Et jevnt elektrostatisk felt skapes av en jevnt ladet plate. Beregning av elektriske felt ved hjelp av Ostrogradsky-Gauss-teoremet

Zhidkevich V.I. Et flys elektriske felt // Fysikk: beregningsproblemer. - 2009. - Nr. 6. - S. 19-23.

Problemer innen elektrostatikk kan deles inn i to grupper: problemer med punktladninger og problemer med ladede legemer, hvis størrelser ikke kan ignoreres.

Å løse problemer med å beregne elektriske felt og interaksjoner av punktladninger er basert på anvendelsen av Coulombs lov og forårsaker ingen spesielle vanskeligheter. Vanskeligere er det å bestemme feltstyrken og samspillet til ladede legemer av endelige størrelser: kule, sylinder, plan. Ved beregning av styrken til elektrostatiske felt av forskjellige konfigurasjoner, bør viktigheten av superposisjonsprinsippet understrekes og brukes når man vurderer felt skapt ikke bare av punktladninger, men også av ladninger fordelt over overflaten og volumet. Når man vurderer effekten av et felt på en ladning, formelen F=qE i det generelle tilfellet er det gyldig for punktladede kropper og kun i et enhetlig felt gjelder kropper av enhver størrelse og form som bærer en ladning q.

Det elektriske feltet til en kondensator er resultatet av superposisjonen av to felt skapt av hver plate.

I en flat kondensator kan en plate betraktes som en kropp med ladningq 1plassert i et elektrisk intensitetsfelt E 2, laget av en annen plate.

La oss vurdere flere problemer.

1. Det uendelige planet er ladet med overflatetetthet σ >0. Finn feltstyrken E og potensial ϕ på begge sider av planet, vurderer potensialet til planet lik null. Bygg avhengighetsgrafer E(x), ϕ (X). x-aksen vinkelrett på planet, punktet x=0 ligger på planet.

Løsning. Det elektriske feltet til et uendelig plan er jevnt og symmetrisk i forhold til planet. Hans spenning mellom intensiteten og potensialforskjellen mellom to punkter i et jevnt elektrostatisk felt uttrykkes med formelen hvor x - avstanden mellom punktene, målt langs feltlinjen. Deretter ϕ 2 = ϕ 1 -Eks. På x<0 при х>0 Avhengigheter E(x) og ϕ (x) er presentert i figur 1.

2. To planparallelle tynne plater plassert på kort avstand d fra hverandre, jevnt ladet med overflatetetthetsladningσ 1 og σ 2. Finn feltstyrkene på punkter som ligger mellom platene og på utsiden. Tegn en graf over spenningsavhengigheten E(x) og potensial ϕ (x), tellende ϕ (0)=0. Vurder tilfeller der: a)σ 1 = -σ 2; b) σ 1 = σ 2; c) σ 1 =3 σ 2 -

Løsning. Siden avstanden mellom platene er liten, kan de betraktes som uendelige plan.

Feltstyrken til et positivt ladet plan er lik og regissert fra henne; feltstyrken til det negativt ladede planet er rettet mot det.

I henhold til superposisjonsprinsippet vil feltet på et hvilket som helst tidspunkt som vurderes bli opprettet av hver av anklagene separat.

a) Feltene til to plan ladet med ladninger med likt og motsatt fortegn (flat kondensator) summerer seg i området mellom planene og kansellerer hverandre i de ytre områdene (fig. 2, EN).

På X<0 E= 0, ϕ =0; på 0 d E= 0, grafer avhengighet av spenning og potensial på avstand X er vist i figur 2, b, c.

Hvis planene er av endelige dimensjoner, vil ikke feltet mellom planene være strengt ensartet, og feltet utenfor planene vil ikke være nøyaktig null.

b) Felt av fly ladet med ladninger lik størrelse og fortegn (σ 1 = σ 2 ), kompenserer hverandre i rommet mellom planene og legger sammen i de ytre områdene (fig. 3, EN). På x<0 при 0d

Ved hjelp av grafen E(x) (Fig. 3, b), la oss konstruere en kvalitativ graf over avhengigheten ϕ (x) (fig. 3, c).

c) Hvis σ 1 = σ 2, tar vi hensyn til retningene til feltene og velger retningen til høyre som positiv, finner vi:

Avhengigheten av spenning E på avstand er vist i figur 4.

3. På en av platene til en flat kondensator med en kapasitet MED det er en kostnadq 1=+3q, og på den andre q 2 =+ q. Bestem potensialforskjellen mellom kondensatorplatene.

Løsning. 1. metode. La området til kondensatorplaten S, og avstanden mellom dem d. Feltet inne i kondensatoren er ensartet, så potensialforskjellen (spenningen) over kondensatoren kan bestemmes av formelen U=E*d, hvor E - feltstyrke inne i kondensatoren.

hvor E 1, E 2 - feltstyrke skapt av kondensatorplatene.

Deretter

2. metode. Legg til en ladning på hver tallerken Deretter kondenseres platene satora vil ha avgifter + q og -q. Feltene med identiske ladninger av platene inne i kondensatoren opphever hverandre. De tilførte ladningene endret ikke feltet mellom platene, og derfor potensialforskjellen med kondensator. U= q/C .

4. En tynn metallplate med ladning + settes inn i rommet mellom platene til en uladet flat kondensator. q. Bestem potensialforskjellen mellom kondensatorplatene.

