Matematisk modellering i økonomi. Emner: Matematiske modeller i økonomi

Det er et betydelig utvalg av typer og typer økonomiske og matematiske modeller som er nødvendige for bruk i styringen av økonomiske objekter og prosesser. Økonomiske og matematiske modeller er delt inn i: makroøkonomiske og mikroøkonomiske, avhengig av nivået på det modellerte kontrollobjektet, dynamiske, som karakteriserer endringer i kontrollobjektet over tid, og statiske, som beskriver sammenhengene mellom ulike parametere og indikatorer for objektet ved den spesielle tiden. Diskrete modeller viser tilstanden til kontrollobjektet på separate, faste tidspunkter. Simuleringsmodeller er økonomiske og matematiske modeller som brukes til å simulere kontrollerte økonomiske objekter og prosesser ved bruk av informasjons- og datateknologi. Basert på typen matematisk apparat som brukes i modellene, finnes det økonomisk-statistiske modeller, lineære og ikke-lineære programmeringsmodeller, matrisemodeller og nettverksmodeller.

Faktormodeller. Gruppen av økonomisk-matematiske faktormodeller inkluderer modeller som på den ene siden inkluderer økonomiske faktorer som tilstanden til det administrerte økonomiske objektet avhenger av, og på den andre siden parametere for objektets tilstand som avhenger av disse faktorene. Hvis faktorene er kjent, lar modellen oss bestemme de nødvendige parameterne. Faktormodeller er oftest gitt av matematisk enkle lineære eller statiske funksjoner som karakteriserer forholdet mellom faktorer og parameterne til et økonomisk objekt som avhenger av dem.

Balansemodeller. Balansemodeller, både statistiske og dynamiske, er mye brukt i økonomisk og matematisk modellering. Opprettelsen av disse modellene er basert på balansemetoden - en metode for gjensidig sammenligning av materielle, arbeidskraft og økonomiske ressurser og behovene for dem. Når man beskriver det økonomiske systemet som helhet, forstås balansemodellen som et system av ligninger, som hver uttrykker behovet for en balanse mellom mengden produkter produsert av individuelle økonomiske objekter og den totale etterspørselen etter disse produktene. Med denne tilnærmingen består det økonomiske systemet av økonomiske objekter, som hver produserer et bestemt produkt. Hvis vi i stedet for begrepet "produkt" introduserer begrepet "ressurs", så må balansemodellen forstås som et system av ligninger som tilfredsstiller kravene mellom en viss ressurs og bruken av den.

De viktigste typene balansemodeller:

· Materiell, arbeidskraft og finansiell balanse for økonomien som helhet og dens individuelle sektorer;
· Saldo mellom industrien;
· Matrisebalanser for bedrifter og firmaer.

Optimaliseringsmodeller. En stor klasse økonomiske og matematiske modeller danner optimaliseringsmodeller som lar deg velge det beste optimale alternativet blant alle løsninger. I matematisk innhold forstås optimalitet som å oppnå ekstremumet av optimalitetskriteriet, også kalt den objektive funksjonen. Optimaliseringsmodeller brukes oftest i problemer med å finne den beste måten å bruke økonomiske ressurser på, som gjør det mulig å oppnå maksimal måleffekt. Matematisk programmering ble utviklet på grunnlag av å løse problemet med optimal kutting av kryssfinerplater, noe som sikrer den mest komplette bruken av materialet. Etter å ha stilt et slikt problem, ble den berømte russiske matematikeren og økonomen akademiker L.V. Kantorovich ble ansett som verdig Nobelprisen i økonomi.

Matematiske metoder i økonomi er et viktig verktøy for analyse. De brukes i konstruksjonen av teoretiske modeller som gjør det mulig å vise eksisterende sammenhenger i Hverdagen. Ved å bruke disse metodene er oppførselen til forretningsenheter og dynamikken til økonomiske indikatorer i landet forutsagt ganske nøyaktig.

Jeg vil gjerne dvele mer detaljert ved å forutsi indikatorene for økonomiske objekter, som er et verktøy for beslutningsteori. Prognoser for sosiale økonomisk utvikling av ethvert land er basert på visse indikatorer (inflasjonsdynamikk, bruttonasjonalprodukt, etc.). Dannelsen av forventede indikatorer utføres ved bruk av metoder for anvendt statistikk og økonometri som regresjon og korrelasjonsanalyse.

Forskningsfeltet "Økonomi og matematiske metoder" har alltid vært ganske interessant for forskere på dette feltet. Dermed identifiserte akademiker Nemchinov fem matematiske i planlegging og prognose:

Metode matematisk modellering;

Vektor-matrise metode;

Suksessiv tilnærmingsmetode;

Metode for optimale sosiale vurderinger.

En annen akademiker, Kantorovich, delte matematiske metoder inn i fire grupper:

Modeller for samhandling mellom økonomiske enheter;

Makroøkonomiske modeller, inkludert etterspørselsmodeller og balansemetoden;

Optimaliseringsmodeller;

Lineær modellering.

Systemet brukes til å ta effektive og riktige beslutninger i den økonomiske sfæren. I dette tilfellet brukes hovedsakelig moderne datateknologi.

Selve modelleringsprosessen bør utføres i følgende rekkefølge:

1. Redegjørelse av problemet. Det er nødvendig å tydelig formulere problemet, bestemme objektene knyttet til problemet som skal løses, og situasjonen realisert som et resultat av løsningen. Det er på dette stadiet kvantifisering foretas av subjekter, objekter og situasjoner knyttet til dem.

2. System analyse oppgaver. Alle objekter skal deles inn i elementer med en definisjon av forholdet mellom dem. Det er på dette stadiet det er best å bruke matematiske metoder i økonomi, ved hjelp av hvilke en kvantitativ og kvalitativ analyse av egenskapene til nydannede elementer utføres og som et resultat av hvilke visse ulikheter og ligninger utledes. Det viser seg med andre ord å være et system av indikatorer.

3. Systemsyntese er en matematisk formulering av et problem, under organiseringen av hvilken en matematisk modell av et objekt dannes og algoritmer for å løse problemet bestemmes. På dette stadiet er det en mulighet for at de aksepterte modellene fra de foregående stadiene kan vise seg å være feil, og for å oppnå det riktige resultatet må du gå tilbake ett, eller til og med to trinn.

Når den matematiske modellen er dannet, kan du fortsette å utvikle et program for å løse problemet på en datamaskin. Hvis du har et ganske komplekst objekt som består av stor kvantitet elementer, må du opprette en database og tilgjengelige verktøy for å jobbe med den.

Hvis problemet tar en standardform, brukes alle egnede matematiske metoder i økonomi og en ferdig programvare.

Den siste fasen er den direkte driften av den dannede modellen og oppnå de riktige resultatene.

Matematiske metoder i økonomi må brukes i en bestemt rekkefølge og med bruk av moderne informasjons- og datateknologi. Først i denne rekkefølgen blir det mulig å utelukke subjektive viljebeslutninger basert på personlig interesse og følelser.

1. Modellering som metode for vitenskapelig kunnskap.

Modellering i vitenskapelig forskning begynte å bli brukt i antikken og utvidet seg gradvis til nye områder. vitenskapelig kunnskap: teknisk design, konstruksjon og arkitektur, astronomi, fysikk, kjemi, biologi og til slutt samfunnsvitenskap. Store suksesser og anerkjennelse i nesten alle bransjer moderne vitenskap brakt til modelleringsmetoden på det tjuende århundre. Imidlertid har modelleringsmetodikk lenge blitt utviklet uavhengig av individuelle vitenskaper. Det var ikke noe enhetlig system av konsepter, ingen enhetlig terminologi. Bare gradvis begynte modellens rolle som en universell metode for vitenskapelig kunnskap å bli realisert.

Begrepet "modell" er mye brukt i ulike felt menneskelig aktivitet og har mange semantiske betydninger. La oss bare vurdere slike "modeller" som er verktøy for å skaffe kunnskap.

En modell er et materielt eller mentalt forestilt objekt som i forskningsprosessen erstatter det opprinnelige objektet slik at det direkte studiet gir ny kunnskap om det opprinnelige objektet

Modellering refererer til prosessen med å konstruere, studere og anvende modeller. Det er nært knyttet til slike kategorier som abstraksjon, analogi, hypotese osv. Modelleringsprosessen inkluderer nødvendigvis konstruksjon av abstraksjoner, slutninger ved analogi og konstruksjon av vitenskapelige hypoteser.

hovedfunksjon modellering er at det er en metode for indirekte erkjennelse ved bruk av erstatningsobjekter. Modellen fungerer som et slags erkjennelsesverktøy som forskeren setter mellom seg selv og objektet og ved hjelp av dette studerer han objektet av interesse for ham. Det er denne funksjonen ved modelleringsmetoden som bestemmer de spesifikke formene for bruk av abstraksjoner, analogier, hypoteser og andre kategorier og metoder for erkjennelse.

Behovet for å bruke modelleringsmetoden bestemmes av det faktum at mange objekter (eller problemer knyttet til disse objektene) enten er umulige å studere direkte, eller denne forskningen krever mye tid og penger.

Modelleringsprosessen omfatter tre elementer: 1) subjektet (forsker), 2) objektet for forskning, 3) en modell som formidler forholdet mellom det erkjennende subjektet og det erkjennelige objektet.

La det være eller behov for å skape et objekt A. Vi konstruerer (materiell eller mentalt) eller finner i den virkelige verden et annet objekt B - en modell av objekt A. Stadiet med å konstruere en modell forutsetter tilstedeværelsen av en viss kunnskap om det opprinnelige objektet . De kognitive egenskapene til modellen bestemmes av det faktum at modellen reflekterer alle vesentlige trekk ved det opprinnelige objektet. Spørsmålet om nødvendigheten og tilstrekkelig grad av likhet mellom originalen og modellen krever spesifikk analyse. Åpenbart mister modellen sin mening både når det gjelder identitet med originalen (da opphører den å være en original), og ved for stor forskjell fra originalen i alle vesentlige henseender.

Dermed blir studiet av noen sider av det modellerte objektet utført på bekostning av å nekte å reflektere andre sider. Derfor erstatter enhver modell originalen bare i en strengt begrenset forstand. Det følger av dette at for ett objekt kan det bygges flere "spesialiserte" modeller, som konsentrerer oppmerksomheten om visse aspekter ved objektet som studeres eller karakteriserer objektet med varierende detaljeringsgrad.

På det andre trinnet av modelleringsprosessen fungerer modellen som et uavhengig studieobjekt. En av formene for slik forskning er å utføre «modell»-eksperimenter, der driftsbetingelsene til modellen er bevisst endret og data om dens «atferd» blir systematisert. Sluttresultatet av dette trinnet er et vell av kunnskap om R-modellen.

På det tredje trinnet overføres kunnskap fra modellen til originalen - dannelsen av et sett med kunnskap S om objektet. Denne kunnskapsoverføringsprosessen utføres av visse regler. Kunnskapen om modellen må justeres under hensyntagen til de egenskapene til det opprinnelige objektet som ikke ble reflektert eller endret under konstruksjonen av modellen. Vi kan med tilstrekkelig grunn overføre ethvert resultat fra en modell til originalen dersom dette resultatet nødvendigvis er forbundet med tegn på likhet mellom originalen og modellen. Hvis et bestemt resultat av en modellstudie er assosiert med forskjellen mellom modellen og originalen, er det ulovlig å overføre dette resultatet.

