Hva er løsningen på ulikheten. Løse lineære ulikheter

Først litt tekster for å få en følelse av problemet som intervallmetoden løser. La oss si at vi må løse følgende ulikhet:

(x − 5)(x + 3) > 0

Hva er mulighetene? Det første som kommer til tankene for de fleste studenter er reglene "pluss på pluss gir pluss" og "minus på minus gir pluss." Derfor er det nok å vurdere tilfellet når begge parentesene er positive: x − 5 > 0 og x + 3 > 0. Da vurderer vi også tilfellet når begge parentesene er negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Mer avanserte studenter vil (kanskje) huske at til venstre er kvadratisk funksjon, hvis graf er en parabel. Dessuten skjærer denne parabelen OX-aksen i punktene x = 5 og x = −3. Til videre arbeid du må åpne brakettene. Vi har:

x 2 − 2x − 15 > 0

Nå er det klart at grenene til parablen er rettet oppover, fordi koeffisient a = 1 > 0. La oss prøve å tegne et diagram av denne parabelen:

Funksjonen er større enn null der den passerer over OX-aksen. I vårt tilfelle er dette intervallene (−∞ −3) og (5; +∞) - dette er svaret.

Vennligst merk: bildet viser nøyaktig funksjonsdiagram, ikke timeplanen hennes. For for en ekte graf må du telle koordinater, beregne forskyvninger og annet dritt som vi absolutt ikke har bruk for nå.

Hvorfor er disse metodene ineffektive?

Så vi har vurdert to løsninger på samme ulikhet. Begge viste seg å være ganske tungvinte. Den første avgjørelsen kommer - bare tenk på det! — et sett med ulikhetssystemer. Den andre løsningen er heller ikke spesielt lett: du må huske grafen til parabelen og en haug med andre små fakta.

Det var en veldig enkel ulikhet. Den har bare 2 multiplikatorer. Tenk deg nå at det ikke vil være 2, men minst 4 multiplikatorer.

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Hvordan løse en slik ulikhet? Gå gjennom alle mulige kombinasjoner av fordeler og ulemper? Ja, vi vil sovne raskere enn vi finner en løsning. Å tegne en graf er heller ikke et alternativ, siden det ikke er klart hvordan en slik funksjon oppfører seg på koordinatplanet.

For slike ulikheter trengs en spesiell løsningsalgoritme, som vi vil vurdere i dag.

Hva er intervallmetoden

Intervallmetoden er en spesiell algoritme designet for å løse komplekse ulikheter av formen f (x) > 0 og f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Løs likningen f (x) = 0. I stedet for en ulikhet får vi altså en likning som er mye enklere å løse;
2. Merk alle oppnådde røtter på koordinatlinjen. Dermed vil den rette linjen deles inn i flere intervaller;
3. Finn ut tegnet (pluss eller minus) til funksjonen f (x) på intervallet lengst til høyre. For å gjøre dette er det nok å erstatte med f (x) et hvilket som helst tall som vil være til høyre for alle markerte røtter;
4. Merk skiltene med de resterende intervallene. For å gjøre dette, bare husk at når du passerer gjennom hver rot, endres tegnet.

Det er alt! Etter dette gjenstår det bare å skrive ned intervallene som interesserer oss. De er merket med et "+"-tegn hvis ulikheten var av formen f (x) > 0, eller med et "−"-tegn hvis ulikheten var av formen f (x)< 0.

Ved første øyekast kan det virke som om intervallmetoden er en slags blikksak. Men i praksis vil alt være veldig enkelt. Bare øv litt og alt blir klart. Ta en titt på eksemplene og se selv:

Oppgave. Løs ulikheten:

(x − 2)(x + 7)< 0

Vi jobber etter intervallmetoden. Trinn 1: Erstatt ulikheten med en ligning og løs den:

(x − 2)(x + 7) = 0

Produktet er null hvis og bare hvis minst én av faktorene er null:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Vi har to røtter. La oss gå videre til trinn 2: marker disse røttene på koordinatlinjen. Vi har:

Nå trinn 3: finn tegnet til funksjonen på intervallet lengst til høyre (til høyre for det markerte punktet x = 2). For å gjøre dette, må du ta et hvilket som helst tall som flere tall x = 2. La oss for eksempel ta x = 3 (men ingen forbyr å ta x = 4, x = 10 og til og med x = 10 000). Vi får:

f (x) = (x - 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Vi finner at f (3) = 10 > 0, så vi setter et plusstegn i intervallet lengst til høyre.

