Matematisk modellering av biologiske prosesser.

Vi har allerede sagt at den matematiske tilnærmingen til studiet av visse fenomener virkelige verden vanligvis begynner med opprettelsen av passende generelle begreper, dvs. fra konstruksjon matematiske modeller, som har egenskaper som er essensielle for oss til systemene og prosessene vi studerer. Vi nevnte også vanskelighetene knyttet til konstruksjonen av slike modeller i biologi, vanskeligheter forårsaket av den ekstreme kompleksiteten til biologiske systemer. Men til tross for disse vanskelighetene, "modellen" tilnærming til biologiske problemer er nå i utvikling og har allerede gitt visse resultater. Vi skal se på noen modeller knyttet til ulike biologiske prosesser og systemer.

Når vi snakker om modellens rolle i biologisk forskning, er det viktig å merke seg følgende. Selv om vi forstår begrepet "modell" i abstrakt forstand - som et bestemt system logiske begreper, og ikke som en ekte fysisk enhet, men en modell er noe vesentlig mer enn en enkel beskrivelse av et fenomen eller en rent kvalitativ hypotese, der det fortsatt er nok plass til ulike typer tvetydigheter og subjektive meninger. La oss huske følgende eksempel, som dateres tilbake til en ganske fjern fortid. På et tidspunkt la Helmholtz, mens han studerte hørselen, frem den såkalte resonansteorien, som så plausibel ut fra et rent kvalitativt synspunkt. Imidlertid viste kvantitative beregninger utført senere, tatt i betraktning de virkelige verdiene av massene, elastisiteten og viskositeten til komponentene som utgjør det auditive systemet, inkonsekvensen av denne hypotesen. Med andre ord, forsøket på å transformere en rent kvalitativ hypotese til en eksakt modell som lar dens undersøkelse ved hjelp av matematiske metoder avslørte umiddelbart inkonsistensen til de opprinnelige prinsippene. Selvfølgelig, hvis vi har bygget en viss modell og til og med oppnådd god samsvar mellom denne modellen og resultatene av det tilsvarende biologiske eksperimentet, beviser dette ennå ikke riktigheten av modellen vår. Nå, hvis vi, basert på studiet av modellen vår, kan lage noen spådommer om det biologiske systemet vi modellerer, og deretter bekrefte disse spådommene med et ekte eksperiment, vil dette være mye mer verdifullt bevis til fordel for riktigheten av modellen.

Men la oss gå videre til konkrete eksempler.

2.Blodsirkulasjon

Et av de første, om ikke det aller første, arbeidet med matematisk modellering av biologiske prosesser bør betraktes som arbeidet til Leonhard Euler, der han utviklet den matematiske teorien om blodsirkulasjon, og i en første tilnærming tok han i betraktning hele sirkulasjonssystemet som bestående av et reservoar med elastiske vegger, perifer motstand og en pumpe. Disse ideene til Euler (så vel som noen av hans andre verk) ble først helt glemt, og deretter gjenopplivet i senere verk av andre forfattere.

3. Mendels lover

En ganske gammel og velkjent, men likevel svært bemerkelsesverdig modell innen biologi er den mendelske arvelighetsteorien. Denne modellen, basert på sannsynlighetsteoretiske konsepter, er at kromosomene til foreldrecellene inneholder visse sett med egenskaper, som under befruktning kombineres med hverandre uavhengig og tilfeldig. Deretter gjennomgikk denne grunnideen meget betydelige avklaringer; for eksempel ble det oppdaget at forskjellige tegn ikke alltid er uavhengige av hverandre; hvis de er assosiert med samme kromosom, kan de bare overføres i en bestemt kombinasjon. Videre ble det oppdaget at forskjellige kromosomer ikke kombineres uavhengig, men det er en egenskap som kalles kromosomaffinitet, som bryter med denne uavhengigheten osv. For tiden har teoretisk-probabilistiske og statistiske metoder meget vidt trengt inn i genetisk forskning og til og med begrepet "matematisk". genetikk" "mottok fulle statsborgerskapsrettigheter. For tiden jobbes det intensivt på dette området, som er interessante både fra et biologisk og rent matematisk synspunkt. Selve grunnlaget for disse studiene er imidlertid modellen som ble skapt av Mendel for mer enn 100 år siden.

4. Muskelmodeller

En av de mest interessante gjenstandene for fysiologisk forskning er muskler. Dette objektet er svært tilgjengelig, og eksperimentatoren kan utføre mange studier ganske enkelt på seg selv, med kun relativt enkelt utstyr. Funksjonene som en muskel utfører i en levende organisme er også ganske klare og klare. Til tross for alt dette har mange forsøk på å konstruere en tilfredsstillende modell for muskelfunksjon ikke gitt definitive resultater. Det er klart at selv om en muskel kan strekke seg og trekke seg sammen som en fjær, er egenskapene deres helt forskjellige, og selv til den aller første tilnærmingen kan en fjær ikke betraktes som et utseende av en muskel. For en fjær er det et strengt forhold mellom dens forlengelse og belastningen som påføres den. Dette er ikke tilfellet for en muskel: en muskel kan endre lengden mens den opprettholder spenningen, og omvendt endre trekkraften uten å endre lengden. Enkelt sagt, i samme lengde kan en muskel være avslappet eller anspent.

Blant de ulike operasjonsmåtene som er mulig for en muskel, er de mest betydningsfulle den såkalte isotoniske sammentrekningen (dvs. en sammentrekning der muskelspenningen forblir konstant) og isometrisk spenning, der lengden av muskelen ikke endres (begge endene er faste). Å studere en muskel i disse modusene er viktig for å forstå prinsippene for dens virkemåte, selv om muskelaktivitet under naturlige forhold verken er rent isotonisk eller rent isometrisk.