Det fjerde trinnet er den praktiske verifiseringen av kunnskapen som er oppnådd ved hjelp av modeller og deres bruk for å bygge en generell teori om objektet, dets transformasjon eller kontroll.

For å forstå essensen av modellering er det viktig å ikke miste av syne at modellering ikke er den eneste kilden til kunnskap om et objekt. Modelleringsprosessen er «nedsenket» i en mer generell kognisjonsprosess. Denne omstendigheten tas ikke bare i betraktning på stadiet av å konstruere modellen, men også på det siste stadiet, når kombinasjonen og generaliseringen av forskningsresultater oppnådd på grunnlag av ulike erkjennelsesmidler skjer.

Modellering er en syklisk prosess. Dette betyr at den første fire-trinns syklusen kan følges av en andre, tredje osv. Samtidig utvides og foredles kunnskapen om objektet som studeres, og den første modellen forbedres gradvis. Mangler oppdaget etter første modelleringssyklus, på grunn av dårlig kjennskap til objektet og feil i modellkonstruksjonen, kan rettes opp i påfølgende sykluser. Dermed inneholder modelleringsmetodikken store muligheter for egenutvikling.

2. Funksjoner ved anvendelsen av metoden for matematisk modellering i økonomi.

Matematikkens inntrengning i økonomi innebærer å overvinne betydelige vanskeligheter. Matematikken, som utviklet seg gjennom flere århundrer hovedsakelig i forbindelse med fysikkens og teknologiens behov, var en del av skylden for dette. Men hovedårsakene ligger fortsatt i de økonomiske prosessenes natur, i den økonomiske vitenskapens spesifikasjoner.

De fleste gjenstander studert av økonomisk vitenskap kan karakteriseres av det kybernetiske konseptet om et komplekst system.

Den vanligste forståelsen av et system er som et sett av elementer som samhandler og danner en viss integritet, enhet. En viktig egenskap Ethvert system er fremvekst - tilstedeværelsen av egenskaper som ikke er iboende i noen av elementene som er inkludert i systemet. Derfor, når du studerer systemer, er det ikke nok å bruke metoden for å dele dem inn i elementer og deretter studere disse elementene separat. En av vanskelighetene med økonomisk forskning er at det nesten ikke finnes økonomiske objekter som kan betraktes som separate (ikke-systemiske) elementer.

Kompleksiteten til et system bestemmes av antall elementer som er inkludert i det, forbindelsene mellom disse elementene, samt forholdet mellom systemet og miljøet. Landets økonomi har alle tegn til å være veldig komplekst system. Den forener et stort antall elementer og kjennetegnes ved en rekke interne forbindelser og forbindelser med andre systemer ( naturlige omgivelser, økonomien i andre land, etc.). I den nasjonale økonomien samhandler naturlige, teknologiske, sosiale prosesser, objektive og subjektive faktorer.

Kompleksiteten i økonomien ble noen ganger sett på som en begrunnelse for umuligheten av å modellere den og studere den ved hjelp av matematikk. Men dette synspunktet er grunnleggende feil. Du kan modellere et objekt av hvilken som helst natur og hvilken som helst kompleksitet. Og det er nettopp komplekse objekter som er av størst interesse for modellering; Det er her modellering kan gi resultater som ikke kan oppnås med andre forskningsmetoder.

Den potensielle muligheten for matematisk modellering av økonomiske objekter og prosesser betyr selvfølgelig ikke dens vellykkede gjennomførbarhet med et gitt nivå av økonomisk og matematisk kunnskap, tilgjengelig spesifikk informasjon og datateknologi. Og selv om det er umulig å angi de absolutte grensene for den matematiske formaliserbarheten til økonomiske problemer, vil det alltid være uformaliserte problemer, så vel som situasjoner der matematisk modellering ikke er effektiv nok.

3. Funksjoner ved økonomiske observasjoner og målinger.

Allerede lang tid Hovedhindringen for praktisk anvendelse av matematisk modellering i økonomi er å fylle de utviklede modellene med spesifikk informasjon av høy kvalitet. Nøyaktigheten og fullstendigheten til primærinformasjonen, de reelle mulighetene for innsamling og behandling av den bestemmer i stor grad valget av typer anvendte modeller. På den annen side stiller økonomiske modelleringsstudier nye krav til informasjonssystemet.

Avhengig av objektene som modelleres og formålet med modellene, har den første informasjonen som brukes i dem en vesentlig forskjellig natur og opprinnelse. Det kan deles inn i to kategorier: om objekters tidligere utvikling og nåværende tilstand (økonomiske observasjoner og deres behandling) og om den fremtidige utviklingen av objekter, inkludert data om forventede endringer i deres interne parametere og ytre forhold(prognoser). Den andre kategorien informasjon er et resultat av uavhengig forskning, som også kan utføres gjennom simulering.

Metoder for økonomiske observasjoner og bruk av resultatene av disse observasjonene er utviklet av økonomisk statistikk. Derfor er det verdt å merke seg bare de spesifikke problemene med økonomiske observasjoner knyttet til modellering av økonomiske prosesser.

I økonomi er mange prosesser massive; de er preget av mønstre som ikke er tydelige fra bare én eller noen få observasjoner. Derfor må modellering i økonomi stole på masseobservasjoner.

Et annet problem er generert av dynamikken i økonomiske prosesser, variasjonen av deres parametere og strukturelle forhold. Som et resultat må økonomiske prosesser overvåkes kontinuerlig, og det er nødvendig med en jevn flyt av nye data. Siden observasjoner av økonomiske prosesser og behandling av empiriske data vanligvis tar ganske mye tid, er det nødvendig å justere den første informasjonen ved å konstruere matematiske modeller av økonomien under hensyntagen til forsinkelsen.

Kunnskap om kvantitative sammenhenger mellom økonomiske prosesser og fenomener er basert på økonomiske målinger. Nøyaktigheten av målingene bestemmer i stor grad nøyaktigheten til de endelige resultatene av kvantitativ analyse gjennom simulering. Derfor en nødvendig betingelse En effektiv bruk av matematisk modellering er å forbedre økonomiske indikatorer. Bruken av matematisk modellering har skjerpet problemet med målinger og kvantitative sammenligninger av ulike aspekter og fenomener ved sosioøkonomisk utvikling, påliteligheten og fullstendigheten til de innhentede dataene, og deres beskyttelse mot tilsiktede og tekniske forvrengninger.

I løpet av modelleringsprosessen oppstår interaksjon mellom "primære" og "sekundære" økonomiske indikatorer. Enhver modell av nasjonaløkonomien er basert på et visst system av økonomiske tiltak (produkter, ressurser, elementer, etc.). Samtidig er et av de viktige resultatene av nasjonal økonomisk modellering innhenting av nye (sekundære) økonomiske indikatorer - økonomisk berettigede priser for produkter i ulike bransjer, vurderinger av effektiviteten til naturressurser av forskjellig kvalitet og indikatorer for sosiale nytten av produktene. Disse tiltakene kan imidlertid være påvirket av utilstrekkelig begrunnede primærtiltak, noe som tvinger frem utviklingen av en spesiell metodikk for å tilpasse primærtiltakene til forretningsmodeller.

Fra synspunktet til "interessene" til økonomisk modellering, er for tiden de mest presserende problemene med å forbedre økonomiske indikatorer: vurdering av resultatene av intellektuell aktivitet (spesielt innen vitenskapelig og teknisk utvikling, informatikkindustrien), konstruksjon generelt indikatorer for sosioøkonomisk utvikling, måling av tilbakemeldingseffekter (påvirkning av økonomiske og sosiale mekanismer på produksjonseffektivitet).

4. Tilfeldighet og usikkerhet i økonomisk utvikling.

For økonomisk planleggingsmetodikk er begrepet usikkerhet ved økonomisk utvikling viktig. I studier om økonomisk prognose og planlegging skilles det mellom to typer usikkerhet: "sann", på grunn av egenskapene til økonomiske prosesser, og "informasjon", assosiert med ufullstendighet og unøyaktighet av tilgjengelig informasjon om disse prosessene. Ekte usikkerhet kan ikke forveksles med den objektive eksistensen av ulike alternativer for økonomisk utvikling og muligheten for bevisst å velge effektive alternativer blant dem. Vi snakker om den grunnleggende umuligheten av nøyaktig å velge et enkelt (optimalt) alternativ.

I økonomisk utvikling er usikkerhet forårsaket av to hovedårsaker. For det første kan forløpet av planlagte og kontrollerte prosesser, så vel som ytre påvirkninger på disse prosessene, ikke forutsies nøyaktig på grunn av virkningen av tilfeldige faktorer og begrensningene til menneskelig erkjennelse i hvert øyeblikk. Dette er spesielt typisk for prognoser for vitenskapelig og teknologisk fremgang, samfunnets behov og økonomisk atferd. For det andre er generell statlig planlegging og styring ikke bare ikke omfattende, men heller ikke allmektig, og tilstedeværelsen av mange uavhengige økonomiske enheter med spesielle interesser tillater oss ikke nøyaktig å forutsi resultatene av deres interaksjoner. Ufullstendig og unøyaktig informasjon om objektive prosesser og økonomisk atferd øker sann usikkerhet.

På de første stadiene av forskning på økonomisk modellering ble det hovedsakelig brukt modeller av den deterministiske typen. I disse modellene antas alle parametere å være nøyaktig kjent. Imidlertid blir deterministiske modeller misforstått i mekanisk forstand og identifisert med modeller som er blottet for alle "valgmuligheter" (muligheter for valg) og har en enkelt gjennomførbar løsning. En klassisk representant for strengt deterministiske modeller er optimaliseringsmodellen for nasjonaløkonomien, brukt til å bestemme det beste alternativetøkonomisk utvikling blant mange mulige alternativer.

Som et resultat av akkumulering av erfaring med bruk av strengt deterministiske modeller, har det blitt skapt reelle muligheter for vellykket bruk av mer avansert metodikk for modellering av økonomiske prosesser som tar hensyn til stokastisitet og usikkerhet. Her kan det skilles mellom to hovedområder for forskning. For det første vil metodikken for å bruke strengt deterministiske modeller bli forbedret: utføre multivariate beregninger og modelleksperimenter med variasjoner i modelldesignet og dens innledende data; studere stabiliteten og påliteligheten til de resulterende løsningene, identifisere usikkerhetssonen; inkludering av reserver i modellen, bruk av teknikker som øker tilpasningsevnen til økonomiske beslutninger til sannsynlige og uforutsette situasjoner. For det andre blir modeller utbredt som direkte reflekterer stokastisiteten og usikkerheten til økonomiske prosesser og bruker det passende matematiske apparatet: sannsynlighetsteori og matematisk statistikk, teorien om spill og statistiske beslutninger, køteori, stokastisk programmering og teorien om tilfeldige prosesser.

