Løsning av noen matematiske problemer innebærer å finne kryss og forening tallsett. I artikkelen nedenfor vil vi vurdere disse handlingene i detalj, inkludert spesifikke eksempler. Den ervervede ferdigheten vil være anvendelig for å løse ulikheter med én variabel og ulikhetssystemer.

De enkleste tilfellene

Når vi snakker om de enkleste tilfellene i emnet som vurderes, mener vi å finne skjæringspunktet og foreningen av numeriske sett, som er et sett med individuelle tall. I slike tilfeller vil det være tilstrekkelig å bruke definisjonen av kryss og forening av sett.

Definisjon 1

Forening av to sett er et sett der hvert element er et element i et av de originale settene.

Kryss av sett er et sett som består av alle felles elementer originale sett.

Fra disse definisjonene følger logisk følgende regler:

For å danne en forening av to numeriske sett med et endelig antall elementer, er det nødvendig å skrive ned alle elementene i ett sett og legge til de manglende elementene fra det andre settet;

For å lage skjæringspunktet mellom to numeriske sett, er det nødvendig å sjekke elementene i det første settet en etter en for å se om de tilhører det andre settet. De av dem som viser seg å tilhøre begge settene vil utgjøre krysset.

Settet oppnådd i henhold til den første regelen vil inkludere alle elementer som tilhører minst ett av originalsettene, dvs. vil bli foreningen av disse settene per definisjon.

Settet oppnådd i henhold til den andre regelen vil inkludere alle de vanlige elementene i originalsettene, dvs. vil bli skjæringspunktet mellom de originale settene.

La oss vurdere bruken av de resulterende reglene ved å bruke praktiske eksempler.

Eksempel 1

Startdata: numeriske sett A = (3, 5, 7, 12) og B = (2, 5, 8, 11, 12, 13). Det er nødvendig å finne foreningen og skjæringspunktet mellom de originale settene.

Løsning

1. La oss definere foreningen av de originale settene. La oss skrive ned alle elementene, for eksempel i sett A: 3, 5, 7, 12. La oss legge til de manglende elementene i sett B: 2, 8, 11 og 13. Til syvende og sist har vi et numerisk sett: (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13). La oss bestille elementene i det resulterende settet og få ønsket forening: A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).
2. La oss definere skjæringspunktet mellom de originale settene. I henhold til regelen vil vi gå gjennom alle elementene i det første settet A én etter én og sjekke om de er inkludert i settet B. La oss vurdere det første elementet - tallet 3: det tilhører ikke settet B, noe som betyr at det ikke vil være et element i det ønskede skjæringspunktet. La oss sjekke det andre elementet i settet A, dvs. nummer 5: det tilhører settet B, noe som betyr at det vil bli det første elementet i ønsket kryss. Det tredje elementet i sett A er tallet 7. Det er ikke et element i settet B, og er derfor ikke et skjæringselement. Tenk på det siste elementet i sett A: tallet 1. Den tilhører også settet B, og vil følgelig bli et av skjæringselementene. Dermed er skjæringspunktet mellom de originale settene et sett som består av to elementer: 5 og 12, dvs. A ∩ B = (5, 12).

Svar: forening av de originale settene – A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13); skjæringspunktet mellom de originale settene - A ∩ B = (5, 12).

Alt det ovennevnte gjelder for arbeid med to sett. Når det gjelder å finne skjæringspunktet og foreningen av tre eller flere sett, kan løsningen på dette problemet reduseres til sekvensielt å finne skjæringspunktet og foreningen av to sett. For eksempel, for å bestemme skjæringspunktet mellom tre sett A, B og C, er det mulig å først bestemme skjæringspunktet mellom A og B, og deretter finne skjæringspunktet mellom det resulterende resultatet med settet C. Ved å bruke et eksempel ser det slik ut: la de numeriske settene gis: A = (3, 9, 4, 3, 5, 21), B = (2, 7, 9, 21) og C = (7, 9 , 1, 3). Skjæringspunktet mellom de to første settene vil være: A ∩ B = (9, 21), og skjæringspunktet mellom det resulterende settet med settet A ∩ B = (9, 21). Som et resultat: A ∩ B ∩ C = ( 9 ) .

