Normal logaritme. Logaritme

Hvad er en logaritme?

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Hvad er en logaritme? Hvordan løser man logaritmer? Disse spørgsmål forvirrer mange kandidater. Traditionelt betragtes emnet logaritmer som komplekst, uforståeligt og skræmmende. Især ligninger med logaritmer.

Dette er absolut ikke sandt. Absolut! Tror du mig ikke? Bøde. Nu, på kun 10 - 20 minutter:

1. Du vil forstå hvad er en logaritme.

2. Lær at løse en hel klasse eksponentielle ligninger. Også selvom du ikke har hørt noget om dem.

3. Lær at beregne simple logaritmer.

Desuden behøver du kun at kende multiplikationstabellen og hvordan man hæver et tal til en potens...

Jeg føler, at du er i tvivl... Nå, okay, sæt tiden af! Lad os gå!

Løs først denne ligning i dit hoved:

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Logaritme af tallet b (b > 0) til grundtal a (a > 0, a ≠ 1)– eksponent, hvortil tallet a skal hæves for at opnå b.

Grundtallet 10 logaritmen af ​​b kan skrives som log(b), og logaritmen til base e (naturlig logaritme) er ln(b).

Bruges ofte ved løsning af problemer med logaritmer:

Egenskaber for logaritmer

Der er fire hoved egenskaber ved logaritmer.

Lad a > 0, a ≠ 1, x > 0 og y > 0.

Egenskab 1. Logaritme af produktet

Logaritme af produktet lig med summen logaritmer:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Egenskab 2. Logaritme af kvotienten

Logaritme af kvotienten lig med forskellen mellem logaritmer:

log a (x / y) = log a x – log a y

Ejendom 3. Magtlogaritme

Logaritme af grad lig med produktet potenser pr. logaritme:

Hvis basen af ​​logaritmen er i graden, gælder en anden formel:

Egenskab 4. Logaritme af roden

Denne egenskab kan fås fra egenskaben af ​​en potenss logaritme, da den n'te rod af potensen er lig med potensen 1/n:

Formel til konvertering fra en logaritme i en base til en logaritme i en anden base

Denne formel bruges også ofte, når man løser forskellige opgaver på logaritmer:

Særligt tilfælde:

Sammenligning af logaritmer (uligheder)

Lad os have 2 funktioner f(x) og g(x) under logaritmer med de samme baser, og mellem dem er der et ulighedstegn:

For at sammenligne dem skal du først se på bunden af ​​logaritmerne a:

• Hvis a > 0, så f(x) > g(x) > 0
• Hvis 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Sådan løses problemer med logaritmer: eksempler

Problemer med logaritmer indgår i Unified State Eksamen i matematik for 11. klasse i opgave 5 og opgave 7, kan du finde opgaver med løsninger på vores hjemmeside i de relevante afsnit. Også opgaver med logaritmer findes i matematikopgavebanken. Du kan finde alle eksempler ved at søge på siden.

Hvad er en logaritme

Logaritmer har altid været overvejet komplekst emne V skoleforløb matematik. Der er mange forskellige definitioner af logaritme, men af ​​en eller anden grund bruger de fleste lærebøger den mest komplekse og mislykkede af dem.

Vi vil definere logaritmen enkelt og klart. For at gøre dette, lad os oprette en tabel:

Så vi har to beføjelser.

Logaritmer - egenskaber, formler, hvordan man løser

Hvis du tager tallet fra bundlinjen, kan du nemt finde den magt, som du skal hæve to til for at få dette tal. For eksempel, for at få 16, skal du hæve to til den fjerde potens. Og for at få 64 skal du hæve to til den sjette potens. Dette kan ses af tabellen.

Og nu - faktisk definitionen af ​​logaritmen:

Grundlaget a i argumentet x er den potens, som tallet a skal hæves til for at opnå tallet x.

Betegnelse: log a x = b, hvor a er grundtallet, x er argumentet, b er hvad logaritmen faktisk er lig med.

For eksempel, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (grundtallet 2-logaritmen af ​​8 er tre, fordi 2 3 = 8). Med samme succes, log 2 64 = 6, da 2 6 = 64.

Operationen med at finde logaritmen af ​​et tal til en given base kaldes. Så lad os tilføje en ny linje til vores tabel:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Desværre er det ikke alle logaritmer, der beregnes så let. Forsøg for eksempel at finde log 2 5. Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsiger, at logaritmen vil ligge et sted på intervallet. Fordi 22< 5 < 2 3 , а чем mere grad toere, jo større tal.

Sådanne tal kaldes irrationelle: tallene efter decimaltegnet kan skrives i det uendelige, og de gentages aldrig. Hvis logaritmen viser sig at være irrationel, er det bedre at lade det være sådan: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det er vigtigt at forstå, at en logaritme er et udtryk med to variable (grundlaget og argumentet). I begyndelsen forvirrer mange mennesker, hvor grundlaget er, og hvor argumentet er. For at undgå irriterende misforståelser skal du blot se på billedet:

Foran os er intet andet end definitionen af ​​en logaritme. Huske: logaritme er en potens, som basen skal indbygges i for at få et argument. Det er basen, der er hævet til en magt – den er fremhævet med rødt på billedet. Det viser sig, at basen altid er i bunden! Jeg fortæller mine elever denne vidunderlige regel i den allerførste lektion – og der opstår ingen forvirring.

Hvordan man tæller logaritmer

Vi har fundet ud af definitionen - det eneste, der er tilbage, er at lære at tælle logaritmer, dvs. slippe af med "log"-tegnet. Til at begynde med bemærker vi, at to vigtige fakta følger af definitionen:

1. Argumentet og grundtallet skal altid være større end nul. Dette følger af definitionen af ​​en grad ved en rationel eksponent, hvortil definitionen af ​​en logaritme reduceres.
2. Basen skal være forskellig fra en, da en i nogen grad stadig forbliver en. På grund af dette er spørgsmålet "til hvilken magt skal man hæves for at få to" meningsløst. Der er ingen sådan grad!

Sådanne begrænsninger kaldes område acceptable værdier (ODZ). Det viser sig, at ODZ for logaritmen ser sådan ud: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Bemærk, at der ikke er nogen begrænsninger på tallet b (værdien af ​​logaritmen). For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 = −1, fordi 0,5 = 2 −1.

Men nu overvejer vi kun numeriske udtryk, hvor det ikke er nødvendigt at kende VA af logaritmen. Alle begrænsninger er allerede taget i betragtning af forfatterne til opgaverne. Men når logaritmiske ligninger og uligheder kommer i spil, bliver DL-krav obligatoriske. Grundlaget og argumentationen kan trods alt indeholde meget stærke konstruktioner, der ikke nødvendigvis svarer til ovenstående begrænsninger.

Lad os nu se på det generelle skema til beregning af logaritmer. Den består af tre trin:

1. Udtryk grundtallet a og argumentet x som en potens med mindst mulig grundtal større end én. Undervejs er det bedre at slippe af med decimaler;
2. Løs ligningen for variabel b: x = a b ;
3. Det resulterende tal b vil være svaret.

Det er det! Hvis logaritmen viser sig at være irrationel, vil denne være synlig allerede i første trin. Kravet om, at grundlaget skal være større end én, er meget vigtigt: Dette reducerer sandsynligheden for fejl og forenkler beregningerne i høj grad. Det er det samme med decimalbrøker: Hvis du straks konverterer dem til almindelige, vil der være mange færre fejl.

Lad os se, hvordan denne ordning fungerer ved hjælp af specifikke eksempler:

Opgave. Beregn logaritmen: log 5 25

1. Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Lad os skabe og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Vi fik svaret: 2.

Opgave. Beregn logaritmen:

Opgave. Beregn logaritmen: log 4 64

1. Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Lad os skabe og løse ligningen:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Vi fik svaret: 3.

Opgave. Beregn logaritmen: log 16 1

1. Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Lad os skabe og løse ligningen:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Vi fik svaret: 0.