Ulike matematiske formler har blitt foreslått for å beskrive forholdet mellom hastigheten på isotonisk muskelkontraksjon og størrelsen på belastningen. Den mest kjente av dem er den såkalte karakteristiske Hill-ligningen. Det ser ut som

(P+a)V=b(P 0 -P),

- sammentrekningshastighet, a, b Og P 0- permanent.

Andre kjente formler for å beskrive det samme forholdet er Obers ligning

P = P 0 e- V⁄P ±F

og Polissar-ligningen

V=konst (A 1-P/P 0 - B 1-P/P 0).

Hills ligning har blitt utbredt i fysiologi; det gir en ganske god overensstemmelse med eksperimentet for musklene til et bredt spekter av dyr, selv om det faktisk representerer resultatet av en "passform" snarere enn en slutning fra en modell. To andre ligninger, som gir omtrent samme avhengighet over et ganske bredt spekter av belastninger som Hill-ligningen, ble oppnådd av deres forfattere fra visse ideer om den fysisk-kjemiske mekanismen for muskelkontraksjon. Det er en rekke forsøk på å konstruere en modell for muskelarbeid, og vurderer sistnevnte som en kombinasjon av elastiske og viskøse elementer. Imidlertid er det fortsatt ingen tilstrekkelig tilfredsstillende modell som gjenspeiler alle hovedtrekkene ved muskelarbeid i ulike moduser.

5. Nevronmodeller, nevrale nettverk

Nerveceller, eller nevroner, er "arbeidsenhetene" som utgjør nervesystemet og som dyre- eller menneskekroppen skylder alle sine evner til å oppfatte eksterne signaler og kontrollere ulike deler av kroppen. Et karakteristisk trekk ved nerveceller er at en slik celle kan være i to tilstander - hvile og eksitasjon. I dette ligner nerveceller på elementer som radiorør eller halvledertriggere, hvorfra de logiske kretsene til datamaskiner er satt sammen. I løpet av de siste 15-20 årene har det vært gjort mange forsøk på å modellere aktiviteter nervesystemet, basert på de samme prinsippene som arbeidet til universelle datamaskiner er basert på. Tilbake på 40-tallet introduserte amerikanske forskere McCulloch og Pitts konseptet om et "formelt nevron", og definerte det som et element (hvis fysiske natur ikke spiller noen rolle) utstyrt med et visst antall "eksitatoriske" og et visst antall " hemmende” innganger. Dette elementet i seg selv kan være i to tilstander - "hvile" eller "spenning". En eksitert tilstand oppstår hvis nevronet mottar et tilstrekkelig antall eksitatoriske signaler og det ikke er noen hemmende signaler. McCulloch og Pitts viste at ved hjelp av kretser sammensatt av slike elementer, er det i prinsippet mulig å implementere hvilken som helst type informasjonsbehandling som forekommer i en levende organisme. Dette betyr imidlertid ikke i det hele tatt at vi derved har lært de faktiske prinsippene for nervesystemet. Først av alt, selv om nerveceller er preget av "alt eller ingenting"-prinsippet, det vil si tilstedeværelsen av to klart definerte tilstander - hvile og eksitasjon, følger det ikke i det hele tatt at nervesystemet vårt, som en universell datamaskin, bruker en binær digital kode som består av nuller og enere. For eksempel, i nervesystemet, spiller frekvensmodulasjon tilsynelatende en betydelig rolle, det vil si overføring av informasjon ved å bruke lengden på tidsintervaller mellom impulser. Generelt, i nervesystemet, er det tilsynelatende ingen slik inndeling av informasjonskodingsmetoder i "digital" diskret) og "analog" (kontinuerlig), som er tilgjengelig i moderne datateknologi.

For at et system av nevroner skal fungere som en helhet, er det nødvendig at det er visse forbindelser mellom disse nevronene: impulser generert av en nevron må komme til inngangene til andre nevroner. Disse forbindelsene kan ha en korrekt, regelmessig struktur, eller de kan bare bestemmes av statistiske mønstre og være gjenstand for visse tilfeldige endringer. I eksisterende dataenheter tillates ingen tilfeldighet i sammenhenger mellom elementer, men det finnes en rekke teoretiske studier om muligheten for å konstruere dataenheter basert på prinsippene tilfeldige forbindelser mellom elementene. Det er ganske alvorlige argumenter for at forbindelsene mellom ekte nevroner i nervesystemet også i stor grad er statistiske, og ikke strengt tatt regelmessige. Meningene om denne saken er forskjellige.

Generelt kan følgende sies om problemet med å modellere nervesystemet. Vi vet allerede ganske mye om særegenhetene ved arbeidet til nevroner, det vil si de elementene som utgjør nervesystemet. Dessuten, ved hjelp av systemer av formelle nevroner (forstått i betydningen McCulloch og Pitts eller i en annen forstand), som simulerer de grunnleggende egenskapene til ekte nerveceller, er det mulig å simulere, som allerede nevnt, svært forskjellige måter å behandle på informasjon. Likevel er vi fortsatt ganske langt fra en klar forståelse av de grunnleggende prinsippene for funksjonen til nervesystemet og dets individuelle deler, og følgelig fra å lage sin tilfredsstillende modell *.

* (Hvis vi kan lage et slags system som kan løse de samme problemene som et annet system, betyr ikke dette at begge systemene fungerer etter de samme prinsippene. Du kan for eksempel løse en differensialligning numerisk på en digital datamaskin ved å gi den riktig program, eller du kan løse den samme ligningen på en analog datamaskin. Vi vil få de samme eller nesten de samme resultatene, men prinsippene for informasjonsbehandling i disse to typene maskiner er helt forskjellige.)