Løsning. Siden kondensatoren ikke er ladet, skapes det elektriske feltet kun ved at platen har en ladning q (Fig. 5). Dette feltet er jevnt, symmetrisk i forhold til platen og dens intensitetLa potensialet til metallplaten være ϕ . Deretter potensialene til platene EN Og I kondensatorer vil være like ϕ- ϕ A = ϕ El 1; ϕ A = ϕ-El 1 ; ϕ- ϕ B = ϕ-El 2 ; ϕ B = ϕ-El 2 .

Potensialforskjell mellom kondensatorplaterHvis platen er i samme avstand fra platene til kondensatoren, er potensialforskjellen mellom platene null.

5. I et jevnt elektrisk intensitetsfelt E 0 en ladet metallplate er plassert vinkelrett på kraftlinjene med en ladningstetthet på overflaten av hver side av platen σ (Fig. 6). Bestem feltstyrken E" innenfor og utenfor platen og overflateladningstetthetσ 1 og σ 2 , som vil vises på venstre og høyre side av platen.

Løsning. Feltet inne i platen er null og er en superposisjon av tre felt: det ytre feltet E 0, feltet skapt av ladningene på venstre side av platen, og feltet skapt av ladningene på høyre side av platen. Derfor,hvor σ 1 og σ 2 - overflateladningstetthet på venstre og høyre side av platen, som vises etter at platen er introdusert i feltet E 0. Den totale ladningen på platen vil ikke endre seg, såσ 1 + σ 2 =2 σ, hvorfra σ 1 = σ- ε 0 E 0 , σ 2 = σ + ε 0 E 0 . Feltet utenfor platen er en superposisjon av feltet E 0 og ladede platefelt E. Til venstre for plater Høyre på tallerkenen

6. I en flat luftkondensator er feltstyrken E = 10 4 V/m. Avstand mellom platene d= 2 cm Hva vil potensialforskjellen være lik hvis en metallplate med tykkelse er plassert mellom platene parallelt med dem?d 0=0,5 cm (fig. 7)?

Løsning. Siden det elektriske feltet mellom platene er jevnt, altså U=Ed, U=200 V.

Merker du en metallplate mellom platene får du et system med to seriekoblede kondensatorer med avstand mellom platened 1 og d2. Kapasitetene til disse kondensatoreneDeres totale kapasitet

Siden kondensatoren er koblet fra strømkilden, endres ikke ladningen til kondensatoren når en metallplate legges til: q"=CU="U1; hvor er kondensatorkapasiteten sator før du legger en metallplate inn i den. Vi får:

U 1= 150 V.

7. På tallerkener EN og C, plassert parallelt på avstand d= 8 cm fra hverandre, potensialene opprettholdes ϕ 1= 60 V og ϕ 2 =- 60 V henholdsvis. En jordet plate ble plassert mellom dem D i en avstand d 1 = 2 cm fra plate A. Hvor mye har feltstyrken endret seg i avsnitt AD og CD? Bygg avhengighetsgrafer ϕ (x) og E(x).

Eksempel 1. En tynn, uendelig lang tråd lades jevnt med en lineær ladningstetthet λ . Finn den elektrostatiske feltstyrken E(r) på en vilkårlig avstand r fra tråden.

La oss lage en tegning:

Analyse:

Fordi Tråden har ingen punktladning. DI-metoden kan brukes. La oss velge et uendelig lite element av lengden på lederen dl, som vil inneholde belastningen dq=dlλ. La oss beregne feltstyrken skapt av hvert element i lederen ved et vilkårlig punkt A plassert i avstand fra tråden EN. Vektoren vil bli rettet langs den rette linjen som forbinder punktladningen til observasjonspunktet. Vi får det resulterende feltet langs normalen til tråden langs x-aksen. Det er nødvendig å finne verdien dE x: dE x =dE cosα. .

A-priory:

.

Omfanget dl, r, endres konsekvent når posisjonen til elementet endres dl. La oss uttrykke dem gjennom mengden α:

Hvor dα– uendelig økning av vinkelen α som et resultat av rotasjon av radiusvektoren i forhold til punkt A ved bevegelse langs tråden med dl. Deretter dl=r 2 dα/a. Ved flytting dl fra til punkt O endres vinkelen fra 0 0 til π/2.

Derfor .

Dimensjonssjekk: [E]=V/m=kgm/mfm=KlV/Klm=V/m;

Svar:.

Metode 2.

På grunn av den aksiale symmetrien til ladningsfordelingen er alle punkter som ligger i lik avstand fra gjengen ekvivalente og feltstyrken i dem er den samme, dvs. E(r)=const, hvor r- avstand fra observasjonspunktet til tråden. Retning E på disse punktene faller alltid sammen med retningen til normalen til tråden. Ved Gauss sin teorem; Hvor Q-ladning dekket av overflaten – S’ som fluksen beregnes gjennom, velger vi i form av en sylinder med radius a og en generatrise med en gjenge. Når vi tar i betraktning at det er normalt til sylinderens sideflate, får vi for strømmen:

Fordi E=konst.

S side = På 2π .

På den andre siden E 2πаН=Q/ε 0 ,

Hvor λН=q.

Svar:E=λ /4πε 0 EN.

Eksempel 2. Beregn spenningen til et jevnt ladet uendelig plan med overflateladningstetthet σ .