5. Kontrollere at modellene er tilstrekkelige.

Kompleksiteten til økonomiske prosesser og fenomener og andre trekk ved økonomiske systemer nevnt ovenfor gjør det vanskelig ikke bare å konstruere matematiske modeller, men også å verifisere deres tilstrekkelighet og sannheten til de oppnådde resultatene.

I naturvitenskapene er en tilstrekkelig betingelse for sannheten av resultatene av modellering og enhver annen form for kunnskap at forskningsresultatene er sammenfallende med de observerte fakta. Kategorien "praksis" sammenfaller her med kategorien "virkelighet". I økonomi og andre samfunnsvitenskaper er prinsippet om "praksis er sannhetskriteriet" forstått på denne måten i større grad anvendelig for enkle deskriptive modeller brukt for passiv beskrivelse og forklaring av virkeligheten (analyse av tidligere utvikling, kortsiktig prognose av ukontrollerbare økonomiske prosesser, etc.).

Økonomiens hovedoppgave er imidlertid konstruktiv: å utvikle vitenskapelige metoderøkonomisk planlegging og styring. Derfor er en vanlig type matematiske modeller av økonomien modeller av kontrollerte og regulerte økonomiske prosesser som brukes til å transformere den økonomiske virkeligheten. Slike modeller kalles normative. Hvis normative modeller kun er orientert mot å bekrefte virkeligheten, vil de ikke kunne tjene som et verktøy for å løse kvalitativt nye sosioøkonomiske problemer.

Spesifisiteten ved verifisering av normative økonomiske modeller er at de som regel "konkurrerer" med andre planleggings- og styringsmetoder som allerede har funnet praktisk anvendelse. Samtidig er det ikke alltid mulig å utføre et rent eksperiment for å verifisere modellen, og eliminere påvirkningen fra andre kontrollhandlinger på det modellerte objektet.

Situasjonen blir enda mer komplisert når spørsmålet om verifisering av langsiktige prognoser og planleggingsmodeller (både beskrivende og normative) reises. Tross alt kan du ikke passivt vente 10-15 år eller mer på at hendelser skal skje for å kontrollere riktigheten av modellens premisser.

Til tross for de bemerkede kompliserende omstendighetene, samsvarer modellen med fakta og trender i den virkelige verden økonomisk liv er fortsatt det viktigste kriteriet som bestemmer retningene for å forbedre modeller. En omfattende analyse av de identifiserte avvikene mellom virkeligheten og modellen, sammenligning av resultatene fra modellen med resultatene oppnådd ved andre metoder bidrar til å utvikle måter å korrigere modellene på.

En betydelig rolle i modellsjekking tilhører logisk analyse, inkludert ved hjelp av selve matematisk modellering. Slike formaliserte metoder for modellverifisering som å bevise eksistensen av en løsning i modellen, sjekke sannheten til statistiske hypoteser om sammenhengene mellom parameterne og variablene til modellen, sammenligne størrelsesdimensjonene osv., gjør det mulig å begrense klasse av potensielt "riktige" modeller.

Den interne konsistensen til modellens premisser kontrolleres også ved å sammenligne konsekvensene som oppnås ved hjelp av den med hverandre, samt med konsekvensene av "konkurrerende" modeller.

Evaluerer nåværende situasjon problemer med matematiske modellers tilstrekkelighet for økonomi, bør det erkjennes at etableringen av en konstruktiv omfattende metodikk for modellverifisering, som tar hensyn til både de objektive egenskapene til objektene som modelleres og egenskapene til deres erkjennelse, fortsatt er en av de mest presserende oppgaver innen økonomisk og matematisk forskning.

6. Klassifisering av økonomiske og matematiske modeller.

Matematiske modeller av økonomiske prosesser og fenomener kan kortere kalles økonomisk-matematiske modeller. Ulike baser brukes til å klassifisere disse modellene.

I henhold til deres tiltenkte formål er økonomiske og matematiske modeller delt inn i teoretiske og analytiske, brukt i studier av de generelle egenskapene og mønstrene til økonomiske prosesser, og brukt, brukt til å løse spesifikke økonomiske problemer (modeller for økonomisk analyse, prognoser, ledelse).

Økonomiske og matematiske modeller kan være ment å studere ulike aspekter av den nasjonale økonomien (spesielt dens produksjon, teknologiske, sosiale, territoriale strukturer) og dens individuelle deler. Når man klassifiserer modeller i henhold til økonomiske prosesser og materielle spørsmål som studeres, kan man skille mellom modeller for nasjonaløkonomien som helhet og dens undersystemer - industrier, regioner, etc., komplekser av modeller for produksjon, forbruk, generering og fordeling av inntekt, arbeidsressurser, prising, økonomiske forhold osv. .d.

La oss dvele mer detaljert på egenskapene til slike klasser av økonomiske og matematiske modeller med hvilke beste funksjoner modelleringsmetoder og -teknikker.

I samsvar med den generelle klassifiseringen av matematiske modeller er de delt inn i funksjonelle og strukturelle, og inkluderer også mellomformer (strukturell-funksjonelle). I forskning på nasjonalt økonomisk nivå brukes strukturelle modeller oftere, siden for planlegging og styring veldig viktig ha sammenkoblinger mellom delsystemer. Typiske strukturelle modeller er modeller av intersektorielle sammenhenger. Funksjonelle modeller er mye brukt i økonomisk regulering, når oppførselen til et objekt ("output") påvirkes av å endre "input". Et eksempel er modellen for forbrukeratferd i forhold til vare-pengerforhold. Det samme objektet kan beskrives samtidig av både en struktur og en funksjonell modell. For å planlegge et eget bransjesystem brukes for eksempel en strukturell modell, og på nasjonalt økonomisk nivå kan hver bransje representeres med en funksjonell modell.

Forskjellene mellom beskrivende og normative modeller er allerede vist ovenfor. Beskrivende modeller svarer på spørsmålet: hvordan skjer dette? eller hvordan dette mest sannsynlig kan utvikle seg videre?, dvs. de forklarer bare observerte fakta eller gir en plausibel prediksjon. Normative modeller svarer på spørsmålet: hvordan skal dette være?, dvs. involvere målrettet aktivitet. Et typisk eksempel på normative modeller er optimale planleggingsmodeller, som på en eller annen måte formaliserer målene for økonomisk utvikling, muligheter og midler for å nå dem.

Bruken av en beskrivende tilnærming i økonomisk modellering forklares med behovet for å empirisk identifisere ulike avhengigheter i økonomien og etablere statistiske mønstre for økonomisk atferd sosiale grupper, studere de sannsynlige banene for utvikling av alle prosesser under uendrede forhold eller som skjer uten ytre påvirkninger. Eksempler på beskrivende modeller er produksjonsfunksjoner og forbrukerbehovsfunksjoner bygget på grunnlag av statistisk databehandling.

Hvorvidt en økonomisk-matematisk modell er beskrivende eller normativ, avhenger ikke bare av dens matematiske struktur, men av arten av bruken av denne modellen. For eksempel er input-output-modellen beskrivende hvis den brukes til å analysere proporsjonene fra siste periode. Men denne samme matematiske modellen blir normativ når den brukes til å beregne balanserte alternativer for utvikling av nasjonaløkonomien som tilfredsstiller samfunnets endelige behov til planlagte produksjonskostnadsstandarder.

Mange økonomiske og matematiske modeller kombinerer trekk ved beskrivende og normative modeller. En typisk situasjon er når en normativ modell av en kompleks struktur kombinerer individuelle blokker, som er private deskriptive modeller. For eksempel kan en tverrbransjemodell inkludere forbrukeretterspørselsfunksjoner som beskriver forbrukeratferd som inntektsendringer. Slike eksempler karakteriserer tendensen til effektivt å kombinere beskrivende og normative tilnærminger til modellering av økonomiske prosesser. Den beskrivende tilnærmingen er mye brukt i simuleringsmodellering.

Ut fra arten av refleksjonen av årsak-virkningsforhold skilles det mellom strengt deterministiske modeller og modeller som tar hensyn til tilfeldighet og usikkerhet. Det er nødvendig å skille mellom usikkerhet beskrevet av sannsynlighetslover og usikkerhet for beskrivelsen som sannsynlighetsteoriens lover ikke er anvendelige. Den andre typen usikkerhet er mye vanskeligere å modellere.

I henhold til metodene for å reflektere tidsfaktoren er økonomiske og matematiske modeller delt inn i statiske og dynamiske. I statiske modeller er alle avhengigheter knyttet til ett øyeblikk eller tidsperiode. Dynamiske modeller karakteriserer endringer i økonomiske prosesser over tid. Basert på varigheten av tidsperioden som vurderes, er modeller for kortsiktig (opptil ett år), mellomlang sikt (opptil 5 år), langsiktig (10-15 eller flere år) prognoser og planlegging forskjellige. Selve tiden i økonomiske og matematiske modeller kan endres enten kontinuerlig eller diskret.

Modeller av økonomiske prosesser er ekstremt forskjellige i form av matematiske avhengigheter. Det er spesielt viktig å fremheve klassen av lineære modeller som er mest hensiktsmessige for analyser og beregninger, og som et resultat har blitt utbredt. Forskjellene mellom lineære og ikke-lineære modeller er betydelige ikke bare fra et matematisk synspunkt, men også fra et teoretisk og økonomisk synspunkt, siden mange avhengigheter i økonomien er fundamentalt ikke-lineære av natur: effektivitet av ressursbruk med økt produksjon, endringer i etterspørsel og forbruk av befolkningen med økt produksjon, endringer i etterspørsel og forbruk av befolkningen med økende inntekt mv. Teori" lineær økonomi" skiller seg vesentlig fra teorien om "ikke-lineær økonomi". Konklusjoner om muligheten for å kombinere sentralisert planlegging og økonomisk uavhengighet av økonomiske delsystemer avhenger vesentlig av om settene med produksjonsevner til delsystemer (industrier, bedrifter) antas å være konvekse eller ikke- konveks.

I henhold til forholdet mellom eksogene og endogene variabler inkludert i modellen, kan de deles inn i åpne og lukkede. Det er ingen helt åpne modeller; modellen må inneholde minst én endogen variabel. Helt lukkede økonomiske og matematiske modeller, d.v.s. ikke inkludert eksogene variabler, er ekstremt sjeldne; deres konstruksjon krever fullstendig abstraksjon fra "miljøet", dvs. alvorlig forgrovning av realøkonomiske systemer som alltid har eksterne forbindelser. De aller fleste økonomiske og matematiske modeller inntar en mellomposisjon og skiller seg i graden av åpenhet (lukkethet).

For modeller på nasjonalt økonomisk nivå er inndelingen i aggregert og detaljert viktig.

Avhengig av om nasjonaløkonomiske modeller inkluderer romlige faktorer og forhold eller ikke, skilles det mellom romlige og punktmodeller.

Dermed inkluderer den generelle klassifiseringen av økonomiske og matematiske modeller mer enn ti hovedtrekk. Med utviklingen av økonomisk og matematisk forskning blir problemet med å klassifisere modellene som brukes mer komplisert. Sammen med fremveksten av nye typer modeller (spesielt blandede typer) og nye funksjoner i klassifiseringen deres, utføres prosessen med å integrere modeller av forskjellige typer i mer komplekse modellstrukturer.