6. Oppfatning av visuelle bilder. Fargesyn

Visjon er en av hovedkanalene vi mottar informasjon om omverdenen gjennom. Kjent uttrykk– det er bedre å se én gang enn å høre hundre ganger – dette er forresten også sant fra et rent informasjonssynspunkt: mengden informasjon som vi oppfatter gjennom synet er uforlignelig større enn den som oppfattes av andre sanser. Denne betydningen av det visuelle systemet for en levende organisme, sammen med andre hensyn (spesifisitet av funksjoner, muligheten for å utføre ulike studier uten skade på systemet, etc.) stimulerte dets studie og spesielt forsøk på en modelltilnærming til dette problemet.

Øyet er et organ som fungerer som både et optisk system og en informasjonsbehandlingsenhet. Fra begge synspunkter har dette systemet en rekke fantastiske egenskaper. Øyets evne til å tilpasse seg et svært bredt spekter av lysintensiteter og til å oppfatte alle farger korrekt er bemerkelsesverdig. For eksempel reflekterer en krittbit i et svakt opplyst rom mindre lys enn et kullstykke plassert i et lyst rom. sollys, likevel, i hvert av disse tilfellene oppfatter vi fargene til de tilsvarende objektene riktig. Øyet formidler relative forskjeller i belysningsintensiteter godt og "overdriver" dem til og med noe. Dermed virker en grå linje på en lys hvit bakgrunn mørkere for oss enn et solid felt av det samme grå. Denne evnen til øyet til å understreke kontraster i belysning skyldes det faktum at visuelle nevroner har en hemmende effekt på hverandre: hvis den første av to nabonevroner mottar et sterkere signal enn den andre, har den en intens hemmende effekt på sekund, og forskjellen i utgangen til disse nevronene er at intensiteten er større enn forskjellen i intensiteten til inngangssignalene. Modeller som består av formelle nevroner forbundet med både eksitatoriske og hemmende forbindelser har tiltrukket seg oppmerksomheten til både fysiologer og matematikere. Det er også interessante resultater og uløste problemer.

Av stor interesse er mekanismen som øyet oppfatter forskjellige farger med. Som du vet, kan alle nyanser av farger som oppfattes av øynene våre representeres som kombinasjoner av tre primærfarger. Vanligvis er disse primærfargene rød, blå og gule farger, tilsvarende bølgelengdene 700, 540 og 450 Å, men dette valget er ikke entydig.

Den "tre-farge" naturen til synet vårt skyldes det faktum at det menneskelige øyet har tre typer reseptorer, med maksimal følsomhet i henholdsvis gul, blå og rød sone. Spørsmålet er hvordan vi skiller mellom disse tre reseptorene? et stort nummer av fargenyanser, er ikke veldig enkelt. For eksempel er det ennå ikke klart nok hva nøyaktig denne eller den fargen er kodet i øyet vårt: frekvensen av nerveimpulser, lokaliseringen av nevronet som hovedsakelig reagerer på en gitt fargenyanse, eller noe annet. Det er noen modellideer om denne prosessen med persepsjon av nyanser, men de er fortsatt ganske foreløpige. Det er imidlertid ingen tvil om at også her bør systemer av nevroner koblet til hverandre ved både eksitatoriske og hemmende forbindelser spille en betydelig rolle.

Til slutt er øyet også veldig interessant som kinematisk system. En serie geniale eksperimenter (mange av dem ble utført i laboratoriet for synsfysiologi ved Institutt for problemer med informasjonsoverføring i Moskva) etablerte følgende ved første øyekast uventet faktum: hvis et bilde er ubevegelig i forhold til øyet, så oppfatter ikke øyet det. Når øyet vårt undersøker et objekt, "føler" det bokstavelig talt det (disse øyebevegelsene kan registreres nøyaktig ved hjelp av passende utstyr). Studiet av øyets motoriske apparat og utviklingen av tilsvarende modellrepresentasjoner er ganske interessant både i seg selv og i forbindelse med andre (optiske, informasjonsmessige, etc.) egenskaper ved vårt visuelle system.

For å oppsummere kan vi si at vi fortsatt er langt fra å lage helt tilfredsstillende modeller av det visuelle systemet som godt beskriver alle dets grunnleggende egenskaper. Imidlertid er en rekke viktige aspekter og prinsipper for driften allerede ganske klare og kan modelleres i form av dataprogrammer for en datamaskin eller til og med i form av tekniske enheter.

7. Aktiv mellommodell. Spredning av eksitasjon

En av de aller karakteristiske egenskaper av mange levende vev, først og fremst nervevev, er deres evne til å eksitere og overføre eksitasjon fra ett område til et annet. Omtrent én gang i sekundet går en bølge av spenning gjennom hjertemuskelen vår, som får den til å trekke seg sammen og drive blod gjennom hele kroppen. Eksitasjon langs nervefibre, som sprer seg fra periferien (sanseorganer) til ryggmargen og hjernen, informerer oss om omverdenen, og i motsatt retning er det eksitasjonskommandoer som foreskriver visse handlinger til musklene.

Eksitering i en nervecelle kan oppstå av seg selv (som de sier "spontant"), under påvirkning av en begeistret nabocelle, eller under påvirkning av et eksternt signal, for eksempel elektrisk stimulering som kommer fra en strømkilde. Etter å ha gått inn i en opphisset tilstand, forblir cellen i den i noen tid, og deretter forsvinner spenningen, hvoretter en viss periode med celleimmunitet mot nye stimuli begynner - den såkalte refraktære perioden. I løpet av denne perioden reagerer ikke cellen på signaler mottatt av den. Deretter går cellen tilbake til sin opprinnelige tilstand, hvorfra en overgang til en eksitasjonstilstand er mulig. Dermed har eksitasjonen av nerveceller en rekke klart definerte egenskaper, fra hvilke det er mulig å konstruere en aksiomatisk modell av dette fenomenet. Videre, for å studere denne modellen, ren matematiske metoder.

Ideer om en slik modell ble utviklet for flere år siden i verkene til I.M. Gelfand og M.L. Tsetlin, som deretter ble videreført av en rekke andre forfattere. La oss formulere en aksiomatisk beskrivelse av den aktuelle modellen.

