Forskjellen mellom vektorer som kommer fra ett punkt. Addisjon og subtraksjon av vektorer

Standard definisjon: "En vektor er et rettet segment." Dette er vanligvis omfanget av en kandidats kunnskap om vektorer. Hvem trenger noen "retningssegmenter"?

Men egentlig, hva er vektorer og hva er de for?
Værmelding. "Vind nordvest, hastighet 18 meter per sekund." Enig, både vindretningen (hvor den blåser fra) og størrelsen (det vil si den absolutte verdien) av hastigheten har betydning.

Mengder som ikke har noen retning kalles skalar. Masse, arbeid, elektrisk ladning ikke rettet noe sted. De er kun karakterisert numerisk verdi- "hvor mange kilo" eller "hvor mange joule".

Fysiske størrelser som ikke bare har en absolutt verdi, men også en retning, kalles vektorstørrelser.

Hastighet, kraft, akselerasjon - vektorer. For dem er «hvor mye» viktig og «hvor» viktig. For eksempel akselerasjon på grunn av tyngdekraften rettet mot jordens overflate, og dens størrelse er 9,8 m/s 2. Impuls, spenning elektrisk felt, induksjon magnetfelt- også vektormengder.

Husker du det fysiske mengder angitt med bokstaver, latin eller gresk. Pilen over bokstaven indikerer at mengden er vektor:

Her er et annet eksempel.
En bil beveger seg fra A til B. Sluttresultatet er dens bevegelse fra punkt A til punkt B, det vil si bevegelse av en vektor.

Nå er det klart hvorfor en vektor er et rettet segment. Vær oppmerksom på at enden av vektoren er der pilen er. Vektorlengde kalles lengden på dette segmentet. Indikert med: eller

Til nå har vi jobbet med skalare størrelser, etter reglene for aritmetikk og elementær algebra. Vektorer er et nytt konsept. Dette er en annen klasse av matematiske objekter. De har sine egne regler.

En gang i tiden visste vi ikke engang noe om tall. Mitt bekjentskap med dem begynte på barneskolen. Det viste seg at tall kan sammenlignes med hverandre, adderes, trekkes fra, multipliseres og divideres. Vi lærte at det er et tall én og et tall null.
Nå er vi introdusert til vektorer.

Konseptene "mer" og "mindre" for vektorer eksisterer ikke - tross alt kan retningene deres være forskjellige. Bare vektorlengder kan sammenlignes.

Men det er et likhetsbegrep for vektorer.
Lik vektorer som har samme lengde og samme retning kalles. Dette betyr at vektoren kan overføres parallelt med seg selv til et hvilket som helst punkt i planet.
Enkelt er en vektor med lengde 1. Null er en vektor hvis lengde er null, det vil si at begynnelsen faller sammen med slutten.

Det er mest praktisk å jobbe med vektorer i et rektangulært koordinatsystem - det samme som vi tegner grafer for funksjoner i. Hvert punkt i koordinatsystemet tilsvarer to tall - dets x- og y-koordinater, abscisse og ordinat.
Vektoren er også spesifisert av to koordinater:

Her er koordinatene til vektoren skrevet i parentes - i x og y.
De finnes ganske enkelt: koordinaten til slutten av vektoren minus koordinaten til begynnelsen.

Hvis vektorkoordinatene er gitt, blir lengden funnet av formelen

Vektor tillegg

Det er to måter å legge til vektorer på.

1 . Parallelogramregel. For å legge til vektorene og plasserer vi opprinnelsen til begge på samme punkt. Vi bygger opp til et parallellogram og fra samme punkt tegner vi en diagonal av parallellogrammet. Dette vil være summen av vektorene og .

Husker du fabelen om svanen, sjøkreps og gjedde? De prøvde veldig hardt, men de flyttet aldri vogna. Tross alt var vektorsummen av kreftene de påførte vogna lik null.

2. Den andre måten å legge til vektorer på er trekantregelen. La oss ta de samme vektorene og . Vi legger til begynnelsen av den andre til slutten av den første vektoren. La oss nå koble begynnelsen av den første og slutten av den andre. Dette er summen av vektorene og .

Ved å bruke samme regel kan du legge til flere vektorer. Vi arrangerer dem etter hverandre, og kobler deretter begynnelsen av den første til slutten av den siste.

Tenk deg at du går fra punkt A til punkt B, fra B til C, fra C til D, deretter til E og til F. Sluttresultatet av disse handlingene er bevegelse fra A til F.

Når du legger til vektorer, får vi:

Vektor subtraksjon

Vektoren er rettet motsatt av vektoren. Lengdene på vektorene og er like.

Nå er det klart hva vektorsubtraksjon er. Vektorforskjellen og er summen av vektoren og vektoren.