Opgave. Beregn logaritmen: log 7 14

1. Lad os forestille os grundlaget og argumentet som en potens af syv: 7 = 7 1 ; 14 kan ikke repræsenteres som en potens af syv, da 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Af det foregående afsnit følger, at logaritmen ikke tæller;
3. Svaret er ingen ændring: log 7 14.

En lille bemærkning til det sidste eksempel. Hvordan kan du være sikker på, at et tal ikke er en nøjagtig potens af et andet tal? Det er meget enkelt - tag det bare ind i hovedfaktorer. Hvis udvidelsen har mindst to forskellige faktorer, er tallet ikke en nøjagtig potens.

Opgave. Find ud af, om tallene er nøjagtige potenser: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - nøjagtig grad, fordi der er kun én multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - er ikke en nøjagtig potens, da der er to faktorer: 3 og 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - nøjagtig grad;
35 = 7 · 5 - igen ikke en nøjagtig potens;
14 = 7 · 2 - igen ikke en nøjagtig grad;

Lad os også bemærke, at vi selv primtal er altid nøjagtige grader af sig selv.

Decimal logaritme

Nogle logaritmer er så almindelige, at de har et særligt navn og symbol.

af argumentet x er logaritmen til base 10, dvs. Den potens, som tallet 10 skal hæves til for at opnå tallet x. Betegnelse: lg x.

For eksempel log 10 = 1; Ig 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Fra nu af, når en sætning som "Find lg 0.01" dukker op i en lærebog, skal du vide: dette er ikke en tastefejl. Dette er en decimallogaritme. Men hvis du ikke er bekendt med denne notation, kan du altid omskrive den:
log x = log 10 x

Alt, hvad der er sandt for almindelige logaritmer, gælder også for decimallogaritmer.

Naturlig logaritme

Der er en anden logaritme, der har sin egen betegnelse. På nogle måder er det endnu vigtigere end decimal. Det handler om om den naturlige logaritme.

af argumentet x er logaritmen til basis e, dvs. den potens, hvortil tallet e skal hæves for at opnå tallet x. Betegnelse: ln x.

Mange mennesker vil spørge: hvad er tallet e? Dette er et irrationelt tal, dets nøjagtige værdi umuligt at finde og registrere. Jeg vil kun give de første tal:
e = 2,718281828459…

Vi vil ikke gå i detaljer om, hvad dette nummer er, og hvorfor det er nødvendigt. Bare husk, at e er basis for den naturlige logaritme:
ln x = log e x

Således ln e = 1; ln e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den anden side er ln 2 et irrationelt tal. Generelt er den naturlige logaritme af evt rationelt tal irrationel. Bortset naturligvis fra én: ln 1 = 0.

For naturlige logaritmer er alle de regler, der er sande for almindelige logaritmer, gyldige.

Se også:

Logaritme. Egenskaber for logaritmen (logaritmens potens).

Hvordan repræsenterer man et tal som en logaritme?

Vi bruger definitionen af ​​logaritme.

En logaritme er en eksponent, hvortil grundtallet skal hæves for at få tallet under logaritmetegnet.

For at repræsentere et bestemt tal c som en logaritme til base a, skal du således sætte en potens med samme grundtal som logaritmen under logaritmens fortegn og skrive dette tal c som eksponent:

Absolut ethvert tal kan repræsenteres som en logaritme - positiv, negativ, heltal, brøk, rationel, irrationel:

For ikke at forveksle a og c under stressende forhold ved en test eller eksamen, kan du bruge følgende huskeregel:

hvad der er under går ned, hvad der er ovenover går op.

For eksempel skal du repræsentere tallet 2 som en logaritme til base 3.

Vi har to tal - 2 og 3. Disse tal er grundtallet og eksponenten, som vi vil skrive under logaritmens fortegn. Det er tilbage at bestemme, hvilke af disse tal der skal skrives ned, til bunden af ​​potensen, og hvilke - op til eksponenten.

Grundtallet 3 i notationen af ​​en logaritme er nederst, hvilket betyder, at når vi repræsenterer to som en logaritme til grundtallet 3, vil vi også skrive 3 ned til grundtallet.

2 er højere end tre. Og i notation af graden to skriver vi over de tre, det vil sige som en eksponent:

Logaritmer. Indgangsniveau.

Logaritmer

Logaritme positivt tal b baseret på -en, Hvor a > 0, a ≠ 1, kaldes den eksponent, som tallet skal hæves til -en at få b.

Definition af logaritme kan kort skrives sådan:

Denne ligestilling gælder for b > 0, a > 0, a ≠ 1. Det kaldes normalt logaritmisk identitet.
Handlingen med at finde logaritmen af ​​et tal kaldes ved logaritme.

Egenskaber for logaritmer:

Logaritme af produktet:

Logaritme af kvotienten:

Udskiftning af logaritmebasen:

Gradlogaritme:

Rodens logaritme:

Logaritme med potensbase:

Decimale og naturlige logaritmer.

Decimal logaritme tal kalder logaritmen af ​​dette tal til base 10 og skriver   lg b
Naturlig logaritme tal kaldes logaritmen af ​​dette tal til grundtallet e, Hvor e- et irrationelt tal omtrent lig med 2,7. Samtidig skriver de ln b.

Andre noter om algebra og geometri

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Logaritmer, som alle tal, kan tilføjes, trækkes fra og transformeres på alle måder. Men da logaritmer ikke er helt almindelige tal, er der regler her, som kaldes hovedejendomme.

Du skal helt sikkert kende disse regler - ikke et eneste alvorligt logaritmisk problem kan løses uden dem. Derudover er der meget få af dem – du kan lære alt på én dag. Så lad os komme i gang.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer

Overvej to logaritmer med samme grundtal: log a x og log a y. Derefter kan de lægges til og trækkes fra, og:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Så summen af ​​logaritmer er lig med logaritmen af ​​produktet, og forskellen er lig med logaritmen af ​​kvotienten. Bemærk venligst: nøglepunkt Her - identiske grunde. Hvis årsagerne er forskellige, virker disse regler ikke!

Disse formler hjælper dig med at beregne logaritmisk udtryk selv når dens individuelle dele ikke tælles med (se lektionen "Hvad er en logaritme"). Tag et kig på eksemplerne og se:

Log 6 4 + log 6 9.

Da logaritmer har de samme baser, bruger vi sumformlen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 2 48 − log 2 3.

Baserne er de samme, vi bruger forskelsformlen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igen er baserne de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, er de oprindelige udtryk opbygget af "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men efter transformationerne opnås helt normale tal. Mange er bygget på dette faktum tests. Ja, testlignende udtryk tilbydes i fuld alvor (nogle gange med stort set ingen ændringer) på Unified State Examination.

Udtræk af eksponenten fra logaritmen

Lad os nu komplicere opgaven lidt. Hvad hvis basen eller argumentet for en logaritme er en potens? Så kan eksponenten for denne grad tages ud af logaritmens fortegn efter følgende regler:

Det er let at se, at den sidste regel følger de to første. Men det er bedre at huske det alligevel - i nogle tilfælde vil det reducere mængden af ​​beregninger betydeligt.

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ af logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting mere: lær at anvende alle formler ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt , dvs. Du kan indtaste tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen.

Sådan løses logaritmer

Det er det, der oftest kræves.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 7 49 6 .

Lad os slippe af med graden i argumentet ved at bruge den første formel:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk, at nævneren indeholder en logaritme, hvis basis og argument er nøjagtige potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:

Jeg synes, det sidste eksempel kræver en vis afklaring. Hvor er logaritmerne blevet af? Indtil sidste øjeblik arbejder vi kun med nævneren. Vi præsenterede basen og argumentet for logaritmen, der stod der i form af potenser og tog eksponenterne ud - vi fik en "tre-etagers" brøk.

