Ulikhet kalles eksponentiell. Eksponentielle ligninger og ulikheter

Det har vært nødvendig å sammenligne mengder og mengder ved løsning av praktiske problemer siden antikken. Samtidig dukket det opp ord som mer og mindre, høyere og lavere, lettere og tyngre, roligere og høyere, billigere og dyrere osv., som betegner resultatene av å sammenligne homogene mengder.

Begrepene mer og mindre oppsto i forbindelse med telling av gjenstander, måling og sammenligning av mengder. For eksempel visste matematikere fra antikkens Hellas at siden av en trekant er mindre enn summen av de to andre sidene, og at den større siden av en trekant ligger motsatt av den større vinkelen. Arkimedes, mens han beregnet omkretsen, fastslo at omkretsen til enhver sirkel er lik tre ganger diameteren med et overskudd som er mindre enn en syvendedel av diameteren, men mer enn ti sytti ganger diameteren.

Skriv symbolsk forhold mellom tall og mengder ved å bruke tegnene > og b. Poster der to tall er forbundet med ett av tegnene: > (større enn), Du møtte også numeriske ulikheter i de lavere karakterene. Du vet at ulikheter kan være sanne, eller de kan være falske. For eksempel er \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) riktig numerisk ulikhet, 0,23 > 0,235 er en feil numerisk ulikhet.

Ulikheter som involverer ukjente kan være sanne for noen verdier av de ukjente og falske for andre. For eksempel er ulikheten 2x+1>5 sann for x = 3, men usann for x = -3. For en ulikhet med en ukjent, kan du sette oppgaven: løse ulikheten. Problemer med å løse ulikheter i praksis stilles og løses ikke sjeldnere enn problemer med å løse ligninger. For eksempel kommer mange økonomiske problemer ned til studiet og løsningen av systemer med lineære ulikheter. I mange grener av matematikken er ulikheter mer vanlig enn ligninger.

Noen ulikheter tjener som den eneste hjelpemiddel, slik at du kan bevise eller motbevise eksistensen av et bestemt objekt, for eksempel roten til en ligning.

Numeriske ulikheter

Du kan sammenligne hele tall og desimalbrøker. Kjenne til reglene for å sammenligne vanlige brøker med samme nevnere, men forskjellige tellere; med de samme tellerne, men ulike nevnere. Her vil du lære hvordan du sammenligner to tall ved å finne tegnet på forskjellen deres.

Sammenligning av tall er mye brukt i praksis. For eksempel sammenligner en økonom planlagte indikatorer med faktiske, en lege sammenligner en pasients temperatur med normalen, en turner sammenligner dimensjonene til en maskinert del med en standard. I alle slike tilfeller sammenlignes noen tall. Som et resultat av å sammenligne tall, oppstår numeriske ulikheter.

Definisjon. Tall a er større enn tall b if forskjell a-b positivt. Nummer a mindre antall b, hvis forskjellen a-b er negativ.

Hvis a er større enn b, så skriver de: a > b; hvis a er mindre enn b, så skriver de: a Dermed betyr ulikheten a > b at forskjellen a - b er positiv, dvs. a - b > 0. Ulikhet a For alle to tall a og b fra følgende tre relasjoner a > b, a = b, a Å sammenligne tallene a og b betyr å finne ut hvilket av tegnene >, = eller Teorem. Hvis a > b og b > c, så a > c.

Teorem. Hvis du legger til samme tall på begge sider av ulikheten, vil ikke tegnet på ulikheten endres.
Konsekvens. Ethvert begrep kan overføres fra en del av ulikheten til en annen ved å endre fortegnet til dette begrepet til det motsatte.

Teorem. Hvis begge sider av ulikheten multipliseres med det samme positivt tall, så vil ikke ulikhetstegnet endres. Hvis begge sider av ulikheten multipliseres med det samme et negativt tall, så vil tegnet på ulikhet endres til det motsatte.
Konsekvens. Hvis begge sider av ulikheten er delt med det samme positive tallet, vil ikke tegnet på ulikheten endres. Hvis begge sider av ulikheten er delt med det samme negative tallet, vil tegnet på ulikheten endres til det motsatte.

Du vet at numeriske likheter kan legges til og multipliseres ledd for ledd. Deretter vil du lære hvordan du utfører lignende handlinger med ulikheter. Evnen til å legge til og multiplisere ulikheter begrep for begrep brukes ofte i praksis. Disse handlingene hjelper til med å løse problemer med å evaluere og sammenligne betydningen av uttrykk.

Når du løser ulike problemer, er det ofte nødvendig å legge til eller multiplisere venstre og høyre side av ulikheter termin for ledd. Samtidig sies det noen ganger at ulikheter summerer seg eller multipliserer. For eksempel, hvis en turist gikk mer enn 20 km den første dagen, og mer enn 25 km den andre, kan vi si at han gikk mer enn 45 km på to dager. Tilsvarende, hvis lengden på et rektangel er mindre enn 13 cm og bredden er mindre enn 5 cm, kan vi si at arealet til dette rektangelet er mindre enn 65 cm2.

Når vi vurderer disse eksemplene, ble følgende brukt: teoremer om addisjon og multiplikasjon av ulikheter:

Teorem. Når du legger til ulikheter med samme fortegn, oppnås en ulikhet med samme fortegn: hvis a > b og c > d, så a + c > b + d.

Teorem. Når du multipliserer ulikheter av samme tegn, hvis venstre og høyre side er positive, oppnås en ulikhet med samme fortegn: hvis a > b, c > d og a, b, c, d er positive tall, så ac > bd.

Ulikheter med tegnet > (større enn) og 1/2, 3/4 b, c Sammen med tegnene på strenge ulikheter > og På samme måte betyr ulikheten \(a \geq b \) at tallet a er større enn eller lik b, dvs. .og ikke mindre b.