Multiplisere en vektor med et tall

Når en vektor multipliseres med tallet k, oppnås en vektor hvis lengde er k ganger forskjellig fra lengden . Det er codirectional med vektoren hvis k er større enn null, og motsatt hvis k er mindre enn null.

Punktprodukt av vektorer

Vektorer kan multipliseres ikke bare med tall, men også med hverandre.

Skalarproduktet av vektorer er produktet av lengdene til vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem.

Vær oppmerksom på at vi multipliserte to vektorer, og resultatet ble en skalar, det vil si et tall. For eksempel i fysikk mekanisk arbeid lik skalarproduktet av to vektorer - kraft og forskyvning:

Hvis vektorene er vinkelrette, er deres skalarprodukt null.
Og dette er hvordan skalarproduktet uttrykkes gjennom koordinatene til vektorene og:

Fra formelen for skalarproduktet kan du finne vinkelen mellom vektorene:

Denne formelen er spesielt praktisk i stereometri. For eksempel i oppgave 14 Profil Unified State Examination i matematikk må du finne vinkelen mellom kryssende linjer eller mellom en linje og et plan. Oppgave 14 løses ofte flere ganger raskere ved bruk av vektormetoden enn ved bruk av klassisk metode.

I skolepensum i matematikk studerer de bare skalarproduktet av vektorer.
Det viser seg at det i tillegg til skalarproduktet også finnes et vektorprodukt, når resultatet av å multiplisere to vektorer er en vektor. Alle som tar Unified State-eksamen i fysikk vet hva Lorentz-styrken og Ampere-styrken er. Formlene for å finne disse kreftene inkluderer vektorprodukter.

Vektorer er et veldig nyttig matematisk verktøy. Du vil se dette i ditt første år.

Hvordan vektoraddisjon skjer er ikke alltid klart for elevene. Barn aner ikke hva som skjuler seg bak dem. Du må bare huske reglene, og ikke tenke på essensen. Derfor er det nettopp prinsippene for addisjon og subtraksjon av vektormengder som krever mye kunnskap.

Tilføyelse av to eller flere vektorer resulterer alltid i en til. Dessuten vil det alltid være det samme, uavhengig av hvordan det blir funnet.

Oftest i skolekurs geometri vurderer tillegg av to vektorer. Det kan utføres i henhold til trekant- eller parallellogramregelen. Disse tegningene ser annerledes ut, men resultatet av handlingen er det samme.

Hvordan skjer addisjon ved å bruke trekantregelen?

Den brukes når vektorene er ikke-kollineære. Det vil si at de ikke ligger på samme rette linje eller på parallelle.

I dette tilfellet må den første vektoren plottes fra et vilkårlig punkt. Fra enden er det nødvendig å tegne parallelt og lik den andre. Resultatet vil være en vektor som starter fra begynnelsen av den første og slutter på slutten av den andre. Mønsteret ligner en trekant. Derav navnet på regelen.

Hvis vektorene er kollineære, kan denne regelen også brukes. Kun tegningen vil være plassert langs én linje.

Hvordan utføres addisjon ved bruk av parallellogramregelen?

Men igjen? gjelder bare for ikke-kollineære vektorer. Konstruksjonen utføres etter et annet prinsipp. Selv om begynnelsen er den samme. Vi må sette til side den første vektoren. Og fra begynnelsen - den andre. Basert på dem, fullfør parallellogrammet og tegn en diagonal fra begynnelsen av begge vektorene. Dette blir resultatet. Slik utføres vektoraddisjon i henhold til parallellogramregelen.

Så langt har det vært to. Men hva om det er 3 eller 10 av dem? Bruk følgende teknikk.

Hvordan og når gjelder polygonregelen?

Hvis du trenger å legge til vektorer, hvor antallet er mer enn to, ikke vær redd. Det er nok å legge dem alle til side sekvensielt og koble begynnelsen av kjeden med enden. Denne vektoren vil være den nødvendige summen.

Hvilke egenskaper er gyldige for operasjoner med vektorer?

Om nullvektoren. Som sier at når den legges til den, oppnås originalen.

Om den motsatte vektoren. Det vil si omtrent en som har motsatt retning og lik størrelse. Summen deres vil være null.

Om kommutativiteten til tillegg. Hva har vært kjent siden grunnskole. Å endre plasseringen av vilkårene endrer ikke resultatet. Med andre ord spiller det ingen rolle hvilken vektor som skal utsettes først. Svaret vil fortsatt være riktig og unikt.

Om addisjonens assosiativitet. Denne loven lar deg legge til alle vektorer fra en trippel i par og legge til en tredje til dem. Hvis du skriver dette med symboler, får du følgende:

første + (andre + tredje) = andre + (første + tredje) = tredje + (første + andre).

Hva er kjent om vektorforskjell?

Det er ingen separat subtraksjonsoperasjon. Dette skyldes det faktum at det i hovedsak er tillegg. Bare den andre av dem får motsatt retning. Og så gjøres alt som om å legge til vektorer ble vurdert. Derfor er det praktisk talt ikke snakk om forskjellen deres.