Strekklinjene er vinkelrette og rettet i begge retninger fra planet. Som en lukket overflate velger vi overflaten til en sylinder, hvis baser er parallelle med planet, og sylinderens akse er vinkelrett på planet. Fordi generatorene til sylinderen er parallelle med strekklinjene (α=0, cos α=1 ), da er fluksen til spenningsvektoren gjennom sideflaten null, og den totale fluksen gjennom en lukket sylindrisk overflate er lik summen av fluksene gjennom basen. Ladningen inne i en lukket overflate er lik σ S grunnleggende , Deretter:

FE = 2 ES main eller Ф E = = , deretter E = =

Svar: E =, er ikke avhengig av lengden på sylinderen og er den samme i absolutt verdi uansett avstand fra planet. Feltet til et jevnt ladet fly er ensartet.

Eksempel 3. Beregn feltet til to uendelig ladede plan, med henholdsvis overflatetettheter +σ og –σ.

E = E = 0; E = E + + E - = .

Svar: Den resulterende feltstyrken i området mellom planene er lik E =, og utenfor volumet begrenset av planene er den lik null.

Eksempel 4. Beregn feltstyrken til en jevnt ladet sfærisk overflate med radius med overflateladningstetthet +σ R.

Det, og,

hvis r< R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0).

Svar:.

Eksempel 5. Beregn volumetrisk ladningsintensitet med volumtetthet ρ , kuleradier R.

La oss ta en kule som en lukket overflate.

Hvis r ≥R, da = 4πr2E; E=

hvis r< R , то сфера радиусом r, dekker en ladning q" lik q"= (siden ladninger er relatert som volumer, og volumer som terninger med radier)

Så, ifølge Gauss sitt poeng

Svar:; inne i en jevnt ladet kule øker spenningen lineært med avstanden r fra sentrum, og utenfor - avtar i omvendt proporsjon r 2 .

Eksempel nr. 6. Beregn feltstyrken til en uendelig, sirkulær sylinder ladet med lineær ladningstetthet λ , radius R.

Strømmen av spenningsvektoren gjennom endene av sylinderen er 0, og gjennom sideflaten:

Fordi , eller ,

Deretter (hvis r > R)

hvis λ > 0, E > 0, er vektor Ē rettet bort fra sylinderen,

hvis λ< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру.

Hvis r< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0

Svar:(r > R); E = 0 (R>r). Det er ikke noe felt inne i en uendelig, rund sylinder som er jevnt ladet over overflaten.

Eksempel 7. Det elektriske feltet skapes av to uendelig lange parallelle plan med overflateladningsplan på 2 nC/m 2 og 4 nC/m 2. Bestem feltstyrken i region I, II, III. Lag en avhengighetsgraf Ē (r) .

Fly deler plass i 3 områder

Retningen Ē til det resulterende feltet er mot et større.

I projeksjon på r:

; «–»; ;

; «–»; ;

; «+»; .

Rute Ē (r)

Skalavalg: E 2 =2 E 1

E1 = 1; E2=2

Svar:E I = –345 V/m; EІ I = –172 V/m; E I II = 345 V/m.

Eksempel nr. 8. Ibenholt solid ball med radius R= 5 cm bærer en ladning jevnt fordelt med volumtetthet ρ =10 nC/m3. Bestem den elektriske feltstyrken ved punkter: 1) på avstand r 1 = 3 cm fra midten av kulen; 2) på overflaten av kulen; 3) på avstand r 2 = 10 cm fra midten av kulen.

Et uendelig plan ladet med en overflateladningstetthet: for å beregne den elektriske feltstyrken skapt av et uendelig plan, velger vi en sylinder i rommet, hvis akse er vinkelrett på det ladede planet, og basene er parallelle med det, og en av basene går gjennom feltet som er av interesse for oss. I følge Gauss' teorem er fluksen til den elektriske feltstyrkevektoren gjennom en lukket overflate lik:

Ф=, på den annen side er det også: Ф=E

La oss sette likhetstegn mellom høyresidene av ligningene:

La oss uttrykke = - gjennom overflateladningstettheten og finne den elektriske feltstyrken:

La oss finne den elektriske feltstyrken mellom motsatt ladede plater med samme overflatetetthet:

(3)

La oss finne feltet utenfor platene:

; ; (4)

Feltstyrken til en ladet kule

(1)

Ф= (2) Gaussisk punkt

for r< R

; , fordi (det er ingen ladninger inne i sfæren)

For r = R

( ; ; )

For r > R

Feltstyrke skapt av en ball ladet jevnt gjennom hele volumet

Volum ladningstetthet,

fordelt over ballen:

For r< R

( ; Ф= )

For r = R

For r > R

ARBEID I DET ELEKTROSTATISKE FELTET FOR Å FLYTTE EN LADNING

Elektrostatisk felt- e-post felt av en stasjonær ladning.
Fel, som handler på ladningen, flytter den og utfører arbeid.
I et jevnt elektrisk felt er Fel = qE en konstant verdi

Arbeidsfelt (el. kraft) er ikke avhengig på banens form og på en lukket bane = null.

