Divisione. Mappa delle lezioni tecnologiche

Soggetto: Divisione numeri naturali(5a elementare) insegnante Golikova Tatyana

Georgievna

Bersaglio: ripetere il metodo di risoluzione degli esempi per divisione, tabella

moltiplicazione, proprietà della divisione, regole di divisione per unità di cifra,

tipi di angoli, “cosa significa risolvere un'equazione”, trovare incognite

elementi dell'equazione;

sviluppare il linguaggio matematico, l'attenzione, la prospettiva,

attività cognitiva, capacità di analizzare, fare

ipotesi, giustificarle, classificarle;

instillare competenze e abilità applicazione pratica matematica,

abilità nel disegno;

sviluppo pensiero logico, capacità di analizzare la dipendenza

tra valori, percezione positiva dell'ucraino

mantenere la salute, capacità di valutare le proprie conoscenze, creare una situazione

successo, la sensazione di “POSSO”, “POSSO FARE TUTTO”,

aumentare l'autostima, sviluppare l'attività interna attraverso

emozioni e comprensione del materiale, consapevolezza dell'importanza della conoscenza nella vita

persona.

Tipo di lezione: mettere in pratica abilità e abilità

Metodi: esplicativo - illustrativo, ludico, interattivo

Forme: conversazione euristica, lavoro in coppia, controllo reciproco, lavoro in piccoli gruppi, “Io stesso - tutti insieme”, gioco di ruolo

Attrezzatura: lavagna interattiva, carte tipi diversi, marcatore,

7 fogli A4, codificati a colori, nastro adesivo.

Piano di lezione

1. Spirituale - estetico 2 min

2. Motivazionale 3min

3. Controllo dei compiti 5 min

5. Educazione fisica minuto 3 min

7. Compiti a casa 2 minuti

8. Riflessione 4min

9.Valutativa 4min

1 Spirituale - estetico

Tutti i bambini si alzarono velocemente.

Buon pomeriggio, per favore sedetevi

Per prepararsi al lavoro, suggerisco di ripetere la tavola pitagorica

Prendi una matita, una carta e risolvi gli esempi proposti in 1,5 minuti, quindi leggi le parole in ordine crescente di numeri.

Trovare quale numero “è scappato” dalla serie dei numeri naturali?

Controlliamo all'unisono. L'insegnante chiama il numero e gli studenti chiamano la parola.

6:3=2 27:9=3 16:4=4

Per guidare le navi

30:6=5 42:6=7 72:9=8 36:4=9

Per volare nel cielo

30:3=10 44:4=11 36:3=12

Devi sapere molto

26:2=13 42:3=14 150:10=15

C'è molto da sapere.

Lascia che questa quartina sia il motto della lezione di oggi

2. Motivazionale

Propongo di risolvere il puzzle in ucraino

LEDINE, NILDIK, KASCHAT, TOKBUDO

Per quanto gruppi semanticiè possibile separare questi concetti?

(Deve ricevere due opzioni di risposta, giustificarle)

Argomento della lezione di oggi DIVISIONE

Aprirono i loro quaderni e scrissero il numero, Compito in classe

3. Controllo dei compiti. Aggiornamento della conoscenza

Ci siamo scambiati i quaderni e abbiamo controllato “cari colleghi”

Ce ne sono alcuni che non hanno completato i lavori?

Chi ha trovato più di due errori?

Grazie agli ispettori, restituisci i quaderni ai tuoi vicini.

Quale regola hai incontrato durante l'esecuzione di d/z?

Quali altre proprietà puoi nominare?

4.1 esercizio 1

Ti suggerisco di fare un viaggio "Nel mondo animale"

Prendi le carte esempio e risolvile sui tuoi quaderni. Si prega di notare che non tutti gli esempi vengono risolti per iscritto; si incontra la divisione per unità di cifre.

Il lavoro dura 4-5 minuti. Al termine, l'insegnante accetta le risposte, le controlla con il gruppo corrispondente e scrive con un pennarello sui fogli. I gruppi rispondono in qualsiasi ordine. L'insegnante suggerisce di disporre i fogli nell'ordine giusto per ottenere una storia (I fogli sono ordinati come un ARCOBALENO)

Rosso Arancione Giallo Verde

1) 13000:1000; 1)120000:1000; 1) 300000:10000; 1) 35000:100;

2) 432:24; 2) 476:28; 2) 960:64; 2) 4485:23;

3) 11092:47 3) 6765:123. 3) 7956:234 3) 2790:62.

Azzurro Blu Viola

1) 43000:1000; 1) 11000:100; 1) 1400000:100000;

2) 1856:64 ; 2) 1734:34; 2) 5166:63;

3) 9126:234. 3) 3608:164. 3) 3210:214.

Il gorilla dorme 13000:1000= 13 ore al giorno, tutti i giorni 432:24=18 ore al giorno e in stato di ibernazione il riccio può sopravvivere senza cibo 11092:47=236 giorni

Arancia

La velocità del pesce è la spada 120000:1000120 km/h e la velocità del trespolo

476:28=17 km/h, e la velocità di uno squalo 6765: 12355 chilometri all'ora

I cavalli sono all'altezza 300000:10000=30 anni e cani fino a 960:64=15 anni, e il record di vita del cane è 7956:234=34 anni

Peso orso polare raggiunge 35000:100=350 kg, balenottera azzurra fino a 4485:23=195 tonnellate e il peso del pastore dell'Europa orientale 2790:62=45kg

Negli umani temperatura normale corpo 36.6 0 , il più alto di tutti i piccioni e le anatre a sangue caldo, fino a 43000:1000=43 0 , e il più basso è nel formichiere 1856:64=29 0 , temperatura corporea del cane 9126:234= 39 0 .

Lumaca d'uva resiste 11000:100=110 0 gelo, ma muore quando 1734:34= 51 0 Calore. Temperatura dell'aria confortevole per l'uomo 3608:164=22 0

Viola

Lunghezza di una grande anaconda trovata in Sud America, può raggiungere 1400000:100000=14 metri e di diametro 5166:63= 82 cm. E gli edifici dei guerrieri termiti africani raggiungono un'altezza 3210:214=15m

4.2 compito 2.

Va bene se non conosciamo la risposta a una domanda. La cosa principale è voler trovare la risposta. Ti abbiamo già detto che se sei malato o perdi una lezione per qualsiasi motivo, o se qualcosa non funziona, abbiamo un meraviglioso assistente LIBRO DI TESTO! Ora risolveremo le equazioni; se qualcuno ha dimenticato come trovare un elemento sconosciuto di un'equazione, non essere pigro nel leggere la pagina 124 del libro di testo.

Risolvi le equazioni n. 470(3,4,6)

Alla finestra n. 470(3)

Medio №470(4)

Alla porta n. 470(6)

Utilizzando il rappresentante della serie, le equazioni vengono risolte. Un compito aggiuntivo per coloro che hanno imparato rapidamente l'equazione “SONO BEN FATTO! »

"HO FINITO! » (10x-4x)∙21=2268.

№470(3) №470(4) №470(6)

Ho finito!

11x+6x=408; 33M- M=1024 ; 476:x=14 (10x-4x)∙21=2268.

x=24M=32×=34×=18

Chiavi delle equazioni

X=204, P=32, M=304, !=18; Yu=302, LA=34, U=24, RE=3.

Le risposte corrette sono “EVVIVA!”

5. Minuto di educazione fisica

Siamo stanchi di sederci,

Hai solo bisogno di leggere un po'.

Mani in alto, mani in basso,

Lasciati stupire dalla susida!

Mani in alto, mani sui fianchi,

І guadagnare degli skoki.

Shvidko si sedette e si sedette.

Le gambe sono diventate opache.

Spruzza nella valle una volta.

Per lavoro. È tutto bellissimo!

Raddrizzarono la schiena e appoggiarono le mani sulla scrivania.

Per organizzare l’attenzione, il gioco “ANGOLI”

Spettacolo angolo acuto, dritto, ottuso, espanso, 30 0, 70 0, 97 0, 150 0, ecc., rombo?

Problema n. 487

Leggiamo, disegniamo un diagramma, analizziamo, troviamo una soluzione, scriviamo.

Vediamo cosa succede nella diapositiva

Mettiamolo in scena con gli studenti.