La oss gå videre til det siste punktet - vi må merke skiltene på de gjenværende intervallene. Vi husker at når vi passerer gjennom hver rot, må tegnet endres. For eksempel, til høyre for roten x = 2 er det et pluss (vi sørget for dette i forrige trinn), så det må være et minus til venstre.

Denne minus strekker seg til hele intervallet (−7; 2), så det er en minus til høyre for roten x = −7. Derfor er det et pluss til venstre for roten x = −7. Det gjenstår å markere disse skiltene på koordinataksen. Vi har:

La oss gå tilbake til den opprinnelige ulikheten, som hadde formen:

(x − 2)(x + 7)< 0

Så funksjonen må være mindre enn null. Dette betyr at vi er interessert i minustegnet, som kun vises på ett intervall: (−7; 2). Dette vil være svaret.

Oppgave. Løs ulikheten:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Trinn 1: sett venstre side til null:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Husk: produktet er lik null når minst én av faktorene er lik null. Derfor har vi rett til å likestille hver enkelt parentes til null.

Trinn 2: merk alle røttene på koordinatlinjen:

Trinn 3: Finn ut tegnet på gapet lengst til høyre. Vi tar et hvilket som helst tall som er større enn x = 1. For eksempel kan vi ta x = 10. Vi har:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = -1197< 0.

Trinn 4: Plassering av de resterende skiltene. Vi husker at når vi passerer gjennom hver rot, endres tegnet. Som et resultat vil bildet vårt se slik ut:

Det er alt. Det gjenstår bare å skrive ned svaret. Ta en ny titt på den opprinnelige ulikheten:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Dette er en ulikhet på formen f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Dette er svaret.

En merknad om funksjonstegn

Praksis viser at de største vanskelighetene i intervallmetoden oppstår i de to siste trinnene, dvs. ved plassering av skilt. Mange elever begynner å bli forvirret: hvilke tall de skal ta og hvor de skal sette skiltene.

For å endelig forstå intervallmetoden, vurder to observasjoner som den er basert på:

1. En kontinuerlig funksjon endrer fortegn bare på disse punktene hvor den er lik null. Slike punkter deler koordinataksen i biter, innenfor hvilke fortegnet til funksjonen aldri endres. Det er derfor vi løser ligningen f (x) = 0 og merker de funne røttene på den rette linjen. Tallene som er funnet er "borderline"-punkter som skiller fordeler og ulemper.
2. For å finne ut tegnet til en funksjon på et hvilket som helst intervall, er det nok å erstatte et hvilket som helst tall fra dette intervallet i funksjonen. For eksempel, for intervallet (−5; 6) har vi rett til å ta x = −4, x = 0, x = 4 og til og med x = 1,29374 hvis vi vil. Hvorfor er det viktig? Ja, for tvilen begynner å gnage i mange elever. Hva om for x = −4 får vi et pluss, og for x = 0 får vi et minus? Men noe slikt vil aldri skje. Alle punkter på samme intervall gir samme fortegn. Husk dette.

Det er alt du trenger å vite om intervallmetoden. Selvfølgelig tok vi den fra hverandre enkel versjon. Det er mer komplekse ulikheter - ikke-strenge, brøkdeler og med gjentatte røtter. Du kan også bruke intervallmetoden for dem, men dette er et tema for en egen stor leksjon.

Nå vil jeg gjerne se på en avansert teknikk som dramatisk forenkler intervallmetoden. Mer presist påvirker forenklingen bare det tredje trinnet - beregning av tegnet på linjen lengst til høyre. Av en eller annen grunn blir ikke denne teknikken undervist på skolene (ingen har i hvert fall forklart meg dette). Men forgjeves - for faktisk er denne algoritmen veldig enkel.

Så tegnet til funksjonen er på høyre del av talllinjen. Dette stykket har formen (a ; +∞), der a er den største roten av ligningen f (x) = 0. La oss se på et spesifikt eksempel for ikke å forvirre deg:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Vi har 3 røtter. La oss liste dem opp i stigende rekkefølge: x = −2, x = 1 og x = 7. Den største roten er åpenbart x = 7.