Ulikheter som inneholder tegnet \(\geq \) eller \(\leq \)-tegnet kalles ikke-strenge. For eksempel er ikke \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) strenge ulikheter.

Alle egenskaper ved strenge ulikheter er også gyldige for ikke-strenge ulikheter. Dessuten, hvis for strenge ulikheter > tegnene ble ansett som motsatte og du vet at for å løse en rekke anvendte problemer må du lage en matematisk modell i form av en ligning eller et ligningssystem. Neste vil du finne ut det matematiske modeller For å løse mange problemer er det ulikheter med ukjente. Konseptet med å løse en ulikhet vil bli introdusert og hvordan man kan teste om et gitt tall er en løsning på en bestemt ulikhet vil bli vist.

Ulikheter i formen
\(ax > b, \quad ax der a og b er gitt tall, og x er en ukjent, kalles lineære ulikheter med en ukjent.

Definisjon. Løsningen på en ulikhet med en ukjent er verdien av det ukjente hvor denne ulikheten blir en sann numerisk ulikhet. Å løse en ulikhet betyr å finne alle dens løsninger eller fastslå at det ikke finnes noen.

Du løste likningene ved å redusere dem til de enkleste likningene. På samme måte, når man løser ulikheter, prøver man å redusere dem ved å bruke egenskaper til form av enkle ulikheter.

Løse annengrads ulikheter med én variabel

Ulikheter i formen
\(ax^2+bx+c >0 \) og \(ax^2+bx+c hvor x er en variabel, a, b og c er noen tall og \(a \neq 0 \), kalt ulikheter av andre grad med én variabel.

Løsning på ulikhet
\(ax^2+bx+c >0 \) eller \(ax^2+bx+c kan betraktes som å finne intervaller der funksjonen \(y= ax^2+bx+c \) tar positive eller negative verdier For å gjøre dette er det nok å analysere hvordan grafen til funksjonen \(y= ax^2+bx+c\) er plassert i koordinatplanet: hvor grenene til parablen er rettet - opp eller ned, enten parabelen skjærer x-aksen og hvis den gjør det, så på hvilke punkter.

Algoritme for å løse andre grads ulikheter med én variabel:
1) finn diskriminanten til kvadrattrinomialet \(ax^2+bx+c\) og finn ut om trinomialet har røtter;
2) hvis trinomialet har røtter, merk dem på x-aksen og tegn en skjematisk parabel gjennom de merkede punktene, hvis grener er rettet oppover for en > 0 eller nedover for en 0 eller nederst for en 3) finn intervaller på x-aksen hvor punktparablene er plassert over x-aksen (hvis de løser ulikheten \(ax^2+bx+c >0\)) eller under x-aksen (hvis de løser ulikhet
\(ax^2+bx+c Løse ulikheter ved å bruke intervallmetoden

Vurder funksjonen
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domenet til denne funksjonen er settet med alle tall. Nullpunktene til funksjonen er tallene -2, 3, 5. De deler definisjonsdomenet til funksjonen inn i intervallene \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) og \( (5; +\infty)\)

La oss finne ut hva tegnene til denne funksjonen er i hvert av de angitte intervallene.

Uttrykket (x + 2)(x - 3)(x - 5) er produktet av tre faktorer. Tegnet til hver av disse faktorene i intervallene som vurderes er angitt i tabellen:

Generelt, la funksjonen gis av formelen
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
hvor x er en variabel, og x 1, x 2, ..., x n er tall som ikke er like med hverandre. Tallene x 1 , x 2 , ..., x n er nullpunktene til funksjonen. I hvert av intervallene som definisjonsdomenet er delt inn i med null av funksjonen, bevares funksjonens fortegn, og når det går gjennom null, endres fortegnet.

Denne egenskapen brukes til å løse ulikheter i formen
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) der x 1, x 2, ..., x n er tall som ikke er like med hverandre

Vurdert metode å løse ulikheter kalles intervallmetoden.

La oss gi eksempler på å løse ulikheter ved hjelp av intervallmetoden.

Løs ulikhet:

\(x(0,5-x)(x+4) Åpenbart er nullpunktene til funksjonen f(x) = x(0,5-x)(x+4) punktene \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Vi plotter nullpunktene til funksjonen på tallaksen og beregner tegnet på hvert intervall:

Vi velger de intervallene der funksjonen er mindre enn eller lik null og skriver ned svaret.

Svar:
\(x \i \venstre(-\infty; \; 1 \right) \kopp \venstre[ 4; \; +\infty \right) \)

Mange tror at eksponentielle ulikheter er noe komplekst og uforståelig. Og at det å lære å løse dem er nesten en stor kunst, som bare de utvalgte er i stand til å forstå...

Fullstendig tull! Eksponentielle ulikheter er lett. Og de løses alltid enkelt. Vel, nesten alltid.

I dag skal vi se på dette emnet innvendig og utvendig. Denne leksjonen vil være veldig nyttig for de som akkurat har begynt å forstå denne delen av skolematematikk. La oss begynne med enkle oppgaver og vi vil gå videre til mer komplekse problemstillinger. Det vil ikke være noe hardt arbeid i dag, men det du skal lese vil være nok til å løse de fleste ulikheter på alle typer tester og tester. selvstendig arbeid. Og på denne eksamenen din også.

Som alltid, la oss starte med en definisjon. En eksponentiell ulikhet er enhver ulikhet som inneholder en eksponentiell funksjon. Det kan med andre ord alltid reduseres til en formulikhet

\[((a)^(x)) \gt b\]

Der rollen som $b$ kan være et vanlig tall, eller kanskje noe tøffere. Eksempler? Ja takk:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(align)\]

Jeg tror meningen er klar: det er det eksponentiell funksjon$((a)^(x))$, sammenlignes det med noe, og blir deretter bedt om å finne $x$. I spesielt kliniske tilfeller, i stedet for variabelen $x$, kan de sette en funksjon $f\left(x \right)$ og derved komplisere ulikheten litt :)

Selvfølgelig kan ulikheten i noen tilfeller virke mer alvorlig. For eksempel:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Eller til og med dette:

Generelt kan kompleksiteten til slike ulikheter være svært forskjellig, men til slutt kommer de likevel ned til den enkle konstruksjonen $((a)^(x)) \gt b$. Og vi vil på en eller annen måte finne ut en slik konstruksjon (i spesielt kliniske tilfeller, når ingenting kommer til tankene, vil logaritmer hjelpe oss). Derfor skal vi nå lære deg hvordan du løser slike enkle konstruksjoner.