Fare un tavolo


			24 km in meno

1) 58∙4=232(km) il primo treno percorso

2) 232+24=256(km) percorso dal secondo treno

3) 256:4=64(km/ora)

Risposta: il secondo treno viaggiava alla velocità di 64 km/h

7. Compiti a casa

Puoi gestire questo compito a casa? Scriviamo il d/z.

N. 488, N. 471 (II colonna), ripetere le regole per risolvere equazioni, compito creativo (rumb)

8. Riflessione

Gioco del sapere e del non sapere

Znayka chiede a Dunno le proprietà della divisione, le regole per trovare gli elementi di un'equazione, come cambierà il quoziente se...

E non so rispondere!

Avevamo delle foglie inutilizzate sul tavolo. Mostrano punti. Che tipo di lavoro è questo? (dettato grafico)

Quanti punti ci sono sul pezzo di carta? Quante domande ci saranno? Ti ricordo le risposte

"SÌ" ; "NO" ; non è sicuro

· · · · · · · ·

1. I numeri quando divisi sono chiamati dividendo, divisore, quoziente

2. Mi sono reso conto che la divisione non è affatto difficile

3. Trovare divisore sconosciuto, devi dividere il dividendo per il quoziente

4. Per trovare un fattore sconosciuto, è necessario dividere il prodotto per il fattore noto

5. Oggi in classe ero interessato.

6. Ho lavorato coscienziosamente in classe.

7. Sono orgoglioso di me stesso.

Gli assistenti raccolgono le carte in fila e l'insegnante annuncia i voti.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

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In questo articolo esamineremo le regole e gli algoritmi per dividere i numeri naturali. Notiamo subito che qui si tratta solo della divisione nel suo insieme, cioè senza resto. Leggi come dividere i numeri naturali con il resto nel nostro materiale separato.

Prima di formulare la regola per dividere i numeri naturali, è necessario comprendere la connessione tra divisione e moltiplicazione. Dopo aver stabilito questa connessione, considereremo in sequenza i casi più semplici: dividere un numero naturale per se stesso e per uno. Successivamente analizzeremo la divisione utilizzando la tavola pitagorica, la divisione per sottrazione sequenziale, la divisione per numeri multipli di 10, le varie potenze di 10.

Per ogni caso, forniremo e considereremo esempi in dettaglio. Alla fine dell'articolo mostreremo come verificare il risultato della divisione.

Relazione tra divisione e moltiplicazione

Per tracciare la connessione tra divisione e moltiplicazione, ricorda che la divisione è rappresentata come la suddivisione dell'insieme divisibile originale in più insiemi identici. La moltiplicazione implica la combinazione di più insiemi identici in uno solo.

La divisione è l’azione inversa della moltiplicazione. Cosa significa? Facciamo un'analogia. Immaginiamo di avere b insiemi, ognuno dei quali contiene c oggetti. Totale oggetti in tutti gli insiemi è uguale a a. La moltiplicazione è l'unione di tutti gli insiemi in uno solo. Matematicamente si scriverà così:

Il processo inverso di partizionamento dell'insieme generale risultante in b insiemi di oggetti in ciascuno corrisponde alla divisione:

In base a quanto detto possiamo passare alla seguente affermazione:

Se il prodotto dei numeri naturali c e b è uguale ad a, allora il quoziente di a e b è uguale a c. Riscriviamolo in forma di lettera.

Se b c = a, allora a ÷ b = c

Utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione possiamo scrivere:

Ne consegue inoltre che a ÷ c = b.

Sulla base di quanto sopra, possiamo formulare conclusione generale. Se il prodotto dei numeri c e b è uguale ad a, allora i quozienti a ÷ b e a ÷ c sono uguali rispettivamente a c e b.

Riassumiamo tutto quanto sopra e diamo una definizione di divisione dei numeri naturali.

Divisione dei numeri naturali

Divisione: trovare un fattore sconosciuto tramite opera famosa e un altro moltiplicatore noto.

Questa definizione diventerà la base su cui costruiremo regole e metodi per dividere i numeri naturali.

Divisione per sottrazione sequenziale

Abbiamo appena parlato di divisione nel contesto della moltiplicazione. Sulla base di questa conoscenza è possibile effettuare l'operazione di divisione. Tuttavia, esiste un altro approccio abbastanza semplice e degno di attenzione: la divisione per sottrazione sequenziale. Questo metodo è intuitivo, quindi vediamolo con un esempio, senza fornire calcoli teorici.

Intestazione

Quanto fa 12 diviso 4?

In altre parole, questo problema può essere formulato come segue: ci sono 12 oggetti (ad esempio, le arance) e devono essere divisi in gruppi uguali di 4 oggetti (mettili in scatole da 4 pezzi). Quanti gruppi o scatole di quattro arance ci saranno ciascuno?

Passo dopo passo sottrarremo 4 arance dalla quantità originale e formeremo gruppi di 4 finché le arance non si esauriranno. Il numero di passi che dobbiamo compiere sarà la risposta alla domanda iniziale.

Delle 12 arance, mettete le prime quattro in una scatola. Successivamente, nella pila originale delle arance rimangono 12 - 4 = 8 agrumi. Di questi otto, ne prendiamo altri 4 in un'altra scatola. Ora ci sono 8 - 4 = 4 arance rimaste nella pila originale delle arance. Da questi quattro pezzi puoi semplicemente formare un'altra terza casella separata, dopodiché 4 - 4 = 0 arance rimarranno nella pila originale.

Quindi abbiamo ricevuto 3 scatole, 4 articoli ciascuna. In altre parole, abbiamo diviso 12 per 4 e il risultato è stato 3.

Quando lavori con i numeri, non è necessario tracciare ogni volta un'analogia con gli oggetti. Cosa abbiamo fatto con il dividendo e il divisore? Successivamente abbiamo sottratto il divisore dal dividendo fino ad ottenere un resto pari a zero.

Importante!

Quando si divide con il metodo di sottrazione sequenziale, il numero di operazioni di sottrazione fino a ottenere un resto pari a zero è il quoziente della divisione.

Per rafforzare questo concetto, consideriamo un altro esempio più complesso.

Esempio 1: Divisione per sottrazione sequenziale

Calcoliamo il risultato della divisione del numero 108 per 27 utilizzando il metodo della sottrazione sequenziale.

Prima azione: 108 - 27 = 81.

Seconda azione: 81 - 27 = 54.

Terza azione: 54 - 27 = 27.

Quarta azione: 27 - 27 = 0.

Non è richiesta alcuna ulteriore azione. Abbiamo ricevuto la risposta:

Si noti che questo metodo è conveniente solo nei casi in cui il numero richiesto di sottrazioni successive è piccolo. In altri casi è consigliabile applicare le regole di divisione, che considereremo di seguito.

Divisione di numeri naturali uguali

Secondo le proprietà dei numeri naturali, formuliamo una regola su come dividere i numeri naturali uguali.

Divisione di numeri naturali uguali

Il quoziente di un numero naturale diviso per il suo numero naturale uguale è uguale a uno!

Per esempio:

1 ÷ 1 = 1 ; 141 ÷ 141 = 1; 2589 ÷ 2589 = 1; 100000000 ÷ 100000000 = 1.

Divisione per uno

Basandosi sulle proprietà dei numeri naturali, possiamo anche formulare una regola per dividere un numero naturale per uno.

Dividere un numero naturale per uno

Il quoziente di qualsiasi numero naturale diviso per uno è uguale al numero stesso diviso.

Per esempio:

1÷1 = 1; 141 ÷ 1 = 141 ; 2589 ÷ 1 = 2589; 100000000 ÷ 1 = 100000000.

La tavola pitagorica è uno strumento utile che ti consente di trovare prodotti di numeri naturali a una cifra. Può però essere utilizzato anche per la divisione.

La tavola pitagorica consente di trovare non solo il risultato di un prodotto di fattori, ma anche un fattore di un prodotto noto e un altro fattore. Come abbiamo scoperto in precedenza, la divisione consiste proprio nel trovare un fattore sconosciuto da un prodotto noto e un altro fattore.

Usando la tavola pitagorica, puoi dividere qualsiasi numero su sfondo giallo per qualsiasi numero naturale a una cifra. Ti mostreremo come farlo. Esistono due metodi, il cui utilizzo considereremo con esempi.

Dividi 48 per 6.