Men i praksis, for å finne foreningen og skjæringspunktet mellom tre eller flere enkle numeriske sett som består av et endelig antall individuelle tall, er det mer praktisk å bruke regler som ligner på de som er angitt ovenfor.

Det vil si, for å finne en forening av tre eller flere sett av den angitte typen, er det nødvendig å legge til de manglende elementene i det andre settet til elementene i det første settet, deretter det tredje, etc. For avklaring, la oss ta numeriske sett: A = (1, 2), B = (2, 3), C = (1, 3, 4, 5). Tallet 3 fra sett B vil bli lagt til elementene i det første settet A, og deretter de manglende tallene 4 og 5 fra sett C. Dermed blir foreningen av de originale settene: A ∪ B ∪ C = (1, 2, 3, 4, 5).

Når det gjelder å løse problemet med å finne skjæringspunktet mellom tre eller flere numeriske sett som består av et endelig antall individuelle tall, er det nødvendig å gå gjennom tallene til det første settet ett etter ett og trinn for trinn sjekke om det aktuelle tallet tilhører hvert av de gjenværende settene. For avklaring, vurder tallsett:

A = (3, 1, 7, 12, 5, 2) B = (1, 0, 2, 12) C = (7, 11, 2, 1, 6) D = (1, 7, 15, 8, 2, 6).

La oss finne skjæringspunktet mellom de originale settene. Det er klart at sett B har færrest elementer, så det er disse vi vil sjekke for å finne ut om de er inkludert i de resterende settene. Nummer 1 av sett B er et element av andre sett, og er derfor det første elementet i det ønskede skjæringspunktet. Det andre tallet i sett B - nummer 0 - er ikke et element i sett A, og vil derfor ikke bli et skjæringselement. Vi fortsetter å sjekke: nummer 2 i sett B er et element i andre sett og blir en annen del av skjæringspunktet. Til slutt er det siste elementet i sett B - tallet 12 - ikke et element i sett D og er ikke et skjæringselement. Dermed får vi: A ∩ B ∩ C ∩ D = ( 1 , 2 ) .

Koordinatlinjen og tallintervallene som en forening av delene deres

La oss markere et vilkårlig punkt på koordinatlinjen, for eksempel med koordinater - 5, 4. Spesifisert punkt vil dele koordinatlinjen i to numeriske intervaller - to åpne stråler (-∞, -5,4) og (-5,4, +∞) og selve punktet. Det er lett å se at, i samsvar med definisjonen av en forening av mengder, vil ethvert reelt tall tilhøre foreningen (- ∞, - 5, 4) ∪ (- 5, 4) ∪ (- 5, 4, + ∞). De. settet med alle reelle tall R = (- ∞ ; + ∞) kan representeres i form av foreningen oppnådd ovenfor. Motsatt vil den resulterende foreningen være settet av alle reelle tall.

Merk at det er mulig å feste et gitt punkt til hvilken som helst av de åpne strålene, da blir det enkelt numerisk stråle(- ∞ , - 5 , 4 ] eller [ - 5 , 4 , + ∞ ) . I dette tilfellet vil settet R bli beskrevet av følgende foreninger: (- ∞ , - 5 , 4 ] ∪ (- 5 , 4 , + ∞) eller (- ∞ , - 5 , 4) ∪ [ - 5 , 4 , + ∞). .