7. Stadier av økonomisk og matematisk modellering.

Hovedstadiene i modelleringsprosessen er allerede diskutert ovenfor. I ulike grener av kunnskap, inkludert økonomi, får de sine egne spesifikke egenskaper. La oss analysere sekvensen og innholdet i stadiene i en syklus av økonomisk og matematisk modellering.

1. Redegjørelse av det økonomiske problemet og dets kvalitative analyse. Hovedsaken her er å tydelig formulere essensen av problemet, forutsetningene som er gjort og spørsmålene som det kreves svar på. Dette stadiet inkluderer å identifisere de viktigste egenskapene og egenskapene til det modellerte objektet og abstrahere fra mindre; studere strukturen til et objekt og de grunnleggende avhengighetene som forbinder dets elementer; formulere hypoteser (i det minste foreløpige) som forklarer oppførselen og utviklingen til objektet.

2. Bygging matematisk modell. Dette er stadiet for å formalisere et økonomisk problem, uttrykke det i form av spesifikke matematiske avhengigheter og relasjoner (funksjoner, ligninger, ulikheter, etc.). Vanligvis bestemmes først hoveddesignet (typen) av en matematisk modell, og deretter spesifiseres detaljene i denne designen (en spesifikk liste over variabler og parametere, formen for tilkoblinger). Dermed er konstruksjonen av modellen igjen delt inn i flere stadier.

Det er feil å tro at jo flere fakta en modell tar i betraktning, jo bedre «fungerer» den og gir bedre resultater. Det samme kan sies om slike egenskaper ved kompleksiteten til modellen som formene for matematiske avhengigheter som brukes (lineære og ikke-lineære), under hensyntagen til faktorer som tilfeldighet og usikkerhet, etc. Overdreven kompleksitet og tungrodd i modellen kompliserer forskningsprosessen. Det er nødvendig å ta hensyn til ikke bare de reelle mulighetene til informasjon og matematisk støtte, men også å sammenligne kostnadene ved modellering med den resulterende effekten (ettersom kompleksiteten til modellen øker, kan økningen i kostnadene overstige økningen i effekt) .

En av viktige funksjoner matematiske modeller - den potensielle muligheten for å bruke dem til å løse problemer av ulik kvalitet. Derfor, selv når du står overfor et nytt økonomisk problem, er det ikke nødvendig å strebe etter å "oppfinne" modellen; Først må du prøve å bruke allerede kjente modeller for å løse dette problemet.

I prosessen med å bygge en modell, utføres en sammenligning av to systemer for vitenskapelig kunnskap - økonomisk og matematisk. Det er naturlig å strebe etter å få en modell som tilhører en godt studert klasse av matematiske problemer. Ofte kan dette gjøres ved å forenkle de innledende forutsetningene til modellen, uten å forvrenge de essensielle egenskapene til det modellerte objektet. En situasjon er imidlertid også mulig når formaliseringen av et økonomisk problem fører til en tidligere ukjent matematisk struktur. Behovene til økonomisk vitenskap og praksis på midten av det tjuende århundre. bidratt til utviklingen av matematisk programmering, spillteori, funksjonsanalyse og beregningsmatematikk. Det er sannsynlig at utviklingen av økonomisk vitenskap i fremtiden vil bli en viktig stimulans for etableringen av nye grener av matematikk.

3. Matematisk analyse av modellen. Hensikten med denne fasen er å klargjøre de generelle egenskapene til modellen. Her brukes rent matematiske forskningsmetoder. Det viktigste punktet er beviset på at det finnes løsninger i den formulerte modellen (eksistensteoremet). Hvis det kan bevises det matematisk problem ikke har en løsning, så er det ikke behov for ytterligere arbeid med den originale versjonen av modellen; enten formuleringen av det økonomiske problemet eller metodene for dets matematiske formalisering bør justeres. Under den analytiske studien av modellen avklares spørsmål, som for eksempel er det en unik løsning, hvilke variabler (ukjente) som kan inkluderes i løsningen, hva vil være sammenhengene mellom dem, i hvilken grad og avhengig av hvilke begynnelsesbetingelser de endrer, hva er trendene i deres endring og etc. En analytisk studie av en modell, sammenlignet med en empirisk (numerisk), har den fordelen at de oppnådde konklusjonene forblir gyldige for ulike spesifikke verdier av modellens eksterne og interne parametere.

Å kjenne de generelle egenskapene til en modell er så viktig, ofte for å bevise slike egenskaper, idealiserer forskere bevisst den opprinnelige modellen. Og likevel er modeller av komplekse økonomiske objekter svært vanskelige å studere analytisk. I tilfeller hvor analytiske metoder ikke klarer å bestemme modellens generelle egenskaper, og forenklinger av modellen fører til uakseptable resultater, går de over til numeriske forskningsmetoder.

4. Utarbeidelse av bakgrunnsinformasjon. Modellering stiller strenge krav til informasjonssystemet. Samtidig begrenser de reelle mulighetene for å innhente informasjon valget av modeller beregnet for praktisk bruk. I dette tilfellet tas ikke bare den grunnleggende muligheten for å utarbeide informasjon (innen en viss tidsramme) i betraktning, men også kostnadene ved å utarbeide de tilsvarende informasjonsmatrisene. Disse kostnadene bør ikke overstige effekten av å bruke tilleggsinformasjon.

I prosessen med å utarbeide informasjon er metoder for sannsynlighetsteori, teoretisk og matematisk statistikk mye brukt. I systemøkonomisk og matematisk modellering er den første informasjonen som brukes i noen modeller resultatet av funksjonen til andre modeller.

5. Numerisk løsning. Dette stadiet inkluderer utvikling av algoritmer for numerisk løsning av problemet, kompilering av dataprogrammer og direkte beregninger. Vanskelighetene på dette stadiet skyldes først og fremst den store størrelsen på økonomiske problemer og behovet for å behandle betydelige mengder informasjon.

Vanligvis er beregninger ved hjelp av en økonomisk-matematisk modell av multivariat natur. Takket være den høye hastigheten til moderne datamaskiner er det mulig å utføre en rekke "modelleksperimenter" og studere modellens "oppførsel" under forskjellige endringer under visse forhold. Forskning utført med numeriske metoder kan i betydelig grad utfylle resultatene av analytisk forskning, og for mange modeller er det den eneste gjennomførbare. Klassen av økonomiske problemer som kan løses med numeriske metoder er mye bredere enn klassen av problemer tilgjengelig for analytisk forskning.

6. Analyse av numeriske resultater og deres anvendelse. På dette siste stadiet av syklusen oppstår spørsmålet om riktigheten og fullstendigheten av modelleringsresultatene, om graden av praktisk anvendelighet av sistnevnte.

Matematiske verifikasjonsmetoder kan identifisere feil modellkonstruksjoner og dermed begrense klassen av potensielt riktige modeller. Uformell analyse av teoretiske konklusjoner og numeriske resultater oppnådd gjennom modellen, sammenligne dem med eksisterende kunnskap og fakta om virkeligheten gjør det også mulig å oppdage mangler i formuleringen av det økonomiske problemet, den konstruerte matematiske modellen, og dens informasjon og matematisk støtte.

Forhold mellom stadier. Figur 1 viser sammenhengene mellom stadiene i én syklus av økonomisk og matematisk modellering.

La oss ta hensyn til de gjensidige forbindelsene til stadiene som oppstår på grunn av det faktum at under forskningsprosessen oppdages mangler ved de tidligere stadiene av modellering.

Allerede på stadiet med å bygge en modell kan det bli klart at problemformuleringen er motstridende eller fører til en altfor kompleks matematisk modell. I samsvar med dette justeres den opprinnelige problemformuleringen. Videre kan matematisk analyse av modellen (trinn 3) vise at en liten modifikasjon av problemstillingen eller formaliseringen av den gir et interessant analytisk resultat.

Oftest oppstår behovet for å gå tilbake til tidligere stadier av modellering når du forbereder innledende informasjon (trinn 4). Du kan oppleve at nødvendig informasjon mangler eller at kostnadene ved å utarbeide den er for høye. Deretter må vi gå tilbake til formuleringen av problemet og formaliseringen av det, endre dem for å tilpasse oss den tilgjengelige informasjonen.

Siden økonomiske og matematiske problemer kan være komplekse i struktur og ha en stor dimensjon, hender det ofte at kjente algoritmer og dataprogrammer ikke tillater å løse problemet i sin opprinnelige form. Hvis det ikke er mulig i kortsiktig utvikle nye algoritmer og programmer, forenkle den opprinnelige problemformuleringen og modellen: fjern og kombiner forhold, reduser antall faktorer, erstatt ikke-lineære relasjoner med lineære, øk modellens determinisme, etc.

Mangler som ikke kan korrigeres på mellomstadier av modellering, elimineres i påfølgende sykluser. Men resultatene av hver syklus har også en helt uavhengig betydning. Ved å starte forskningen med å bygge en enkel modell, kan du raskt få nyttige resultater, og deretter gå videre til å lage en mer avansert modell, supplert med nye forhold, inkludert raffinerte matematiske avhengigheter.

Etter hvert som økonomisk og matematisk modellering utvikler seg og blir mer kompleks, blir dens individuelle stadier isolert i spesialiserte forskningsområder, forskjellene mellom teoretisk-analytiske og anvendte modeller intensiveres, og modellene differensieres etter nivåer av abstraksjon og idealisering.

Teorien om matematisk analyse av økonomiske modeller har utviklet seg til en spesiell gren av moderne matematikk - matematisk økonomi. Modeller studert innenfor matematisk økonomi, mister direkte forbindelse med den økonomiske virkeligheten; de omhandler utelukkende idealiserte økonomiske objekter og situasjoner. Ved konstruksjon av slike modeller er hovedprinsippet ikke så mye å komme nærmere virkeligheten, men å oppnå størst mulig antall analytiske resultater gjennom matematiske bevis. Verdien av disse modellene for økonomisk teori og praksis er at de fungerer som et teoretisk grunnlag for anvendte modeller.

Ganske uavhengige forskningsområder er utarbeidelse og behandling av økonomisk informasjon og utvikling av matematisk støtte for økonomiske problemer (oppretting av databaser og informasjonsbanker, programmer for automatisert konstruksjon av modeller og programvaretjenester for brukerøkonomer). På stadiet med praktisk bruk av modeller bør den ledende rollen spilles av spesialister innen det relevante feltet økonomisk analyse, planlegging og ledelse. Hovedarbeidsområdet for økonomer og matematikere er fortsatt formuleringen og formaliseringen av økonomiske problemer og syntesen av prosessen med økonomisk og matematisk modellering.

8. Rollen til anvendt økonomisk og matematisk forskning.

Vi kan skille minst fire aspekter ved anvendelsen av matematiske metoder for å løse praktiske problemer.

1. Forbedring av det økonomiske informasjonssystemet. Matematiske metoder gjør det mulig å organisere systemet med økonomisk informasjon, identifisere mangler i tilgjengelig informasjon og utvikle krav til forberedelse ny informasjon eller dens justeringer. Utviklingen og anvendelsen av økonomiske og matematiske modeller indikerer måter å forbedre økonomisk informasjon rettet mot å løse et spesifikt system med planleggings- og ledelsesproblemer. Fremgang i informasjonsstøtte for planlegging og ledelse er basert på raskt utviklende maskinvare- og programvareverktøy for informatikk.