For å forenkle arbeidet med deres subtraksjon, er trekantregelen modifisert. Nå (ved subtrahering) må den andre vektoren settes til side fra begynnelsen av den første. Svaret vil være det som forbinder endepunktet til minuenden med det samme som subtrahenden. Selv om du kan utsette det som beskrevet tidligere, ganske enkelt ved å endre retningen på den andre.

Hvordan finne summen og differansen av vektorer i koordinater?

Problemet gir koordinatene til vektorene og krever å finne ut verdiene deres for det endelige resultatet. I dette tilfellet er det ikke nødvendig å utføre konstruksjoner. Det vil si at du kan bruke enkle formler som beskriver regelen for å legge til vektorer. De ser slik ut:

a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

a (x, y, z) -b (k, 1, m) = c (x-k, y-l, z-m).

Det er lett å se at koordinatene bare må legges til eller trekkes fra avhengig av den spesifikke oppgaven.

Første eksempel med løsning

Betingelse. Gitt et rektangel ABCD. Dens sider er lik 6 og 8 cm Skjæringspunktet for diagonalene er betegnet med bokstaven O. Det er nødvendig å beregne forskjellen mellom vektorene AO og VO.

Løsning. Først må du tegne disse vektorene. De er rettet fra hjørnene til rektangelet til skjæringspunktet mellom diagonalene.

Hvis du ser nøye på tegningen, kan du se at vektorene allerede er kombinert slik at den andre av dem er i kontakt med enden av den første. Det er bare det at retningen hans er feil. Det bør starte fra dette punktet. Dette er hvis vektorene legges til, men problemet innebærer subtraksjon. Stoppe. Denne handlingen betyr at du må legge til den motsatt rettede vektoren. Dette betyr at VO må erstattes med OV. Og det viser seg at de to vektorene allerede har dannet et sidepar fra trekantregelen. Derfor er resultatet av deres tillegg, det vil si den ønskede forskjellen, vektoren AB.

Og det faller sammen med siden av rektangelet. For å skrive ned det numeriske svaret ditt trenger du følgende. Tegn et rektangel på langs slik at den større siden er vannrett. Begynn å nummerere hjørnene nede til venstre og gå mot klokken. Da vil lengden på vektor AB være lik 8 cm.

Svar. Forskjellen mellom AO og VO er 8 cm.

Andre eksempel og dets detaljerte løsning

Betingelse. Diagonalene til romben ABCD er 12 og 16 cm Skjæringspunktet deres er betegnet med bokstaven O. Regn ut lengden på vektoren som dannes av forskjellen mellom vektorene AO og BO.

Løsning. La betegnelsen på toppene til romben være den samme som i forrige oppgave. I likhet med løsningen til det første eksemplet, viser det seg at den nødvendige forskjellen er lik vektoren AB. Og lengden er ukjent. Å løse problemet kom ned til å beregne en av sidene av romben.

For dette formålet må du vurdere trekanten ABO. Den er rektangulær fordi diagonalene til en rombe skjærer hverandre i en vinkel på 90 grader. Og bena er lik halvparten av diagonalene. Det vil si, 6 og 8 cm Den siden som søkes i oppgaven faller sammen med hypotenusen i denne trekanten.

For å finne det trenger du Pythagoras teorem. Kvadraten til hypotenusen vil være lik summen nummer 6 2 og 8 2. Etter kvadrering er verdiene som er oppnådd: 36 og 64. Summen deres er 100. Det følger at hypotenusen er lik 10 cm.

Svar. Forskjellen mellom vektorene AO og VO er 10 cm.

Tredje eksempel med detaljert løsning

Betingelse. Regn ut differansen og summen av to vektorer. Koordinatene deres er kjent: den første har 1 og 2, den andre har 4 og 8.

Løsning. For å finne summen må du legge til den første og andre koordinaten i par. Resultatet blir tallene 5 og 10. Svaret vil være en vektor med koordinater (5; 10).

For differansen må du trekke fra koordinatene. Etter å ha utført denne handlingen, vil tallene -3 og -6 bli oppnådd. De vil være koordinatene til den ønskede vektoren.

Svar. Summen av vektorene er (5; 10), deres forskjell er (-3; -6).

Fjerde eksempel

Betingelse. Lengden på vektoren AB er 6 cm, BC er 8 cm. Den andre legges av fra enden av den første i en vinkel på 90 grader. Beregn: a) forskjellen mellom modulene til vektorene VA og BC og modulen av forskjellen mellom VA og BC; b) summen av de samme modulene og modulen av summen.