Lignende resonnement er gyldig ikke bare med hensyn til et punkt på en koordinatlinje, men også med hensyn til et punkt på et hvilket som helst numerisk intervall. Det vil si at hvis vi tar et hvilket som helst internt punkt av et hvilket som helst vilkårlig intervall, kan det representeres som en forening av delene oppnådd etter deling gitt poeng, og selve poenget. For eksempel er det gitt et halvintervall (7, 32] og et punkt 13 som hører til dette numeriske intervallet. Da kan det gitte halvintervallet representeres som en forening (7, 13) ∪ (13) ∪ (13, 32) ] og omvendt Vi kan inkludere tallet 13 i alle intervallene og deretter kan det gitte settet (7 , 32 ] representeres som (7 , 13 ] ∪ (13 , 32 ] eller (7 , 13 ] ∪ (13). , 32 ] . Vi kan heller ikke ta det indre punktet til et gitt halvintervall, og dets slutt (punktet med koordinat 32), da kan det gitte halvintervallet representeres som foreningen av intervallet (7, 32) og et sett med ett element (32) Altså: (7, 32] = (7, . 32) ∪ ( 32 ) .

Et annet alternativ: når ikke ett, men flere punkter tas på en koordinatlinje eller et numerisk intervall. Disse punktene vil dele koordinatlinjen eller det numeriske intervallet i flere numeriske intervaller, og foreningen av disse intervallene vil danne de originale settene. For eksempel er punkter på koordinatlinjen gitt med koordinater - 6, 0, 8, som vil dele den inn i intervaller: (- ∞, - 6), (- 6, 0), (0, 8), (8, + ∞). I dette tilfellet kan settet med alle reelle tall, hvis utførelse er koordinatlinjen, representeres som en kombinasjon av de resulterende intervallene og de angitte tallene:

(- ∞ , - 6) ∪ { - 6 } ∪ (- 6 , 0) ∪ { 0 } ∪ (0 , 8) ∪ { 8 } ∪ (8 , + ∞) .

Temaet for å finne skjæringspunktet og foreningen av sett kan tydelig forstås hvis du bruker bilder av gitte sett på en koordinatlinje (med mindre vi snakker om de enkleste tilfellene som er diskutert helt i begynnelsen av artikkelen).

Vi vil se på en generell tilnærming som lar oss bestemme resultatet av skjæringspunktet og foreningen av to tallsett. La oss beskrive tilnærmingen i form av en algoritme. Vi vil vurdere trinnene gradvis, hver gang sitere neste trinn for å løse et spesifikt eksempel.

Eksempel 2

Startdata: gitt numeriske sett A = (7, + ∞) og B = [ - 3, + ∞). Det er nødvendig å finne skjæringspunktet og foreningen av disse settene.

Løsning

1. La oss skildre de gitte numeriske settene på koordinatlinjer. De må plasseres over hverandre. For enkelhets skyld er det generelt akseptert at opprinnelsespunktene til de gitte settene sammenfaller, og plasseringen av punktene i forhold til hverandre forblir bevart: ethvert punkt med en større koordinat ligger til høyre for punktet med en mindre koordinat. Dessuten, hvis vi er interessert i foreningen av sett, så kombineres koordinatlinjene til venstre av den firkantede parentesen til settet; hvis du er interessert i veikryss, bruk systemets krøllete klammeparentes.

I vårt eksempel, for å skrive skjæringspunktet og foreningen av numeriske sett har vi: og

La oss tegne en annen koordinatlinje, og plassere den under de eksisterende. Det vil være nødvendig å vise ønsket kryss eller union. På denne koordinatlinjen er alle grensepunktene til de opprinnelige numeriske settene merket: først med bindestreker, og senere, etter å ha avklart arten av punktene med disse koordinatene, vil strekene bli erstattet av punkterte eller ikke-punkterte punkter. I vårt eksempel er dette punkter med koordinater - 3 og 7.

Og

Punktene som er avbildet på den nedre koordinatlinjen i forrige trinn i algoritmen gjør det mulig å betrakte koordinatlinjen som et sett med numeriske intervaller og punkter (vi snakket om dette ovenfor). I vårt eksempel representerer vi koordinatlinjen som et sett med fem numeriske sett: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 7), (7), (7, + ∞).