Løse enkle eksponentielle ulikheter

La oss vurdere noe veldig enkelt. For eksempel dette:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Tydeligvis kan tallet til høyre skrives om som en potens av to: $4=((2)^(2))$. Dermed kan den opprinnelige ulikheten omskrives i en veldig praktisk form:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Og nå klør hendene mine etter å "krysse ut" toeren i maktbasene for å få svaret $x \gt 2$. Men før vi krysser ut noe, la oss huske kreftene til to:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Som vi ser, enn større antall er i eksponenten, jo større utgangsnummer. "Takk, Cap!" – vil en av elevene utbryte. Er det annerledes? Dessverre skjer det. For eksempel:

\[((\venstre(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ høyre))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\venstre(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

Alt er logisk også her: hva mer grad, jo flere ganger tallet 0,5 multipliseres med seg selv (dvs. delt i to). Dermed minker den resulterende tallrekkefølgen, og forskjellen mellom den første og andre sekvensen er bare i basen:

• Hvis grunntallet for grad $a \gt 1$, vil også tallet $((a)^(n))$ øke etter hvert som eksponenten $n$ øker;
• Og omvendt, hvis $0 \lt a \lt 1$, vil tallet $((a)^(n))$ reduseres etter hvert som eksponenten $n$ øker.

Ved å oppsummere disse fakta, får vi den viktigste uttalelsen som hele løsningen av eksponentielle ulikheter er basert på:

Hvis $a \gt 1$, så er ulikheten $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalent med ulikheten $x \gt n$. Hvis $0 \lt a \lt 1$, så er ulikheten $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalent med ulikheten $x \lt n$.

Med andre ord, hvis basen er større enn én, kan du ganske enkelt fjerne den - ulikhetstegnet vil ikke endres. Og hvis basen er mindre enn én, kan den også fjernes, men samtidig må du endre ulikhetstegnet.

Vær oppmerksom på at vi ikke har vurdert alternativene $a=1$ og $a\le 0$. For i disse tilfellene oppstår det usikkerhet. La oss si hvordan man løser en ulikhet på formen $((1)^(x)) \gt 3$? En til enhver makt vil igjen gi en - vi vil aldri få tre eller flere. De. det finnes ingen løsninger.

MED negative årsaker enda mer interessant. Tenk for eksempel på denne ulikheten:

\[((\venstre(-2 \høyre))^(x)) \gt 4\]

Ved første øyekast er alt enkelt:

Ikke sant? Men nei! Det er nok å erstatte i stedet for $x$ et par like og et par oddetall for å sikre at løsningen er feil. Ta en titt:

\[\begin(align) & x=4\Høyrepil ((\venstre(-2 \høyre))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Høyrepil ((\venstre(-2 \høyre))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Høyrepil ((\venstre(-2 \høyre))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Høyrepil ((\venstre(-2 \høyre))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Som du kan se, veksler skiltene. Men det er mer brøkkrefter og annet tinn. Hvordan vil du for eksempel bestille $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus to i syv potens)? Aldri!

Derfor, for nøyaktighetens skyld, antar vi at i alle eksponentielle ulikheter (og ligninger forresten også) $1\ne a \gt 0$. Og så er alt løst veldig enkelt:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Høyrepil \venstre[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

Generelt, husk hovedregelen igjen: hvis basen i en eksponentiell ligning er større enn én, kan du ganske enkelt fjerne den; og hvis basen er mindre enn én, kan den også fjernes, men tegnet på ulikhet vil endre seg.

Eksempler på løsninger

Så la oss se på noen enkle eksponentielle ulikheter:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Den primære oppgaven er i alle tilfeller den samme: å redusere ulikhetene til den enkleste formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Det er akkurat dette vi nå skal gjøre med hver ulikhet, og samtidig skal vi gjenta egenskapene til grader og eksponentielle funksjoner. Så la oss gå!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Hva kan du gjøre her? Vel, til venstre har vi allerede et veiledende uttrykk - ingenting må endres. Men til høyre er det noe dritt: en brøkdel, og til og med en rot i nevneren!

La oss imidlertid huske reglene for å jobbe med brøker og potenser:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Hva betyr det? For det første kan vi enkelt kvitte oss med brøken ved å gjøre den om til en potens med negativ eksponent. Og for det andre, siden nevneren har en rot, ville det vært fint å gjøre den om til en potens – denne gangen med en brøkeksponent.

La oss bruke disse handlingene sekvensielt på høyre side av ulikheten og se hva som skjer:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\venstre(\sqrt(2) \høyre))^(-1))=((\venstre(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ikke glem at når du hever en grad til en potens, legger eksponentene til disse gradene opp. Og generelt, når du arbeider med eksponentielle ligninger og ulikheter, er det absolutt nødvendig å kjenne til i det minste de enkleste reglene for å jobbe med potenser:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\venstre(((a)^(x)) \høyre))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

Egentlig brukte vi bare den siste regelen. Derfor vil vår opprinnelige ulikhet omskrives som følger:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Høyrepil ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Nå kvitter vi oss med de to ved basen. Siden 2 > 1, vil ulikhetstegnet forbli det samme:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Høyrepil x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Det er løsningen! Hovedvanskeligheten er ikke i det hele tatt i den eksponentielle funksjonen, men i den kompetente transformasjonen av det opprinnelige uttrykket: du må forsiktig og raskt bringe det til sin enkleste form.