Hvis i det elektrostatiske feltet til en punktladning Q en annen punktladning Q 0 beveger seg fra punkt 1 til punkt 2 langs en hvilken som helst bane (fig. 1), så virker kraften som påføres ladningen. Arbeidet utført av kraft F på en elementær forskyvning dl er lik Siden d l/cosα=dr, da Arbeidet ved å flytte en ladning Q 0 fra punkt 1 til punkt 2 (1) er ikke avhengig av bevegelsesbanen, men bestemmes kun av posisjonene til de første 1 og siste 2 punktene. Dette betyr at det elektrostatiske feltet til en punktladning er potensielt, og de elektrostatiske kreftene er konservative Fra formel (1) er det klart at arbeidet som gjøres når en elektrisk ladning beveger seg i et eksternt elektrostatisk felt langs en vilkårlig lukket bane L. er lik null, dvs. (2) Hvis vi tar en enkeltpunkts positiv ladning som en ladning som beveges i et elektrostatisk felt, så er det elementære arbeidet med feltkrefter langs banen dl lik Edl = E l d l, hvor E l= Ecosα - projeksjon av vektor E på retningen av elementær forskyvning. Da kan formel (2) representeres som (3) Integral kalles sirkulasjonen til spenningsvektoren. Dette betyr at sirkulasjonen til den elektrostatiske feltstyrkevektoren langs enhver lukket kontur er null. Et kraftfelt som har egenskap (3) kalles potensial. Fra det faktum at sirkulasjonen til vektor E er lik null, følger det at linjene med elektrostatisk feltstyrke ikke kan lukkes de nødvendigvis begynner og slutter på ladninger (positive eller negative) eller går til uendelig. Formel (3) er kun gyldig for det elektrostatiske feltet. Deretter vil det bli vist at i tilfelle av et felt med bevegelige ladninger, er tilstand (3) ikke sann (for den er sirkulasjonen til intensitetsvektoren ikke null).

Sirkulasjonsteorem for det elektrostatiske feltet.

Siden det elektrostatiske feltet er sentralt, er kreftene som virker på ladningen i et slikt felt konservative. Siden det representerer det elementære arbeidet som feltkrefter produserer på en enhetsladning, er arbeidet til konservative krefter på en lukket sløyfe lik

Potensiell

Systemet "ladning - elektrostatisk felt" eller "ladning - ladning" har potensiell energi, akkurat som "gravitasjonsfelt - kropp"-systemet har potensiell energi.

En fysisk skalar størrelse som karakteriserer energitilstanden til feltet kalles potensiell et gitt punkt i feltet. En ladning q er plassert i et felt, den har potensiell energi W. Potensial er en karakteristikk av et elektrostatisk felt.

La oss huske potensiell energi i mekanikk. Potensiell energi er null når kroppen er på bakken. Og når en kropp heves til en viss høyde, sies det at kroppen har potensiell energi.

Når det gjelder potensiell energi i elektrisitet, er det ikke noe nullnivå av potensiell energi. Det er valgt tilfeldig. Derfor er potensial en relativ fysisk størrelse.

Potensiell feltenergi er arbeidet som utføres av den elektrostatiske kraften når en ladning flyttes fra et gitt punkt i feltet til et punkt med null potensial.

La oss vurdere det spesielle tilfellet når et elektrostatisk felt skapes av en elektrisk ladning Q. For å studere potensialet til et slikt felt er det ikke nødvendig å introdusere en ladning q i det. Du kan beregne potensialet til ethvert punkt i et slikt felt som ligger i en avstand r fra ladningen Q.

Mediets dielektriske konstant har en kjent verdi (tabell) og karakteriserer mediet som feltet eksisterer i. For luft er det lik enhet.

Potensiell forskjell

Arbeidet et felt gjør for å flytte en ladning fra ett punkt til et annet kalles potensialforskjell

Denne formelen kan presenteres i en annen form

Superposisjonsprinsipp

Potensialet til et felt skapt av flere ladninger er lik den algebraiske summen av potensialene til feltene i hvert felt separat (med tanke på potensialets fortegn)

Dette er energien til et system av stasjonære punktladninger, energien til en enslig ladet leder og energien til en ladet kondensator.

Hvis det er et system med to ladede ledere (kondensator), er den totale energien til systemet lik summen av de egne potensielle energiene til lederne og energien til deres interaksjon:

Elektrostatisk feltenergi system av punktavgifter er lik:

Jevnt ladet fly.
Den elektriske feltstyrken skapt av et uendelig plan ladet med en overflateladningstetthet kan beregnes ved å bruke Gauss' teorem.

Av symmetriforholdene følger det at vektoren E overalt vinkelrett på planet. I tillegg, på punkter symmetriske i forhold til planet, vektoren E vil være den samme i størrelse og motsatt i retning.
Som en lukket overflate velger vi en sylinder hvis akse er vinkelrett på planet, og hvis baser er plassert symmetrisk i forhold til planet, som vist på figuren.
Siden strekklinjene er parallelle med generatrisene til sideflaten til sylinderen, er strømmen gjennom sideflaten null. Derfor vektorstrømmen E gjennom overflaten av sylinderen

,

hvor er arealet av bunnen av sylinderen. Sylinderen kutter en ladning ut av flyet. Hvis planet er i et homogent isotropisk medium med relativ dielektrisk konstant, da

Når feltstyrken ikke er avhengig av avstanden mellom flyene, kalles et slikt felt uniform. Avhengighetsgraf E (x) for et fly.

Potensiell forskjell mellom to punkter plassert på avstand R 1 og R 2 fra det ladede planet er lik

Eksempel 2. To jevnt ladede plan.
La oss beregne den elektriske feltstyrken skapt av to uendelige plan. Den elektriske ladningen er jevnt fordelt med overflatetettheter og . Vi finner feltstyrken som en superposisjon av feltstyrkene til hvert av flyene. Det elektriske feltet er ikke null bare i rommet mellom planene og er lik .