Nå må du sjekke en etter en om hvert av de innspilte settene tilhører ønsket kryss eller union. De resulterende konklusjonene er markert i etapper på den nedre koordinatlinjen: når gapet er en del av et kryss eller en forening, tegnes en luke over den. Når et punkt kommer inn i et skjæringspunkt eller en forening, erstattes slaget med et solid punkt; hvis punktet ikke er en del av krysset eller unionen, er det punktert. I disse handlingene må du overholde følgende regler:

Et gap blir en del av skjæringspunktet hvis det samtidig er en del av sett A og sett B (eller med andre ord, hvis det er skyggelegging over dette gapet på begge koordinatlinjene som representerer sett A og B);

Et punkt blir en del av skjæringspunktet hvis det samtidig er en del av hvert av settene A og B (med andre ord, hvis punktet er et ikke-punktert eller internt punkt i et hvilket som helst intervall av både numeriske sett A og B);

Et gap blir en del av en forening hvis det er en del av minst ett av settene A eller B (med andre ord, hvis det er skyggelegging over dette gapet på minst en av koordinatlinjene som representerer settene A og B.

Et punkt blir en del av en forening hvis det er en del av minst ett av settene A og B (med andre ord, punktet er et ikke-punktert eller indre punkt i ethvert intervall av minst ett av settene A og B) .

Kort oppsummering: skjæringspunktet mellom numeriske sett A og B er skjæringspunktet mellom alle numeriske intervaller av sett A og B, over hvilke skyggelegging er samtidig tilstede, og alle individuelle punkter som tilhører både sett A og sett B. Unionen av numeriske sett A og B er foreningen av alle numeriske intervaller, over hvilke minst ett av settene A eller B har skyggelegging, samt alle upunkterte individuelle punkter.

1. La oss gå tilbake til eksemplet og definere skjæringspunktet mellom gitte sett. For å gjøre dette, la oss sjekke settene en etter en: (- ∞ , - 3), ( - 3 ), (- 3 , 7), ( 7 ) , (7 , + ∞) . La oss starte med settet (- ∞, - 3), og markere det tydelig på tegningen:

Dette gapet vil ikke inkluderes i krysset fordi det ikke er en del av verken sett A eller sett B (ingen skyggelegging). Så vår tegning beholder sitt opprinnelige utseende:

Tenk på følgende sett (-3). Tallet - 3 er en del av sett B (ikke et punktert punkt), men er ikke en del av sett A, og vil derfor ikke bli en del av ønsket skjæringspunkt. Følgelig, på den nedre koordinatlinjen lager vi et punkt med koordinat - 3:

Vi evaluerer følgende sett (- 3, 7).

Det er en del av sett B (det er skyggelegging over intervallet), men er ikke inkludert i sett A (det er ingen skyggelegging over intervallet): det vil ikke inkluderes i ønsket kryss, noe som betyr at det ikke vises noen nye merker på den nedre koordinatlinjen:

Det neste settet å sjekke er (7). Det er en del av settet B (punktet med koordinat 7 er et internt punkt i intervallet [ - 3, + ∞)), men er ikke en del av settet A (punktert punkt), og dermed vil det aktuelle intervallet ikke bli en del av det ønskede skjæringspunktet La oss markere punktet med koordinaten 7 som utstanset:

Og til slutt sjekker vi det gjenværende gapet (7, + ∞).

Gapet er inkludert i både sett A og B (skravering er tilstede over gapet), derfor blir det en del av krysset. Vi skygger stedet over det betraktede gapet:

Til slutt ble et bilde av det ønskede skjæringspunktet mellom de gitte settene dannet på den nedre koordinatlinjen. Det er åpenbart settet av alle reelle tall flere tall 7, dvs.: A ∩ B = (7, + ∞).

1. Neste trinn La oss definere foreningen av de gitte settene A og B. Vi kontrollerer settene sekvensielt (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 7), (7), (7, + ∞), og fastslår at de er inkludert eller ikke inkludert i den ønskede foreningen .

