Hvad kaldes logaritmen af ​​et tal. Logaritmiske udtryk

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personlige oplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en anmodning på webstedet, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse e-mail osv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Hvis det er nødvendigt i overensstemmelse med loven, retslig procedure, i retssager og/eller baseret på offentlige henvendelser eller anmodninger fra offentlige myndigheder på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

log a r b r =log a b eller log a b= log a r b r

Værdien af ​​en logaritme ændres ikke, hvis logaritmens basis og tallet under logaritmetegnet hæves til samme potens.

Under logaritmetegnet kan der kun være positive tal, og logaritmens basis er ikke lig med én.

Eksempler.

1) Sammenlign log 3 9 og log 9 81.

log 3 9 = 2, da 3 2 = 9;

log 9 81=2, da 9 2 =81.

Så log 3 9=log 9 81.

Bemærk, at grundfladen af ​​den anden logaritme er lig med kvadratet af grundfladen af ​​den første logaritme: 9=3 2, og tallet under fortegnet for den anden logaritme er lig med kvadratet af tallet under fortegnet for den første. logaritme: 81=9 2. Det viser sig, at både tallet og bunden af ​​den første logaritme log 3 9 blev hævet til anden potens, og værdien af ​​logaritmen ændrede sig ikke:

Dernæst siden udvinding af roden n grad blandt EN er hævning af et tal EN i den grad ( 1/n), så fra log 9 81 kan du få log 3 9 ved at tage kvadratroden af ​​tallet og fra logaritmen:

2) Tjek lighed: log 4 25=log 0,5 0,2.

Lad os se på den første logaritme. Lad os udtrække kvadratrod fra basen 4 og blandt 25 ; vi får: log 4 25=log 2 5.

Lad os se på den anden logaritme. Logaritmebase: 0,5= 1/2. Tallet under tegnet for denne logaritme: 0,2= 1/5. Lad os hæve hvert af disse tal til minus første potens:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Så log 0,5 0,2=log 2 5. Konklusion: denne lighed er sand.

Løs ligningen:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Lad os reducere logaritmer fra venstre til basen 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Tag kvadratroden af ​​tallet og bunden af ​​den første logaritme. Udtræk den fjerde rod af tallet og bunden af ​​den anden logaritme.

log 2 (3x 2) = log 2 (5x+2). Konverter summen af ​​logaritmer til produktets logaritme.

3x2 =5x+2. Modtaget efter potensering.

3x 2 -5x-2=0. Lad os bestemme andengradsligning Ved generel formel for en komplet andengradsligning:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b2-4ac=(-5)2-4∙3∙(-2)=25+24=49=72 >0; 2 rigtige rødder.

Undersøgelse.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ log a b

Logaritme af et tal b baseret på en n lig med produktet brøker 1/ n til logaritmen af ​​et tal b baseret på -en.

Finde:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , hvis man ved det log 2 3=b,log 5 2=c.

Løsning.

Løs ligninger:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Løsning.

Lad os reducere disse logaritmer til grundtal 2. Anvend formlen: log a n b=(1/ n)∙ log a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. Her er lignende udtryk:

(1+0,5+0,25) log2 x=5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

log 2 x=3. Ved definition af logaritme:

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.

Løsning. Lad os konvertere logaritmen til grundtal 16 til grundtal 4.

0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Lad os konvertere summen af ​​logaritmer til produktets logaritme.

log4 ((x-2)(x-3))=0,5;

log4 (x2-2x-3x+6)=0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Ved definition af logaritme:

x 2 -5x+4=0. Ifølge Vietas sætning:

x 1 = 1; x 2 = 4. Den første værdi af x vil ikke fungere, da ved x = 1 eksisterer logaritmerne af denne lighed ikke, fordi Kun positive tal kan være under logaritmetegnet.

Lad os tjekke denne ligning ved x=4.

Undersøgelse.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logaritme af et tal b baseret på EN lig med logaritmen tal b på et nyt grundlag Med, divideret med logaritmen af ​​den gamle base EN på et nyt grundlag Med.

Eksempler:

1) log23=lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Beregne:

1) log 5 7, hvis man ved det lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / log c en.

log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Svar: log 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) log 5 7 , hvis man ved det ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Løsning. Anvend formlen: log a b =log c b / log c en.

log 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

Svar: log 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Find x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Vi bruger formlen: log c b / log c a = log a b . Vi får:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192.