For de som synes det er lettere å resonnere grafisk vil jeg markere disse røttene på koordinatlinjen. La oss se hva som skjer:

Det kreves å finne tegnet til funksjonen f (x) på intervallet lengst til høyre, dvs. til (7; +∞). Men som vi allerede har bemerket, for å bestemme tegnet kan du ta et hvilket som helst tall fra dette intervallet. For eksempel kan du ta x = 8, x = 150 osv. Og nå - den samme teknikken som ikke læres på skolene: la oss ta uendelighet som et tall. Mer presist, pluss uendelig, dvs. +∞.

«Er du steinet? Hvordan kan du erstatte uendelighet med en funksjon?" - spør du kanskje. Men tenk på det: vi trenger ikke verdien av selve funksjonen, vi trenger bare tegnet. Derfor betyr for eksempel verdiene f (x) = −1 og f (x) = −938 740 576 215 det samme: funksjonen på dette intervallet er negativ. Derfor er alt som kreves av deg å finne tegnet som vises på uendelig, og ikke verdien av funksjonen.

Faktisk er det veldig enkelt å erstatte uendelig. La oss gå tilbake til funksjonen vår:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Tenk deg at x er veldig stort antall. Milliarder eller til og med billioner. La oss nå se hva som skjer i hver parentes.

Første parentes: (x − 1). Hva skjer hvis du trekker en fra en milliard? Resultatet vil være et tall som ikke er veldig forskjellig fra en milliard, og dette tallet vil være positivt. Tilsvarende med den andre parentesen: (2 + x). Hvis vi legger til en milliard til to, får vi en milliard og kopek - dette er positivt tall. Til slutt, den tredje parentesen: (7 − x). Her vil det være en minusmilliard, hvorfra et patetisk stykke i form av en sjuer ble "gnaget av". De. det resulterende tallet vil ikke avvike mye fra minus en milliard - det vil være negativt.

Det gjenstår bare å finne tegnet til hele verket. Siden vi hadde pluss i første parentes og minus i siste, får vi følgende konstruksjon:

(+) · (+) · (−) = (−)

Det siste tegnet er minus! Og det spiller ingen rolle hva verdien av selve funksjonen er. Hovedsaken er at denne verdien er negativ, dvs. intervallet lengst til høyre har et minustegn. Alt som gjenstår er å fullføre det fjerde trinnet i intervallmetoden: ordne alle skiltene. Vi har:

Den opprinnelige ulikheten var:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Derfor er vi interessert i intervallene merket med et minustegn. Vi skriver ut svaret:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Det er hele trikset jeg ville fortelle deg. Avslutningsvis, her er en annen ulikhet som kan løses ved intervallmetoden ved å bruke uendelig. For å forkorte løsningen visuelt, vil jeg ikke skrive trinntall og detaljerte kommentarer. Jeg vil bare skrive det du egentlig trenger å skrive når du løser reelle problemer:

Oppgave. Løs ulikheten:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Vi erstatter ulikheten med en ligning og løser den:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Vi markerer alle tre røttene på koordinatlinjen (med tegn samtidig):

Det er et pluss på høyre side av koordinataksen, fordi funksjonen ser slik ut:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Og hvis vi erstatter uendelig (for eksempel en milliard), får vi tre positive parenteser. Siden det opprinnelige uttrykket må være større enn null, er vi kun interessert i de positive. Alt som gjenstår er å skrive ut svaret:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

For eksempel er ulikheten uttrykket \(x>5\).

Typer ulikheter:

Hvis \(a\) og \(b\) er tall eller , kalles ulikheten numerisk. Det er faktisk bare å sammenligne to tall. Slike ulikheter er delt inn i trofast Og utro.

For eksempel:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) er en feil numerisk ulikhet, siden \(17+3=20\), og \(20\) er mindre enn \(115\) (og ikke større enn eller lik) .

Hvis \(a\) og \(b\) er uttrykk som inneholder en variabel, så har vi ulikhet med variabel. Slike ulikheter er delt inn i typer avhengig av innholdet:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabel bare til første potens
\(3x^2-x+5>0\)				Det er en variabel i andre potens (kvadrat), men det er ingen høyere potenser (tredje, fjerde osv.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... og så videre.

Hva er løsningen på en ulikhet?

Hvis du erstatter et tall i stedet for en variabel med en ulikhet, vil det bli til en numerisk.

Hvis en gitt verdi for x gjør den opprinnelige ulikheten til en sann numerisk, kalles den løsning på ulikhet. Hvis ikke, er ikke denne verdien en løsning. Og til løse ulikhet– du må finne alle løsningene (eller vise at det ikke finnes noen).