Det første settet (- ∞, - 3) er ikke en del av noen av de originale settene A og B (det er ingen skygger over intervallene), derfor vil settet (- ∞, - 3) ikke inkluderes i ønsket fagforening:

Settet ( - 3) er inkludert i settet B, noe som betyr at det vil bli inkludert i den ønskede foreningen av settene A og B:

Settet (- 3 , 7) er integrert del sett B (skravering er tilstede over intervallet) og blir et element i foreningen av sett A og B:

Settet 7 er inkludert i det numeriske settet B, derfor vil det også bli inkludert i ønsket forening:

Settet (7, + ∞), som er et element av både sett A og B på samme tid, blir en annen del av den ønskede foreningen:

Basert på det endelige bildet av foreningen av de originale settene A og B, får vi: A ∩ B = [ - 3 , + ∞) .

Etter å ha litt praktisk erfaring med å bruke reglene for å finne kryss og foreninger av sett, utføres de beskrevne kontrollene enkelt muntlig, noe som lar deg raskt skrive ned det endelige resultatet. La oss demonstrere med et praktisk eksempel hvordan løsningen ser ut uten detaljerte forklaringer.

Eksempel 3

Startdata: sett A = (- ∞ , - 15) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7) ∪ ( 12 ) og B = (- 20 , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ (2 , 3) ​​​∪ (17). Det er nødvendig å bestemme skjæringspunktet og foreningen av de gitte settene.

Løsning

La oss markere de gitte numeriske settene på koordinatlinjene for å kunne få en illustrasjon av nødvendig kryss og forening:

Svar: A ∩ B = (- 20, - 15) ∪ (- 5) ∪ (2, 3); A ∪ B = (- ∞ , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7 ] ∪ ( 12 , 17 ) .

Det er også klart at med tilstrekkelig forståelse av prosessen kan den angitte algoritmen optimaliseres. For eksempel, i prosessen med å finne krysset, trenger du ikke å kaste bort tid på å sjekke alle intervallene og settene som representerer individuelle tall, og begrense deg til kun å vurdere de intervallene og tallene som utgjør settet A eller B. Andre intervaller vil i alle fall ikke inngå i krysset, dvs. Til. er ikke en del av originalsettene. La oss illustrere det som er sagt ved å bruke et praktisk eksempel.

Eksempel 4

Startdata: sett A = (-2 ) ∪ [ 1 , 5 ] og B = [ - 4 , 3 ] .

Det er nødvendig å bestemme skjæringspunktet mellom de originale settene.

Løsning

La oss representere de numeriske settene A og B geometrisk:

Grensepunktene til de originale settene vil dele talllinjen i flere sett:

(- ∞ , - 4) , { - 4 } , (- 4 , - 2) , { - 2 } , (- 2 , - 1) , { 1 } , (1 , 3) , { 3 } , (3 , 5) , { 5 } , (5 , + ∞) .

Det er lett å se at det numeriske settet A kan skrives ved å kombinere noen av de oppførte settene, nemlig: ( - 2), (1, 3), (3) og (3, 5). Det vil være nok å sjekke disse settene for deres inkludering også i sett B for å finne ønsket kryss. De som vil inngå i sett B og bli elementer i skjæringspunktet. La oss sjekke.

Det er helt klart at ( - 2) er en del av mengden B, fordi punktet med koordinat - 2 er et internt punkt i segmentet [ - 4, 3). Intervallet (1, 3) og settet (3) er også inkludert i sett B (det er en skyggelegging over intervallet, og punktet med koordinat 3 er grense og ikke punktert for sett B). Settet (3, 5) vil ikke være et skjæringselement, fordi er ikke inkludert i sett B (det er ingen skyggelegging over det). La oss legge merke til alt det ovennevnte i tegningen:

Som et resultat vil det ønskede skjæringspunktet mellom to gitte sett være foreningen av sett, som vi vil skrive som følger: ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

Svar: A ∩ B = ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

På slutten av artikkelen vil vi også diskutere hvordan du løser problemet med å finne skjæringspunktet og foreningen av flere sett (mer enn 2). La oss redusere det, som anbefalt tidligere, til behovet for å bestemme skjæringspunktet og foreningen av de to første settene, deretter det resulterende resultatet med det tredje settet, og så videre. Eller du kan bruke algoritmen beskrevet ovenfor med den eneste forskjellen at kontroll av forekomsten av intervaller og sett som representerer individuelle tall, ikke må utføres av to, men av alle gitte sett. La oss se på et eksempel.