Lad os nu se på hovedbrøken. Tælleren og nævneren indeholder det samme tal: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0, kan vi reducere brøken - 2/4 forbliver i nævneren. Ifølge regnereglerne kan de fire overføres til tælleren, hvilket er hvad der blev gjort. Resultatet blev svaret: 2.

Overgang til en ny fond

Når jeg taler om reglerne for at addere og subtrahere logaritmer, understregede jeg specifikt, at de kun fungerer med de samme baser. Hvad hvis årsagerne er forskellige? Hvad hvis de ikke er nøjagtige potenser af samme tal?

Formler for overgang til et nyt fundament kommer til undsætning. Lad os formulere dem i form af en sætning:

Lad logaritmen log a x gives. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

Især hvis vi sætter c = x, får vi:

Af den anden formel følger det, at logaritmens basis og argument kan byttes, men i dette tilfælde "vendes hele udtrykket", dvs. logaritmen vises i nævneren.

Disse formler findes sjældent i konventionelle numeriske udtryk. Det er kun muligt at vurdere, hvor praktiske de er, når man løser logaritmiske ligninger og uligheder.

Der er dog problemer, som slet ikke kan løses, undtagen ved at flytte til en ny fond. Lad os se på et par af disse:

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 5 16 log 2 25.

Bemærk, at argumenterne for begge logaritmer indeholder nøjagtige potenser. Lad os tage indikatorerne ud: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Lad os nu "vende" den anden logaritme:

Da produktet ikke ændrer sig ved omarrangering af faktorer, gangede vi roligt fire og to og behandlede derefter logaritmer.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log 9 100 lg 3.

Grundlaget og argumentet for den første logaritme er nøjagtige potenser. Lad os skrive dette ned og slippe af med indikatorerne:

Lad os nu slippe af med decimallogaritmen ved at flytte til en ny base:

Grundlæggende logaritmisk identitet

Ofte er det i løsningsprocessen nødvendigt at repræsentere et tal som en logaritme til en given base.

I dette tilfælde vil følgende formler hjælpe os:

I det første tilfælde bliver tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolut hvad som helst, fordi det kun er en logaritmeværdi.

Den anden formel er faktisk en omskrevet definition. Det hedder det: .

Faktisk, hvad sker der, hvis tallet b hæves til en sådan potens, at tallet b i denne potens giver tallet a? Det er rigtigt: resultatet er det samme tal a. Læs dette afsnit omhyggeligt igen - mange mennesker bliver hængende i det.

Ligesom formler for at flytte til en ny base, er den grundlæggende logaritmiske identitet nogle gange den eneste mulige løsning.

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk at log 25 64 = log 5 8 - tog blot kvadratet fra logaritmens grundtal og argument. Under hensyntagen til reglerne for multiplikation af potenser med den samme base, får vi:

Hvis nogen ikke ved det, var dette en rigtig opgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhed og logaritmisk nul

Afslutningsvis vil jeg give to identiteter, der næppe kan kaldes egenskaber - derimod er de konsekvenser af definitionen af ​​logaritmen. De optræder konstant i problemer og skaber overraskende problemer selv for "avancerede" elever.

1. log a a = 1 er. Husk én gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst grundtal a af selve basen er lig med én.
2. log a 1 = 0 er. Grundlaget a kan være hvad som helst, men hvis argumentet indeholder en, er logaritmen lig nul! Fordi et 0 = 1 er en direkte konsekvens af definitionen.

Det er alle egenskaberne. Sørg for at øve dig i at omsætte dem i praksis! Download snydearket i begyndelsen af ​​lektionen, print det ud og løs problemerne.

1. Tjek om de er under logaritmetegnet negative tal eller enhed. Denne metode er anvendelig til udtryk for formen log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Det er dog ikke egnet til nogle specielle tilfælde:

   • Logaritmen af ​​et negativt tal er udefineret i enhver grundtal (f.eks. log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) eller log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). Skriv i dette tilfælde "ingen løsning".
   • Logaritmen af ​​nul til en hvilken som helst base er også udefineret. Hvis du bliver fanget ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), skriv "ingen løsning".
   • Logaritme af en til en hvilken som helst base ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) er altid nul, fordi x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) for alle værdier x. Skriv 1 i stedet for denne logaritme og brug ikke nedenstående metode.
   • Hvis logaritmer har forskellige årsager, For eksempel l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), og ikke reduceres til heltal, kan værdien af ​​udtrykket ikke findes manuelt.

2. Konverter udtrykket til én logaritme. Hvis udtrykket ikke er et af ovenstående særlige lejligheder, kan den repræsenteres som en enkelt logaritme. Brug følgende formel til dette: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Eksempel 1: Overvej udtrykket log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     Lad os først repræsentere udtrykket som en enkelt logaritme ved hjælp af ovenstående formel: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • Denne formel for "erstatning af basen" af en logaritme er afledt af logaritmers grundlæggende egenskaber.

3. Hvis det er muligt, skal du evaluere værdien af ​​udtrykket manuelt. At finde log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), forestil dig udtrykket " en? = x (\displaystyle a^(?)=x)", det vil sige stil følgende spørgsmål: "Til hvilken magt skal du hæve -en at få x?. Besvarelse af dette spørgsmål kræver muligvis en lommeregner, men hvis du er heldig, kan du muligvis finde det manuelt.

   • Eksempel 1 (fortsat): Omskriv som 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Du skal finde hvilket nummer der skal stå i stedet for "?" Dette kan gøres ved at prøve og fejle:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     Så det tal vi leder efter er 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Efterlad dit svar i logaritmisk form, hvis du ikke kan forenkle det. Mange logaritmer er meget svære at beregne i hånden. I dette tilfælde skal du bruge en lommeregner for at få et præcist svar. Men hvis du løser et problem i klassen, vil læreren højst sandsynligt være tilfreds med svaret i logaritmisk form. Metoden diskuteret nedenfor bruges til at løse et mere komplekst eksempel:

   • eksempel 2: hvad er lige log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Lad os konvertere dette udtryk til én logaritme: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Bemærk, at grundtallet 3, der er fælles for begge logaritmer, forsvinder; dette er sandt af enhver grund.
   • Lad os omskrive udtrykket i formen 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) og lad os prøve at finde værdien?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     Fordi 58 er mellem disse to tal, er det ikke udtrykt som et helt tal.
   • Vi efterlader svaret i logaritmisk form: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).

Logaritmen af ​​et positivt tal b til grundtal a (a>0, a er ikke lig med 1) er et tal c, således at a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Bemærk, at logaritmen af ​​et ikke-positivt tal er udefineret. Derudover skal logaritmens basis være positivt tal, ikke lig med 1. Hvis vi for eksempel kvadrerer -2, får vi tallet 4, men det betyder ikke, at logaritmen til grundfladen -2 af 4 er lig med 2.

Grundlæggende logaritmisk identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Det er vigtigt, at definitionen af ​​højre og venstre side af denne formel er forskellig. Den venstre side er kun defineret for b>0, a>0 og a ≠ 1. Den højre side er defineret for enhver b og afhænger slet ikke af a. Således kan anvendelsen af ​​den grundlæggende logaritmiske "identitet" ved løsning af ligninger og uligheder føre til en ændring i OD.

To indlysende konsekvenser af definitionen af ​​logaritme

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Faktisk, når vi hæver tallet a til den første potens, får vi det samme tal, og når vi hæver det til nul-potensen, får vi en.

Logaritme af produktet og logaritme af kvotienten

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Jeg vil gerne advare skolebørn mod tankeløst at bruge disse formler, når de løser logaritmiske ligninger og uligheder. Når du bruger dem "fra venstre mod højre", indsnævres ODZ, og når du flytter fra summen eller forskellen af ​​logaritmer til logaritmen af ​​produktet eller kvotienten, udvides ODZ'en.

Faktisk er udtrykket log a (f (x) g (x)) defineret i to tilfælde: når begge funktioner er strengt positive, eller når f (x) og g (x) begge er mindre end nul.