For eksempel, hvis vi erstatter tallet \(7\) i den lineære ulikheten \(x+6>10\), får vi riktig numerisk ulikhet: \(13>10\). Og hvis vi erstatter \(2\), vil det være en feil numerisk ulikhet \(8>10\). Det vil si at \(7\) er en løsning på den opprinnelige ulikheten, men \(2\) er det ikke.

Ulikheten \(x+6>10\) har imidlertid andre løsninger. Faktisk vil vi få de riktige numeriske ulikhetene når vi erstatter \(5\), og \(12\), og \(138\)... Og hvordan kan vi finne alle mulige løsninger? For dette bruker de For vårt tilfelle har vi:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Det vil si at ethvert tall større enn fire passer for oss. Nå må du skrive ned svaret. Løsninger på ulikheter skrives vanligvis numerisk, og markerer dem i tillegg på tallaksen med skyggelegging. For vårt tilfelle har vi:

Svar: \(x\in(4;+\infty)\)

Når endres tegnet på ulikhet?

Det er én stor felle i ulikheter som studenter virkelig "elsker" å falle i:

Når du multipliserer (eller deler) en ulikhet med et negativt tall, blir den reversert ("mer" med "mindre", "mer eller lik" med "mindre enn eller lik", og så videre)

Hvorfor skjer dette? For å forstå dette, la oss se på transformasjonene av den numeriske ulikheten \(3>1\). Det er riktig, tre er faktisk større enn én. Først, la oss prøve å multiplisere det med et hvilket som helst positivt tall, for eksempel to:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Som vi kan se, forblir ulikheten sann etter multiplikasjon. Og uansett hvilket positivt tall vi multipliserer med, vil vi alltid få riktig ulikhet. La oss nå prøve å multiplisere med et negativt tall, for eksempel minus tre:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Resultatet er en feil ulikhet, fordi minus ni er mindre enn minus tre! Det vil si at for at ulikheten skal bli sann (og derfor var transformasjonen av multiplikasjon med negativ "lovlig"), må du reversere sammenligningstegnet, slik: \(−9)<− 3\).
Med deling vil det gå på samme måte, du kan sjekke det selv.

Regelen skrevet ovenfor gjelder alle typer ulikheter, ikke bare numeriske.

Eksempel: Løs ulikheten \(2(x+1)-1<7+8x\)
Løsning:

\(2x+2-1<7+8x\)	La oss flytte \(8x\) til venstre, og \(2\) og \(-1\) til høyre, og ikke glemme å endre tegnene
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	La oss dele begge sider av ulikheten med \(-6\), og ikke glemme å endre fra "mindre" til "mer"
	La oss markere et numerisk intervall på aksen. Ulikhet, derfor "stikker" vi ut verdien \(-1\) i seg selv og tar det ikke som et svar
	La oss skrive svaret som et intervall

Svar: \(x\in(-1;\infty)\)

Ulikheter og funksjonshemming

Ulikheter, akkurat som ligninger, kan ha begrensninger på , det vil si på verdiene til x. Følgelig bør de verdiene som er uakseptable i henhold til DZ utelukkes fra utvalget av løsninger.

Eksempel: Løs ulikheten \(\sqrt(x+1)<3\)

Løsning: Det er klart at for at venstre side skal være mindre enn \(3\), må det radikale uttrykket være mindre enn \(9\) (tross alt fra \(9\) bare \(3\)). Vi får:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Alle? Enhver verdi på x mindre enn \(8\) vil passe oss? Nei! For hvis vi for eksempel tar verdien \(-5\) som ser ut til å passe til kravet, vil det ikke være en løsning på den opprinnelige ulikheten, siden det vil lede oss til å beregne roten av et negativt tall.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Derfor må vi også ta hensyn til restriksjonene på verdien av X - det kan ikke være slik at det er et negativt tall under roten. Dermed har vi det andre kravet for x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Og for at x skal være den endelige løsningen, må den tilfredsstille begge kravene samtidig: den må være mindre enn \(8\) (for å være en løsning) og større enn \(-1\) (for å være tillatt i prinsippet). Når vi plotter det på talllinjen, har vi det endelige svaret:

Svar: \(\venstre[-1;8\høyre)\)

Hva du trenger å vite om ulikhetsikoner? Ulikheter med ikon mer (> ), eller mindre (< ) er kalt streng. Med ikoner mer eller lik (≥ ), mindre eller lik (≤ ) er kalt ikke streng. Ikon ikke lik (≠ ) skiller seg ut, men du må også løse eksempler med dette ikonet hele tiden. Og vi bestemmer.)