Tenk på den andre ulikheten:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Så så. Desimalbrøker venter oss her. Som jeg har sagt mange ganger, i alle uttrykk med potenser bør du kvitte deg med desimaler - dette er ofte den eneste måten å se en rask og enkel løsning. Her blir vi kvitt:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Høyrepil ((\venstre(\frac(1)(10) \høyre))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Her har vi igjen den enkleste ulikheten, og selv med en base på 1/10, dvs. mindre enn én. Vel, vi fjerner basene, og endrer samtidig skiltet fra "mindre" til "mer", og vi får:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Vi fikk det endelige svaret: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Vær oppmerksom på: svaret er nøyaktig et sett, og ikke i noe tilfelle en konstruksjon av formen $x \lt -1$. Fordi formelt sett er ikke en slik konstruksjon et sett i det hele tatt, men en ulikhet med hensyn til variabelen $x$. Ja, det er veldig enkelt, men det er ikke svaret!

Viktig notat. Denne ulikheten kunne løses på en annen måte - ved å redusere begge sider til en potens med en base større enn én. Ta en titt:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Høyrepil ((\venstre(((10)^(-1)) \høyre))^(1-x)) \ lt ((\venstre(((10)^(-1)) \right))^(2))\Høyrepil ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Etter en slik transformasjon vil vi igjen få en eksponentiell ulikhet, men med en base på 10 > 1. Det betyr at vi rett og slett kan krysse ut de ti - tegnet på ulikheten vil ikke endre seg. Vi får:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Som du kan se, var svaret nøyaktig det samme. Samtidig reddet vi oss fra behovet for å endre skiltet og generelt huske eventuelle regler :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Men ikke la dette skremme deg. Uansett hva som står i indikatorene, forblir teknologien for å løse ulikhet i seg selv den samme. La oss derfor først merke oss at 16 = 2 4. La oss omskrive den opprinnelige ulikheten ved å ta hensyn til dette faktum:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hurra! Vi fikk den vanlige kvadratiske ulikheten! Skiltet har ikke endret seg noe sted, siden basen er to - et tall større enn én.

Nullpunkter for en funksjon på talllinjen

Vi ordner tegnene til funksjonen $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - tydeligvis vil grafen være en parabel med grener opp, så det vil være "pluss" " på sidene. Vi er interessert i regionen hvor funksjonen er mindre enn null, dvs. $x\in \left(2;5 \right)$ er svaret på det opprinnelige problemet.

Til slutt, vurder en annen ulikhet:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Igjen ser vi en eksponentiell funksjon med en desimalbrøk ved grunnflaten. La oss konvertere denne brøken til en vanlig brøk:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Høyrepil \\ & \Høyrepil ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\venstre(((5)^(-1)) \høyre))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

I dette tilfellet brukte vi bemerkningen gitt tidligere - vi reduserte basen til tallet 5 > 1 for å forenkle vår videre løsning. La oss gjøre det samme med høyresiden:

\[\frac(1)(25)=((\venstre(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\venstre(((5)^(-1)) \ høyre))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

La oss omskrive den opprinnelige ulikheten ved å ta hensyn til begge transformasjonene:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Høyrepil ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \høyre)))\ge ((5)^(-2))\]

Basene på begge sider er like og overstiger én. Det er ingen andre termer på høyre og venstre side, så vi "krysser" ganske enkelt femtallene og får et veldig enkelt uttrykk:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Det er her du må være mer forsiktig. Mange studenter liker å bare trekke ut Kvadratrot av begge sider av ulikheten og skriv noe sånt som $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Ikke i noe tilfelle bør du gjøre dette, siden roten av et eksakt kvadrat er modul, og ikke i noe tilfelle den opprinnelige variabelen:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\venstre| x\right|\]

Å jobbe med moduler er imidlertid ikke den hyggeligste opplevelsen, er det vel? Så vi vil ikke jobbe. I stedet flytter vi ganske enkelt alle leddene til venstre og løser den vanlige ulikheten ved å bruke intervallmetoden:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \venstre(x-1 \høyre)\venstre(x+1 \høyre)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Vi markerer igjen de oppnådde punktene på talllinjen og ser på tegnene:

Vennligst merk: prikkene er skyggelagt

Siden vi løste en ikke-streng ulikhet, er alle punktene på grafen skyggelagt. Derfor vil svaret være: $x\in \left[ -1;1 \right]$ er ikke et intervall, men et segment.

Generelt vil jeg bemerke at det ikke er noe komplisert med eksponentielle ulikheter. Betydningen av alle transformasjonene vi utførte i dag kommer ned til en enkel algoritme:

• Finn grunnlaget som vi skal redusere alle grader til;
• Utfør transformasjonene nøye for å oppnå en ulikhet på formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Selvfølgelig, i stedet for variablene $x$ og $n$ kan det være mye mer komplekse funksjoner, men betydningen vil ikke endre seg;
• Kryss ut basene til grader. I dette tilfellet kan ulikhetstegnet endres hvis grunntallet $a \lt 1$.

Faktisk er dette en universell algoritme for å løse alle slike ulikheter. Og alt annet de vil fortelle deg om dette emnet er bare spesifikke teknikker og triks som vil forenkle og fremskynde transformasjonen. Vi skal snakke om en av disse teknikkene nå. :)

Rasjonaliseringsmetode

La oss vurdere et annet sett med ulikheter:

\[\begin(align) & ((\tekst( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\tekst( )\!\!\pi \!\!\tekst( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \høyre))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Så hva er så spesielt med dem? De er lette. Skjønt, stopp! Er tallet π hevet til en viss potens? For noe tull?