Ved at transformere dette udtryk til summen log a f (x) + log a g (x), er vi tvunget til kun at begrænse os til tilfældet, når f(x)>0 og g(x)>0. Der er en indsnævring af intervallet af acceptable værdier, og dette er kategorisk uacceptabelt, da det kan føre til tab af løsninger. Et lignende problem eksisterer for formel (6).

Graden kan tages ud af logaritmens fortegn

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Og igen vil jeg gerne mane til forsigtighed. Overvej følgende eksempel:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Venstre side af ligheden er naturligvis defineret for alle værdier af f(x) undtagen nul. Højre side er kun for f(x)>0! Ved at tage graden ud af logaritmen indsnævrer vi igen ODZ. Den omvendte procedure fører til en udvidelse af intervallet af acceptable værdier. Alle disse bemærkninger gælder ikke kun for effekt 2, men også for enhver jævn effekt.

Formel for at flytte til en ny fond

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Det sjældne tilfælde, hvor ODZ ikke ændres under transformation. Hvis du har valgt base c med omtanke (positiv og ikke lig med 1), er formlen for at flytte til en ny base helt sikker.

Hvis vi vælger tallet b som det nye grundtal c, får vi en vigtig særligt tilfælde formler (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nogle simple eksempler med logaritmer

Eksempel 1. Beregn: log2 + log50.
Løsning. log2 + log50 = log100 = 2. Vi brugte summen af ​​logaritmer formlen (5) og definitionen af ​​decimallogaritmen.

Eksempel 2. Beregn: lg125/lg5.
Løsning. log125/log5 = log 5 125 = 3. Vi brugte formlen til at flytte til en ny base (8).

Tabel over formler relateret til logaritmer

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

274. Bemærkninger.

EN) Hvis det udtryk du vil evaluere indeholder sum eller forskel tal, så skal de findes uden hjælp fra tabeller ved almindelig addition eller subtraktion. F.eks.:

log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.

b) Ved at vide, hvordan man logaritmer udtryk, kan vi omvendt ved dette resultat bruge logaritmer til at finde det udtryk, hvorfra dette resultat blev opnået; så hvis

log X=log -en+ log b- 3 log Med,

så er det let at forstå det

V) Før vi går videre til at overveje strukturen af ​​logaritmiske tabeller, vil vi angive nogle egenskaber decimallogaritmer, dvs. dem, hvor tallet 10 tages som basis (kun sådanne logaritmer bruges til beregninger).

Kapitel to.

Egenskaber for decimallogaritmer.

275 . EN) Da 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 osv., så log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, og osv.

Betyder, Logaritmen af ​​et heltal repræsenteret af et med nuller er et positivt heltal, der indeholder lige så mange enere, som der er nuller i repræsentationen af ​​tallet.

Således: log 100.000 = 5, log 1000 000 = 6 osv.

b) Fordi

log 0,1 = -l; log 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4, osv.

Betyder, logaritme decimal, repræsenteret ved en enhed med forudgående nuller, er et negativt heltal, der indeholder lige så mange negative, som der er nuller i repræsentationen af ​​brøken, inklusive 0 heltal.

Således: log 0,00001= - 5, log 0,000001 = -6, osv.

V) Lad os tage et heltal, der ikke er repræsenteret af et og nul, for eksempel. 35, eller et helt tal med en brøk, for eksempel. 10.7. Logaritmen af ​​et sådant tal kan ikke være et heltal, da hvis vi hæver 10 til en potens med en heltalseksponent (positiv eller negativ), får vi 1 med nuller (efter 1 eller foran). Lad os nu antage, at logaritmen af ​​et sådant tal er en brøkdel -en / b . Så ville vi have ligestilling

Men disse ligheder er umulige, som 10EN der er 1'ere med nuller, hvorimod grader 35b Og 10,7b ved enhver foranstaltning b kan ikke give 1 efterfulgt af nuller. Det betyder, at vi ikke kan tillade log 35 Og log 10.7 var lig med fraktioner. Men fra egenskaberne af den logaritmiske funktion ved vi () at hvert positivt tal har en logaritme; følgelig har hvert af tallene 35 og 10.7 sin egen logaritme, og da det hverken kan være et heltal eller et brøktal, er det et irrationelt tal og kan derfor ikke udtrykkes nøjagtigt ved hjælp af tal. Irrationelle logaritmer udtrykkes normalt omtrent som en decimalbrøk med flere decimaler. Heltallet for denne brøk (selvom det var "0 heltal") kaldes karakteristisk, og brøkdelen er mantissen af ​​logaritmen. Hvis der for eksempel er en logaritme 1,5441 , så er dens karakteristik lig 1 , og mantissen er 0,5441 .

G) Lad os for eksempel tage et heltal eller et blandet tal. 623 eller 623,57 . Logaritmen af ​​et sådant tal består af en karakteristik og en mantisse. Det viser sig, at decimallogaritmer har den bekvemmelighed, at vi kan altid finde deres karakteristika ved én type tal . For at gøre dette skal du tælle, hvor mange cifre der er i et givet heltal eller i en heltal blandet antal, I vores eksempler på disse tal 3 . Derfor er hvert af tallene 623 Og 623,57 mere end 100 men mindre end 1000; det betyder, at logaritmen for hver af dem er større log 100, altså mere 2 , men mindre log 1000, altså mindre 3 (husk at et større tal også har en større logaritme). Derfor, log 623 = 2,..., Og log 623.57 = 2,... (prikker erstatter ukendte mantisser).

Sådan finder vi:

10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 log 56,7 = 1,...

1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 log 8634 = 3,...

Lad generelt et givet heltal, eller en heltalsdel af et givet blandet tal, indeholde m tal Siden det mindste heltal indeholder m tal, ja 1 Med m - 1 nuller i slutningen, derefter (betegner dette tal N) vi kan skrive ulighederne:

og derfor

m - 1 < log N < m ,

log N = ( m- 1) + positiv fraktion.

Altså karakteristikken logN = m - 1 .

Det ser vi på denne måde karakteristikken for logaritmen af ​​et heltal eller et blandet tal indeholder lige så mange positive enheder, som der er cifre i tallets heltalsdel minus en.

Efter at have bemærket dette, kan vi direkte skrive:

log 7,205 = 0,...; log 83 = 1,...; log 720.4 = 2,... osv.

d) Lad os tage flere decimalbrøker mindre 1 (dvs. have 0 hel): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, osv.

Således er hver af disse logaritmer indeholdt mellem to negative heltal, der adskiller sig med en enhed; derfor er hver af dem lig med det mindste af disse negative tal forhøjet med en positiv brøkdel. f.eks. log0.0056= -3 + positiv fraktion. Lad os antage, at denne fraktion er 0,7482. Så betyder det:

log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).

Beløb som f.eks - 3 + 0,7482 , bestående af et negativt heltal og en positiv decimalbrøk, blev vi enige om at skrive forkortet som følger i logaritmiske beregninger: 3 ,7482 (Dette tal lyder: 3 minus, 7482 ti tusindedele.), dvs. de sætter et minustegn over karakteristikken for at vise, at den kun vedrører denne egenskab og ikke til mantissen, som forbliver positiv. Det fremgår således af ovenstående tabel

log 0,35 == 1,....; log 0,07 = 2,....; log 0,0008 = 4,....

Lad overhovedet . der er en decimalbrøk, hvori før den første betydelig tal α omkostninger m nuller, inklusive 0 heltal. Så er det åbenlyst

- m < log A < - (m- 1).

Siden fra to heltal:- m Og - (m- 1) der er mindre - m , Det

log A = - m+ positiv fraktion,

og derfor karakteristikken log A = - m (med en positiv mantisse).