Med "spennende medium" mener vi et bestemt sett X elementer ("celler") med følgende egenskaper:

1. Hvert element kan være i en av tre tilstander: hvile, spenning og ildfasthet;

2. Fra hvert eksiterte element sprer eksitasjonen seg gjennom mange elementer i ro med en viss hastighet v;

3.Hvis varen X har ikke vært spent på en bestemt tid T(x), så etter denne tiden går den spontant inn i en opphisset tilstand. Tid T(x) kalt perioden med spontan aktivitet av elementet X. Dette utelukker ikke tilfellet når T(x)= ∞, dvs. når spontan aktivitet faktisk er fraværende;

4. Spenningstilstanden varer en stund τ (som kan avhenge av X), så beveger elementet seg en stund R(x) inn i en ildfast tilstand, hvoretter en hviletilstand setter inn.

Lignende matematiske modeller oppstår på helt andre områder, for eksempel i teorien om forbrenning, eller i problemer med forplantning av lys i et inhomogent medium. Tilstedeværelsen av en "ildfast periode" er imidlertid et karakteristisk trekk ved biologiske prosesser.

Den beskrevne modellen kan studeres enten ved analytiske metoder eller ved å implementere den på en datamaskin. I sistnevnte tilfelle er vi selvfølgelig tvunget til å anta at settet X(eksiterbart medium) består av et visst begrenset antall elementer (i samsvar med egenskapene til eksisterende datateknologi - i størrelsesorden flere tusen). For analytisk forskning er det naturlig å anta X noe kontinuerlig variasjon (for eksempel, tenk på det X- dette er et stykke fly). Det enkleste tilfellet av en slik modell får vi hvis vi tar X et segment (en prototype av en nervefiber) og anta at tiden hvor hvert element er i en eksitert tilstand er svært kort. Da kan prosessen med sekvensiell forplantning av impulser langs en slik "nervefiber" beskrives ved en kjede av vanlige førsteordens differensialligninger. Allerede i denne forenklede modellen gjengis en rekke trekk ved forplantningsprosessen som også finnes i virkelige biologiske eksperimenter.

Spørsmålet om betingelsene for forekomsten av såkalt fibrillering i et slikt modellaktivt medium er svært interessant både fra et teoretisk og anvendt medisinsk synspunkt. Dette fenomenet, observert eksperimentelt, for eksempel i hjertemuskelen, består i det faktum at i stedet for rytmiske koordinerte sammentrekninger, vises tilfeldige lokale eksitasjoner i hjertet, blottet for periodisitet og forstyrrer dets funksjon. Den første teoretiske studien av dette problemet ble utført i arbeidet til N. Wiener og A. Rosenbluth på 50-tallet. For tiden utføres arbeid i denne retningen intensivt i vårt land og har allerede gitt en rekke interessante resultater.

Boken består av forelesninger om matematisk modellering av biologiske prosesser og er skrevet basert på materialet fra kurs undervist ved Det biologiske fakultet ved Moskva statsuniversitet. M.V. Lomonosov.
24 forelesninger skisserer klassifiseringen og trekk ved modellering av levende systemer, det grunnleggende om det matematiske apparatet som brukes til å bygge dynamiske modeller i biologi, grunnleggende modeller for populasjonsvekst og interaksjon mellom arter, modeller for multistasjonære, oscillerende og kvasistochastiske prosesser i biologi. Metoder for å studere den spatiotemporale oppførselen til biologiske systemer, modeller av autobølge biokjemiske reaksjoner, forplantning av en nerveimpuls, modeller for farging av dyreskinn og andre vurderes. Spesiell oppmerksomhet rettes mot begrepet tidenes hierarki, som er viktig for modellering i biologi, og moderne konsepter om fraktaler og dynamisk kaos. De siste forelesningene er viet moderne metoder matematisk og datamodellering av fotosynteseprosesser. Forelesningene er beregnet på studenter, hovedfagsstudenter og spesialister som ønsker å bli kjent med det moderne grunnlaget for matematisk modellering i biologi.

Molekylær dynamikk.
Gjennom historien til vestlig vitenskap har spørsmålet vært om det, ved å kjenne koordinatene til alle atomer og lovene for deres interaksjon, er mulig å beskrive alle prosessene som skjer i universet. Spørsmålet har ikke funnet sitt entydige svar. Kvantemekanikk etablerte begrepet usikkerhet på mikronivå. I forelesninger 10-12 vil vi se at eksistensen av kvasi-stokastiske typer atferd i deterministiske systemer gjør det nesten umulig å forutsi atferden til enkelte deterministiske systemer på makronivå.

En konsekvens av det første spørsmålet er det andre: spørsmålet om «reduserbarhet». Er det mulig å kjenne til fysikkens lover, dvs. bevegelseslovene til alle atomer som utgjør biologiske systemer, og lovene for deres interaksjon, å beskrive oppførselen til levende systemer. I prinsippet kan dette spørsmålet besvares ved hjelp av en simuleringsmodell, som inneholder koordinatene og bevegelseshastighetene til alle atomer i ethvert levende system og lovene for deres interaksjon. For ethvert levende system må en slik modell inneholde et stort antall variabler og parametere. Forsøk på å modellere ved hjelp av denne tilnærmingen funksjonen til elementer i levende systemer - biomakromolekyler - har blitt gjort siden 70-tallet.