Potensiell forskjell mellom fly , Hvor d- avstand mellom flyene.
De oppnådde resultatene kan brukes til en omtrentlig beregning av feltene som skapes av flate plater med endelige dimensjoner hvis avstandene mellom dem er mye mindre enn deres lineære dimensjoner. Merkbare feil i slike beregninger vises når man vurderer felt nær kantene på platene. Avhengighetsgraf E (x) for to fly.

Eksempel 3. Tynn ladet stang.
For å beregne den elektriske feltstyrken som skapes av en veldig lang stang ladet med en lineær ladningstetthet, bruker vi Gauss' teorem.
Ved tilstrekkelig store avstander fra endene av stangen, er de elektriske feltintensitetslinjene rettet radialt fra stangens akse og ligger i plan vinkelrett på denne aksen. På alle punkter like langt fra stangens akse, er de numeriske verdiene for spenningen de samme hvis stangen er i et homogent isotropt medium med et relativt dielektrisk
permeabilitet

For å beregne feltstyrken på et vilkårlig punkt plassert på avstand r fra stangens akse, trekk en sylindrisk overflate gjennom dette punktet
(se bilde). Radien til denne sylinderen er r, og dens høyde h.
Strømmene til spenningsvektoren gjennom den øvre og nedre basen av sylinderen vil være lik null, siden kraftlinjene ikke har komponenter normalt til overflatene til disse basene. På alle punkter på sylinderens sideflate
E= konst.
Derfor er den totale flyten av vektoren E gjennom overflaten av sylinderen vil være lik

,

I følge Gauss sin teorem, fluksen til vektoren E lik den algebraiske summen av de elektriske ladningene plassert inne i overflaten (i dette tilfellet en sylinder) delt på produktet av den elektriske konstanten og den relative dielektriske konstanten til mediet

hvor er ladningen til den delen av stangen som er inne i sylinderen. Derfor er den elektriske feltstyrken

Elektrisk feltpotensialforskjell mellom to punkter plassert i avstander R 1 og R 2 fra stangens akse finner vi å bruke forholdet mellom intensiteten og potensialet til det elektriske feltet. Siden feltstyrken endres kun i radiell retning, altså

Eksempel 4. Ladet sfærisk overflate.
Det elektriske feltet som skapes av en sfærisk overflate som en elektrisk ladning med overflatetetthet er jevnt fordelt over, har en sentralt symmetrisk karakter.

Spenningslinjene er rettet langs radier fra midten av kulen, og størrelsen på vektoren E avhenger kun av avstanden r fra midten av sfæren. For å beregne feltet velger vi en lukket sfærisk overflate med radius r.
Når r o E = 0.
Feltstyrken er null, siden det ikke er noen ladning inne i kulen.
For r > R (utenfor sfæren), ifølge Gauss teorem

,

hvor er den relative dielektriske konstanten til mediet som omgir sfæren.

.

Intensiteten avtar etter samme lov som feltstyrken til en punktladning, dvs. etter loven.
Når r o .
For r > R (utenfor sfæren) .
Avhengighetsgraf E (r) for en kule.

Eksempel 5. En volumladet dielektrisk kule.
Hvis ballen har radius R laget av et homogent isotropisk dielektrikum med relativ permeabilitet lades jevnt over hele volumet med tetthet, da er det elektriske feltet det skaper også sentralt symmetrisk.
Som i forrige tilfelle velger vi en lukket overflate for å beregne vektorfluksen E i form av en konsentrisk kule, hvis radius r kan variere fra 0 til .
På r < R vektor flyt E gjennom denne overflaten vil bli bestemt av ladningen

Så

På r < R(inne i ballen) .
Inne i ballen øker spenningen i direkte forhold til avstanden fra midten av ballen. Utenfor ballen (kl r > R) i et medium med dielektrisk konstant, fluksvektor E gjennom overflaten vil bli bestemt av ladningen.
Når r o > R o (utenfor ballen) .
Ved grensen "ball - miljø" endres den elektriske feltstyrken brått, hvis størrelse avhenger av forholdet mellom de dielektriske konstantene til ballen og miljøet. Avhengighetsgraf E (r) for ball ().

Utenfor ballen ( r > R) det elektriske feltpotensialet endres i henhold til loven

.

Inne i ballen ( r < R) potensialet er beskrevet av uttrykket

Avslutningsvis presenterer vi uttrykk for å beregne feltstyrkene til ladede legemer av ulike former

Potensiell forskjell
Spenning- forskjellen i potensielle verdier ved de innledende og siste punktene av banen. Spenning er numerisk lik arbeidet til det elektrostatiske feltet når en enhets positiv ladning beveger seg langs kraftlinjene til dette feltet. Potensialforskjellen (spenningen) er uavhengig av valget koordinatsystemer!
Enhet for potensialforskjell Spenningen er 1 V hvis feltet utfører 1 J arbeid ved bevegelse av en positiv ladning på 1 C langs kraftlinjene.

Dirigent- Dette er et fast legeme der det er "frie elektroner" som beveger seg i kroppen.

Metallledere er generelt nøytrale: de inneholder like mengder negative og positive ladninger. Positivt ladede er ioner i nodene til krystallgitteret, negative er elektroner som beveger seg fritt langs lederen. Når en leder får en overflødig mengde elektroner, blir den ladet negativt, men hvis et visst antall elektroner "tas" fra lederen, blir den ladet positivt.