Således, karakteristikken for logaritmen af ​​en decimalbrøk mindre end 1 indeholder lige så mange negative, som der er nuller i billedet af decimalbrøken før det første signifikante ciffer, inklusive nul heltal; Mantissen for en sådan logaritme er positiv.

e) Lad os gange et tal N(heltal eller brøk - det betyder ikke noget) med 10, med 100 gange 1000..., generelt med 1 med nuller. Lad os se, hvordan dette ændrer sig log N. Da produktets logaritme er lig med summen af ​​faktorernes logaritmer, så

log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; osv.

Hvornår skal log N vi tilføjer noget heltal, så kan vi altid tilføje dette tal til karakteristikken og ikke til mantissen.

Så hvis log N = 2,7804, så er 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801, etc.;

eller hvis log N = 3,5649, så 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649 osv.

Når et tal ganges med 10, 100, 1000,..., generelt med 1 med nuller, ændres logaritmens mantisse ikke, og karakteristikken øges med lige så mange enheder, som der er nuller i faktoren .

Tilsvarende under hensyntagen til, at logaritmen af ​​kvotienten lig med logaritmen udbytte uden divisorens logaritme får vi:

log N / 10 = log N- log 10 = log N -1;

log N / 100 = log N- log 100 = log N -2;

log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3; osv.

Hvis vi er enige om, når vi trækker et heltal fra en logaritme, altid at trække dette heltal fra karakteristikken og lade mantissen være uændret, så kan vi sige:

At dividere et tal med 1 med nuller ændrer ikke logaritmens mantisse, men karakteristikken falder med lige så mange enheder, som der er nuller i divisoren.

276. Følger. Fra ejendom ( e) følgende to konsekvenser kan udledes:

EN) Mantissen af ​​logaritmen af ​​et decimaltal ændres ikke, når den flyttes til et decimalkomma , fordi at flytte et decimaltegn svarer til at gange eller dividere med 10, 100, 1000 osv. Logaritmer af tal:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

adskiller sig kun i karakteristika, men ikke i mantisser (forudsat at alle mantisser er positive).

b) Mantisserne af tal, der har den samme signifikante del, men kun adskiller sig ved at afslutte nuller, er de samme: Således er logaritmerne af tal: 23, 230, 2300, 23.000 kun forskellige i karakteristika.

Kommentar. Fra de angivne egenskaber ved decimallogaritmer er det klart, at vi kan finde karakteristikaene for logaritmen af ​​et heltal og en decimalbrøk uden hjælp fra tabeller (dette er den store bekvemmelighed ved decimallogaritmer); som et resultat, er kun én mantisse placeret i logaritmiske tabeller; desuden, eftersom at finde logaritmer af brøker reduceres til at finde logaritmer af heltal (logaritme af en brøk = logaritme af tælleren uden logaritmen af ​​nævneren), er mantisser af logaritmer af kun heltal placeret i tabellerne.

Kapitel tre.

Design og brug af firecifrede tabeller.

277. Logaritmesystemer. Et system af logaritmer er et sæt af logaritmer beregnet for et antal på hinanden følgende heltal ved hjælp af den samme base. Der bruges to systemer: systemet af almindelige eller decimale logaritmer, hvor tallet tages som basis 10 , og et system af såkaldte naturlige logaritmer, hvor et irrationelt tal tages som basis (af nogle årsager, der er tydelige i andre grene af matematik) 2,7182818 ... Til beregninger bruges decimallogaritmer på grund af den bekvemmelighed, som vi angav, da vi listede egenskaberne for sådanne logaritmer.

Naturlige logaritmer også kaldet Neperovs efter opfinderen af ​​logaritmer, en skotsk matematiker Nepera(1550-1617), og decimallogaritmer - Briggs opkaldt efter professoren Brigga(en samtidige og ven af ​​Napier), som først kompilerede tabeller over disse logaritmer.

278. Konvertering af en negativ logaritme til en, hvis mantisse er positiv, og den inverse transformation. Vi har set, at logaritmerne af tal mindre end 1 er negative. Det betyder, at de består af en negativ karakteristik og en negativ mantisse. Sådanne logaritmer kan altid transformeres, så deres mantisse er positiv, men karakteristikken forbliver negativ. For at gøre dette er det nok at tilføje en positiv til mantissen og en negativ til karakteristikken (som selvfølgelig ikke ændrer værdien af ​​logaritmen).

Hvis vi for eksempel har en logaritme - 2,0873 , så kan du skrive:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

eller forkortet:

Omvendt kan enhver logaritme med en negativ karakteristik og en positiv mantisse omdannes til en negativ. For at gøre dette er det nok at knytte en negativ til den positive mantisse og en positiv til den negative karakteristik: så du kan skrive:

279. Beskrivelse af fircifrede tabeller. For at løse de fleste praktiske problemer er firecifrede tabeller ganske tilstrækkelige, hvis håndtering er meget enkel. Disse tabeller (med inskriptionen "logaritmer" øverst) er placeret i slutningen af ​​denne bog, og en lille del af dem (for at forklare arrangementet) er trykt på denne side. De indeholder mantisser

Logaritmer.

logaritmer af alle heltal fra 1 til 9999 inklusive, beregnet med fire decimaler, hvor den sidste af disse pladser er øget med 1 i alle de tilfælde, hvor den 5. decimal skal være 5 eller mere end 5; derfor giver 4-cifrede tabeller omtrentlige mantisser op til 1 / 2 ti tusindedel (med en mangel eller overskud).

Da vi direkte kan karakterisere logaritmen af ​​et heltal eller en decimalbrøk, baseret på egenskaberne for decimallogaritmer, skal vi kun tage mantisserne fra tabellerne; Samtidig skal vi huske, at kommaets placering i decimaltal, samt antallet af nuller i slutningen af ​​tallet, har ingen indflydelse på værdien af ​​mantissen. Derfor, når vi finder mantissen for et givet tal, kasserer vi kommaet i dette tal, såvel som nullerne i slutningen af ​​det, hvis der er nogen, og finder mantissen for det heltal, der er dannet efter dette. Følgende tilfælde kan opstå.

1) Et heltal består af 3 cifre. Lad os for eksempel sige, at vi skal finde mantissen af ​​logaritmen af ​​tallet 536. De første to cifre i dette tal, altså 53, findes i tabellerne i den første lodrette kolonne til venstre (se tabel). Efter at have fundet tallet 53, bevæger vi os fra det langs en vandret linje til højre, indtil denne linje skærer en lodret søjle, der går gennem et af tallene 0, 1, 2, 3,... 9, placeret øverst (og nederst) i tabellen, som er 3. ciffer i et givet tal, dvs. i vores eksempel tallet 6. I skæringspunktet får vi mantissen 7292 (dvs. 0,7292), som hører til logaritmen af ​​tallet 536. Tilsvarende , for tallet 508 finder vi mantissen 0,7059, for tallet 500 finder vi 0,6990 osv.

2) Et heltal består af 2 eller 1 cifre. Så tildeler vi mentalt et eller to nuller til dette tal og finder mantissen for det således dannede trecifrede tal. For eksempel tilføjer vi et nul til tallet 51, hvorfra vi får 510 og finder mantissen 7070; til tallet 5 tildeler vi 2 nuller og finder mantissen 6990 osv.

3) Et heltal er udtrykt med 4 cifre. For eksempel skal du finde mantissen for log 5436. Så finder vi først i tabellerne, som netop angivet, mantissen for tallet repræsenteret af de første 3 cifre i dette tal, altså for 543 (denne mantisse vil være 7348) ; så bevæger vi os fra den fundne mantisse langs den vandrette linje til højre (til højre side af bordet, placeret bag den tykke lodrette linje), indtil den skærer den lodrette søjle, der går gennem et af tallene: 1, 2 3,. .. 9, placeret i toppen (og nederst ) af denne del af tabellen, som repræsenterer det 4. ciffer i et givet tal, dvs. i vores eksempel tallet 6. I skæringspunktet finder vi korrektionen (tal). 5), som mentalt skal påføres mantissen af ​​7348 for at opnå mantissen af ​​tallet 5436; På denne måde får vi mantissen 0,7353.