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Vi bruger formlen: log c b / log c a = log a b. Vi får:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Side 1 af 1 1

De grundlæggende egenskaber for den naturlige logaritme, graf, definitionsdomæne, værdisæt, grundlæggende formler, afledt, integral, potensrækkeudvidelse og repræsentation af funktionen ln x ved hjælp af komplekse tal er givet.

Definition

Naturlig logaritme er funktionen y = ln x, den inverse af eksponentialet, x = e y, og er logaritmen til grundtallet af tallet e: ln x = log e x.

Den naturlige logaritme er meget brugt i matematik, fordi dens afledte har den enkleste form: (ln x)′ = 1/ x.

Baseret på definitioner, basen af ​​den naturlige logaritme er tallet e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf for funktionen y = ln x.

Graf over naturlig logaritme (funktioner y = ln x) fås fra den eksponentielle graf ved spejlrefleksion i forhold til den rette linje y = x.

Den naturlige logaritme er defineret ved positive værdier variabel x.

Den øges monotont i sit definitionsdomæne. 0 Ved x →

grænsen for den naturlige logaritme er minus uendelig (-∞). Som x → + ∞ er grænsen for den naturlige logaritme plus uendelig (+ ∞). For stort x stiger logaritmen ret langsomt. Enhver power funktion

x a med en positiv eksponent a vokser hurtigere end logaritmen.

Egenskaber for den naturlige logaritme

Definitionsdomæne, værdisæt, ekstrema, stigning, fald

Den naturlige logaritme er en monotont stigende funktion, så den har ingen ekstrema. Hovedegenskaberne for den naturlige logaritme er præsenteret i tabellen.

ln x værdier

ln 1 = 0

Grundlæggende formler for naturlige logaritmer

Formler, der følger af definitionen af ​​den inverse funktion:

Hovedegenskaben ved logaritmer og dens konsekvenser

Formel for basisudskiftning

Enhver logaritme kan udtrykkes i form af naturlige logaritmer ved hjælp af basissubstitutionsformlen:

Beviser for disse formler er præsenteret i afsnittet "Logaritme".

Omvendt funktion

Det omvendte af den naturlige logaritme er eksponenten.

Hvis, så

Hvis altså.

Afledt ln x
.
Afledt af den naturlige logaritme:
.
Afledt af den naturlige logaritme af modul x:
.
Afledt af n. orden:

Udledning af formler > > >

Integral
.
Integralet beregnes ved integration af dele:

Så,

Udtryk ved hjælp af komplekse tal
.
Overvej funktionen af ​​den komplekse variabel z: Lad os udtrykke den komplekse variabel z via modul r φ :
.
og argumentation
.
Ved at bruge logaritmens egenskaber har vi:
.
Eller
Argumentet φ er ikke entydigt defineret. Hvis du sætter
, hvor n er et heltal,

det vil være det samme tal for forskellige n.

Derfor er den naturlige logaritme, som funktion af en kompleks variabel, ikke en funktion med en enkelt værdi.

Udvidelse af Power-serien

Når udvidelsen finder sted:
Brugt litteratur:

Som du ved, når man multiplicerer udtryk med potenser, summeres deres eksponenter altid (a b *a c = a b+c). Denne matematiske lov blev udledt af Archimedes, og senere, i det 8. århundrede, skabte matematikeren Virasen en tabel med heltalseksponenter. Det var dem, der tjente til den videre opdagelse af logaritmer. Eksempler på brug af denne funktion kan findes næsten overalt, hvor det er nødvendigt at forenkle besværlig multiplikation ved simpel addition. Hvis du bruger 10 minutter på at læse denne artikel, vil vi forklare dig, hvad logaritmer er, og hvordan du arbejder med dem. I et enkelt og tilgængeligt sprog.

Definition i matematik

En logaritme er et udtryk af følgende form: log a b=c, dvs. logaritmen af ​​ethvert ikke-negativt tal (det vil sige ethvert positivt) "b" til dets grundtal "a" anses for at være potensen "c ”, hvortil grundtallet "a" skal hæves for i sidste ende at få værdien "b". Lad os analysere logaritmen ved hjælp af eksempler, lad os sige, at der er et udtryk log 2 8. Hvordan finder man svaret? Det er meget enkelt, du skal finde en potens, sådan at du fra 2 til den nødvendige effekt får 8. Efter at have lavet nogle beregninger i dit hoved, får vi tallet 3! Og det er sandt, fordi 2 i 3 potens giver svaret som 8.