Metodo uno.

Nella colonna la cui cella superiore contiene il divisore 6 troviamo il dividendo 48. Il risultato della divisione si trova nella cella più a sinistra della riga contenente il dividendo. È cerchiato in blu.

Metodo due.

Innanzitutto, sulla linea del divisore 6 troviamo il dividendo 48. Il risultato della divisione si trova nella cella più in alto della colonna contenente il dividendo. È cerchiato in blu.

Quindi abbiamo diviso 48 per 6 e abbiamo ottenuto 8. Il risultato è stato trovato utilizzando la tavola pitagorica in due modi. Entrambi i metodi sono assolutamente identici.

Per rafforzare questo, diamo un'occhiata a un altro esempio. Dividi 7 per 1. Ecco alcune immagini che illustrano il processo di divisione.

Come risultato della divisione del numero 7 per 1, hai indovinato, si ottiene il numero 7. Nella divisione utilizzando la tavola pitagorica, è molto importante conoscere questa tabella a memoria, poiché non è sempre possibile averla a portata di mano.

Divisione per 10, 100, 1000, ecc.

Formuliamo subito la regola per dividere i numeri naturali per 10, 100, 1000, ecc. Supponiamo subito che sia possibile la divisione senza resto.

Divisione per 10, 100, 1000, ecc.

Il risultato della divisione di un numero naturale per 10, 100, 1000, ecc. è un numero naturale la cui notazione si ottiene dalla notazione del dividendo se 1, 2, 3, ecc. vengono scartati alla sua destra. zeri.

Vengono scartati tutti gli zeri presenti nel divisore!

Ad esempio, 30 ÷ 10 = 3. Abbiamo rimosso uno zero dal numero 30.

Il quoziente 120000 ÷ 1000 è uguale a 120 - dal numero 120000 scartiamo tre zeri a destra, cioè quanti sono contenuti nel divisore.

La giustificazione della regola si basa sulla regola di moltiplicare un numero naturale per 10, 100, 1000, ecc. Facciamo un esempio. Diciamo che dobbiamo dividere 10200 per 100.

10200 = 102 100

10200 ÷ 100 = 102 100 100 = 102.

Rappresentazione del dividendo come prodotto

Quando dividi i numeri naturali, non dimenticare la proprietà di dividere il prodotto di due numeri per un numero naturale. A volte il dividendo può essere rappresentato come un prodotto, uno dei fattori in cui viene diviso dal divisore.

Diamo un'occhiata ai casi tipici.

Esempio 2. Rappresentazione del dividendo come prodotto

Dividi 30 per 3.

Il dividendo 30 può essere rappresentato come il prodotto 30 = 3 10.

Abbiamo: 30 ÷ 3 = 3 10 ÷ 3

Usando la proprietà di dividere il prodotto di due numeri, otteniamo:

3 10 ÷ 3 = 3 ÷ 3 10 = 1 10 = 10

Diamo alcuni altri esempi simili.

Esempio 3. Rappresentazione del dividendo come prodotto

Calcoliamo il quoziente 7200 ÷ 72.

Rappresentiamo il dividendo come 7200 = 72 100. In questo caso il risultato della divisione sarà il seguente:

7200 ÷ 72 = 72 100 ÷ 72 = 72 ÷ 72 ÷ 100 = 100

Esempio 4. Rappresentazione del dividendo come prodotto

Calcoliamo il quoziente: 1600000 ÷ 160.

1600000 = 160 10000

1600000 ÷ 160 = 160 10000 ÷ 160 = 160 ÷ 160 10000 = 10000

In più esempi complessiÈ conveniente usare la tavola pitagorica. Illustriamo questo.

Esempio 5. Rappresentazione del dividendo come prodotto

Dividi 5400 per 9.

La tavola pitagorica ci dice che 54 è divisibile per 9, quindi è consigliabile rappresentare il dividendo come prodotto:

5400 = 54 100.

Ora terminiamo la divisione:

5400 ÷ 9 = 54 100 ÷ 9 = 54 ÷ 9 100 = 6 100 = 600

Mettere al sicuro di questo materiale Consideriamo un altro esempio, senza spiegazioni verbali dettagliate.

Esempio 6. Rappresentazione del dividendo come prodotto

Calcoliamo quanto fa 120 diviso 4.

120 ÷ 4 = 12 10 ÷ 4 = 12 ÷ 4 10 = 3 10 = 30

Divisione dei numeri naturali che terminano con zero

Quando si dividono i numeri che terminano con 0, è utile ricordare la proprietà di dividere un numero naturale per il prodotto di due numeri. In questo caso, il divisore è rappresentato come un prodotto di due fattori, dopodiché questa proprietà viene utilizzata insieme alla tavola pitagorica.

Come sempre, lo spiegheremo con degli esempi.

Esempio 7. Divisione dei numeri naturali che terminano con 0

Dividi 490 per 70.

Scriviamo 70 come:

Usando la proprietà di dividere un numero naturale per un prodotto, possiamo scrivere:

490 ÷ 70 = 490 ÷ 7 10 = 490 ÷ 10 ÷ 7.

Abbiamo già parlato della divisione per 10 nel paragrafo precedente.

490 ÷ 10 ÷ 7 = 49 ÷ 7 = 7

Per rafforzare questo concetto, diamo un’occhiata a un altro esempio più complesso.

Esempio 8: divisione dei numeri naturali che terminano con 0

Prendiamo i numeri 54000 e 5400 e dividiamoli.

54000 ÷ 5400 = ?

Rappresentiamo 5400 come 54 100 e scriviamo:

54000 ÷ 5400 = 54000 ÷ 54 100 = 54000 ÷ 100 ÷ 54 = 540 ÷ 54.

Ora rappresentiamo il dividendo 540 come 54 10 e scriviamo:

540 ÷ 54 = 54 10 ÷ 54 = 54 ÷ 54 10 = 10

54000 ÷ 5400 = 10.

Riassumiamo quanto affermato in questo paragrafo.

Importante!

Se le voci relative al dividendo e al divisore contengono zeri a destra, è necessario eliminare lo stesso numero di zeri sia nel dividendo che nel divisore. Successivamente, dividi i numeri risultanti.

Ad esempio, dividendo i numeri 64000 e 8000 si ridurrà alla divisione dei numeri 64 e 8.

Metodo di selezione privata

Prima di considerare questo metodo di divisione, introduciamo alcune condizioni.

Siano i numeri a e b divisibili tra loro, e il prodotto b · 10 dà un numero maggiore di a. In questo caso, il quoziente a ÷ b è un numero naturale a valore singolo. In altre parole, è un numero da 1 a 9. Questa è una situazione tipica in cui il metodo di selezione del quoziente è conveniente e applicabile. Moltiplicando in sequenza il divisore per 1, 2, 3, . . ,9 e confrontando il risultato con il dividendo si ottiene il quoziente.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 9. Selezione di privato

Dividi 108 per 27.

È facile vedere che 27 · 10 = 270 ; 270 > 108 .

Iniziamo a selezionarne uno privato.

27 1 = 27 27 2 = 54 27 3 = 81 27 4 = 108

Bingo! Il quoziente è stato trovato utilizzando il metodo di selezione:

Si noti che nei casi in cui b · 10 > a è conveniente trovare il quoziente anche con il metodo della sottrazione sequenziale.

Rappresentare il dividendo come una somma

Un altro modo che può aiutarti a trovare il quoziente è rappresentare il dividendo come la somma di più numeri naturali, ognuno dei quali è facilmente divisibile per il divisore. Successivamente avremo bisogno della proprietà di dividere la somma dei numeri naturali per un numero. Insieme ad un esempio, considereremo l'algoritmo e risponderemo alla domanda: sotto forma di quali termini dovremmo rappresentare il dividendo?

Sia il dividendo 8551 e il divisore 17.