Hvordan heve tallet $2\sqrt(3)-3$ til en potens? Eller $3-2\sqrt(2)$? Problemforfatterne drakk åpenbart for mye Hawthorn før de satte seg ned på jobb :)

Det er faktisk ikke noe skummelt med disse oppgavene. La meg minne deg på: en eksponentiell funksjon er et uttrykk på formen $((a)^(x))$, der grunntallet $a$ er et hvilket som helst positivt tall bortsett fra ett. Tallet π er positivt - det vet vi allerede. Tallene $2\sqrt(3)-3$ og $3-2\sqrt(2)$ er også positive - dette er lett å se hvis du sammenligner dem med null.

Det viser seg at alle disse "skremmende" ulikhetene ikke løses annerledes enn de enkle diskuterte ovenfor? Og er de løst på samme måte? Ja, det er helt riktig. Men ved å bruke deres eksempel, vil jeg vurdere en teknikk som i stor grad sparer tid på selvstendig arbeid og eksamener. Vi vil snakke om metoden for rasjonalisering. Så, oppmerksomhet:

Enhver eksponentiell ulikhet av formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ er ekvivalent med ulikheten $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ høyre) \gt 0 $.

Det er hele metoden. :) Trodde du at det ville komme et annet spill? Ingenting som dette! Men dette enkle faktum, bokstavelig skrevet på én linje, vil i stor grad forenkle arbeidet vårt. Ta en titt:

\[\begin(matrise) ((\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))^(x+7)) \gt ((\tekst( )\!\!\pi\ !\!\tekst( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Nedover \\ \venstre(x+7-\venstre(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )-1 \right) \gt 0 \\\slutt(matrise)\]

Så det er ikke flere eksponentielle funksjoner! Og du trenger ikke å huske om skiltet endres eller ikke. Men det oppstår nytt problem: hva skal jeg gjøre med multiplikatoren \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Vi vet ikke hva det handler om eksakt verdi tall π. Kapteinen ser imidlertid ut til å antyde det åpenbare:

\[\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )\ca. 3.14... \gt 3\Høyrepil \tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )- 1\gt 3-1=2\]

Generelt angår ikke den nøyaktige verdien av π oss egentlig - det er bare viktig for oss å forstå at i alle fall $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. dette er en positiv konstant, og vi kan dele begge sider av ulikheten med den:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\tekst( )-1 \høyre) \gt 0 \\ & x+7-\venstre(((x)^(2))-3x+2 \høyre) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Som du kan se, måtte vi på et bestemt tidspunkt dele på minus én – og tegnet på ulikhet endret seg. På slutten utvidet jeg det kvadratiske trinomialet ved å bruke Vietas teorem - det er åpenbart at røttene er lik $((x)_(1))=5$ og $((x)_(2))=-1$ . Deretter løses alt ved hjelp av den klassiske intervallmetoden:

Løse ulikhet ved hjelp av intervallmetoden

Alle punkter fjernes fordi den opprinnelige ulikheten er streng. Vi er interessert i regionen med negative verdier, så svaret er $x\in \left(-1;5 \right)$. Det er løsningen.

La oss gå videre til neste oppgave:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Alt her er generelt enkelt, fordi det er en enhet til høyre. Og vi husker at en er et hvilket som helst tall hevet til null potens. Selv om dette tallet er et irrasjonelt uttrykk i bunnen til venstre:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2)))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \høyre))^(0)); \\\end(align)\]

Vel, la oss rasjonalisere:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Det gjenstår bare å finne ut tegnene. Faktoren $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ inneholder ikke variabelen $x$ - det er bare en konstant, og vi må finne ut fortegnet. For å gjøre dette, legg merke til følgende:

\[\begin(matrise) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2) -2 \right)=0 \\\end(matrise)\]

Det viser seg at den andre faktoren ikke bare er en konstant, men en negativ konstant! Og når man deler med det, endres tegnet på den opprinnelige ulikheten til det motsatte:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\venstre(x-2 \høyre) \gt 0. \\\end(align)\]

Nå blir alt helt åpenbart. Røttene til kvadrattrinomialet til høyre er: $((x)_(1))=0$ og $((x)_(2))=2$. Vi markerer dem på talllinjen og ser på tegnene til funksjonen $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Saken når vi er interessert i sideintervaller

Vi er interessert i intervallene merket med plusstegn. Alt som gjenstår er å skrive ned svaret:

La oss gå videre til neste eksempel:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ høyre))^(16-x))\]

Vel, alt er helt åpenbart her: Basene inneholder potenser av samme tall. Derfor vil jeg skrive alt kort:

\[\begin(matrise) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Nedover \\ ((\venstre(((3)^(-1)) \høyre))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\venstre(((3)^(-2)) \høyre))^(16-x)) \\\end(matrise)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ venstre(16-x \høyre))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Som du kan se, under transformasjonsprosessen måtte vi multiplisere med et negativt tall, så ulikhetstegnet endret seg. Helt til slutt brukte jeg igjen Vietas teorem for å faktorisere det kvadratiske trinomialet. Som et resultat vil svaret være følgende: $x\in \left(-8;4 \right)$ - hvem som helst kan bekrefte dette ved å tegne en talllinje, markere punktene og telle tegnene. I mellomtiden vil vi gå videre til den siste ulikheten fra vårt "sett":

\[((\venstre(3-2\sqrt(2) \høyre))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Som du kan se, ved basen er det igjen et irrasjonelt tall, og til høyre er det igjen en enhet. Derfor omskriver vi vår eksponentielle ulikhet som følger:

\[((\venstre(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\venstre(3-2\sqrt(2) \ høyre))^(0))\]

Vi bruker rasjonalisering:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Imidlertid er det ganske åpenbart at $1-\sqrt(2) \lt 0$, siden $\sqrt(2)\ca. 1,4... \gt 1$. Derfor er den andre faktoren igjen en negativ konstant, som begge sider av ulikheten kan deles inn i:

\[\begin(matrise) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrise)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Flytt til en annen base

Et eget problem ved løsning av eksponentielle ulikheter er søket etter det "riktige" grunnlaget. Dessverre er det ikke alltid åpenbart ved første øyekast ved en oppgave hva man skal legge til grunn, og hva man skal gjøre i henhold til graden av dette grunnlaget.