4) Et heltal er udtrykt med 5 eller flere cifre. Så kasserer vi alle cifre undtagen de første 4, og tager et omtrentligt firecifret tal og øger det sidste ciffer af dette tal med 1 i det tal. tilfælde, hvor det kasserede 5. ciffer i tallet er 5 eller mere end 5. Så i stedet for 57842 tager vi 5784, i stedet for 30257 tager vi 3026, i stedet for 583263 tager vi 5833 osv. For dette afrundede firecifrede tal finder vi mantissen som netop forklaret.

Vejledt af disse instruktioner, lad os for eksempel finde logaritmerne af følgende tal:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

Først og fremmest, uden at vende os til tabellerne for nu, vil vi kun nedskrive egenskaberne og efterlade plads til mantisserne, som vi vil skrive ud efter:

log 36,5 = 1,.... log 0,00345 = 3,....

log 804,7 = 2,.... log 7,2634 = 0,....

log 0,26 = 1,.... log 3456,86 = 3,....

log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;

log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;

log 0,26 = 1,4150; log 3456,86 = 3,5387.

280. Bemærk. I nogle firecifrede tabeller (f.eks. i tabeller V. Lorchenko og N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) rettelser til det 4. ciffer i dette nummer placeres ikke. Når man beskæftiger sig med sådanne tabeller, skal man finde disse korrektioner ved hjælp af en simpel beregning, som kan udføres baseret på følgende sandhed: hvis tallene overstiger 100, og forskellene mellem dem er mindre end 1, kan det uden følsomme fejl være antog det forskelle mellem logaritmer er proportionale med forskelle mellem tilsvarende tal . Lad dig for eksempel finde den mantisse, der svarer til tallet 5367. Denne mantisse er selvfølgelig den samme som for tallet 536,7. Vi finder i tabellerne for tallet 536 mantissen 7292. Sammenligner man denne mantisse med mantissen 7300, der støder op til højre, svarende til tallet 537, bemærker vi, at hvis tallet 536 stiger med 1, så vil dens mantisse stige med 8 ti -tusindedele (8 er den såkaldte bordforskel mellem to tilstødende mantisser); hvis tallet 536 stiger med 0,7, så vil dens mantisse ikke stige med 8 ti tusindedele, men med et mindre tal X ti tusindedele, som ifølge den antagne proportionalitet skal opfylde proportionerne:

X :8 = 0,7:1; hvor X = 8 07 = 5,6,

hvilket er afrundet til 6 ti tusindedele. Det betyder, at mantissen for tallet 536,7 (og derfor for tallet 5367) vil være: 7292 + 6 = 7298.

Bemærk at finde mellem to tilstødende tal i tabellerne nøjagtige antal ringede interpolation. Interpolationen beskrevet her kaldes proportional, da det er baseret på den antagelse, at ændringen i logaritmen er proportional med ændringen i tallet. Det kaldes også lineært, da det antager, at grafisk er ændringen i en logaritmisk funktion udtrykt ved en ret linje.

281. Fejlgrænse for den omtrentlige logaritme. Hvis det tal, hvis logaritme søges, er et nøjagtigt tal, så kan fejlgrænsen for dets logaritme fundet i 4-cifrede tabeller, som vi sagde i, tages 1 / 2 ti tusindedel. Hvis dette tal ikke er nøjagtigt, skal vi til denne fejlgrænse også tilføje grænsen for en anden fejl, der skyldes unøjagtigheden af ​​selve tallet. Det er bevist (vi udelader dette bevis), at en sådan grænse kan anses for at være produktet

-en(d +1) ti tusindedele.,

hvori EN er fejlmarginen for det mest upræcise tal, forudsat at dens heltalsdel indeholder 3 cifre, a d tabelforskel af mantisser svarende til to på hinanden følgende trecifrede tal, mellem hvilke det givne upræcise tal ligger. Grænsen for den endelige fejl i logaritmen vil således blive udtrykt ved formlen:

1 / 2 + -en(d +1) ti tusindedele

Eksempel. Find log π , tager for π cirka tal 3,14, nøjagtig til 1 / 2 hundrededel.

Flytter vi kommaet efter det 3. ciffer i tallet 3.14, tæller fra venstre, får vi trecifret nummer 314, nøjagtig til 1 / 2 enheder; Det betyder, at fejlmarginen for et unøjagtigt tal, dvs. det, vi har angivet med bogstavet EN , der er 1 / 2 Fra tabellerne finder vi:

log 3,14 = 0,4969.

Tabel forskel d mellem mantissene af tallene 314 og 315 er lig med 14, så fejlen i den fundne logaritme vil være mindre

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 ti tusindedele.

Da vi ikke ved om logaritmen 0,4969 er mangelfuld eller overdreven, kan vi kun garantere, at den nøjagtige logaritme π ligger mellem 0,4969 - 0,0008 og 0,4969 + 0,0008, dvs. 0,4961< log π < 0,4977.

282. Find et tal ved hjælp af en given logaritme. For at finde et tal ved hjælp af en given logaritme, kan de samme tabeller bruges til at finde mantisser for givne tal; men det er mere bekvemt at bruge andre tabeller, der indeholder de såkaldte antilogaritmer, dvs. tal svarende til disse mantisser. Disse tabeller, angivet med indskriften øverst "antilogaritmer", er placeret i slutningen af ​​denne bog efter tabellerne over logaritmer er placeret på denne side (til forklaring).

Antag, at du får en 4-cifret mantisse 2863 (vi er ikke opmærksomme på karakteristikken), og du skal finde det tilsvarende heltal. Så, med tabeller med antilogaritmer, skal du bruge dem på nøjagtig samme måde som tidligere forklaret for at finde mantissen for et givet tal, nemlig: vi finder de første 2 cifre i mantissen i den første kolonne til venstre. Derefter bevæger vi os fra disse tal langs den vandrette linje til højre, indtil den skærer den lodrette søjle, der kommer fra det 3. ciffer i mantissen, som skal kigges efter i den øverste linje (eller bunden). I krydset finder vi det firecifrede tal 1932, svarende til mantissen 286. Derefter bevæger vi os fra dette tal videre langs den vandrette linje til højre indtil skæringen med den lodrette søjle, der kommer fra det 4. ciffer i mantissen, som skal findes i toppen (eller bunden) blandt tallene 1, 2 placeret der , 3,... 9. I krydset finder vi korrektion 1, som skal anvendes (i tankerne) på tallet 1032 fundet tidligere for at for at få det tal, der svarer til mantissen 2863.

Således vil tallet være 1933. Efter dette skal du være opmærksom på karakteristikken, du skal sætte besat på det rigtige sted i tallet 1933. For eksempel:

Hvis log x = 3,2863, så X = 1933,

„ log x = 1,2863, „ X = 19,33,

, log x = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ log x = 2 ,2863, „ X = 0,01933

Her er flere eksempler:

log x = 0,2287, X = 1,693,

log x = 1 ,7635, X = 0,5801,

log x = 3,5029, X = 3184,

log x = 2 ,0436, X = 0,01106.

Hvis mantissen indeholder 5 eller flere cifre, tager vi kun de første 4 cifre, kasserer resten (og øger det 4. ciffer med 1, hvis det 5. ciffer har fem eller flere). For eksempel, i stedet for mantissen 35478 tager vi 3548, i stedet for 47562 tager vi 4756.

283. Bemærk. Korrektionen for det 4. og efterfølgende cifre i mantissen kan også findes gennem interpolation. Så hvis mantissen er 84357, så, efter at have fundet tallet 6966, svarende til mantissen 843, kan vi yderligere ræsonnere som følger: hvis mantissen stiger med 1 (tusindedel), dvs. den bliver 844, så er tallet, som kan ses fra tabellerne, vil stige med 16 enheder; hvis mantissen ikke stiger med 1 (tusindedel), men med 0,57 (tusindedel), så vil tallet stige med X enheder, og X skal opfylde proportionerne:

X : 16 = 0,57: 1, hvorfra x = 16 0,57 = 9,12.