Ikonet i seg selv har ikke stor innflytelse på løsningsprosessen. Men på slutten av avgjørelsen, når du velger det endelige svaret, vises betydningen av ikonet i full kraft! Dette er hva vi vil se nedenfor i eksempler. Det er noen vitser der...

Ulikheter, som likheter, eksisterer trofast og utro. Alt er enkelt her, ingen triks. La oss si 5 > 2 er en ekte ulikhet. 5 < 2 - feil.

Denne forberedelsen jobber for ulikheter noen form og enkelt til det grufulle.) Du trenger bare å utføre to (bare to!) elementære handlinger riktig. Disse handlingene er kjent for alle. Men karakteristisk nok er feil i disse handlingene hovedfeilen i å løse ulikheter, ja... Derfor må disse handlingene gjentas. Disse handlingene kalles slik:

Identiske transformasjoner av ulikheter.

Identiske transformasjoner av ulikheter er veldig like identiske transformasjoner av ligninger. Egentlig er dette hovedproblemet. Forskjellene går over hodet på deg og...her er du.) Derfor vil jeg spesielt trekke frem disse forskjellene. Så, den første identiske transformasjonen av ulikheter:

1. Samme tall eller uttrykk kan legges til (trekkes fra) på begge sider av ulikheten. Noen. Dette vil ikke endre ulikhetstegnet.

I praksis brukes denne regelen som en overføring av termer fra venstre side av ulikheten til høyre (og omvendt) med skifte av fortegn. Med en endring i begrepets fortegn, ikke ulikheten! En-til-en-regelen er den samme som regelen for ligninger. Men følgende identiske transformasjoner i ulikheter skiller seg betydelig fra de i ligninger. Så jeg markerer dem med rødt:

2. Begge sider av ulikheten kan multipliseres (deltes) med det sammepositivtAntall. For enhverpositivt Vil ikke endre seg.

3. Begge sider av ulikheten kan multipliseres (deltes) med det sammenegativ Antall. For enhvernegativAntall. Ulikhetstegnet fra dettevil endre seg til det motsatte.

Du husker (håper jeg...) at ligningen kan multipliseres/deles med hva som helst. Og for et hvilket som helst tall, og for et uttrykk med en X. Hvis det bare ikke var null. Dette gjør ham, ligningen, verken varm eller kald.) Den endres ikke. Men ulikheter er mer følsomme for multiplikasjon/divisjon.

Et tydelig eksempel for et langt minne. La oss skrive en ulikhet som ikke vekker tvil:

5 > 2

Multipliser begge sider med +3, vi får:

15 > 6

Noen innvendinger? Det er ingen innvendinger.) Og hvis vi multipliserer begge sider av den opprinnelige ulikheten med -3, vi får:

15 > -6

Og dette er en direkte løgn.) En fullstendig løgn! Bedrag av folket! Men så snart du endrer ulikhetstegnet til det motsatte, faller alt på plass:

15 < -6

Jeg banner ikke bare om løgner og bedrag.) "Glemte å endre likhetstegnet..."- Dette hjem feil i å løse ulikheter. Denne trivielle og enkle regelen har såret så mange mennesker! Som de glemte...) Så jeg sverger. Kanskje jeg husker...)

Spesielt oppmerksomme mennesker vil legge merke til at ulikhet ikke kan multipliseres med et uttrykk med X. Respekt til de som er oppmerksomme!) Hvorfor ikke? Svaret er enkelt. Vi kjenner ikke tegnet på dette uttrykket med en X. Det kan være positivt, negativt... Derfor vet vi ikke hvilket ulikhetstegn vi skal sette etter multiplikasjon. Bør jeg endre det eller ikke? Ukjent. Selvfølgelig kan denne begrensningen (forbudet mot å multiplisere/dele en ulikhet med et uttrykk med en x) omgås. Hvis du virkelig trenger det. Men dette er et tema for andre leksjoner.

Det er alle de identiske transformasjonene av ulikheter. La meg minne deg nok en gang om at de jobber for noen ulikheter Nå kan du gå videre til bestemte typer.