Innhold
Forord til andre utgave
Forord til første utgave
Forelesning 1. Innledning. Matematiske modeller i biologi
Forelesning 2. Modeller av biologiske systemer beskrevet ved en enkelt førsteordens differensialligning
Forelesning 3. Befolkningsvekstmodeller
Forelesning 4. Modeller beskrevet av systemer av to autonome differensialligninger
Forelesning 5. Studie av stabiliteten til stasjonære tilstander av andre-ordens ikke-lineære systemer
Forelesning 6. Problemet med raske og langsomme variabler. Tikhonovs teorem. Typer bifurkasjoner. Katastrofer
Forelesning 7. Multistasjonære systemer
Forelesning 8. Oscillasjoner i biologiske systemer
Forelesning 9. Interaksjonsmodeller av to typer
Forelesning 10. Dynamisk kaos. Modeller av biologiske samfunn
Eksempler på fraktale sett
Forelesning 11. Modellering av mikrobielle populasjoner
Forelesning 12. Modell av de svakes påvirkning elektrisk felt på et ikke-lineært system for transmembran ionetransport
Forelesning 13. Distribuerte biologiske systemer. Reaksjon-diffusjonsligning
Forelesning 14. Løse diffusjonsligningen. Stabilitet av homogene stasjonære tilstander
Forelesning 15. Utbredelse av en konsentrasjonsbølge i systemer med diffusjon
Forelesning 16. Stabilitet av homogene stasjonære løsninger av et system av to ligninger av typen reaksjon-diffusjon. Dissipative strukturer
Forelesning 17. Belousov-Zhabotinsky-reaksjon
Forelesning 18. Modeller for forplantning av nerveimpulser. Autowave-prosesser og hjertearytmier
Forelesning 19. Distribuerte triggere og morfogenese. Fargemønstre for dyrehud
Forelesning 20. Spatiotemporale modeller av artsinteraksjon
Forelesning 21. Oscillasjoner og periodiske romlige fordelinger av pH-verdien og elektrisk potensial langs cellemembran kjempealgen Chara corallina
Forelesning 22. Modeller for fotosyntetisk elektrontransport. Elektronoverføring i et multienzymkompleks
Forelesning 23. Kinetiske modeller av fotosyntetiske elektrontransportprosesser
Forelesning 24. Direkte datamaskinmodeller prosesser i den fotosyntetiske membranen
Ikke-lineær naturvitenskapelig tenkning og miljøbevissthet
Stadier av utviklingen av komplekse systemer.

Last ned e-boken gratis i et praktisk format, se og les:
Last ned boken Lectures on matematiske modeller i biologi, Riznichenko G.Yu., 2011 - fileskachat.com, rask og gratis nedlasting.

Funksjon av et komplekst biologisk system, inkludert av det kardiovaskulære systemet, er resultatet av samspillet mellom dets bestanddeler og prosessene som skjer i det. Det bør huskes at i henhold til det generelle prinsippet om et stigende hierarki av bevegelsestyper (mekanisk - fysisk - kjemisk - biologisk - sosial), kan den biologiske bevegelsesformen ikke reduseres fullstendig til den mekaniske, fysiske eller kjemiske formen av bevegelser. bevegelse, og biologiske systemer kan ikke beskrives fullt ut fra noen av disse bevegelsesformene. Disse bevegelsesformene kan tjene som modeller biologisk form bevegelse, det vil si dens forenklede bilder.

Det er mulig å finne ut de grunnleggende prinsippene for å regulere prosessene i et komplekst biologisk system ved først å konstruere en mekanisk, fysisk eller kjemisk modell av systemet, og deretter konstruere deres matematiske modeller, det vil si finne de matematiske funksjonene som beskriver disse modellene , inkludert ligninger (lage matematiske modeller). Jo lavere hierarkinivå, jo enklere modell, jo flere faktorer i det virkelige systemet er ekskludert fra vurdering.

Modellering er en metode der studiet av et komplekst objekt (prosess, fenomen) erstattes av studiet av sin forenklede analog - en modell. I biofysikk, biologi og medisin er fysiske, kjemiske, biologiske og matematiske modeller mye brukt. For eksempel er strømmen av blod gjennom kar modellert ved bevegelse av væske gjennom rør (fysisk modell). En biologisk modell er enkle biologiske objekter, praktiske for eksperimentell forskning, hvor egenskapene til ekte, mer komplekse biologiske systemer studeres. For eksempel ble mønstrene for forekomst og forplantning av aksjonspotensialer langs nervefibre studert ved hjelp av en biologisk modell - det gigantiske blekksprutaksonet.

En matematisk modell er et sett av matematiske objekter og relasjoner mellom dem, som gjenspeiler egenskapene og egenskapene til et reelt objekt som er av interesse for forskeren. En tilstrekkelig matematisk modell kan bare bygges ved å bruke spesifikke data og ideer om mekanismene til komplekse prosesser. Etter konstruksjon "lever" den matematiske modellen i henhold til dens interne lover, hvis kunnskap lar oss identifisere karaktertrekk systemet som studeres (se diagram i fig. 1.1.). Simuleringsresultatene danner grunnlaget for å styre prosesser av enhver art.

Biologiske systemer er faktisk ekstremt komplekse strukturelle og funksjonelle enheter.

Oftest spesifiseres matematiske modeller av biologiske prosesser i form av differensial- eller differanseligninger, men andre typer modellrepresentasjoner er også mulige. Etter at modellen er bygget, reduseres oppgaven til å studere dens egenskaper ved hjelp av metoder for matematisk deduksjon eller gjennom maskinmodellering.

Når man studerer et komplekst fenomen, foreslås vanligvis flere alternative modeller. Den kvalitative korrespondansen mellom disse modellene og objektet kontrolleres. For eksempel etablerer de tilstedeværelsen av stabile stasjonære tilstander i modellen og eksistensen av oscillerende moduser. Modell, den beste måten tilsvarende systemet som studeres er valgt som hovedsystem. Den valgte modellen spesifiseres i forhold til det spesifikke systemet som studeres. Numeriske verdier av parameterne er satt basert på eksperimentelle data.

Prosessen med å søke etter en matematisk modell av et komplekst fenomen kan deles inn i stadier, hvis sekvens og sammenkobling gjenspeiles i diagrammet i fig. 1.2.