2. Intensivering og forbedring av nøyaktigheten av økonomiske beregninger. Formaliseringen av økonomiske problemer og bruken av datamaskiner øker standard, masseberegninger, øker nøyaktigheten og reduserer arbeidsintensiteten, og gjør det mulig å utføre multivariate økonomiske begrunnelser for komplekse aktiviteter som er utilgjengelige under dominansen av "manuell" teknologi.

3. Utdype den kvantitative analysen av økonomiske problemer. Takket være bruken av modelleringsmetoden, er evnene til spesifikk kvantitativ analyse betydelig forbedret; studie av mange faktorer som påvirker økonomiske prosesser, kvantitativ vurdering av konsekvensene av endringer i betingelsene for utvikling av økonomiske objekter, etc.

4. Løse fundamentalt nye økonomiske problemer. Gjennom matematisk modellering er det mulig å løse økonomiske problemer som er praktisk talt umulige å løse på andre måter, for eksempel: finne den optimale versjonen av den nasjonale økonomiske planen, simulere nasjonale økonomiske aktiviteter, automatisere kontroll over funksjonen til komplekse økonomiske objekter.

Omfanget av praktisk anvendelse av modelleringsmetoden er begrenset av evnene og effektiviteten til å formalisere økonomiske problemer og situasjoner, samt tilstanden til informasjon, matematisk og teknisk støtte til modellene som brukes. Ønsket om å bruke en matematisk modell for enhver pris gir kanskje ikke gode resultater på grunn av mangelen på i det minste noen nødvendige forhold.

I samsvar med moderne vitenskapelige ideer systemer for å utvikle og ta forretningsbeslutninger må kombinere formelle og uformelle metoder, gjensidig forsterkende og komplementære til hverandre. Formelle metoder er først og fremst et middel for vitenskapelig basert utarbeidelse av materiale for menneskelige handlinger i ledelsesprosesser. Dette gjør det mulig å produktivt bruke en persons erfaring og intuisjon, hans evne til å løse dårlig formaliserte problemer.

Ved konstruksjon av økonomiske modeller identifiseres vesentlige faktorer og detaljer som ikke er avgjørende for å løse problemet, forkastes.

Økonomiske modeller kan inkludere følgende modeller:

økonomisk vekst
forbrukernes valg
likevekt i finans- og råvaremarkedene og mange andre.

Modell er en logisk eller matematisk beskrivelse av komponenter og funksjoner som gjenspeiler de essensielle egenskapene til det modellerte objektet eller prosessen.

Modellen brukes som et konvensjonelt bilde, designet for å forenkle studiet av et objekt eller en prosess.

Modellenes natur kan variere. Modeller er delt inn i: ekte, symbolsk, verbal og tabellform, etc.

Økonomisk og matematisk modell

Ved styring av forretningsprosesser er den største betydningen først og fremst, økonomiske og matematiske modeller, ofte kombinert til modellsystemer.

Økonomisk og matematisk modell(EMM) er en matematisk beskrivelse av en økonomisk gjenstand eller prosess med det formål å studere og administrere dem. Dette er en matematisk notasjon av det økonomiske problemet som blir løst.

Hovedtyper av modeller

Ekstrapolasjonsmodeller
Faktorøkonometriske modeller
Optimaliseringsmodeller
Balansemodeller, Inter-Industry Balance (IOB) modell
Ekspertvurderinger
Spill teori
Nettverksmodeller
Modeller av køsystemer

Økonomiske og matematiske modeller og metoder brukt i økonomisk analyse

Ra = PE / VA + OA,

I generalisert form kan den blandede modellen representeres av følgende formel:

Så først bør du bygge en økonomisk og matematisk modell som beskriver påvirkningen av individuelle faktorer på de generelle økonomiske indikatorene for organisasjonens aktiviteter. Utbredt i analyse Økonomisk aktivitet fikk multifaktor multiplikative modeller, siden de gjør det mulig å studere påvirkningen av et betydelig antall faktorer på generelle indikatorer og dermed oppnå større dybde og nøyaktighet av analysen.

Etter dette må du velge en måte å løse denne modellen på. Tradisjonelle metoder : metode for kjedesubstitusjoner, metoder for absolutte og relative forskjeller, balansemetode, indeksmetode, samt metoder for korrelasjon-regresjon, klynge, dispersjonsanalyse osv. Sammen med disse metodene og metodene brukes spesifikt matematiske metoder og metoder i økonomisk analyse.

Integrert metode for økonomisk analyse

En av disse metodene (metodene) er integrert. Den finner anvendelse ved å bestemme påvirkningen av individuelle faktorer ved å bruke multiplikative, multiple og blandede (multiple-additive) modeller.

Ved bruk av integralmetoden er det mulig å få mer underbyggede resultater for beregning av påvirkning av enkeltfaktorer enn ved bruk av kjedesubstitusjonsmetoden og dens varianter. Metoden for kjedesubstitusjoner og dens varianter, så vel som indeksmetoden, har betydelige ulemper: 1) resultatene av beregninger av påvirkning av faktorer avhenger av den aksepterte sekvensen for å erstatte de grunnleggende verdiene til individuelle faktorer med faktiske; 2) den ekstra økningen i den generelle indikatoren forårsaket av samspillet mellom faktorer, i form av en uoppløselig rest, legges til summen av påvirkningen av den siste faktoren. Ved bruk av integralmetoden deles denne økningen likt mellom alle faktorer.

Integralmetoden etablerer en generell tilnærming til å løse modeller av ulike typer, uavhengig av antall elementer som inngår i en gitt modell, samt uavhengig av sammenhengsformen mellom disse elementene.

Den integrerte metoden for faktoriell økonomisk analyse er basert på summering av inkrementer av en funksjon, definert som en partiell derivert multiplisert med inkrementet til argumentet over uendelige intervaller.

I prosessen med å anvende integralmetoden må flere betingelser være oppfylt. For det første må betingelsen om kontinuerlig differensierbarhet av funksjonen være oppfylt, der enhver økonomisk indikator tas som argument. For det andre må funksjonen mellom start- og sluttpunkt for elementærperioden variere langs en rett linje G e. Til slutt, for det tredje, må det være en konstanthet i forholdet mellom endringsratene i verdiene til faktorer

d y / d x = konst

Ved bruk av integralmetoden, kalkulus bestemt integral for en gitt integrand og et gitt integrasjonsintervall utføres ved bruk av et eksisterende standardprogram ved bruk av moderne datateknologi.

Hvis vi løser en multiplikativ modell, kan vi bruke følgende formler for å beregne påvirkningen av individuelle faktorer på den generelle økonomiske indikatoren:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2Δ x*Δ y

Z(y)=x 0 * Δ y +1/2 Δ x* Δ y

Når vi løser en multippelmodell for å beregne påvirkningen av faktorer, bruker vi følgende formler:

Z=x/y;

Δ Z(x)= Δ x/Δ y Lny1/y0

Δ Z(y)=Δ Z- Δ Z(x)

Det er to hovedtyper problemer som løses ved hjelp av integralmetoden: statisk og dynamisk. I den første typen er det ingen informasjon om endringer i de analyserte faktorene i løpet av en gitt periode. Eksempler på slike oppgaver inkluderer analyse av gjennomføring av forretningsplaner eller analyse av endringer i økonomiske indikatorer sammenlignet med forrige periode. Den dynamiske typen oppgaver oppstår i nærvær av informasjon om endringer i de analyserte faktorene i løpet av en gitt periode. Denne typen oppgave inkluderer beregninger knyttet til studiet av tidsserier av økonomiske indikatorer.

Dette er de viktigste egenskapene til den integrerte metoden for faktorøkonomisk analyse.

Logaritmemetode

I tillegg til denne metoden brukes også logaritmemetoden (metoden) i analyse. Det brukes i faktoranalyse ved løsning av multiplikative modeller. Essensen av metoden under vurdering er at når den brukes, er det en logaritmisk proporsjonal fordeling av størrelsen på den felles virkningen av faktorer mellom de sistnevnte, det vil si at denne verdien fordeles mellom faktorene i forhold til andelen av innflytelse av hver enkelt faktor på summen av generaliserende indikator. Med integralmetoden fordeles nevnte verdi likt mellom faktorene. Derfor gjør logaritmemetoden beregninger av påvirkning av faktorer mer rimelige sammenlignet med integralmetoden.

I prosessen med logaritmisering brukes ikke absolutte verdier for vekst i økonomiske indikatorer, som tilfellet er med den integrerte metoden, men relative, det vil si indekser for endringer i disse indikatorene. For eksempel er en generell økonomisk indikator definert som produktet av tre faktorer - faktorer f = x y z.

La oss finne innflytelsen av hver av disse faktorene på den generelle økonomiske indikatoren. Dermed kan påvirkningen av den første faktoren bestemmes av følgende formel:

Δf x = Δf log(x 1 / x 0) / log(f 1 / f 0)

Hva var påvirkningen av den neste faktoren? For å finne innflytelsen bruker vi følgende formel:

Δf y = Δf log(y 1 / y 0) / log(f 1 / f 0)

Til slutt, for å beregne påvirkningen av den tredje faktoren, bruker vi formelen:

Δf z = Δf log(z 1 / z 0)/ log(f 1 / f 0)

Dermed blir den totale endringsmengden i den generaliserende indikatoren delt mellom individuelle faktorer i samsvar med proporsjonene mellom forholdene mellom logaritmene til individuelle faktorindekser og logaritmen til den generaliserende indikatoren.

Ved bruk av metoden under vurdering kan alle typer logaritmer brukes - både naturlige og desimaler.

Differensialregningsmetode

Ved gjennomføring av faktoranalyse brukes også metoden for differensialregning. Sistnevnte antar at den totale endringen i funksjonen, det vil si den generaliserende indikatoren, er delt inn i individuelle termer, verdien av hver av dem beregnes som produktet av en viss partiell derivert og økningen av variabelen som denne deriverte med er bestemt. La oss bestemme påvirkningen av individuelle faktorer på den generelle indikatoren, ved å bruke en funksjon av to variabler som et eksempel.

Funksjon spesifisert Z = f(x,y). Hvis denne funksjonen er differensierbar, kan endringen uttrykkes med følgende formel:

La oss forklare de enkelte elementene i denne formelen:

ΔZ = (Z 1 - Z 0)- omfanget av endring i funksjon;

Δx = (x 1 - x 0)— størrelsen på endringen i én faktor;

Δ y = (y 1 - y 0)-størrelsen av endring i en annen faktor;

- en uendelig mengde av høyere orden enn

I i dette eksemplet påvirkning av individuelle faktorer x Og y for å endre funksjon Z(generell indikator) beregnes som følger:

ΔZ x = δZ / δx Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

Summen av påvirkningen av begge disse faktorene er den viktigste, lineære i forhold til økningen av en gitt faktor, en del av økningen av den differensierbare funksjonen, det vil si den generaliserende indikatoren.