Lineære ulikheter. Løsning, eksempler.

Lineære ulikheter er ulikheter der x er i første potens og det ikke er noen divisjon med x. Type:

x+3 > 5x-5

Hvordan løses slike ulikheter? De er veldig enkle å løse! Nemlig: ved hjelp av reduserer vi den mest forvirrende lineære ulikheten rett til svaret. Det er løsningen. Jeg vil trekke frem hovedpunktene i vedtaket. For å unngå dumme feil.)

La oss løse denne ulikheten:

x+3 > 5x-5

Vi løser det på nøyaktig samme måte som en lineær ligning. Med den eneste forskjellen:

Vi følger nøye med på ulikhetstegnet!

Det første trinnet er det vanligste. Med X-er - til venstre, uten X-er - til høyre... Dette er den første identiske transformasjonen, enkel og problemfri.) Bare ikke glem å endre tegnene til de overførte termene.

Ulikhetstegnet forblir:

x-5x > -5-3

Her er lignende.

Ulikhetstegnet forblir:

4x > -8

Det gjenstår å bruke den siste identiske transformasjonen: del begge sider med -4.

Delt på negativ Antall.

Ulikhetstegnet vil endres til det motsatte:

X < 2

Dette er svaret.

Slik løses alle lineære ulikheter.

Merk følgende! Punkt 2 er tegnet hvitt, dvs. umalt. Tom inni. Det betyr at hun ikke er med i svaret! Jeg tegnet henne så frisk med vilje. Et slikt punkt (tomt, ikke sunt!)) i matematikk kalles punktert punkt.

De resterende tallene på aksen kan merkes, men ikke nødvendig. Fremmede tall som ikke er relatert til vår ulikhet kan være forvirrende, ja... Du må bare huske at tallene øker i pilens retning, dvs. tall 3, 4, 5 osv. er til høyre er toere, og tallene er 1, 0, -1 osv. - til venstre.

Ulikhet x < 2 - streng. X er strengt tatt mindre enn to. Hvis du er i tvil, er det enkelt å sjekke. Vi erstatter det tvilsomme tallet i ulikheten og tenker: "To er mindre enn to, nei, selvfølgelig!" Nøyaktig. Ulikhet 2 < 2 stemmer ikke. En to til gjengjeld er ikke passende.

Er en ok? Sikkert. Mindre... Og null er bra, og -17, og 0,34... Ja, alle tall som er mindre enn to er bra! Og til og med 1,9999.... I det minste litt, men mindre!

Så la oss markere alle disse tallene på tallaksen. Hvordan? Det er alternativer her. Alternativ én er skyggelegging. Vi beveger musen over bildet (eller berører bildet på nettbrettet) og ser at området av alle x-er som oppfyller betingelsen x er skyggelagt < 2 . Det er alt.

La oss se på det andre alternativet ved å bruke det andre eksemplet:

X ≥ -0,5

Tegn en akse og merk tallet -0,5. Som dette:

Legg merke til forskjellen?) Vel, ja, det er vanskelig å ikke legge merke til... Denne prikken er svart! Overmalt. Dette betyr -0,5 er inkludert i svaret. Her kan verifiseringen forresten forvirre noen. La oss erstatte:

-0,5 ≥ -0,5

Hvordan det? -0,5 er ikke mer enn -0,5! Og det er mer ikon...

Det er greit. I en svak ulikhet passer alt som passer til ikonet. OG er lik god og mer flink. Derfor er -0,5 inkludert i svaret.

Så vi markerte -0,5 på aksen, det gjenstår å markere alle tallene som er større enn -0,5. Denne gangen markerer jeg området med passende x-verdier Bue(fra ordet bue), i stedet for skyggelegging. Vi holder markøren over tegningen og ser denne buen.

Det er ingen spesiell forskjell mellom skyggeleggingen og armene. Gjør som læreren sier. Hvis det ikke er noen lærer, tegn buer. I mer komplekse oppgaver er skyggelegging mindre tydelig. Du kan bli forvirret.

Slik tegnes lineære ulikheter på en akse. La oss gå videre til det neste trekk ved ulikhetene.

Skrive svaret for ulikheter.

Ligningene var gode.) Vi fant x og skrev ned svaret, for eksempel: x=3. Det er to former for å skrive svar i ulikheter. Den ene er i form av endelig ulikhet. Bra for enkle saker. For eksempel:

X< 2.