Trinn 1 tilsvarer innsamlingen av data tilgjengelig i begynnelsen av studien om objektet som studeres.

På trinn 2 velges en grunnmodell (likningssystem) fra mulige alternative modeller basert på kvalitative egenskaper.

På trinn 3 identifiseres modellparametrene fra eksperimentelle data.

På trinn 4 blir oppførselen til modellen verifisert ved å bruke uavhengige eksperimentelle data. For å gjøre dette er det ofte nødvendig å utføre ytterligere eksperimenter.

Hvis de eksperimentelle dataene som er tatt for å verifisere modellen "ikke passer" inn i modellen, er det nødvendig å analysere situasjonen og legge frem andre modeller, studere egenskapene til disse nye modellene og deretter utføre eksperimenter som lar en konkludere med at en av dem er å foretrekke (trinn 5).

Stadiet med å konstruere en matematisk modell (trinn 2, fig. 1.2) er det viktigste stadiet i matematisk modellering. Ideer om mekanismene og lovene som virker i systemet og som er innebygd i den matematiske modellen bestemmer rammeverket for modelleringsresultatene. Når vi modellerer funksjonen til det kardiovaskulære systemet basert på ideer om hjertets arbeid fra mekanikkens ståsted, kan vi derfor bygge en mekanisk-matematisk modell.

Når vi snakker om matematisk modellering av dynamikken til et komplekst biologisk system basert på fysiske lover, går vi inn i feltet av matematisk biofysikk av komplekse systemer. Det var i krysset mellom tre vitenskaper: matematikk, fysikk og biologi at det de siste fem tiårene har vært et kvalitativt sprang i den matematiske beskrivelsen av oppførselen til ethvert system (fysisk, biologisk, økonomisk).

Det er vanlig praksis å måle fysiologiske mengder som en funksjon av tid. For å karakterisere slike tidsavhengigheter er det fire grunnleggende matematiske begreper: stasjonære tilstander, oscillasjoner, kaos og støy. Steady state i matematikk kan relateres til konseptet homeostase i fysiologi, for eksempel gjennomsnittlig arterielt trykk holdes konstant hos mennesker. Ved fysisk aktivitet øker trykket, og etter opphør av fysisk aktivitet går trykket tilbake til stasjonært nivå i løpet av få minutter. Eksempler på oscillerende prosesser i menneskekroppen inkluderer: rytmer av hjerteslag, respirasjon og cellegjengivelse, søvn- og våkenhetssykluser, insulinsekresjon, peristaltiske bølger i tarmen og urinlederen, elektrisk aktivitet i hjernebarken og det autonome nervesystemet, etc. Det er kjent at selv omhyggelig måling av en fysisk eller fysiologisk størrelse aldri gir et absolutt stasjonært eller strengt periodisk tidsforhold. Det vil alltid være svingninger (avvik) rundt et eller annet fast nivå eller periode med svingninger. I tillegg er det systemer så uregelmessige at det er vanskelig å finne en underliggende stasjonær eller periodisk prosess. Slike prosesser betraktes i matematikk som enten støy (relatert til fluktuasjoner) eller kaos (den "høyeste graden" av orden, uregelmessigheten observert i et deterministisk system). Kaos kan også observeres i fullstendig fravær av støy i miljøet.

Grunnlaget for den matematiske modellen er et system av matematiske ligninger (formel 1.1). En dynamisk matematisk modell karakteriserer oppførselen til et system over tid, som kan beskrives ved hjelp av fysiske begreper som hastighet og akselerasjon. Dynamiske modeller er beskrevet av systemer med differensialligninger, som er underlagt begrensninger som oppstår fra den fysiske eller fysiologiske betydningen av de aksepterte mengdene:

hvor f 1,..., f n - noen funksjoner , x 1 ,…, x n- uavhengige variabler, P - dimensjon av faserom, a,..., e, etc. - parametere for differensialligninger.

Stasjonære stabile tilstander tilsvarer konstante løsninger av likningene til system 1.1 (fig. 1. 3, A). Stasjonære vibrasjoner av biologiske eller fysiske mengder tilsvarer periodiske løsninger av ligningssystemet (fig. 1.3, B). Uregelmessige (aperiodiske) tidsløsninger av ligninger tilsvarer støy eller kaos (Figur 1.3, B).

For noen parameterverdier er det mulig å få flere løsninger, det vil si at systemet kan være i flere stasjonære tilstander (for eksempel i to tilstander). Overgangen til et system, som et resultat av at det kan befinne seg i en av de mulige tilstandene, kalles bifurkasjon. Vanligvis er noen stater stabile, andre er ustabile. Hvis to stabile tilstander er mulig, kan systemet hoppe fra en tilstand til en annen med en liten ytre påvirkning, inkludert fluktuasjoner. Dette fenomenet kalles bistabilitet.

Som et eksempel på å konstruere en modell av en periodisk biologisk prosess, la oss vurdere Volterras matematiske modell av "rovdyr-byttedyr".

Voltaires modell

La hare og gaupe leve i et eller annet lukket område. Harer spiser plantemat, som alltid er tilgjengelig i tilstrekkelige mengder. Gauper (rovdyr) lever kun av harer (byttedyr). La oss betegne antall harer i dette området med N 1, og antall gauper med N 2. N 1 og N 2 er funksjoner av tid.

Siden matmengden for harer ikke er begrenset, kan vi anta at i fravær av rovdyr vil antallet øke over tid t i direkte forhold til antall tilgjengelige individer:

Hvor en i– proporsjonalitetskoeffisient.

Hadde det bare levd gauper i dette området, ville de dø ut på grunn av mangel på mat.