Men ikke bekymre deg: det er ingen magi eller "hemmelig" teknologi her. I matematikk kan enhver ferdighet som ikke kan algoritmes enkelt utvikles gjennom praksis. Men for dette må du løse problemer ulike nivåer vanskeligheter. For eksempel slik:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\venstre(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]

Vanskelig? Skummelt? Det er lettere enn å slå en kylling på asfalten! La oss prøve. Første ulikhet:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))))\]

Vel, jeg tror alt er klart her:

Vi omskriver den opprinnelige ulikheten, og reduserer alt til base to:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Høyrepil \venstre(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Ja, ja, du hørte det riktig: Jeg brukte nettopp rasjonaliseringsmetoden beskrevet ovenfor. Nå må vi jobbe forsiktig: vi har en brøk-rasjonell ulikhet (dette er en som har en variabel i nevneren), så før vi likestiller noe med null, må vi bringe alt til en fellesnevner og kvitte oss med konstantfaktoren .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \venstre(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Nå bruker vi standard intervallmetoden. Tellernuller: $x=\pm 4$. Nevneren går til null bare når $x=0$. Det er totalt tre punkter som må merkes på talllinjen (alle punkter er festet ut fordi ulikhetstegnet er strengt). Vi får:

Mer vanskelig sak: tre røtter

Som du kanskje gjetter, markerer skyggeleggingen de intervallene som uttrykket til venstre tar negative verdier. Derfor vil det endelige svaret inkludere to intervaller samtidig:

Endene av intervallene er ikke inkludert i svaret fordi den opprinnelige ulikheten var streng. Ingen ytterligere bekreftelse av dette svaret er nødvendig. I denne forbindelse er eksponentielle ulikheter mye enklere enn logaritmiske: ingen ODZ, ingen begrensninger, etc.

La oss gå videre til neste oppgave:

\[((\venstre(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Det er ingen problemer her heller, siden vi allerede vet at $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, så hele ulikheten kan skrives om som følger:

\[\begin(align) & ((\venstre(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Høyrepil ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\venstre(-2 \høyre) \høyre. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Vær oppmerksom på: i den tredje linjen bestemte jeg meg for å ikke kaste bort tid på bagateller og umiddelbart dele alt med (−2). Minul gikk inn i den første braketten (nå er det plusser overalt), og to ble redusert med konstant faktor. Dette er akkurat hva du bør gjøre når du forbereder ekte skjermer på uavhengige og tester— det er ikke nødvendig å beskrive enhver handling og transformasjon.

Deretter kommer den kjente metoden med intervaller inn. Tellernuller: men det er ingen. Fordi diskriminanten vil være negativ. I sin tur tilbakestilles nevneren bare når $x=0$ - akkurat som forrige gang. Vel, det er klart at til høyre for $x=0$ vil brøken ta positive verdier, og til venstre er negative. Siden vi er interessert i negative verdier, er det endelige svaret: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

Hva skal du gjøre med desimalbrøker i eksponentielle ulikheter? Det er riktig: bli kvitt dem, konverter dem til vanlige. Her vil vi oversette:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ venstre(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Høyrepil ((\venstre(6.25 \høyre))^(x))=((\venstre(\ frac(25) (4)\høyre))^(x)). \\\end(align)\]

Så hva fikk vi i grunnlaget for eksponentielle funksjoner? Og vi fikk to omvendte tall:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ høyre))^(x))=((\venstre(((\venstre(\frac(4)(25) \høyre))^(-1)) \høyre))^(x))=((\ venstre(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

Dermed kan den opprinnelige ulikheten omskrives som følger:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \høyre))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Selvfølgelig, når du multipliserer potenser med samme grunntall, summeres eksponentene deres, som er det som skjedde i den andre linjen. I tillegg representerte vi enheten til høyre, også som en potens i base 4/25. Alt som gjenstår er å rasjonalisere:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Merk at $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, dvs. den andre faktoren er en negativ konstant, og når du deler med den, vil ulikhetstegnet endres:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Høyrepil x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Til slutt, den siste ulikheten fra det nåværende "settet":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

I prinsippet er ideen om løsningen her også klar: alle eksponentielle funksjoner inkludert i ulikheten må reduseres til base "3". Men for dette må du pusle litt med røtter og krefter:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Tar disse fakta i betraktning, kan den opprinnelige ulikheten omskrives som følger:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\høyre))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Vær oppmerksom på 2. og 3. linje i beregningene: før du gjør noe med ulikheten, sørg for å bringe den til den formen vi snakket om helt fra begynnelsen av leksjonen: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Så lenge du har noen venstrehendte faktorer, ekstra konstanter osv. til venstre eller høyre, ingen rasjonalisering eller "kryss" av grunnlag kan utføres! Utallige oppgaver har blitt utført feil på grunn av manglende forståelse for dette enkelt faktum. Selv observerer jeg hele tiden dette problemet med elevene mine når vi akkurat begynner å analysere eksponentielle og logaritmiske ulikheter.

Men la oss gå tilbake til oppgaven vår. La oss prøve å klare oss uten rasjonalisering denne gangen. La oss huske: bunnen av graden er større enn én, så trippelene kan ganske enkelt krysses ut - ulikhetstegnet vil ikke endres. Vi får:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Det er alt. Endelig svar: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Isolere et stabilt uttrykk og erstatte en variabel

Avslutningsvis foreslår jeg å løse ytterligere fire eksponentielle ulikheter, som allerede er ganske vanskelige for uforberedte studenter. For å takle dem, må du huske reglene for å jobbe med grader. Spesielt å sette vanlige faktorer utenfor parentes.