Dette er et fullstendig svar.

Noen ganger må du skrive ned det samme, men i en annen form, med numeriske intervaller. Da begynner opptaket å se veldig vitenskapelig ut):

x ∈ (-∞; 2)

Under ikonet ∈ ordet er skjult "tilhører".

Innlegget lyder slik: x tilhører intervallet fra minus uendelig til to ikke inkludert. Ganske logisk. X kan være et hvilket som helst tall fra alle mulige tall fra minus uendelig til to. Det kan ikke være en dobbel X, som er det ordet forteller oss "ikke inkludert".

Og hvor i svaret er det klart at "ikke inkludert"? Dette faktum er notert i svaret rund parentes rett etter de to. Hvis de to var inkludert, ville braketten vært torget. Her er det:]. Følgende eksempel bruker en slik parentes.

La oss skrive ned svaret: x ≥ -0,5 med intervaller:

x ∈ [-0,5; +∞)

Leser: x tilhører intervallet fra minus 0,5, gjelder også, til pluss uendelig.

Infinity kan aldri slås på. Det er ikke et tall, det er et symbol. Derfor, i slike notasjoner, er uendelighet alltid ved siden av en parentes.

Denne formen for opptak er praktisk for komplekse svar som består av flere mellomrom. Men - bare for endelige svar. I mellomresultater, hvor det forventes en ytterligere løsning, er det bedre å bruke den vanlige formen, i form av en enkel ulikhet. Dette vil vi behandle i de aktuelle temaene.

Populære oppgaver med ulikheter.

De lineære ulikhetene i seg selv er enkle. Derfor blir oppgaver ofte vanskeligere. Så det var nødvendig å tenke. Dette, hvis du ikke er vant til det, er ikke veldig hyggelig.) Men det er nyttig. Jeg vil vise eksempler på slike oppgaver. Ikke for at du skal lære dem, det er unødvendig. Og for ikke å være redd når man møter slike eksempler. Bare tenk litt - og det er enkelt!)

1. Finn hvilke som helst to løsninger på ulikheten 3x - 3< 0

Hvis det ikke er veldig klart hva du skal gjøre, husk hovedregelen for matematikk:

Hvis du ikke vet hva du trenger, gjør det du kan!)

X < 1

Og hva? Ikke noe spesielt. Hva spør de oss om? Vi blir bedt om å finne to spesifikke tall som er løsningen på en ulikhet. De. passer svaret. To noen tall. Egentlig er dette forvirrende.) Et par 0 og 0,5 passer. Et par -3 og -8. Det er uendelig mange av disse parene! Hvilket svar er riktig?!

Jeg svarer: alt! Ethvert par med tall, som hvert er mindre enn ett, vil være riktig svar. Skriv hvilken du vil ha. La oss gå videre.

2. Løs ulikheten:

4x - 3 ≠ 0

Oppgaver i denne formen er sjeldne. Men som hjelpeulikheter, når man for eksempel finner ODZ, eller når man finner definisjonsdomenet til en funksjon, oppstår de hele tiden. En slik lineær ulikhet kan løses som en vanlig lineær ligning. Bare overalt unntatt "="-tegnet ( er lik) sett et skilt " ≠ " (ikke lik). Slik nærmer du deg svaret, med et ulikhetstegn:

X ≠ 0,75

I mer komplekse eksempler er det bedre å gjøre ting annerledes. Gjør ulikhet ut av likhet. Som dette:

4x - 3 = 0

Løs det rolig som lært og få svaret:

x = 0,75

Det viktigste er, helt til slutt, når du skriver ned det endelige svaret, ikke glem at vi fant x, som gir likestilling. Og vi trenger - ulikhet. Derfor trenger vi egentlig ikke denne X.) Og vi må skrive den ned med riktig symbol:

X ≠ 0,75

Denne tilnærmingen resulterer i færre feil. De som løser ligninger automatisk. Og for de som ikke løser ligninger, er ulikheter faktisk til ingen nytte...) Et annet eksempel på en populær oppgave:

3. Finn den minste heltallsløsningen på ulikheten:

3 (x - 1) < 5x + 9

Først løser vi rett og slett ulikheten. Vi åpner parentesene, flytter dem, tar med lignende... Vi får:

X > - 6

Gikk det ikke sånn!? Fulgte du skiltene!? Og bak medlemmenes tegn, og bak tegnet på ulikhet...