I løpet av de siste tiårene har det vært betydelig fremgang i kvantitativ (matematisk) beskrivelse funksjoner til ulike biosystemer på ulike nivåer av livsorganisering: molekylært, cellulært, organ, organisme, populasjon, biogeocenologisk (økosystem). Livet bestemmes av mange forskjellige egenskaper ved disse biosystemene og prosessene som skjer på passende nivåer av systemorganisasjon og integrert i en enkelt helhet under systemets funksjon. Modeller basert på essensielle postulater om prinsippene for systemfunksjon, som beskriver og forklarer et bredt spekter av fenomener og uttrykker kunnskap i en kompakt, formalisert form, kan omtales som biosystemteorier. Konstruksjon av matematiske modeller(teorier) om biologiske systemer ble mulig takket være eksperimentørenes eksepsjonelt intensive analytiske arbeid: morfologer, biokjemikere, fysiologer, spesialister i molekylbiologi etc. Som et resultat av dette arbeidet ble de morfofunksjonelle diagrammene til ulike celler krystallisert, innenfor hvilke ulike fysisk-kjemiske og biokjemiske prosesser skjer på en ryddig måte i rom og tid, og danner svært komplekse sammenvevninger.

Den andre svært viktige omstendigheten, som bidrar til involveringen av det matematiske apparatet i biologi, er den forsiktige eksperimentelle bestemmelsen av hastighetskonstantene til en rekke intracellulære reaksjoner som bestemmer funksjonene til cellen og det tilsvarende biosystemet. Uten kunnskap om slike konstanter er en formell matematisk beskrivelse av intracellulære prosesser umulig.

Og endelig, tredje betingelse Det som avgjorde suksessen til matematisk modellering i biologi var utviklingen av kraftige dataverktøy i form av personlige datamaskiner, superdatamaskiner og informasjonsteknologier. Dette skyldes det faktum at prosessene som kontrollerer en eller annen funksjon av celler eller organer vanligvis er mange, dekket av løkker av direkte og tilbakemelding og er derfor beskrevet komplekse systemer ikke-lineære ligninger med et stort antall ukjente. Slike ligninger kan ikke løses analytisk, men kan løses numerisk ved hjelp av en datamaskin.

Numeriske eksperimenter på modeller som er i stand til å reprodusere en bred klasse av fenomener i celler, organer og kroppen lar oss evaluere riktigheten av antakelsene som ble gjort ved konstruksjonen av modellene. Selv om eksperimentelle fakta brukes som modellpostulater, behovet for noen antakelser og forutsetninger er en viktig teoretisk komponent i modellering. Disse forutsetningene og forutsetningene er hypoteser, som kan utsettes for eksperimentell verifisering. Dermed, modeller blir kilder til hypoteser, dessuten eksperimentelt verifiserbar. Et eksperiment som tar sikte på å teste en gitt hypotese kan avkrefte eller bekrefte den og dermed bidra til å avgrense modellen.

Denne interaksjonen mellom modellering og eksperiment skjer kontinuerlig, noe som fører til en stadig dypere og mer nøyaktig forståelse av fenomenet:

• eksperimentet foredler modellen,
• den nye modellen legger frem nye hypoteser,
• eksperiment klargjør ny modell etc.

For tiden felt for matematisk modellering av levende systemer forener en rekke forskjellige og allerede etablerte tradisjonelle og mer moderne disipliner, hvis navn lyder ganske generelle, slik at det er vanskelig å strengt avgrense områdene for deres spesifikke bruk. For tiden utvikler spesialiserte bruksområder for matematisk modellering av levende systemer seg spesielt raskt - matematisk fysiologi, matematisk immunologi, matematisk epidemiologi, rettet mot å utvikle matematiske teorier og datamodeller av relevante systemer og prosesser.

Som enhver vitenskapelig disiplin har matematisk (teoretisk) biologi sitt eget fag, metoder, metoder og prosedyrer for forskning. Som gjenstand for forskning er matematiske (datamaskin)modeller av biologiske prosesser, som samtidig representerer både et forskningsobjekt og et verktøy for å studere biologiske objekter selv. I forbindelse med denne doble essensen av biomatematiske modeller, antyder de bruk av eksisterende og utvikling av nye metoder for å analysere matematiske systemer(teorier og metoder for relevante grener av matematikk) for å studere egenskapene til selve modellen som et matematisk objekt, samt bruken av modellen til å reprodusere og analysere eksperimentelle data innhentet i biologiske eksperimenter. Samtidig er et av de viktigste formålene med matematiske modeller (og teoretisk biologi generelt) evnen til å forutsi biologiske fenomener og scenarier for oppførselen til et biosystem under visse forhold og deres teoretiske begrunnelse før man utfører de tilsvarende biologiske eksperimentene.

Hovedforskningsmetoden og bruken av komplekse modeller av biologiske systemer er dataeksperiment, som krever bruk av tilstrekkelige beregningsmetoder for de tilsvarende matematiske systemene, beregningsalgoritmer, utviklings- og implementeringsteknologier dataprogrammer, lagring og behandling av datamodelleringsresultater.

Til slutt, i forbindelse med hovedmålet om å bruke biomatematiske modeller for å forstå funksjonslovene til biologiske systemer, krever alle stadier av utviklingen og bruken av matematiske modeller obligatorisk avhengighet av teori og praksis biologisk vitenskap, og først og fremst på resultatene av fullskalaforsøk.

En metode for å beskrive biologiske systemer ved bruk av et adekvat matematisk apparat. Definisjon av matematikk. apparater som tilstrekkelig gjenspeiler driften av biologiske systemer er en vanskelig oppgave knyttet til deres klassifisering. Klassifiseringen av biologiske systemer etter kompleksitet (logaritme av antall tilstander) kan utføres ved å bruke for eksempel en skala som enkle systemer Systemer med opptil tusen stater er klassifisert som komplekse - fra tusen til en million og svært komplekse - over en million stater. Sekund den viktigste egenskapen biologisk system er et mønster uttrykt av loven om sannsynlighetsfordeling av stater. I henhold til denne loven er det mulig å bestemme usikkerheten i dets arbeid i henhold til K. Shannon og en vurdering av den relative organisasjonen. Altså biol. systemer kan klassifiseres etter kompleksitet (maksimalt mangfold eller maksimal mulig usikkerhet) og relativ organisering, dvs. organisasjonsgrad (se Organisering av biologiske systemer).