Den overskytende ladningen fordeles kun over den ytre overflaten av lederen.

1 . Feltstyrken på ethvert punkt inne i lederen er null.

2 . Vektoren på overflaten av lederen er rettet normalt til hvert punkt på overflaten av lederen.

Fra det faktum at overflaten til lederen er ekvipotensial, følger det at direkte på denne overflaten er feltet rettet normalt til den i hvert punkt (tilstand 2 ). Hvis dette ikke var tilfelle, ville ladningene under påvirkning av den tangentielle komponenten begynne å bevege seg langs lederens overflate. de. likevekt av ladninger på en leder ville være umulig.

Fra 1 det følger at siden

Det er ingen ekstra ladninger inne i lederen.

Ladninger fordeles kun på overflaten av lederen med en viss tetthet s og er plassert i et veldig tynt overflatelag (tykkelsen er omtrent en eller to interatomære avstander).

Ladningstetthet- dette er mengden ladning per lengdeenhet, areal eller volum, og bestemmer dermed de lineære, overflate- og volumetriske ladningstetthetene, som måles i SI-systemet: i Coulombs per meter [C/m], i Coulombs per kvadratmeter [ C/m² ] og i Coulombs per kubikkmeter [C/m³], henholdsvis. I motsetning til materiens tetthet kan ladningstetthet ha både positive og negative verdier, dette skyldes at det finnes positive og negative ladninger.

Generelt problem med elektrostatikk

Spenningsvektor,

ved Gauss sin teorem

- Poissons ligning.

I tilfelle hvor det ikke er ladninger mellom konduktørene får vi

- Laplaces ligning.

La grenseforholdene på overflatene til lederne være kjent: verdier ; så har dette problemet en unik løsning iht unikhetsteorem.

Ved løsning av oppgaven bestemmes verdien og deretter bestemmes feltet mellom lederne av fordelingen av ladninger på lederne (i henhold til spenningsvektoren ved overflaten).

La oss se på et eksempel. La oss finne spenningen i det tomme hulrommet til lederen.

Potensialet i hulrommet tilfredsstiller Laplaces ligning;

potensial på veggene til lederen.

Løsningen til Laplaces ligning i dette tilfellet er triviell, og ved unikhetsteoremet er det ingen andre løsninger

, dvs. det er ikke noe felt i lederhulen.

Poissons ligning er en elliptisk partiell differensialligning som blant annet beskriver

· elektrostatisk felt,

· stasjonært temperaturfelt,

· trykkfelt,

· hastighetspotensialfelt i hydrodynamikk.

Den er oppkalt etter den berømte franske fysikeren og matematikeren Simeon Denis Poisson.

Denne ligningen ser slik ut:

hvor er Laplace-operatøren eller Laplace-operatoren, og er en reell eller kompleks funksjon på en manifold.

I et tredimensjonalt kartesisk koordinatsystem har ligningen formen:

I det kartesiske koordinatsystemet er Laplace-operatoren skrevet på formen og Poisson-ligningen har formen:

Hvis f har en tendens til null, så blir Poisson-ligningen til Laplace-ligningen (Laplace-ligningen er et spesialtilfelle av Poisson-ligningen):

Poissons ligning kan løses ved å bruke den grønne funksjonen; se for eksempel artikkelen Screened Poissons equation. Det finnes ulike metoder for å få numeriske løsninger. For eksempel brukes en iterativ algoritme - "avslapningsmetoden".

Vi vil vurdere en enslig leder, det vil si en leder som er vesentlig fjernet fra andre ledere, kropper og ladninger. Potensialet er som kjent direkte proporsjonalt med ladningen til lederen. Det er erfaringsmessig kjent at forskjellige ledere, selv om de er likt ladede, har forskjellige potensialer. Derfor, for en solitær leder kan vi skrive Mengde (1) kalles den elektriske kapasiteten (eller ganske enkelt kapasitansen) til en solitær leder. Kapasitansen til en isolert leder bestemmes av ladningen, hvis kommunikasjon til lederen endrer potensialet med en. Kapasitansen til en enslig leder avhenger av dens størrelse og form, men avhenger ikke av materialet, formen og størrelsen på hulrommene inne i lederen, samt dens aggregeringstilstand. Grunnen til dette er at overskuddsladninger fordeles på lederens ytre overflate. Kapasitans avhenger heller ikke av ladningen til lederen eller dens potensial. Enheten for elektrisk kapasitet er farad (F): 1 F er kapasiteten til en slik isolert leder, hvis potensial endres med 1 V når en ladning på 1 C blir gitt til den. I henhold til formelen for potensialet til en punktladning, er potensialet til en enslig kule med radius R, som befinner seg i et homogent medium med dielektrisk konstant ε, lik Ved å bruke formel (1), får vi at kapasiteten til ball (2) Av dette følger det at en enslig ball vil ha en kapasitet på 1 F, plassert i et vakuum og ha en radius R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km, som er omtrent 1400 ganger større enn jordens radius (elektrisk kapasitet til jorden C≈0,7 mF). Følgelig er en farad en ganske stor verdi, så i praksis brukes submultiple enheter - millifarad (mF), mikrofarad (μF), nanofarad (nF), picofarad (pF). Av formel (2) følger det også at enheten for den elektriske konstanten ε 0 er farad per meter (F/m) (se (78.3)).