La oss tenke om igjen. Vi må finne et spesifikt tall som samsvarer med både svaret og betingelsen "minste heltall". Hvis det ikke går opp for deg med en gang, kan du bare ta et hvilket som helst tall og finne ut av det. To over minus seks? Sikkert! Er det passende antall litt mindre? Selvfølgelig. For eksempel er null større enn -6. Og enda mindre? Vi trenger det minste mulig! Minus tre er mer enn minus seks! Du kan allerede fange mønsteret og slutte å gå dumt gjennom tall, ikke sant?)

La oss ta et tall nærmere -6. For eksempel -5. Svaret er oppfylt, -5 > - 6. Er det mulig å finne et annet tall mindre enn -5, men større enn -6? Du kan for eksempel -5,5... Stopp! Vi blir fortalt hel løsning! Ruller ikke -5,5! Hva med minus seks? Uh-uh! Ulikheten er streng, minus 6 er på ingen måte mindre enn minus 6!

Derfor er det riktige svaret -5.

Jeg håper alt er klart med valg av verdi fra den generelle løsningen. Et annet eksempel:

4. Løs ulikhet:

7 < 3x+1 < 13

Wow! Dette uttrykket kalles trippel ulikhet. Strengt tatt er dette en forkortet form for et system av ulikheter. Men slike trippelulikheter må fortsatt løses i noen oppgaver... Det kan løses uten noen systemer. I henhold til de samme identiske transformasjonene.

Vi må forenkle, bringe denne ulikheten til ren X. Men... Hva skal overføres hvor?! Det er her det er på tide å huske at det er å flytte til venstre og høyre forkortet form første identitetstransformasjon.

Og hele skjemaet høres slik ut: Et hvilket som helst tall eller uttrykk kan adderes/subtraheres på begge sider av ligningen (ulikhet).

Det er tre deler her. Så vi vil bruke identiske transformasjoner på alle tre delene!

Så, la oss bli kvitt den midtre delen av ulikheten. La oss trekke en fra hele midtdelen. For at ulikheten ikke skal endre seg trekker vi en fra de to resterende delene. Som dette:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Det er bedre, ikke sant?) Alt som gjenstår er å dele alle tre delene i tre:

2 < X < 4

Det er alt. Dette er svaret. X kan være et hvilket som helst tall fra to (ikke inkludert) til fire (ikke inkludert). Dette svaret skrives også med intervaller. Der er de det vanligste.

På slutten av leksjonen vil jeg gjenta det viktigste. Suksess i å løse lineære ulikheter avhenger av evnen til å transformere og forenkle lineære ligninger. Hvis samtidig se etter ulikhetstegnet, det vil ikke være noen problemer. Det er det jeg ønsker deg. Ingen problemer.)

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

I artikkelen vil vi vurdere løse ulikheter. Vi vil fortelle deg tydelig om hvordan konstruere en løsning på ulikheter, med klare eksempler!

Før vi ser på å løse ulikheter ved hjelp av eksempler, la oss forstå de grunnleggende konseptene.

Generell informasjon om ulikheter

Ulikhet er et uttrykk der funksjoner er forbundet med relasjonstegn >, . Ulikheter kan være både numeriske og bokstavelige.
Ulikheter med to tegn på forholdet kalles dobbel, med tre - trippel, etc. For eksempel:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Ulikheter som inneholder tegnet > eller eller - er ikke strenge.
Løse ulikheten er en hvilken som helst verdi av variabelen som denne ulikheten vil være sann for.
"Løs ulikhet betyr at vi må finne settet med alle løsningene. Det er forskjellige metoder for å løse ulikheter. Til ulikhetsløsninger De bruker tallinjen, som er uendelig. For eksempel, løsning på ulikhet x > 3 er intervallet fra 3 til +, og tallet 3 er ikke inkludert i dette intervallet, så punktet på linjen er angitt tom sirkel, fordi ulikhet er streng.
+
Svaret vil være: x (3; +).
Verdien x=3 er ikke inkludert i løsningssettet, så parentesen er rund. Uendelighetstegnet er alltid uthevet med en parentes. Tegnet betyr "tilhørighet".
La oss se på hvordan du løser ulikheter ved å bruke et annet eksempel med et tegn:
x 2
-+
Verdien x=2 er inkludert i settet med løsninger, så parentesen er firkantet og punktet på linjen er indikert med en fylt sirkel.
Svaret blir: x)