Deltakelsesmetode

Når det gjelder løsning av additiv, samt multippeladditive modeller, brukes egenkapitalmetoden også for å beregne påvirkningen av enkeltfaktorer på endringer i den generelle indikatoren. Dens essens ligger i det faktum at andelen av hver faktor i den totale mengden av endringene deres først bestemmes. Denne andelen multipliseres så med den totale endringen i sammendragsindikatoren.

Anta at vi bestemmer innflytelsen av tre faktorer − EN,b Og Med til en generell indikator y. Deretter for faktoren, og å bestemme andelen og multiplisere den med den totale endringen i generaliseringsindikatoren kan gjøres ved å bruke følgende formel:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

For faktor b vil formelen som vurderes ha følgende form:

Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Til slutt, for faktor c har vi:

Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy

Dette er essensen av egenkapitalmetoden som brukes til faktoranalyseformål.

Lineær programmeringsmetode

Se videre:

Køteori

Se videre:

Spill teori

Spillteori brukes også. Akkurat som køteori er spillteori en av grenene til anvendt matematikk. Spillteori studerer de optimale løsningene som er mulig i spillsituasjoner. Dette inkluderer situasjoner som innebærer å velge det optimale ledelsesbeslutninger, med valg av de mest hensiktsmessige alternativene for relasjoner med andre organisasjoner, etc.

For å løse slike problemer i spillteori brukes algebraiske metoder, som er basert på systemet lineære ligninger og ulikheter, iterative metoder, samt metoder for å redusere et gitt problem til et spesifikt system av differensialligninger.

En av de økonomiske og matematiske metodene som brukes i analysen av organisasjoners økonomiske aktiviteter er den såkalte sensitivitetsanalysen. Denne metoden brukes ofte i prosessen med å analysere investeringsprosjekter, så vel som for å forutsi hvor mye overskudd som gjenstår til disposisjon for en gitt organisasjon.

For å optimalt planlegge og forutsi aktivitetene til en organisasjon, er det nødvendig å sørge for på forhånd for de endringene som kan oppstå i fremtiden med de analyserte økonomiske indikatorene.

For eksempel bør du på forhånd forutsi endringer i verdiene til de faktorene som påvirker fortjenestemarginen: nivået på innkjøpspriser for kjøpte materielle ressurser, nivået på salgspriser for produktene til en gitt organisasjon, endringer i kundenes etterspørsel for disse produktene.

Sensitivitetsanalyse består i å bestemme den fremtidige verdien av en generell økonomisk indikator, forutsatt at verdien av en eller flere faktorer som påvirker denne indikatoren endres.

Så, for eksempel, fastslår de hvor mye fortjenesten vil endre seg i fremtiden, med forbehold om en endring i antall solgte produkter per enhet. Ved å gjøre dette analyserer vi følsomheten til nettoresultatet for endringer i en av faktorene som påvirker det, det vil si i dette tilfellet salgsvolumfaktoren. De resterende faktorene som påvirker mengden overskudd forblir uendret. Det er også mulig å bestemme overskuddsbeløpet dersom påvirkningen av flere faktorer endres samtidig i fremtiden. Dermed gjør sensitivitetsanalyse det mulig å fastslå styrken til responsen til en generell økonomisk indikator på endringer i individuelle faktorer som påvirker denne indikatoren.

Matrisemetode

Sammen med de ovennevnte økonomiske og matematiske metodene, brukes de også i analyse av økonomiske aktiviteter. Disse metodene er basert på lineær og vektormatrisealgebra.

Nettverksplanleggingsmetode

Se videre:

Ekstrapolasjonsanalyse

I tillegg til metodene som er omtalt, benyttes også ekstrapolasjonsanalyse. Det inkluderer vurdering av endringer i tilstanden til det analyserte systemet og ekstrapolering, det vil si utvidelse av de eksisterende egenskapene til dette systemet for fremtidige perioder. I prosessen med å implementere denne typen analyse kan følgende hovedstadier skilles: primær prosessering og transformasjon av den første serien med tilgjengelige data; velge type empiriske funksjoner; bestemmelse av hovedparametrene til disse funksjonene; ekstrapolering; å fastslå graden av pålitelighet av den utførte analysen.

Økonomisk analyse bruker også hovedkomponentmetoden. De brukes med det formål å sammenligne individer komponenter, det vil si parametrene for analysen av organisasjonens aktiviteter. Hovedkomponentene er de viktigste egenskapene lineære kombinasjoner av komponenter, det vil si parametere for analysen som har de mest signifikante spredningsverdiene, nemlig de største absolutte avvikene fra gjennomsnittsverdiene.

Jernbanedepartementet Den russiske føderasjonen

Ural State University Kommunikasjonsveier

Chelyabinsk Institute of Railways

KURSARBEID

kurs: "Økonomisk og matematisk modellering"

Emne: "Matematiske modeller i økonomi"

Fullført:

Chiffer:

Adresse:

Krysset av:

Chelyabinsk 200_ g.

Introduksjon

Opprette og lagre rapporter

Løse et problem på en datamaskin

Litteratur

Introduksjon

Modellering i vitenskapelig forskning begynte å bli brukt i antikken og fanget gradvis nye områder av vitenskapelig kunnskap: teknisk design, konstruksjon og arkitektur, astronomi, fysikk, kjemi, biologi og til slutt samfunnsvitenskap. Modelleringsmetoden på 1900-tallet brakte stor suksess og anerkjennelse i nesten alle grener av moderne vitenskap. Imidlertid har modelleringsmetodikk blitt utviklet uavhengig av individuelle vitenskaper i lang tid. Det var ikke noe enhetlig system av konsepter, ingen enhetlig terminologi. Bare gradvis begynte modellens rolle som en universell metode for vitenskapelig kunnskap å bli realisert.

Begrepet "modell" er mye brukt i ulike felt av menneskelig aktivitet og har mange semantiske betydninger. La oss bare vurdere slike "modeller" som er verktøy for å skaffe kunnskap.

En modell er et materielt eller mentalt forestilt objekt som i forskningsprosessen erstatter det opprinnelige objektet slik at dets direkte studie gir ny kunnskap om det opprinnelige objektet.

Hovedtrekket ved modellering er at det er en metode for indirekte erkjennelse ved bruk av proxy-objekter. Modellen fungerer som et slags erkjennelsesverktøy som forskeren setter mellom seg selv og objektet og ved hjelp av dette studerer han objektet av interesse for ham. Det er denne funksjonen ved modelleringsmetoden som bestemmer de spesifikke formene for bruk av abstraksjoner, analogier, hypoteser og andre kategorier og metoder for erkjennelse.

Formålet med matematisk modellering av økonomiske systemer er å bruke matematiske metoder for å mest effektivt løse problemer som oppstår innen økonomi, ved å bruke, som regel, moderne datateknologi.

Prosessen med å løse økonomiske problemer utføres i flere stadier:

Betydelig (økonomisk) problemformulering. Først må du forstå oppgaven og formulere den tydelig. Samtidig bestemmes også objekter som relaterer seg til problemet som løses, samt situasjonen som må realiseres som følge av løsningen. Dette er stadiet for meningsfull formulering av problemet. For at et problem skal beskrives kvantitativt og bruke datateknologi for å løse det, er det nødvendig å produsere høykvalitets og kvantitativ analyse objekter og situasjoner knyttet til det. I dette tilfellet er komplekse objekter delt inn i deler (elementer), forbindelsene til disse elementene, deres egenskaper, kvantitative og kvalitative verdier av egenskaper, kvantitative og logiske forhold mellom dem, uttrykt i form av ligninger, ulikheter, etc. er bestemt. Dette er stadiet for systemanalyse av problemet, som et resultat av at objektet presenteres i form av et system.

Det neste trinnet er den matematiske formuleringen av problemet, der en matematisk modell av objektet konstrueres og metoder (algoritmer) bestemmes for å få en løsning på problemet. Dette er stadiet for systemsyntese (matematisk formulering) av problemet. Det skal bemerkes at det på dette stadiet kan vise seg at den tidligere utførte systemanalysen har ført til et sett med elementer, egenskaper og relasjoner som det ikke er noen akseptabel metode for å løse problemet for, som et resultat er det nødvendig å gå tilbake til stadiet av systemanalyse. Som regel er problemer løst i økonomisk praksis standardisert, systemanalyse utføres basert på en velkjent matematisk modell og en algoritme for å løse den, problemet er bare å velge en passende metode.

Det neste trinnet er å utvikle et program for å løse problemet på en datamaskin. For komplekse objekter bestående av stort nummer elementer som har et stort antall egenskaper, kan det være nødvendig å kompilere en database og verktøy for å arbeide med den, metoder for å hente data som trengs for beregninger. For standardoppgaver er det ikke utvikling som utføres, men valg av passende applikasjonspakke og databasestyringssystem.

I sluttfasen opereres modellen og resultater oppnås.

Derfor inkluderer løsning av problemet følgende trinn:

2. Systemanalyse.

3. Systemsyntese (matematisk formulering av problemet)

4. Utvikling eller valg av programvare.

5. Løse problemet.

Konsekvent bruk av operasjonsforskningsmetoder og deres implementering på moderne informasjons- og datateknologi gjør det mulig å overvinne subjektivitet og eliminere såkalte frivillige beslutninger basert ikke på en streng og nøyaktig redegjørelse for objektive omstendigheter, men på tilfeldige følelser og personlige interesser hos ledere ved ulike nivåer, som dessuten ikke kan koordinere disse frivillige beslutningene.

Systemanalyse gjør det mulig å ta hensyn til og bruke i ledelsen all tilgjengelig informasjon om det administrerte objektet, for å koordinere beslutninger tatt ut fra et objektivt, snarere enn subjektivt, effektivitetskriterium. Å spare på beregninger ved kontroll er det samme som å spare på sikting ved skyting. Imidlertid gjør en datamaskin det ikke bare mulig å ta hensyn til all informasjon, men frigjør også lederen for unødvendig informasjon, og omgår all nødvendig informasjon som omgår personen, og presenterer ham bare med den mest generaliserte informasjonen, kvintessensen. Systemtilnærmingen i økonomi er effektiv i seg selv, uten bruk av datamaskin, som forskningsmetode, og den endrer ikke tidligere oppdagede økonomiske lover, men lærer kun hvordan man best kan bruke dem.

Kompleksiteten til prosesser i økonomien krever at beslutningstakeren er høyt kvalifisert og flott opplevelse. Dette garanterer imidlertid ikke feil matematisk modellering lar deg gi et raskt svar på spørsmålet som stilles, eller utføre eksperimentelle studier som er umulige eller krever store kostnader og tid på et reelt objekt.

Matematisk modellering lar oss akseptere det optimale, det vil si beste løsningen. Det kan avvike litt fra riktig vedtak tatt uten bruk av matematisk modellering (ca. 3%). Men med store produksjonsvolumer kan en slik "mindre" feil føre til store tap.

Matematiske metoder brukt for å analysere den matematiske modellen og akseptere optimal løsning, er svært komplekse og implementeringen uten bruk av datamaskin er vanskelig. Som en del av programmene utmerke Og Mathcad Det finnes verktøy som lar deg utføre matematisk analyse og finne den optimale løsningen.

Del nr. 1 "Studie av den matematiske modellen"

Formulering av problemet.