Typer af logaritmer

For mange elever og studerende virker dette emne kompliceret og uforståeligt, men faktisk er logaritmer ikke så skræmmende, det vigtigste er at forstå deres generelle betydning og huske deres egenskaber og nogle regler. Der er tre separate typer logaritmiske udtryk:

1. Naturlig logaritme ln a, hvor grundtallet er Euler-tallet (e = 2,7).
2. Decimal a, hvor grundtallet er 10.
3. Logaritme af ethvert tal b til grundtal a>1.

Hver af dem er løst på en standard måde, herunder forenkling, reduktion og efterfølgende reduktion til en enkelt logaritme ved hjælp af logaritmiske sætninger. For at opnå de korrekte værdier af logaritmer skal du huske deres egenskaber og rækkefølgen af ​​handlinger, når du løser dem.

Regler og nogle restriktioner

I matematik er der flere regler-begrænsninger, der accepteres som et aksiom, det vil sige, at de ikke er genstand for diskussion og er sandheden. For eksempel er det umuligt at dividere tal med nul, og det er også umuligt at udtrække en lige rod fra negative tal. Logaritmer har også deres egne regler, hvorefter du nemt kan lære at arbejde selv med lange og rummelige logaritmiske udtryk:

• Grundtallet "a" skal altid være større end nul og ikke lig med 1, ellers vil udtrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i enhver grad altid er lig med deres værdier;
• hvis a > 0, så a b >0, viser det sig, at "c" også skal være større end nul.

Hvordan løser man logaritmer?

For eksempel gives opgaven at finde svaret på ligningen 10 x = 100. Dette er meget nemt, du skal vælge en potens ved at hæve tallet ti, som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 = 100.

Lad os nu repræsentere dette udtryk i logaritmisk form. Vi får log 10 100 = 2. Når man løser logaritmer, konvergerer alle handlinger praktisk talt for at finde den potens, som det er nødvendigt at indtaste logaritmen til for at få et givet tal.

For nøjagtigt at bestemme værdien af ​​en ukendt grad, skal du lære at arbejde med en tabel med grader. Det ser sådan ud:

Som du kan se, kan nogle eksponenter gættes intuitivt, hvis du har et teknisk sind og viden om multiplikationstabellen. Dog for store værdier du skal bruge en tabel med grader. Det kan bruges selv af dem, der slet ikke ved noget om komplekst matematiske emner. Den venstre kolonne indeholder tal (grundlag a), den øverste række af tal er værdien af ​​potensen c, som tallet a er hævet til. I skæringspunktet indeholder cellerne de talværdier, der er svaret (a c =b). Lad os for eksempel tage den allerførste celle med tallet 10 og kvadrere det, vi får værdien 100, som er angivet i skæringspunktet mellem vores to celler. Alt er så enkelt og nemt, at selv den mest sande humanist vil forstå!

Ligninger og uligheder

Det viser sig, at eksponenten under visse betingelser er logaritmen. Derfor kan ethvert matematisk numerisk udtryk skrives som en logaritmisk lighed. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som basis 3-logaritmen af ​​81 lig med fire (log 3 81 = 4). For negative kræfter reglerne er de samme: 2 -5 = 1/32 vi skriver det som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. En af de mest fascinerende dele af matematik er emnet "logaritmer". Vi vil se på eksempler og løsninger på ligninger nedenfor umiddelbart efter at have studeret deres egenskaber. Lad os nu se på, hvordan uligheder ser ud, og hvordan man skelner dem fra ligninger.

Følgende udtryk er givet: log 2 (x-1) > 3 - det er en logaritmisk ulighed, da den ukendte værdi "x" er under det logaritmiske fortegn. Og også i udtrykket sammenlignes to størrelser: logaritmen af ​​det ønskede tal til base to er større end tallet tre.

Den vigtigste forskel mellem logaritmiske ligninger og uligheder er, at ligninger med logaritmer (eksempel - logaritme 2 x = √9) indebærer et eller flere specifikke svar numeriske værdier, mens ulighederne ved løsning af defineres som regionen acceptable værdier, og brudpunkterne for denne funktion. Som en konsekvens er svaret ikke et simpelt sæt af individuelle tal, som i svaret på en ligning, men en kontinuerlig række eller sæt af tal.

Grundsætninger om logaritmer

Når du løser primitive opgaver med at finde værdierne af logaritmen, er dens egenskaber muligvis ikke kendt. Men når det kommer til logaritmiske ligninger eller uligheder, er det først og fremmest nødvendigt at forstå og anvende alle logaritmers grundlæggende egenskaber i praksis. Vi vil se på eksempler på ligninger senere, lad os først se nærmere på hver egenskab.