Løsning: a) Lengdene til vektorene er allerede gitt i oppgaven. Derfor er det ikke vanskelig å beregne forskjellen deres. 6 - 8 = -2. Situasjonen med differansemodulen er noe mer komplisert. Først må du finne ut hvilken vektor som blir resultatet av subtraksjonen. For dette formålet bør vektoren BA settes til side, som er rettet i motsatt retning AB. Tegn deretter vektoren BC fra enden, og rett den i motsatt retning av den opprinnelige. Resultatet av subtraksjon er vektoren CA. Modulen kan beregnes ved hjelp av Pythagoras teoremet. Enkle beregninger fører til en verdi på 10 cm.

b) Summen av modulene til vektorene er lik 14 cm For å finne det andre svaret, vil det være nødvendig med noe transformasjon. Vektor BA er motsatt rettet til den gitte - AB. Begge vektorene er rettet fra samme punkt. I denne situasjonen kan du bruke parallellogramregelen. Resultatet av tillegget vil være en diagonal, og ikke bare et parallellogram, men et rektangel. Diagonalene er like, noe som betyr at modulen til summen er den samme som i forrige avsnitt.

Svar: a) -2 og 10 cm; b) 14 og 10 cm.

La $\overrightarrow(a)$ og $\overrightarrow(b)$ være to vektorer (fig. 1, a).

La oss ta et vilkårlig punkt O og konstruere en vektor $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)$ . Så fra punkt A plotter vi vektoren $\overrightarrow(AB) = \overrightarrow(b)$. Vektoren $\overrightarrow(OB)$ som forbinder begynnelsen av det første leddet i vektoren med slutten av det andre (fig. 1, b) kalles summen av disse vektorene og er betegnet $\overrightarrow(a) + \ overrightarrow(b)$$ ( trekantregel).

Den samme summen av vektorer kan oppnås på en annen måte. La oss plotte vektorene $\overhøyrepil(OA) = \overhøyrepil(a) \,og\, \overhøyrepil(OS) = \overhøyrepil(b) $ fra punkt O (fig. 1, c). La oss konstruere et parallellogram OABC på disse vektorene som på sidene. Vektoren $\overrightarrow(OB)$, som fungerer som diagonalen til dette parallellogrammet trukket fra toppunktet O, er åpenbart summen av vektorene $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ ( parallellogramregel). Fra Figur 1, in Det følger umiddelbart at summen av to vektorer har den kommutative egenskapen: $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$

Faktisk er hver av vektorene $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) \,and\, = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$ lik den samme vektoren $\overrightarrow(OB)$ .

Eksempel 1. I trekant ABC AB = 3, BC = 4, ∠ B = 90°. Finn: $a)\,\ \overrightarrow(|AB|) + \overrightarrow(|BC|);\,\,\ b)\,\ |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)|$ .

Løsning

b) Siden $\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(ВС) = \overrightarrow(АС) \,\,\,\, deretter\,\, |\overrightarrow(АВ) + \overrightarrow(ВС)| = |\overhøyrepil(AC)| = AC$ .

Ved å bruke Pythagoras teorem finner vi $$ AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(9 + 16) = 5 \\ dvs.\, |\overhøyrepil(AB) + \overhøyrepil( Sun )| = 5. $$

Konseptet med en sum av vektorer kan generaliseres til tilfellet med et hvilket som helst begrenset antall summandvektorer.

La for eksempel gis tre vektorer $\overhøyrepil(a), \overhøyrepil(b) \,og\, \overhøyrepil(c)$ (fig. 2).

Ved først å konstruere summen av vektorene $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ , og deretter legge til vektoren $\overrightarrow(c)$ til denne summen, får vi vektoren $(\overrightarrow(a) + \ overrightarrow(b)) + \overrightarrow(c)$ . I figur 2 $$ \overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)\,; \overrightarrow(AB) = b\,; \overhøyrepil(OB) = \overhøyrepil(a) + \overhøyrepil(b)\,; \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(c) \\ og \\ \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BC) = (\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow (c) $$ Fra figur 2 er det klart at vi får samme vektor $\overrightarrow(OS)$ hvis vi legger til vektoren $\overrightarrow(АВ) = \til vektoren $\overrightarrow(АВ) = \overrightarrow (a)$ overhøyrepil(b) + \overhøyrepil(c)$ . Dermed $(\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) + (\overrightarrow(b) + \overrightarrow(c))$ , dvs. sumvektorene har en kombinere eiendom. Derfor skrives summen av tre vektorer $\overrightarrow(a)\,\,\overrightarrow(b)\,\,\overrightarrow(c)$ ganske enkelt $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) + \overrightarrow (c)$ .

Ved forskjell to vektorer $\overrightarrow(a) \,og\, \overrightarrow(b)$ kalles den tredje vektoren $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)$, summen av disse med subtrahend vektor $\overrightarrow (b)$ gir vektoren $\overrightarrow(a)$. Således, hvis $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)\,\ then\, \overrightarrow(c) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(a)$ .