Calcoliamo quante cifre in più ci sono nella notazione del dividendo rispetto alla notazione del divisore. Nel nostro caso, il divisore contiene due segni e il dividendo ne contiene quattro. Ciò significa che il dividendo ha due cifre decimali in più. Ricorda il numero 2.
Aggiungi due zeri a destra del divisore. Perché due? Nel paragrafo precedente, abbiamo appena determinato questo numero. Tuttavia, se il numero risultante risulta essere maggiore del divisore, è necessario sottrarre 1 dal numero ottenuto nel paragrafo precedente. Nel nostro esempio, aggiungendo zeri al divisore, otteniamo il numero 1700< 8551 . Таким образом, отнимать единицу из двойки, полученной в первом пункте, не нужно. В памяти так же оставляем число 2 .
Al numero 1 a destra assegniamo zeri nell'importo determinato dal numero del paragrafo precedente. Otteniamo così un'unità di lavoro di scarico, con la quale opereremo ulteriormente. Nel nostro caso, a uno vengono assegnati due zeri. Categoria di lavoro: centinaia.
Moltiplichiamo in sequenza il divisore per 1, 2, 3, ecc. unità della cifra di lavoro finché non otteniamo un numero maggiore del dividendo. 17 100 = 1700; 17 · 200 = 3400 ; 17 · 300 = 5100 ; 17 · 400 = 6400 ; 17 · 500 = 8500 ; 17 · 600 = 10200 A noi interessa il penultimo risultato, poiché il risultato successivo del prodotto dopo è maggiore del dividendo. Il primo addendo è il numero 8500, ottenuto nel penultimo passo della moltiplicazione. Ricorda l'uguaglianza che utilizzeremo in seguito: 8500 = 17 500.
Calcoliamo la differenza tra il dividendo e il termine trovato. Se non è uguale a zero, torniamo al primo punto e iniziamo la ricerca del secondo termine, utilizzando al posto del dividendo la differenza già ottenuta. Ripetiamo i passaggi finché il risultato non è zero. Nel nostro esempio la differenza è 8551 - 8500 = 51. 51 ≠ 0, quindi, vai al punto 1.

Ripetiamo l'algoritmo:

Confrontiamo il numero di cifre del nuovo dividendo 51 e del divisore 17. Entrambe le voci hanno due cifre, la differenza nel numero di caratteri è zero. Ricorda il numero 0.
Poiché ricordiamo il numero 0, non è necessario aggiungere ulteriori zeri al divisore.
Inoltre non aggiungeremo zeri a uno. Ancora una volta, perché nel primo paragrafo ricordavamo il numero 0. Pertanto, la nostra cifra di lavoro sono le unità
Moltiplichiamo successivamente 17 per 1, 2, 3, . . eccetera. Otteniamo: 17 · 1 = 17 ; 17 · 2 = 34 ; 17 3 = 51.
Ovviamente nel terzo passaggio abbiamo ottenuto un numero uguale al divisore. Questo è il secondo termine. Poiché 51 - 51 = 0, a questo punto interrompiamo la ricerca dei termini: è completata.

Ora non resta che trovare il quoziente. Abbiamo presentato il dividendo 8551 come la somma 8500 + 51. Scriviamo:

8500 + 51 ÷ 17 = 8500 ÷ 17 + 51 ÷ 17.

I risultati delle divisioni tra parentesi ci sono noti dalle azioni precedenti.

8500 + 51 ÷ 17 = 8500 ÷ 17 + 51 ÷ 17 = 500 + 3 = 503.

Risultato della divisione: 8551 ÷ 17 = 503.

Diamo un'occhiata ad alcuni altri esempi, senza commentare ogni azione in modo così dettagliato.

Esempio 10. Divisione dei numeri naturali

Troviamo il quoziente: 64 ÷ 2.

1. Il dividendo ha un segno in più rispetto al divisore. Ricorda il numero 1.

2. Assegniamo uno zero a destra del divisore.

3. Aggiungiamo uno zero al numero 1 e otteniamo l'unità della cifra di lavoro - 10. La categoria lavorativa è quindi decine.

4. Iniziamo la moltiplicazione sequenziale del divisore per unità della cifra di lavoro. 2 10 = 20 ; 220 = 40; 2 · 30 = 60 ; 2 · 40 = 80 ; 80 > 64 .

Il primo termine trovato è il numero 60.

L'uguaglianza 60 ÷ 2 = 30 ci sarà utile in futuro.

5. Stiamo cercando il secondo termine. Per fare ciò, calcola la differenza 64 - 60 = 4. Il numero 4 è divisibile per 2 senza resto, ovviamente questo è il secondo termine.

Ora troviamo il quoziente:

64 ÷ 2 = 60 + 4 ÷ 2 = 60 ÷ 2 + 4 ÷ 2 = 30 + 2 = 32.

Esempio 11. Divisione di numeri naturali

Risolviamo: 1178 ÷ 31 = ?

1. Vediamo che il dividendo ha due cifre in più rispetto al divisore. Ricorda il numero 2.

2. Aggiungi due zeri al divisore a destra. Otteniamo il numero 3100.

3100 > 1178, quindi il numero 2 memorizzato dal primo punto deve essere ridotto di uno.

3. Aggiungiamo uno zero a quello a destra e otteniamo la cifra di lavoro: decine.

4. Moltiplica 31 per 10, 20, 30, . . eccetera.

31 · 10 = 310 ; 31 · 20 = 620 ; 31 · 30 = 930 ; 31 40 = 1240

1240 > 1178, quindi il primo termine è il numero 930.

5. Calcola la differenza 1178 - 930 = 248. Con il numero 248 al posto del dividendo cominciamo a cercare il secondo termine.

1. Il numero 248 ha una cifra in più rispetto al numero 31. Ricorda il numero 1.

2. A 31 aggiungiamo uno zero a destra. Poiché 310 > 248 riduciamo l'unità ottenuta nel paragrafo precedente e come risultato abbiamo il numero 0.

3. Poiché ricordiamo il numero 0, non è necessario aggiungere ulteriori zeri all'unità e la cifra delle unità è la cifra di lavoro.

4. Moltiplicare costantemente 31 per 1, 2, 3, . . ecc., confrontando il risultato con il dividendo.

31 · 1 = 31 ; 31 · 2 = 62 ; 31 · 3 = 93 ; 31 · 4 = 124 ; 31 · 5 = 155 ; 31 · 6 = 186 ; 31 · 7 = 217 ; 31 8 = 248

Pertanto, il secondo termine è il numero 248, divisibile per 31.

5. La differenza 248 - 248 è zero. Terminiamo la ricerca dei termini, ricordiamo il rapporto 248 ÷ 31 = 8 e troviamo il quoziente.

1178 ÷ 31 = 930 + 248 ÷ 31 = 930 ÷ 31 + 248 ÷ 31 = 30 + 8 = 38.

Aumentiamo gradualmente la complessità degli esempi.

Esempio 12. Divisione di numeri naturali

Dividi 13984 per 32.

In questo caso, l'algoritmo sopra descritto dovrà essere applicato tre volte. Non forniremo tutti i calcoli, indicheremo semplicemente nella forma in cui verrà rappresentato il divisore. Puoi metterti alla prova e fare i calcoli da solo.

Il primo termine è pari a 12800.

12800 ÷ 32 = 400.

Il secondo termine è pari a 960.

960 ÷ 32 = 30.

Il terzo termine è pari a 224.

Risultato:

13984 ÷ 32 = 12800 + 960 + 224 ÷ 32 = 12800 ÷ 32 + 960 ÷ 32 + 224 ÷ 32 = 400 + 30 + 7 = 437.

Sembrerebbe che abbiamo considerato quasi tutto modi possibili divisione dei numeri naturali. A questo punto il topic può considerarsi chiuso. Esiste però un metodo che in alcuni casi consente di effettuare la divisione in modo più rapido e razionale.

Diamo un'occhiata un'ultima volta.

Rappresentazione del dividendo come differenza di numeri naturali

A volte è più semplice e conveniente rappresentare il dividendo come una differenza piuttosto che come una somma. Ciò può accelerare e facilitare notevolmente il processo di divisione. Come esattamente? Mostriamolo con un esempio.

Esempio 13. Divisione di numeri naturali

Dividi 594 per 6.

Se utilizziamo l'algoritmo del paragrafo precedente, otterremo il risultato:

594 ÷ 6 = 540 + 54 ÷ 6 = 540 ÷ 6 + 54 ÷ 6 = 90 + 9 = 99.

Se però il numero 594 viene rappresentato come la differenza 600 – 6, tutto diventa molto più evidente. Entrambi i numeri 600 e 6) sono divisibili per 6. Dalla proprietà di dividere la differenza dei numeri naturali, otteniamo:

594 ÷ 6 = 600 - 6 ÷ 6 = 600 ÷ 6 - 6 ÷ 6 = 100 - 1 = 99

Il risultato è lo stesso, ma le azioni sono oggettivamente più facili e semplici.