1. Hovedidentiteten ser således ud: a logaB =B. Det gælder kun, når a er større end 0, ikke lig med en, og B er større end nul.
2. Produktets logaritme kan repræsenteres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfælde er den obligatoriske betingelse: d, s 1 og s 2 > 0; a≠1. Du kan give et bevis for denne logaritmiske formel med eksempler og løsning. Lad log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2, så a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi opnår, at s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (egenskaber ved grader ), og så per definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, hvilket er det, der skulle bevises.
3. Logaritmen for kvotienten ser således ud: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Sætningen i form af en formel tager på næste visning: log a q b n = n/q log a b.

Denne formel kaldes "egenskaben for graden af ​​logaritme." Det ligner egenskaberne ved almindelige grader, og det er ikke overraskende, for al matematik er baseret på naturlige postulater. Lad os se på beviset.

Lad log a b = t, det viser sig a t =b. Hvis vi hæver begge dele til potensen m: a tn = b n ;

men da a tn = (a q) nt/q = b n, derfor log a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Sætningen er blevet bevist.

Eksempler på problemer og uligheder

De mest almindelige typer problemer på logaritmer er eksempler på ligninger og uligheder. De findes i næsten alle opgavebøger og er også en obligatorisk del af matematikeksamener. For at komme ind på et universitet eller bestå optagelsesprøver i matematik skal du vide, hvordan du løser sådanne opgaver korrekt.

Desværre er der ingen enkelt plan eller ordning til at løse og bestemme ukendt værdi Der er ikke sådan noget som en logaritme, men du kan anvende den på enhver matematisk ulighed eller logaritmisk ligning. visse regler. Først og fremmest bør du finde ud af, om udtrykket kan forenkles eller føre til generelt udseende. Du kan forenkle lange logaritmiske udtryk, hvis du bruger deres egenskaber korrekt. Lad os lære dem hurtigt at kende.

Når vi løser logaritmiske ligninger, skal vi bestemme, hvilken type logaritme vi har: et eksempeludtryk kan indeholde en naturlig logaritme eller en decimal.

Her er eksempler på ln100, ln1026. Deres løsning bunder i, at de skal bestemme den effekt, som basen 10 vil være lig med henholdsvis 100 og 1026. For løsninger naturlige logaritmer du skal anvende logaritmiske identiteter eller deres egenskaber. Lad os se på eksempler på løsning af logaritmiske problemer af forskellige typer.

Sådan bruges logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så lad os se på eksempler på brug af de grundlæggende sætninger om logaritmer.

1. Egenskaben for et produkts logaritme kan bruges i opgaver, hvor det er nødvendigt at udvide stor værdi tal b til enklere faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, lykkedes det ved hjælp af den fjerde egenskab af logaritmepotensen at løse et tilsyneladende komplekst og uløseligt udtryk. Du skal blot faktorisere basen og derefter tage eksponentværdierne ud af logaritmens fortegn.

Opgaver fra Unified State-eksamenen

Logaritmer findes ofte i adgangsprøver, især en masse logaritmiske problemer i Unified State Exam (statseksamen for alle skolekandidater). Normalt er disse opgaver til stede ikke kun i del A (den nemmeste test del eksamen), men også i del C (de mest komplekse og omfangsrige opgaver). Eksamen kræver nøjagtig og perfekt viden om emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og løsninger på problemer er taget fra officielle Muligheder for Unified State Exam. Lad os se, hvordan sådanne opgaver løses.

Givet log 2 (2x-1) = 4. Løsning:
lad os omskrive udtrykket og simplificere det lidt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definitionen af ​​logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.

• Det er bedst at reducere alle logaritmer til samme base, så løsningen ikke bliver besværlig og forvirrende.
• Alle udtryk under logaritmetegnet er angivet som positive, og derfor, når eksponenten af ​​et udtryk, der er under logaritmetegnet og som dets base, tages ud som en multiplikator, skal det udtryk, der er tilbage under logaritmen, være positivt.

Efterhånden som samfundet udviklede sig og produktionen blev mere kompleks, udviklede matematikken sig også. Bevægelse fra simpel til kompleks. Fra almindeligt regnskab ved hjælp af metoden til addition og subtraktion, med deres gentagne gentagelser, kom vi til begrebet multiplikation og division. At reducere den gentagne operation af multiplikation blev begrebet eksponentiering. De første tabeller over tallenes afhængighed af basen og antallet af eksponentiering blev udarbejdet tilbage i det 8. århundrede af den indiske matematiker Varasena. Fra dem kan du tælle tidspunktet for forekomsten af ​​logaritmer.