Det betyder, at det påkrævede tal vil være 6966+ 9,12 = 6975,12 eller (begrænset til kun fire cifre) 6975.

284. Fejlgrænse for det fundne nummer. Det er blevet bevist, at i det tilfælde, hvor kommaet i det fundne tal er efter det 3. ciffer fra venstre, dvs. når karakteristikken for logaritmen er 2, kan summen tages som fejlgrænsen

Hvor EN er fejlgrænsen for logaritmen (udtrykt i ti tusindedele), som tallet blev fundet med, og d - forskellen mellem mantisserne af to trecifrede på hinanden følgende tal, som det fundne tal ligger imellem (med et komma efter det 3. ciffer fra venstre). Når karakteristikken ikke er 2, men en anden, skal kommaet i det fundne tal flyttes til venstre eller højre, dvs. dividere eller gange tallet med en potens af 10. I dette tilfælde er fejlen af resultatet vil også blive divideret eller ganget med den samme potens af 10.

Lad os for eksempel lede efter et tal ved hjælp af logaritmen 1,5950 , som vides at være nøjagtig til 3 ti tusindedele; det betyder da EN = 3 . Det tal, der svarer til denne logaritme, fundet fra tabellen over antilogaritmer, er 39,36 . Flytter vi kommaet efter det 3. ciffer fra venstre, har vi nummeret 393,6 , bestående mellem 393 Og 394 . Fra logaritmetabellerne ser vi, at forskellen mellem mantisserne svarende til disse to tal er 11 ti tusindedele; Midler d = 11 . Fejlen for tallet 393,6 vil være mindre

Det betyder, at fejlen i antallet 39,36 der bliver mindre 0,05 .

285. Operationer på logaritmer med negative karakteristika. Tilføjelse og subtraktion af logaritmer giver ingen vanskeligheder, som det kan ses af følgende eksempler:

Der er heller ingen problemer med at gange logaritmen med et positivt tal, for eksempel:

I det sidste eksempel ganges den positive mantisse separat med 34, derefter ganges den negative karakteristika med 34.

Hvis logaritmen af ​​en negativ karakteristik og en positiv mantisse ganges med et negativt tal, så fortsæt på to måder: enten bliver den givne logaritme først negativ, eller også ganges mantissen og karakteristikken hver for sig, og resultaterne kombineres f.eks. :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

Ved opdeling kan der opstå to tilfælde: 1) den negative egenskab er opdelt og 2) er ikke deleligt med en divisor. I det første tilfælde er karakteristikken og mantissen adskilt separat:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

I det andet tilfælde tilføjes så mange negative enheder til karakteristikken, så det resulterende tal divideres med divisoren; det samme antal positive enheder tilføjes til mantissen:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Denne transformation skal udføres i sindet, så handlingen går sådan her:

286. Erstatning af subtraherede logaritmer med led. Når du beregner nogle komplekse udtryk ved hjælp af logaritmer, skal du tilføje nogle logaritmer og trække andre fra; i dette tilfælde, på den sædvanlige måde at udføre handlinger på, finder de hver for sig summen af ​​de tilføjede logaritmer, derefter summen af ​​de subtraherede og trækker den anden fra den første sum. For eksempel, hvis vi har:

log X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

så vil den sædvanlige udførelse af handlinger se sådan ud:

Det er dog muligt at erstatte subtraktion med addition. Så:

Nu kan du arrangere beregningen sådan:

287. Eksempler på beregninger.

Eksempel 1. Evaluer udtryk:

Hvis A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 Og D = 7,246.

Lad os tage en logaritme af dette udtryk:

log X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

Nu, for at undgå unødvendigt tidstab og for at reducere muligheden for fejl, vil vi først og fremmest arrangere alle beregningerne uden at udføre dem for nu og derfor uden at henvise til tabellerne:

Herefter tager vi tabellerne og sætter logaritmer på de resterende ledige pladser:

Fejlgrænse. Lad os først finde fejlgrænsen for nummeret x 1 = 194,5 , lig med:

Så først og fremmest skal du finde EN , dvs. fejlgrænsen for den omtrentlige logaritme, udtrykt i ti tusindedele. Lad os antage, at disse tal A, B, C Og D alle er nøjagtige. Så vil fejlene i individuelle logaritmer være som følger (i ti tusindedele):

V logA.......... 1 / 2

V 1/3 log A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 tilføjet, fordi vi ved at dividere med 3 logaritmer af 1,9146 afrundede kvotienten ved at kassere dens 5. ciffer og derfor lavede en endnu mindre fejl 1 / 2 ti tusindedel).

Nu finder vi fejlgrænsen for logaritmen:

EN = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (ti tusindedele).

Lad os definere nærmere d . Fordi x 1 = 194,5 , derefter 2 på hinanden følgende heltal mellem hvilke ligger x 1 vilje 194 Og 195 . Tabel forskel d mellem mantisserne svarende til disse tal er lig med 22 . Det betyder, at fejlgrænsen for antallet er x 1 Der er:

Fordi x = x 1 : 10, derefter fejlgrænsen i antallet x lig med 0,3:10 = 0,03 . Altså det tal, vi fandt 19,45 afviger fra det nøjagtige antal med mindre end 0,03 . Da vi ikke ved, om vores tilnærmelse er fundet med en mangel eller med et overskud, kan vi kun garantere, at

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , dvs.

19,48 > X > 19,42 ,

og derfor, hvis vi accepterer X =19,4 , så vil vi have en tilnærmelse med en ulempe med en nøjagtighed på op til 0,1.

Eksempel 2. Beregne:

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

Da negative tal ikke har logaritmer, finder vi først:

X" = (2,31) 3 5 √72

ved nedbrydning:

log X"= 3 log 2,31 + 1 / 5 log72.

Efter beregning viser det sig:

X" = 28,99 ;

derfor,

x = - 28,99 .

Eksempel 3. Beregne:

Kontinuerlig logaritmisering kan ikke bruges her, da rodens fortegn er c u m m a. I sådanne tilfælde beregnes formlen efter dele.

Først finder vi N = 5 √8 , Så N 1 = 4 √3 ; så bestemmer vi ved simpel addition N+ N 1 , og til sidst regner vi 3 √N+ N 1 ; det viser sig:

N=1,514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .

log x= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 log 2.830 = 0,1506 ;

x = 1,415 .

Kapitel fire.

Eksponentielle og logaritmiske ligninger.

288. Eksponentialligninger er dem, hvor det ukendte er inkluderet i eksponenten, og logaritmisk- dem, hvor det ukendte kommer ind under skiltet log. Sådanne ligninger kan kun løses i særlige tilfælde, og man må stole på logaritmers egenskaber og på princippet om, at hvis tallene er ens, så er deres logaritmer ens, og omvendt, hvis logaritmerne er ens, så er de tilsvarende ligninger tal er lige store.

Eksempel 1. Løs ligningen: 2 x = 1024 .

Lad os logaritme begge sider af ligningen:

Eksempel 2. Løs ligningen: -en 2x - -en x = 1 . Putting -en x = på , får vi andengradsligning:

y 2 - på - 1 = 0 ,

Fordi 1-√5 < 0 , så er den sidste ligning umulig (funktion -en x der er altid et positivt tal), og det første giver:

Eksempel 3. Løs ligningen:

log( a + x) + log ( b + x) = log ( c + x) .

Ligningen kan skrives sådan:

log [( a + x) (b + x)] = log ( c + x) .

Ud fra logaritmernes lighed konkluderer vi, at tallene er ens:

(a + x) (b + x) = c + x .

Dette er en andengradsligning, hvis løsning ikke er svær.

Kapitel fem.

Rentesammensætning, terminsbetalinger og terminsbetalinger.