Risolviamo un altro esempio utilizzando lo stesso metodo. Tieni presente che è importante essere in grado di notare correttamente quale manipolazione fare con i numeri per eseguire facilmente la divisione. Diciamo anche che c'è qualche elemento artistico in questo.

Esempio 14. Divisione dei numeri naturali

Ricordiamo la tavola pitagorica e capiamo: il numero 483 può essere convenientemente rappresentato come 483 = 490 - 7.

490 ÷ 7 = 70 7 ÷ 7 = 1

Effettuiamo la divisione:

483 ÷ 7 = (490 - 7) ÷ 7 = 490 ÷ 7 - 7 ÷ 7 = 70 - 1 = 69.

Controllo del risultato della divisione

Controllare non è mai superfluo, soprattutto se condividiamo grandi numeri. Come verificare se i numeri naturali sono divisi correttamente? Usando la moltiplicazione!

Per verificare se la divisione è stata eseguita correttamente, è necessario moltiplicare il quoziente per il divisore. Il risultato dovrebbe essere il dividendo.

Il significato di questa azione è molto semplice. Ad esempio, avevamo a oggetti e li abbiamo divisi in b pile. Ogni pila conteneva oggetti. Matematicamente assomiglia a questo:

Ora ricomponiamo tutte le pile b di oggetti c. Il risultato dovrebbe essere lo stesso insieme di oggetti a.

Consideriamo il test utilizzando due esempi.

Esempio 15. Controllo del risultato della divisione dei numeri naturali

Il numero 475 è diviso per 19. Il risultato è stato 25. La divisione è fatta correttamente?

Moltiplichiamo il quoziente di 25 per il divisore di 19 e scopriamo se i numeri sono stati divisi correttamente.

25 19 = 475.

Il numero 475 è uguale al dividendo, il che significa che la divisione è stata eseguita correttamente.

Esempio 16. Verifica del risultato della divisione dei numeri naturali

Dividi e controlla il risultato:

Rappresenteremo il dividendo come somma di termini ed effettueremo la divisione.

1024 ÷ 32 = 960 + 64 ÷ 32 = 960 ÷ 32 + 64 ÷ 32 = 30 + 2 = 32.

Controlliamo il risultato:

32 32 = 1024.

Conclusione: la divisione è stata eseguita correttamente.

Controllare il risultato della divisione dei numeri per divisione

Il metodo di verifica discusso sopra si basa sulla moltiplicazione. C'è anche un test di divisione. Come realizzarlo?

Controllo del risultato della divisione

Per verificare se il quoziente è stato trovato correttamente, è necessario dividere il dividendo per il quoziente risultante. Il risultato dovrebbe essere un divisore.

Se le cose vanno diversamente, possiamo concludere che da qualche parte si è insinuato un errore.

La regola si basa sullo stesso collegamento tra dividendo, divisore e quoziente della regola del paragrafo precedente.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio 17. Verifica del risultato della divisione dei numeri naturali

L'uguaglianza è vera:

Dividiamo il dividendo per il quoziente:

104 ÷ 8 = 80 + 24 ÷ 8 = 80 ÷ 8 + 24 ÷ 8 = 10 + 3 = 13.

Il risultato è un divisore, il che significa che la divisione è stata eseguita correttamente.

Esempio 18. Verifica del risultato della divisione dei numeri naturali

Calcoliamo e controlliamo: 240 ÷ 15 = ?

Rappresentando il dividendo come somma, otteniamo:

240 ÷ 15 = 150 + 90 ÷ 15 = 150 ÷ 15 + 90 ÷ 15 = 10 + 6 = 16.

Controlliamo il risultato:

240 ÷ 16 = 160 + 80 ÷ 16 = 160 ÷ 16 + 80 ÷ 16 = 10 + 5 = 15.

La divisione è fatta correttamente.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Anche se la matematica sembra difficile alla maggior parte delle persone, non è affatto vera. Molte operazioni matematiche sono abbastanza facili da capire, soprattutto se si conoscono le regole e le formule. Quindi, conoscendo la tavola pitagorica, puoi moltiplicare rapidamente nella tua mente. La cosa principale è allenarsi costantemente e non dimenticare le regole della moltiplicazione. Lo stesso si può dire della divisione.

Diamo un'occhiata alla divisione di numeri interi, frazioni e negativi. Ricordiamo le regole di base, le tecniche e i metodi.

Operazione di divisione

Cominciamo, forse, proprio dalla definizione e dal nome dei numeri che partecipano a questa operazione. Ciò faciliterà notevolmente l'ulteriore presentazione e percezione delle informazioni.

La divisione è una delle quattro operazioni matematiche fondamentali. Il suo studio inizia nel scuola elementare. È allora che ai bambini viene mostrato il primo esempio di divisione di un numero per un numero e vengono spiegate le regole.

L'operazione coinvolge due numeri: il dividendo e il divisore. Il primo è il numero da dividere, il secondo è il numero per cui viene diviso. Il risultato della divisione è il quoziente.

Esistono diverse notazioni per scrivere questa operazione: ":", "/" e una barra orizzontale - scrivere sotto forma di frazione, quando il dividendo è in alto e il divisore è in basso, sotto la linea.

Regole

Quando si studia una particolare operazione matematica, l'insegnante è obbligato a presentare agli studenti le regole di base che dovrebbero conoscere. È vero, non sempre vengono ricordati come vorremmo. Ecco perché abbiamo deciso di rinfrescarvi un po' la memoria sulle quattro regole fondamentali.

Regole di base per dividere i numeri che dovresti sempre ricordare:

1. Non puoi dividere per zero. Questa regola dovrebbe essere ricordata per prima.

2. Puoi dividere lo zero per qualsiasi numero, ma il risultato sarà sempre zero.

3. Se un numero viene diviso per uno, otteniamo lo stesso numero.

4. Se un numero viene diviso per se stesso, otteniamo uno.

Come puoi vedere, le regole sono abbastanza semplici e facili da ricordare. Anche se alcuni potrebbero dimenticare una regola così semplice come l'impossibilità o confondere con essa la divisione dello zero per un numero.

per numero

Una delle più regole utili- un segno con cui viene determinata la possibilità di dividere un numero naturale per un altro senza resto. Pertanto, si distinguono i segni di divisibilità per 2, 3, 5, 6, 9, 10. Consideriamoli più in dettaglio. Rendono molto più semplice eseguire operazioni sui numeri. Forniamo anche un esempio per ciascuna regola di divisione di un numero per un numero.

Questi segni-regole sono abbastanza ampiamente utilizzati dai matematici.

Test di divisibilità per 2

Il segno più facile da ricordare. Un numero che termina con una cifra pari (2, 4, 6, 8) o 0 è sempre divisibile per due. Abbastanza facile da ricordare e utilizzare. Quindi, il numero 236 termina con una cifra pari, il che significa che è divisibile per due.

Controlliamo: 236:2 = 118. Infatti, 236 è divisibile per 2 senza resto.

Questa regola è meglio conosciuta non solo dagli adulti, ma anche dai bambini.

Test di divisibilità per 3

Come dividere correttamente i numeri per 3? Ricorda la seguente regola.

Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di tre. Ad esempio, prendiamo il numero 381. La somma di tutte le cifre sarà 12. Questo è tre, il che significa che è divisibile per 3 senza resto.

Controlliamo anche questo esempio. 381: 3 = 127, allora è tutto corretto.

Test di divisibilità dei numeri per 5

Anche qui tutto è semplice. Si possono dividere per 5 senza resto solo i numeri che terminano con 5 o 0. Prendiamo ad esempio numeri come 705 o 800. Il primo termina con 5, il secondo con zero, quindi sono entrambi divisibili per 5. Questo è una delle regole più semplici che ti consente di dividere rapidamente per un numero 5 a una cifra.

Controlliamo questo segno utilizzando i seguenti esempi: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Come puoi vedere, il segno funziona.

Divisibilità per 6

Se vuoi sapere se un numero è divisibile per 6, devi prima scoprire se è divisibile per 2 e poi per 3. In tal caso, il numero può essere diviso per 6 senza resto , il numero 216 è divisibile per 2, poiché termina con una cifra pari, e per 3, poiché la somma delle cifre è 9.