Selskapet har muligheten til å produsere 4 typer produkter. For å produsere en enhet av hver type produkt, er det nødvendig å bruke en viss mengde arbeidskraft, økonomiske ressurser og råvareressurser. På lager Begrenset mengde hver ressurs. Salg av en produksjonsenhet gir fortjeneste. Parameterverdiene er gitt i tabell 1. Ytterligere betingelse: økonomiske kostnader for produksjon av produkter nr. 2 og nr. 4 bør ikke overstige 50 rubler. (hver type).

Basert på matematisk modellering ved hjelp av midler utmerke bestemme hvilke produkter og i hvilke mengder det er tilrådelig å produsere fra synspunktet for å oppnå størst fortjeneste, analysere resultatene, svare på spørsmål og trekke konklusjoner.

Tabell 1.

Å tegne en matematisk modell

Objektiv funksjon (TF).

Objektivfunksjonen viser i hvilken forstand løsningen på problemet skal være best (optimal). I vår oppgave TF:

Fortjeneste → maks.

Fortjenesteverdien kan bestemmes av formelen:

Fortjeneste = teller 1 ∙ pr 1 + teller 2 ∙ pr 2 + teller 3 ∙ pr 3 + teller 4 ∙ pr 4, Hvor telle 1,..., telle 4 -

mengder av hver type produkt produsert;

pr 1,..., pr 4 - fortjeneste mottatt fra salg av en enhet av hver type produkt. Erstatter verdiene pr 1,..., pr 4 ( fra tabell 1) får vi:

TF: 1,7 ∙ teller 1 + 2,3 ∙ teller 2 + 2 ∙ teller 3 + 5 ∙ teller 4 → maks (1)

Restriksjoner (OGR).

Begrensninger etablerer avhengigheter mellom variabler. I vår problemstilling er det pålagt restriksjoner på ressursbruken, hvor mengden er begrenset. Mengden råvarer som trengs for å produsere alle produkter kan beregnes ved å bruke formelen:

Råvarer = fra 1 ∙ mengde 1 + fra 2 ∙ mengde 2 + fra 3 ∙ mengde 3 + fra 4 ∙ mengde 4, Hvor fra 1,..., fra 4 –

mengder råvarer som kreves for å produsere en enhet av hver type produkt. Total Mengden råvarer som brukes kan ikke overstige tilgjengelig ressurs. Ved å erstatte verdiene fra tabell 1 får vi den første begrensningen - for råvarer:

1,8 ∙ teller 1 + 1,4 ∙ teller 2 + 1 ∙ teller 3 + 0,15 ∙ teller 4 ≤ 800 (2)

La oss på samme måte skrive ned restriksjonene på økonomi og lønnskostnader:

0,63 ∙ teller 1 + 0,1 ∙ teller 2 + 1 ∙ teller 3 + 1,7 ∙ teller 4 ≤ 400 (3)

1,1 ∙ teller 1 + 2,3 ∙ teller 2 + 1,6 ∙ teller 3 + 1,8 ∙ teller 4 ≤ 1000 (4)

Grensebetingelser (GRU).

Grensebetingelser viser innenfor hvilke rammer de ønskede variablene kan endres. I vår problemstilling er dette de økonomiske kostnadene for produksjon av produkter nr. 2 og nr. 4 i henhold til betingelsen:

0,1 ∙ teller 2 ≤ 50 rub.; 1,7 ∙ teller 4 ≤ 50 gni. ( 5)

På den annen side må vi innføre at produksjonsmengden må være større enn eller lik null. Dette er en åpenbar betingelse for oss, men en nødvendig betingelse for datamaskinen:

telle 1 ≥ 0; telle 2 ≥ 0; telle 3 ≥ 0; telle 4 ≥ 0. ( 6)

Siden alle de søkte variablene ( telle 1,..., telle 4) er inkludert i forholdet 1-7 til første potens og bare handlingene for summering og multiplikasjon med konstante koeffisienter utføres på dem, da er modellen lineær.

Løse et problem på en datamaskin.

Slå på datamaskinen. Før du går inn i nettverket, angi brukernavnet ZA, med passordet A. Last ned programmet utmerke. Lagre filen under navnet Lidovitsky Kulik. X ls. i mappe Ek/k 31 (2). Lag en overskrift: til venstre er datoen, i midten er filnavnet, til høyre er arknavnet.

Vi lager og formaterer overskriften og kildedatatabellen (tabell 1). Vi legger inn dataene i tabellen i henhold til varianten av problemet.

Vi lager og formaterer tabellen for beregning. Skriv inn startverdiene i "Antall"-cellene. Vi velger dem nært forventet resultat. Vi har ikke foreløpig informasjon og derfor vil vi velge dem lik 1. Dette vil gjøre det enkelt å kontrollere de angitte formlene.

I linjen "Arbeidsinnsats" legger vi inn vilkårene i formel (4) - produktet av mengden produkter med mengden arbeidsinnsats som kreves for å produsere en produksjonsenhet:

for produkt nr. 1 (=C15*C8);

produkter nr. 2 (=D15*D8);

produkter nr. 3 (=E15*E8);

produkter nr. 4 (=F15*F8).

I «TOTAL»-kolonnen finner vi summen av innholdet i disse cellene ved å bruke autosum-knappen Σ. I «Resterende»-kolonnen finner vi forskjellen mellom innholdet i «Ressurs-arbeidskostnader»-cellene i tabell 1 og «TOTALT-arbeidskostnader» (=G8-G17) På samme måte fyller du inn «Økonomi» (=G9 -G18) og "Råvarer" (=G10- G19).

I "Profit"-cellen beregner vi fortjeneste ved å bruke venstre side av formel (1). I dette tilfellet vil vi bruke funksjonen =SUMPRODUKT (C15: F15; C11: F11).

Vi tildeler cellene som inneholder total fortjeneste, økonomiske kostnader, arbeids- og råvarekostnader, samt produktmengder, navn, henholdsvis: "Profit", "Finance", "Labor", "Råvarer", "Pr1", "Pr2". ", "Pr3", "Pr4". utmerke vil inkludere disse navnene i rapportene.

Henter opp dialogboksen Å finne en løsning lag Service-Søk etter en løsning...

Formålet med den objektive funksjonen.

Plasser markøren i vinduet Angi målcelle og ved å klikke på "Profit"-cellen, skriv inn adressen til den. Vi introduserer retningen til den objektive funksjonen: Maksimal verdi.

Skriv inn adressene til de nødvendige variablene som inneholder antall produkter 1-4 i vinduet Bytte celler .

Å legge inn restriksjoner.

Klikk på knappen Legg til. En dialogboks vises Legger til restriksjoner. Plasser markøren i vinduet Cellereferanse og skriv inn adressen til "Labour Costs"-cellen der. Åpne listen over betingelser og velg<=, в поле Begrensning Skriv inn adressen til "Resource-Labor"-cellen. Klikk på knappen Legg til. Til et nytt vindu Legger til restriksjoner Tilsvarende innfører vi en økonomisk restriksjon. Klikk på knappen Legg til, innfører vi restriksjoner på råvarer. Klikk på OK. restriksjoner er innført. Vinduet vises på skjermen igjen Å finne en løsning, i felt Begrensninger en liste over pålagte restriksjoner er synlig.

Å legge inn grensebetingelser.

Å gå inn i GRU er ikke forskjellig fra å angi restriksjoner. I vinduet Legger til restriksjoner i felt Cellereferanse Bruk musen til å angi adressen til "Fin2"-cellen. Å velge et skilt<=. В поле Begrensning skriv ned 50. Klikk på Legg til. Bruk musen til å angi adressen til "Fin4"-cellen. Å velge et skilt<=. В поле Begrensning skriv ned 50. Klikk på OK. la oss gå tilbake til vinduet Å finne en løsning. I felt Begrensninger en fullstendig liste over angitte OGR og GRU er synlig (fig. 1).

Bilde 1.

Legge inn parametere.

Klikk på knappen Alternativer. Et vindu vises Løsningssøkealternativer. I felt Lineær modell merk av i boksen. Vi lar de resterende parameterne være uendret. Klikk på OK(Fig. 2).

Figur 2.

Løsning.

I vinduet Å finne en løsning klikk på knappen Henrette. Et vindu vises på skjermen Løsningssøkeresultater. Det står "Løsningen er funnet. Alle begrensninger og optimalitetsbetingelser er oppfylt."

Opprette og lagre rapporter

For å svare på spørsmålene til oppgaven trenger vi rapporter. I felt Rapport type Bruk musen til å velge alle typer: "Resultater", "Stabilitet" og "Begrensninger".

Sett en prikk i feltet Lagre løsningen som ble funnet og klikk på OK. (Fig. 3). utmerke genererer de forespurte rapportene og plasserer dem på separate ark. Det originale arket med beregningen åpnes. I kolonnen "Antall" - de funnet verdiene for hver type produkt.

Figur 3.

Vi lager en oppsummerende rapport. Vi kopierer og legger de mottatte rapportene på ett ark. Vi redigerer dem slik at alt er på én side.

Vi presenterer løsningsresultatene grafisk. Vi bygger diagrammer "Produksjonsmengde" og "Fordeling av ressurser".

For å bygge et "Quantity of Products"-diagram, åpne kartveiviseren og det første trinnet er å velge den volumetriske versjonen av et vanlig histogram. Det andre trinnet i kildedatavinduet er å velge dataområdet = Lidovitsky! $C$14: $F$15. Det tredje trinnet i diagramparametrene er å angi navnet på diagrammet "Antall produkter". Det fjerde trinnet er å plassere diagrammet på det eksisterende arket. Ved å trykke på en knapp Klar Vi avslutter konstruksjonen av diagrammet.

For å bygge et "Ressursfordeling"-diagram, åpne diagramveiviseren og det første trinnet er å velge et tredimensjonalt histogram. Det andre trinnet i kildedatavinduet er å velge området: Lidovitsky! $A$17: $F$19; Lidovitsky! $C$14: $F$14. Det tredje trinnet i diagramparametrene er å angi navnet på diagrammet "Ressursallokering". Det fjerde trinnet er å plassere diagrammet på det eksisterende arket. Ved å trykke på en knapp Klar Vi avslutter konstruksjonen av diagrammet (fig. 4).

Figur 4.

Disse diagrammene illustrerer den beste produktmiksen ut fra synspunktet om å oppnå størst fortjeneste og tilsvarende allokering av ressurser.

Vi skriver ut et ark med tabeller over kildedata, med diagrammer og beregningsresultater, og et ark med en sammendragsrapport på papir.

Analyse av løsningen som ble funnet. Svar på spørsmål

I følge resultatrapporten.

Maksimal fortjeneste som kan oppnås hvis alle betingelsene for oppgaven er oppfylt er 1292,95 rubler.

For å gjøre dette er det nødvendig å produsere maksimalt mulig antall produkter nr. 2 - 172,75 og nr. 4 - 29,41 enheter med økonomiske kostnader som ikke overstiger 50 rubler. for hver type, og produkter nr. 1 - 188.9 og nr. 3 - 213.72. I dette tilfellet vil ressurser til lønnskostnader, økonomi og råvarer være helt oppbrukt.

I følge bærekraftsrapporten.