289. Grundlæggende problem om renters rente. Hvor meget bliver kapitalen til? EN rubler, givet i vækst kl r renters rente, efter t år ( t - heltal)?

De siger, at kapital betales med renters rente, hvis der tages hensyn til den såkaldte "rente på renter", det vil sige, hvis de forfaldne rentepenge på kapitalen lægges til kapitalen ved udgangen af ​​hvert år for at stige det med interesse i de efterfølgende år.

Hver rubel af kapital givet væk r %, vil give overskud inden for et år s / 100 rubel, og derfor vil hver rubel kapital på 1 år blive til 1 + s / 100 rubel (for eksempel hvis kapital er givet til 5 %, så bliver hver rubel af det på et år til 1 + 5 / 100 , altså i 1,05 rubler).

For kortheds skyld angiver brøken s / 100 med ét bogstav, f.eks. r , kan vi sige, at hver rubel af kapital i et år vil blive til 1 + r rubler; derfor, EN rubler vil blive returneret om 1 år til EN (1 + r ) gnide. Efter endnu et år, dvs. 2 år fra vækststart, hver rubel af disse EN (1 + r ) gnide. vil kontakte igen 1 + r gnide.; Det betyder, at al kapital bliver til EN (1 + r ) 2 gnide. På samme måde finder vi, at efter tre år vil hovedstaden være EN (1 + r ) 3 , om fire år bliver det EN (1 + r ) 4 ,... generelt igennem t år hvis t er et heltal, vil det vende sig til EN (1 + r ) t gnide. Altså betegner ved EN slutkapital, vil vi have følgende rentesammensatte formel:

EN = EN (1 + r ) t Hvor r = s / 100 .

Eksempel. Lade -en =2.300 rub., s = 4, t=20 år; så giver formlen:

r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2.300 (1,04) 20.

At beregne EN, vi bruger logaritmer:

log -en = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.

A = 5031 rubel.

Kommentar. I dette eksempel var vi nødt til det log 1.04 gange med 20 . Siden nummeret 0,0170 der er en omtrentlig værdi log 1.04 op til 1 / 2 ti tusindedel, derefter produktet af dette tal med 20 det bliver helt sikkert kun indtil 1 / 2 20, dvs. op til 10 titusindedele = 1 tusindedel. Derfor i alt 3,7017 Vi kan ikke stå inde for ikke kun antallet af ti tusindedele, men også for antallet af tusindedele. For at opnå større nøjagtighed i sådanne tilfælde er det bedre for antallet 1 + r tag logaritmer ikke 4-cifrede, men med et stort antal tal, fx. 7-cifret. Til dette formål præsenterer vi her en lille tabel, hvor 7-cifrede logaritmer er skrevet ud for de mest almindelige værdier r .

290. Hovedopgaven er hastebetalinger. Nogen tog EN rubler pr r % med betingelsen om at tilbagebetale gælden, sammen med de skyldige renter heraf, i t år, og betaler det samme beløb ved udgangen af ​​hvert år. Hvad skal dette beløb være?

Sum x , der betales årligt under sådanne betingelser, kaldes hastebetaling. Lad os igen betegne med bogstavet r årlige rentepenge fra 1 rub., altså antallet s / 100 . Så ved udgangen af ​​det første år gælden EN stiger til EN (1 + r ), grundbetaling X det vil koste rubler EN (1 + r )-X .

Ved udgangen af ​​det andet år vil hver rubel af dette beløb igen blive til 1 + r rubler, og derfor vil gælden være [ EN (1 + r )-X ](1 + r ) = EN (1 + r ) 2 - x (1 + r ), og mod betaling x rubler vil være: EN (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - X . På samme måde vil vi sørge for, at gælden ved udgangen af ​​3. år vil være

EN (1 + r ) 3 - x (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - x ,

og generelt og slutningen t år vil det vise sig at være:

EN (1 + r ) t - x (1 + r ) t -1 - x (1 + r ) t -2 ... - x (1 + r ) - x , eller

EN (1 + r ) t - x [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]

Polynomiet inden for parentesen repræsenterer summen af ​​vilkårene for en geometrisk progression; som har det første medlem 1 , sidste ( 1 + r ) t -1, og nævneren ( 1 + r ). Ved at bruge formlen for summen af ​​led i en geometrisk progression (§ 10 kapitel 3 § 249) finder vi:

og gældsbeløbet efter t -th betaling vil være:

Ifølge betingelserne for problemet er gælden ved slutningen t -th år skal være lig med 0 ; Det er derfor:

hvor

Ved beregning af dette hurtige betalingsformler ved hjælp af logaritmer skal vi først finde hjælpetallet N = (1 + r ) t ved logaritme: log N= t log(1+ r) ; have fundet N, træk 1 fra det, så får vi nævneren af ​​formlen for X, hvorefter vi finder ved sekundær logaritme:

log X=log -en+ log N + log r - log (N - 1).

291. Hovedopgaven for terminsbidrag. Nogen indsætter det samme beløb i banken i begyndelsen af ​​hvert år. EN gnide. Bestem, hvilken kapital der vil blive dannet af disse bidrag efter t år, hvis banken betaler r renters rente.

Udpeget af r årlige rentepenge fra 1 rubel, dvs. s / 100 , vi begrunder sådan: ved udgangen af ​​det første år vil hovedstaden være EN (1 + r );

i begyndelsen af ​​2. år tillægges dette beløb EN rubler; dette betyder, at der på dette tidspunkt vil være kapital EN (1 + r ) + -en . Ved udgangen af ​​2. år bliver han EN (1 + r ) 2 + a (1 + r );

i begyndelsen af ​​3. år indsættes den igen EN rubler; det betyder, at der på dette tidspunkt vil være kapital EN (1 + r ) 2 + a (1 + r ) + EN ; i slutningen af ​​den 3. vil han være EN (1 + r ) 3 + a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) Hvis vi fortsætter disse argumenter, finder vi det til sidst t år den nødvendige kapital EN vilje:

Dette er formlen for terminsbidrag, der ydes i begyndelsen af ​​hvert år.

Den samme formel kan opnås ved følgende ræsonnement: udbetaling til EN rubler, mens du er i banken t år, bliver ifølge rentes renteformlen til EN (1 + r ) t gnide. Den anden rate, at være i banken i et år mindre, dvs. t - 1 år gammel, kontakt EN (1 + r ) t- 1 gnide. Ligeledes vil den tredje rate give EN (1 + r ) t-2 osv., og endelig går sidste rate, der kun har været i banken i 1 år, til EN (1 + r ) gnide. Det betyder den endelige kapital EN gnide. vilje:

EN= EN (1 + r ) t + EN (1 + r ) t- 1 + EN (1 + r ) t-2 + . . . + EN (1 + r ),

som efter forenkling giver formlen fundet ovenfor.

Når du beregner ved hjælp af logaritmer af denne formel, skal du gå frem på samme måde som ved beregning af formlen for hastebetalinger, dvs. først finde tallet N = ( 1 + r ) t ved sin logaritme: log N= t log(1 + r ), derefter nummeret N-1 og tag derefter en logaritme af formlen:

log A = log -en+log(1+ r) + log (N - 1) - 1 gr

Kommentar. Hvis et akut bidrag til EN gnide. blev ikke foretaget i begyndelsen, men i slutningen af ​​hvert år (som f.eks. en hastebetaling foretages X at betale af på gælden), så når vi ræsonnerer på samme måde som den forrige, finder vi det til sidst t år den nødvendige kapital EN" gnide. vil være (inklusive den sidste rate EN rub., ikke forrentet):

EN"= EN (1 + r ) t- 1 + EN (1 + r ) t-2 + . . . + EN (1 + r ) + EN

som er lig med:

dvs. EN" ender i ( 1 + r ) gange mindre EN, hvilket var at forvente, da hver rubel kapital EN" ligger i banken i et år mindre end den tilsvarende rubel af kapital EN.