Fra definisjonen av summen av to vektorer følger regelen for å konstruere en differansevektor (fig. 3).

Vi plotter vektorene $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,og\, \overrightarrow(OB) = \overrightarrow(b)$ fra fellespunktet O. Vektor $\overrightarrow(BA)$ som forbinder endene av den reduserte vektoren $ \overrightarrow(a)$ og subtrahendvektoren $\overrightarrow(b)$ og rettet fra subtrahenden til minuenden er forskjellen $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b) )$ . Faktisk, i henhold til regelen for vektoraddisjon $\overhøyrepil(OB) + \overhøyrepil(BA) = \overhøyrepil(OA) \tekst( , eller ) \overhøyrepil(b) + \overhøyrepil(c) = \overhøyrepil(a) $ .

Eksempel 2. Siden av en likesidet trekant ABC er lik a. Finn: $a) |\overhøyrepil(BA) - \overhøyrepil(BC)|\,;\,\ b)\,\,\ |\overhøyrepil(AB) - \overhøyrepil(AC)|$ .

Løsning a) Siden $\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(CA)\text( , a )|\overrightarrow(CA)| = a\tekst( , deretter )|\overhøyrepil(BA) - \overhøyrepil(BC)| = a$ .

b) Siden $\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC) = \overrightarrow(CB)\text( , a )|\overrightarrow(CB)| = a\tekst( , deretter )|\overhøyrepil(AB) - \overhøyrepil(AC)| = a$ .

Produktet av vektoren $\overrightarrow(a)$ (betegnet $=\lambda\overrightarrow(a)$ eller $\overrightarrow(a)\lambda$) med det reelle tallet $\lambda$ er vektoren $\overrightarrow( b)$, kollineær vektor $\overrightarrow(a)$ med lengde lik $|\lambda||\overrightarrow(a)|$ og samme retning som vektor $\overrightarrow(a)$ hvis $\lambda > 0$ , og retning, motsatt retning vektor $\overrightarrow(a)$ if $\lambda< 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).

I tilfellet der $\lambda = 0$ eller $\overrightarrow(a) = 0$ , representerer produktet $\lambda\overrightarrow(a)$ nullvektoren. Den motsatte vektoren $-\overrightarrow(a)$ kan betraktes som et resultat av å multiplisere vektoren $\overrightarrow(a)$ med $\lambda = -1$ (se fig. 4): $$ -\overrightarrow(a) ) = \ ( -1)\overhøyrepil(a) $$ Åpenbart $\overhøyrepil(a) + (-\overhøyrepil(a)) = \overhøyrepil(0)$ .

Eksempel 3. Bevis at hvis O, A, B og C er vilkårlige punkter, så $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(СО) = 0$ .

Løsning. Summen av vektorene $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(CB) = \overrightarrow(OS)$ , vektor $\overrightarrow(CO)$ er det motsatte av vektoren $\overrightarrow(OS)$ . Derfor $\overrightarrow(OS) + \overrightarrow(СО) = \overrightarrow(0)$ .

La vektoren $\overrightarrow(a)$ gis. Betrakt en enhetsvektor $\overrightarrow(a_0)$ , kollineær til vektoren $\overrightarrow(a)$ og med samme retning. Fra definisjonen av å multiplisere en vektor med et tall følger det at $$ \overrightarrow(a) = |\overrightarrow(a)|\,\ \overrightarrow(a_0) $$ , dvs. hver vektor lik produktet dens modul med en enhetsvektor i samme retning. Videre, fra den samme definisjonen følger det at hvis $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$, hvor $\overrightarrow(a)$ er en vektor som ikke er null, så vil vektorene $\overrightarrow(a) \, og\, \overrightarrow(b)$ er kollineære. Tydeligvis, omvendt, fra kollineariteten til vektorene $\overrightarrow(a) \,og\, \overrightarrow(b)$ følger det at $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$.

Eksempel 4. Lengden på vektoren AB er 3, lengden på vektoren AC er 5. Cosinus til vinkelen mellom disse vektorene er 1/15. Finn lengden på vektoren AB + AC.

Videoløsning.

Vektoren $\overhøyrepil(AB)$ kan betraktes som bevegelsen av et punkt fra posisjon $A$ (begynnelsen av bevegelsen) til posisjonen $B$ (slutten av bevegelsen). Det vil si at bevegelsesbanen i dette tilfellet ikke er viktig, bare begynnelsen og slutten er viktig!

$\blacktriangleright$ To vektorer er kollineære hvis de ligger på samme linje eller på to parallelle linjer.
Ellers kalles vektorene ikke-kollineære.

$\blacktriangleright$ To kollineære vektorer kalles codirectional hvis retningene deres er sammenfallende.
Hvis retningene deres er motsatte, kalles de motsatt rettet.

Regler for å legge til kollineære vektorer:

co-regissert slutt først. Da er summen deres en vektor, hvis begynnelse faller sammen med begynnelsen av den første vektoren, og slutten med slutten av den andre (fig. 1).