Endring av en av inngangsdataene vil ikke føre til en annen struktur på den funnet løsningen, dvs. til et annet produktspekter som er nødvendig for å oppnå maksimal fortjeneste, hvis: fortjeneste ved salg av enhet av produkt nr. 1 ikke øker med mer enn 1,45 og ikke reduseres med mer enn 0,35. Dermed:

(1,7 - 0,35) = 1,35 < Прибыль 1 < 3,15 = (1,7 + 1,45)

fortjeneste ved salg av enhet av produkt nr. 2 vil ikke øke med mer enn 0,56 og ikke reduseres med mer enn 1,61. Dermed:

(2,3 - 1,61) = 0,69 < Прибыль 2 < 2,86 = (2,3 + 0,56)

fortjeneste ved salg av enhet av produkt nr. 3 vil ikke øke med mer enn 0,56 og ikke reduseres med mer enn 0,39. Dermed:

(2 - 0,39) = 1,61 < Прибыль 3 < 2,56 = (2 + 0,56)

fortjeneste ved salg av enhet av produkt nr. 4 kan ikke reduseres med mer enn 2,81, dvs. med 56,2 % og øke ubegrenset. Altså: profitt 4 > 2,19 = (5 - 2,81) ressurs for råvarer kan økes med 380,54, d.v.s. med 47,57 % og redusert med 210,46, dvs. med 26,31 %. Altså: 589,54< С < 1180,54 ресурс по финансам может быть увеличен на 231,38, т.е. на 57,84% и уменьшен на 195,98, т.е. на 48,99%. Таким образом: 204,02 < Ф < 631,38 ресурс по трудозатратам может быть увеличен на 346,45, т.е. на 34,64% и уменьшен на 352,02, т.е. на 35, 20%. Таким образом: 647,98 < ТЗ < 1346,45

I følge grenserapporten:

Mengden av produksjon av en type kan variere fra 0 til den funnet optimale verdien, dette vil ikke føre til en endring i produktutvalget som er nødvendig for å oppnå maksimal fortjeneste. På samme tid, hvis du produserer produkt nr. 1, vil fortjenesten være 971,81 rubler, produkt nr. 2 - 895,63 rubler, produkt nr. 3 - 865,51 rubler, produkt nr. 4 - 1145,89 rubler.

konklusjoner

Studiet av den matematiske modellen og dens påfølgende analyse lar oss trekke følgende konklusjoner:

Maksimal mulig fortjeneste, som beløper seg til 1292,95 rubler, hvis alle spesifiserte betingelser og restriksjoner er oppfylt, kan oppnås hvis du produserer produkt nr. 1 - 188,9 enheter, produkt nr. 2 - 172,75 enheter, produkt nr. 3 - 213,72 enheter, produkter nr. 4 - 29,41 enheter.

Etter at produksjonen er frigitt, vil alle ressurser være fullstendig brukt.

Strukturen til løsningen som ble funnet, avhenger sterkest av salget av produksjonsenheter nr. 1 og nr. 3, samt av reduksjonen eller økningen i alle tilgjengelige ressurser.

Del nr. 2 "Beregning av den økonomisk-matematiske modellen for input-output balansen

Teoretiske bestemmelser.

Balansemetode- en metode for gjensidig sammenligning av økonomiske, materielle og arbeidskraftige ressurser og behovene for dem. Balansemodellen til et økonomisk system er et system av ligninger som oppfyller kravene til å matche tilgjengeligheten til en ressurs og bruken av den.

Tverrsektoriell balanse reflekterer produksjonen og distribusjonen av produktet etter industri, tverrsektorielle produksjonsforhold, bruk av materielle og arbeidskraftsressurser, opprettelse og fordeling av nasjonalinntekt.

Ordning med balanse mellom industrien.

Hver bransje på balansen både forbruker og produserer. Det er 4 balanseområder (kvadranter) med økonomisk innhold:

tabell over materialforbindelser mellom industrien, her X ij - verdier for produktstrømmer mellom industrien, dvs. kostnaden for produksjonsmidler produsert i i-industrien og kreves som materialkostnader i j-industrien.

Sluttprodukter er produkter som forlater produksjonssfæren til forbruk, akkumulering, eksport osv.

Betinget netto produksjon Zj er summen av avskrivninger Cj og netto produksjon (Uj + mj).

Gjenspeiler den endelige fordelingen og bruken av nasjonalinntekt. Bruttoproduksjonskolonnen og -raden brukes til å kontrollere saldoen og utarbeide en økonomisk og matematisk modell.

Summen av materialkostnadene til enhver forbrukerindustri og dens betingede nettoproduksjon er lik bruttoproduksjonen til denne industrien:

(1)

Bruttoproduksjonen til hver industri er lik summen av materialkostnadene til næringene som forbruker produktene og sluttproduktene til denne industrien.

(2)

La oss summere alle grener av ligning 1:

På samme måte for ligning 2:

Venstre side er bruttoproduktet, så setter vi likhetstegn mellom høyresidene:

(3)

Formulering av problemet.

Det er et økonomisk system med fire grener. Bestem koeffisientene for totale materialkostnader basert på dataene: matrise av koeffisienter for direkte materialkostnader og vektor for brutto produksjon (tabell 2).

Tabell 2.

Utarbeide en balansemodell.

Grunnlaget for den økonomisk-matematiske modellen for input-output-balansen er matrisen av koeffisienter for direkte materialkostnader:

Koeffisienten for direkte materialkostnader viser hvor mye produkt av industri i som trengs, hvis vi bare tar i betraktning direkte kostnader for produksjon av en enhet av produkt av industri j.

Gitt uttrykk 4, kan uttrykk 2 skrives om:

(5)

Brutto utgangsvektor.

Sluttproduktvektor.

La oss betegne matrisen av koeffisienter for direkte materialkostnader:

Deretter ligningssystem 5 i matriseform:

(6)

Det siste uttrykket er input-output balansemodellen eller Leontief-modellen. Ved å bruke modellen kan du:

Etter å ha spesifisert verdiene for bruttoproduksjon X, bestemme volumene av sluttproduktene Y:

(7)

hvor E er identitetsmatrisen.

Etter å ha spesifisert verdien av sluttproduktet Y, bestemmer du verdien av bruttoproduktet X:

(8)

la oss betegne med B verdien (E-A) - 1, dvs.

da vil elementene i matrise B være .

For hver i-bransje:

Dette er koeffisientene for totale materialkostnader de viser hvor mye industriprodukt i må produseres for å oppnå en enhet for sluttprodukt fra industri j, tatt i betraktning de direkte og indirekte kostnadene til disse produktene.

For å beregne den økonomisk-matematiske modellen for input-output-balansen, tatt i betraktning de gitte verdiene:

Matriser med direkte materialkostnadskoeffisienter:

Vektorer for brutto produksjon:

La oss ta identitetsmatrisen som tilsvarer matrise A:

For å beregne koeffisientene for totale materialkostnader bruker vi formelen:

For å bestemme bruttoproduksjon for alle bransjer, bruk formelen:

For å bestemme verdien av intersektorielle produktstrømmer (matrise x), bestemmer vi elementene i matrise x ved å bruke formelen:

hvor i = 1…n; j = 1…n;

n er antall rader og kolonner i kvadratmatrisen A.

For å bestemme vektoren for betinget nettoproduksjon Z, beregnes elementene i vektoren ved å bruke formelen:

Løse et problem på en datamaskin

Last ned programmet Mathcad .

Lag en fil under navnet Lidovitskiy- Kulik . mcd. i mappe Ek/k 31 (2).

Basert på de foreløpige innstillingene (mal) lager og formaterer vi tittelen.

Gå inn med passende kommentarer ( ORIGIN=1) den gitte matrisen av koeffisienter for direkte materialkostnader A og vektoren for brutto X-produksjon (alle inskripsjoner og betegnelser er lagt inn med latinsk skrift, de gitte formlene og kommentarene skal være plassert enten på nivå med eller over de beregnede verdiene).

Vi beregner matrisen av koeffisienter for totale materialkostnader B. For å gjøre dette, beregner vi enhetsmatrisen som tilsvarer matrise A. For å gjøre dette bruker vi funksjonen identiti ( cols ( EN)).

Vi beregner matrise B ved å bruke formelen:

Vi bestemmer volumet av brutto produksjon for alle næringer Y ved å bruke formelen:

Definere matrisen X verdier av tverrsektorielle produktstrømmer. For å gjøre dette definerer vi elementene i matrisen ved å spesifisere kommentarer:

i=1. rader (A) j=1. cols (A) x i,j =A i,j ·X j

Etter dette finner vi matrisen X .

Vi beregner vektoren for betinget ren produksjon Z ved å sette formelen for dette:

Siden Z i balanse er en radvektor, finner vi den transponerte vektoren Z T .

La oss finne summene:

9.11.1 Betinget rene produkter:

9.11.2 Sluttprodukter:

9.11.3 Bruttoproduksjon:

Vi skriver ut resultatene av løsningen på papir.

Bransjebalanse mellom produksjon og distribusjon av produkter

Basert på innhentede data vil vi utarbeide en tverrsektoriell balanse mellom produksjon og fordeling av ressurser.

konklusjoner

Basert på matrisen av koeffisienter for direkte materialkostnader og vektoren for bruttoproduksjon, ble koeffisientene for totale materialkostnader bestemt og en bransjebalanse for produksjon og ressursfordeling ble satt sammen.

Bestemte materialforbindelser eller verdier for intersektorielle produktstrømmer (matrise X), dvs. kostnadene for produksjonsmidler produsert i den produserende industrien og som kreves som materialkostnader i den konsumerende industrien.

Vi bestemte sluttproduktet (Y), dvs. produkter som forlater den produserende industrien inn i den konsumerende industrien.

Vi bestemte verdien av betinget nettoproduksjon etter industri (Zj; Z T).

Den endelige fordelingen av brutto produksjon (X) ble bestemt. Ved å bruke kolonnen og raden med brutto produksjon, sjekket vi saldoen (138+697+282+218) =1335.

Basert på den sammenstilte balansen kan følgende konklusjoner trekkes:

summen av materialkostnader for enhver forbrukerindustri og dens betingede nettoproduksjon er lik bruttoproduksjonen til denne industrien.

Bruttoproduksjonen til hver industri er lik summen av materialkostnadene til næringene som forbruker produktene og sluttproduktene til denne industrien.

Litteratur

1. " Matematiske modeller i økonomi." Retningslinjer for utførelse av laboratorie- og testarbeid for studenter av økonomiske spesialiteter innen korrespondanseutdanning. Zhukovsky A.A. CHIPS UrGUPS. Chelyabinsk. 2001.

2. Gataulin A.M., Gavrilov G.V., Sorokina T.M. Matematisk modellering av økonomiske prosesser. - M., Agropromizdat, 1990.

3. Økonomiske og matematiske metoder og anvendte modeller: Lærebok for universiteter / Redigert av V. V. Fedoseeva. - M.: UNITY, 2001.

4. Søk etter optimale løsninger ved hjelp av Excel 7.0. Kuritsky B.Ya. St. Petersburg: "VNV - St. Petersburg", 1997.

5. Plis A.I., Slivina N.A. MathCAD 2000. Matematisk verksted for økonomer og ingeniører. Moskva. Finans og statistikk. 2000.