Controlliamo: 216:6 = 36. L'esempio mostra che questo segno è valido.

Divisibilità per 9

Parliamo anche di come dividere i numeri per 9. La somma delle cifre il cui divisibile per 9 è diviso per questo numero Simile alla regola della divisione per 3. Ad esempio, il numero 918. Sommiamo tutte le cifre e otteniamo 18. - un numero che è multiplo di 9. Quindi è divisibile per 9 senza resto.

Risolviamo questo esempio per verificare: 918:9 = 102.

Divisibilità per 10

Un ultimo segnale per saperlo. Solo i numeri che finiscono con 0 sono divisibili per 10. Questo schema è abbastanza semplice e facile da ricordare. Quindi, 500:10 = 50.

Questi sono tutti i segni principali. Ricordandoli, puoi semplificarti la vita. Naturalmente ci sono altri numeri per i quali ci sono segni di divisibilità, ma abbiamo evidenziato solo quelli principali.

Tabella di divisione

In matematica non esiste solo la tavola di moltiplicazione, ma anche la tavola di divisione. Una volta imparato, puoi eseguire facilmente le operazioni. Essenzialmente, una tabella di divisione è una tabella di moltiplicazione inversa. Compilarlo da soli non è difficile. Per fare ciò, dovresti riscrivere ogni riga della tabella di moltiplicazione in questo modo:

1. Metti il prodotto del numero al primo posto.

2. Metti un segno di divisione e scrivi il secondo fattore dalla tabella.

3. Dopo il segno uguale, annota il primo fattore.

Ad esempio, prendiamo la seguente riga dalla tabella di moltiplicazione: 2*3= 6. Ora la riscriviamo secondo l'algoritmo e otteniamo: 6 ÷ 3 = 2.

Molto spesso ai bambini viene chiesto di creare da soli un tavolo, sviluppando così la loro memoria e attenzione.

Se non hai tempo per scriverlo, puoi utilizzare quello presentato nell’articolo.

Tipi di divisione

Parliamo un po' dei tipi di divisione.

Cominciamo dal fatto che possiamo distinguere tra divisione di numeri interi e frazioni. Inoltre, nel primo caso possiamo parlare di operazioni con numeri interi e decimali, e nel secondo - solo sui numeri frazionari. In questo caso una frazione può essere il dividendo o il divisore oppure entrambi contemporaneamente. Ciò è dovuto al fatto che le operazioni sulle frazioni sono diverse dalle operazioni sugli interi.

In base ai numeri che partecipano all'operazione si possono distinguere due tipi di divisione: in numeri a una cifra e in numeri a più cifre. La più semplice è la divisione per un numero a una cifra. Qui non sarà necessario eseguire calcoli complicati. Inoltre, una tabella di divisione può essere di grande aiuto. Dividersi in altri - due -, numeri a tre cifre- più pesante.

Diamo un'occhiata ad esempi per questi tipi di divisione:

14:7 = 2 (divisione per un numero a una cifra).

240:12 = 20 (divisione per un numero a due cifre).

45387: 123 = 369 (divisione per un numero di tre cifre).

Quest'ultimo può essere distinto per divisione, che coinvolge numeri positivi e negativi. Quando lavori con quest'ultimo, dovresti conoscere le regole in base alle quali a un risultato viene assegnato un valore positivo o negativo.

Quando si dividono i numeri con segni diversi(il dividendo è un numero positivo, il divisore è negativo, o viceversa) otteniamo un numero negativo. Dividendo numeri con lo stesso segno (sia il dividendo che il divisore sono positivi o viceversa), otteniamo un numero positivo.

Per chiarezza, considerare i seguenti esempi:

Divisione di frazioni

Quindi, abbiamo esaminato le regole di base, dato un esempio di divisione di un numero per un numero, ora parliamo di come eseguire correttamente le stesse operazioni con le frazioni.

Sebbene all'inizio dividere le frazioni possa sembrare un lavoro impegnativo, lavorarci non è poi così difficile. La divisione di una frazione viene eseguita più o meno allo stesso modo della moltiplicazione, ma con una differenza.

Per dividere una frazione, devi prima moltiplicare il numeratore del dividendo per il denominatore del divisore e registrare il risultato risultante come numeratore del quoziente. Quindi moltiplica il denominatore del dividendo per il numeratore del divisore e scrivi il risultato come denominatore del quoziente.

Può essere fatto in modo più semplice. Riscrivi la frazione del divisore scambiando il numeratore con il denominatore, quindi moltiplica i numeri risultanti.

Ad esempio, dividiamo due frazioni: 4/5:3/9. Per prima cosa, giriamo il divisore e otteniamo 9/3. Ora moltiplichiamo le frazioni: 4/5 * 9/3 = 36/15.

Come puoi vedere, tutto è abbastanza semplice e non più difficile della divisione per un numero a una cifra. Gli esempi non sono facili da risolvere se non si dimentica questa regola.

conclusioni

La divisione è una delle operazioni matematiche che ogni bambino impara alle scuole elementari. Mangiare certe regole, che dovresti conoscere, tecniche che rendono più semplice questa operazione. La divisione può essere con o senza resto; può esserci divisione di numeri negativi e frazionari.

È abbastanza facile ricordare le caratteristiche di questa operazione matematica. Abbiamo risolto la maggior parte punti importanti, abbiamo esaminato più di un esempio di divisione di un numero per un numero, abbiamo anche parlato di come lavorare con i numeri frazionari.

Se vuoi migliorare la tua conoscenza della matematica, ti consigliamo di ricordare queste semplici regole. Inoltre, possiamo consigliarti di sviluppare la memoria e le capacità aritmetiche mentali eseguendo dettati matematici o semplicemente cercando di calcolare verbalmente il quoziente di due numeri casuali. Credimi, queste abilità non saranno mai superflue.

Consideriamo il concetto di divisione nel problema:
Nel cestino c'erano 12 mele. Sei bambini hanno selezionato le mele. Ogni bambino ha ricevuto lo stesso numero di mele. Quante mele ha ogni bambino?

Soluzione:
Abbiamo bisogno di 12 mele da dividere tra sei bambini. Scriviamo matematicamente il problema 12:6.
Oppure puoi dirlo diversamente. Per quale numero bisogna moltiplicare il numero 6 per ottenere il numero 12? Scriviamo il problema sotto forma di equazione. Non conosciamo il numero di mele, quindi denotiamole come variabile x.

Per trovare l'incognita x abbiamo bisogno di 12:6=2
Risposta: 2 mele per ogni bambino.

Diamo uno sguardo più da vicino all'esempio 12:6=2:

Viene chiamato il numero 12 divisibile. Questo è il numero che viene diviso.
Viene chiamato il numero 6 divisore. Questo è il numero per cui viene diviso.
E viene chiamato il risultato della divisione del numero 2 privato. Il quoziente mostra quante volte il dividendo è maggiore del divisore.

In forma letterale, la divisione si presenta così:
a:b=c
UN– divisibile,
B- divisore,
C– privato.

Allora cos'è la divisione?

Divisione- questa è l'azione inversa di un fattore, possiamo trovare un altro fattore.

La divisione viene verificata mediante moltiplicazione, ovvero:
UN: B= C, controlla con⋅B= UN
18:9=2, controlla 2⋅9=18

Moltiplicatore sconosciuto.

Consideriamo il problema:
Ogni confezione contiene 3 pezzi di palline di Natale. Per decorare l'albero di Natale abbiamo bisogno di 30 palline. Di quante confezioni di palline di Natale abbiamo bisogno?

Soluzione:
x – numero imprecisato di pacchi di palline.
3 – pezzi in un pacchetto di palloncini.
30 – palline totali.

x⋅3=30 dobbiamo prendere 3 tante volte per ottenere un totale di 30. x è un fattore sconosciuto. Questo è, Per trovare l'incognita è necessario dividere il prodotto per il fattore noto.
x=30:3
x=10.

Risposta: 10 pacchi di palloncini.

Dividendo sconosciuto.

Consideriamo il problema:
Ogni confezione contiene 6 matite colorate. Ci sono 3 pacchetti in totale. Quante matite c'erano in totale prima di essere messe nei pacchetti?