$\blacktriangleright$ For å legge til to motsatt rettet vektor, kan vi utsette den andre vektoren fra startet først. Da er summen deres en vektor, hvor begynnelsen sammenfaller med begynnelsen av begge vektorene, lengden er lik forskjellen i lengdene til vektorene, retningen sammenfaller med retningen til den lengre vektoren (fig. 2).

Regler for å legge til ikke-kollineære vektorer $\overrightarrow (a)$ og $\overrightarrow(b)$ :

$\blacktriangleright$ Trekantregel (fig. 3).

Det er nødvendig å sette til side vektoren $\overhøyrepil (b)$ fra slutten av vektoren $\overhøyrepil (a)$. Da er summen en vektor, hvis begynnelse faller sammen med begynnelsen av vektoren $\overhøyrepil (a)$ , og slutten med slutten av vektoren $\overhøyrepil (b)$ .

$\blacktriangleright$ Parallelogramregel (fig. 4).

Det er nødvendig å sette til side vektoren $\overhøyrepil (b)$ fra begynnelsen av vektoren $\overhøyrepil (a)$. Deretter beløpet $\overhøyrepil (a)+\overhøyrepil (b)$– en vektor som sammenfaller med diagonalen til et parallellogram konstruert på vektorene $\overhøyrepil (a)$ og $\overhøyrepil (b)$ (begynnelsen av disse sammenfaller med begynnelsen av begge vektorene).

$\blacktriangleright$ For å finne forskjellen mellom to vektorer $\overhøyrepil (a)-\overhøyrepil(b)$, må du finne summen av vektorene $\overrightarrow (a)$ og $-\overrightarrow(b)$ : $\overhøyrepil(a)-\overhøyrepil(b)=\overhøyrepil(a)+(-\overhøyrepil(b))$(Fig. 5).

Oppgave 1 #2638

Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen

Dan høyre trekant$ABC$ med rett vinkel $A$ , punktet $O$ er sentrum av det omskrevne gitt trekant sirkler. Vektorkoordinater $\overhøyrepil(AB)=\(1;1$\), $\overrightarrow(AC)=\(-1;1$\). Finn summen av koordinatene til vektoren $\overhøyrepil(OC)$ .

Fordi trekanten $ABC$ er rektangulær, så ligger sentrum av den omskrevne sirkelen på midten av hypotenusen, dvs. $O$ er midten av $BC$ .

Legg merke til det $\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)-\overrightarrow(AB)$, derfor, $\overrightarrow(BC)=\(-1-1;1-1$=$-2;0$\).

Fordi $\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)$, Det $\overrightarrow(OC)=\(-1;0$\).

Dette betyr at summen av koordinatene til vektoren $\overhøyrepil(OC)$ er lik $-1+0=-1$ .

Svar: -1

Oppgave 2 #674

Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen

$ABCD$ – en firkant på sidene av vektorene $\overrightarrow(AB)$ , $\overrightarrow(BC)$ , $\overrightarrow(CD)$ , $\overrightarrow( DA) $ . Finn lengden på vektoren $\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)$.

$\overhøyrepil(AB) + \overhøyrepil(BC) = \overhøyrepil(AC)$, $\overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)$, Deretter
$\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)= \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AD) = \vec(0)$.
Nullvektoren har lengde lik $0$ .

En vektor kan da oppfattes som forskyvning $\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)$– flytting fra $A$ til $B$ og deretter fra $B$ til $C$ – til syvende og sist er dette å flytte fra $A$ til $C$ .

Med denne tolkningen blir det åpenbart at $\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)$, fordi vi til slutt her flyttet fra punkt $A$ til punkt $A$, det vil si at lengden på en slik bevegelse er $0$, noe som betyr at vektoren til en slik bevegelse i seg selv er \ (\vec(0)\) .

Svar: 0

Oppgave 3 #1805

Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen

Gitt et parallellogram $ABCD$ . Diagonaler $AC$ og $BD$ skjærer hverandre i punktet $O$ . La , , da $\overrightarrow(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)$

\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2)\overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (a) - \frac(1)(2)\vec(b)\]$\Høyrepil$ $x = - \frac(1)(2)$ , $y = - \frac(1)(2)$ $\Høyrepil$ $x + y = - 1$ .