Historisk skitse

Genoplivningen af ​​Europa i det 16. århundrede stimulerede også mekanikkens udvikling. T krævede en stor mængde beregning relateret til multiplikation og division af flercifrede tal. De gamle borde var til stor tjeneste. De tillod udskiftning komplekse operationer til mere simple - addition og subtraktion. Et stort skridt fremad var matematikeren Michael Stiefels arbejde, udgivet i 1544, hvor han realiserede ideen om mange matematikere. Dette gjorde det muligt at bruge tabeller ikke kun til grader i formen primtal, men også for vilkårlige rationelle.

I 1614 introducerede skotten John Napier, der udviklede disse ideer, først det nye udtryk "logaritme af et tal." Ny komplekse tabeller til beregning af logaritmer af sinus og cosinus, samt tangenter. Dette reducerede i høj grad astronomernes arbejde.

Nye tabeller begyndte at dukke op, som med succes blev brugt af videnskabsmænd i tre århundreder. Der gik lang tid, før den nye operation i algebra fik sin færdige form. Definitionen af ​​logaritmen blev givet, og dens egenskaber blev undersøgt.

Først i det 20. århundrede, med fremkomsten af ​​lommeregneren og computeren, forlod menneskeheden de gamle tabeller, der havde fungeret med succes gennem det 13. århundrede.

I dag kalder vi logaritmen af ​​b til at basere a for tallet x, der er potensen af ​​a for at gøre b. Dette skrives som en formel: x = log a(b).

For eksempel vil log 3(9) være lig med 2. Dette er indlysende, hvis du følger definitionen. Hvis vi hæver 3 til 2, får vi 9.

Den formulerede definition sætter således kun én begrænsning: tallene a og b skal være reelle.

Typer af logaritmer

Den klassiske definition kaldes den reelle logaritme og er faktisk løsningen på ligningen a x = b. Mulighed a = 1 er grænseoverskridende og er ikke af interesse. Bemærk: 1 til enhver potens er lig med 1.

Realværdi af logaritme defineres kun, når grundtallet og argumentet er større end 0, og grundtallet ikke må være lig med 1.

Særlig plads inden for matematik spille logaritmer, som vil blive navngivet afhængigt af størrelsen på deres base:

Regler og restriktioner

Den grundlæggende egenskab ved logaritmer er reglen: logaritmen af ​​et produkt er lig med den logaritmiske sum. log abp = log a(b) + log a(p).

Som en variant af dette udsagn vil det være: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvotientfunktionen er lig med forskellen mellem funktionerne.

Ud fra de to foregående regler er det let at se: log a(b p) = p * log a(b).

Andre ejendomme omfatter:

Kommentar. Lav ikke en almindelig fejl - logaritmen af ​​summen er det ikke lig med summen logaritmer.

I mange århundreder var operationen med at finde en logaritme en ret tidskrævende opgave. Matematikere brugte den velkendte formel for den logaritmiske teori om polynomiel ekspansion:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), hvor n - naturligt tal større end 1, hvilket bestemmer nøjagtigheden af ​​beregningen.

Logaritmer med andre baser blev beregnet ved hjælp af sætningen om overgangen fra en base til en anden og egenskaben for logaritmen af ​​et produkt.

Da denne metode er meget arbejdskrævende og ved løsning af praktiske problemer vanskeligt at implementere, brugte vi prækompilerede tabeller med logaritmer, hvilket fremskyndede alt arbejdet markant.

I nogle tilfælde blev der brugt specialdesignede grafer af logaritmer, som gav mindre nøjagtighed, men fremskyndede søgningen efter den ønskede værdi betydeligt. Kurven for funktionen y = log a(x), konstrueret over flere punkter, giver dig mulighed for at bruge en regulær lineal til at finde værdien af ​​funktionen på ethvert andet punkt. Ingeniører lang tid Til disse formål blev der brugt såkaldt millimeterpapir.

I det 17. århundrede dukkede de første ekstra analoge beregningsbetingelser op, som 1800-tallet fået et færdigt udseende. Den mest succesrige enhed blev kaldt diasreglen. På trods af enhedens enkelhed accelererede dens udseende markant processen med alle tekniske beregninger, og det er svært at overvurdere. I øjeblikket er de færreste bekendt med denne enhed.