Soluzione:
x – totale matite,
6 matite in ogni confezione,
3 – confezioni di matite.

Scriviamo l'equazione del problema sotto forma di divisione.
x:6=3
x è il dividendo sconosciuto. Per trovare il dividendo sconosciuto, devi moltiplicare il quoziente per il divisore.
x=3⋅6
x=18

Risposta: 18 matite.

Divisore sconosciuto.

Diamo un'occhiata al problema:
C'erano 15 palline nel negozio. Durante la giornata sono venuti in negozio 5 clienti. Gli acquirenti hanno acquistato un numero uguale di palloncini. Quanti palloncini ha acquistato ciascun cliente?

Soluzione:
x – il numero di palline acquistate da un acquirente,
5 – numero di acquirenti,
15 – numero di palline.
Scriviamo l'equazione del problema sotto forma di divisione:
15:x=5
x – in questa equazione c'è un divisore incognito. Per trovare il divisore incognito, dividiamo il dividendo per il quoziente.
x=15:5
x=3

Risposta: 3 palline per ogni acquirente.

Proprietà di dividere un numero naturale per uno.

Regola di divisione:
Qualsiasi numero diviso per 1 dà come risultato lo stesso numero.

7:1=7
UN:1= UN

Proprietà di dividere un numero naturale per zero.

Consideriamo un esempio: 6:2=3, puoi verificare se abbiamo diviso correttamente moltiplicando 2⋅3=6.
Se siamo 3:0, non saremo in grado di verificare, perché qualsiasi numero moltiplicato per zero sarà zero. Pertanto la registrazione 3:0 non ha senso.
Regola di divisione:
Non puoi dividere per zero.

Proprietà di dividere lo zero per un numero naturale.

0:3=0 questa voce ha senso. Se dividiamo qualcosa in tre parti, non otteniamo nulla.
0: UN=0
Regola di divisione:
Quando si divide 0 per qualsiasi numero naturale diverso da zero, il risultato sarà sempre 0.

La proprietà di dividere numeri identici.

3:3=1
UN: UN=1
Regola di divisione:
Dividendo per se stesso un numero diverso da zero il risultato sarà 1.

Domande sul tema “Divisione”:

Nella voce a:b=c, qual è il quoziente qui?
Risposta: a:b e c.

Cos'è privato?
Risposta: il quoziente mostra quante volte il dividendo è maggiore del divisore.

A quale valore di m la voce è 0⋅m=5?
Risposta: se moltiplicato per zero, la risposta sarà sempre 0. La voce non ha senso.

Esiste un n tale che 0⋅n=0?
Risposta: Sì, la voce ha senso. Qualsiasi numero moltiplicato per 0 darà come risultato 0, quindi n è un numero qualsiasi.

Esempio 1:
Trova il valore dell'espressione: a) 0:41 b) 41:41 c) 41:1
Risposta: a) 0:41=0 b) 41:41=1 c) 41:1=41

Esempio n.2:
Per quali valori delle variabili è vera l'uguaglianza: a) x:6=8 b) 54:x=9

a) x – in questo esempio è divisibile. Per trovare il dividendo è necessario moltiplicare il quoziente per il divisore.
x – dividendo sconosciuto,
6 – divisore,
8 – quoziente.
x=8⋅6
x=48

b) 54 – dividendo,
x è un divisore,
9 – quoziente.
Per trovare un divisore sconosciuto, devi dividere il dividendo per il quoziente.
x=54:9
x=6

Compito n. 1:
Sasha ha 15 punti e Misha ha 45 punti. Quante volte più francobolli ha Misha di Sasha?
Soluzione:
Il problema può essere risolto in due modi. Primo modo:
15+15+15=45
Ci vogliono 3 numeri 15 per ottenere 45, quindi Misha ha 3 volte più voti di Sasha.
Secondo modo:
45:15=3

Risposta: Misha ha 3 volte più francobolli di Sasha.

I numeri naturali a una cifra sono facili da dividere a mente. Ma come dividere i numeri a più cifre? Se un numero ha già più di due cifre, il conteggio mentale può richiedere molto tempo e aumenta la probabilità di errori quando si opera con numeri a più cifre.

La divisione in colonne è un metodo conveniente spesso utilizzato per dividere numeri naturali a più cifre. È a questo metodo che è dedicato questo articolo. Di seguito vedremo come eseguire la divisione lunga. Innanzitutto, diamo un'occhiata all'algoritmo per dividere un numero a più cifre per un numero a una cifra in una colonna, quindi - a più cifre per un numero a più cifre. Oltre alla teoria, l'articolo fornisce esempi pratici di divisione lunga.

Yandex.RTB R-A-339285-1

È più comodo tenere gli appunti su carta a quadretti, poiché durante i calcoli le linee ti impediranno di confonderti tra le cifre. Innanzitutto, il dividendo e il divisore vengono scritti da sinistra a destra su una riga, quindi separati segno speciale dividendo in una colonna che assomiglia a:

Diciamo che dobbiamo dividere 6105 per 55, scriviamo:

Scriveremo i calcoli intermedi sotto il dividendo e il risultato verrà scritto sotto il divisore. In generale, lo schema di divisione delle colonne è simile al seguente:

Ricorda che i calcoli richiederanno spazio libero sulla pagina. Inoltre, di più differenza nelle cifre del dividendo e del divisore, maggiore sarà il numero di calcoli necessari.

Ad esempio, dividere i numeri 614.808 e 51.234 richiederà meno spazio che dividere il numero 8.058 per 4. Anche se nel secondo caso i numeri sono più piccoli, la differenza nel numero di cifre è maggiore e i calcoli saranno più complicati. Illustriamo questo:

È più conveniente esercitare abilità pratiche semplici esempi. Pertanto, dividiamo i numeri 8 e 2 in una colonna. Naturalmente, questa operazione è facile da eseguire nella tua testa o utilizzando la tabella di moltiplicazione, ma analisi dettagliata Sarà utile per chiarezza, anche se sappiamo già che 8 ÷ 2 = 4.

Quindi, per prima cosa scriviamo il dividendo e il divisore secondo il metodo di divisione delle colonne.

Il passo successivo è scoprire quanti divisori contiene il dividendo. Come farlo? Moltiplichiamo successivamente il divisore per 0, 1, 2, 3. . Lo facciamo finché il risultato non è un numero uguale o maggiore del dividendo. Se il risultato risulta immediatamente in un numero uguale al dividendo, sotto il divisore scriviamo il numero per il quale è stato moltiplicato il divisore.

Altrimenti, quando otteniamo un numero maggiore del dividendo, sotto il divisore scriviamo il numero calcolato al penultimo passo. Al posto del quoziente incompleto scriviamo il numero per il quale è stato moltiplicato il divisore al penultimo passo.

Torniamo all'esempio.

2 · 0 = 0 ; 2 · 1 = 2 ; 2 · 2 = 4 ; 2 · 3 = 6 ; 2 4 = 8

Quindi, abbiamo immediatamente ottenuto un numero pari al dividendo. Lo scriviamo sotto il dividendo e al posto del quoziente scriviamo il numero 4, per il quale abbiamo moltiplicato il divisore.

Ora non resta che sottrarre i numeri sotto il divisore (anche utilizzando il metodo delle colonne). Nel nostro caso, 8 - 8 = 0.

Questo esempio- divisione di numeri senza resto. Il numero ottenuto dopo la sottrazione è il resto della divisione. Se è uguale a zero, i numeri vengono divisi senza resto.

Consideriamo ora un esempio in cui i numeri vengono divisi con il resto. Dividi il numero naturale 7 per il numero naturale 3.

In questo caso, moltiplicando in sequenza tre per 0, 1, 2, 3. . otteniamo come risultato:

30 = 0< 7 ; 3 · 1 = 3 < 7 ; 3 · 2 = 6 < 7 ; 3 · 3 = 9 > 7

Sotto il dividendo scriviamo il numero ottenuto nel penultimo passaggio. Usando il divisore scriviamo il numero 2, il quoziente incompleto ottenuto nel penultimo passaggio. Abbiamo moltiplicato il divisore per due e abbiamo ottenuto 6.

Per completare l'operazione sottraiamo 6 da 7 e otteniamo:

Questo esempio divide i numeri con un resto. Il quoziente parziale è 2 e il resto è 1.