Svar: -1

Oppgave 4 #1806

Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen

Gitt et parallellogram $ABCD$ . Punktene $K$ og $L$ ligger på sidene henholdsvis $BC$ og $CD$, og $BK:KC = 3:1$ og $L$ er midtpunktet til \ (CD\) . La $\overhøyrepil(AB) = \vec(a)$, $\overhøyrepil(AD) = \vec(b)$, Deretter $\overhøyrepil(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)$, hvor $x$ og $y$ er noen tall. Finn tallet som er lik $x + y$ .

\[\overhøyrepil(KL) = \overhøyrepil(KC) + \overhøyrepil(CL) = \frac(1)(4)\overhøyrepil(BC) + \frac(1)(2)\overhøyrepil(CD) = \frac (1)(4)\overhøyrepil(AD) + \frac(1)(2)\overhøyrepil(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (en)\]$\Høyrepil$ $x = -\frac(1)(2)$ , $y = \frac(1)(4)$ $\Høyrepil$ $x + y = -0 ,25$.

Svar: -0,25

Oppgave 5 #1807

Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen

Gitt et parallellogram $ABCD$ . Punktene $M$ og $N$ ligger på sidene henholdsvis $AD$ og $BC$, med $AM:MD = 2:3$ og $BN:NC = 3: 1$. La $\overhøyrepil(AB) = \vec(a)$, $\overhøyrepil(AD) = \vec(b)$, Deretter $\overrightarrow(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)$

\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3) )(4)\overhøyrepil(BC) = - \frac(2)(5)\overhøyrepil(AD) + \overhøyrepil(AB) + \frac(3)(4)\overhøyrepil(BC) = -\frac(2) )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]$\Høyrepil$ $x = 1$ , $y = \frac(7)(20)$ $\Høyrepil$ $x\cdot y = 0,35$ .

Svar: 0,35

Oppgave 6 #1808

Oppgavenivå: Vanskeligere enn Unified State-eksamenen

Gitt et parallellogram $ABCD$ . Punktet $P$ ligger på diagonalen $BD$, punktet $Q$ ligger på siden $CD$, og $BP:PD = 4:1$, og $ CQ:QD = 1:9$ . La $\overhøyrepil(AB) = \vec(a)$, $\overhøyrepil(AD) = \vec(b)$, Deretter $\overrightarrow(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)$, hvor $x$ og $y$ er noen tall. Finn tallet som er lik $x\cdot y$ .

\[\begin(samlet) \overhøyrepil(PQ) = \overhøyrepil(PD) + \overhøyrepil(DQ) = \frac(1)(5)\overhøyrepil(BD) + \frac(9)(10)\overhøyrepil( DC) = \frac(1)(5)(\overhøyrepil(BC) + \overhøyrepil(CD)) + \frac(9)(10)\overhøyrepil(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overhøyrepil(AB) = \frac(1)(5)\overhøyrepil(AD) + \frac(7)(10)\overhøyrepil(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(samlet)\]

$\Høyrepil$ $x = \frac(7)(10)$ , $y = \frac(1)(5)$ $\Høyrepil$ $x\cdot y = 0, 14$. og $ABCO$ – parallellogram; $AF \parallel BE$ og $ABOF$ – parallellogram $\Høyrepil$ \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]$\Høyrepil$ $x = 1$ , $y = 1$ $\Høyrepil$ $x + y = 2$ .

Svar: 2

Videregående elever forbereder seg til bestått Unified State-eksamenen i matematikk og samtidig forvente å få anstendige poengsummer, må de definitivt gjenta emnet "Regler for å legge til og subtrahere flere vektorer." Som det fremgår av mange års praksis, inngår slike oppgaver i sertifiseringsprøven hvert år. Hvis en nyutdannet har problemer med problemer fra seksjonen "Plangeometri", for eksempel, der det er nødvendig å bruke reglene for addisjon og subtraksjon av vektorer, bør han definitivt gjenta eller gjenforstå materialet for å bestå Unified State-eksamen.

Shkolkovo utdanningsprosjekt tilbyr en ny tilnærming til å forberede seg til sertifiseringstesten. Vår ressurs er bygget på en slik måte at elevene kan identifisere de vanskeligste delene for seg selv og fylle hull i kunnskap. Shkolkovo-spesialister forberedte og systematiserte alle nødvendig materialeå forberede seg på å bestå sertifiseringstesten.

For å sikre at USE-problemer der du må bruke reglene for å legge til og subtrahere to vektorer ikke forårsaker vanskeligheter, anbefaler vi først å pusse opp de grunnleggende konseptene. Studentene vil kunne finne dette materialet i delen "Teoretisk informasjon".

Hvis du allerede husker regelen for å subtrahere vektorer og de grunnleggende definisjonene om dette emnet, foreslår vi at du konsoliderer kunnskapen din ved å fullføre de riktige øvelsene, som ble valgt av eksperter utdanningsportal"Shkolkovo". For hvert problem presenterer nettstedet en løsningsalgoritme og gir det riktige svaret. Emnet "Regler for vektortilsetning" presenterer ulike øvelser; Etter å ha fullført to eller tre relativt enkle oppgaver, kan elevene suksessivt gå videre til mer komplekse oppgaver.