Klassifikasjonsdiagram av biosystemer:

Enkle systemer;

Komplekse systemer;

Svært komplekse systemer;

Probabilistiske systemer;

Probabilistisk-deterministiske systemer;

Deterministiske systemer.

I fig. et klassifiseringsdiagram av biosystemer er vist på aksene til maksimal mulig usikkerhet som karakteriserer antall tilstander i systemet og bestemmes av logaritmen til antall tilstander, og nivået av relativ organisasjon - som karakteriserer graden av organisering av systemet. Diagrammet gir navnene på de korresponderende båndene, slik at for eksempel området under tallet 8 betyr "veldig komplekse sannsynlighetsbestemte biosystemer." Erfaring med å studere biosystemer viser at hvis , beregnet fra histogrammet av fordelingen av avvik fra den studerte indikatoren fra dens matematiske forventning, ligger i området fra 1,0 til 0,3, så kan vi vurdere at det er et deterministisk biosystem. Slike systemer inkluderer interne kontrollsystemer. organer, hovedsakelig hormonelle (humorale) kontrollsystemer. Nevron, indre organer sfærer, kan metabolske systemer i henhold til visse parametere også klassifiseres som deterministiske biosystemer. Matte. modeller av slike systemer er bygget på grunnlag av fysisk-kjemiske. forhold mellom elementer eller organer i systemet. I dette tilfellet er dynamikken til endringer i inngangs-, mellom- og utgangsindikatorer gjenstand for modellering. Dette er for eksempel biofysiske modeller av nervecellen, det kardiovaskulære systemet, blodsukkerkontrollsystemet og andre. Matte. apparatet som adekvat beskriver oppførselen til slike deterministiske biosystemer er teorien om diff. og integralligninger. Basert på matematikk. modeller av biosystemer, er det mulig, ved hjelp av metoder for automatisk kontrollteori, å lykkes med å løse differensielle problemer. diagnostikk og behandlingsoptimalisering. Feltet for modellering av deterministiske biosystemer er mest utviklet.

Hvis organiseringen av biosystemer i forhold til den studerte indikatoren (eller systemet av indikatorer) ligger i området 0,3 - 0,1, kan systemene betraktes som sannsynlighetsbestemt. Disse inkluderer interne kontrollsystemer. organer med en tydelig uttrykt komponent av nerveregulering (for eksempel pulsstyringssystemet), samt hormonelle reguleringssystemer i tilfelle av patologi. Som en tilstrekkelig matematikk. Enheten kan tjene som en representasjon av dynamikken til endringer i diff-indikatorer. ligninger med koeffisienter som overholder visse distribusjonslover. Modellering av slike biosystemer er relativt dårlig utviklet, selv om den er av betydelig interesse for medisinsk kybernetikk.

Probabilistiske biosystemer er karakterisert ved en organisasjonsverdi R som varierer fra 0,1 til 0. Disse inkluderer systemer som bestemmer interaksjonen mellom analysatorer og atferdsreaksjoner, inkludert læringsprosesser under enkle betingede reflekshandlinger og komplekse forhold mellom signaler miljø og kroppsreaksjoner. Tilstrekkelig matematikk. apparater

for modellering av slike biosystemer er teorien om deterministiske og tilfeldige automater som samhandler med deterministiske og tilfeldige miljøer, teorien om tilfeldige prosesser.

Matte. modellering av biosystemer inkluderer foreløpig statistisk bearbeiding av eksperimentelle resultater (se Biologisk forskning, matematiske metoder), studie av kompleksitet og organisering av biosystemer, valg av adekvat matematikk. modeller og definisjon numeriske verdier parametere matematikk. modeller basert på eksperimentelle data (se Biologisk kybernetikk). Det siste problemet er generelt svært vanskelig. For deterministiske biologiske systemer, hvis modeller kan representeres med lineær diff. ligninger, kan bestemmelsen av modellens beste parametere (differensialligningskoeffisient) utføres ved hjelp av nedstigningsmetoden (se Gradientmetoden) i rommet av modellparametere, estimert ved integralet av kvadratfeilen. I dette tilfellet er det nødvendig å bruke parameternedstigningsprosedyren for å minimere funksjonaliteten

der T er perioden, den karakteristiske tiden for indikatoren, y er den eksperimentelle kurven for endringer i biosystemets indikator, y er løsningen av matematikken. modeller. Hvis det er nødvendig å oppnå den beste (i betydningen integralet av kvadratfeilen) tilnærmingsmatematikk. modeller for drift av et biosystem i henhold til flere indikatorer for ulike interne tilstander i biosystemet eller for ulike egenskaper ytre påvirkninger, så er det mulig, ved å bruke nedstigningsmetoden i rommet med modellparametere, å minimere summen av delfunksjoner . Når du bruker denne prosedyren for å velge parametere, matematikk. modell, kan du øke sannsynligheten for å oppnå et enkelt sett med koeffisienter. modeller som samsvarer med vedtatt struktur. Ved hjelp av B. s. m.m. det er ønskelig å motta ikke bare kvantitative egenskaper arbeidet til biosystemer, dets elementer og egenskapene til forholdet mellom elementer, men også for å identifisere kriteriene for driften av biosystemer, for å etablere visse generelle prinsipper deres funksjon. Lit.: Glushkov V. M. Introduksjon til kybernetikk. K., 1964 [bibliogr. Med. 319-322]; Modellering i biologi og medisin, i. 1-3. K., 1965-68; Bush R., Mosteller F. Stokastiske modeller for læringsevne. Per. fra engelsk M., 1962. Yu. G. Antononov.