andre systemet inneholder den andre ligningen bare én variabel. La oss løse denne ligningen:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Høyrepil -5x+14-6x=3 \Høyrepil -11x=-11 \Høyrepil x=1 $$

Ved å erstatte 1 i stedet for x i likheten y=7-3x, finner vi den tilsvarende verdien av y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Høyrepil y=4 $$

Par (1;4) - løsning av systemet

Ligningssystemer i to variabler som har samme løsninger kalles tilsvarende. Systemer som ikke har løsninger anses også som likeverdige.

Løse systemer av lineære ligninger ved addisjon

La oss vurdere en annen måte å løse systemer med lineære ligninger på - addisjonsmetoden. Når vi løser systemer på denne måten, samt når vi løser ved substitusjon, går vi fra dette systemet til et annet, ekvivalent system, der en av likningene kun inneholder én variabel.

Rekkefølgen av handlinger når du løser et system med lineære ligninger ved hjelp av addisjonsmetoden:
1) multipliser likningene til systemet ledd for ledd, velg faktorer slik at koeffisientene til en av variablene blir motsatte tall;
2) legg til venstre og høyre side av systemligningene ledd for ledd;
3) løse den resulterende ligningen med én variabel;
4) finn den tilsvarende verdien til den andre variabelen.

Eksempel. La oss løse ligningssystemet:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

I likningene til dette systemet er koeffisientene til y motsatte tall. Ved å legge til venstre og høyre side av ligningene ledd for ledd, får vi en ligning med én variabel 3x=33. La oss erstatte en av likningene i systemet, for eksempel den første, med likningen 3x=33. La oss få systemet
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Fra ligningen 3x=33 finner vi at x=11. Ved å erstatte denne x-verdien i ligningen \(x-3y=38\) får vi en ligning med variabelen y: \(11-3y=38\). La oss løse denne ligningen:
\(-3y=27 \Høyrepil y=-9 \)

Dermed fant vi løsningen på ligningssystemet ved å addere: \(x=11; y=-9\) eller \((11;-9)\)

Ved å utnytte det faktum at i likningene til systemet er koeffisientene til y motsatte tall, reduserte vi løsningen til løsningen av et ekvivalent system (ved å summere begge sider av hver av likningene til det opprinnelige systemet), hvor en av ligningene inneholder bare én variabel.

Bøker (lærebøker) Sammendrag av Unified State Examination og Unified State Examination tester online Spill, puslespill Plotte grafer av funksjoner Staveordbok for det russiske språket Ordbok for ungdomsslang Katalog over russiske skoler Katalog over videregående utdanningsinstitusjoner i Russland Katalog over russiske universiteter Liste av oppgaver