Men det viktigste er å lære å forstå hva som kan tas ut av parentes. Et slikt uttrykk kalles stabil - det kan betegnes med en ny variabel og dermed bli kvitt eksponentialfunksjonen. Så la oss se på oppgavene:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]

La oss starte fra den aller første linjen. La oss skrive denne ulikheten separat:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Legg merke til at $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, så høyre hånd side kan skrives om:

Merk at det ikke er andre eksponentielle funksjoner bortsett fra $((5)^(x+1))$ i ulikheten. Og generelt vises ikke variabelen $x$ noe annet sted, så la oss introdusere en ny variabel: $((5)^(x+1))=t$. Vi får følgende konstruksjon:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Vi går tilbake til den opprinnelige variabelen ($t=((5)^(x+1))$), og husker samtidig at 1=5 0 . Vi har:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

Det er løsningen! Svar: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. La oss gå videre til den andre ulikheten:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Alt er likt her. Legg merke til at $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Deretter kan venstre side skrives om:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \høyre. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Høyrepil ((3)^(x))\ge 9\Høyrepil ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Høyrepil x\in \venstre[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

Det er omtrent slik du trenger å utarbeide en løsning for reelle prøver og selvstendig arbeid.

Vel, la oss prøve noe mer komplisert. For eksempel, her er ulikheten:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Hva er problemet her? Først og fremst er basisene til eksponentialfunksjonene til venstre forskjellige: 5 og 25. Imidlertid er 25 = 5 2, så det første leddet kan transformeres:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\venstre(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Som du kan se, brakte vi først alt til samme base, og så la vi merke til at det første leddet lett kan reduseres til det andre - du trenger bare å utvide eksponenten. Nå kan du trygt introdusere en ny variabel: $((5)^(2x+2))=t$, og hele ulikheten vil bli omskrevet som følger:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Og igjen, ingen vanskeligheter! Endelig svar: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. La oss gå videre til den endelige ulikheten i dagens leksjon:

\[((\venstre(0,5 \høyre))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Det første du bør være oppmerksom på er selvfølgelig desimal ved bunnen av første grad. Det er nødvendig å kvitte seg med det, og samtidig bringe alle eksponentielle funksjoner til samme base - tallet "2":

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\venstre(((2)^(-1)) \høyre))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Høyrepil ((16)^(x+1,5))=((\venstre(((2)^(4)) \høyre))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Flott, vi har tatt det første skrittet – alt har ført til samme grunnlag. Nå må du velge stabilt uttrykk. Legg merke til at $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Hvis vi introduserer en ny variabel $((2)^(4x+6))=t$, kan den opprinnelige ulikheten omskrives som følger:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Naturligvis kan spørsmålet oppstå: hvordan oppdaget vi at 256 = 2 8? Dessverre, her trenger du bare å kjenne potensene til to (og samtidig potensene til tre og fem). Vel, eller del 256 med 2 (du kan dele, siden 256 er partall) til vi får resultatet. Det vil se omtrent slik ut:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\end(align )\]

Det samme gjelder med tre (tallene 9, 27, 81 og 243 er dens grader), og med syv (tallene 49 og 343 ville også vært fint å huske). Vel, de fem har også "vakre" grader som du trenger å vite:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Selvfølgelig, hvis du ønsker det, kan alle disse tallene gjenopprettes i tankene dine ved ganske enkelt å multiplisere dem suksessivt med hverandre. Men når du må løse flere eksponentielle ulikheter, og hver neste er vanskeligere enn den forrige, så er det siste du vil tenke på potensene til noen tall. Og i denne forstand er disse problemene mer komplekse enn "klassiske" ulikheter som løses med intervallmetoden.

Eksponentielle ligninger og ulikheter er de der det ukjente er inneholdt i eksponenten.

Å løse eksponentielle ligninger kommer ofte ned til å løse ligningen a x = a b, der a > 0, a ≠ 1, x er ukjent. Denne ligningen har en enkelt rot x = b, siden følgende teorem er sant:

Teorem. Hvis a > 0, a ≠ 1 og a x 1 = a x 2, så er x 1 = x 2.

La oss underbygge den vurderte påstanden.

La oss anta at likheten x 1 = x 2 ikke holder, dvs. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, så øker eksponentialfunksjonen y = a x og derfor må ulikheten a x 1 være tilfredsstilt< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >en x 2. I begge tilfeller fikk vi en motsetning til betingelsen a x 1 = a x 2.

La oss vurdere flere problemer.

Løs ligningen 4 ∙ 2 x = 1.

Løsning.

La oss skrive ligningen på formen 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, hvorfra vi får x + 2 = 0, dvs. x = -2.

Svar. x = -2.

Løs ligning 2 3x ∙ 3 x = 576.

Løsning.

Siden 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, kan ligningen skrives som 8 x ∙ 3 x = 24 2 eller som 24 x = 24 2.

Herfra får vi x = 2.

Svar. x = 2.

Løs ligningen 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Løsning.

Hvis vi tar fellesfaktoren 3 x - 2 ut av parentes på venstre side, får vi 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

hvorav 3 x - 2 = 1, dvs. x – 2 = 0, x = 2.

Svar. x = 2.

Løs ligningen 3 x = 7 x.

Løsning.

Siden 7 x ≠ 0, kan ligningen skrives som 3 x /7 x = 1, hvorav (3/7) x = 1, x = 0.

Svar. x = 0.

Løs ligningen 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Løsning.

Ved å erstatte 3 x = a reduseres denne ligningen til kvadratisk ligning a 2 – 4a – 45 = 0.

Ved å løse denne ligningen finner vi røttene: a 1 = 9, og 2 = -5, hvorav 3 x = 9, 3 x = -5.

Ligningen 3 x = 9 har rot 2, og ligningen 3 x = -5 har ingen røtter, siden eksponentialfunksjonen ikke kan ta negative verdier.