Eksempel 5

Startdata: sett A = (- ∞, 12], B = (- 3, 25], D = (- ∞, 25) ꓴ (40) Det er nødvendig å bestemme skjæringspunktet og foreningen av de gitte settene.

Løsning

Vi viser de gitte numeriske settene på koordinatlinjer og plasserer en krøllete parentes på venstre side av dem, som angir kryss, samt en firkantet parentes, som angir union. Nedenfor viser vi koordinatlinjer med grensepunkter for numeriske sett merket med streker:

Dermed er koordinatlinjen representert av følgende sett: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 12), (12), (12, 25), (25), (25, 40) ), (40), (40, + ∞).

Vi begynner å lete etter kryss, vekselvis sjekker de skrevne settene for å se om de tilhører hver av de originale. Alle tre gitte sett inkluderer intervallet (- 3, 12) og settet (- 12): de vil bli elementene i det ønskede skjæringspunktet. Dermed får vi: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] .

Unionen av de gitte settene vil utgjøre følgende sett: (- ∞ , - 3) - element av sett A; ( - 3 ) – element av sett A; (- 3, 12) – element av sett A; ( 12 ) – element av sett A; (12, 25) – element av sett B; (25) er et element i sett B og (40) er et element i sett D. Dermed får vi: A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ ( 40 ) .

Svar: A ∩ B ∩ D = (- 3, 12 ]; A ∪ B ∪ D = (- ∞, 25 ] ∪ ( 40 ).

Merk også at ønsket skjæringspunkt mellom numeriske sett ofte er det tomme settet. Dette skjer i tilfeller der de gitte settene ikke inkluderer elementer som samtidig tilhører dem alle.

Eksempel 6

Startdata: A = [ - 7, 7 ]; B = (-15) ∪ [-12, 0) ∪ (5); D = [ - 15 , - 10 ] ∪ [ 10 , + ∞ ) ; E = (0, 27). Bestem skjæringspunktet mellom gitte sett.

Løsning

La oss vise de originale settene på koordinatlinjer og grensepunktene til disse settene på tilleggslinjen med streker.

De merkede punktene deler talllinjen i sett: (- ∞ , - 15) , ( - 15 ), (- 15 , - 12) , ( - 12 ), (- 12 , - 10) , ( - 10 ) , (- 10, - 7), (-7), (-7, 0), (0), (0, 5), (5), (5, 7), (7), (7, 10), (10), (10, 27), (27), (27, + ∞).

Ingen av dem er samtidig et element av alle de originale settene, derfor er skjæringspunktet mellom de gitte settene det tomme settet.

Svar: A ∩ B ∩ D ∩ E = Ø.

Det er praktisk å representere sett i form av sirkler, som kalles Euler-sirkler.

På figuren er skjæringssettet av settene X og Y farget oransje.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

1 SPØRSMÅL:Mange er en samling av noen elementer forent av et fellestrekk. Elementer i et sett kan være tall, figurer, objekter, begreper osv.

Sett er merket med store bokstaver, og elementer i settet er merket med små bokstaver. Elementer av sett er innelukket i krøllete seler.

Hvis element x tilhører settet X, så skriv x ∈ X (∈ - hører til). Hvis sett A er en del av sett B, så skriv EN⊂ I (⊂ - inneholdt).

Definisjon 1 (definisjon av likhet av sett). Sett EN og B er like hvis de består av de samme elementene, det vil si at hvis x  A betyr x  B og omvendt, betyr x  B x  A.

Formelt er likheten mellom to sett skrevet som følger:

(A=B):= x((xEN)  (xB)),

dette betyr at for ethvert objekt x er relasjonene x A og x B ekvivalente.

Her  er den universelle kvantifikatoren ( x står "for alle" x").