Ora, dopo aver considerato gli esempi elementari, passiamo alla divisione dei numeri naturali a più cifre in numeri a una cifra.

Considereremo l'algoritmo di divisione delle colonne utilizzando l'esempio della divisione del numero a più cifre 140288 per il numero 4. Diciamo subito che è molto più semplice comprendere l'essenza del metodo utilizzando esempi pratici, e questo esempio non è stato scelto a caso, poiché illustra tutte le possibili sfumature della divisione dei numeri naturali in una colonna.

1. Scrivi i numeri insieme al simbolo della divisione in una colonna. Ora guarda la prima cifra a sinistra nella notazione dei dividendi. Sono possibili due casi: il numero definito da questa cifra è maggiore del divisore e viceversa. Nel primo caso lavoriamo con questo numero, nel secondo prendiamo inoltre la cifra successiva nel record dei dividendi e lavoriamo con il corrispondente numero a doppia cifra. In accordo con questo punto, evidenziamo nella voce di esempio il numero con cui lavoreremo inizialmente. Questo numero è 14 perché la prima cifra del dividendo 1 è inferiore al divisore 4.

2. Determina quante volte il numeratore è contenuto nel numero risultante. Indichiamo questo numero come x = 14. Moltiplichiamo successivamente il divisore 4 per ciascun membro della serie di numeri naturali ℕ, compreso lo zero: 0, 1, 2, 3 e così via. Lo facciamo finché non otteniamo come risultato x o un numero maggiore di x. Quando il risultato della moltiplicazione è il numero 14, lo scriviamo sotto il numero evidenziato secondo le regole per scrivere la sottrazione in una colonna. Il fattore per il quale è stato moltiplicato il divisore è scritto sotto il divisore. Se il risultato della moltiplicazione è un numero maggiore di x, allora sotto il numero evidenziato scriviamo il numero ottenuto al penultimo passaggio, e al posto del quoziente incompleto (sotto il divisore) scriviamo il fattore per cui è stata effettuata la moltiplicazione al penultimo passaggio.

Secondo l'algoritmo abbiamo:

40 = 0< 14 ; 4 · 1 = 4 < 14 ; 4 · 2 = 8 < 14 ; 4 · 3 = 12 < 14 ; 4 · 4 = 16 > 14 .

Sotto il numero evidenziato scriviamo il numero 12 ottenuto nel penultimo passaggio. Al posto del quoziente scriviamo il fattore 3.

3. Sottrai 12 da 14 utilizzando una colonna e scrivi il risultato sotto la linea orizzontale. Per analogia con il primo punto, confrontiamo il numero risultante con il divisore.

4. Numero 2 meno numero 4, quindi scriviamo sotto la linea orizzontale dopo il due il numero che si trova nella cifra successiva del dividendo. Se nel dividendo non ci sono più cifre, l'operazione di divisione termina. Nel nostro esempio, dopo il numero 2 ottenuto nel paragrafo precedente, annotiamo la cifra successiva del dividendo - 0. Di conseguenza, celebriamo qualcosa di nuovo numero di lavoro - 20 .

Importante!

I punti 2 - 4 si ripetono ciclicamente fino alla fine dell'operazione di divisione dei numeri naturali per una colonna.

2. Contiamo nuovamente quanti divisori sono contenuti nel numero 20. Moltiplicare 4 per 0, 1, 2, 3. . noi abbiamo:

Poiché come risultato abbiamo ricevuto un numero pari a 20, lo scriviamo sotto il numero contrassegnato e al posto del quoziente, nella cifra successiva, scriviamo 5, il fattore per cui è stata eseguita la moltiplicazione.

3. Eseguiamo la sottrazione in una colonna. Poiché i numeri sono uguali, il risultato è il numero zero: 20 - 20 = 0.

4. Non annoteremo il numero zero, poiché questa fase non segna la fine della divisione. Ricordiamo solo il punto in cui potremmo scriverlo e scriviamo accanto il numero della cifra successiva del dividendo. Nel nostro caso il numero è 2.

Prendiamo questo numero come numero di lavoro ed eseguiamo nuovamente i passaggi dell'algoritmo.

2. Moltiplica il divisore per 0, 1, 2, 3. . e confrontare il risultato con il numero segnato.

40 = 0< 2 ; 4 · 1 = 4 > 2

Di conseguenza, sotto il numero contrassegnato scriviamo il numero 0, e sotto il divisore nella cifra successiva del quoziente scriviamo anche 0.

3. Esegui l'operazione di sottrazione e scrivi il risultato sotto la linea.

4. A destra sotto la linea aggiungi il numero 8, poiché questa è la cifra successiva del numero da dividere.

Pertanto, otteniamo un nuovo numero di lavoro: 28. Ripetiamo nuovamente i punti dell'algoritmo.

Dopo aver fatto tutto secondo le regole, otteniamo il risultato:

Spostiamo l'ultima cifra del dividendo sotto la linea - 8. IN ultima volta Ripetiamo i punti 2 - 4 dell'algoritmo e otteniamo:

Nella riga più in basso scriviamo il numero 0. Questo numero viene scritto solo nell'ultima fase della divisione, quando l'operazione è completata.

Pertanto, il risultato della divisione del numero 140228 per 4 è il numero 35072. Questo esempio è stato analizzato in modo molto dettagliato e quando si risolvono compiti pratici non è necessario descrivere tutte le azioni in modo così approfondito.

Forniremo altri esempi di divisione dei numeri in una colonna ed esempi di soluzioni di scrittura.

Esempio 1. Divisione in colonna dei numeri naturali

Dividi il numero naturale 7136 per il numero naturale 9.

Dopo il secondo, terzo e quarto passo dell’algoritmo, il record assumerà la forma:

Ripetiamo il ciclo:

L’ultimo passaggio, e leggiamo il risultato:

Risposta: Il quoziente parziale di 7136 e 9 è 792 e il resto è 8.

Quando si risolvono esempi pratici, l'ideale è non utilizzare affatto spiegazioni sotto forma di commenti verbali.

Esempio 2. Dividere i numeri naturali in una colonna

Dividere il numero 7042035 per 7.

Risposta: 1006005

L'algoritmo per dividere i numeri a più cifre in una colonna è molto simile all'algoritmo discusso in precedenza per dividere un numero a più cifre per un numero a una cifra. Per essere più precisi, le modifiche riguardano solo il primo punto, mentre restano invariati i punti 2 - 4.
Se, dividendo per un numero a una cifra, guardassimo solo la prima cifra del dividendo, ora guarderemo tante cifre quante sono nel divisore. Quando il numero determinato da queste cifre è maggiore del divisore, lo prendiamo come numero di lavoro. Altrimenti, aggiungiamo un'altra cifra dalla cifra successiva del dividendo. Quindi seguiamo i passaggi dell'algoritmo sopra descritto.

Consideriamo l'applicazione dell'algoritmo per la divisione di numeri a più cifre utilizzando un esempio.

Esempio 3. Divisione in colonna dei numeri naturali

Dividiamo 5562 per 206.

Il divisore contiene tre segni, quindi selezioniamo subito il numero 556 nel dividendo.
556 > 206, quindi prendiamo questo numero come numero di lavoro e passiamo al punto 2 dell'aggloritm.
Moltiplica 206 per 0, 1, 2, 3. . e otteniamo:

2060 = 0< 556 ; 206 · 1 = 206 < 556 ; 206 · 2 = 412 < 556 ; 206 · 3 = 618 > 556

618 > 556, quindi sotto il divisore scriviamo il risultato della penultima azione, e sotto il dividendo scriviamo il fattore 2

Esegui la sottrazione di colonna

Come risultato della sottrazione otteniamo il numero 144. A destra del risultato, sotto la linea, scriviamo il numero dalla cifra corrispondente del dividendo e otteniamo un nuovo numero di lavoro: 1442.

Ripetiamo con lui i punti 2 - 4. Noi abbiamo:

206 5 = 1030< 1442 ; 206 · 6 = 1236 < 1442 ; 206 · 7 = 1442

Sotto il numero di lavoro contrassegnato scriviamo 1442 e nella cifra successiva del quoziente scriviamo il numero 7, il moltiplicatore.

Effettuiamo la sottrazione in una colonna, e capiamo che questa è la fine dell'operazione di divisione: non ci sono più cifre nel divisore da scrivere a destra del risultato della sottrazione.