Svar. x = 2.

Å løse eksponentielle ulikheter kommer ofte ned til å løse ulikhetene a x > a b eller a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

La oss se på noen problemer.

Løs ulikhet 3 x< 81.

Løsning.

La oss skrive ulikheten på formen 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, så øker funksjonen y = 3 x.

Derfor, for x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Altså ved x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Svar. X< 4.

Løs ulikheten 16 x +4 x – 2 > 0.

Løsning.

La oss betegne 4 x = t, så får vi den kvadratiske ulikheten t2 + t – 2 > 0.

Denne ulikheten gjelder for t< -2 и при t > 1.

Siden t = 4 x, får vi to ulikheter 4 x< -2, 4 х > 1.

Den første ulikheten har ingen løsninger, siden 4 x > 0 for alle x € R.

Vi skriver den andre ulikheten på formen 4 x > 4 0, derfra x > 0.

Svar. x > 0.

Løs grafisk ligningen (1/3) x = x – 2/3.

Løsning.

1) La oss bygge grafer for funksjonene y = (1/3) x og y = x – 2/3.

2) Basert på figuren vår kan vi konkludere med at grafene til de betraktede funksjonene skjærer hverandre i punktet med abscissen x ≈ 1. Kontroll viser at

x = 1 er roten til denne ligningen:

(1/3) 1 = 1/3 og 1 – 2/3 = 1/3.

Vi har med andre ord funnet en av røttene til ligningen.

3) La oss finne andre røtter eller bevise at det ikke finnes noen. Funksjonen (1/3) x er avtagende, og funksjonen y = x – 2/3 øker. Derfor, for x > 1, er verdiene til den første funksjonen mindre enn 1/3, og den andre - mer enn 1/3; på x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 og x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Svar. x = 1.

Merk at fra løsningen av dette problemet, spesielt, følger det at ulikheten (1/3) x > x – 2/3 er tilfredsstilt for x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.

Teori:

Når du løser ulikheter, bruk følgende regler:

1. Ethvert ledd i ulikheten kan overføres fra en del
ulikheter til en annen motsatt tegn, mens tegnet på ulikhet ikke endres.

2. Begge sider av ulikheten kan multipliseres eller divideres med én
og det samme positive tallet uten å endre ulikhetstegnet.

3. Begge sider av ulikheten kan multipliseres eller divideres med én
og det samme negative tallet, endre ulikhetstegnet til
motsatte.

Løs ulikhet − 8 x + 11< − 3 x − 4
Løsning.

1. La oss flytte penis − 3 x til venstre side av ulikheten, og begrepet 11 - til høyre side av ulikheten, mens du endrer tegnene til de motsatte − 3 x og kl 11 .
Så får vi

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

− 5 x< − 15

2. La oss dele begge sider av ulikheten − 5 x< − 15 til et negativt tall − 5 , og ulikhetstegnet < , vil endre til > , dvs. vi går videre til en ulikhet av motsatt betydning.
Vi får:

− 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3— løsning av en gitt ulikhet.

Følg med!

Det er to alternativer for å skrive en løsning: x > 3 eller som et tallintervall.

La oss markere løsningssettet til ulikheten på tallinjen og skrive svaret i form av et numerisk intervall.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Svar: x > 3 eller x ∈ (3 ; + ∞ )

Algebraiske ulikheter.

Kvadratiske ulikheter. Rasjonelle ulikheter av høyere grader.

Metoder for å løse ulikheter avhenger hovedsakelig av hvilken klasse funksjonene som utgjør ulikheten tilhører.

1. Jeg. Kvadratiske ulikheter, det vil si ulikheter i formen

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

For å løse ulikheten kan du:

1. Faktorer kvadrattrinomialet, det vil si skriv ulikheten i formen

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Plott røttene til polynomet på tallinjen. Røttene deler settet med reelle tall i intervaller, i hver av dem er det et tilsvarende kvadratisk funksjon vil være av konstant tegn.
2. Bestem tegnet til a (x - x 1) (x - x 2) i hvert intervall og skriv ned svaret.

Hvis et kvadratisk trinomium ikke har røtter, så for D<0 и a>0 kvadrattrinomial er positivt for enhver x.

• Løs ulikhet. x 2 + x - 6 > 0.

Faktor det kvadratiske trinomium (x + 3) (x - 2) > 0

Svar: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Denne ulikheten er sann for alle x unntatt x = 6.

Svar: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Her D< 0, a = 1 >0. Det kvadratiske trinomium er positivt for alle x.

Svar: x Î Ø.

Løs ulikheter:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Svar:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Svar:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Svar:
5. For hvilke verdier av a gjør ulikheten

x² - ax > holder for en hvilken som helst x? Svar:

1. II. Rasjonelle ulikheter av høyere grader, det vil si ulikheter i formen

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Et polynom av høyeste grad skal faktoriseres, det vil si at ulikheten skal skrives i formen

a n (x - x 1) (x - x 2) ·...· (x - x n) > 0 (<0).

Merk punktene på tallinjen der polynomet forsvinner.

Bestem fortegnene til polynomet på hvert intervall.

1) Løs ulikheten x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Så x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Svar: (0; 1) (2; 3).

2) Løs ulikheten (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

La oss markere punktene på tallaksen der polynomet forsvinner. Disse er x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

Ved punktet x = - ½ er det ingen fortegnsendring fordi binomialet (2x + 1) heves til en jevn potens, det vil si at uttrykket (2x + 1) 4 ikke endrer fortegn når det går gjennom punktet x = - ½.

Svar: (-∞; -2) (½; 1).

3) Løs ulikheten: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Denne ulikheten tilsvarer følgende sett

Løsningen til (1) er x (-∞; -2) (3; +∞). Løsningen til (2) er x = 0, x = -2, x = 3. Ved å kombinere løsningene oppnådd får vi x О (-∞; -2] (0) (0) )