Kondensator(fra lat. kondensere- "kompakt", "tykk") - et to-terminalt nettverk med en viss kapasitansverdi og lav ohmsk ledningsevne; en enhet for å samle ladning og energi til et elektrisk felt. En kondensator er en passiv elektronisk komponent. Består vanligvis av to plateformede elektroder (kalt foringer), atskilt av et dielektrikum hvis tykkelse er liten sammenlignet med størrelsen på platene.

Kapasitet

Hovedkarakteristikken til en kondensator er dens kapasitet, som karakteriserer kondensatorens evne til å akkumulere elektrisk ladning. Betegnelsen på en kondensator indikerer verdien av den nominelle kapasitansen, mens den faktiske kapasitansen kan variere betydelig avhengig av mange faktorer. Den faktiske kapasitansen til en kondensator bestemmer dens elektriske egenskaper. Således, i henhold til definisjonen av kapasitans, er ladningen på platen proporsjonal med spenningen mellom platene ( q = CU). Typiske kapasitansverdier varierer fra enheter av picofarads til tusenvis av mikrofarads. Imidlertid finnes det kondensatorer (ionistorer) med en kapasitet på opptil titalls farad.

Kapasitansen til en parallellplatekondensator som består av to parallelle metallplater med et areal S hver plassert på avstand d fra hverandre, i SI-systemet uttrykkes ved formelen: , hvor er den relative dielektriske konstanten til mediet som fyller rommet mellom platene (i et vakuum lik enhet), er den elektriske konstanten, numerisk lik 8,854187817·10 −12 F/m. Denne formelen er kun gyldig når d mye mindre enn de lineære dimensjonene til platene.

For å oppnå store kapasiteter kobles kondensatorer parallelt. I dette tilfellet er spenningen mellom platene til alle kondensatorer den samme. Total batterikapasitet parallell av tilkoblede kondensatorer er lik summen av kapasitansene til alle kondensatorer som er inkludert i batteriet.

Hvis alle parallellkoblede kondensatorer har samme avstand mellom platene og de dielektriske egenskapene, kan disse kondensatorene representeres som én stor kondensator, delt inn i fragmenter av et mindre område.

Når kondensatorer er koblet i serie, er ladningene til alle kondensatorene de samme, siden de bare tilføres fra strømkilden til de eksterne elektrodene, og på de interne elektrodene oppnås de bare på grunn av separasjonen av ladninger som tidligere nøytraliserte hverandre . Total batterikapasitet sekvensielt tilkoblede kondensatorer er lik

Eller

Denne kapasiteten er alltid mindre enn minimumskapasiteten til kondensatoren som er inkludert i batteriet. Men med en seriekobling reduseres muligheten for sammenbrudd av kondensatorer, siden hver kondensator kun står for en del av spenningskildens potensialforskjell.

Hvis arealet av platene til alle kondensatorer koblet i serie er det samme, kan disse kondensatorene representeres som en stor kondensator, mellom platene som det er en stabel med dielektriske plater av alle kondensatorene som utgjør den.

[rediger] Spesifikk kapasitet

Kondensatorer er også preget av spesifikk kapasitans - forholdet mellom kapasitans og volumet (eller massen) av dielektrikumet. Den maksimale verdien av spesifikk kapasitans oppnås med en minimumstykkelse på dielektrikumet, men samtidig synker dens sammenbruddsspenning.

Ulike typer elektriske kretser brukes metoder for tilkobling av kondensatorer. Tilkobling av kondensatorer kan produseres: sekvensielt, parallell Og serieparallell(sistnevnte kalles noen ganger en blandet tilkobling av kondensatorer). Eksisterende typer kondensatortilkoblinger er vist i figur 1.

Figur 1. Metoder for tilkobling av kondensatorer.

8. Et elektrostatisk felt skapes av et jevnt ladet uendelig plan. Vis at dette feltet er homogent.

La overflateladningstettheten være s. Det er åpenbart at vektor E bare kan være vinkelrett på det ladede planet. I tillegg er det åpenbart at ved punkter som er symmetriske i forhold til dette planet, er vektoren E den samme i størrelse og motsatt i retning. Denne feltkonfigurasjonen tilsier at en rett sylinder bør velges som en lukket overflate, hvor det antas at s er større enn null. Strømmen gjennom sideflaten til denne sylinderen er null, og derfor vil den totale strømmen gjennom hele overflaten av sylinderen være lik 2*E*DS, hvor DS er arealet av hver ende. I følge Gauss sin teorem

hvor s*DS er ladningen inne i sylinderen.

Mer presist bør dette uttrykket skrives som følger:

hvor En er projeksjonen av vektor E på normalen n til det ladede planet, og vektor n er rettet fra dette planet.

Det at E er uavhengig av avstanden til planet betyr at det tilsvarende elektriske feltet er jevnt.

9. En kvart sirkel med en radius på 56 cm er laget av kobbertråd En ladning med en lineær tetthet på 0,36 nC/m er jevnt fordelt langs ledningen. Finn potensialet i sentrum av sirkelen.

Siden ladningen er lineært fordelt langs ledningen, for å finne potensialet i sentrum, bruker vi formelen:

Der s er den lineære ladningstettheten, er dL trådelementet.

10. I et elektrisk felt skapt av en punktladning Q, beveger en negativ ladning -q seg langs en kraftlinje fra et punkt som ligger i en avstand r 1 fra ladningen Q til et punkt som ligger i en avstand r 2 . Finn økningen i potensiell energi til ladningen -q på denne forskyvningen.