Delsett

Definisjon: Settet X er delmengde Y, hvis noe element i mengden X tilhører settet Y. Dette kalles også ikke-streng inkludering.Noen egenskaper for delsettet:

1. ХХ - refleksjonsevne

2. X  Y & YZ  X  Z - transitivitet

3.   X dvs. det tomme settet er et undersett av ethvert sett Definisjon: Universal sett- dette er et sett som består av alle elementer, samt delmengder av settet med objekter i området som studeres, dvs.

1. Hvis M  jeg , At M  jeg

2. Hvis M  jeg , At Ώ(M)  jeg, hvor under Ώ(M) - alle mulige delmengder av M, eller boolsk M, er forstått.

Det universelle settet er vanligvis betegnet jeg .

Det universelle settet kan velges uavhengig, avhengig av settet som vurderes og oppgavene som løses.

Metoder for å spesifisere sett:

1. ved å liste opp elementene. Vanligvis er endelige sett definert ved oppregning.

2. ved å beskrive egenskaper som er felles for alle elementene i dette settet, og kun dette settet. Denne egenskapen kalles karakteristisk egenskap, og denne måten å spesifisere settet på beskrivelse. Dermed kan du spesifisere både endelige og uendelige sett. Hvis vi definerer et sett med en eller annen egenskap, kan det vise seg at bare ett objekt har denne egenskapen eller at det ikke finnes noe slikt objekt i det hele tatt. Dette faktum er kanskje ikke i det hele tatt åpenbart.

Emne 2.3 Operasjoner på sett.

La oss nå definere operasjoner på sett.

1. Skjæring av sett.

Definisjon: Skjæringspunktet mellom settene X og Y er et sett som består av alle disse, og bare de elementene, som tilhører både settet X og settet Y.

For eksempel: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) skjæringspunkt (2,4)

Definisjon: Sett kalles disjunkte hvis de ikke har felles elementer, dvs. deres skjæringspunkt er lik det tomme settet.

For eksempel : usammenhengende sett er settene med fremragende studenter og mislykkede.

Denne operasjonen kan utvides til mer enn to sett. I dette tilfellet vil det være et sett med elementer som samtidig tilhører alle sett.

Kryssegenskaper:

1. X∩Y = Y∩X - kommutativitet

2. (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z - assosiativitet

3. X∩ = 

4. X∩ jeg = X

2. Sammenslutning av sett

Definisjon: Foreningen av to sett er et sett som består av alle og bare de elementene som tilhører minst ett av settene X eller Y.

For eksempel: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) ved å kombinere (1,2,3,4,6)

Denne operasjonen kan utvides til mer enn to sett. I dette tilfellet vil det være settet med elementer som tilhører minst ett av disse settene.

Bli med eiendommer:

1. XUY= YUY - kommutativitet

2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ - assosiativitet

4.XU jeg = jeg

Fra egenskapene til operasjonene til kryss og forening er det klart at det tomme settet ligner null i tallalgebraen.

3. Still inn forskjell

Definisjon: Denne operasjonen, i motsetning til operasjonene til kryss og forening, er kun definert for to sett. Forskjellen mellom settene X og Y er et sett som består av alle disse og bare de elementene som tilhører X og ikke tilhører Y.

For eksempel: X=(1,2,3,4) Y=(2,4,6) forskjell (1,3)

Som vi allerede har sett, spilles rollen som null i settalgebra av det tomme settet. La oss definere et sett som vil spille rollen som enhet i algebraen av mengder

4. Sett ferdigstillelse

Komplementet til et sett X er forskjellen mellom I og X.

Tilleggsegenskaper:

1. Settet X og dets komplement har ingen felles elementer

2. Ethvert element I tilhører enten settet X eller dets komplement.

SPØRSMÅL 2 Sett med tall

Naturlige tall− tall brukt ved telling (oppføring) av elementer: N=(1,2,3,...)

Naturlige tall med null inkludert− tall som brukes for å angi antall elementer: N0=(0,1,2,3,...)