Fremkomsten af ​​lommeregnere og computere gjorde brugen af ​​andre enheder meningsløs.

Ligninger og uligheder

For at løse forskellige ligninger og uligheder ved hjælp af logaritmer bruges følgende formler:

• Flytning fra en base til en anden: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Som en konsekvens af den foregående mulighed: log a(b) = 1 / log b(a).

For at løse uligheder er det nyttigt at vide:

• Værdien af ​​logaritmen vil kun være positiv, hvis basen og argumentet begge er større eller mindre end én; hvis mindst én betingelse er overtrådt, vil logaritmeværdien være negativ.
• Hvis logaritmefunktionen anvendes på højre og venstre side af en ulighed, og logaritmen er større end én, så bevares ulighedens fortegn; ellers ændrer det sig.

Prøveproblemer

Lad os overveje flere muligheder for at bruge logaritmer og deres egenskaber. Eksempler på at løse ligninger:

Overvej muligheden for at placere logaritmen i en potens:

• Opgave 3. Beregn 25^log 5(3). Løsning: under betingelserne for problemet ligner indgangen følgende (5^2)^log5(3) eller 5^(2 * log 5(3)). Lad os skrive det anderledes: 5^log 5(3*2), eller kvadratet af et tal som funktionsargument kan skrives som kvadratet af selve funktionen (5^log 5(3))^2. Ved at bruge logaritmers egenskaber er dette udtryk lig med 3^2. Svar: Som et resultat af beregningen får vi 9.

Praktisk anvendelse

Da det er et rent matematisk værktøj, virker det langt fra det virkelige liv at logaritmen pludselig fik stor betydning for at beskrive objekter virkelige verden. Det er svært at finde en videnskab, hvor den ikke bliver brugt. Dette gælder fuldt ud ikke kun for naturlige, men også for humanitære vidensområder.

Logaritmiske afhængigheder

Her er nogle eksempler på numeriske afhængigheder:

Mekanik og fysik

Historisk set har mekanik og fysik altid udviklet sig vha matematiske metoder forskning og tjente samtidig som et incitament til udvikling af matematik, herunder logaritmer. Teorien om de fleste fysiklove er skrevet på matematikkens sprog. Lad os kun give to eksempler på beskrivelse af fysiske love ved hjælp af logaritmen.

Problemet med at beregne en så kompleks mængde som en rakets hastighed kan løses ved at bruge Tsiolkovsky-formlen, som lagde grundlaget for teorien om rumudforskning:

V = I * In (M1/M2), hvor

• V er flyets endelige hastighed.
• I – specifik impuls af motoren.
• M 1 – rakettens begyndelsesmasse.
• M 2 – endelig masse.

Endnu et vigtigt eksempel- dette bruges i formlen for en anden stor videnskabsmand Max Planck, som tjener til at evaluere ligevægtstilstanden i termodynamik.

S = k * ln (Ω), hvor

• S – termodynamisk egenskab.
• k – Boltzmann konstant.
• Ω er den statistiske vægt af forskellige tilstande.

Kemi

Mindre indlysende er brugen af ​​formler i kemi, der indeholder forholdet mellem logaritmer. Lad os kun give to eksempler:

• Nernst-ligning, tilstanden af ​​mediets redoxpotentiale i forhold til stoffers aktivitet og ligevægtskonstanten.
• Beregningen af ​​sådanne konstanter som autolyseindekset og opløsningens surhedsgrad kan heller ikke udføres uden vores funktion.

Psykologi og biologi

Og det er slet ikke klart, hvad psykologi har med det at gøre. Det viser sig, at sansningsstyrken er godt beskrevet af denne funktion som det omvendte forhold mellem stimulusintensitetsværdien og den lavere intensitetsværdi.

Efter ovenstående eksempler er det ikke længere overraskende, at emnet logaritmer er meget udbredt i biologien. Om biologiske former, svarende til logaritmiske spiraler, kan man skrive hele bind.

Andre områder

Det ser ud til, at verdens eksistens er umulig uden forbindelse med denne funktion, og den styrer alle love. Især når naturlovene er forbundet med geometrisk progression. Det er værd at henvende sig til MatProfi-hjemmesiden, og der er mange sådanne eksempler inden for følgende aktivitetsområder:

Listen kan være uendelig. Efter at have mestret de grundlæggende principper for denne funktion, kan du kaste dig ud i en verden af ​​uendelig visdom.