Per definisjon er potensial en mengde numerisk lik den potensielle energien til en enhets positiv ladning ved et gitt punkt i feltet. Derfor er den potensielle energien til ladningen q 2:

11. To like elementer med emf. 1,2 V og en indre motstand på 0,5 Ohm er koblet parallelt. Det resulterende batteriet er lukket til en ekstern motstand på 3,5 ohm. Finn strømmen i den eksterne kretsen.

I henhold til Ohms lov for hele kretsen er strømstyrken i den eksterne kretsen:

Der E` er emk til batteriet av elementer,

r` er den indre motstanden til batteriet, som er lik:

Batteriets emk er lik summen av emk av tre seriekoblede elementer:

Derfor:

12 En elektrisk krets inneholder kobber- og ståltråder med lik lengde og diameter i serie. Finn forholdet mellom mengdene varme som frigjøres i disse ledningene.

Tenk på en ledning med lengde L og diameter d, laget av et materiale med resistivitet p. Trådmotstanden R kan bli funnet ved å bruke formelen

Hvor s= er tverrsnittsarealet til ledningen. Ved strømstyrke I, i løpet av tiden t, frigjøres mengden varme Q i lederen:

I dette tilfellet er spenningsfallet over ledningen lik:

Kobberresistivitet:

p1=0,017 μOhm*m=1,7*10 -8 Ohm*m

stålresistivitet:

p2=10 -7 Ohm*m

siden ledningene er koblet i serie, er strømstyrken i dem de samme og i løpet av tiden t frigjøres varmemengdene Q1 og Q2 i dem:

12. Det er en sirkulær spole med strøm i et jevnt magnetfelt. Spolens plan er vinkelrett på feltlinjene. Bevis at de resulterende kreftene som virker på kretsen fra magnetfeltet er null.

Siden den sirkulære spolen med strøm er i et jevnt magnetfelt, påvirkes den av Ampere-kraften. I samsvar med formelen dF=I bestemmes den resulterende amperekraften som virker på en strømførende spole av:

Der integrasjon utføres langs en gitt kontur med strøm I. Siden magnetfeltet er uniformt kan vektor B tas ut under integralet og oppgaven reduseres til å beregne vektorintegralet. Dette integralet representerer en lukket kjede av elementære vektorer dL, så det er lik null. Dette betyr F=0, det vil si at den resulterende amperekraften er null i et jevnt magnetfelt.

13. En kort spole som inneholder 90 vindinger med en diameter på 3 cm fører en strøm. Styrken til magnetfeltet som skapes av strømmen på spolens akse i en avstand på 3 cm fra den er 40 A/m. Bestem strømmen i spolen.

Tatt i betraktning at magnetisk induksjon ved punkt A er en superposisjon av magnetiske induksjoner skapt av hver omdreining av spolen separat:

For å finne B-svingen bruker vi Biot-Savart-Laplace-loven.

Hvor, dBturn er den magnetiske induksjonen av feltet skapt av det nåværende elementet IDL i punktet bestemt av radiusvektoren r. La oss velge elementet dL på slutten og tegne radiusvektoren r fra det til punkt A. Vi vil dirigere dBturn-vektoren i samsvar med gimlet-regelen.

I henhold til superposisjonsprinsippet:

Der integrasjon utføres over alle elementer i dLturn. La oss dekomponere dBturn i to komponenter dBturn(II) - parallelt med ringens plan og dBturn(I) - vinkelrett på ringens plan. Deretter

Merker det av hensyn til symmetri og at vektorene dBturn(I) er codirectional, erstatter vi vektorintegrasjonen med en skalar:

Hvor dBturn(I) =dBturn*cosb og

Siden dl er vinkelrett på r

La oss redusere med 2p og erstatte cosb med R/r1

La oss uttrykke I herfra, vel vitende om at R=D/2

i henhold til formelen som forbinder magnetisk induksjon og magnetisk feltstyrke:

så ifølge Pythagoras teorem fra tegningen:

14. Et elektron flyr inn i et jevnt magnetfelt i en retning vinkelrett på kraftlinjene med en hastighet på 10۰10 6 m/s og beveger seg langs en sirkelbue med en radius på 2,1 cm Finn magnetfeltinduksjonen.

Et elektron som beveger seg i et jevnt magnetfelt vil bli påvirket av en Lorentz-kraft vinkelrett på elektronets hastighet og derfor rettet mot sentrum av sirkelen:

Siden vinkelen mellom v og I er 90 0:

Siden kraften Fl er rettet mot sentrum av sirkelen, og elektronet beveger seg rundt sirkelen under påvirkning av denne kraften, så

La oss uttrykke den magnetiske induksjonen:

15. En firkantet ramme med en side på 12 cm, laget av kobbertråd, er plassert i et magnetfelt, hvis magnetiske induksjon varierer i henhold til loven B = B 0 · Sin (ωt), hvor B 0 = 0,01 T , ω = 2 · π/T og T=0,02 s. Rammens plan er vinkelrett på retningen til magnetfeltet. Finn den største emf-verdien. induksjon som skjer i rammen.

Arealet av den firkantede rammen S=a 2. Endring i magnetisk fluks dj, når planet til rammen er vinkelrett dj=SdB

Den induserte emk bestemmes

E vil være maksimum ved cos(wt)=1