Heltall- inkludere naturlige tall, tall motsatt av naturlige (dvs. med negativt fortegn) og null. Positive heltall: Z+=N=(1,2,3,…) Negative heltall: Z−=(…,−3,−2,−1) Z=Z−∪(0)∪Z+=(…,−3,−2,−1,0,1,2,3,...)

Rasjonelle tall− tall representert som en vanlig brøk a/b, hvor a og b er heltall og b≠0. Q=(x∣x=a/b,a∈Z,b∈Z,b≠0) Når konvertert til desimal et rasjonelt tall er representert med en endelig eller uendelig periodisk brøk.

Irrasjonelle tall− tall som er representert som en uendelig ikke-periodisk desimalbrøk.

Reelle tall- forening av rasjonelle og irrasjonelle tall: R

Komplekse tall C=(x+iy∣x∈R иy∈R), der i er den imaginære enheten.

Reelt tallmodul og egenskaper

Modulus til et reelt tall- Dette absolutt verdi dette nummeret.

Enkelt sagt, når du tar modulen, må du fjerne tegnet fra tallet.

Tallmodul en betegnet med |a|. Vær oppmerksom på: Modulen til et tall er alltid ikke-negativ: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

Konseptet settteori; intersection of sets er et sett som består av alle de elementene som samtidig tilhører alle gitte sett. Skjæringspunktet mellom settene A og B er betegnet med A?B eller AB...

Konseptet settteori; intersection of sets er et sett som består av alle de elementene som samtidig tilhører alle gitte sett. Skjæringspunktet mellom settene A og B er merket med A∩B eller AB. * * * KRYSSING AV SETIES KRYSSING AV SETTS ... Encyklopedisk ordbok

Et sett som består av alle de elementene som samtidig tilhører alle gitte sett. P. m. A og B angir A∩B eller AB; P. m Ak, tatt i et endelig eller uendelig tall, er merket med Ak. P.m. kan være tom, det vil si ikke... ... Stor sovjetisk leksikon

Konseptet settteori; P. m. er et sett som består av alle de elementene de tilhører samtidig. til alle gitte sett. P.m.

Skjæringspunktet mellom A og B Skjæringspunktet mellom mengder i mengdlære er et sett bestående av elementer som samtidig tilhører alle gitte mengder. Innhold 1 Definisjon 2 Merk ... Wikipedia

Matematikkgren der de studerer generelle egenskaper sett, for det meste uendelige. begrepet et sett er det enkleste matematiske konseptet, det er ikke definert, men bare forklart ved hjelp av eksempler: mange bøker på en hylle, mange poeng... Stor encyklopedisk ordbok

En gren av matematikken som studerer de generelle egenskapene til mengder, spesielt uendelige. Konseptet med et sett er det enkleste matematiske konseptet det er ikke definert, men bare forklart ved hjelp av eksempler: mange bøker på en hylle, mange... ... Encyklopedisk ordbok

En matematisk teori som studerer problemet med uendelighet med presise midler. Emne M. l. egenskaper ved sett (samlinger, klasser, ensembler), kap. arr. endeløs. Et sett A er en hvilken som helst samling av definerte og gjenkjennelige objekter... Ordbok med logiske termer

Mengdeori er en gren av matematikken som studerer de generelle egenskapene til mengder. Settteori ligger til grunn for de fleste matematiske disipliner; det hadde en dyp innflytelse på forståelsen av selve matematikkfaget. Innhold 1 Teori ... ... Wikipedia

En gren av matematikk der de generelle egenskapene til sett studeres, spesielt. endeløs. Konseptet sett er den enkleste matematikken. konsept, det er ikke definert, men bare forklart ved hjelp av eksempler: mange bøker på en hylle, mange punkter på en rett linje... ... Naturvitenskap. Encyklopedisk ordbok

Bøker

• Teller til 20. Arbeidsbok for barn 6 - 7 år. Federal State Educational Standard of Education, Shevelev Konstantin Valerievich. Arbeidsbok Designet for å jobbe med barn 6-7 år. Bidrar til å oppnå målene for kognisjonsblokken ved å danne elementært matematiske representasjoner. Metodisk...