Skolebarn har muligheten til å finpusse sine egne ferdigheter på slike oppgaver, for eksempel på nettet, mens de er i Moskva eller en annen by i Russland. Om nødvendig kan oppgaven lagres i "Favoritter"-delen. Takket være dette kan du raskt finne eksempler på interesse og diskutere algoritmer for å finne riktig svar med læreren din.

Ingen vil hevde at det er umulig å komme til reisemålet ditt uten å vite reiseretningen. I fysikk kalles dette konseptet vektor. Frem til dette punktet har vi jobbet med noen tall og verdier, som kalles mengder. En vektor skiller seg fra en størrelse ved at den har en retning.

Når de jobber med en vektor, opererer de på den retning Og størrelse. Fysisk parameter uten hensyn til retning kalles skalar.

Visuelt vises vektoren som en pil. Lengden på pilen er størrelsen på vektoren.

I fysikk er vektorer representert med en stor bokstav med en pil øverst.

Vektorer kan sammenlignes. To vektorer vil være like hvis de har samme størrelse og retning.

Vektorer kan legges til. Den resulterende vektoren er summen av begge vektorene og bestemmer avstanden og retningen. For eksempel bor du i Kiev og bestemte deg for å besøke gamle venner i Moskva, og derfra besøke din elskede svigermor i Lviv. Hvor langt vil du være fra hjemmet ditt mens du besøker din kones mor?

For å svare på dette spørsmålet må du tegne en vektor fra startpunktet for turen (Kyiv) til det endelige punktet (Lviv). Den nye vektoren bestemmer resultatet av hele reisen fra begynnelse til slutt.

Vektor A - Kiev-Moskva
Vektor B - Moskva-Lviv
Vektor C - Kiev-Lviv

C = A+B, hvor C - vektor sum eller den resulterende vektoren

Vektorer kan ikke bare legges til, men også trekkes fra! For å gjøre dette må du kombinere basene til subtrahenden og subtraherende vektorer og koble endene deres med piler:

Vektor A = C-B
Vektor B = C-A

La oss sette det på vektorene våre koordinatrutenett. For vektor A kan vi si at den er rettet 5 celler opp ( positiv verdi Y-aksen) og 3 celler til venstre ( negativ betydning X-akse): X=-3; Y=5.

For vektor B: retning 4 celler til venstre og 7 celler ned: X=-4; Y=-7.

Derfor, for å legge til vektorer langs X- og Y-aksene, må du legge til koordinatene deres. For å få koordinatene til den resulterende vektoren langs X- og Y-aksene:

La oss vurdere problemet: ballen beveger seg med en hastighet på 10 m/s langs et skråplan med en baselengde på X = 1 m, plassert 30° til horisontalen. Det er nødvendig å bestemme tiden når ballen beveger seg fra begynnelsen til slutten av flyet.

I denne oppgaven er hastighet en vektor V med styrke 10m/s og retning a=30° til det horisontale. For å bestemme hastigheten på ballens bevegelse langs bunnen av det skråplanet, må vi bestemme X-komponenten av ballens bevegelse, som er en skalar (har bare en verdi, ikke en retning) og er betegnet Vx. På samme måte er Y-komponenten av hastighet også en skalar og betegnes V y. Hastighetsvektor gjennom komponenter: V = (V x ;V y)

La oss bestemme komponentene (V x ;V y). La oss huske trigonometri:

V x = V cosα
V y = V sinα

X-komponent av ballhastigheten:

V x = V cosα = V cos30° = 10,0 0,866 = 8,66 m/s

Den horisontale hastigheten til ballen er 8,66 m/s.

Fordi lengden på bunnen av det skråplanet er 1 m, da vil ballen dekke denne avstanden i:

1,00(m)/8,66(m/s) = 0,12 s

Dermed vil ballen trenge 0,12 s for å bevege seg langs skråplanet. Svar: 0,12s

For interessens skyld, la oss definere Y-komponenten til hastighet:

V y = V sinα = 10 1/2 = 5,0 m/s

Siden ballens "reisetid" er den samme for begge komponentene, kan vi bestemme høyden Y som ballen rullet fra:

5,0(m/s)·0,12(s) = 0,6m

Distanse tilbakelagt av ballen:

Omvendt problem

La oss vurdere det omvendte problemet til det forrige:

Ballen beveget seg langs skråplanet til en høyde på 0,6 m, mens dens bevegelse i horisontalplanet var 1,0 m. Det er nødvendig å finne avstanden tilbakelagt av ballen og vinkelen.

Vi beregner avstanden ved å bruke Pythagoras setning:

L = √1,00 2 + 0,60 2 = √1,36 = 1,16m

For trigonometri:

X = L cosa; Y = L sinα

X/L = cosa; Y/L = sinα

Nå kan du finne vinkelen:

a = arccos(X/L); α = arcsin(Y/L)

La oss erstatte tallene:

α = arccos(1/1,16) = 30°

Mellomberegningen av L kan elimineres:

Y = X tanα